Логарифм дорівнює 1 коли. Логарифм

1.1. Визначення ступеня для цілого показника ступеня

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * ... * X - N разів

1.2. Нульовий ступінь.

За визначенням прийнято вважати, що нульовий ступінь будь-якого числа дорівнює 1:

1.3. Негативний ступінь.

X-N = 1/X N

1.4. Дробний ступінь, корінь.

X 1/N = корінь ступеня N із Х.

Наприклад: X 1/2 = √X.

1.5. Формула складання ступенів.

X (N+M) = X N * X M

1.6.Формула віднімання ступенів.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Формула множення ступенів.

X N * M = (X N) M

1.8. Формула зведення дробу на ступінь.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Число e.

Значення числа e дорівнює наступній межі:

E = lim(1+1/N), за N → ∞.

З точністю 17 знаків число e дорівнює 2.71828182845904512.

3. Рівність Ейлера.

Ця рівність пов'язує п'ять чисел, які відіграють особливу роль математиці: 0, 1, число e, число пі, уявну одиницю.

E (i*пі) + 1 = 0

4. Експонентна функція exp (x)

exp(x) = e x

5. Похідна експоненційної функції

Експоненційна функція має чудову властивість: похідна функції дорівнює самій експоненційній функції:

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Визначення функції логарифм

Якщо x = b y , то логарифм називається функція

Y = Log b(x).

Логарифм показує в яку міру треба звести число - основу логарифму (b), щоб отримати задане число (X). Функція логарифм визначена для X більше нуля.

Наприклад: Log 10 (100) = 2.

6.2. Десятковий логарифм

Це логарифм на підставі 10:

Y = Log 10 (x).

Позначається Log(x): Log(x) = Log 10(x).

Приклад використання десяткового логарифму - децибел.

6.3. Децибел

Пункт виділено на окрему сторінку Децибел

6.4. Двійковий логарифм

Це логарифм на підставі 2:

Y = Log 2(x).

Позначається Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральний логарифм

Це логарифм на основі e:

Y = Log e(x) .

Позначається Ln(x): Ln(x) = Log e(X)
Натуральний логарифм зворотна функціядо експонентної функції exp (X).

6.6. Характерні точки

Log a (1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Формула логарифму твору

Log a (x * y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. Формула логарифму приватного

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Формула логарифму ступеня

Log a (x y) = y * Log a (x)

6.10. Формула перетворення до логарифму з іншою основою

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Приклад:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формули корисні у житті

Часто виникають завдання перерахунку обсягу площу чи довжину і обернена завдання -- перерахунок площі обсяг. Наприклад, дошки продаються кубами (кубометрами), а нам потрібно розрахувати яку площу стіни можна обшити дошками, що містяться в певному обсязі, див. розрахунок дощок, скільки дощок у кубі. Або, відомі розміри стіни, треба розрахувати кількість цегли, див. розрахунок цегли.

Дозволяється використовувати матеріали сайту за умови встановлення активного посилання на джерело.

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться вирішувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Пояснимо простіше. Наприклад, \(\log_(2)(8)\) дорівнює ступеня, в яку треба звести \(2\), щоб отримати \(8\). Звідси відомо, що (log_(2)(8)=3).

Приклади:		\(\log_(5)(25)=2\)		т.к. \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		т.к. \ (3 ^ (4) = 81 \)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		т.к. \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Аргумент та основа логарифму

Будь-який логарифм має таку «анатомію»:

Аргумент логарифму зазвичай пишеться з його рівні, а основа - підрядковим шрифтом ближче до знаку логарифму. А читається цей запис так: «логарифм двадцяти п'яти на підставі п'ять».

Як визначити логарифм?

Щоб обчислити логарифм – потрібно відповісти на запитання: на який ступінь слід звести підставу, щоб отримати аргумент?

