Множення натуральних чисел і його властивості. Твір (математика)
Якщо концертний зал висвітлюється 3 люстрами по 25 лампочок в кожній, то всього лампочок в цих люстрах буде 25 + 25 + 25, тобто 75.
Суму, в якій всі складові рівні один одному, записують коротше: замість 25 + 25 + 25 пишуть 25 3. Значить, 25 3 \u003d 75 (рис. 43). Число 75 називають твором чисел 25 і 3, а числа 25 і 3 називають множителями.
Мал. 43. Твір чисел 25 і 3
Помножити число m на натуральне число n - значить знайти суму n доданків, кожне з яких дорівнює m.
Вираз m n і значення цього виразу називають твором чиселmіn. Числа, які перемножують називають множителями. Тобто m і n - множники.
Твори 7 4 і 4 7 дорівнюють одному і тому ж числу 28 (рис. 44).
Мал. 44. Твір 7 4 \u003d 4 7
1. Твір двох чисел не змінюється при перестановці множників.
переместітельним
a × b = b × a .
Твори (5 3) 2 \u003d 15 2 і 5 (3 +2) \u003d 5 6 мають одне і те ж значення 30. Значить, 5 (3 +2) \u003d (5 3) 2 (рис. 45).
Мал. 45. Твір (5 3) 2 \u003d 5 (3 2)
2. Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на першим множник, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.
Це властивість множення називають сочетательность. За допомогою букв його записують так:
а (b с) \u003d (аb с).
Сума n доданків, кожне з яких дорівнює 1, дорівнює n. Тому вірно рівність 1 n \u003d n.
Сума n доданків, кожне з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю. Тому вірно рівність 0 n \u003d 0.
Щоб переместительное властивість множення було вірно при n \u003d 1 і n \u003d 0, домовилися, що m 1 \u003d m і m 0 = 0.
Перед літерними множниками зазвичай не пишуть знак множення: замість 8 х пишуть 8 х, замість аb пишуть аb.
Опускають знак множення і перед дужками. Наприклад, замість 2 ( а +b) Пишуть 2 (А +b) , А замість ( х + 2) (у + 3) пишуть (х + 2) (у + 3).
замість ( ab) З пишуть abc.
Коли в записі твору немає дужок, множення виконують по порядку зліва направо.
Твори читають, називаючи кожен множник в родовому відмінку. наприклад:
1) 175 60 - твір ста сімдесяти п'яти і шістдесяти;
2) 80 (х +1 7) - твір р.п. р.п.
вісімдесяти і суми ікс і сімнадцяти
Вирішимо задачу.
Скільки тризначних чисел (рис. 46) можна скласти з цифр 2, 4, 6, 8, якщо цифри в запису числа не повторюються?
Рішення.
Першою цифрою числа може бути будь-яка з чотирьохданих цифр, другий - будь-яка з трьохінших, а третій - будь-яка з двохзалишилися. виходить:
Мал. 46. \u200b\u200bДо задачі про складання тризначних чисел
Всього з даних цифр можна скласти 4 3 2 \u003d 24 тризначних числа.
Вирішимо задачу.
За правління фірми входять 5 осіб. Зі свого складу правління має вибрати президента і віце-президента. Скількома способами це можна зробити?
Рішення.
Президентом фірми можна обрати одного з 5 осіб:
Президент:
Після того як президент обраний, віце-президентом можна вибрати будь-якого з чотирьох членів правління (рис. 47):
|
Мал. 47. До задачі про вибори
Значить, вибрати президента можна п'ятьма способами, і для кожного обраного президента чотирма способами можна вибрати віце-президента. отже, загальне число способів вибрати президента і віце-президента фірми одно 5 4 \u003d 20 (див. рис. 47).
Вирішимо ще завдання.
З села Анікєєва в село Большова ведуть чотири дороги, а з села Большова в село Виноградові - три дороги (рис. 48). Скількома способами можна дістатися з Анікєєва в Виноградові через село Большова?
Мал. 48. До задачі про дороги
Рішення.
Якщо з А в Б добиратися по 1-й дорозі, то продовжити шлях є три способи (рис. 49).
Мал. 49. Варіанти шляху
Точно так же розмірковуючи, отримуємо по три способи продовжити шлях, почавши добиратися і по 2-й, і по 3-й, і по 4-й дорозі. Значить, все виходить 4 3 \u003d 12 способів дістатися з Анікєєва в Виноградові.
