Квадратні рівняння з синусом і косинусом. тригонометричні рівняння

Короткий виклад теоретичних питань диференційованого заліку

Для студентів 1 курсу

Спеціальності 23.02.03 « Технічне обслуговування і ремонт автомобільного транспорту »

Рівняння. Корінь рівняння. Що значить «вирішити рівняння»?

Рівняння - це рівність, що містить змінну.

Корінь рівняння - таке значення змінної, яке при підстановці його в рівняння, звертає його в правильне числове рівність.

Вирішити рівняння - це значить знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

Система рівнянь - це сукупність з двох і більше рівнянь з двома і більше невідомими; причому рішення одного з рівнянь є одночасно і рішенням всіх інших.

Види рівнянь та їх вирішення: лінійне, квадратне.

лінійні рівняння - це рівняння виду: ах + b \u003d 0, де a і b - деякі постійні. Якщо а не дорівнює нулю, то рівняння має один єдиний корінь: х \u003d - b: а. Якщо а дорівнює нулю і b дорівнює нулю, то коренем рівняння ах + b \u003d 0 є будь-яке число. Якщо а дорівнює нулю, а b не дорівнює нулю, то рівняння ах + b \u003d 0 не має коренів.

Способи вирішення лінійних рівнянь

1) тотожні перетворення

2) графічний спосіб.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c \u003d 0. Тоді дискриминант - це число D = b 2 − 4ac.

1. Якщо D < 0, корней нет;

2. Якщо D \u003d 0, тобто рівно один корінь;

3. Якщо D \u003e 0, коренів буде два.

Якщо дискримінант D\u003e 0, коріння можна знайти за формулами: Коріння квадратного рівняння. Тепер перейдемо, власне, до вирішення. якщо дискримінант D \u003e 0, коріння можна знайти за формулами:

Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь

Загальний вигляд рішення рівняння cos x \u003d a, де | a | ≤ 1, визначається формулою:

x \u003d ± arccos (a) + 2πk, k ∈ Z (цілі числа), при | a | \u003e 1 рівняння cos x \u003d a не має рішень серед дійсних чисел.

Загальний вигляд рішення рівняння sin x \u003d a, де | a | ≤ 1, визначається формулою:

x \u003d (- 1) k · arcsin (a) + πk, k ∈ Z (цілі числа), при | a | \u003e 1 рівняння sin x \u003d a не має рішень серед дійсних чисел.

Загальний вигляд рішення рівняння tg x \u003d a визначається формулою:

x \u003d arctg (a) + πk, k ∈ Z (цілі числа).

Загальний вигляд рішення рівняння ctg x \u003d a визначається формулою:

x \u003d arcctg (a) + πk, k ∈ Z (цілі числа).

Рішення лінійних тригонометричних рівнянь

Лінійні тригонометричні рівняння мають вигляд k * f (x) + b \u003d 0, де f (x) - тригонометрическая функція, а k і b - дійсні числа.

Для вирішення рівняння його приводять до найпростішого виду шляхом тотожних перетворень

Рішення лінійно - комбінованих тригонометричних рівнянь

Лінійно - комбіновані тригонометричні рівняння мають вигляд f (kx + b) \u003d а, де f (x) - тригонометрическая функція, а, k і b - дійсні числа.

Для вирішення рівняння його вводять нову змінну у \u003d kx + b. Вирішують отримане найпростіше тригонометрическое рівняння відносно у і виробляють зворотну заміну.

Рішення тригонометричних рівнянь з використанням формул приведення

Рішення тригонометричних рівнянь з використанням тригонометричних тотожностей

При вирішенні тригонометричних рівнянь, які не є простими, виконуються тотожні перетворення за такими формулами:

Рішення квадратних тригонометричних рівнянь

Відмінні ознаки рівнянь, що зводяться до квадратних:

У рівнянні присутні тригонометричні функції від одного аргументу або вони легко зводяться до одного аргументу.

У рівнянні присутній тільки одна тригонометрическая функція або всі функції можна звести до однієї.

Алгоритм рішення:

Виконується підстановка.

Виконується перетворення виразу.

Вводиться позначення (наприклад, sinx \u003d y).

Вирішується квадратне рівняння.