Наприклад, обчисліть логарифм: а) \(\log_(4)(16)\) б) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) в) \(\log_(\sqrt (5))(1)\) г) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) д) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) В який ступінь треба звести (4), щоб отримати (16)? Вочевидь у другу. Тому:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

в) В який ступінь треба звести (sqrt(5)), щоб отримати (1)? А який рівень робить будь-яке число одиницею? Нуль, звичайно!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) В який ступінь треба звести \(\sqrt(7)\), щоб отримати \(\sqrt(7)\)? У першу - будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) В який ступінь треба звести (3), щоб отримати (sqrt (3))? З ми знаємо, що це дробовий ступінь, і значить квадратний корінь- це ступінь \(\frac(1)(2)\).

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

приклад : Обчислити логарифм \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Рішення :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Нам треба знайти значення логарифму, позначимо його за ікс. Тепер скористаємося визначенням логарифму: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Що пов'язує \(4\sqrt(2)\) і \(8\)? Двійка, тому що і те, і інше число можна уявити двійки: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Зліва скористаємось властивостями ступеня: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) та \((a^(m))^(n)=a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Підстави рівні, переходимо до рівності показників
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Помножимо обидві частини рівняння на \(\frac(2)(5)\)
		Корінь, що вийшов, і є значення логарифму

Відповідь : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Навіщо вигадали логарифм?

Щоб це зрозуміти, розв'яжемо рівняння: \(3^(x)=9\). Просто підберіть \(x\), щоб рівність спрацювала. Звичайно, (x = 2).

А тепер розв'яжіть рівняння: \(3^(x)=8\).Чому дорівнює ікс? Ось у тому й справа.

Найдогадливіші скажуть: «ікс трохи менше двох». А як точно записати це число? Для відповіді це питання і придумали логарифм. Завдяки йому відповідь тут можна записати як \(x=\log_(3)(8)\).

Хочу наголосити, що \(\log_(3)(8)\), як і будь-який логарифм - це просто число. Так, виглядає незвично, зате коротко. Тому що, якби ми захотіли записати його у вигляді десяткового дробу, то воно виглядало б ось так: \(1,892789260714.....\)

приклад : Розв'яжіть рівняння \(4^(5x-4)=10\)

Рішення :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) і \(10\) жодної підстави не привести. Значить, тут не обійтися без логарифму. Скористаємося визначенням логарифму: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Дзеркально перевернемо рівняння, щоб ікс був ліворуч
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Перед нами . Перенесемо (4) праворуч. І не лякайтеся логарифму, ставтеся до нього як до звичайного числа.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Поділимо рівняння на 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ось наш корінь. Так, виглядає незвично, але відповіді не вибирають.

Відповідь : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десятковий та натуральний логарифми

Як зазначено у визначенні логарифму, його основою може бути будь-яке позитивне число, крім одиниці ((a>0, a\neq1)). І серед усіх можливих підстав є два такі часто, що для логарифмів з ними придумали особливий короткий запис:

Натуральний логарифм: логарифм, у якого основа - число Ейлера (e) (рівне приблизно (2,7182818 ...)), і записується такий логарифм як (ln (a)).

Тобто, \(\ln(a)\) це те саме, що і \(\log_(e)(a)\)

Десятковий логарифм: логарифм, у якого основа дорівнює 10, записується \(\lg(a)\).

Тобто, \(\lg(a)\) це те саме, що і \(\log_(10)(a)\), де (a) - деяке число.

Основне логарифмічне тотожність

У логарифмів є багато властивостей. Одне з них носить назву «Основна логарифмічна тотожність» і виглядає так:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ця властивість випливає безпосередньо з визначення. Подивимося, як саме ця формула з'явилася.

Згадаймо короткий запис визначення логарифму:

якщо \(a^(b)=c\), то \(\log_(a)(c)=b\)

Тобто, \(b\) - це теж саме, що \(\log_(a)(c)\). Тоді ми можемо у формулі \(a^(b)=c\) написати \(\log_(a)(c)\) замість \(b\). Вийшло \(a^(\log_(a)(c))=c\) – основна логарифмічна тотожність.

