Як знайти найменше спільне кратне, нок для двох і більше чисел. Найменше спільне кратне (НОК): визначення, приклади та властивості

Як знайти найменше спільне кратне?

Потрібно знайти кожен множник кожного з двох чисел, у яких знаходимо найменше спільне кратне, а потім перемножити один на одного множники, які збіглися у першого і другого числа. Результатом твори буде шукане кратне.

Наприклад у нас є числа 3 і 5 і нам треба знайти НОК (найменше спільне кратне). нам треба множити і трійку і пятрку на все числа починаючи з 1 2 3 ... і т д поки ми не побачимо однакове число і там і там.

Множимо трійку і отримуємо: 3, 6, 9, 12, 15

Множимо пятрку і отримуємо: 5, 10, 15

Метод розкладання на прості множники - самий класичний для знаходження найменшого спільного кратного (НОК) для декількох чисел. Наочно і просто продемонстрований цей метод в наступному відеоролику:

Складати, множити, ділити, приводити до спільного знаменника і інші арифметичні дії дуже захоплююче заняття, особливо захоплюють приклади, що займають цілий лист.

Отже знайти спільне кратне для двох чисел, яке буде найменшим числом на яке діляться два числа. Хочу зауважити, що не обов'язково надалі вдаватися до формул, щоб знайти шукане, якщо можеш рахувати в умі (а це можна натренувати), то цифри самі спливають в голові і потім дробу клацає як горішки.

Для початку засвоїмо, що можна помножити два числа один на одного, а потім цю цифру зменшувати і ділити по черзі на дані два числа, так ми знайдемо найменше кратне.

Наприклад, два числа 15 і 6. Множимо і отримуємо 90. Це явно більше число. Причому 15 ділиться на 3 і 6 ділиться на 3, значить 90 теж ділимо на 3. Отримуємо 30. Пробуємо 30 розділити 15 дорівнює 2. І 30 ділимо 6 дорівнює 5. Так як 2 це межа, то виходить, що найменше кратне для чисел 15 і 6 буде 30.

З цифрами побільше буде трохи важче. але якщо знати, які цифри дають нульовий залишок при діленні або множенні, то труднощів, в принципі, великих немає.

• Як знайти НОК

  Ось відео, в якому вам буде запропоновано два способи знаходження найменшого спільного кратного (НОК). Повправлявшись у використанні першого із запропонованих способів, ви зможете краще зрозуміти, що таке найменше спільне кратне.

Уявляю ещ один спосіб знаходження найменшого спільного кратного. Розглянемо його на наочному прикладі.

Необхідно знайти НОК відразу ТРХ чисел: 16, 20 і 28.

• Представляємо кожне число як добуток його простих множників:
• Записуємо ступеня всіх простих множників:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Вибираємо все прості подільники (множники) з найбільшими ступенями, перемножуємо їх і знаходимо НОК:

НОК \u003d 2 ^ 24 ^ 15 ^ 17 ^ 1 \u003d 4457 \u003d 560.

НОК (16, 20, 28) \u003d 560.

Таким чином, в результаті розрахунку вийшло число 560. Воно є найменшим спільним кратним, тобто ділиться на кожне з ТРХ чисел без залишку.

Найменше спільне кратне число - це така цифра, яка розділиться на кілька запропонованих чисел без залишку. Для того, щоб таку цифру вирахувати, треба взяти будь-яку кількість і розкласти його на прості множники. Ті цифри, які збігаються, прибираємо. Залишає всіх по одній, перемножуємо їх між собою по черзі і отримуємо шукане - найменше спільне кратне.

НОК, або найменше спільне кратне, - це найменше натуральне число двох і більше чисел, яке ділиться на кожне з даних чисел без залишку.

Ось приклад того, як знайти найменше спільне кратне 30 і 42.

• Насамперед потрібно розкласти дані числа на прості множники.

Для 30 - це 2 х 3 х 5.

Для 42 - це 2 х 3 х 7. Так як 2 і 3 є в розкладанні числа 30, то викреслюємо їх.

• Виписуємо множники, які входять в розкладання числа 30. Це 2 х 3 х 5.
• Тепер потрібно помножити їх на бракуючий множник, який маємо при розкладанні 42, а це 7. Отримуємо 2 х 3 х 5 х 7.
• Знаходимо, чому дорівнює 2 х 3 х 5 х 7 і отримуємо 210.

