Тотожні перетворення виразів містять логарифми. Перетворення виразів з логарифмами, приклади, рішення

Перераховані рівності при перетворенні виразів з логарифмами використовуються як справа наліво, так і зліва направо.

Варто зауважити, що запам'ятовувати слідства з властивостей необов'язково: при проведенні перетворень можна обійтися основними властивостями логарифмів і іншими фактами (наприклад, тим, що при b≥0), з яких відповідні слідства випливають. «Побічний ефект» такого підходу проявляється лише в тому, що рішення буде трохи довше. Наприклад, щоб обійтися без слідства, яке виражається формулою , А відштовхуватися лише від основних властивостей логарифмів, доведеться провести ланцюжок перетворень такого вигляду: .

Те ж саме можна сказати і про остання властивість з наведеного вище списку, якому відповідає формула , Так як воно теж випливає з основних властивостей логарифмів. Головне розуміти, що завжди є можливість у ступеня позитивного числа з логарифмом в показнику поміняти місцями підставу ступеня і число під знаком логарифма. Справедливості заради, зауважимо, що приклади, які передбачають здійснення перетворень подібного роду, на практиці зустрічаються рідко. Кілька прикладів ми наведемо нижче по тексту.

Перетворення числових виразів з логарифмами

Властивості логарифмів згадали, тепер пора вчитися застосовувати їх на практиці для перетворення виразів. Природно почати з перетворення числових виразів, а не виразів зі змінними, так як на них зручніше і простіше пізнавати ази. Так ми і зробимо, причому почнемо з дуже простих прикладів, щоб навчитися вибирати потрібну властивість логарифма, але поступово будемо ускладнювати приклади, аж до моменту, коли для отримання кінцевого результату потрібно буде застосовувати кілька властивостей поспіль.

Вибір потрібного властивості логарифмів

Властивостей логарифмів не так мало, і зрозуміло, що потрібно вміти вибрати з них підходяще, яке в даному конкретному випадку призведе до необхідного результату. Зазвичай це зробити неважко, зіставивши вид перетворюється логарифма або виразу з видами лівих і правих частин формул, що виражають властивості логарифмів. Якщо ліва або права частина однієї з формул збігається з заданим логарифмом або виразом, то, швидше за все, саме ця властивість і треба застосовувати при перетворенні. Наступні приклади це наочно демонструють.

Почнемо з прикладів перетворення виразів з використанням визначення логарифма, якому відповідає формула a log a b \u003d b, a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0.

Приклад.

Обчисліть, якщо це можливо: а) 5 log 5 4, б) 10 lg (1 + 2 · π), в) , Г) 2 log 2 (-7), д).

Рішення.

У прикладі під літерою а) явно видно структура a log a b, де a \u003d 5, b \u003d 4. Ці числа задовольняють умовам a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, тому можна безбоязно скористатися рівністю a log a b \u003d b. Маємо 5 log 5 4 \u003d 4.

б) Тут a \u003d 10, b \u003d 1 + 2 · π, умови a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 виконані. При цьому має місце рівність 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π.

в) І в цьому прикладі ми маємо справу зі ступенем виду a log a b, де і b \u003d ln15. так .

Незважаючи на приналежність до того ж виду a log a b (тут a \u003d 2, b \u003d -7), вираз під літерою г) не можна перетворити за формулою a log a b \u003d b. Причина в тому, що воно не має сенсу, так як містить негативне число під знаком логарифма. Більш того, число b \u003d -7 не задовольняє умові b\u003e 0, що не дає можливості вдатися до формули a log a b \u003d b, так як вона вимагає виконання умов a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0. Отже, не можна говорити про обчисленні значення 2 log 2 (-7). У цьому випадку запис 2 log 2 (-7) \u003d -7 буде помилкою.

Аналогічно і в прикладі під літерою д) не можна привести рішення виду , Так як вихідне вираз не має сенсу.

відповідь:

а) 5 log 5 4 \u003d 4, б) 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π, в) , Г), д) вислови не мають сенсу.

Часто буває корисно перетворення, при якому позитивний число представляється у вигляді ступеня якогось позитивного і відмінного від одиниці числа з логарифмом в показнику. В його основі лежить той же визначення логарифма a log a b \u003d b, a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, але формула застосовується справа наліво, тобто, у вигляді b \u003d a log a b. Наприклад, 3 \u003d e ln3 або 5 \u003d 5 log 5 5.

Переходимо до застосування властивостей логарифмів для перетворення виразів.

Приклад.

Знайдіть значення виразу: а) log -2 1, б) log 1 1, в) log 0 1, г) log 7 1, д) ln1, е) lg1, ж) log 3,75 1, з) log 5 · π 7 1.

Рішення.

У прикладах під буквами a), б) і в) дані вирази log -2 1, log 1 1, log 0 1, що не має сенсу, так як в основі логарифма не повинно знаходитися негативне число, нуль або одиниця, адже ми визначили логарифм лише для позитивного і відмінного від одиниці підстави. Тому, в прикладах а) - в) не може бути й мови про знаходження значення виразу.

У всіх інших завданнях, очевидно, в підставах логарифмів знаходяться позитивні і відмінні від одиниці числа 7, e, 10, 3,75 і 5 · π 7 відповідно, а під знаками логарифмів всюди стоять одиниці. А нам відомо властивість логарифма одиниці: log a 1 \u003d 0 для будь-якого a\u003e 0, a ≠ 1. Таким чином, значення виразів б) - е) дорівнюють нулю.

відповідь:

а), б), в) вислови не мають сенсу, г) log 7 1 \u003d 0, д) ln1 \u003d 0, е) lg1 \u003d 0, ж) log 3,75 1 \u003d 0, з) log 5 · e 7 1 \u003d 0.

Приклад.

Обчислити: а), б) lne, в) lg10, г) log 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2), Д) log -3 (-3), е) log 1 + 1.

Рішення.

Зрозуміло, що нам належить скористатися властивістю логарифма підстави, якому відповідає формула log a a \u003d 1 при a\u003e 0, a ≠ 1. Дійсно, в завданнях під усіма літерами число під знаком логарифма збігається з його підставою. Таким чином, хочеться відразу сказати, що значення кожного із заданих виразів є 1. Однак не варто поспішати з висновками: в завданнях під літерами а) - г) значення виразів дійсно рівні одиниці, а в завданнях д) і е) вихідні вирази не мають сенсу, тому не можна сказати, що значення цих виразів рівні 1.

відповідь:

а), б) lne \u003d 1, в) lg10 \u003d 1, г) log 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1, Д), е) вислови не мають сенсу.

Приклад.

Знайти значення: а) log 3 3 11, б) , В), г) log -10 (-10) 6.

Рішення.

Очевидно, під знаками логарифмів стоять деякі ступеня підстави. Виходячи з цього, розуміємо, що тут нам стане в нагоді властивість ступеня підстави: log a a p \u003d p, де a\u003e 0, a ≠ 1 і p - будь-яке дійсне число. З огляду на це, маємо такі результати: а) log 3 3 11 \u003d 11, б) , В) . А чи можна записати аналогічне рівність для прикладу під літерою г) виду log -10 (-10) 6 \u003d 6? Ні, не можна, так як вираз log -10 (-10) 6 не має сенсу.

відповідь:

а) log 3 3 11 \u003d 11, б) , В) , Г) вираз не має сенсу.

Приклад.

Уявіть вираз у вигляді суми або різниці логарифмів на тих же підставах: а) , Б), в) lg ((- 5) · (-12)).

Рішення.

а) Під знаком логарифма знаходиться твір, а нам відомо властивість логарифма твори log a (x · y) \u003d log a x + log a y, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. У нашому випадку число в підставі логарифма і числа в творі є позитивними, тобто, задовольняють умовам обраного властивості, тому, ми його можемо спокійно застосовувати: .

б) Тут скористаємося властивістю логарифма приватного, де a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. У нашому випадку підстава логарифма є позитивне число e, чисельник і знаменник π позитивні, значить, задовольняють умовам властивості, тому ми маємо право на застосування обраної формули: .

