Найпростіші властивості інтегралів. Основні властивості невизначеного інтегралу Вивчаємо поняття «інтеграл»

Рішення інтегралів – завдання легке, але лише обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли?

Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати найпростіші та інші інтеграли і чому без цього не можна обійтися в математиці.

Вивчаємо поняття « інтеграл »

Інтегрування було відоме ще у Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж таки. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася.

Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про , необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первинні елементарні функції, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями.

Повна таблиця інтегралів для студентів

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції.

Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції? За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

« Інтеграл »

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішити невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо невизначений інтеграл та приклади з рішенням. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться до професійного сервісу для студентів, і будь-який потрійний чи криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.

Ця стаття докладно розповідає про основні властивості певного інтегралу. Вони доводяться з допомогою поняття інтеграла Рімана і Дарбу. Обчислення певного інтеграла проходить завдяки 5 властивостям. Ті, що залишилися, застосовуються для оцінювання різних виразів.

Перед переходом до основних властивостей певного інтеграла необхідно переконатися в тому, що a не перевищує b .

Основні властивості певного інтегралу

Визначення 1

Функція y = f (x) , визначена при х = а, аналогічно до справедливої ​​рівності ∫ a a f (x) d x = 0 .

Доказ 1

Звідси бачимо, що значення інтеграла з збігаються межами дорівнює нулю. Це наслідок інтеграла Рімана, тому що кожна інтегральна сума для будь-якого розбиття на проміжку [ a ; a ] і будь-якого вибору точок ζ i дорівнює нулю, тому як x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. . . , n , отже, отримуємо, що межа інтегральних функцій – нуль.

Визначення 2

Для функції, що інтегрується на відрізку [a; b ] , виконується умова ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x .

Доказ 2

Інакше висловлюючись, якщо змінити верхню і нижню межу інтегрування місцями, то значення інтеграла змінить значення протилежне. Ця властивість взята з інтеграла Рімана. Однак, нумерація розбиття відрізка йде з точки x = b.

Визначення 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x застосовується для інтегрованих функцій типу y = f (x) та y = g (x) , визначених на відрізку [a; b].

Доказ 3

Записати інтегральну суму функції y = f (x) ± g (x) для розбиття на відрізки з даним вибором точок ζ i: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i · xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) · xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i · xi - xi - 1 = σ f ± σ g

де f і g є інтегральними сумами функцій y = f (x) і y = g (x) для розбиття відрізка. Після переходу до межі при λ = m a x i = 1, 2,. . . , n (x i - x i - 1) → 0 отримуємо, що lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

З визначення Рімана цей вираз є рівносильним.

Визначення 4

Винесення постійного множника за знак певного інтегралу. Інтегрована функція з інтервалу [a; b] з довільним значенням k має справедливу нерівність виду ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Доказ 4

Доказ якості певного інтеграла аналогічно попередньому:

σ = ∑ i = 1 nk · f ζ i · (xi - xi - 1) = = k · ∑ i = 1 nf ζ i · (xi - xi - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk · f (x) dx = k · ∫ abf (x) dx

Визначення 5

Якщо функція виду y = f (x) інтегрована на інтервалі x з a ∈ x , b ∈ x , отримуємо, що ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Доказ 5

Властивість вважається справедливою для c ∈ a; b для c ≤ a і c ≥ b . Доказ проводиться аналогічно до попередніх властивостей.

Визначення 6

Коли функція може бути інтегрованою з відрізка [a; b], тоді це можна здійснити для будь-якого внутрішнього відрізка c; d ∈ a; b.

Доказ 6

Доказ ґрунтується на властивості Дарбу: якщо у наявного розбиття відрізка зробити додавання точок, тоді нижня сума Дарбу не зменшуватиметься, а верхня не збільшуватиметься.

Визначення 7

Коли функція інтегрована на [a; b ] з f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 за будь-якого значення x ∈ a ; b , Тоді одержуємо, що ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Властивість може бути доведена за допомогою визначення інтеграла Рімана: будь-яка інтегральна сума для будь-якого вибору точок розбиття відрізка та точок ζ i з умовою, що f(x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 отримуємо невід'ємною.

Доказ 7

Якщо функції y = f(x) і y = g(x) інтегруються на відрізку [a; b], тоді такі нерівності вважаються справедливими:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , якщо f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , якщо f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Завдяки твердженню знаємо, що інтегрування допустиме. Дане слідство буде використано у доказі інших властивостей.

Визначення 8

При інтегрованій функції y = f (x) з відрізка [a; b ] маємо справедливу нерівність виду ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Доказ 8

Маємо, що - f(x) ≤ f(x) ≤ f(x) . З попередньої властивості одержали, що нерівність може бути інтегрована почленно і відповідає нерівність виду - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Ця подвійна нерівність може бути записана в іншій формі: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Визначення 9

Коли функції y = f (x) та y = g (x) інтегруються з відрізка [a; b] при g (x) ≥ 0 при будь-якому x ∈ a; b , одержуємо нерівність виду m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , де m = min x ∈ a ; b f (x) і M = m a x x ∈ a; bf(x).

Доказ 9

Аналогічним чином провадиться доказ. M і m вважаються найбільшим і найменшим значенням функції y = f(x), визначеної з відрізка [a; b], тоді m ≤ f (x) ≤ M . Необхідно помножити подвійну нерівність на функцію y = g (x), що дасть значення подвійної нерівності виду m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Необхідно проінтегрувати його на відрізку [a; b], тоді отримаємо твердження, що доводиться.

Наслідок: При g (x) = 1 нерівність набуває вигляду m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Перша формула середнього значення

Визначення 10

При y = f (x) інтегрована на відрізку [a; b] з m = m i n x ∈ a; b f (x) і M = m a x x ∈ a; b f (x) є число μ ∈ m; M , яке підходить ∫ a b f (x) d x = μ · b - a.

Наслідок: Коли функція y = f(x) безперервна з відрізка [a; b ] , є таке число c ∈ a ; b , яка задовольняє рівності ∫ a b f (x) d x = f (c) · b - a.

Перша формула середнього значення в узагальненій формі

Визначення 11

Коли функції y = f (x) і y = g (x) інтегруються з відрізка [ a ; b] з m = m i n x ∈ a; b f (x) і M = m a x x ∈ a; b f (x) , а g (x) > 0 за будь-якого значення x ∈ a ; b. Звідси маємо, що число μ ∈ m ; M , яка задовольняє рівності ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Друга формула середнього значення

Визначення 12

Коли функція y = f (x) є інтегрованою з відрізка [a; b] , а y = g (x) є монотонною, тоді є число, яке c ∈ a; b , де отримуємо справедливу рівність виду ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільної постійної:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

У статті ми перерахуємо основні властивості певного інтеграла. Більшість цих властивостей доводяться на основі понять певного інтегралу Рімана та Дарбу.

Обчислення певного інтеграла часто-густо проводиться з використанням перших п'яти властивостей, отже ми будемо за потреби посилатися. Інші властивості певного інтеграла в основному застосовуються для оцінки різних виразів.

Перш ніж перейти до основним властивостям певного інтегралу, умовимося, що a не перевищує b .

Для функції y = f(x) , визначеної при x = a справедлива рівність .

Тобто значення певного інтеграла з збігаються межами інтегрування дорівнює нулю. Ця властивість є наслідком визначення інтеграла Рімана, тому що в цьому випадку кожна інтегральна сума для будь-якого розбиття проміжку та будь-якого вибору точок дорівнює нулю, тому що, отже, межею інтегральних сум є нуль.

Для функції, що інтегрується на відрізку, виконується .

Іншими словами, при зміні верхньої та нижньої меж інтегрування місцями значення певного інтеграла змінюється на протилежне. Ця властивість певного інтеграла також випливає з поняття інтеграла Рімана, лише нумерацію розбиття відрізка слід починати з точки x = b.

для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) .

Доведення.

Запишемо інтегральну суму функції для даного розбиття відрізка та вибору точок :

де - інтегральні суми функцій y = f(x) і y = g(x) для даного розбиття відрізка відповідно.

Переходячи до межі при отримаємо , що у визначенню інтеграла Рімана рівносильно утвердженню доведеного якості.

Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу. Тобто для інтегрованої на відрізку функції y = f(x) і довільного числа k справедлива рівність .

Доказ цієї властивості певного інтеграла абсолютно схожий на попередній:


Нехай функція y = f(x) інтегрована на інтервалі X, причому і тоді .

Ця властивість справедлива як для , так і для або .

Доказ можна провести, спираючись на попередні властивості певного інтегралу.

Якщо функція інтегрована на відрізку, вона інтегрована і будь-якому внутрішньому відрізку.

Доказ ґрунтується на властивості сум Дарбу: якщо до наявного розбиття відрізка додати нові точки, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня – не збільшиться.

Якщо функція y = f(x) інтегрована на відрізку й у будь-якого значення аргументу , то .

Це властивість доводиться через визначення інтеграла Рімана: будь-яка інтегральна сума для будь-якого вибору точок розбиття відрізка і точок при буде невід'ємною (не позитивною).

Слідство.

Для інтегрованих на відрізку функцій y = f(x) та y = g(x) справедливі нерівності:


Це твердження означає, що допустиме інтегрування нерівностей. Цим наслідком ми користуватимемося під час доказу наступних властивостей.

Нехай функція y = f(x) інтегрована на відрізку , тоді справедлива нерівність .

Доведення.

Очевидно, що . У попередній властивості ми з'ясували, що нерівність можна почленно інтегрувати, тому справедливо . Цю подвійну нерівність можна записати як .

Нехай функції y = f(x) та y = g(x) інтегруються на відрізку і для будь-якого значення аргументу , тоді , де та .

Доказ проводиться аналогічно. Так як m і M – найменше та найбільше значення функції y = f(x) на відрізку, то . Примноження подвійної нерівності на невід'ємну функцію y = g(x) призводить до наступної подвійної нерівності . Інтегруючи його на відрізку, прийдемо до твердження, що доводиться.

Слідство.

Якщо взяти g(x) = 1 , то нерівність набуде вигляду .

Перша формула середнього значення.

Нехай функція y = f(x) інтегрована на відрізку , і тоді існує таке число, що .

Слідство.

Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку, то знайдеться таке число, що .

Перша формула середнього значення узагальненої формі.

Нехай функції y = f(x) і y = g(x) інтегруються на відрізку , і , а g(x) > 0 будь-якого значення аргументу . Тоді існує таке число, що .

Друга формула середнього значення.

Якщо на відрізку функція y = f(x) інтегрована, а y = g(x) монотонна, існує таке число , що справедливо рівність .