Перетворення повного квадратного рівняння в неповне виглядає так (для випадку \\ (b \u003d 0 \\)):

Для випадків, коли \\ (з \u003d 0 \\) або коли обидва коефіцієнта дорівнюють нулю - все аналогічно.

Зверніть увагу, що про рівність нулю \\ (a \\) мови не йде, воно дорівнює нулю бути не може, так як в цьому випадку перетворитися в:

Рішення неповних квадратних рівнянь.

Перш за все, треба розуміти, що неповне квадратне рівняння все-таки є, тому може бути вирішено також як і звичайне квадратне (через). Для цього просто дописуємо відсутній компонент рівняння з нульовим коефіцієнтом.

приклад : Знайдіть корені рівняння \\ (3x ^ 2-27 \u003d 0 \\)
Рішення :

		У нас неповне квадратне рівняння з коефіцієнтом \\ (b \u003d 0 \\). Тобто, ми можемо записати рівняння в наступному вигляді:
\\ (3x ^ 2 + 0 \\ cdot x-27 \u003d 0 \\)		Фактично тут те ж саме рівняння, що і на початку, але тепер його можна вирішувати як звичайне квадратне. Спочатку виписуємо коефіцієнти.
\\ (A \u003d 3; \\) \\ (b \u003d 0; \\) \\ (c \u003d -27; \\)		Обчислимо дискриминант за формулою \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)
\\ (D \u003d 0 ^ 2-4 \\ cdot3 \\ cdot (-27) \u003d \\) \(=0+324=324\)		Знайдемо коріння рівняння за формулами \\ (X_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (D)) (2a) \\) і \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (D) ) (2a) \\)
\\ (X_ (1) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0+ \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (18) (6) \\) \\ (\u003d 3 \\) \\ (X_ (2) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0- \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-18) (6) \\) \\ (\u003d - 3 \\)		записуємо відповідь

відповідь : \\ (X_ (1) \u003d 3 \\); \\ (X_ (2) \u003d - 3 \\)

приклад : Знайдіть корені рівняння \\ (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\)
Рішення :

		Знову неповне квадратне рівняння, але тепер нулю дорівнює коефіцієнт \\ (c \\). Записуємо рівняння як повне.

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Види квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівняння ключовим словом є "Квадратне". Воно означає, що в рівнянні обов'язково повинен бути присутнім ікс в квадраті. Крім нього, в рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) Просто ікс (в першого ступеня) і просто число (Вільний член). І не повинно бути іксів в ступеня, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння - це рівняння виду:

тут a, b і з - якісь числа. b і c - зовсім будь-які, а а- будь-який, крім нуля. наприклад:

тут а =1; b = 3; c = -4

тут а =2; b = -0,5; c = 2,2

тут а =-3; b = 6; c = -18

Ну ви зрозуміли…

У цих квадратних рівняннях зліва присутня повний набір членів. Ікс в квадраті з коефіцієнтом а,ікс в першого ступеня з коефіцієнтом b і вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b \u003d 0, що у нас вийде? У нас пропаде ікс в першого ступеня. Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

5х 2 -25 \u003d 0,

2х 2 -6х \u003d 0,

х 2 + 4х \u003d 0

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнта, b і c дорівнюють нулю, то все ще простіше:

2х 2 \u003d 0,

-0,3х 2 \u003d 0

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями. Що цілком логічно.) Прошу зауважити, що ікс в квадраті присутній у всіх рівняннях.

До речі, чому а не може дорівнювати нулю? А ви підставте замість а нулик.) У нас зникне ікс в квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше ...

Ось і всі головні види квадратних рівнянь. Повні і неповні.

Рішення квадратних рівнянь.

Рішення повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі треба задане рівняння привести до стандартного вигляду, тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно.) Головне - правильно визначити всі коефіцієнти, а, b і c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискриминант. Але про нього - нижче. Як бачимо, для знаходження ікси, ми використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і з в цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, в рівнянні:

а =1; b = 3; c \u003d -4. Ось і записуємо:

Приклад практично вирішене:

Це відповідь.