в) По-перше, зауважимо, що вираз lg ((- 5) · (-12)) має сенс. Але при цьому для нього ми не маємо права застосовувати формулу логарифма твори log a (x · y) \u003d log a x + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0, так як числа -5 і -12 - негативні і не задовольняють умовам x\u003e 0, y\u003e 0. Тобто, не можна провести таке перетворення: lg ((- 5) · (-12)) \u003d lg (-5) + lg (-12). А що ж робити? У подібних випадках вихідне вираз потребує попереднього перетворення, що дозволяє уникати негативних чисел. Про подібні випадки перетворення виразів з негативними числами під знаком логарифма ми детально поговоримо в одному з, а поки наведемо рішення цього прикладу, яке зрозуміло наперед і без пояснень: lg ((- 5) · (-12)) \u003d lg (5 · 12) \u003d lg5 + lg12.

відповідь:

а) , Б) , В) lg ((- 5) · (-12)) \u003d lg5 + lg12.

Приклад.

Спростити вираз: а) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, б).

Рішення.

Тут нам допоможуть все ті ж властивості логарифма твори і логарифма приватного, які ми використовували в попередніх прикладах, тільки зараз ми будемо їх застосовувати справа наліво. Тобто, суму логарифмів перетворимо в логарифм твори, а різниця логарифмів - в логарифм приватного. маємо
а) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 \u003d log 3 (0,25 · 16 · 0,5) \u003d log 3 2.
б) .

відповідь:

а) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 \u003d log 3 2, Б) .

Приклад.

Позбавтеся від ступеня під знаком логарифма: а) log 0,7 5 11, б) , В) log 3 (-5) 6.

Рішення.

Нескладно помітити, що ми маємо справу з виразами виду log a b p. Відповідне властивість логарифма має вигляд log a b p \u003d p · log a b, де a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p - будь-яке дійсне число. Тобто, при виконанні умов a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 від логарифма ступеня log a b p ми можемо переходити до твору p · log a b. Проведемо це перетворення з заданими виразами.

а) У цьому випадку a \u003d 0,7, b \u003d 5 і p \u003d 11. Так log 0,7 5 11 \u003d 11 · log 0,7 5.

б) Тут, умови a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 виконуються. Тому

в) Вираз log 3 (-5) 6 має ту ж структуру log a b p, a \u003d 3, b \u003d -5, p \u003d 6. Але для b не виконується умова b\u003e 0, що унеможливлює застосування формули log a b p \u003d p · log a b. Так що ж, не можна впоратися з поставленим завданням? Можна, але потрібно попереднє перетворення виразу, про який ми детально поговоримо нижче в пункті під заголовком. Рішення буде таким: log 3 (-5) 6 \u003d log 3 5 6 \u003d 6 · log 3 5.

відповідь:

а) log 0,7 5 11 \u003d 11 · log 0,7 5,
б)
в) log 3 (-5) 6 \u003d 6 · log 3 5.

Досить часто формулу логарифма ступеня при проведенні перетворень доводиться застосовувати справа наліво у вигляді p · log a b \u003d log a b p (при цьому слід дотримуватися тих же умов для a, b і p). Наприклад, 3 · ln5 \u003d ln5 3 і lg2 · log 2 3 \u003d log 2 3 lg2.

Приклад.

а) Розрахуйте значення log 2 5, якщо з відомо, що lg2≈0,3010 і lg5≈0,6990. б) Уявіть дріб у вигляді логарифма за основою 3.

Рішення.

а) Формула переходу до нового основи логарифма дозволяє даний логарифм представити у вигляді відносини десяткових логарифмів, значення яких нам відомі:. Залишається лише провести обчислення, маємо .

б) Тут досить скористатися формулою переходу до нового основи, причому застосувати її справа наліво, тобто, у вигляді . отримуємо .

відповідь:

а) log 2 5≈2,3223, б) .

На цьому етапі ми досить скрупульозно розглянули перетворення найпростіших виразів з використанням основних властивостей логарифмів і визначення логарифма. У цих прикладах нам доводилося застосовувати якесь одне властивість і нічого більше. Тепер зі спокійною совістю можна переходити до прикладів, перетворення яких вимагає використання декількох властивостей логарифмів і інших додаткових перетворень. Ними ми і займемося в наступному пункті. Але перед цим ще коротко зупинимося на прикладах застосування наслідків з основних властивостей логарифмів.

Приклад.

а) Позбавтеся від кореня під знаком логарифма. б) Перетворіть дріб в логарифм за основою 5. в) Забудьте про ступенів під знаком логарифма і в його підставі. г) Розрахуйте значення виразу . д) Замініть вираз ступенем з підставою 3.

Рішення.

а) Якщо згадати про наслідок з властивості логарифма ступеня , То можна відразу давати відповідь: .

б) Тут скористаємося формулою справа наліво, маємо .

в) У даному випадку до результату приводить формула . отримуємо .

г) А тут досить застосувати наслідок, якому відповідає формула . так .

д) Властивість логарифма дозволяє нам досягти потрібного результату: .

відповідь:

а) . б) . в) . г) . д) .

Послідовне застосування декількох властивостей

Реальні завдання на перетворення виразів з використанням властивостей логарифмів зазвичай складніше тих, якими ми займалися в попередньому пункті. У них, як правило, результат виходить не в один крок, а рішення вже складається в послідовному застосуванні одного властивості за іншим разом з додатковими тотожними перетвореннями, такими як розкриття дужок, зведення подібних доданків, скорочення дробів і т.п. Так давайте підбиратися ближче до таких прикладів. Складного в цьому нічого немає, головне діяти акуратно і послідовно, дотримуючись порядок виконання дій.

Приклад.

Обчислити значення виразу (Log 3 15 log 3 5) · 7 log 7 5.

Рішення.

Різниця логарифмів в дужках по властивості логарифма приватного можна замінити логарифмом log 3 (15: 5), і далі обчислити його значення log 3 (15: 5) \u003d log 3 3 \u003d 1. А значення виразу 7 log 7 5 по визначенню логарифма дорівнює 5. Підставами ці результати в вихідне вираз, отримуємо (Log 3 15 log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

Наведемо варіант рішення без пояснень:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d Log 3 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.

відповідь:

(Log 3 15 log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 5.

Приклад.

Чому дорівнює значення числового виразу log 3 log 2 + 2 3 -1?

Рішення.

Перетворимо спочатку логарифм, що знаходиться під знаком логарифма, за формулою логарифма ступеня: log 2 + 2 3 \u003d 3. Таким чином, log 3 log 2 + 2 3 \u003d log 3 3 і далі log 3 3 \u003d 1. Так log 3 log 2 + 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.

відповідь:

log 3 log 2 + 2 3 -1 \u003d 0.

Приклад.

Спростити вираз.

Рішення.

Формула переходу до нового основи логарифма дозволяє відношення логарифмів за однією підставою уявити як log 3 5. При цьому вихідне вираз набуде вигляду. За визначенням логарифма 3 log 3 5 \u003d 5, тобто , А значення отриманого виразу в силу того ж визначення логарифма дорівнює двом.

Ось короткий варіант рішення, який зазвичай і наводиться: .

відповідь:

Для плавного переходу до інформації наступного пункту давайте поглянемо на вираження 5 2 + log 5 3, і lg0,01. Їх структура не підходить ні під одну з властивостей логарифмів. Так що ж виходить, їх можна перетворити з використанням властивостей логарифмів? Можна, якщо провести попередні перетворення, що готують дані вирази до застосування властивостей логарифмів. так 5 2 + log 5 3 \u003d 5 2 × 5 log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, і lg0,01 \u003d lg10 -2 \u003d -2. Далі ми докладно розберемося, як здійснюється подібна підготовка виразів.

Підготовка виразів до застосування властивостей логарифмів

Логарифми в складі перетворюється вираження дуже часто за структурою записи відрізняються від лівих і правих частин формул, що відповідають властивостям логарифмів. Але не менш часто перетворення цих виразів на увазі використання властивостей логарифмів: для їх використання лише потрібна попередня підготовка. А полягає ця підготовка в проведенні певних тотожних перетворень, що призводять логарифми до вигляду, зручного для застосування властивостей.