У підсумку отримуємо, що НОК чисел 30 і 42 дорівнює 210.

Щоб знайти найменше спільне кратне, Потрібно виконати послідовно кілька простих дій. Розглянемо це на прикладі двох чисел: 8 і 12

1. Розкладаємо обидва числа на прості множники: 8 \u003d 2 * 2 * 2 і 12 \u003d 3 * 2 * 2
2. Скорочуємо однакові множники у одного з чисел. У нашому випадку збігаються 2 * 2, скоротимо їх для числа 12, тоді у 12 залишиться один множник: 3.
3. Знаходимо твір всіх, хто лишився множників: 2 * 2 * 2 * 3 \u003d 24

Перевіряючи, переконуємося, що 24 ділиться і на 8 і на 12, причому це найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з цих чисел. Ось ми і знайшли найменше спільне кратне.

Спробую пояснити на прикладі цифр 6 і 8. Найменше спільне кратне - це число, яке можна розділити на ці числа (в нашому випадку 6 і 8) і останку не буде.

Отже, починаємо множити спочатку 6 на 1, 2, 3 і т. Д і 8 на 1, 2, 3 і т. Д.

Онлайн калькулятор дозволяє швидко знаходити найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне як для двох, так і для будь-якого іншого кількості чисел.

Калькулятор для знаходження НСД і НОК

Знайти НСД і НОК

Знайдено НОД і НОК: 5806

Як користуватися калькулятором

• Введіть числа в поле для введення
• У разі введення некоректних символів поле для введення буде підсвічено червоним
• натисніть кнопку "Знайти НСД і НОК"

Як вводити числа

• Числа вводяться через пробіл, крапку або кому
• Довжина вводяться чисел не обмежена, Так що знайти НСД і НОК довгих чисел не складе ніяких труднощів

Що таке НОД і НОК?

Найбільший спільний дільник декількох чисел - це найбільше натуральне ціле число, на яке всі вихідні числа діляться без залишку. Найбільший спільний дільник скорочено записується як НОД.
Найменше спільне кратне декількох чисел - це найменше число, яке ділиться на кожне з вихідних чисел без залишку. Найменше спільне кратне скорочено записується як НОК.

Як перевірити, що число ділиться на інше число без залишку?

Щоб дізнатися, чи ділиться одне число на інше без залишку, можна скористатися деякими властивостями подільності чисел. Тоді, комбінуючи їх, можна перевіряти подільність на деякі з них і їх комбінації.

Деякі ознаки подільності чисел

1. Ознака подільності числа на 2
Щоб визначити, чи ділиться число на два (чи є воно парним), досить подивитися на последнююю цифру цього числа: якщо вона дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8, то число парне, а значить ділиться на 2.
приклад: визначити, чи ділиться на 2 число 34938.
Рішення: дивимося на останню цифру: 8 - значить число ділиться на два.

2. Ознака подільності числа на 3
Число ділиться на 3 тоді, коли сума його цифр ділиться на три. Таким чином, щоб визначити, чи ділиться число на 3, треба порахувати суму чисел і перевірити, чи ділиться вона на 3. Навіть якщо сума цифр вийшла дуже великий, можна повторити цей же процес знову.
приклад: визначити, чи ділиться число 34938 на 3.
Рішення: вважаємо суму цифр: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 ділиться на 3, а значить і число ділиться на три.

3. Ознака подільності числа на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює нулю або п'яти.
приклад: визначити, чи ділиться число 34938 на 5.
Рішення: дивимося на останню цифру: 8 - значить число НЕ ділиться на п'ять.

4. Ознака подільності числа на 9
Ця ознака дуже схожий на ознака подільності на трійку: число ділиться на 9 тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.
приклад: визначити, чи ділиться число 34938 на 9.
Рішення: вважаємо суму цифр: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 ділиться на 9, а значить і число ділиться на дев'ять.

Як знайти НСД і НСК двох чисел

Як знайти НСД двох чисел

найбільш простим способом обчислення найбільшого загального дільника двох чисел є пошук всіх можливих дільників цих чисел і вибір найбільшого з них.

Розглянемо цей спосіб на прикладі знаходження НСД (28, 36):

1. Розкладаємо обидва числа на множники: 28 \u003d 1 · 2 · 2 · 7, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Знаходимо загальні множники, тобто ті, які є у обох чисел: 1, 2 і 2.
3. Обчислюємо твір цих множників: 1 · 2 · 2 \u003d 4 - це і є найбільший спільний дільник чисел 28 і 36.