Підставляється значення позначеної величини, і вирішується тригонометрическое рівняння

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ МІСТА МОСКВИ

ДЕРЖАВНЕ БЮДЖЕТНА ПРОФЕСІЙНЕ

Освітні установи міста Москви

«Політехнічний технікум № 47 імені В.Г.Федорова»

урок

з дисципліни Математика

«Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних»

викладач

Протасевич Ольга Миколаївна

ПРОФЕСІЯ: Наладчик апаратного і програмного забезпечення

Дисципліна : Математика

КУРС : 1

СЕМЕСТР : 2

ГРУПА :

Тема урока:

«Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних».

Тип уроку: комбінований урок

Форма уроку: колективне навчання за методикою В.К. Дьяченко

(навчання в системах малих груп)

Мета уроку:

освітня - розглянути загальні підходи, узагальнити відомості про види і методи рішення тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних; формувати вміння і навички застосування знань при вирішенні базових рівнянь і застосування отриманих знань у професійній діяльності.

розвиваюча - сприяти розвитку логічного мислення в учнів, Розвивати вміння аналізувати, міркувати, порівнювати, робити висновки, осмислювати матеріал;

Виховна - виховання пізнавального інтересу, елементів культури спілкування, спонукати учнів до подолання труднощів в процесі розумової діяльності, формування навичок роботи в трудовому і навчальному колективі.

Завдання уроку:

Ознайомити учнів з основними видами і методами рішення тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних.

Забезпечення (ресурси):

Апаратне забезпечення: комп'ютер, мультимедійний проектор.

Програмне забезпечення:MicrosoftExcel.

Основні поняття:

Квадратне рівняння; найпростіші тригонометричні рівняння; зворотні тригонометричні функції; тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних.

література:

Башмаков М.І. Математика: підручник для початкової та середньої професійної освіти.- М .; «Академія», 2010. - 256 с.

Дьяченко В. К. - М .; « народна освіта», 2001. - 496 с.

методична література:

Башмаков М.І. Математика: книга для викладачів. Методичний посібник М .; « Академія », 2013 р.- 224 с.

Електронні ресурси:

матеріали сайту суспільно-педагогічного руху по створенню колективного способу навчання:www.kco-kras.ru.

етапи уроку

Організаційний момент.

Перевірка домашнього завдання.

Актуалізація опорних знань.

Вивчення нового матеріалу.

Закріплення і систематизація отриманих знань.

Рефлексія. Підведення підсумків. Домашнє завдання.

Хід уроку

Організаційний момент.

Викладач ставить перед учнями мети уроку:

1) Ознайомити з основними видами тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних;

2) Ознайомити з типовими методами рішення тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних.

3) Навчити застосовувати отримані знання і вміння для вирішення стандартних рівнянь;

4) Навчити працювати з інформацією, представленою в різних формах, Здійснювати взаємний контроль і самоконтроль, застосовувати отримані знання в професійній діяльності.

II . Перевірка домашнього завдання.

Викладач включає презентацію «Домашнє завдання», по якій учні самостійно виконують перевірку домашнього завдання, при необхідності вносять поправки і виправлення в роботу.

На прохання учнів викладач коментує рішення рівнянь, що викликали труднощі, після чого оголошує прізвища учнів, хто після закінчення уроку здає на перевірку зошити.

№ 1

відповідь:

№ 2

відповідь:

№ 3

відповідь:

№ 4

тому то рівняння коренів не має

Відповідь: коренів немає

№ 5

відповідь:

№ 6

відповідь:

III . Актуалізація опорних знань.

Викладач формує навчальні групи / пари і пропонує на виданих бланках встановити відповідність між рівняннями і відповідями: «Перед вами слайд з навчальним завданням. Установіть відповідність між рівняннями (ліва частина таблиці) і відповідями (права частина таблиці). Запишіть номери вірних пар висловлювань в зошит ».

Зазначені завдання дублюються на включеній презентації.

встановіть відповідність

п / п

рівняння

п / п

відповідь

Корній немає

Після закінчення роботи викладач фронтально опитує представників груп, після чого включає сторінку презентації з правильними рішеннями.

правильні відповіді

п / п

рівняння

п / п

відповідь

Корній немає

11.