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитися не можна? Ну да, як же ...

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, b і з. Вірніше, не з їх знаками (де там плутатися?), А з підстановкою негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий прімерчік вирішити:

тут a = -6; b = -5; c = -1

Припустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву рядок займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма скобочки і знаками:

Це здається неймовірно важким, так ретельно розписувати. Але це тільки здається. Спробуйте. Ну, або вибирайте. Що краще, швидко, або правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час відпаде потреба так ретельно все розписувати. Саме буде правильно виходити. Особливо, якщо будете застосовувати практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться запросто і без помилок!

Але, частенько, квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

Дізналися?) Так! це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь.

Їх теж можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно зрозуміти, чому тут рівняються a, b і з.

Зрозуміли? У першому прикладі a \u003d 1; b \u003d -4; а c? Його взагалі немає! Ну да, правильно. У математиці це означає, що c \u003d 0 ! От і все. Підставляємо в формулу нуль замість c, і все у нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !

Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без усяких формул. Розглянемо перший неповне рівняння. Що там можна зробити в лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з цього? А то, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли який-небудь з множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульових числа, які при перемножуванні нуль дадуть!
Не виходить? Ото ж бо ...
Отже, можна впевнено записати: х 1 \u003d 0, х 2 \u003d 4.

Усе. Це і будуть коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці будь-якого з них у вихідне рівняння, ми отримаємо вірне тотожність 0 \u003d 0. Як бачите, рішення куди простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а який другим - абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядочку, х 1 - то, що менше, а х 2 - то, що більше.

Друге рівняння теж можна вирішити просто. Переносимо 9 в праву частину. отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. вийде:

Теж два кореня . х 1 \u003d -3, х 2 \u003d 3.

Так вирішуються всі неповні квадратні рівняння. Або за допомогою винесення ікси за дужки, або простим перенесенням числа вправо з подальшим витяганням кореня.
Сплутати ці прийоми вкрай складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь з ікси витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нічого ...

Дискримінант. Формула дискримінанту.

чарівне слово дискриминант ! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість і обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанту не доводиться! Він простий і безвідмовний в зверненні.) Нагадую саму загальну формулу для вирішення будь-яких квадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискриминант позначається буквою D. Формула дискримінанту:

D \u003d b 2 - 4ac

І чим же примітно це вираз? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанту? адже -b, або 2a в цій формулі спеціально ніяк не називають ... Букви і букви.

Справа ось в чому. При вирішенні квадратного рівняння за цією формулою, можливі всього три випадки.

1. Дискримінант позитивний. Це означає, з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, чи погано - питання інше. Важливо, що витягується в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння - два кореня. Два різних рішення.

2. Дискримінант дорівнює нулю. Тоді у вас вийде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакових. Але, в спрощеному варіанті, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний. З негативного числа квадратний корінь не розгорнеться. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому рішенні квадратних рівнянь, поняття дискримінанту не особливо-то і потрібно. Підставляємо в формулу значення коефіцієнтів, так вважаємо. Там все само собою виходить, і два кореня, і один, і жодного. Однак, при вирішенні більш складних завдань, Без знання сенсу і формули дискримінанту не обійтись. Особливо - в рівняннях з параметрами. Такі рівняння - вищий пілотаж на ДПА та ЗНО!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняння через дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Чи вмієте правильно визначати a, b і з. Чи вмієте уважно підставляти їх в формулу коренів і уважно вважати результат. Ви зрозуміли, що ключове слово тут - уважно?

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. ... За які потім буває боляче і прикро ...

прийом перший . Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с. Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтеся! Мінус перед іксом в квадраті може здорово вас засмутити. Забути його легко ... Позбавтеся від мінуса. Як? Так як вчили в попередній темі! Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад. Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! По теоремі Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! перевіряємо останнє рівняння. Тобто то, за яким ми записували формулу коренів. Якщо (як в цьому прикладі) коефіцієнт а \u003d 1, Перевірити коріння легко. Досить їх перемножити. Повинен вийти вільний член, тобто в нашому випадку -2. Зверніть увагу, не 2, а -2! вільний член зі своїм знаком . Якщо не вийшло - значить вже десь накосячілі. Шукайте помилку.