Справедливості заради, зауважимо, що в якості попередніх перетворень можуть виступати практично будь-які перетворення виразів, від банального приведення подібних доданків до застосування тригонометричних формул. Це і зрозуміло, так як перетворені вираження можуть містити будь-які математичні об'єкти: Дужки, модулі, дробу, коріння, ступеня і т.д. Таким чином, потрібно бути готовим виконати будь-яке вимагається перетворення, щоб далі отримати можливість скористатися властивостями логарифмів.

Відразу скажемо, що в цьому пункті ми не ставимо перед собою завдання класифікувати і розібрати всі мислимі попередні перетворення, що дозволяють в подальшому застосувати властивості логарифмів або визначення логарифма. Тут ми зупинимося лише на чотирьох з них, які найбільш характерні і найбільш часто зустрічаються на практиці.

А тепер докладно про кожен з них, після чого в рамках нашої теми залишиться лише розібратися з перетворенням виразів зі змінними під знаками логарифмів.

Виділення ступенів під знаком логарифма і в його підставі

Почнемо відразу з прикладу. Нехай перед нами логарифм. Очевидно, в такому вигляді його структура не має в своєму розпорядженні до застосування властивостей логарифмів. А чи можна якось перетворити цей вислів, щоб спростити його, а ще краще обчислити його значення? Для відповіді на це питання давайте уважно подивимося на числа 81 і 1/9 в контексті нашого прикладу. Тут нескладно помітити, що ці числа допускають представлення у вигляді ступеня числа 3, дійсно, 81 \u003d 3 4 і 1/9 \u003d 3 -2. При цьому вихідний логарифм представляється у вигляді і з'являється можливість застосування формули . Отже, .

Аналіз розібраного прикладу народжує таку думку: при можливості можна спробувати виділити ступінь під знаком логарифма і в його підставі, щоб застосувати властивість логарифма ступеня або його слідства. Залишається тільки з'ясувати, як ці ступеня виділяти. Дамо деякі рекомендації з цього питання.

Іноді досить очевидно, що число під знаком логарифма і / або в його підставі являє собою деяку цілу ступінь, як в розглянутому вище прикладі. Практично постійно доводиться мати справу зі ступенями двійки, які добре надокучили: 4 \u003d 2 + 2, 8 \u003d 2, 3, 16 \u003d 2 4, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2 6, 128 \u003d 2 7, 256 \u003d 2 8, 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Це ж можна сказати і про ступеня трійки: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3 3, 81 \u003d 3, 4, 243 \u003d 3, 5, ... Взагалі, не завадить, якщо перед очима буде знаходитися таблиця ступенів натуральних чисел в межах десятка. Також не складає труднощів працювати з цілими ступенями десяти, ста, тисячі і т.д.

Приклад.

Обчислити значення або спростити вираз: а) log 6 216, б), в) log 0,000001 0,001.

Рішення.

а) Очевидно, що 216 \u003d 6 3, тому log 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3.

б) Таблиця ступенів натуральних чисел дозволяє представити числа 343 і 1/243 у вигляді ступенів 7 3 і 3 -4 відповідно. Тому можливо наступне перетворення заданого логарифма:

в) Так як 0,000001 \u003d 10 -6 і 0,001 \u003d 10 -3, то log 0,000001 0,001 \u003d log 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.

відповідь:

а) log 6 216 \u003d 3, б) , В) log 0,000001 0,001 \u003d 1/2.

У більш складних випадках для виділення ступенів чисел доводиться вдаватися до.

Приклад.

Перетворіть вираз до простішого вигляду log 3 648 · log 2 3.

Рішення.

Давайте подивимося, що являє собою розкладання числа 648 на прості множники:

Тобто, 648 \u003d 2 3 • 3 4. Таким чином, log 3 648 · log 2 3 \u003d log 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3.

Тепер логарифм твори перетворимо в суму логарифмів, після чого застосуємо властивості логарифма ступеня:
log 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3 \u003d (log 3 2 3 + log 3 3 4) · log 2 3 \u003d
\u003d (3 · log 3 2 +4) · log 2 3.

В силу слідства з властивості логарифма ступеня, якому відповідає формула , Твір log32 · log23 є твір, а воно, як відомо, дорівнює одиниці. З огляду на це, отримуємо 3 · log 3 2 × log 2 3 + 4 · log 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · log 2 3 \u003d 3 + 4 · log 2 3.

відповідь:

log 3 648 · log 2 3 \u003d 3 + 4 · log 2 3.

Досить часто вираження під знаком логарифма і в його підставі представляють собою твори або відносини коренів і / або ступенів деяких чисел, наприклад,,. Подібні вирази можна представити у вигляді ступеня. Для цього здійснюється перехід від коренів до ступенями, і застосовуються і. Зазначені перетворення дозволяють виділити ступеня під знаком логарифма і в його підставі, після чого застосувати властивості логарифмів.

Приклад.

Обчисліть: а) , Б).

Рішення.

а) Вираз в підставі логарифма є твір ступенів з підставами, за відповідним властивості ступенів маємо 5 2 × 5 -0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0,5-1 \u003d 5 0,5.

Тепер перетворимо дріб під знаком логарифма: перейдемо від кореня до ступеня, після чого скористаємося властивістю відносини ступенів з підставами: .

Залишається підставити отримані результати в вихідне вираз, скористатися формулою і закінчити перетворення:

б) Так як 729 \u003d 3 6, а 1/9 \u003d 3 -2, то вихідне вираз можна переписати у вигляді.

Далі застосовуємо властивість кореня зі ступеня, здійснюємо перехід від кореня до ступеня і використовуємо властивість відносини ступенів, щоб перетворити підстава логарифма в ступінь: .

З огляду на останній результат, маємо .

відповідь:

а) , Б).

Зрозуміло, що в загальному випадку для отримання ступенів під знаком логарифма і в його підставі можуть вимагатися різні перетворення різних виразів. Наведемо кілька прикладів.

Приклад.

Чому дорівнює значення виразу: а) , Б) .

Рішення.

Далі відзначаємо, що заданий вираз має вигляд log A B p, де A \u003d 2, B \u003d x + 1 і p \u003d 4. Числові вирази подібного виду ми перетворювали по властивості логарифма ступеня log a b p \u003d p · log a b, тому, з заданим виразом хочеться вчинити аналогічно, і від log 2 (x + 1) 4 перейти до 4 · log 2 (x + 1). А тепер давайте обчислимо значення вихідного вираження і вирази, отриманого після перетворення, наприклад, при x \u003d -2. Маємо log 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0, а 4 · log 2 (-2 + 1) \u003d 4 · log 2 (-1) - не має сенсу вираз. Це викликає закономірне питання: «Що ми зробили не так»?

А причина в наступному: ми виконали перетворення log 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · log 2 (x + 1), спираючись на формулу log abp \u003d p · log ab, але дану формулу ми маємо право застосовувати лише при виконанні умов a \u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p - будь-яке дійсне число. Тобто, пророблений нами перетворення має місце, якщо x + 1\u003e 0, що те ж саме x\u003e -1 (для A і p - умови виконані). Однак в нашому випадку ОПЗ змінної x для вихідного вираження складається не тільки з проміжку x\u003e -1, але і з проміжку x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необхідність обліку ОДЗ

Продовжимо розбирати перетворення обраного нами вираження log 2 (x + 1) 4, і зараз подивимося, що відбувається з ОДЗ при переході до вираження 4 · log 2 (x + 1). У попередньому пункті ми знайшли ОДЗ вихідного вираження - це є безліч (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Тепер знайдемо область допустимих значень змінної x для вираження 4 · log 2 (x + 1). Вона визначається умовою x + 1\u003e 0, якому відповідає безліч (-1, + ∞). Очевидно, що при переході від log 2 (x + 1) 4 до 4 · log 2 (x + 1) відбувається звуження області допустимих значень. А ми домовилися уникати перетворень, що призводять до звуження ОДЗ, так як це може призводити до різних негативних наслідків.

