Зокрема, про те, що ви бачите в заголовку. Фактично, це «просторовий аналог» завдання знаходження дотичноїі нормалідо графіка функції однієї змінної, і тому жодних труднощів виникнути не повинно.

Почнемо з базових питань: ЩО ТАКЕ дотична площина і ЩО ТАКЕ нормаль? Багато хто усвідомлює ці поняття на рівні інтуїції. Найпростіша модель, що спадає на думку – це куля, на якій лежить тонка плоска картонка. Картонка розташована максимально близько до сфери та стосується її в єдиній точці. Крім того, в точці торкання вона закріплена голкою, що стирчить строго вгору.

Теоретично існує досить дотепне визначення дотичної площині. Уявіть довільну поверхняі точку, що їй належить. Очевидно, що через точку проходить багато просторових лінійякі належать даній поверхні. У кого які асоціації? =) … особисто я представив восьминога. Припустимо, що кожна така лінія існує просторова дотичнау точці.

Визначення 1: дотична площинадо поверхні у точці – це площина, Що містить дотичні до всіх кривих, які належать даній поверхні і проходять через точку .

Визначення 2: нормальдо поверхні у точці – це пряма, що проходить через цю точку перпендикулярно дотичній площині.

Просто та витончено. До речі, щоб ви не померли з нудьги від простоти матеріалу, трохи пізніше я поділюся з вами одним витонченим секретом, який дозволяє РАЗ І НАЗАВЖДИ забути про зубріжку різних визначень.

З робочими формулами та алгоритмом рішення познайомимося прямо на конкретному прикладі. У переважній більшості завдань потрібно скласти і рівняння дотичної площини, і рівняння нормалі:

Приклад 1

Рішення:якщо поверхня задана рівнянням (тобто неявно), то рівняння дотичної площини до даної поверхні в точці можна знайти за такою формулою:

Особливу увагу звертаю на незвичайні приватні похідні. не слід плутатиз приватними похідними неявно заданої функції (хоча поверхня задана неявно). При знаходженні цих похідних слід керуватися правилами диференціювання функції трьох змінних, тобто, при диференціюванні по будь-якій змінній, дві інші літери вважаються константами:

Не відходячи від каси, знайдемо похідну в точці:

Аналогічно:

Це був найнеприємніший момент рішення, в якому помилка якщо не допускається, то постійно здається. Тим не менш, тут існує ефективний прийом перевірки, про який я розповідав на уроці Похідна за напрямом та градієнт.

Усі «інгредієнти» знайдені і тепер справа за акуратною підстановкою з подальшими спрощеннями:

– загальне рівнянняшуканої дотичної площини.

Настійно рекомендую проконтролювати цей етап рішення. Спочатку потрібно переконатися, що координати точки дотику справді задовольняють знайденому рівнянню:

- Правильна рівність.

Тепер «знімаємо» коефіцієнти загального рівняння площини і перевіряємо їх щодо збігу чи пропорційності з відповідними значеннями . У разі пропорційні. Як ви пам'ятаєте з курсу аналітичної геометрії, - це вектор нормалідотичної площини, і він же – напрямний векторнормальної прямої. Складемо канонічні рівняннянормалі по точці і напрямному вектору:

В принципі, знаменники можна скоротити на «двійку», але особливої ​​потреби в цьому немає

Відповідь:

Рівняння можна позначити якими-небудь літерами, проте, знову ж таки – навіщо? Тут і так цілком зрозуміло, що до чого.

Наступні два приклади самостійного рішення. Невелика «математична скоромовка»:

Приклад 2

Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

І завдання, цікаве з технічного погляду:

Приклад 3

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці

У точці.

Тут є всі шанси не тільки заплутатися, а й зіткнутися з труднощами під час запису канонічних рівнянь прямої. А рівняння нормалі, як ви, мабуть, зрозуміли, заведено записувати саме в такому вигляді. Хоча, через забудькуватість або незнання деяких нюансів більш ніж прийнятна і параметрична форма.

Зразки чистового оформлення рішень наприкінці уроку.

У будь-якій точці поверхні існує дотична площина? Загалом, звичайно, ні. Класичний приклад – це конічна поверхня і точка - дотичні у цій точці безпосередньо утворюють конічну поверхню, і, зрозуміло, не лежать в одній площині. У негараздах легко переконатися і аналітично: .

Іншим джерелом проблем є факт неіснуваннябудь-якої приватної похідної в точці. Однак це ще не означає, що в даній точці немає єдиної площини.

Але це була, скоріше, науково-популярна, ніж практично значуща інформація, і ми повертаємося до справ насущних:

Як скласти рівняння дотичної площини та нормалі в точці,
якщо поверхня задана явною функцією?

Перепишемо її в неявному вигляді:

І за тими ж принципами знайдемо приватні похідні:

Таким чином, формула дотичної площини трансформується у наступне рівняння:

І, відповідно, канонічні рівняння нормалі:

Як неважко здогадатися, – це вже «справжні» приватні похідні функції двох змінниху точці , які ми звикли позначати буквою «зет» і знаходили 100 500 разів.

Зауважте, що у цій статті досить запам'ятати найпершу формулу, з якої у разі потреби легко вивести все інше (зрозуміло, маючи базовий рівень підготовки). Саме такий підхід слід використовувати під час вивчення точних наук, тобто. з мінімуму інформації треба прагнути «витягувати» максимум висновків та наслідків. «Розумів» і вже наявні знання на допомогу! Цей принцип корисний ще й тим, що з великою ймовірністю врятує критичної ситуації, коли ви знаєте дуже мало.

Відпрацюємо «модифіковані» формули кількома прикладами:

Приклад 4

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Невелика тут накладка вийшла з позначеннями – тепер буква позначає точку площини, але що вдієш – така вже популярна буква….

Рішення: рівняння шуканої дотичної площини складемо за формулою:

Обчислимо значення функції в точці:

Обчислимо приватні похідні 1-го порядкуу цій точці:

Таким чином:

акуратно, не поспішаємо:

Запишемо канонічні рівняння нормалі в точці:

Відповідь:

І заключний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Останній – тому, що практично всі технічні моменти я роз'яснив і додати особливо нічого. Навіть самі функції, пропоновані в даному завданні, сумні й одноманітні – майже гарантовано на практиці вам попадеться «багаточлен», і в цьому сенсі Приклад №2 з експонентою виглядає «білою вороною». До речі, набагато вірогідніше зустріти поверхню, задану рівнянням, і це ще одна причина, через яку функція увійшла до статті «другим номером».

І насамкінець обіцяний секрет: як же уникнути зубріння визначень? (я, звичайно, не маю на увазі ситуацію, коли студент щось гарячково зубрить перед іспитом)

Визначення будь-якого поняття/явлення/об'єкта насамперед дає відповідь на наступне запитання: ЩО ЦЕ ТАКЕ? (хто/така/ такий/такі). Усвідомленовідповідаючи на це питання, ви повинні постаратися відобразити суттєвіознаки, однозначноідентифікують те чи інше поняття/явище/об'єкт. Так, спочатку це виходить дещо недорого, неточно і надмірно (виклад поправить =)), але з часом розвивається цілком гідна наукова мова.

Потренуйтесь на абстрактних об'єктах, наприклад, дайте відповідь на запитання: хто такий Чебурашка? Не так все просто;-) Це «казковий персонаж з великими вухами, очима та коричневою вовною»? Далеко і дуже далеко від визначення – чи мало персонажів з такими характеристиками…. А ось це вже набагато ближче до визначення: «Чебурашка – це персонаж, придуманий письменником Едуардом Успенським у 1966 р., який…(перерахування основних відмінних ознак)». Зверніть увагу, як грамотно розпочато

1°

1°. Рівняння дотичної площини та нормалі для випадку явного завдання поверхні.

Розглянемо один із геометричних додатків приватних похідних функції двох змінних. Нехай функція z = f (x;y)диференційована в точці (x 0; у 0)деякої області DÎ R 2. Розсічемо поверхню S ,зображуючу функцію z,площинами х = х 0і у = у 0(Рис. 11).

Площина х = x 0перетинає поверхню Sпо деякій лінії z 0 (y),рівняння якої виходить підстановкою у вираз вихідної функції z ==f (x;y)замість хчисла х 0 .Крапка M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0))належить кривою z 0 (y).В силу функції, що диференціюється zу точці М 0функція z 0 (y)також є диференційованою в точці у = 0 .Отже, у цій точці в площині х = х 0до кривої z 0 (y)може бути проведена дотична l 1 .

Проводячи аналогічні міркування для перерізу у = у 0,побудуємо дотичну l 2до кривої z 0 (x)у точці х = x 0 -Прямі 1 1 і 1 2 визначають площину, яка називається дотичною площиноюдо поверхні Sу точці М0.

Складемо її рівняння. Так як площина проходить через точку Mo (x 0;y 0;z 0),то її рівняння може бути записано у вигляді

А (х - хо) + В (у - уо) + C (z - zo) = 0,

яке можна переписати так:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - у 0) (1)

(розділивши рівняння на -С і позначивши ).

Знайдемо A 1та B 1 .

Рівняння дотичних 1 1 і 1 2 мають вигляд

відповідно.

Стосовна l 1лежить у площині a , отже, координати всіх точок l 1задовольняють рівняння (1). Цей факт можна записати у вигляді системи

Дозволяючи цю систему щодо B 1 отримаємо, що .Проводячи аналогічні міркування для дотичної l 3легко встановити, що .

Підставивши значення А 1і B 1 рівняння (1), отримуємо шукане рівняння дотичної площини:

Пряма, що проходить через точку М 0і перпендикулярна дотичній площині, побудованій у цій точці поверхні, називається її нормаллю.

Використовуючи умову перпендикулярності прямої та площини, легко отримати канонічні рівняння нормалі:

Зауваження.Формули дотичної площини і нормалі поверхні отримані для звичайних, т. е. не особливих, точок поверхні. Крапка М 0поверхні називається особливою,якщо у цій точці всі приватні похідні дорівнюють нулю або хоча б одна з них не існує. Таких точок ми не розглядаємо.

приклад. Написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у її точці М(2; -1; 1).

Рішення. Знайдемо приватні похідні цієї функції та їх значення у точці М

Звідси, застосовуючи формули (2) і (3), матимемо: z-1=2(х-2)+2(у+1)або 2х+2у-z-1=0- рівняння дотичної площини та - Рівняння нормалі.

2 °. Рівняння дотичної площини та нормалі для випадку неявного завдання поверхні.

Якщо поверхня Sзадана рівнянням F (x; у;z)= 0, то рівняння (2) і (3), з огляду на те, що приватні похідні можуть бути знайдені як похідні неявної функції.

Рівняння нормальної площини

1.

4.

Дотична площина та нормаль до поверхні

Нехай дана деяка поверхня, A - фіксована точка поверхні і B - змінна точка поверхні,

(Рис. 1).

Ненульовий вектор

→

n

називається нормальним векторомдо поверхні в точці A якщо

lim B → A j = π 2 .

Точка поверхні F (x, y, z) = 0 називається звичайною, якщо в цій точці

1. приватні похідні F"x, F"y, F"z безперервні;
2. (F"x)2+(F"y)2+(F"z)2≠0.

При порушенні хоча б однієї з цих умов точка поверхні називається особливою точкою поверхні .

Теорема 1.Якщо M (x 0 , y 0 , z 0 ) - Звичайна точка поверхні F (x , y , z) = 0 , то вектор

→ n = grad F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

є нормальним до цієї поверхні в точці M (x 0, y 0, z 0).

Доведеннянаведено у книзі І.М. Петрушка, Л.А. Кузнєцова, В.І. Прохоренко, В.Ф. Сафонова `` Курс вищої математики: Інтегральне числення. Функції кількох змінних. Диференційне рівняння. М.: Вид-во МЕІ, 2002 (стор. 128).

Нормаллю до поверхнів деякій її точці називається пряма, напрямний вектор якої нормальний до поверхні в цій точці і яка проходить через цю точку.

Канонічні рівняння нормаліможна уявити у вигляді

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y ( x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Стосовною площиноюдо поверхні в деякій точці називається площина, яка проходить через цю точку перпендикулярно нормалі поверхні в цій точці.

З цього визначення випливає, що рівняння дотичної площинимає вигляд:

(3)

Якщо точка поверхні є особливою, то цій точці нормальний до поверхні вектор може не існувати, і, отже, поверхня може не мати нормалі і дотичної площини.

Геометричний зміст повного диференціалу функції двох змінних

Нехай функція z = f (x, y) диференційована в точці a (x0, y0). Її графіком є ​​поверхня

f (x, y) − z = 0.

Покладемо z 0 = f (x 0, y 0). Тоді точка A (x 0 y 0 z 0 ) належить поверхні.

Приватні похідні функції F (x, y, z) = f (x, y) − z суть

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

і в точці A (x 0, y 0, z 0)

1. вони безперервні;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Отже, A - звичайна точка поверхні F (x, y, z) і в цій точці існує дотична площина до поверхні. Відповідно до (3), рівняння дотичної площини має вигляд:

f " x ( x 0 , y 0 ) ( x - x 0 ) + f " y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 ) - ( z - z 0 ) = 0 .

Вертикальне зміщення точки на дотичній площині під час переходу з точки a (x 0 , y 0 ) у довільну точку p (x , y) є B Q (рис. 2). Відповідне збільшення аплікати є

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Тут у правій частині стоїть диференціал d z функції z = f (x, y) у точці a (x0, x0). Отже,
d f (x 0, y 0). є збільшення аплікати точки площини дотичної до графіка функції f (x , y) у точці (x 0 , y 0 , z 0 = f (x 0 , y 0 )).

З визначення диференціала слід, що відстань між точкою P на графіку функції та точкою Q на дотичній площині є нескінченно мала більш високого порядку, ніж відстань від точки p до точки a .

Визначення.Точка , що лежить на поверхні другого порядку, заданої щодо ОДСК загальним рівнянням (1) називається неособливою, якщо серед трьох чисел є хоча б одне, не рівне нулю.

Таким чином, точка, що лежить на поверхні другого порядку, є не особливою тоді і тільки тоді, коли вона є її центром, інакше коли поверхня конічна, а точка - вершина цієї поверхні.

Визначення.Щодо прямої до поверхні другого порядку в даній на ній не особливої ​​точки називається пряма, що проходить через цю точку, що перетинає поверхню другого порядку в двократній точці або є прямолінійної утворюючої поверхні.

Теорема 3.Дотичні прямі до поверхні другого порядку в даній на ній не особливій точці лежать в одній площині, що називається дотичною площиною до поверхні в точці, що розглядається. Рівняння дотичної площини має

Доведення. Нехай , , Параметричні рівняння прямої, що проходить через неособливу точку поверхні другого порядку, заданої рівнянням (1). Підставляючи в рівняння (1) , , замість , , , отримаємо:

Так як точка лежить на поверхні (1), то і з рівняння (3) знаходимо (це значення відповідає точці). Для того щоб точка перетину прямої з поверхнею (1) була подвійною, або щоб пряма повністю лежала на поверхні, необхідно і достатньо, щоб виконувалася рівність:

Якщо при цьому:

То точка перетину прямої лінії з поверхнею (1) подвійна. А якщо:

То пряма повністю лежить на поверхні (1).

Зі співвідношень (4) і , , слід, що координати , будь-якої точки , що лежить на будь-якій дотичній до поверхні (1) задовольняють рівняння:

Назад, якщо координати якої-небудь точки , відмінної від , задовольняють цьому рівнянню, то координати , , вектора , задовольняють співвідношенню (4), а це означає, що пряма - дотична до розглянутої поверхні.

Оскільки точка - неособлива точка поверхні (1), серед чисел , , є принаймні одне, не дорівнює нулю; отже рівняння (5) є рівняння першого ступеня щодо . Це і є рівняння площини, що стосується поверхні (1) в даній на ній не особливої ​​точки .

З канонічних рівнянь поверхонь другого порядку легко скласти рівняння дотичних площин до еліпсоїда, гіперболоїда і т.д. в даній на них точці.

1). Дотична площина до еліпсоїда:

2). Дотична площина до одно і двопорожнинних гіперболоїдів:

3). Дотична площина до еліптичного та гіперболічного параболоїдів:

§ 161. Перетин дотичної площини з поверхнею другого порядку.

Приймемо неособливу точку поверхні другого порядку за початок координат ОДСК, осі і розташуємо в площині дотичної до поверхні в точці . Тоді у загальному рівнянні поверхні (1) вільний член дорівнює нулю: , а рівняння плоскості, що стосується поверхні на початку координат, повинно мати вигляд: .

Але рівняння площині, що проходить через початок координат має вигляд: .

І, оскільки це рівняння має бути еквівалентним рівнянню , то , , .

Отже, у вибраній системі координат рівняння поверхні (1) повинно мати вигляд:

Назад, якщо , то рівняння (6) є рівнянням поверхні, що проходить через початок координат , а площина - дотична площина цієї поверхні в точці . Рівняння лінії, якою дотична площина до поверхні в точці перетинає поверхню (6) має вигляд:

Якщо. Це інваріант теоретично інваріантів для ліній другого порядку. Рівняння (7)

Це ж лінія другого порядку. На вигляд цієї лінії інваріант , тому:

При цьому дві уявні прямі, що перетинаються.

При - дві дійсні прямі, що перетинаються.

Якщо , але хоча один із коефіцієнтів , , не дорівнює нулю, то лінія перетину (7) - дві збігаються прямі.

Нарешті, якщо , то площина

входить до складу даної поверхні, а сама поверхня розпадається, отже, на пару площин

§ 162. Еліптичні, гіперболічні або параболічні точки поверхні другого порядку.

1. Нехай дотична площина до поверхні другого порядку в точці перетинає її по двох уявним прямим, що перетинається. У цьому випадку точка називається еліптичною точкою поверхні.

2. Нехай дотична площина до поверхні другого порядку в точці перетинає її за двома дійсними прямими, що перетинаються в точці торкання. У цьому випадку точка називається гіперболічною точкою поверхні.

3. Нехай дотична площина до поверхні другого порядку в точці перетинає її по двох прямих, що збігаються. У цьому випадку точка називається параболічною точкою поверхні.

Теорема 4.Нехай поверхня другого порядку щодо ОДСК задана рівнянням (1) і дане рівняння (1) є рівнянням дійсною поверхнею другого порядку, що не розпадається. Тоді, якщо ; то всі точки поверхні еліптичні.

Доведення. Введемо нову систему координат, вибираючи за початок координат будь-яку неособливу точку даної поверхні і розташовуючи осі і в площині, що стосується поверхні в точці. Рівняння (1) у новій системі координат перетворюється на вигляд:

Де. Обчислимо інваріант для цього рівняння.

Так як при переході від однієї ОДСК до іншої ОДСК знак не змінюється, то знаки і протилежні, тому якщо , то ; і, як випливає з класифікації (див. § 161) дотична площина до поверхні в точці перетинає поверхню за двома уявними прямими, що перетинаються, тобто. - еліптична точка.

2) Однопорожнинний гіперболоїд та гіперболічний параболоїд складаються з гіперболічних точок.

3) Дійсний конус другого порядку (вершина виключається), еліптичний (дійсний), гіперболічний та параболічний циліндри складаються з параболічних точок.

Параболічний циліндр.

Щоб визначити розташування параболічного циліндра, достатньо знати:

1) площину симетрії, паралельну утворюючим циліндрам;

2) дотичну площину до циліндра, перпендикулярну до цієї площини симетрії;

3) вектор, перпендикулярний до цієї дотичної площини і спрямований у бік увігнутості циліндра.

Якщо загальне рівняння визначає параболічний циліндр, воно може бути переписане у вигляді:

Підберемо mтак, щоб площині

були б взаємно перпендикулярними:

При цьому значення mплощина

буде площиною симетрії, паралельною утворюючим циліндрам.

Площина

буде дотичною площиною до циліндра, перпендикулярною до зазначеної площини симетрії, а вектор

буде перпендикулярний до знайденої дотичної площини і направлений у бік увігнутості циліндра.

Дотичні площини відіграють велику роль у геометрії. Побудова дотичних площин у практичному відношенні має важливе значення, оскільки наявність їх дозволяє визначити напрямок нормалі до поверхні у точці дотику. Це завдання знаходить широке застосування інженерної практиці. До допомоги дотичних площин звертаються також побудови нарисів геометричних фігур, обмежених замкнутими поверхнями. У теоретичному плані площини, що стосуються поверхні, використовуються в диференціальній геометрії при вивченні властивостей поверхні в районі точки торкання.

Основні поняття та визначення

Площину, що стосується поверхні, слід розглядати як граничне положення сіючої площини (за аналогією з прямою, що стосується кривої, яка також визначається як граничне положення сіючої).

Площина, що стосується поверхні в заданій на поверхні точці, є безліч всіх прямих - дотичних, проведених до поверхні через задану точку.

У диференціальній геометрії доводиться, що психічні до поверхні, проведені у звичайній точці, компланарні (належать одній площині).

З'ясуємо, як проводиться пряма, що стосується поверхні. Дотична t до поверхні β в заданій на поверхні точці М (рис. 203) представляє граничне положення сіючої lj , що перетинає поверхню в двох точках (ММ 1 , ММ 2 ..., ММ n), коли точки перетину збігаються (М ≡ М n , ln ≡ l M). Очевидно (M 1 , М 2 ..., М n ) ∈ g, так як g ⊂ β. Зі сказаного вище випливає таке визначення: дотичної до поверхні називається пряма, дотична до будь-якої кривої, що належить поверхні.

Так як площина визначається двома прямими, що перетинаються, то для завдання площини, дотичної до поверхні в заданій точці, достатньо провести через цю точку дві довільні лінії, що належать поверхні (бажано прості за формою), і до кожної з них побудувати дотичні в точці перетину цих ліній . Побудовані дотичні однозначно визначають дотичну площину. Наочне уявлення про проведення площини α, що стосується поверхні β в заданій точці М, дає рис. 204. На цьому малюнку показано також нормаль n до поверхні β.

Нормлю до поверхні в заданій точці називається пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проходить через точку торкання.

Лінію перетину поверхні площиною, що проходить через нормаль, називають нормальним перерізом поверхні. Залежно від виду поверхні дотична площина може мати з поверхнею як одну, так і безліч точок (лінію). Лінія торкання може бути одночасно і лінією перетину поверхні з площиною.

Можливі також випадки, коли на поверхні є точки, на яких неможливо провести дотичну до поверхні; такі точки називають особливими. Як приклад особливих точок можна навести точки, що належать ребру повернення торсової поверхні, або точку перетину меридіана поверхні обертання з її віссю, якщо меридіан і вісь перетинаються не під прямим кутом.

Види торкання залежить від характеру кривизни поверхні.

Кривизна поверхні

Питання кривизни поверхні було досліджено французьким математиком Ф. Дюпеном (1784- 1873), який запропонував наочний спосіб зображення зміни кривизни нормальних перерізів поверхні.

Для цього в площині, що стосується до поверхні в точці М (рис. 205, 206), на дотичних до нормальних перерізів по обидва боки від цієї точки відкладаються відрізки, рівні корінням квадратним з величин відповідних радіусів кривизни цих перерізів. Безліч точок - кінців відрізків задають криву, звану індикатриса Дюпена. Алгоритм побудови індикатриси Дюпена (рис. 205) можна записати:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

де R – радіус кривизни.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) - індикатриса Дюпена.

Якщо індикатриса Дюпена поверхні – еліпс, то точка М називається еліптичною, а поверхня – поверхнею з еліптичними точками(Рис. 206). У цьому випадку дотична площина має з поверхнею тільки одну загальну точку, а всі лінії, що належать поверхні і перетинаються в точці, розташовані по одну сторону від дотичної площини. Прикладом поверхонь з еліптичними точками можуть бути параболоїд обертання, еліпсоїд обертання, сфера (у цьому випадку індикатриса Дюпена - коло та ін).

При проведенні дотичної площини до торсової поверхні площина буде торкатися цієї поверхні прямої утворює. Точки цієї прямої називаються параболічними, а поверхня - поверхнею з параболічними точками. Індикатриса Дюпена у разі - дві паралельні прямі (рис. 207*).

На рис. 208 показана поверхня, що складається з точок, в кото

* Крива другого порядку - парабола - за певних умов може розпадатися на дві дійсні паралельні прямі, дві уявні паралельні прямі, дві прямі, що збігаються. На рис. 207 ми маємо справу з двома дійсними паралельними прямими.

рих дотична площина перетинає поверхню. Така поверхня називається гіперболічної, А належні їй точки - гіперболічними точками. Індикатриса Дюпена в даному випадку – гіпербола.

Поверхня, всі точки якої є гіперболічними, має форму сідла (коса площина, однопорожнинний гіперболоїд, увігнуті поверхні обертання та ін.).

Одна поверхня може мати точки різних видів, наприклад, біля торсової поверхні (рис. 209) точка М еліптична; точка N – параболічна; точка К – гіперболічна.

У курсі диференціальної геометрії доводиться, що нормальні перерізи, у яких величини кривизни K j = 1/ R j (де R j радіус кривизни перерізу, що розглядається) мають екстремальні значення, розташовані в двох взаємно перпендикулярних площинах.

Такі кривизни К1 = 1/R max. К 2 = 1/R min називаються головними, а значення Н = (К 1 + К 2)/2 і К = К 1 К 2 - відповідно середньої кривизною поверхні та повної (гаусової) кривизною поверхні в точці, що розглядається. Для еліптичних точок К > 0, гіперболічних К

Завдання площини дотичної до поверхні на епюрі Монжа

Нижче на конкретних прикладах покажемо побудову площини, що стосується поверхні з еліптичними (приклад 1), параболічними (приклад 2) і гіперболічними (приклад 3) точками.

ПРИКЛАД 1. Побудувати площину α, що стосується поверхні обертання β, з еліптичними точками. Розглянемо два варіанти розв'язання цього завдання, а) точка М ∈ β та б) точка М ∉ β

Варіант а (рис. 210).

Дотична площина визначається двома дотичними t 1 і t 2 проведеними в точці М до паралелі і меридіану поверхні β.

Проекції дотичної t 1 до паралелі поверхні h β будуть t" 1 ⊥ (S"M") і t" 1 || осі х. Горизонтальна проекція дотичної t" 2 до меридіана d поверхні β, що проходить через точку М, збігається з горизонтальною проекцією меридіана. Щоб знайти фронтальну проекцію дотичної t" 2 , меридіональну площину γ(γ ∋ М) шляхом обертання навколо осі поверхні γ 1 , паралельне площині π 2 . У цьому випадку точка М → M 1 (М" 1 , М" 1). Проекція дотичної t" 2 rarr; t" 2 1 визначається (M" 1 S"). Якщо ми тепер повернемо площину γ 1 у початкове положення, то точка S" залишиться на місці (як належить осі обертання), а М" 1 → М" та фронтальна проекція дотичної t" 2 визначиться (M"S")

Дві перетинаються в точці М ∈ β дотичні t 1 і t 2 визначають площину α, що стосується поверхні β.

Варіант б (рис. 211)

Для побудови площини, що стосується поверхні, що проходить через точку, що не належить поверхні, потрібно виходити з таких міркувань: через точку поза поверхнею, що складається з еліптичних точок, можна провести безліч площин, дотичних до поверхні. Огинає цих поверхонь буде деяка конічна поверхня. Тому, якщо немає додаткових вказівок, завдання має безліч рішень і в такому випадку зводиться до проведення конічної поверхні γ, що стосується до даної поверхні β.

На рис. 211 показано побудову конічної поверхні γ, що стосується сфери β. Будь-яка площина α, що стосується конічної поверхні γ, буде дотичною до поверхні β.

Для побудови проекцій поверхні з точок М" і М" проводимо дотичні до кіл h" і f" - проекціям сфери. Зазначаємо точки торкання 1 (1" та 1"), 2 (2" та 2"), 3 (3" і 3") та 4 (4" і 4"). Горизонтальна проекція кола - лінія торкання конічної поверхні та сфери спроектується в [1"2"] Для знаходження точок еліпса, в який це коло спроектується на фронтальну площину проекцій, скористаємося паралелями сфери.

На рис. 211 у такий спосіб визначено фронтальні проекції точок Е та F (Е" і F"). Маючи конічну поверхню γ, будуємо до неї дотичну площину. Характер і послідовність графіки

ких побудов, які необхідно для цього виконати, наведено в наступному прикладі.