Якщо вийшло - треба скласти коріння. Остання і остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт b з протилежним знаком. У нашому випадку -1 + 2 \u003d +1. А коефіцієнт b, Який перед іксом, дорівнює -1. Значить, все вірно!
Шкода, що це так просто тільки для прикладів, де ікс в квадраті чистий, з коефіцієнтом а \u003d 1. Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Все менше помилок буде.

прийом третій . Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! Домножьте рівняння на спільний знаменник, Як описано в уроці "Як вирішувати рівняння? Чи тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки, чомусь так і лізуть ...

До речі, я обіцяв злий приклад з купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, домножаем рівняння на -1. отримуємо:

От і все! Вирішувати - одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!

Тепер можна і повирішувати.)

Вирішити рівняння:

8х 2 - 6x + 1 \u003d 0

х 2 + 3x + 8 \u003d 0

х 2 - 4x + 4 \u003d 0

(Х + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Відповіді (в безладді):

х 1 \u003d 0
х 2 \u003d 5

х 1,2 \u003d2

х 1 \u003d 2
х 2 \u003d -0,5

х - будь-яке число

х 1 \u003d -3
х 2 \u003d 3

рішень немає

х 1 \u003d 0,25
х 2 \u003d 0,5

Все сходиться? Відмінно! Квадратні рівняння - не ваша головний біль. Перші три вийшли, а інші - ні? Тоді проблема не в квадратних рівняннях. Проблема в тотожних перетвореннях рівнянь. Прогуляйтеся по посиланню, це корисно.

Не зовсім виходить? Або зовсім не виходить? Тоді вам на допомогу Розділ 555. Там всі ці приклади розібрані по кісточках. Показані головні помилки в рішенні. Розповідається, зрозуміло, і про застосування тотожних перетворень в рішенні різних рівнянь. Дуже допомагає!

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння (1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна об'єднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відомі, то многочлен другого ступеня можна представити у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що - дійсні числа.
Розглянемо дискриминант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний,, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю,, то квадратне рівняння (1) має два кратних (рівних) дійсних кореня:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант від'ємний,, то квадратне рівняння (1) має два комплексно сполучених корені:
;
.
Тут - уявна одиниця,;
і - дійсна і уявна частини коренів:
; .
тоді

.

графічна інтерпретація

якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При, графік перетинає вісь абсцис (вісь) в двох точках.
При, графік стосується осі абсцис в одній точці.
При, графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наводяться приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Висновок формули для коренів квадратного рівняння

Виконуємо перетворення і застосовуємо формули (f.1) і (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для многочлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
і.
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

приклад 1

(1.1) .

Рішення

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний,, то рівняння має два дійсних кореня:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 перетинає вісь абсцис в двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) в двох точках:
і.
Ці точки є коріннями вихідного рівняння (1.1).

відповідь

;
;
.

приклад 2

Знайти корені квадратного рівняння:
(2.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю,, то рівняння має два кратних (рівних) кореня:
;
.

Тоді розкладання трехчлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y \u003d x 2 - 4 x + 4 стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить в розкладання на множники два рази:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівних кореня:
.

відповідь

;
.

приклад 3

Знайти корені квадратного рівняння:
(3.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний,. Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексні корені:
;
;

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

відповідь

Дійсних коренів немає. Коріння комплексні:
;
;
.

Відомо, що воно є приватним варіантом рівності ах 2 + вх + с \u003d о, де а, в і с - речові коефіцієнти при невідомому х, і де а ≠ о, а в і з будуть нулями - одночасно або порізно. Наприклад, з \u003d о, в ≠ про або навпаки. Ми майже згадали визначення квадратного рівняння.