Тут для себе варто відзначити, що корисно контролювати ОДЗ на кожному кроці перетворення і не допускати її звуження. І якщо раптом на якомусь етапі перетворення відбулося звуження ОДЗ, то варто дуже уважно подивитися, а чи припустимо дане перетворення і чи мали ми право його проводити.

Справедливості заради скажемо, що на практиці зазвичай доводиться працювати з виразами, у яких ОДЗ змінних така, що дозволяє при проведенні перетворень використовувати властивості логарифмів без обмежень в уже відомому нам вигляді, причому як зліва направо, так і справа наліво. До цього швидко звикаєш, і починаєш проводити перетворення механічно, не замислюючись, а чи можна було їх проводити. І в такі моменти, як на зло, прослизають більш складні приклади, в яких неакуратне застосування властивостей логарифмів призводить до помилок. Так що потрібно завжди бути на чеку, і стежити, щоб не відбувалося звуження ОДЗ.

Не завадить окремо виділити основні перетворення на базі властивостей логарифмів, які потрібно проводити дуже уважно, які можуть призводити до звуження ОДЗ, і як наслідок - до помилок:

Деякі перетворення виразів за властивостями логарифмів можуть приводити і до зворотного - розширення ОДЗ. Наприклад, перехід від 4 · log 2 (x + 1) до log 2 (x + 1) 4 розширює ОДЗ з безлічі (-1, + ∞) до (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Такі перетворення мають місце, якщо залишатися в рамках ОДЗ для вихідного вираження. Так тільки що згадане перетворення 4 · log 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 має місце на ОПЗ змінної x для вихідного вираження 4 · log 2 (x + 1), тобто, при x + 1\u003e 0, що те ж саме (-1, + ∞).

Тепер, коли ми обговорили нюанси, на які потрібно звертати увагу при перетворенні виразів зі змінними з використанням властивостей логарифмів, залишається розібратися, як правильно потрібно ці перетворення проводити.

X + 2\u003e 0. Виконується воно в нашому випадку? Для відповіді на це питання поглянемо на ОПЗ змінної x. Вона визначається системою нерівностей , Яка рівносильна умові x + 2\u003e 0 (при необхідності дивіться статтю рішення систем нерівностей). Таким чином, ми можемо спокійно застосовувати властивість логарифма ступеня.

маємо
3 · lg (x + 2) 7 -lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · lg (x + 2) -lg (x + 2) -5 · 4 · lg (x + 2) \u003d
\u003d 21 · lg (x + 2) -lg (x + 2) -20 · lg (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · lg (x + 2) \u003d 0.

Можна діяти й інакше, благо ОДЗ дозволяє це робити, наприклад так:

відповідь:

3 · lg (x + 2) 7 -lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d 0.

А що робити, коли на ОДЗ не виконуються умови, супутні властивостями логарифмів? Будемо розбиратися з цим на прикладах.

Нехай від нас вимагається спростити вираз lg (x + 2) 4 -lg (x + 2) 2. Перетворення цього виразу, на відміну від виразу з попереднього прикладу, не допускає привільного використання властивості логарифма ступеня. Чому? ОПЗ змінної x в даному випадку являє собою об'єднання двох проміжків x\u003e -2 і x<−2 . При x>-2 ми можемо спокійно застосовувати властивість логарифма ступеня і діяти як в розібраному вище прикладі: lg (x + 2) 4 -lg (x + 2) 2 \u003d 4 · lg (x + 2) -2 · lg (x + 2) \u003d 2 · lg (x + 2). Але ОДЗ містить ще один проміжок x + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lg (- | x + 2 |) 4 -lg (- | x + 2 |) 2 і далі в силу властивостей ступеня до lg | x + 2 | 4 -lg | x + 2 | 2. Отриманий вираз можна перетворювати по властивості логарифма ступеня, так як | x + 2 |\u003e 0 при будь-яких значеннях змінної. маємо lg | x + 2 | 4 -lg | x + 2 | 2 \u003d 4 · lg | x + 2 | -2 · lg | x + 2 | \u003d 2 · lg | x + 2 |. Тепер можна звільнитися від модуля, так як він свою справу зробив. Так як ми проводимо перетворення при x + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Розглянемо ще один приклад, щоб робота з модулями стала звичною. Нехай ми задумали від виразу перейти до суми і різниці логарифмів лінійних Двочленні x-1, x-2 і x-3. Спочатку знаходимо ОДЗ:

На проміжку (3, + ∞) значення виразів x-1, x-2 і x-3 - позитивні, тому ми спокійно можемо застосовувати властивості логарифма суми і різниці:

А на інтервалі (1, 2) значення виразу x-1 - позитивні, а значення виразів x-2 і x-3 - негативні. Тому, на даному інтервалі представляємо x-2 і x-3 з використанням модуля як - | x-2 | і - | x-3 | відповідно. При цьому

Тепер можна застосовувати властивості логарифма добутку і частки, так як на даному інтервалі (1, 2) значення виразів x-1, | x-2 | і | x-3 | - позитивні.

маємо

Отримані результати можна об'єднати:

Взагалі, аналогічні міркування дозволяють на базі формул логарифма твори, відносини і ступеня отримати три практично корисних результату, якими досить зручно користуватися:

Логарифм добутку двох довільних виразів X і Y виду log a (X · Y) можна замінити сумою логарифмів log a | X | + log a | Y | , A\u003e 0, a ≠ 1.
Логарифм приватного виду log a (X: Y) можна замінити різницею логарифмів log a | X | -log a | Y | , A\u003e 0, a ≠ 1, X і Y - довільні вирази.
Від логарифма деякого виразу B в парному ступеня p виду log a B p можна перейти до вираження p · log a | B | , Де a\u003e 0, a ≠ 1, p - парне число і B - довільне вираження.

Аналогічні результати наведені, наприклад, у вказівках до вирішення показових і логарифмічних рівнянь в збірнику завдань з математики для вступників до вузів під редакцією М. І. Сканаві.

Приклад.

Спростіть вираз .

Рішення.

Було б добре застосувати властивості логарифма ступеня, суми і різниці. Але чи можемо ми тут це робити? Для відповіді на це питання нам потрібно знати ОДЗ.

Визначимо її:

Досить очевидно, що вирази x + 4, x-2 і (x + 4) 13 на області допустимих значень змінної x можуть приймати як позитивні, так і негативні значення. Тому нам доведеться діяти через модулі.

Властивості модуля дозволяють переписати як, тому

Також ніщо не заважає скористатися властивістю логарифма ступеня, після чого привести подібні доданки:

До такого ж результату приводить і інша послідовність перетворень:

і так як на ОДЗ вираз x-2 може приймати як позитивні, так і негативні значення, то при винесенні парного показника ступеня 14

Придністровський державний університет

ім. Т.Г. Шевченко

Фізико-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

і методики викладання математики

КУРСОВА РОБОТА

«Чи тотожні перетворення

показових і логарифмічних

виразів »

Роботу виконала:

студентка _______ групи

фізико-математичного ф-ту

_________________________

Роботу перевірила:

_________________________

Тирасполь, 2003р.

Введение .............................................................................. 2

Глава 1. Тотожні перетворення і методика викладання в шкільному курсі алгебри і початки аналізу……………………………………..4

§1. Формування навичок застосування конкретних видів перетворень ....................................................................................... .4

§2. Особливості організації системи знань при вивченні тотожних перетворень. ....... ............................... ......... .. ............ .5

§3. Програма з математики ............................................. .11

Глава 2. Тотожні перетворення і обчислення показових і логарифмічних виразів……………………………...…………………13

§1. Узагальнення поняття ступеня .......................................... ..13

§2. Показова функція ................................................ ..15

§3. Логарифмічна функція ............................................. .16

Глава 3. Тотожні перетворення показових і логарифмічних виразів на практиці..........................................................................19

Висновок ........................................................................ ..24

Список використаної літератури .......................................... .25
Вступ

У цій роботі буде розглянуто тотожні перетворення показовою і логарифмічною функції, розглянута методика викладання їх в шкільному курсі алгебри і початки аналізу.