ПРИКЛАД 2 Побудувати площину α, що стосується поверхні β з параболічними точками

Як у прикладі 1 розглянемо два варіанти розв'язання.а) точка N ∈ β; б) точка N ∉ β

Варіант а (рис 212).

Конічна поверхня відноситься до поверхонь з параболічними точками (див. рис. 207.) Площина, дотична до конічної поверхні, стосується її прямолінійної утворюючої. Для її побудови необхідно:

1) через дану точку N провести утворюючу SN (S"N" і S"N");

2) відзначити точку перетину утворюючої (SN) з направляючою d: (SN) ∩ d = А;

3) провіє і дотичну t до d в точці А.

Утворююча (SA) і дотична, що її перетинає, t визначають площину α , що стосується конічної поверхні β в даній точці N*.

Для проведення площини α, що стосується конічної поверхні β і проходить через точку N, не належить

* Оскільки поверхня β складається з параболічних точок (крім вершини S), то дотична до неї площина буде мати спільну з нею не одну точку N, а пряму (SN).

спрагу заданої поверхні, необхідно:

1) через дану точку N і вершину S конічної поверхні β провести пряму а (а" і а");

2) визначити горизонтальний слід цієї прямої Н a ;

3) через Н a провести дотичні t" 1 і t" 2 кривої h 0β - горизонтальному сліду конічної поверхні;

4) точки дотику А (А" та А") і В (В" і В") з'єднати з вершиною конічної поверхні S (S" і S").

Прямі t 1 , (AS) і t 2 , (BS), що перетинаються, визначають шукані дотичні площини α 1 і α 2

ПРИКЛАД 3. Побудувати площину α, що стосується поверхні β з гіперболічними точками.

Крапка К (рис. 214) знаходиться на поверхні глобоїда (внутрішня поверхня кільця).

Для визначення положення щодо площини α необхідно:

1) провести через точку К паралель поверхні h(h", h");

2) через точку К" провести дотичну t" 1 (t" 1 ≡ h") ;

3) для визначення напрямків проекцій дотичної до меридіонального перерізу необхідно провести через точку К і вісь поверхні площину γ, горизонтальна проекція t" 2 збігається з h 0γ ; для побудови фронтальної проекції дотичної t" 2 попередньо переведемо площину γ шляхом обертання її навколо осі поверхні обертання у положення γ 1 || π 2 . У цьому випадку меридіональний переріз площиною γ поєднається з лівою нарисовою дугою фронтальної проекції - півколо g".

Точка До (К", К"), що належить кривій меридіонального перерізу, переміститься в положення K 1 (К" 1 , К" 1). Через К" 1 проводимо фронтальну проекцію дотичної t" 2 1 в суміщеному з площиною γ 1 || ? К" та S".

Дотичні t 1 і t 2 визначають потрібну дотичну площину α, яка перетинає поверхню β по кривій l .

ПРИКЛАД 4. Побудувати площину α, що стосується поверхні β у точці К. Точка К знаходиться на поверхні однопорожнинного гіперболоїду обертання (рис. 215).

Це завдання можна вирішити, дотримуючись алгоритму, використаного в попередньому прикладі, але враховуючи, що поверхня однопорожнинного гіперболоїда обертання є лінійчастою поверхнею, яка має два сімейства прямолінійних утворюючих, причому кожна з утворюють одного сімейства перетинає всі утворюють іншого сімейства (див. § 32, рис. 138). Через кожну точку цієї поверхні можна провести дві прямі - утворювальні, що перетинаються, які будуть одночасно дотичними до поверхні однопорожнинного гіперболоїда обертання.

Ці дотичні визначають дотичну площину, тобто площину, що стосується поверхні однопорожнинного гіперболоїда обертання, перетинає цю поверхню за двома прямими g 1 і g 2 . Для побудови проекцій цих прямих достатньо горизонтальної проекції точки До пронести дотичні t" 1 і t" 2 до горизон-

тальної проекції кола d" 2 - горла поверхні однопорожнинного гіперболоїда обертання; визначити точки 1" і 2 , в яких t" 1 і t" 2 перетинають одну іт напрямних поверхні d 1 . По 1" і 2" знаходимо 1" і 2", які спільно з К" визначають фронтальні проекції прямих шуканих.