Як знайти НСК двох чисел

Найбільш поширені два способи знаходження найменшого кратного двох чисел. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед них таке число, яке буде спільним для обох чисел і при цьому найменшому. А другий полягає в знаходженні НСД цих чисел. Розглянемо тільки його.

Для обчислення НОК потрібно обчислити добуток вихідних чисел і потім розділити його на попередньо знайдений НСД. Знайдемо НОК для тих же чисел 28 і 36:

1. Знаходимо твір чисел 28 і 36: 28 · 36 \u003d 1008
2. НСД (28, 36), як уже відомо, дорівнює 4
3. НОК (28, 36) \u003d 1008/4 \u003d 252.

Знаходження НОД і НОК для декількох чисел

Найбільший спільний дільник можна знаходити і для декількох чисел, а не тільки для двох. Для цього числа, що підлягають пошуку найбільшого загального дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять твір загальних простих множників цих чисел. Також для знаходження НСД кількох чисел можна скористатися наступним співвідношенням: НСД (a, b, c) \u003d НСД (НСД (a, b), c).

Аналогічне співвідношення діє і для найменшого спільного кратного чисел: НОК (a, b, c) \u003d НОК (НОК (a, b), c)

приклад: знайти НСД і НОК для чисел 12, 32 і 36.

1. Cперва розкладемо числа на множники: 12 \u003d 1 · 2 · 2 · 3, 32 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3.
2. Знайдемо обшіе множники: 1, 2 і 2.
3. Їх твір дасть НСД: 1 · 2 · 2 \u003d 4
4. Знайдемо тепер НОК: для цього знайдемо спочатку НОК (12, 32): 12 · 32/4 \u003d 96.
5. Щоб знайти НОК всіх трьох чисел, потрібно знайти НСД (96, 36): 96 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3, НОД \u003d 1 · 2 · 2 · 3 \u003d 12.
6. НОК (12, 32, 36) \u003d 96 · 36/12 \u003d 288.

Розглянемо три способи знаходження найменшого спільного кратного.

Знаходження шляхом розкладання на множники

Перший спосіб полягає в знаходженні найменшого спільного кратного шляхом розкладання даних чисел на прості множники.

Припустимо, нам потрібно знайти НОК чисел: 99, 30 і 28. Для цього розкладемо кожне з цих чисел на прості множники:

Щоб шукане число ділилося на 99, на 30 і на 28, необхідно і достатньо, щоб в нього входили всі прості множники цих подільників. Для цього нам необхідно взяти все прості множники цих чисел найбільшою зустрічається ступеня і перемножити їх між собою:

2 + 2 • 3 2 × 5 · 7 · 11 \u003d 13 860

Таким чином, НОК (99, 30, 28) \u003d 13 860. Ніяке інше число менше 13 860 не ділиться без остачі на 99, на 30 і на 28.

Щоб знайти найменше спільне кратне даних чисел, потрібно розкласти їх на прості множники, потім взяти кожен простий множник з найбільшим показником ступеня, з яким він зустрічається, і перемножити ці множники між собою.

Так як взаємно прості числа не мають спільних простих множників, то їх найменше спільне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, три числа: 20, 49 і 33 - взаємно прості. Тому

НОК (20, 49, 33) \u003d 20 · 49 · 33 \u003d 32 340.

Таким же чином треба діяти, коли відшукується найменше спільне кратне різних простих чисел. Наприклад, НОК (3, 7, 11) \u003d 3 · 7 · 11 \u003d 231.

Знаходження шляхом підбору

Другий спосіб полягає в знаходженні найменшого спільного кратного шляхом підбору.

Приклад 1. Коли найбільше з даних чисел ділиться без остачі на інші дані числа, то НОК цих чисел дорівнює більшому із них. Наприклад, дано чотири числа: 60, 30, 10 і 6. Кожне з них ділиться без остачі на 60, отже:

НОК (60, 30, 10, 6) \u003d 60

В інших випадках, щоб знайти найменше спільне кратне використовується наступний порядок дій:

1. Визначаємо найбільше число з даних чисел.
2. Далі знаходимо числа, кратні найбільшому числу, множачи його на натуральні числа в порядку їх зростання і перевіряючи діляться чи на отримане твір інші дані числа.