Перший розділ даної роботи описує методику викладання тотожних перетворень в шкільному курсі математики, так само включає програму з математики в курсі «Алгебри і початки аналізу» з вивченням показовою і логарифмічною функції.

Другий розділ розглядає безпосередньо саму показову і логарифмічну функції, їх основні властивості, які використовуються при тотожних перетвореннях.

Третя глава - рішення прикладів і завдань з використанням тотожних перетворень показовою і логарифмічною функції.

Вивчення різних перетворень виразів і формул займає значну частину навчального часу в курсі шкільної математики. Найпростіші перетворення, які спираються на властивості арифметичних операцій, виробляються вже в початковій школі і в IV-V класах. Але основне навантаження по формуванню умінь і навичок виконання перетворень несе на собі курс шкільної алгебри. Це пов'язано як з різким збільшенням числа і різноманітності здійснюваних перетворень, так і з ускладненням діяльності по їх обгрунтуванню і з'ясування умов застосовності, з виділенням і вивченням узагальнених понять тотожності, тотожного перетворення, еквівалентного перетворення, логічного слідування.

Культура виконання тотожних перетворень розвивається так само, як і культура обчислень, на основі міцних знань властивостей операцій над об'єктами (числами, векторами, многочленами і т. Д.) І алгоритмів їх виконання. Вона проявляється не тільки в умінні правильно обгрунтувати перетворення, але і в умінні знайти найкоротший шлях переходу від вихідного аналітичного виразу для вираження, найбільш відповідному мети перетворення, в умінні простежити за зміною області визначення аналітичних виразів в ланцюжку тотожних перетворень, в швидкості і безпомилковості виконання перетворень .

Забезпечення високої культури обчислень і тотожних перетворень представляє важливу проблему навчання математики. Однак ця проблема вирішується ще далеко не задовільно. Доказ цьому - статистичні дані органів народної освіти, в яких щорічно констатуються помилки і нераціональні прийоми обчислень і перетворень, яких припускаються учнями різних класів при виконанні контрольних робіт. Це підтверджується і відгуками вищих навчальних закладів про якість математичних знань і навичок абітурієнтів. Не можна не погодитися з висновками органів народної освіти та вищих навчальних закладів про те, що недостатньо високий рівень культури обчислень і тотожних перетворень в середній школі є наслідком формалізму в знаннях учнів, відриву теорії від практики.

Глава 1.

Тотожні перетворення і методика викладання

в шкільному курсі алгебри і початки аналізу.

§1. Формування навичок застосування

конкретних видів преобратання.

Система прийомів і правил проведення перетворень, використовувана на етапі почав алгебри, має дуже широку область додатків: вона використовується у вивченні всього курсу математики. Однак саме в силу своєї малої специфічності ця система потребує додаткових перетвореннях, які враховують особливості структури перетворюються виразів і властивості нововведених операцій і функцій. Освоєння відповідних видів перетворень починається з введення формул скороченого множення. Потім розглядаються перетворення, пов'язані з операцією піднесення до степеня, з різними класами елементарних функцій - показових, статечних, логарифмічних, тригонометричних. Кожен з цих типів перетворень проходить етап вивчення, на якому увага зосереджується на засвоєнні їх характерних особливостей.

У міру накопичення матеріалу з'являється можливість виділити і загальні риси всіх розглянутих перетворень і на цій основі ввести поняття тотожного і еквівалентного перетворень.

Слід звернути увагу на те, що поняття тотожного перетворення дається в шкільному курсі алгебри не в повній спільності, а тільки в застосуванні до виразів. Перетворення поділяються на два класи: тотожні перетворення - це перетворення виразів, і рівносильні - перетворення формул. У разі, коли виникає потреба у спрощенні однієї частини формули, в цій формулі виділяється вираз, яке і служить аргументом застосовуваного тотожного перетворення. Відповідний предикат при цьому вважається незмінним.

Що стосується організації цілісної системи перетворень(Синтез), То основна її мета полягає у формуванні гнучкого і потужного; апарату, придатного для використання в рішенні різноманітних навчальних завдань.

В курсі алгебри і початків аналізу цілісна система перетворень, в основних рисах вже сформована, продовжує поступово вдосконалюватися. До неї також додаються деякі нові види перетворень, проте вони лише збагачують її, розширюють її можливості, але не змінюють її структуру. Методика вивчення цих нових перетворень практично не відрізняється від застосовуваної в курсі алгебри.

§2. особливості організаціїсистеми завдань

при вивченні тотожних перетворень.

Основний принцип організації будь-якої системи завдань - пред'явлення їх від простого до складного з огляду на необхідність подолання учнями посильних труднощів і створення проблемних ситуацій. Зазначений основний принцип вимагає конкретизації стосовно особливостей даного навчального матеріалу. Для опису різних систем завдань в методиці математики використовується поняття циклу вправ.Цикл вправ характеризується з'єднанням в послідовності вправ кількох аспектів вивчення і прийомів розташування матеріалу. По відношенню до тотожним перетворенням уявлення про цикл може бути дано наступним чином.

Цикл вправ пов'язаний з вивченням одного тотожності, навколо якого групуються інші тотожності, що знаходяться з ним в природному зв'язку. До складу циклу поряд з виконавчими входять завдання, що вимагають розпізнавання застосовності розглянутого тотожності. Досліджуване тотожність застосовується для проведення обчислень на різних числових областях. Враховується специфіка тотожності; зокрема, організовуються пов'язані з ним мовні звороти.

Завдання в кожному циклі розбиті на дві групи. До першої відносяться завдання, що виконуються при первинному знайомстві з тотожністю. Вони служать навчальним матеріалом для декількох йдуть підряд уроків, об'єднаних однією темою. Друга група вправ пов'язує досліджуване тотожність з різними додатками. Ця група не утворює композиційної єдності - вправи тут розкидані по різним темам.

Описана структура циклу відноситься до етапу формування навичок застосування конкретних видів перетворень. На заключному етапі - етапі синтезу цикли видозмінюються. По-перше, об'єднуються обидві групи завдань, що утворюють «розгорнутий» цикл, причому з першої групи виключаються найбільш прості з формулювань або за складністю виконання завдання. Решта типи завдань ускладнюються. По-друге, відбувається злиття циклів, що відносяться до різних тотожностям, в силу чого підвищується роль дій по розпізнаванню застосовності того чи іншого тотожності.

Відзначимо особливості циклів завдань, пов'язаних з тотожністю для елементарних функцій. Ці особливості обумовлені тим, що, по-перше, відповідні тотожності вивчаються в зв'язку з вивченням функціонального матеріалу і, по-друге, вони з'являються пізніше тотожностей першої групи і вивчаються з використанням вже сформованих навичок проведення тотожних перетворень.

Кожна знову вводиться елементарна функція різко розширює область чисел, які можуть бути позначені і названі індивідуально. Тому в першу групу завдань циклів повинні увійти завдання на встановлення зв'язку цих нових числових областей з вихідної областю раціональних чисел. Наведемо приклади таких завдань.

приклад 1 . обчислити:

Поруч з кожним виразом зазначено тотожність, в циклах за якими можуть бути присутніми запропоновані завдання. Мета таких завдань - в освоєнні особливостей записів, що включають символи нових операцій і функцій, і в розвитку навичок математичної мови.

Значна частина використання тотожних перетворень, пов'язаних з елементарними функціями, доводиться на рішення ірраціональних і трансцендентних рівнянь. В цикли, які стосуються засвоєнню тотожностей, входять тільки найбільш прості рівняння, але вже тут доцільно проводити роботу по засвоєнню прийому рішення таких рівнянь: зведення його шляхом заміни невідомого до рівнянню алгебри.

Послідовність кроків при цьому способі рішення така:

а) знайти функцію, для якої дане рівняння можна подати у вигляді;

б) провести підстановку і вирішити рівняння;

в) вирішити кожне з рівнянь, де - безліч коренів рівняння.

При використанні описаного способу найчастіше крок б) виконується в неявному вигляді, без введення позначення для. Крім того, учні часто вважають за краще з різних шляхів, що ведуть до знаходження відповіді, вибирати той, який швидше і простіше призводить до рівнянню алгебри.