Інші властивості логарифмів ви можете знайти. З їх допомогою можна спрощувати та обчислювати значення виразів з логарифмами, які «в лоб» порахувати складно.

приклад : Знайдіть значення виразу \(36^(\log_(6)(5))\)

Рішення :

Відповідь : \(25\)

Як записати число у вигляді логарифму?

Як було зазначено вище – будь-який логарифм це просто число. Вірно і зворотне: будь-яке число може бути записане як логарифм. Наприклад, ми знаємо, що \(\log_(2)(4)\) дорівнює двом. Тоді можна замість двійки писати \(\log_(2)(4)\).

Але \(\log_(3)(9)\) теж дорівнює \(2\), значить, також можна записати \(2=\log_(3)(9)\). Аналогічно і з (log_(5)(25)\), і з(log_(9)(81)\), і т.д. Тобто виходить

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Таким чином, якщо нам потрібно, ми можемо будь-де (хоч у рівнянні, хоч у виразі, хоч у нерівності) записувати двійку як логарифм з будь-якою основою – просто як аргумент пишемо основу в квадраті.

Так само і з трійкою – її можна записати як \(\log_(2)(8)\), або як \(\log_(3)(27)\), або як \(\log_(4)(64) \) ... Тут ми як аргумент пишемо основу в кубі:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

І з четвіркою:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

І з мінус одиницею:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

І з однієї третьої:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Будь-яке число \(a\) може бути представлене як логарифм з основою \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

приклад : Знайдіть значення виразу \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Рішення :

Відповідь : \(1\)

У центрі уваги цієї статті – логарифм. Тут ми дамо визначення логарифму, покажемо прийняте позначення, наведемо приклади логарифмів, і скажемо про натуральні та десяткові логарифми. Після цього розглянемо основну логарифмічну тотожність.

Навігація на сторінці.

Визначення логарифму

Поняття логарифма виникає під час вирішення завдання у сенсі зворотної , коли необхідно визначити показник ступеня за відомим значенням ступеня і відомому підставі.

Але вистачить передмов, настав час відповісти на запитання «що таке логарифм»? Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Логарифм числа b на підставі a, де a>0 , a≠1 і b>0 – це показник ступеня, який потрібно звести число a , щоб у результаті отримати b .

На цьому етапі зауважимо, що вимовлене слово «логарифм» має відразу викликати два питання: «якого числа» і «з якої підстави». Інакше кажучи, просто логарифма немає, а є лише логарифм числа з деякому підставі.

Відразу введемо позначення логарифму: логарифм числа b на основі a прийнято позначати як log a b . Логарифм числа b на основі e і логарифм на підставі 10 мають свої спеціальні позначення lnb і lgb відповідно, тобто, пишуть не log e b , а lnb , і не log 10 b , а lgb .

Тепер можна навести: .
А записи немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифма перебуває негативне число, у другій – негативне число основу, а третій – і негативне число під знаком логарифму і одиниця основу.

Тепер скажемо про правила читання логарифмів. Запис log a b читається як «логарифм b на основі a ». Наприклад, log 2 3 - це логарифм трьох з основи 2 , а - це логарифм двох цілих двох третіх з основи квадратний корінь з п'яти. Логарифм на основі e називають натуральним логарифмома запис lnb читається як «натуральний логарифм b». Наприклад, ln7 – це натуральний логарифм семи, а ми прочитаємо як натуральний логарифм пі. Логарифм на підставі 10 також має спеціальну назву – десятковий логарифм, а запис lgb читається як «десятковий логарифм b». Наприклад, lg1 – це десятковий логарифм одиниці, а lg2,75 – десятковий логарифм двох цілих сімдесяти п'яти сотих.

Варто окремо зупинитися на умовах a>0, a≠1 і b>0, за яких дається визначення логарифму. Пояснимо, звідки беруться ці обмеження. Зробити це допоможе рівності виду , зване , яке безпосередньо випливає з цього вище визначення логарифму.