Вирішимо ще одне завдання.
Сім'ї, що складається з бабусі, тата, мами, доньки і сина, подарували 5 різних чашок. Скількома способами можна розділити чашки між членами сім'ї?
Рішення. У першого члена сім'ї (наприклад, бабусі) є 5 варіантів вибору, у наступного (нехай це буде папа) залишається 4 варіанти вибору. Наступний (наприклад, мама) буде вибирати вже з 3 чашок, наступний - з двох, останній же отримує одну залишилася чашку. Покажемо ці способи на схемі (рис. 50).
Мал. 50. Схема до вирішення завдання
Отримали, що кожному вибору чашки бабусею відповідає чотири можливих вибору тата, тобто всього 5 4 способів. Після того як тато вибрав чашку, у мами є три варіанти вибору, у дочки - два, у сина - один, тобто всього 3 2 1 способів. Остаточно отримуємо, що для вирішення завдання треба знайти твір 5 4 3 2 1.
Зауважимо, що отримали твір всіх натуральних чисел від 1 до 5. Такі твори записують коротше:
5 4 3 2 1 \u003d 5! (Читають: «п'ять факторіал»).
Факторіал числа - твір всіх натуральних чисел від 1 до цього числа.
Отже, відповідь завдання: 5! \u003d 120, тобто чашки між членами сім'ї можна розподілити ста двадцятьма способами.
У цій статті ми розберемося, як виконується множення цілих чисел. Спочатку введемо терміни і позначення, а також з'ясуємо зміст множення двох цілих чисел. Після цього отримаємо правила множення двох цілих позитивних, цілих негативних і цілих чисел з різними знаками. При цьому будемо наводити приклади з детальним поясненням ходу рішення. Також торкнемося випадки множення цілих чисел, коли один з множників дорівнює одиниці або нулю. Далі ми навчимося виконувати перевірку отриманого результату множення. І, нарешті, поговоримо про примноження трьох, чотирьох і більшої кількості цілих чисел.
Навігація по сторінці.
Терміни і позначення
Для опису множення цілих чисел ми будемо використовувати такі ж терміни, за допомогою яких ми описували множення натуральних чисел. Нагадаємо їх.
Множимо цілі числа називаються множителями. Результат множення називається твором. Дія множення позначається знаком помножити виду «·». У деяких джерелах можна зустріти позначення множення знаками «*» або «×».
Множимо цілі числа a, b і результат їх множення c зручно записувати за допомогою рівності виду a · b \u003d c. У цьому записі ціле число a - це перший множник, ціле число b - другий множник, а число c - твір. виду a · b також будемо називати твором, як і значення цього виразу c.
Забігаючи наперед, зауважимо, що твір двох цілих чисел являє собою ціле число.
Сенс множення цілих чисел
Множення цілих позитивних чисел
Цілі позитивні числа - це натуральні числа, тому множення цілих позитивних чисел проводиться за всіма правилами множення натуральних чисел. Зрозуміло, що в результаті множення двох цілих позитивних чисел вийде ціле позитивне число (натуральне число). Розглянемо кілька прикладів.
Приклад.
Чому дорівнює добуток цілих позитивних чисел 127 і 5?
Рішення.
Перший множник 107 представимо у вигляді суми розрядних доданків, тобто, у вигляді 100 + 20 + 7. Після цього скористаємося правилом множення суми чисел на дане число: 127 · 5 \u003d (100 + 20 + 7) · 5 \u003d 100 · 5 + 20 · 5 + 7 · 5. Залишається лише закінчити обчислення: 100 · 5 + 20 · 5 + 7 · 5 \u003d 500 + 100 + 35 \u003d 600 + 35 \u003d 635.
Таким чином, твір даних цілих позитивних чисел 127 і 5 одно 635.
відповідь:
127 · 5 \u003d 635.
Для множення багатозначних цілих позитивних чисел зручно використовувати метод множення стовпчиком.
Приклад.
Помножте тризначне ціле позитивне число 712 на двозначне ціле позитивне число 92.
Рішення.
Виконаємо множення даних цілих позитивних чисел в стовпчик: 
відповідь:
712 · 92 \u003d 65 504.
Правило множення цілих чисел з різними знаками, приклади
Сформулювати правило множення цілих чисел з різними знаками нам допоможе наступний приклад.
