Інтеграли та його властивості. Основні властивості невизначеного інтегралу

Основним завданням диференціального обчисленняє знаходження похідної f'(x)або диференціала df=f'(x)dxфункції f(x).В інтегральному численні вирішується обернена задача. За заданою функцією f(x) потрібно знайти таку функцію F(x),що F'(х)=f(x)або dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Таким чином, основним завданням інтегрального обчисленняє відновлення функції F(x)за відомою похідною (диференціалу) цієї функції. Інтегральне обчислення має численні додатки у геометрії, механіці, фізиці та техніці. Воно дає загальний метод знаходження площ, обсягів, центрів важкості тощо.

Визначення. ФункціяF(x), , називається первісною для функціїf(x) на множині Х, якщо вона диференційована для будь-якого іF'(x)=f(x) абоdF(x)=f(x)dx.

Теорема. Будь-яка безперервна на відрізку [a;b] функціяf(x) має на цьому відрізку первіснуF(x).

Теорема. ЯкщоF 1 (x) таF 2 (x) – дві різні первісні однієї й тієї ж функціїf(x) на безлічі х, то вони відрізняються один від одного постійним доданком, тобто.F 2 (x)=F 1x)+C де С - постійна.

Невизначений інтеграл, його властивості.

Визначення. СукупністьF(x)+З усіх первісних функційf(x) на множині Х називається невизначеним інтегралом і позначається:

- (1)

У формулі (1) f(x)dxназивається підінтегральним виразом,f(x) - підінтегральної функцією, х - змінної інтегрування,а З – постійної інтеграції.

Розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які з його визначення.

1. Похідна з невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

та .

2. Невизначений інтеграл від диференціалу певної функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

3. Постійний множник а (а≠0) можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

4. Невизначений інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функцій дорівнює сумі алгебри інтегралів від цих функцій:

5. ЯкщоF(x) – первісна функціяf(x), то:

6 (інваріантність формул інтегрування). Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо змінну інтегрування замінити будь-якою функцією цієї змінної, що диференціюється:

деu - функція, що диференціюється.

Таблиця невизначених інтегралів.

Наведемо основні правила інтегрування функций.

Наведемо таблицю основних невизначених інтегралів(Зазначимо, що тут, як і в диференціальному обчисленні, буква uможе позначати як незалежну змінну (u=x), так і функцію від незалежної змінної (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u|> |a|).(|u|< |a|).

Інтеграли 1 – 17 називають табличними.

Деякі з наведених вище формул таблиці інтегралів, які не мають аналога в таблиці похідних, перевіряються диференціюванням їх правих частин.

Заміна змінної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Інтегрування підстановкою (заміна змінної). Нехай потрібно обчислити інтеграл

, що не є табличним. Суть методу підстановки полягає в тому, що в інтегралі змінну хзамінюють змінною tза формулою x = φ (t),звідки dx=φ’(t)dt.

Теорема. Нехай функціяx = φ (t) визначена та диференційована на деякій множині Т і нехай Х – безліч значень цієї функції, на якій визначена функціяf(x). Тоді якщо на множині Х функціяf(

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

Рішення інтегралів – завдання легке, але лише обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли?

Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати найпростіші та інші інтеграли і чому без цього не можна обійтися в математиці.

Вивчаємо поняття « інтеграл »

Інтегрування було відоме ще у Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж таки. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася.

Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про , необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первинні елементарні функції, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями.

Повна таблиця інтегралів для студентів

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції.

Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції? За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

« Інтеграл »

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішити невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під символу інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо невизначений інтеграл та приклади з рішенням. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться до професійного сервісу для студентів, і будь-який потрійний чи криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.