Почнемо з a≠1. Так як одиниця в будь-якій мірі дорівнює одиниці, то рівність може бути справедлива лише при b = 1, але при цьому log 1 може бути будь-яким дійсним числом. Щоб уникнути цієї багатозначності і приймається a≠1.

Обгрунтуємо доцільність умови a>0. При a = 0 за визначенням логарифму ми мали рівність , яке можливе лише за b = 0 . Але тоді log 0 0 може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль у будь-якому відмінному від нуля ступені є нуль. Уникнути цієї багатозначності дозволяє умова a≠0. А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Нарешті, умова b>0 випливає з нерівності a>0, оскільки , а значення ступеня з позитивною основою завжди позитивно.

На закінчення цього пункту скажемо, що озвучене визначення логарифму дозволяє відразу вказати значення логарифму, коли число під знаком логарифму є певною мірою підстави. Дійсно, визначення логарифму дозволяє стверджувати, що якщо b=a p , то логарифм числа b на підставі a дорівнює p . Тобто справедливо рівність log a a p = p . Наприклад, знаємо, що 2 3 =8 , тоді log 2 8=3 . Докладніше про це ми поговоримо у статті

(від грецької λόγος - «слово», «ставлення» і ἀριθμός - «число») числа bна підставі a(log α b) називається таке число c, і b= a cтобто записи log α b=cі b=acеквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a>0, а ≠1, b>0.

Говорячи іншими словами логарифмчисла bна підставі аформулюється як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

З цього формулювання випливає, що обчислення x= log α b, рівнозначно рішенню рівняння a x = b.

Наприклад:

log 2 8 = 3 тому, що 8 = 2 3 .

Виділимо, що зазначене формулювання логарифму дає можливість відразу визначити значення логарифмуколи число під знаком логарифму виступає деяким ступенем основи. І справді, формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа.

Обчислення логарифму називають логарифмуванням. Логарифмування – це математична операція взяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників трансформується у суми членів.

Потенціювання- це математична операція, зворотна логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів трансформуються у твір співмножників.

Досить часто використовуються речові логарифми з основами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 (натуральний логарифм) та 10 (десятковий).

На цьому етапі доцільно розглянути зразки логарифмів log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифма вміщено негативне число , у другій - негативне число основу, а третьої - і негативне число під знаком логарифму та одиниця в основі.

Умови визначення логарифму.

Варто окремо розглянути умови a > 0, a ≠ 1, b > 0. визначення логарифму.Розглянемо, чому взято ці обмеження. У цьому нам допоможе рівність виду x = log α b, зване основним логарифмічним тотожністю , яке безпосередньо випливає з цього визначення логарифму.

Візьмемо умову a≠1. Оскільки одиниця будь-якою мірою дорівнює одиниці, то рівність x=log α bможе існувати лише за b=1але при цьому log 1 1 буде будь-яким дійсним числом. Для виключення цієї неоднозначності і береться a≠1.

Доведемо необхідність умови a>0. При a=0за формулюванням логарифму може існувати тільки при b=0. І відповідно тоді log 0 0може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, тому що нуль у будь-якій відмінній від нуля мірі є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умову a≠0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних та ірраціональних значень логарифму, оскільки ступінь з раціональним та ірраціональним показником визначено лише для невід'ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умову a>0.

І остання умова b>0випливає з нерівності a>0оскільки x=log α b, а значення ступеня з позитивною основою aзавжди позитивно.

Особливості логарифмів.

Логарифмихарактеризуються відмінними особливостями, які зумовили їхнє повсюдне вживання для значного полегшення копітких розрахунків. При переході «в світ логарифмів» множення трансформується на значно легше додавання, розподіл — на віднімання, а зведення в ступінь і вилучення кореня трансформуються відповідно до множення та розподілу на показник ступеня.

Формулювання логарифмів та таблицю їх значень (для тригонометричних функцій) вперше видав у 1614 році шотландський математик Джон Непер. Логарифмічні таблиці, збільшені та деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових та інженерних обчислень, і залишалися актуальними доки не стали застосовуватися електронні калькулятори та комп'ютери.