Обчислимо твір цілого негативного числа -5 і цілого позитивного числа 3 на підставі сенсу множення. так (-5) · 3 \u003d (- 5) + (- 5) + (- 5) \u003d - 15. Щоб збереглася справедливість переместітельного властивості множення, має виконуватися рівність (-5) · 3 \u003d 3 · (-5). Тобто, твір 3 · (-5) також дорівнює -15. Нескладно помітити, що -15 дорівнює добутку модулів вихідних множників, звідки випливає, що твір вихідних цілих чисел з різними знаками дорівнює добутку модулів вихідних множників, взятому зі знаком мінус.
Так ми отримали правило множення цілих чисел з різними знаками: Щоб перемножити два цілих числа з різними знаками, треба перемножити модулі цих чисел і перед отриманим числом поставити знак мінус.
З озвученого правила можна зробити висновок, що твір цілих чисел з різними знаками завжди є цілим негативним числом. Дійсно, в результаті множення модулів множників ми отримаємо ціле позитивне число, а якщо перед цим числом поставити знак мінус, то вона стане цілим негативним.
Розглянемо приклади обчислення добутку цілих чисел з різними знаками за допомогою отриманого правила.
Приклад.
Виконайте множення цілого позитивного числа 7 на ціле негативне число -14.
Рішення.
Скористаємося правилом множення цілих чисел з різними знаками. Модулі множників рівні відповідно 7 і 14. Обчислимо твір модулів: 7 · 14 \u003d 98. Залишилося перед отриманим числом поставити знак мінус: -98. Отже, 7 · (-14) \u003d - 98.
відповідь:
7 · (-14) \u003d - 98.
Приклад.
Обчисліть добуток (-36) · 29.
Рішення.
Нам потрібно обчислити добуток цілих чисел з різними знаками. Для цього обчислюємо твір абсолютних величин множників: 36 · 29 \u003d 1 044 (множення краще провести в стовпчик). Тепер ставимо знак мінус перед числом 1 044, отримуємо -1 044.
відповідь:
(-36) · 29 \u003d -1 044.
На закінчення цього пункту доведемо справедливість рівності a · (-b) \u003d - (a · b), де a і -b - довільні цілі числа. Окремим випадком цієї рівності є озвучена правило множення цілих чисел з різними знаками.
Іншими словами, нам потрібно довести, що значення виразів a · (-b) і a · b - протилежні числа. Щоб це довести, знайдемо суму a · (-b) + a · b і переконаємося, що вона дорівнює нулю. В силу розподільного властивості множення цілих чисел щодо складання справедливо рівність a · (-b) + a · b \u003d a · ((- b) + b). Сума (-b) + b дорівнює нулю як сума протилежних цілих чисел, тоді a · ((- b) + b) \u003d a · 0. Останній твір дорівнює нулю по властивості множення цілого числа на нуль. Таким чином, a · (-b) + a · b \u003d 0, отже, a · (-b) і a · b є протилежними числами, звідки випливає справедливість рівності a · (-b) \u003d - (a · b). Аналогічно можна показати, що (-a) · b \u003d - (a · b).
Правило множення негативних цілих чисел, приклади
Отримати правило множення двох цілих негативних чисел нам допоможе рівність (-a) · (-b) \u003d a · b, яке ми зараз доведемо.
В кінці попереднього пункту ми показали, що a · (-b) \u003d - (a · b) і (-a) · b \u003d - (a · b), тому ми можемо записати наступний ланцюжок рівностей (-A) · (-b) \u003d - (a · (-b)) \u003d - (- (a · b)). А отриманий вираз - (- (a · b)) є не що інше, як a · b в силу визначення протилежних чисел. Отже, (-a) · (-b) \u003d a · b.
Доведене рівність (-a) · (-b) \u003d a · b дозволяє сформулювати правило множення цілих негативних чисел: Твір двох негативних цілих чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.
З озвученого правила випливає, що результатом множення двох цілих негативних чисел є ціле позитивне число.
Розглянемо застосування цього правила при виконанні множення цілих негативних чисел.
Приклад.
Обчисліть добуток (-34) · (-2).
Рішення.
Нам потрібно перемножити два негативних цілих числа -34 і -2. Скористаємося відповідним правилом. Для цього знаходимо модулі множників: і. Залишилося обчислити добуток чисел 34 і 2, що ми вміємо робити. Коротко все рішення можна записати так (-34) · (-2) \u003d 34 · 2 \u003d 68.
відповідь:
(-34) · (-2) \u003d 68.
Приклад.
Виконайте множення цілого негативного числа -1 041 на ціле негативне число -538.
Рішення.
За правилом множення цілих негативних чисел шукане твір дорівнює добутку модулів множників. Модулі множників рівні відповідно 1 041 і 538. Виконаємо множення стовпчиком: 
відповідь:
(-1 041) · (-538) \u003d 560 058.
Множення цілого числа на одиницю
Множення будь-якого цілого числа a на одиницю дає в результаті число a. Про це ми вже згадували, коли обговорювали зміст множення двох цілих чисел. Так a · 1 \u003d a. В силу переместітельного властивості множення має бути справедливим рівність a · 1 \u003d 1 · a. Отже, 1 · a \u003d a.
Наведені міркування приводять нас до правила множення двох цілих чисел, одне з яких дорівнює одиниці. Твір двох цілих чисел, в якому одним із множників є одиниця, дорівнює іншому множнику.
Наприклад, 56 · 1 \u003d 56, 1 · 0 \u003d 0 і 1 · (-601) \u003d - 601. Наведемо ще кілька прикладів. Твір цілих чисел -53 і 1 одно -53, а результатом множення одиниці і негативного цілого числа -989 981 є число -989 981.
Множення цілого числа на нуль
Ми домовилися, що твір будь-якого цілого числа a на нуль дорівнює нулю, тобто, a · 0 \u003d 0. Переместительное властивість множення змушує нас прийняти і рівність 0 · a \u003d 0. Таким чином, твір двох цілих чисел, в якому хоча б один із множників є нулем, дорівнює нулю. Зокрема, результатом множення нуля на нуль є нуль: 0 · 0 \u003d 0.
Наведемо кілька прикладів. Твір цілого позитивного числа 803 і нуля дорівнює нулю; результатом множення нуля на ціле негативне число -51 є нуль; також (-90 733) · 0 \u003d 0.
Відзначимо також, що твір двох цілих чисел тоді і тільки тоді дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.
Перевірка результату множення цілих чисел
Перевірка результату множення двох цілих чисел здійснюється за допомогою ділення. Потрібно провести розподіл отриманого твори на один з множників, якщо при цьому вийде число, що дорівнює іншому множнику, то множення було виконано вірно. Якщо ж вийде число, відмінне від іншого доданка, то десь була допущена помилка.
Розглянемо приклади, в яких проводиться перевірка результату множення цілих чисел.
Приклад.
В результаті множення двох цілих чисел -5 і 21 було отримано число -115, чи правильно обчислено твір?
Рішення.
Виконаємо перевірку. Для цього розділимо обчислене твір -115 на один з множників, наприклад, на -5., Виконайте перевірку результату. (-17) · (-67) \u003d 1 139.
Множення трьох і більше цілих чисел
Сочетательное властивість множення цілих чисел дозволяє нам однозначно визначити твір трьох, чотирьох і більшої кількості цілих чисел. При цьому інші властивості множення цілих чисел дозволяють стверджувати, що твір трьох і більше цілих чисел не залежить від способу розстановки дужок і від порядку проходження множників у творі. Аналогічні твердження ми обґрунтували, коли говорили про примноження трьох і більшої кількості натуральних чисел. У разі цілих множників обгрунтування повністю збігається.
Розглянемо рішення прикладу.
Приклад.
Обчисліть добуток п'яти цілих чисел 5, -12, 1, -2 і 15.
Рішення.
Ми можемо послідовно зліва направо замінювати два сусідніх множника їх твором: 5 · (-12) · 1 · (-2) · 15 \u003d (-60) · 1 · (-2) · 15 \u003d (-60) · (-2 ) · 15 \u003d 120 · 15 \u003d 1 800. Цей варіант обчислення добутку відповідає наступного способу розстановки дужок: (((5 · (-12)) · 1) · (-2)) · 15.
Також ми могли переставити деякі множники місцями і розставити дужки інакше, якщо це дозволяє провести обчислення добутку даних п'яти цілих чисел раціональніше. Наприклад, можна було переставити множники в наступному порядку 1 · 5 · (-12) · (-2) · 15, після чого розставити дужки так ((1 · 5) · (-12)) · ((- 2) · 15). У цьому випадку обчислення будуть такими: ((1 · 5) · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (5 · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (-60) · (-30) \u003d 1 800.