Трехчлен другого ступеня дорівнює нулю. Перший його коефіцієнт а ≠ о, в і з можуть приймати будь-які значення. Значення змінної х тоді буде коли при підстановці зверне його в правильне числове рівність. Зупинимося на речових коренях, хоча рішеннями рівняння можуть бути і Повним прийнято називати рівняння, в якому жоден з коефіцієнтів НЕ дорівнює о, а ≠ о, в ≠ о, з ≠ о.
Вирішимо приклад. 2х 2 -9х-5 \u003d о, знаходимо
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D позитивний, значить коріння є, х 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, а другий х 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -о, 5. Перевірка допоможе переконатися, що вони вірні.

Ось поетапне вирішення квадратного рівняння

Через дискриминант можна вирішити будь-яке рівняння, в лівій частині якого відомий квадратний тричлен при а ≠ о. У нашому прикладі. 2х 2 -9х-5 \u003d 0 (ах 2 + вх + с \u003d о)

Розглянемо, які бувають неповні рівняння другого ступеня

1. ах 2 + вх \u003d o. Вільний член, коефіцієнт с при х 0, тут дорівнює нулю, в ≠ o.
   Як вирішувати неповне квадратне рівняння такого виду? Виносимо х за дужки. Згадуємо, коли твір двох множників дорівнює нулю.
   x (ax + b) \u003d o, це може бути, коли х \u003d про або коли ax + b \u003d o.
   Вирішивши 2-е маємо x \u003d -в / а.
   В результаті маємо коріння х 1 \u003d 0, за обчисленнями x 2 \u003d -b / a.
2. Тепер коефіцієнт при х дорівнює о, а з не дорівнює (≠) о.
   x 2 + с \u003d о. Перенесемо з в праву частину рівності, отримаємо x 2 \u003d -с. Це рівняння тільки тоді має речові коріння, коли -з позитивне число (з \u003cо),
   х 1 тоді дорівнює √ (-с), відповідно х 2 - -√ (-з). В іншому випадку рівняння зовсім не має коренів.
3. Останній варіант: b \u003d c \u003d o, тобто ах 2 \u003d о. Природно, таке простеньке рівняння має один корінь, x \u003d о.

окремі випадки

Як вирішувати неповне квадратне рівняння розглянули, а тепер візьмемо будь-які види.

• У повному квадратному рівнянні другий коефіцієнт при х - парне число.
  Нехай k \u003d o, 5b. Маємо формули для обчислення дискримінанту і коренів.
  D / 4 \u003d k 2 - ас, коріння обчислюються так х 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / а при D\u003e o.
  x \u003d -k / a при D \u003d o.
  Ні коренів при D \u003co.
• Бувають наведені квадратні рівняння, коли коефіцієнт при х в квадраті дорівнює 1, їх прийнято записувати x 2 + рх + q \u003d o. На них поширюються всі вищенаведені формули, обчислення же дещо простіше.
  Приклад, х 2 -4х-9 \u003d 0. Обчислюємо D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  х 1 \u003d 2 + √13, х 2 \u003d 2-√13.
• Крім того, до наведених легко застосовується У ній говориться, що сума коренів рівняння дорівнює -p, другого коефіцієнту з мінусом (мається на увазі протилежний знак), а твір цих же коренів дорівнюватиме q, вільному члену. Перевірте, як легко можна було б усно визначити коріння цього рівняння. Для неприведення (при всіх коефіцієнтах, що не рівних нулю) ця теорема застосовна так: сума x 1 + x 2 дорівнює -в / а, твір х 1 · х 2 дорівнює с / a.

Сума вільного члена с і першого коефіцієнта а дорівнює коефіцієнту b. У цій ситуації рівняння має не менше ніж один корінь (легко доводиться), перший обов'язково дорівнює -1, а другий -з / а, якщо він існує. Як вирішувати неповне квадратне рівняння, можна перевірити самостійно. Простіше простого. Коефіцієнти можуть перебувати в деяких співвідношеннях між собою

• x 2 + x \u003d o, 7х 2 -7 \u003d o.
• Сума всіх коефіцієнтів дорівнює о.
  Коріння у такого рівняння - 1 і с / а. Приклад, 2х 2 -15х + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, х 2 \u003d 13/2.