Приклад 2. Дано три числа 24, 3 і 18. Визначаємо найбільше з них - це число 24. Далі знаходимо числа кратні 24, перевіряючи чи ділиться кожне з них на 18 і на 3:

24 · 1 \u003d 24 - ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 2 \u003d 48 - ділиться на 3, але не ділиться на 18.

24 · 3 \u003d 72 - ділиться на 3 і на 18.

Таким чином, НОК (24, 3, 18) \u003d 72.

Знаходження шляхом послідовного знаходження НОК

Третій спосіб полягає в знаходженні найменшого спільного кратного шляхом послідовного знаходження НОК.

НОК двох даних чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеного на їх найбільший спільний дільник.

Приклад 1. Знайдемо НСК двох даних чисел: 12 і 8. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НСД (12, 8) \u003d 4. Перемножуємо дані числа:

Ділимо твір на їх НСД:

Таким чином, НОК (12, 8) \u003d 24.

Щоб знайти НОК трьох і більше чисел використовується наступний порядок дій:

1. Спочатку знаходять НОК якихось двох з даних чисел.
2. Потім, НОК знайденого найменшого спільного кратного і третього даного числа.
3. Потім, НОК отриманого найменшого спільного кратного і четвертого числа і т. Д.
4. Таким чином пошук НОК триває до тих пір, поки є числа.

Приклад 2. Знайдемо НОК трьох даних чисел: 12, 8 і 9. НОК чисел 12 і 8 ми вже знайшли в попередньому прикладі (це число 24). Залишилося знайти найменше спільне кратне числа 24 і третього даного числа - 9. Визначаємо їх найбільший спільний дільник: НСД (24, 9) \u003d 3. Перемножуємо НОК з числом 9:

Ділимо твір на їх НСД:

Таким чином, НОК (12, 8, 9) \u003d 72.

Кратне число - це число, яке ділиться на дане число без залишку. Найменше спільне кратне (НОК) групи чисел - це найменше число, яке ділиться без залишку на кожне число групи. Щоб знайти найменше спільне кратне, потрібно знайти прості множники даних чисел. Також НОК можна обчислити за допомогою ряду інших методів, які застосовуються до груп з двох і більше чисел.

кроки

Ряд кратних чисел

Подивіться на дані числа. Описаний тут метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких менше 10. Якщо дані великі числа, скористайтеся іншим методом.

• Наприклад, знайдіть найменше спільне кратне чисел 5 і 8. Це невеликі числа, тому можна використовувати даний метод.

1. Кратне число - це число, яке ділиться на дане число без залишку. Кратні числа можна подивитися в таблиці множення ..

   • Наприклад, числами, які кратні 5, є: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишіть ряд чисел, які кратні першого числа. Зробіть це під кратними числами першого числа, щоб порівняти два ряди чисел.

   • Наприклад, числами, які кратні 8, є: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, і 64.

3. Знайдіть найменше число, яке присутнє в обох рядах кратних чисел. Можливо, вам доведеться написати довгі ряди кратних чисел, щоб знайти загальне число. Найменше число, яке присутнє в обох рядах кратних чисел, є найменшим спільним кратним.

   • Наприклад, найменшим числом, яке присутнє в рядах кратних чисел 5 і 8, є число 40. Тому 40 - це найменше спільне кратне чисел 5 і 8.

   Розклад на прості множники

   1. Подивіться на дані числа. Описаний тут метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких більше 10. Якщо дані менші числа, скористайтеся іншим методом.

      • Наприклад, знайдіть найменше спільне кратне чисел 20 і 84. Кожне з чисел більше 10, тому можна використовувати даний метод.

   2. Розкладіть на прості множники перше число. Тобто потрібно знайти такі прості числа, при перемножуванні яких вийде дане число. Знайшовши прості множники, запишіть їх у вигляді рівності.

      • наприклад, 2 × 10 \u003d 20 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ times 10 \u003d 20) і 2 × 5 \u003d 10 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ times (\\ mathbf (5)) \u003d 10). Таким чином, простими множниками числа 20 є числа 2, 2 і 5. Запишіть їх у вигляді виразу:.

   3. Розкладіть на прості множники друге число. Зробіть це так само, як ви розкладали на множники перше число, тобто знайдіть такі прості числа, при перемножуванні яких вийде дане число.