Як бачите, різні варіанти розстановки дужок і різний порядок проходження множників привели нас до одного і того ж результату.
відповідь:
5 · (-12) · 1 · (-2) · 15 \u003d 1 800.
Окремо відзначимо, що якщо в творі трьох, чотирьох і т.д. цілих чисел хоча б один із множників дорівнює нулю, то добуток дорівнює нулю. Наприклад, твір чотирьох цілих чисел 5, -90 321, що 0 і 111 дорівнює нулю; результатом множення трьох цілих чисел 0, 0 і -1 983 також є нуль. Справедливо і зворотне твердження: якщо добуток дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю.
Розберемо поняття множення на прикладі:
Туристи знаходилися в дорозі три дні. Кожен день вони проходили однаковий шлях по 4200 м. Яка відстань вони пройшли за три дні? Вирішіть задачу двома способами.
Рішення:
Розглянемо задачу докладно.
У перший день туристи пройшли 4200м. По-друге день той же самий шлях пройшли туристи 4200м і в третій день - 4200м. Запишемо математичною мовою:
4200 + 4200 + 4200 \u003d 12600м.
Ми бачимо закономірність число 4200 повторюється три рази, отже, можна суму замінити множенням:
4200⋅3 \u003d 12600м.
Відповідь: туристи за три дні пройшли 12600 метрів.
Розглянемо приклад:
Щоб нам не писати довгу запис можна записати її у вигляді множення. Число 2 повторюється 11 разів тому приклад з множенням буде виглядати так:
2⋅11=22
Підведемо підсумок. Що таке множення?
множення- це дія заміняє повторення n раз доданка m.
Запис m⋅n і результат цього виразу називають твором чисел, А числа m і n називають множителями.
Розглянемо сказане на прикладі:
7⋅12=84
Вираз 7⋅12 і результат 84 називаються твором чисел.
Числа 7 і 12 називаються множителями.
У математиці є кілька законів множення. Розглянемо їх:
Переместітельний закон множення.
Розглянемо задачу:
Ми віддали по два яблука 5 своїм друзям. Математично запис буде виглядати так: 2⋅5.
Або ми віддали по 5 яблук двом своїм друзям. Математично запис буде виглядати так: 5⋅2.
У першому і другому випадком ми роздамо однакову кількість яблук дорівнює 10 штук.
Якщо ми помножимо 2⋅5 \u003d 10 і 5⋅2 \u003d 10, то результат не зміниться.
Властивість переместітельного закону множення:
Від зміни місць множників твір не змінюється.
m⋅
n\u003d n⋅m
Сполучний закон множення.
Розглянемо на прикладі:
(2⋅3) ⋅4 \u003d 6⋅4 \u003d 24 або 2⋅ (3⋅4) \u003d 2⋅12 \u003d 24 отримаємо,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅
b) ⋅
c=
a⋅(b⋅
c)
Властивість асоціативного закону множення:
Щоб число помножити на добуток двох чисел, можна його спочатку помножити на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий.
Змінюючи кілька множників місцями і укладаючи їх в дужки, результат або твір не зміниться.
Ці закони вірні для будь-яких натуральних чисел.
Множення будь-якого натурального числа на одиницю.
Розглянемо приклад:
7⋅1 \u003d 7 або 1⋅7 \u003d 7
a⋅1 \u003d a або 1⋅a=
a
При множенні будь-якого натурального числа на одиницю твором буде завжди теж число.
Множення будь-якого натурального числа на нуль.
6⋅0 \u003d 0 або 0⋅6 \u003d 0
a⋅0 \u003d 0 або 0⋅a=0
При множенні будь-якого натурального числа на нуль твір дорівнюватиме нулю.
Питання до теми "Множення":
Що таке твір чисел?
Відповідь: твором чисел або множення чисел називається вираз m⋅n, де m - доданок, а n - число повторень цього доданка.
Для чого потрібно множення?
Відповідь: щоб не писати довге складання чисел, а писати скорочено. Наприклад, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 3⋅6 \u003d 18
Що є результатом множення?
Відповідь: значення твору.
Що означає запис множення 3⋅5?
Відповідь: 3⋅5 \u003d 5 + 5 + 5 \u003d 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 15
Якщо помножити мільйон на нуль, чому дорівнюватиме твір?
Відповідь: 0
Приклад №1:
Замініть суму твором: а) 12 + 12 + 12 + 12 + 12 б) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Відповідь: а) 12⋅5 \u003d 60 б) 3⋅9 \u003d 27
Приклад №2:
Запишіть у вигляді добутку: а) а + а + а + а б) з + з + з + з + з + з + з
Рішення:
а) а + а + а + а \u003d 4⋅а
б) з + з + з + з + з + з + с \u003d 7⋅с
Завдання №1:
Мама купила 3 \u200b\u200bкоробки цукерок. У кожній коробці по 8 цукерок. Скільки цукерок купила мама?
Рішення:
В одній коробці 8 цукерок, а у нас таких коробок 3 штуки.
8 + 8 + 8 \u003d 8⋅3 \u003d 24 цукерки
Відповідь: 24 цукерки.
Завдання №2:
Вчителька малювання сказала приготувати своїм вісьмома учням по сім олівців на урок. Скільки всього олівців разом було у дітей?
Рішення:
Можна порахувати сумою завдання. У першого учня було 7 олівців, у другого учня було 7 олівців і т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запис вийшла незручна і довга, замінимо суму на твір.
7⋅8=56
Відповідь 56 олівців.
Для вирішення багатьох завдань "на максимум і мінімум", тобто на розвідку найбільшого і найменшого значень змінної величини, можна успішно користуватися деякими алгебраїчними твердженнями, з якими ми зараз познайомимося.
x · y
Розглянемо наступну задачу:
На які дві частини треба розбити дане число, щоб твір їх було найбільшим?
Нехай дане числоа. Тоді частині, на які розбито числоа, Можна позначити через
а / 2 + x і a / 2 - x;
число х показує, на яку величину ці частини відрізняються від половини числа а. Твір обох частин одно
( а / 2 + x) · ( a / 2 - x) \u003d A 2/4 - x 2.
Ясно, що твір взятих частин буде збільшуватися при зменшенні х, Тобто при зменшенні різниці між цими частинами. Найбільшим твір буде при x \u003d0, тобто в разі, коли обидві частини рівні a / 2.
Отже,
твір двох чисел, сума яких незмінна, буде найбільшим тоді, коли ці числа рівні між собою.
x · y · z
Розглянемо той же питання для трьох чисел.
На які три частини треба розбити дане число, щоб твір їх було найбільшим?
При вирішенні цього завдання будемо спиратися на попередню.
нехай число а розбите на три частини. Припустимо спочатку, що жодна з частин не дорівнює a / 3.Тоді серед них знайдеться частина, велика a / 3 (Всі три не можуть бути менше a / 3); позначимо її через
a / 3 + x.
Точно так же серед них знайдеться частина, менша a / 3; позначимо її через
a / 3 - y.
числа х і у позитивні. Третя частина буде, очевидно, дорівнює
a / 3 + y - x.
числа a / 3 і a / 3 + x - y мають ту ж суму, що і перші дві частини числа а, А різниця між ними, тобто х - y, Менше, ніж різниця між першими двома частинами, яка дорівнювала х + y. Як ми знаємо з рішення попередньої задачі, звідси випливає, що твір
a / 3 · ( a / 3 + x - y)
більше, ніж твір перших двох частин числа а.
Отже, якщо перші дві частини числа а замінити числами
a / 3 і a / 3 + x - y,
а третю залишити без зміни, то твір збільшиться.
Нехай тепер одна з частин вже дорівнює a / 3. Тоді дві інші мають вигляд
a / 3 + z і a / 3 - z.
Якщо ми ці дві останні частини зробимо рівними a / 3 (Від чого сума їх не зміниться), то твір знову збільшиться і стане рівним
a / 3 · a / 3 · a / 3 \u003d a 3/27 .
Отже,
якщо число а розбите на 3 частини, не рівні між собою, то твір цих частин менше ніж а 3/27, тобто ніж твір трьох рівних сомножителей, в сумі складових а.
Подібним же чином можна довести цю теорему і для чотирьох множників, для п'яти і т.д.
x p · y q
Розглянемо тепер більш загальний випадок.
При яких значеннях х і y вираз х p у q найбільше, якщо х + y \u003d а?
Треба знайти, при якому значенні х вираз
х р ·(а - х) q
досягає найбільшої величини.
Помножимо це вираз на число 1 / р p q q. Отримаємо новий вираз
x p / p p · (a - x ) q / q q,
яке, очевидно, досягає найбільшої величини тоді ж, коли і початкове.