приклад 2 . Розв'язати рівняння .

Перший спосіб:

Другий спосіб:

Тут видно, що при першому способі крок а) складніше, ніж при другому. Першим способом «важче почати», хоча подальший хід вирішення значно простіше. З іншого боку, у другого способу є переваги, що складаються в більшій легкості, більшою отработанности в навчанні відомості до рівнянню алгебри.

Для шкільного курсу алгебри типові завдання, в яких перехід до рівнянню алгебри здійснюється навіть ще простіше, ніж в даному прикладі. Основне навантаження таких завдань відноситься до виділення кроку в) як самостійної частини процесу рішення, пов'язаного з використанням властивостей досліджуваної елементарної функції.

приклад 3 . Розв'язати рівняння:

Ці рівняння зводяться до рівнянь: а) або; б) або. Для вирішення цих рівнянь потрібно знання лише найпростіших фактів про показовою функції: її монотонність, область значень. Як і завдання попереднього прикладу, рівняння а) і б) можна віднести до першої групи циклу вправ на рішення квадратно-показових рівнянь.

Таким чином, приходимо до класифікації завдань в циклах, що відносяться до вирішення трансцендентних рівнянь, що включають показову функцію:

1) рівняння, що зводяться до рівнянь виду і мають простий, загальний по формі відповідь:;

2) рівняння, що зводяться до рівнянь, де - ціле число, або, де;

3) рівняння, що зводяться до рівнянь і вимагають явного аналізу форми, в якій записано число .

Аналогічно можна класифікувати завдання і для інших елементарних функцій.

Значна частина тотожності, що вивчаються в курсах алгебри і алгебри і початків аналізу, доводиться в них або, принаймні, пояснюється. Ця сторона вивчення тотожностей має велике значення для обох курсів, оскільки доказові міркування в них з найбільшою чіткістю і строгістю проводяться саме по відношенню до тотожностям. За межами цього матеріалу докази зазвичай менш повні, вони не завжди виділяються зі складу застосовуваних засобів обґрунтування.

В якості опори, на якій будуються докази тотожностей, використовуються властивості арифметичних операцій.

Виховний вплив обчислень і тотожних перетворень може бути, направлено на розвиток логічного мислення, якщо тільки від учнів будуть систематично турбуватися обгрунтування обчислень і тотожних перетворень, на розвиток функціонального мислення, що досягається різними шляхами. Цілком очевидно значення обчислень і тотожних перетворень у розвитку волі, пам'яті, кмітливості, самоконтролю, творчої ініціативи.

Запити побутової, виробничої обчислювальної практики вимагають формування в учнів міцних, автоматизованих навичок раціональних обчислень і тотожних перетворень. Ці навички виробляються в процесі будь-якої обчислювальної роботи, проте, необхідні спеціальні тренувальні вправи в швидких обчисленнях і перетвореннях.

Так, якщо на уроці передбачається рішення логарифмічних рівнянь з використанням основного логарифмічного тотожності, то корисно в план уроку включити усні вправи на спрощення або обчислення значень виразів:,,. Мета вправ завжди повідомляється учням. В ході виконання вправи може виникнути необхідність вимагати від учнів обгрунтувань окремих перетворень, дій або рішення всієї задачі, навіть якщо це не планувалося. Там, де можливі різні способи вирішення завдання, бажано завжди ставити питання: «Яким способом вирішувалося завдання?», «Хто вирішив задачу іншим способом?»

Поняття тотожності і тотожного перетворення, вони явно вводяться в курсі алгебри VI класу. Саме визначення тотожних виразів не може бути практично використана для доказу тотожності двох виразів, і зрозуміти, що сутність тотожних перетворень полягає в застосуванні до вираження визначень і властивостей тих дій, які вказані в вираженні, або в додатку до нього вираження, тотожне рівного 0, або в множенні його на вираз, тотожно дорівнює одиниці. Але, навіть засвоївши ці положення, учні часто не розуміють, чому зазначені перетворення дозволяють стверджувати, що поточна й отримане вираз тотожні, тобто приймають однакові значення при будь-яких системах (наборах) значень змінних.

Важливо так само домогтися, щоб учні добре розуміли, що такі висновки тотожних перетворень, є наслідками визначень і властивостей відповідних дій.

Апарат тотожних перетворень, накопичений у попередні роки, в VI класі розширюється. Це розширення починається введенням тотожності, що виражає властивість твори ступенів з підставами:, де, - цілі числа.

§3. Програма з математики.

У шкільному курсі «Алгебра і початки аналізу» учні систематично вивчають показову і логарифмічну функції і їх властивості, тотожні перетворення логарифмічних і показових виразів і їх застосування до вирішення відповідних рівнянь і нерівностей, знайомляться з основними поняттями, твердженнями.

В XI класі на уроки алгебри йде по 3 години в тиждень, всього виходить 102 години на рік. На вивчення показовою, логарифмічною і статечної функції за програмою йде 36 годин.

У програму входить розгляд і вивчення наступних питань:

Поняття про ступінь з раціональним показником. Рішення ірраціональних рівнянь. Показова функція, її властивості і графік. тотожні перетворення показових виразів. Рішення показових рівнянь і нерівностей. Логарифм числа. Основні властивості логарифмів. Логарифмічна функція, її властивості і графік. Рішення логарифмічних рівнянь і нерівностей. Похідна показовою функції. Число і натуральний логарифм. Похідна статечної функції.

Основною метою розділу вивчення показовою і логарифмічною функції є ознайомлення учнів з показовою, логарифмічною і статечної функцією; навчити учнів вирішувати показові і логарифмічні рівняння і нерівності.

Поняття кореня го ступеня і ступеня з раціональним показником є \u200b\u200bузагальненням понять квадратного кореня і ступеня з цілим показником. Слід звернути увагу учнів, що розглядаються тут властивості коренів і ступенів з раціональним показником аналогічні тим властивостям, якими володіють вивчені раніше квадратного кореня і ступеня з цілими показниками. Необхідно приділити достатньо часу відпрацювання властивостей ступенів і формуванню навичок тотожних перетворень. Поняття ступеня з ірраціональним показником вводиться на наочно-інтуїтивній основі. Цей матеріал відіграє допоміжну роль і використовується при введенні показовою функції.

Вивчення властивостей показовою, логарифмічною і статечної функції побудовано відповідно до прийнятої загальної схемою дослідження функцій. При цьому огляд властивостей дається в залежності від значень параметрів. Показові і логарифмічні нерівності вирішуються з опорою на вивчені властивості функцій.

Характерною особливістю курсу є систематизація та узагальнення знань учнів, закріплення і розвиток умінь і навичок, отриманих в курсі алгебри, що здійснюється як при вивченні нового матеріалу, так і при проведенні узагальнюючого повторення.
Глава 2.

Тотожні перетворення і обчислення

показових і логарифмічних виразів

§1. Узагальнення поняття ступеня.

визначення:Коренем-го ступеня з чиста називається таке число, -я ступінь якого дорівнює.

Згідно з цим визначенням корінь-го ступеня з числа - це рішення рівняння. Число коренів цього рівняння залежить від і. Розглянемо функцію. Як відомо, на проміжку ця функція при будь-якому зростає і приймає всі значення з проміжку. По теоремі про корені рівняння для будь-якого має невід'ємні корінь і при тому тільки один. Його називають арифметичним коренем-го ступеня з числа і позначають; число називають показником кореня, А саме число - подкоренное виразом. Знак називають так само радикалом.

визначення: Арифметичним коренем-го ступеня з числа називають невід'ємне число, -я ступінь якого дорівнює.

При парних функція парна. Звідси випливає, що якщо, то рівняння, крім кореня, має також корінь. Якщо, то корінь один:; якщо, то це рівняння коренів не має, оскільки парна ступінь будь-якого числа неотрицательна.

При непарних значеннях функція зростає на всій числовій прямій; її область значень - безліч всіх дійсних чисел. Застосовуючи теорему про корінь, знаходимо, що рівняння має один корінь при будь-якому і, зокрема, при. Цей корінь для будь-якого значення позначають.