      • наприклад, 2 × 42 \u003d 84 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ times 42 \u003d 84), 7 × 6 \u003d 42 (\\ displaystyle (\\ mathbf (7)) \\ times 6 \u003d 42) і 3 × 2 \u003d 6 (\\ displaystyle (\\ mathbf (3)) \\ times (\\ mathbf (2)) \u003d 6). Таким чином, простими множниками числа 84 є числа 2, 7, 3 і 2. Запишіть їх у вигляді виразу:.

   4. Запишіть множники, загальні для обох чисел. Запишіть такі множники у вигляді операції множення. У міру записи кожного множника закреслюйте його в обох висловах (вираження, які описують розкладання чисел на прості множники).

      • Наприклад, загальним для обох чисел є множник 2, тому напишіть 2 × (\\ displaystyle 2 \\ times) і закресліть 2 в обох висловах.
      • Загальним для обох чисел є ще один множник 2, тому напишіть 2 × 2 (\\ displaystyle 2 \\ times 2) і закресліть другу 2 в обох висловах.

   5. До операції множення додайте залишилися множники. Це множники, що не закреслені в обох висловах, тобто множники, які не є загальними для обох чисел.

      • Наприклад, у виразі 20 \u003d 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 20 \u003d 2 \\ times 2 \\ times 5) закреслені обидві двійки (2), тому що вони є загальними множниками. Чи не закреслити множник 5, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ times 2 \\ times 5)
      • У вираженні 84 \u003d 2 × 7 × 3 × 2 (\\ displaystyle 84 \u003d 2 \\ times 7 \\ times 3 \\ times 2) також закреслені обидві двійки (2). Чи не закреслені множники 7 і 3, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\\ displaystyle 2 \\ times 2 \\ times 5 \\ times 7 \\ times 3).

   6. Обчисліть найменше спільне кратне. Для цього перемножте числа в записаної операції множення.

      • наприклад, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 \u003d 420 (\\ displaystyle 2 \\ times 2 \\ times 5 \\ times 7 \\ times 3 \u003d 420). Таким чином, найменше спільне кратне 20 і 84 одно 420.

   Знаходження загальних дільників

   1. Намалюйте сітку як для гри в хрестики-нулики. Така сітка являє собою дві паралельні прямі, які перетинаються (під прямим кутом) з іншими двома паралельними прямими. Таким чином, вийдуть три рядки і три стовпці (сітка дуже схожа на значок #). Перше число напишіть в першому рядку і другому стовпці. Друге число напишіть в першому рядку і третьому стовпці.

      • Наприклад, знайдіть найменше спільне кратне чисел 18 і 30. Число 18 напишіть в першому рядку і другому стовпці, а число 30 напишіть в першому рядку і третьому стовпці.

   2. Знайдіть дільник, загальний для обох чисел. Запишіть його в першому рядку і першому стовпці. Краще шукати прості подільники, але це не є обов'язковою умовою.

      • Наприклад, 18 і 30 - це парні числа, Тому їх спільним дільником буде число 2. Таким чином, напишіть 2 в першому рядку і першому стовпці.

   3. Розділіть кожне число на перший дільник. Кожне приватне запишіть під відповідним числом. Приватне - це результат ділення двох чисел.

      • наприклад, 18 ÷ 2 \u003d 9 (\\ displaystyle 18 \\ div 2 \u003d 9), Тому запишіть 9 під 18.
      • 30 ÷ 2 \u003d 15 (\\ displaystyle 30 \\ div 2 \u003d 15), Тому запишіть 15 під 30.

   4. Знайдіть дільник, загальний для обох приватних. Якщо такого дільника немає, пропустіть два наступні кроки. В іншому випадку дільник запишіть у другому рядку і першому стовпці.

      • Наприклад, 9 і 15 діляться на 3, тому запишіть 3 у другому рядку і першому стовпці.

   5. Розділіть кожне приватне на другий дільник. Кожен результат ділення запишіть під відповідним приватним.

      • наприклад, 9 ÷ 3 \u003d 3 (\\ displaystyle 9 \\ div 3 \u003d 3), Тому запишіть 3 під 9.
      • 15 ÷ 3 \u003d 5 (\\ displaystyle 15 \\ div 3 \u003d 5), Тому запишіть 5 під 15.

   6. Якщо потрібно, доповніть сітку додатковими осередками. Повторюйте описані дії до тих пір, поки у приватних НЕ буде загального дільника.

   7. Обведіть кружками числа в першому стовпці і останньому рядку сітки. Потім виділені числа запишіть у вигляді операції множення.