Нехай функція y = f(x) визначена на відрізку [ a, b ], a < b. Виконаємо такі операції:

1) розіб'ємо [ a, b] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b на nчасткових відрізків [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) у кожному з часткових відрізків [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, виберемо довільну точку та обчислимо значення функції у цій точці: f(z i ) ;

3) знайдемо твори f(z i ) · Δ x i , де - Довжина часткового відрізка [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) складемо інтегральну сумуфункції y = f(x) на відрізку [ a, b ]:

З геометричної точки зору ця сума σ є сумою площ прямокутників, основи яких – часткові відрізки [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], а висоти рівні f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) відповідно (рис. 1). Позначимо через λ довжину найбільшого часткового відрізка:

5) знайдемо межу інтегральної суми, коли λ → 0.

Визначення.Якщо існує кінцева межа інтегральної суми (1) і вона не залежить ні від способу розбиття відрізка [ a, b] на часткові відрізки, ні від вибору точок z iв них, то ця межа називається певним інтеграломвід функції y = f(x) на відрізку [ a, b] і позначається

Таким чином,

У цьому випадку функція f(x) називається інтегрованоїна [ a, b]. Числа aі bназиваються відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування, f(x) - підінтегральною функцією, f(x ) dx- підінтегральним виразом, x– змінної інтегрування; відрізок [ a, b] називається проміжком інтегрування.

Теорема 1.Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b], вона інтегрована у цьому відрізку.

Певний інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

Якщо a > b, то, за визначенням, вважаємо

2. Геометричний зміст певного інтегралу

Нехай на відрізку [ a, b] задана безперервна невід'ємна функція y = f(x ) . Криволінійною трапецієюназивається фігура, обмежена зверху графіком функції y = f(x) , знизу – віссю Ох, зліва та справа – прямими x = aі x = b(Рис. 2).

Певний інтеграл від невід'ємної функції y = f(x) з геометричної точки зору дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y = f(x) , ліворуч і праворуч – відрізками прямих x = aі x = b, знизу - відрізком осі Ох.

3. Основні властивості певного інтегралу

1. Значення певного інтеграла залежить від позначення змінної інтегрування:

2. Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу:

3. Певний інтеграл від суми алгебри двох функцій дорівнює сумі алгебри певних інтегралів від цих функцій:

4.Якщо функція y = f(x) інтегрована на [ a, b] та a < b < c, то

5. (теорема про середнє). Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b], то на цьому відрізку існує точка, така, що

4. Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема 2.Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] та F(x) – якась її первісна на цьому відрізку, то справедлива наступна формула:

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.Різниця F(b) - F(a) прийнято записувати так:

де символ називається знаком подвійної підстановки.

Таким чином, формулу (2) можна записати у вигляді:

приклад 1.Обчислити інтеграл

Рішення. Для підінтегральної функції f(x ) = x 2 довільна первісна має вигляд

Так як у формулі Ньютона-Лейбніца можна використовувати будь-яку первісну, то для обчислення інтеграла візьмемо первісну, що має найпростіший вигляд:

5. Заміна змінної у певному інтегралі

Теорема 3.Нехай функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b]. Якщо:

1) функція x = φ ( t) та її похідна φ "( t) безперервні при;

2) безліччю значень функції x = φ ( t) при є відрізок [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, то справедлива формула

яка називається формулою заміни змінної у певному інтегралі .

На відміну від невизначеного інтеграла, у разі немає необхідностіповертатися до вихідної змінної інтегрування – достатньо лише знайти нові межі інтегрування α та β (для цього треба вирішити щодо змінної tрівняння φ ( t) = aта φ ( t) = b).

Замість підстановки x = φ ( t) можна використовувати підстановку t = g(x). У цьому випадку знаходження нових меж інтегрування за змінною tспрощується: α = g(a) , β = g(b) .

Приклад 2. Обчислити інтеграл

Рішення. Введемо нову змінну за формулою. Звівши в квадрат обидві частини рівності, отримаємо 1 + x = t 2 , звідки x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Знаходимо нові межі інтегрування. Для цього у формулу підставимо старі межі x = 3 та x = 8. Отримаємо: , звідки t= 2 та α = 2; , звідки t= 3 і β = 3. Отже,

приклад 3.Обчислити

Рішення. Нехай u= ln xтоді , v = x. За формулою (4)