Для коренів непарного степеня справедливо рівність. Справді,, тобто число - є корінь -го степеня з. Але такий корінь при непарному єдиний. Отже,.

Зауваження 1: Для будь-якого дійсного

Нагадаємо відомі властивості арифметичних коренів го ступеня.

Для будь-якого натурального, цілого і будь-яких невід'ємних цілих чисел і справедливі рівності:

Ступінь з раціональним показником.

Вираз визначено для всіх і, крім випадку при. Нагадаємо властивості таких ступенів.

Для будь-яких чисел, і будь-яких цілих чисел і справедливі рівності:

Відзначимо так само, що якщо, то при і при.

визначення: Ступенем числа з раціональним показником, де - ціле число, а - натуральне, називається число.

Отже, за визначенням.

При сформульованому визначенні ступеня з раціональним показником зберігаються основні властивості ступенів, вірні для будь-яких показників (різниця полягає в тому, що властивості вірні тільки для позитивних підстав).

§2. Показова функція.

визначення: Функція, задана формулою (де,), називається показовою функцією з повним правом.

Сформулюємо основні властивості показовою функції.

Графік функції (рис. 1)

Ці формули називають основними властивостями ступенів.

Можна так само відзначити, що функція неперервна на множині дійсних чисел.

§3. Логарифмічна функція.

визначення: логарифмом числа за основою називається показник ступеня, в яку потрібно звести підставу. Що б отримати число.

Формулу (де, і) називають основним логарифмическим тотожністю.

При роботі з логарифмами застосовуються такі їх властивості, що випливають з властивостей показовою функції:

при будь-якому( ) і будь-яких позитивних і виконані рівності:

5. для будь-якого дійсного.

Основні властивості логарифмів широко застосовуються в ході перетворення виразів, що містять логарифми. Наприклад, часто використовується формула переходу від однієї підстави логарифма до іншого:.

Нехай - позитивне число, не рівне 1.

визначення: Функцію, задану формулою називають логарифмічною функцією з повним правом.

Перелічимо основні властивості логарифмічної функції.

1. Область визначення логарифмічної функції - безліч всіх позитивних чисел, тобто .

2. Область значень логарифмічної функції - безліч всіх дійсних чисел.

3. Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (за наявності) або убуває (при).

Графік функції (рис. 2)

Графіки показовою і логарифмічною функцій, мають однакове підставу, симетричні відносно прямої (Рис. 3).

Глава 3.

Тотожні перетворення показових і

логарифмічних виразів на практиці.

Завдання 1.

Обчисліть:

Рішення:

відповідь:; ; ; ; .; , Отримуємо, що

Розглянула методи формування навичок у учнів при вивченні даного матеріалу. Так само представила програму з математики вивчення курсу показовою і логарифмічною функції в курсі «Алгебри і початки аналізу».

У роботі були приведені завдання, різні за складністю і за змістом, з використанням тотожних перетворень. Дані завдання можуть бути використані для проведення контрольних або самостійних робіт перевірки знань учнів.

Курсова робота, на мою думку, виконана в рамках методики викладання математики в середньо освітніх установах і може бути використана як наочний посібник для вчителів шкіл, а так само для студентів денного і заочного відділень.

Список використаної літератури:

Алгебра і початки аналізу. Під ред. Колмогорова А.М. М .: Просвещение, 1991 р.
Програма для загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв. Математика 5-11 кл. М .: Дрофа, 2002 р.
І.Ф. Шаригін, В.І. Голубєв. Факультативний курс з математики (рішення задач). Уч. посібник для 11 кл. М .: Просвещение, 1991 р.
В.А. Оганесян та ін. Методика викладання математики в середній школі: Загальна методика; Навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету педагогічних інститутів. -2-е видання перероблено і дополнено.М .: Просвещение, 1980р.
Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика викладання математики в середній школі. М .: Просвещение, 1985 р.
Журнал "Математика в школі".

ВІДКРИТИЙ УРОК з алгебри В 11 «б» КЛАСІ

ТЕМА УРОКА

«ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИСЛОВІВ,

ЩО МІСТЯТЬ логарифм »

Мета уроку:

повторити визначення логарифма числа, основне логарифмічна тотожність;

закріпити основні властивості логарифмів;

посилити практичну спрямованість даної теми для якісної підготовки до ЕНТ;

сприяти міцному засвоєнню матеріалу;

сприяти розвитку в учнів навичок самоконтролю.

Тип уроку: комбінований з використанням інтерактивного тесту.

Обладнання: проектор, екран, плакати із завданнями, лист відповідей.

План уроку:

Організаційний момент.

Актуалізація знань.

Інтерактивний тест.

«Турнір з логарифмами»

Рішення задач за підручником.

Підведення підсумків. Заповнення листа відповідей.

Виставляння оцінок.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Визначення цілей уроку.

Привіт, хлопці! Сьогодні у нас незвичайний урок, урок - гра, який ми проведемо у вигляді турніру з логарифмами.

Почнемо урок з інтерактивного тесту.

3. Інтерактивний тест:

4. Турнір з логарифмами:

Визначення логарифма.

Логарифмічні тотожності:

Спростіть:

Знайдіть значення виразу:

властивості логарифмів .

перетворення:

Робота з підручником.

Підведення підсумків.

Учні заповнюють самостійно лист відповідей.

Ставлять оцінки за кожен свою відповідь.

Виставляння оцінок. Домашнє завдання. Додаток 1.

Ви сьогодні занурилися в логарифми,

Безпомилково їх треба обчислювати.

На іспиті, звичайно, ви їх зустрінете,

Залишається вам успіхів побажати!

I варіант

а) 9 ½ \u003d 3; б) 7 0 =1.

а)log8 \u003d 6; б)log9=-2.

а) 1,7 log 1,7 2 ; б) 2 log 2 5 .

4. Обчислити:

а) Lg8 + lg125;

б) log 2 7-log 2 7/16

в)log 3 16 / log 3 4.

II варіант

1. Знайти логарифм за основою а числа, представленого у вигляді ступеня з основою а:

а) 32 1/5 \u003d 2; б) 3 -1 =1/3.

2. Перевірте справедливість рівності:

а)log27 \u003d -6; б)log 0,5 4=-2.

3. Спростити вираз, користуючись основними логарифмічними тотожністю:

а) 5 1+ log 5 3 ; б) 10 1- lg 2

4. Обчислити:

а) log 12 4 + log 12 36;

б) Lg13-lg130;

в) (Lg8 + lg18) / (2lg2 + lg3).

III варіант

1. Знайти логарифм за основою а числа, представленого у вигляді ступеня з основою а:

а) 27 2/3 \u003d 9; б) 32 3/5 =8.

2. Перевірте справедливість рівності:

а)log 2 128=;

б)log 0,2 0,008=3.

3. Спростити вираз, користуючись основними логарифмічними тотожністю:

а) 4 2 log 4 3 ;

б) 5 -3 log 5 1/2 .

4. Обчислити:

а) log 6 12 + log 6 18;

б) log 7 14-log 7 6 + log 7 21;

в) (log 7 3/ log 7 13)∙ log 3 169.

IV варіант

1. Знайти логарифм за основою а числа, представленого у вигляді ступеня з основою а:

а) 81 3/4 \u003d 27; б) 125 2/3 =25.

2. Перевірте справедливість рівності:

а)log √5 0,2=-2;

б)log 0,2 125=-3.

3. Спростити вираз, користуючись основними логарифмічними тотожністю:

а) (1/2) 4 log 1/2 3 ;

б) 6 -2 log 6 5 .

4. Обчислити:

а) log 14 42-log 14 3;

б) log 2 20-log 2 25 + log 2 80;

в) log 7 48/ log 7 4- 0,5 log 2 3.

Зараз ми поглянемо на перетворення виразів, що містять логарифми, з загальних позицій. Тут ми розберемо не тільки перетворення виразів з використанням властивостей логарифмів, а розглянемо перетворення виразів з логарифмами загального вигляду, які містять не тільки логарифми, а й ступеня, дробу, коріння і т.д. Весь матеріал зазвичай будемо постачати характерними прикладами з детальними описами рішень.