      • Наприклад, числа 2 і 3 знаходяться в першому стовпці, а числа 3 і 5 знаходяться в останньому рядку, тому операцію множення запишіть так: 2 × 3 × 3 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ times 3 \\ times 3 \\ times 5).

   8. Знайдіть результат множення чисел. Так ви обчисліть найменше спільне кратне двох даних чисел.

      • наприклад, 2 × 3 × 3 × 5 \u003d 90 (\\ displaystyle 2 \\ times 3 \\ times 3 \\ times 5 \u003d 90). Таким чином, найменше спільне кратне 18 і 30 разом 90.

   алгоритм Евкліда

   1. Запам'ятайте термінологію, пов'язану з операцією поділу. Ділене - це число, яке ділять. Дільник - це число, на яке ділять. Приватне - це результат ділення двох чисел. Залишок - це число, що залишилося при розподілі двох чисел.

      • Наприклад, у виразі 15 ÷ 6 \u003d 2 (\\ displaystyle 15 \\ div 6 \u003d 2) ост. 3:
        15 - це ділене
        6 - це дільник
        2 - це приватна
        3 - це залишок.

Приступимо до вивчення найменшого спільного кратного двох і більше чисел. У розділі ми дамо визначення терміна, розглянемо теорему, яка встановлює зв'язок між найменшим спільним кратним і найбільшим спільним дільником, наведемо приклади розв'язання задач.

Загальні кратні - визначення, приклади

У даній темі нас буде цікавити тільки загальні кратні цілих чисел, відмінних від нуля.

визначення 1

Спільне кратне цілих чисел - це таке ціле число, яке кратно всіма даними числах. Фактично, це будь-яке ціле число, яке можна розділити на будь-який з даних чисел.

Визначення загальних кратних чисел відноситься до двох, трьох і більшої кількості цілих чисел.

приклад 1

Відповідно до даного вище визначення для числа 12 загальними кратними числами будуть 3 і 2. Також число 12 буде загальним кратним для чисел 2, 3 і 4. Числа 12 і - 12 є спільними кратними числами для чисел ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12.

У той же час загальним кратним числом для чисел 2 і 3 будуть числа 12, 6, - 24, 72, 468; - 100 010 004 і цілий ряд будь-яких інших.

Якщо ми візьмемо числа, які діляться на перше число з пари і не діляться на друге, то такі цифри не будуть загальними кратними. Так, для чисел 2 і 3 числа 16, - 27 5 009, 27 001 НЕ будуть загальними кратними.

0 є загальним кратним для будь-якого безлічі цілих чисел, відмінних від нуля.

Якщо згадати властивість подільності щодо протилежних чисел, То виходить, що деяке ціле число k буде загальним кратним даних чисел точно також, як і число - k. Це означає, що загальні дільники можуть бути як позитивними, так і негативними.

Для всіх чи чисел можна знайти НОК?

Спільне кратне можна знайти для будь-яких цілих чисел.

приклад 2

Припустимо, що нам дано k цілих чисел a 1, a 2, ..., a k. Число, яке ми отримаємо в ході множення чисел a 1 · a 2 · ... · a k відповідно до властивості подільності буде ділитися на кожен з множників, який входив в початкове твір. Це означає, що твір чисел a 1, a 2, ..., a kє найменшим спільним кратним для цих чисел.

Скільки всього загальних кратних можуть мати дані цілі числа?

Група цілих чисел може мати велику кількість загальних кратних. Фактично, їх число нескінченно.

приклад 3

Припустимо, що у нас є певна кількість k. Тоді твір чисел k · z, де z - це ціле число, буде спільним кратним чисел k і z. З урахуванням того, що кількість чисел нескінченно, то і кількість загальних кратних нескінченно.

Найменше спільне кратне (НОК) - визначення, позначення і приклади

Згадаймо поняття найменшого числа з даного безлічі чисел, яке ми розглядали в розділі «Порівняння цілих чисел». З урахуванням цього поняття сформулюємо визначення найменшого спільного кратного, яке має серед усіх загальних кратних найбільше практичне значення.

визначення 2

Найменше спільне кратне даних цілих чисел - це найменше позитивне спільне кратне цих чисел.

Найменше спільне кратне існує для будь-якої кількості даних чисел. Найбільш вживаною для позначення поняття в довідковій літературі є абревіатура НОК. Короткий запис найменшого спільного кратного для чисел a 1, a 2, ..., a k матиме вигляд НОК (A 1, a 2, ..., a k).