Уявімо отримане зараз вираз у вигляді
(a - x) / Q · (a - x) / Q · ... · (a - x) / q ,
де множники першого виду повторюються p раз, а другого - q раз.
Сума всіх множників цього виразу дорівнює
x / p + x / p + ... + x / p + (a - x) / Q + (a - x) / Q + ... + (a - x) / q =
\u003d Px / p + q ( a - x) / Q \u003d x + a - x \u003d a ,
тобто величиною постійною.
На підставі раніше доведеного робимо висновок, що твір
x / p · x / p · ... · x / p · (a - x) / Q · (a - x) / Q · ... · (a - x) / q
досягає максимуму при рівності всіх його окремих множників, тобто коли
x / p \u003d (a - x) / q.
Знаючи, що а - х \u003d y, Отримуємо, переставивши члени, пропорцію
x / y \u003d p / q.
Отже,
твір х p y q при сталості суми х + у досягає найбільшої величини тоді, коли
x: y \u003d p: q.
Таким же чином можна довести, що
твори
x p y q z r, x p y q z r t u і т.п.
при сталості сум x + y + z, x + y + z + t і т.д. досягають найбільшої величини тоді, коли
х: у: z \u003d p: q: r, х: у: z: t \u003d p: q: r: u і т.д.
Однакових доданків. Наприклад, запис 5 * 3 позначає «5 скласти з собою 3 рази», тобто є просто коротким записом для 5 + 5 + 5. Результат множення називається твором, А множити числа - множителями або співмножники. Існують також таблиці множення.
запис
Множення позначається зірочкою *, хрестиком або крапкою. записи
означають одне і те ж. Знак множення часто пропускають, якщо це не призводить до плутанини. Наприклад, замість зазвичай пишуть.
Якщо сомножителей багато, то частина їх можна замінити трьома крапками. Наприклад, твір цілих чисел від 1 до 100 може бути записано як
У буквеної записи застосовується також символ твори: 
Див. також
Wikimedia Foundation. 2010 року.
Дивитися що таке "Твір (математика)" в інших словниках:
- (математика) результат множення. Витвір мистецтва. Музичний твір. Аудіовізуальний твір. Службовий твір ... Вікіпедія
Твір двох або більше об'єктів це узагальнення в теорії категорій таких понять, як декартовій твір множин, пряме твір груп і твір топологічних просторів. Твір сімейства об'єктів це в ... ... Вікіпедія
Твір Кронекера бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається. Результатом є блокова матриця. Твір Кронекера не слід плутати зі звичайним множенням матриць. Операція названа на честь німецького ... ... Вікіпедія
Історія науки По тематиці Математика Природні науки ... Вікіпедія
I. Визначення предмета математики, зв'язок з іншими науками і технікою. Математика (грец. Mathematike, від máthema знання, наука), наука про кількісні співвідношення і просторових формах дійсного світу. «Чистий ... Велика Радянська Енциклопедія
Теорія категорій розділ математики, що вивчає властивості відносин між математичними об'єктами, Які не залежать від внутрішньої структури об'єктів. Деякі математики [хто?] Вважають теорію категорій занадто абстрактної і непридатною для ... ... Вікіпедія
Вектор Цей термін має також інші значення див. Вектор ... Вікіпедія
Цей термін має також інші значення див. Функція. Запит «Відображення» перенаправляється сюди; см. також інші значення ... Вікіпедія
Цей термін має також інші значення див. Операція. Операція відображення, що ставить у відповідність одному або декільком елементам безлічі (аргументам) інший елемент (значення). Термін «операція» як правило застосовується до ... ... Вікіпедія
Цей термін має також інші значення див. Ротор. Ротор, або вихор векторний диференційний оператор над векторним полем. Позначається (в російськомовній літературі) або (в англомовній літературі), а також як векторне множення ... Вікіпедія
книги
- Комплект таблиць. Математика. 4 клас. 8 таблиць + методика,. Навчальний альбом з 8 аркушів (формат 68 х 98 см): - Частки. - Множення і ділення числа на добуток. - Додавання і віднімання величин. - Множення і ділення величин. - Письмове множення на ...
- Кирик Новгородець - російський вчений XII століття у вітчизняній книжковій культурі, Симонов Р.А .. Книга присвячена життю і діяльності першого відомого на ім'я російського математика і календареведа, новгородського ченця Кирика (1110 - після 1156), щодо який написав в 1136 р науковий трактат, ...