Навігація по сторінці.

Вирази з логарифмами і логарифмічні вирази

Виконання дій з дробами

У попередньому пункті ми розібрали основні перетворення, які проводяться з окремими дробом, що містять логарифми. Ці перетворення, природно, можна проводити з кожною окремою дробом, що є частиною більш складного вираження, наприклад, що представляє собою суму, різниця, добуток і частку подібних дробів. Але крім роботи з окремими дробом, перетворення виразів зазначеного виду часто має на увазі виконання відповідних дій з дробами. Далі ми розглянемо правила, за якими ці дії проводяться.

Ще з 5-6 класів нам відомі правила, за якими виконуються. у статті загальний погляд на дії з дробами ми поширили ці правила з звичайних дробів на дроби загального вигляду A / B, де A і B - деякі числові, літерні вирази або вирази зі змінними, причому B тотожне не дорівнює нулю. Зрозуміло, що дроби з логарифмами є окремими випадками дробів загального вигляду. І в зв'язку з цим зрозуміло, що дії з дробами, які містять в своїх записах логарифми, проводяться за тими ж правилами. А саме:

Щоб скласти або відняти два дроби з однаковими знаменниками, треба відповідно скласти або відняти числители, а знаменник залишити колишнім.
Щоб скласти або відняти два дроби з різними знаменниками, треба привести їх до спільного знаменника і виконати відповідні дії за попереднім правилом.
Щоб помножити два дроби, треба записати дріб, чисельником якої є твір числителей вихідних дробів, а знаменником - твір знаменників.
Щоб розділити дріб на дріб, треба подільну дріб помножити на дріб, зворотний дільнику, тобто, на дріб, з переставленими місцями чисельником і знаменником.

Наведемо кілька прикладів на виконання дій з дробами, що містять логарифми.

Приклад.

Виконайте дії з дробами, що містять логарифми: а), б) , В) , Г) .

Рішення.

а) Знаменники складаються дробів, очевидно, однакові. Тому, згідно з правилом додавання дробів з однаковими знаменниками складаємо числители, а знаменник залишаємо колишнім: .

б) Тут знаменники різні. Тому, спочатку потрібно привести дроби до однакового знаменника. У нашому випадку знаменники вже представлені у вигляді творів, і нам залишається взяти знаменник першого дробу і додати до нього відсутні множники з знаменника другого дробу. Так ми отримаємо спільний знаменник виду . При цьому до спільного знаменника віднімаються дробу наводяться за допомогою додаткових множників у вигляді логарифма і вирази x 2 · (x + 1) відповідно. Після цього залишиться виконати віднімання дробів з однаковими знаменниками, що не представляє складнощів.

Отже, рішення таке:

в) Відомо, що результатом множення дробів є дріб, чисельник якого є твір числителей, а знаменник - добуток знаменників, тому

Нескладно помітити, що можна провести скорочення дробу на двійку і на десятковий логарифм, в результаті маємо .

г) Переходимо від ділення дробів до множення, замінюючи дріб-дільник зворотного їй дробом. так

Чисельник отриманої дроби можна представити у вигляді , З якого явно видно загальний множник чисельника і знаменника - множник x, на нього можна скоротити дріб:

відповідь:

а), б) , В) , Г) .

Слід пам'ятати, що дії з дробами проводяться з урахуванням порядку виконання дій: спочатку множення і ділення, потім додавання і віднімання, а якщо є дужки, то спочатку проводяться дії в дужках.

Приклад.

Виконайте дії з дробами .

Рішення.

Спочатку виконуємо додавання дробів в дужках, після чого будемо проводити множення:

відповідь:

У цьому пункті залишається промовити вголос три досить очевидних, але в той же час важливих моменти:

Перетворення виразів з використанням властивостей логарифмів

Найбільш часто перетворення виразів з логарифмами має на увазі використання тотожностей, що виражають визначення логарифма і

У задачі B7 дається деякий вираз, яке має бути спрощена. В результаті має вийти звичайне число, яке можна записати в бланку відповідей. Всі вирази умовно діляться на три типи:

логарифмічні,
показові,
Комбіновані.

Показові і логарифмічні вирази в чистому вигляді практично не зустрічаються. Однак знати, як вони обчислюються, абсолютно необхідно.

В цілому, завдання B7 вирішується досить просто і цілком під силу середньому випускнику. Відсутність чітких алгоритмів компенсується в ній стандартностью і одноманітністю. Навчитися вирішувати такі завдання можна просто за рахунок великої кількості тренувань.

логарифмічні вирази

Переважна більшість завдань B7 містять логарифми в тому чи іншому вигляді. Ця тема традиційно вважається складною, оскільки її вивчення доводиться, як правило, на 11 клас - епоху масової підготовки до випускних іспитів. В результаті багато випускників мають дуже туманне уявлення про логарифми.

Але в цьому завданні ніхто і не вимагає глибоких теоретичних знань. Нам будуть зустрічатися лише найпростіші вирази, які вимагають нехитрих міркувань і цілком можуть бути освоєні самостійно. Нижче наведені основні формули, які треба знати, щоб впоратися з логарифмами:

Крім того, треба вміти замінювати коріння і дробу на ступеня з раціональним показником, інакше в деяких висловах виносити з під знака логарифма буде просто нічого. Формули заміни:

Завдання. Знайти значення виразів:
log 6 270 - log 6 7,5
log 5 775 - log 5 6,2

Перші два вирази перетворюються як різниця логарифмів:
log 6 270 - log 6 7,5 \u003d log 6 (270: 7,5) \u003d log 6 36 \u003d 2;
log 5 775 - log 5 6,2 \u003d log 5 (775: 6,2) \u003d log 5 125 \u003d 3.

Для обчислення третього вираження доведеться виділяти ступеня - як в підставі, так і в аргументі. Для початку знайдемо внутрішній логарифм:

Потім - зовнішній:

Конструкції виду log a log b x багатьом здаються складними і незрозумілими. А між тим, це всього лише логарифм від логарифма, тобто log a (log b x). Спочатку обчислюється внутрішній логарифм (між іншим log b x \u003d c), а потім зовнішній: log a c.

показові вираження

Будемо називати показовим вираженням будь-яку конструкцію виду a k, де числа a і k - довільні постійні, причому a\u003e 0. Методи роботи з такими виразами досить прості і розглядаються під час уроків алгебри 8-го класу.

Нижче наведені основні формули, які обов'язково треба знати. Застосування цих формул на практиці, як правило, не викликає проблем.

a n · a m \u003d a n + m;
a n / a m \u003d a n - m;
(A n) m \u003d a n · m;
(A · b) n \u003d a n · b n;
(A: b) n \u003d a n: b n.

Якщо зустрілося складне вираз зі ступенями, і не зрозуміло, як до нього підступитися, використовують універсальний прийом - розкладання на прості множники. В результаті великі числа в підставах ступенів замінюються простими і зрозумілими елементами. Потім залишиться лише застосувати зазначені вище формули - і завдання буде вирішена.

Завдання. Знайти значення виразів 7 9 • 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Рішення. Розкладемо всі підстави ступенів на прості множники:
7 9 · 3 11: 21 8 \u003d 7 9 · 3 11: (7 · 3) 8 \u003d 7 9 · 3 11: (7 8 · 3 8) \u003d 7 9 · 3 11: 7 8: 3 8 \u003d 7 · 3 3 \u003d 189.
24 7: 3 6: 16, 5 \u003d (3 · 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 \u003d 3 7 · 2 21: 3 6: 2 20 \u003d 3 · 2 \u003d 6.
30 6: 6 5: 25 2 \u003d (5 · 3 · 2) 6: (3 · 2) 5: (5 2) 2 \u003d 5 6 · 3 6 · 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 \u003d 5 2 · 3 · 2 \u003d 150.

комбіновані завдання

Якщо знати формули, то все показові і логарифмічні вирази вирішуються буквально в один рядок. Однак в завданні B7 ступеня і логарифми можуть об'єднуватися, утворюючи досить неслабкі комбінації.