приклад 4

Найменше спільне кратне чисел 6 і 7 - це 42. Тобто НОК (6, 7) \u003d 42. Найменше спільне кратне чотирьох чисел - 2, 12, 15 і 3 дорівнюватиме 60. Короткий запис матиме вигляд НОК (- 2, 12, 15, 3) \u003d 60.

Чи не для всіх груп даних чисел найменше спільне кратне очевидно. Часто його доводиться обчислювати.

Зв'язок між НОК і НОД

Найменше спільне кратне і найбільший спільний дільник пов'язані між собою. Взаємозв'язок між поняттями встановлює теорема.

теорема 1

Найменше спільне кратне двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеній на найбільший спільний дільник чисел a і b, тобто, НОК (a, b) \u003d a · b: НСД (a, b).

доказ 1

Припустимо, що ми маємо деяке число M, яке кратно числах a і b. Якщо число M ділиться на a, також існує деяке ціле число z , при якому справедливо рівність M \u003d a · k. Згідно з визначенням подільності, якщо M ділиться і на b, То тоді a · k ділиться на b.

Якщо ми введемо нове позначення для НОД (a, b) як d, То зможемо використовувати рівності a \u003d a 1 · d і b \u003d b 1 · d. При цьому обидва рівності будуть взаємно простими числами.

Ми вже встановили вище, що a · k ділиться на b. Тепер ця умова можна записати в такий спосіб:
a 1 · d · k ділиться на b 1 · d, Що еквівалентно умові a 1 · k ділиться на b 1 згідно властивостям окремих випадках.

Відповідно до властивості взаємно простих чисел, якщо a 1 і b 1 - взаємно прості числа, a 1 не ділиться на b 1 при тому що a 1 · k ділиться на b 1, то b 1 має ділитися k.

У цьому випадку доречно буде припустити, що існує число t, для котрого k \u003d b 1 · t, А так як b 1 \u003d b: d, то k \u003d b: d · t.

тепер замість k підставимо в рівність M \u003d a · k вираз виду b: d · t. Це дозволяє нам прийти до рівності M \u003d a · b: d · t. при t \u003d 1 ми можемо отримати найменше позитивне загальне кратне чисел a і b , рівне a · b: d, За умови, що числа a і b позитивні.

Так ми довели, що НОК (a, b) \u003d a · b: НСД (A, b).

Встановлення зв'язку між НОК і НОД дозволяє знаходити найменше спільне кратне через найбільший спільний дільник двох і більше даних чисел.

визначення 3

Теорема має два важливих наслідки:

• кратні найменшого спільного кратного двох чисел збігається з загальними кратними цих двох чисел;
• найменше спільне кратне взаємно простих позитивних чисел a і b дорівнює їх добутку.

Обгрунтувати ці два факти не складає труднощів. Будь-яке спільне кратне M чисел a і b визначається рівністю M \u003d НОК (a, b) · t при деякому цілому значенні t. Так як a і b взаємно прості, то НСД (a, b) \u003d 1, отже, НОК (a, b) \u003d a · b: НСД (a, b) \u003d a · b: 1 \u003d a · b.

Найменше спільне кратне трьох і більшої кількості чисел

Для того, щоб знайти найменше спільне кратне кількох чисел, необхідно послідовно знайти НСК двох чисел.

теорема 2

Припустимо, що a 1, a 2, ..., a k - це деякі цілі позитивні числа. Для того, щоб обчислити НОК m k цих чисел, нам необхідно послідовно обчислити m 2 \u003d НОК (A 1, a 2), m 3 \u003d НОК (M 2, a 3), ..., m k \u003d НОК (M k - 1, a k).

доказ 2

Довести вірність другий теореми нам допоможе перший наслідок з першої теореми, розглянутої в даній темі. Міркування будуються за наступним алгоритмом:

• загальні кратні чисел a 1 і a 2 збігаються з кратними їх НОК, фактично, вони збігаються з кратними числа m 2;
• загальні кратні чисел a 1, a 2 і a 3 m 2 і a 3 m 3;
• загальні кратні чисел a 1, a 2, ..., a k збігаються з загальними кратними чисел m k - 1 і a k, Отже, збігаються з кратними числа m k;
• в зв'язку з тим, що найменшим позитивним кратним числа m k є саме число m k, То найменшим спільним кратним чисел a 1, a 2, ..., a k є m k.

Так ми довели теорему.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter