У цій статті зібрана та структурована інформація, необхідна для вирішення практично будь-якого прикладу на тему числові ряди, від знаходження суми ряду до дослідження його на збіжність.

Огляд статті.

Почнемо з визначень знакопозитивного, знакозмінного ряду та поняття збіжності. Далі розглянемо стандартні ряди, такі як гармонійний ряд, узагальнено гармонійний ряд, пригадаємо формулу для знаходження суми геометричної прогресії, що нескінченно убуває. Після цього перейдемо до властивостей рядів, що сходяться, зупинимося на необхідній умові збіжності ряду і озвучимо достатні ознаки збіжності ряду. Теорію розбавлятимемо рішенням характерних прикладів з докладними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Основні визначення та поняття.

Нехай ми маємо числову послідовність, де .

Наведемо приклад числової послідовності: .

Числовий ряд- Це сума членів числової послідовності виду .

Як приклад числового ряду можна навести суму нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q = -0.5 : .

Називають загальним членом числового рядуабо k-им членом ряду.

Для попереднього прикладу загальний член числового ряду має вигляд.

Часткова сума числового ряду- Це сума виду, де n - деяке натуральне число. називають також n-ою частковою сумою числового ряду.

Наприклад, четверта часткова сума ряду є .

Часткові суми утворюють нескінченну послідовність часткових сум числового ряду.

Для нашого ряду n-а часткова сума знаходиться за формулою суми перших n членів геометричної прогресії тобто будемо мати наступну послідовність часткових сум: .

Числовий ряд називається схожимякщо існує кінцева межа послідовності часткових сум. Якщо межа послідовності часткових сум числового ряду не існує або нескінченна, то ряд називається розбіжним.

Сумою схожого числового рядуназивається межа послідовності його часткових сум, тобто, .

У нашому прикладі , отже, ряд сходиться, причому його сума дорівнює шістнадцяти третім: .

Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: . n-а часткова сума визначається виразом , а межа часткових сум нескінченна: .

Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду . У цьому випадку n-а часткова сума може бути обчислена як . Межа часткових сум нескінченна .

Сума виду називається гармонійним числовим рядом.

Сума виду де s – деяке дійсне число, називається узагальнено гармонійним числовим рядом.

Наведених визначень достатньо для обґрунтування таких тверджень, що дуже часто використовуються, рекомендуємо їх запам'ятати.

Гармонічний ряд є розбіжним.

Доведемо розбіжність гармонійного ряду.

Припустимо, що низка сходиться. Тоді існує кінцева межа його часткових сум. У цьому випадку можна записати і , що приводить нас до рівності .

З іншого боку,


Не викликають сумніви такі нерівності. Таким чином, . Отримана нерівність вказує нам на те, що рівність не може бути досягнуто, що суперечить нашому припущенню про збіжність гармонійного ряду.

Висновок: гармонійний ряд розходиться.

СУМА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ ВИДУ СО ЗНАМЕННИКОМ q Є СХОДЯЧИМ ЧИСЛОВИМ РЯДОМ, ЯКЩО , І РОЗХОДЖЕНИМ ПОРУЧ ПРИ .

Доведемо це.

Ми знаємо, що сума перших n членів геометричної прогресії перебуває за формулою .

При справедливо


що свідчить про збіжність числового ряду.

При q = 1 маємо числовий ряд . Його часткові суми перебувають як , а межа часткових сум нескінченна , що свідчить про розбіжність низки у разі.

Якщо q = -1 , то числовий ряд набуде вигляду . Часткові суми приймають значення для непарних n і для парних n . З цього можна дійти невтішного висновку, що межа часткових сум немає і ряд розходиться.

При справедливо


що свідчить про розбіжність числового ряду.

УЗАГАЛЬНО ГАРМОНІЧНИЙ РЯД СХОДИТЬСЯ ПРИ s > 1 І ВИДІЛЯЄТЬСЯ ПРИ .

Доведення.

Для s = 1 отримаємо гармонійний ряд , а ми встановили його розбіжність.

При s справедлива нерівність для всіх натуральних k . У силу розбіжності гармонійного ряду можна стверджувати, що послідовність його часткових сум необмежена (оскільки немає кінцевої межі). Тоді послідовність часткових сум числового ряду тим більше необмежена (кожен член цього ряду більший за відповідний член гармонічного ряду), отже, узагальнено гармонійний ряд розходиться при s .

Залишилося довести збіжність ряду при s>1.

Запишемо різницю:



Очевидно, що тоді


Розпишемо отриману нерівність для n = 2, 4, 8, 16, …



Використовуючи ці результати, з вихідним числом можна провести такі дії:



Вираз є сумою геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює . Оскільки ми розглядаємо випадок при s > 1, то. Тому
. Таким чином, послідовність часткових сум узагальнено гармонійного ряду при s > 1 є зростаючою і в той же час обмеженою зверху значенням, отже, вона має межу, що вказує на збіжність ряду. Доказ завершено.

Числовий ряд називається знакопозитивнимякщо всі його члени позитивні, тобто, .

Числовий ряд називається знакочереднимякщо знаки його сусідніх членів різні. Знайомий числовий ряд можна записати у вигляді або , де .

Числовий ряд називається знакозмінним, якщо він містить безліч як позитивних, так і негативних членів.

Знакочередующийся числовий ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

Ряди

є знакопозитивним, знакочередним і знакозмінним відповідно.

Для знакозмінного ряду існує поняття абсолютної та умовної збіжності.

абсолютно схожим, якщо сходиться ряд з абсолютних величин його членів, тобто, сходиться позитивний числовий ряд .

Наприклад, числові ряди і абсолютно сходяться, оскільки сходиться ряд , що є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії.

Знакозмінний ряд називається умовно схожимякщо ряд розходиться, а ряд сходиться.

Як приклад умовно схожого числового ряду можна навести ряд . Числовий ряд , Складений з абсолютних величин членів вихідного ряду, що розходиться, так як є гармонійним. У той же час, вихідний ряд є схожим, що легко встановлюється за допомогою . Таким чином, числовий ряд умовно схожий.

Властивості схожих числових рядів.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду.

Рішення.

Запишемо ряд в іншому вигляді . Числовий ряд сходиться, так як узагальнено гармонійний ряд є схожим при s> 1, а в силу другого властивості числових рядів, що сходяться, буде сходиться і ряд з числовим коефіцієнтом .

приклад.

Чи сходиться числовий ряд.

Рішення.

Перетворимо вихідний ряд: . Таким чином, ми отримали суму двох числових рядів і , причому кожен з них сходиться (див. попередній приклад). Отже, в силу третьої властивості числових рядів, що сходяться, сходиться і вихідний ряд.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду та обчисліть його суму.

Рішення.

Даний числовий ряд можна подати у вигляді різниці двох рядів:

Кожен із цих рядів є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, отже, є схожим. Третя властивість рядів, що сходяться, дозволяє стверджувати, що вихідний числовий ряд сходиться. Обчислимо його суму.

Перший член ряду є одиниця, а знаменник відповідної геометричної прогресії дорівнює 0.5, отже, .

Першим членом ряду є 3, а знаменник відповідної нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1/3, тому .

Скористаємося отриманими результатами для знаходження суми вихідного числового ряду:

Необхідна умова збіжності низки.

Якщо числовий ряд сходиться, межа його k-ого члена дорівнює нулю: .

При дослідженні будь-якого числового ряду на збіжність насамперед слід перевіряти виконання необхідної умови збіжності. Невиконання цієї умови свідчить про розбіжність числового ряду, тобто, якщо , то ряд розходиться.

З іншого боку, треба розуміти, що ця умова не є достатньою. Тобто виконання рівності не говорить про збіжність числового ряду. Наприклад, для гармонійного ряду необхідна умова збіжності виконується , а ряд розходиться.

приклад.

Дослідити числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності числового ряду:

Межа n-ого члена числового ряду не дорівнює нулю, отже, ряд розходиться.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивного ряду.

При використанні достатніх ознак для дослідження числових рядів на збіжність постійно доводиться стикатися з так, що рекомендуємо звертатися до цього розділу при труднощі.

Необхідна та достатня умова збіжності знакопозитивного числового ряду.

Для збіжності знакопозитивного числового ряду необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Почнемо із ознак порівняння рядів. Їх суть полягає в порівнянні досліджуваного числового ряду з рядом, збіжність чи розбіжність якого відома.

Перший, другий та третій ознаки порівняння.

Перша ознака порівняння рядів.

Нехай і - два знакопозитивних числових ряду і виконується нерівність для всіх k = 1, 2, 3, ... Тоді зі збіжності ряду випливає збіжність, а з розбіжності ряду випливає розбіжність.

Перша ознака порівняння використовується дуже часто і є дуже потужним інструментом дослідження числових рядів на збіжність. Основну проблему представляє підбір відповідного ряду для порівняння. Ряд порівняння зазвичай (але завжди) вибирається отже показник ступеня його k-ого члена дорівнює різниці показників ступеня чисельника і знаменника k-ого члена досліджуваного числового ряду. Наприклад, нехай , різницю показників ступеня чисельника і знаменника дорівнює 2 – 3 = -1 , тому, порівняння вибираємо ряд із k-ым членом , тобто, гармонійний ряд. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Встановити збіжність чи розбіжність ряду.

Рішення.

Так як межа загального члена ряду дорівнює нулю, то необхідна умова збіжності ряду виконано.

Неважко помітити, що справедлива нерівність для всіх натуральних . Ми знаємо, що гармонійний ряд розходиться, отже, за першою ознакою порівняння вихідний ряд також є розбіжним.

приклад.

Дослідіть числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності числового ряду виконується, оскільки . Очевидно виконання нерівності для будь-якого натурального значення k. Ряд сходиться, оскільки узагальнено гармонійний ряд є схожим на s > 1 . Таким чином, перша ознака порівняння рядів дозволяє констатувати збіжність вихідного числового ряду.

приклад.

Визначте збіжність чи розбіжність числового ряду.

Рішення.

Отже, необхідну умову збіжності числового ряду виконано. Який ряд вибрати для порівняння? Напрошується числовий ряд, а щоб визначитися з s, уважно досліджуємо числову послідовність. Члени числової послідовності зростають до нескінченності. Таким чином, починаючи з деякого номера N (а саме з N = 1619), члени цієї послідовності будуть більше 2 . Починаючи з цього номера N, справедлива нерівність. Числовий ряд сходить у силу першого властивості рядів, що сходяться, тому що виходить з ряду, що сходить, відкиданням перших N - 1 члена. Таким чином, за першою ознакою порівняння схожим є ряд , а в силу першої властивості числових рядів, що сходяться, сходиться буде і ряд .

Друга ознака порівняння.

Нехай і знакопозитивні числові ряди. Якщо, то зі збіжності ряду випливає збіжність. Якщо, то з розбіжності числового ряду випливає розбіжність.

Слідство.

Якщо і , то зі збіжності одного ряду випливає збіжність іншого, та якщо з розбіжності випливає розбіжність.

Досліджуємо ряд збіжність з допомогою другого ознаки порівняння. Як ряд візьмемо ряд . Знайдемо межу відношення k-их членів числових рядів:

Таким чином, за другою ознакою порівняння зі збіжності числового ряду слідує збіжність вихідного ряду.

приклад.

Дослідити на збіжність числовий ряд.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності ряду . Умова виконана. Для застосування другої ознаки порівняння візьмемо гармонійний ряд. Знайдемо межу відношення k-их членів:

Отже, з розбіжності гармонійного ряду випливає розбіжність вихідного ряду за другою ознакою порівняння.

Для інформації наведемо третю ознаку порівняння рядів.

Третя ознака порівняння.

Нехай і знакопозитивні числові ряди. Якщо з деякого номера N виконується умова, то зі збіжності ряду випливає збіжність, та якщо з розбіжності ряду слід розбіжність.

Ознака Даламбер.

Зауваження.

Ознака Даламбера справедлива, якщо межа нескінченна, тобто якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо , то ознака Даламбера дає інформацію про збіжності чи розбіжності низки і потрібно додаткове дослідження.

приклад.

Дослідіть числовий ряд на збіжність за ознакою Даламбер.

Рішення.

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності числового ряду, межу обчислимо за :

Умова виконана.

Скористаємося ознакою Даламбера:

Таким чином, низка сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Нехай – знакопозитивний числовий ряд. Якщо , то числовий ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Зауваження.

Радикальна ознака Коші справедлива, якщо межа нескінченна, тобто якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо радикальна ознака Коші не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Зазвичай досить легко розглянути випадки, коли краще використовувати радикальний ознака Коші. Характерним є випадок, коли загальний член числового ряду є показово статечним виразом. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Дослідити позитивний числовий ряд на збіжність за допомогою радикальної ознаки Коші.

Рішення.

. За радикальною ознакою Коші отримуємо .

Отже, низка сходиться.

приклад.

Чи сходиться числовий ряд .

Рішення.

Скористаємося радикальною ознакою Коші , Отже, числовий ряд сходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Нехай – знакопозитивний числовий ряд. Складемо функцію безперервного аргументу y = f (x), аналогічну функції. Нехай функція y = f(x) позитивна, безперервна і спадна на інтервалі , де ). Тоді у разі збіжності невласного інтегралусходиться досліджуваний числовий ряд. Якщо ж невласний інтеграл розходиться, вихідний ряд теж розходиться.

При перевірці зменшення функції y = f(x) на інтервалі може знадобитися теорія з розділу .

приклад.

Дослідіть числовий ряд із позитивними членами на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності ряду виконана, оскільки . Розглянемо функцію. Вона позитивна, безперервна і спадна на інтервалі. Безперервність і позитивність цієї функції не викликає сумніву, а на спаданні зупинимося трохи докладніше. Знайдемо похідну:
. Вона негативна на проміжку, отже, функція зменшується на цьому інтервалі.

Ознака збіжності Даламбера Радикальна ознака збіжності Коші Інтегральна ознака збіжності Коші

Однією з поширених ознак порівняння, що у практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але також дуже популярні. Як завжди, постараюся викласти матеріал просто, доступно та зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання певною мірою трафаретні.

Жан Лерон Даламбер – знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався баллістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно й про числові лави не забув, недаремно потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?

Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найходовіший гранична ознака порівняння. Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли у загальному члені ряду:
1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.

Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:

1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступені, наприклад, , і так далі. Причому зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вона там присутня.

2) До загального члена ряду входить факторіал. Із факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці. Числова послідовність та її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки – див. Приклад 6.

Разом із ступенями чи (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – потрібно використовувати ознаку Даламбера.

Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щось ізрозглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.

Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

А зараз довгоочікувані приклади.

Приклад 1

Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознаку Даламбер:

сходиться.

(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу. За певного досвіду рішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі у загальному члені низки ми зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.

Приклад 2

Візьмемо схожий ряд та досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознаку Даламбер:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. Крім того, для тих, хто не знайомий з біномом Ньютона, це завдання взагалі може виявитися нездійсненним. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми зверху розкриємо дужки, то отримаємо старший ступінь. Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що з почленном розподілі чисельника і знаменника у нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени та – одного порядку зростання. Таким чином, можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері №1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки несолидно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3-го та більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод за зразком Прикладу 2.

Приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення і зразок оформлення в кінці уроку про числові послідовності.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.

Приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

Приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які у своїй начинці містять ланцюг множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як дослідити ряд із «ланцюжком» множників? Використовувати ознаку Даламбер. Але спочатку для розуміння того, що відбувається, розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник у знаменнику, тому якщо загальний член ряду , то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматично припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразковий зразок рішення може мати такий вигляд:

Використовуємо ознаку Даламбер:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Перед початком роботи з цією темою раджу подивитися розділ із термінологією для числових рядів. Особливо варто звернути увагу до поняття загального члена ряду. Якщо у вас є сумніви щодо правильності вибору ознаки збіжності, раджу глянути тему "Вибір ознаки збіжності числових рядів".

Ознака Д"Аламбера (або ознака Даламбера) використовується для дослідження збіжності рядів, загальний член яких строго більше за нуль, тобто $u_n > 0$. Такі ряди називають суворо позитивними. У стандартних прикладах ознака Д"Аламбер використовують у граничній формі.

Ознака Д"Аламбера (у граничній формі)

Якщо ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ суворо позитивний і $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L, $ $ то при $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (і за $L=\infty$) ряд розходиться.

Формулювання досить просте, але залишається відкритим наступне питання: що буде, якщо $ L = 1 $? Відповіді це питання ознака Д"Аламбера дати неспроможна. Якщо $L=1$, то ряд може як сходитися, і розходитися.

Найчастіше в стандартних прикладах ознака "Аламбера" застосовується, якщо у вираженні загального члена ряду присутні багаточлен від $n$ (багаточлен може бути і під коренем) і ступінь виду $a^n$ або $n!$. Наприклад, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (див. приклад №1) або $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Що означає вираз "n!"? показати\сховати

Запис "n!" (Читається "ен факторіал") позначає добуток всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

За визначенням вважається, що $0!=1!=1$. Наприклад знайдемо 5!:

$ $ 5! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 120. $$

Крім того, нерідко ознака Д"Аламбера використовують для з'ясування збіжності ряду, загальний член якого містить добуток такої структури: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1))(2\ cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot (3n-1)) $.

Приклад №1

Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ на збіжність.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Оскільки за $n≥ 1$ маємо $3n+7 > 0$, $5^n>0$ і $2n^3-1 > 0$, то $u_n > 0$. Отже наш ряд є строго позитивним.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ left(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 ) = 5. $$

Оскільки $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, то відповідно до заданого ряду розходиться.

Чесно кажучи, ознака Д"Аламбера - не єдиний варіант у даній ситуації. Можна використовувати, наприклад, радикальний ознака Коші. Однак застосування радикальної ознаки Коші вимагатиме знання (або доказу) додаткових формул. Тому використання ознаки Д"Аламбера в цій ситуації зручніше.

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №2

Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Загальний член низки містить многочлен під коренем, тобто. $\sqrt(4n+5)$, і факторіал $(3n-2)!$. Наявність факторіалу у стандартному прикладі – майже стовідсоткова гарантія застосування ознаки Д”Аламбера.

Щоб застосувати цю ознаку, нам доведеться знайти межу відношення $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Щоб записати $u_(n+1)$, потрібно у формулу $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Оскільки $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, то формулу для $u_(n+1)$ можна записати по- іншому:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Цей запис зручний для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею. Якщо рівність з факторіалами вимагає пояснень, прошу розкрити примітку нижче.

Як ми отримали рівність $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? показати\сховати

Запис $(3n+1)!$ означає добуток усіх натуральних чисел від 1 до $3n+1$. Тобто. цей вираз можна записати так:

$$ (3n+1)!=1cdot 2cdotldotscdot(3n+1). $$

Безпосередньо перед числом $3n+1$ стоїть число, на одиницю менше, тобто. число $ 3n + 1-1 = 3n $. А безпосередньо перед числом $ 3n $ стоїть число $ 3n-1 $. Ну а безпосередньо перед числом $3n-1$ маємо число $3n-1-1=3n-2$. Перепишемо формулу для $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1cdot2cdotldotscdot(3n-2)cdot(3n-1)cdot 3ncdot (3n+1) $$

Що являє собою твір $1cdot2cdotldotscdot(3n-2)$? Цей добуток дорівнює $(3n-2)!$. Отже, вираз для $(3n+1)!$ можна переписати у такій формі:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Цей запис зручний для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею.

Обчислимо значення $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9)))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Оскільки $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Ознаки збіжності рядів.
Ознака Даламбер. Ознаки Коші

Працюйте, працюйте - а розуміння прийде потім
Ж.Л. Даламбер

Усіх вітаю з початком навчального року! Сьогодні 1 вересня, і я вирішив на честь свята познайомити читачів з тим, що ви давно з нетерпінням чекали і прагнули дізнатися ознаками збіжності числових позитивних рядів. Свято Першого вересня та мої привітання завжди актуальні, нічого страшного, якщо насправді за вікном літо, ви ж зараз утретє перездаєте іспит, навчайтеся, якщо зайшли на цю сторінку!

Для тих, хто тільки починає вивчати ряди, рекомендую спочатку ознайомитися зі статтею Числові ряди для чайників. Власне, цей віз є продовженням банкету. Отже, сьогодні на уроці ми розглянемо приклади та рішення на теми:

Однією з поширених ознак порівняння, що у практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але також дуже популярні. Як завжди, постараюся викласти матеріал просто, доступно та зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання певною мірою трафаретні.

Ознака збіжності Даламбера

Жан Лерон Даламбер – знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався баллістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно й про числові лави не забув, недаремно потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?

Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найходовіший гранична ознака порівняння. Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли у загальному члені ряду:

1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.
4) Багаточленів та коренів, зрозуміло, може бути і більше.

Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:

1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступені, наприклад, , , і так далі. Причому зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, в чисельнику або в знаменнику - важливо, що вона там присутня.

2) До загального члена ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність та її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:





…


…

! При використанні ознаки Даламбера нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки – див. Приклад 6.

Разом із ступенями чи (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – потрібно використовувати ознаку Даламбера.

Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щосьз розглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.

Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

А зараз довгоочікувані приклади.

Приклад 1

Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижче.

Використовуємо ознаку Даламбер:


сходиться.
(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того щоб отримати наступний член ряду потрібно ЗАМІСТЬ підставити: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу. За певного досвіду рішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі у загальному члені низки у нас зустрівся багаточлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.

Приклад 2

Візьмемо схожий ряд та досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознаку Даламбер:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.

(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. А для тих, хто не знайомий з біномом Ньютона, це завдання виявиться ще складнішим. Проаналізуємо старші ступені: якщо ми вгорі розкриємо дужки , то отримаємо старший ступінь . Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що з почленном розподілі чисельника і знаменника у нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени і – одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері № 1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки несолидно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб розв'язання Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3 і більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод на зразок Прикладу 2.

Приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Розглянемо типові приклади з факторіалами:

Приклад 4

Дослідити ряд на збіжність

До загального члена ряду входить і ступінь, і факторіал. Зрозуміло, як день, що тут треба використати ознаку Даламбера. Вирішуємо.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду: . Щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити – див. початок уроку або статтю про числові послідовності.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.

Приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

Приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які у своїй начинці містять ланцюг множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як дослідити ряд із «ланцюжком» множників? Використовувати ознаку Даламбер. Але спочатку для розуміння того, що відбувається, розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник у знаменнику, тому якщо загальний член ряду , то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматично припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразковий зразок рішення може мати такий вигляд:

Використовуємо ознаку Даламбер:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Огюстен Луї Коші – ще знаменитіший французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище висічено на першому поверсі Ейфелевої вежі.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність низки, то ознака Даламбер теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.

Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальний ознака Коші зазвичай використовує у випадках, коли корінь «добре» витягується із загального члена ряду. Як правило, цей перець перебуває в ступені, яка залежить від. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.

Приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Ми бачимо, що дріб повністю знаходиться під ступенем, який залежить від «ен», а отже, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Оформляємо загальний член ряду під корінь.

(2) Переписуємо те саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довго: звести в куб, звести в куб, потім розділити чисельник і знаменник на «ен» у кубі. Але в даному випадку є ефективніше рішення: цей прийом можна використовувати прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на (старший ступінь багаточленів).

(5) Виконуємо почленное поділ, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(6) Доводимо відповідь до пуття, помічаємо, що й робимо висновок про те, що ряд розходиться.

А ось простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

І ще кілька типових прикладів.

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

Приклад 9

Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Поміщаємо загальний член ряду під корінь.

(2) Переписуємо те саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що .
(4) Отримано невизначеність виду, і тут теж можна виконувати розподіл прямо під ступенем. Але з однією умовою:коефіцієнти при старших ступенях багаточленів мають бути різними. У нас вони різні (5 та 6), і тому можна (і потрібно) розділити обидва поверхи на . Якщо ж ці коефіцієнти однаковінаприклад (1 і 1): , то такий фокус не проходить і потрібно використовувати друга чудова межа. Якщо пам'ятаєте, ці тонкощі розглядалися в останньому пункті статті Методи розв'язання меж.

(5) Власне виконуємо почленное поділ і вказуємо, які доданки в нас прагнуть нуля.
(6) Невизначеність усунена, у нас залишилася найпростіша межа: . Чому в нескінченно великийступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви у справедливості межі , то я не полінуся, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:

Прямо таки нескінченно спадна геометрична прогресіяна пальцях =)
! Ніколи не використовуйте цей прийом як доказ! Бо якщо щось очевидне, то це ще не означає, що це правильно.

(7) Вказуємо, як і робимо висновок у тому, що ряд сходиться.

Приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення.

Іноді на вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад: . Тут у показнику ступеня ні «ен»тільки константа. Тут необхідно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть багаточлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати має або необхідну ознаку збіжності низки або граничну ознаку порівняння.

Інтегральна ознака Коші

Або просто інтегральна ознака. Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральну ознаку Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралупершого роду.

У підручниках з математичного аналізу інтегральна ознака Кошідано математично суворо, але надто вже поморочено, тому я сформулюю ознаку не надто суворо, але зрозуміло:

Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує невласний інтеграл, то ряд сходиться чи розходиться разом із цим інтегралом.

І одразу приклади для пояснення:

Приклад 11

Дослідити ряд на збіжність

Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.

Основною передумовою використання інтегральної ознаки Кошіє те що, що у загальному члені низки містяться множники, схожі деяку функцію та її похідну. З теми