Існує ряд інших способів вирішення різних рівнянь другого ступеня. Ось, наприклад, метод виділення з даного полінома повного квадрата. графічних способів кілька. Коли часто маєш справу з такими прикладами, навчишся «клацати» їх, як насіння, адже всі способи приходять на розум автоматично.

В сучасному суспільстві вміння проводити дії з рівняннями, що містять змінну, зведену в квадрат, може стати в нагоді в багатьох областях діяльності і широко застосовується на практиці в наукових і технічних розробках. Свідченням тому може служити конструювання морських і річкових суден, літаків і ракет. За допомогою подібних розрахунків визначають траєкторії переміщення самих різних тіл, в тому числі і космічних об'єктів. Приклади з рішенням квадратних рівнянь знаходять застосування не тільки в економічному прогнозуванні, при проектуванні і будівництві будівель, але і в самих звичайних життєвих обставинах. Вони можуть знадобитися в туристичних походах, на спортивних змаганнях, в магазинах при здійсненні покупок і в інших вельми поширених ситуаціях.

Розіб'ємо вираз на складові множники

Ступінь рівняння визначається максимальним значенням ступеня у змінної, яку містить цей вислів. У разі, якщо вона дорівнює 2, то подібне рівняння якраз і називається квадратним.

Якщо висловлюватися мовою формул, то зазначені вирази, як би вони не виглядали, завжди можна привести до виду, коли ліва частина виразу складається з трьох доданків. Серед них: ax 2 (тобто змінна, зведена в квадрат зі своїм коефіцієнтом), bx (невідоме без квадрата зі своїм коефіцієнтом) і c (вільна складова, тобто звичайне число). Все це в правій частині прирівнюється 0. У випадку, коли у подібного многочлена відсутня одна з його складових доданків, за винятком ax 2, воно називається неповним квадратним рівнянням. Приклади з рішенням таких завдань, значення змінних в яких знайти нескладно, слід розглянути в першу чергу.

Якщо вираз на вигляд виглядає таким чином, що доданків у вираження в правій частині два, точніше ax 2 і bx, найлегше відшукати х винесенням змінної за дужки. Тепер наше рівняння буде виглядати так: x (ax + b). Далі стає очевидно, що або х \u003d 0, або завдання зводиться до знаходження змінної з наступного виразу: ax + b \u003d 0. Зазначене продиктоване одним з властивостей множення. Правило говорить, що твір двох множників дає в результаті 0, тільки якщо один з них дорівнює нулю.

приклад

x \u003d 0 або 8х - 3 \u003d 0

В результаті отримуємо два кореня рівняння: 0 і 0,375.

Рівняння такого роду можуть описувати переміщення тіл під дією сили тяжіння, що почали рух з певної точки, прийнятої за початок координат. Тут математична запис приймає наступну форму: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Підставивши необхідні значення, прирівнявши праву частину 0 і знайшовши можливі невідомі, можна дізнатися час, що проходить з моменту підйому тіла до моменту його падіння, а також багато інших величини. Але про це ми поговоримо пізніше.

Розкладання виразу на множники

Описане вище правило дає можливість вирішувати зазначені завдання і в більш складних випадках. Розглянемо приклади з рішенням квадратних рівнянь такого типу.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Цей квадратний тричлен є повним. Для початку перетворимо вираз і розкладемо його на множники. Їх виходить два: (x-8) і (x-25) \u003d 0. У результаті маємо два кореня 8 і 25.

Приклади з рішенням квадратних рівнянь в 9 класі дозволяють даним методом знаходити змінну у виразах не тільки другого, але навіть третього і четвертого порядків.

Наприклад: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. При розкладанні правій частині на множники зі змінною, їх виходить три, тобто (x + 1), (x-3) і (x + 3).

В результаті стає очевидно, що дане рівняння має три корені: -3; -1; 3.

Витяг квадратного кореня

Іншим випадком неповного рівняння другого порядку є вираз, на мові букв представлене таким чином, що права частина будується зі складових ax 2 і c. Тут для отримання значення змінної вільний член переноситься в праву сторону, А після цього з обох частин рівності витягується квадратний корінь. Слід звернути увагу, що і в даному випадку коренів рівняння зазвичай буває два. Винятком можуть служити лише тільки рівності, взагалі не містять доданок с, де змінна дорівнює нулю, а також варіанти виразів, коли права частина виявляється негативною. В останньому випадку рішень взагалі не існує, так як зазначені вище дії неможливо виробляти з корінням. Приклади рішень квадратних рівнянь такого типу необхідно розглянути.

В даному випадку корінням рівняння виявляться числа -4 і 4.

Обчислення пощади земельної ділянки

Потреба в подібного роду обчисленнях з'явилася в далекій давнині, адже розвиток математики багато в чому в ті далекі часи було обумовлено необхідністю визначати з найбільшою точністю площі і периметри земельних ділянок.

Приклади з рішенням квадратних рівнянь, складених на основі завдань такого роду, слід розглянути і нам.

Отже, припустимо є прямокутна ділянка землі, довжина якого на 16 метрів більше, ніж ширина. Слід знайти довжину, ширину і периметр ділянки, якщо відомо, що його площа дорівнює 612 м 2.

Приступаючи до справи, спочатку складемо необхідне рівняння. Позначимо за х ширину ділянки, тоді його довжина виявиться (х + 16). З написаного випливає, що площа визначається виразом х (х + 16), що, згідно з умовою нашого завдання, становить 612. Це означає, що х (х + 16) \u003d 612.

Рішення повних квадратних рівнянь, а цей вислів є саме таким, не може проводитися в попередній спосіб. Чому? Хоча ліва частина його як і раніше містить два множники, твір їх зовсім не дорівнює 0, тому тут застосовуються інші методи.

дискримінант

Перш за все зробимо необхідні перетворення, тоді зовнішній вигляд даного виразу буде виглядати таким чином: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Це означає, ми отримали вираз у формі, що відповідає зазначеному раніше стандарту, де a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Це може стати прикладом вирішення квадратних рівнянь через дискримінант. Тут необхідні розрахунки проводяться за схемою: D \u003d b 2 - 4ac. Дана допоміжна величина не просто дає можливість знайти шукані величини в рівнянні другого порядку, вона визначає кількість можливих варіантів. У разі, якщо D\u003e 0, їх два; при D \u003d 0 існує один корінь. У разі, якщо D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Про коріння і їх формулою

У нашому випадку дискримінант дорівнює: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Це говорить про те, що відповідь у нашій задачі існує. Якщо знати, до, рішення квадратних рівнянь потрібно продовжувати із застосуванням нижче наведеної формули. Вона дозволяє обчислити корені.

Це означає, що в представленому випадку: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Другий варіант в даній проблемі не може бути рішенням, тому що розміри земельної ділянки не можуть вимірюватися в негативних величинах, значить х (тобто ширина ділянки) дорівнює 18 м. Звідси обчислюємо довжину: 18 + 16 \u003d 34, і периметр 2 (34+ 18) \u003d 104 (м 2).

Приклади і задачі

Продовжуємо вивчення квадратних рівнянь. Приклади і докладний рішення кількох з них будуть наведені далі.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Перенесемо все в ліву частину рівності, зробимо перетворення, тобто отримаємо вид рівняння, який прийнято називати стандартним, і прирівняємо його нулю.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Склавши подібні, визначимо дискриминант: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Значить у нашого рівняння буде два кореня. Обчислимо їх згідно наведеної вище формулою, а це значить, що перший з них буде дорівнює 4/3, а другий 1.

2) Тепер розкриємо загадки іншого роду.

З'ясуємо, чи є взагалі тут коріння x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Для отримання вичерпної відповіді наведемо багаточлен до відповідного звичного вигляду і обчислимо дискриминант. У зазначеному прикладі рішення квадратного рівняння проводити не обов'язково, адже суть завдання полягає зовсім не в цьому. В даному випадку D \u003d 16 - 20 \u003d -4, а значить, коріння дійсно немає.

теорема Вієта

Квадратні рівняння зручно вирішувати через зазначені вище формули і дискримінант, коли з значення останнього витягується квадратний корінь. Але це буває не завжди. Однак способів для отримання значень змінних в даному випадку існує безліч. Приклад: рішення квадратних рівнянь за теоремою Вієта. Вона названа на честь який жив в XVI столітті у Франції і зробив блискучу кар'єру завдяки своєму математичному таланту і зв'язків при дворі. Портрет його можна побачити в статті.

Закономірність, яку помітив прославлений француз, полягала в наступному. Він довів, що коріння рівняння в сумі чисельно рівні -p \u003d b / a, а їх добуток відповідає q \u003d c / a.

Тепер розглянемо конкретні завдання.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Для простоти перетворимо вираз:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Скористаємося теоремою Вієта, це дасть нам наступне: сума коренів дорівнює -7, а їх добуток -18. Звідси отримаємо, що корінням рівняння є числа -9 і 2. Зробивши перевірку, переконаємося, що ці значення змінних дійсно підходять в вираз.

Графік і рівняння параболи

Поняття квадратична функція і квадратні рівняння тісно пов'язані. Приклади подібного вже були наведені раніше. Тепер розглянемо деякі математичні загадки трохи докладніше. Будь-яке рівняння описуваного типу можна уявити наочно. Подібна залежність, намальована у вигляді графіка, називається параболою. Різні її види представлені на малюнку нижче.

Будь-яка парабола має вершину, тобто точку, з якої виходять її гілки. У разі якщо a\u003e 0, вони йдуть високо в нескінченність, а коли a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наочні зображення функцій допомагають вирішувати будь-які рівняння, в тому числі і квадратні. Цей метод називається графічним. А значенням змінної х є координата абсцис в точках, де відбувається перетин лінії графіка з 0x. Координати вершини можна дізнатися по щойно наведеній формулі x 0 \u003d -b / 2a. І, підставивши отримане значення в початкове рівняння функції, можна дізнатися y 0, тобто другу координату вершини параболи, що належить осі ординат.

Перетин гілок параболи з віссю абсцис

Прикладів з рішенням квадратних рівнянь дуже багато, але існують і загальні закономірності. Розглянемо їх. Зрозуміло, що перетин графіка з віссю 0x при a\u003e 0 можливо тільки якщо у 0 набуває від'ємних значень. А для a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В іншому випадку D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

За графіком параболи можна визначити і коріння. Вірно також зворотне. Тобто якщо отримати наочне зображення квадратичної функції нелегко, можна прирівняти праву частину виразу до 0 і вирішити отримане рівняння. А знаючи точки перетину з віссю 0x, легше побудувати графік.

З історії

За допомогою рівнянь, що містять змінну, зведену в квадрат, в старовину не тільки робили математичні розрахунки і визначали площі геометричних фігур. Подібні обчислення древнім були потрібні для грандіозних відкриттів в області фізики і астрономії, а також для складання астрологічних прогнозів.

Як припускають сучасні діячі науки, одними з перших рішенням квадратних рівнянь зайнялися жителі Вавилона. Сталося це за чотири століття до настання нашої ери. Зрозуміло, їх обчислення докорінно відрізнялися від нині прийнятих і виявлялися набагато примітивніше. Наприклад, месопотамські математики поняття не мали про існування негативних чисел. Незнайомі їм були також інші тонкощі з тих, які знає будь-який школяр сучасності.

Можливо, ще раніше вчених Вавилона рішенням квадратних рівнянь зайнявся мудрець з Індії Баудхаяма. Сталося це приблизно за вісім століть до настання ери Христа. Правда, рівняння другого порядку, способи вирішення яких він привів, були самими найпростіший. Крім нього, подібними питаннями цікавилися в старовину і китайські математики. В Європі квадратні рівняння почали вирішувати лише на початку XIII століття, але зате пізніше їх використовували в своїх роботах такі великі вчені, як Ньютон, Декарт і багато інших.