13.

10.

12.

IV . Вивчення нового матеріалу.

Викладач включає презентацію нового матеріалу «Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних. Типи рівнянь і методи їх розв'язання ».

Пропонує учнем записувати необхідні тези і починає коментувати кожен слайд, після чого включає презентацію.

Введемо поняття:

Загальний вигляд квадратного рівняння:

1 тип тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних - рівняння, алгебраїчні щодо однієї з тригонометричних функцій.

Викладач пояснює способи вирішення.

1. Безпосередня підстановка

заміна ,

коренів немає

відповідь:

Аналогічне рішення мають рівняння виду

заміна

2.Уравненія, що вимагають перетворення за формулою тригонометричної одиниці

заміна , тоді рівняння приймає вид

Корній немає

відповідь:

Аналогічне рішення мають рівняння виду:

замінимо , використовуючи формулу тригонометричної одиниці

Отримаємо рівняння, що містить тільки одну тригонометричну функцію :

заміна

3.Уравненія, що вимагають перетворення за формулою зв'язку tgx і з tgx

Застосовуємо формулу:

Помножимо рівняння на

заміна , тоді рівняння приймає вид

відповідь:

2 тип тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних- однорідні рівняння, в яких кожний доданок має одну й ту ж саму ступінь.

Розділимо рівняння на

заміна , тоді рівняння приймає вид

відповідь:

Викладач пропонує узагальнити представлений матеріал і задає питання: «На скільки типів діляться тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних? Їх назва? Назвіть способи вирішення тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних ».

Викладач спрямовує дії учнів при складанні алгоритму розв'язання рівнянь даного типу.

Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних, діляться на два основних типи:

tgx і з tgx :

2 тип - однорідні рівняння, в яких кожний доданок має одну і ту ж ступінь:

Викладач складає відкоригований Алгоритм рішення:

1. Визначте тип рівняння. При необхідності перетворіть рівняння так, що б у ньому була присутня тільки одна тригонометрическая функція. Для цього вибери потрібну формулу: абоабо роздягнули на

2. Вводиться заміна (наприклад, Sinx \u003d t , cosx = t , tgx = t ).

5. Запиши відповідь.

Для закріплення отриманих знань викладач пропонує встановити відповідність між рівняннями і можливими способами їх рішень: «Перед вами слайд з навчальним завданням.

1. Проведіть класифікацію рівнянь за методами вирішення відповідно до наведеної нижче таблиці

(Роздруковані варіанти таблиці знаходяться у вас на столах).

2. Поставте у відповідній графі номер методу рішення.

Заповніть таблицю".

Робота виконується в парах.

п / п

рівняння

методу

методи:

1) Введіть нову змінну.

2) Введіть нову змінну

3) Введіть нову змінну.

4) Перетворіть рівняння, застосувавши формулу, введіть нову змінну.

5) Перетворіть рівняння, застосувавши формулу, введіть нову змінну.

6) Розділіть кожен член рівняння на, введіть нову змінну.

7) Перетворіть рівняння застосувавши формулу, помножте члени рівняння на, введіть нову змінну.

Перевірка завдання здійснюється у формі фронтальної бесіди.

Викладач: «Перед вами слайд з правильними відповідями до навчального завданням . Виконайте перевірку, звіряючись з правильними відповідями до навчального завданням. Виконайте роботу над помилками в зошиті ».

Бланки із завданнями збираються в кінці уроку.

п / п

рівняння

методу

VI . Закріплення і систематизація отриманих знань.

Викладач пропонує учнем продовжити роботу в групах.

Викладач: «Вирішіть рівняння. Виконайте перевірку результату в редакторі Microsoft Excel . Після закінчення рішення представник групи виходить до навчальної дошки і представляє рішення рівняння, виконане групою ». Викладач перевіряє рішення, оцінює роботу групи і при необхідності вказує на помилки ».

викладач:

1 ) Обговоріть способи вирішення в групі.

2) Запишіть рішення і отриману відповідь в зошит.

3) Виконати перевірку результату в редакторі Microsoft Excel .

4) Повідомте про готовність викладачеві.

5) Поясніть своє рішення, записавши його на дошці, членам інших груп.

6) Задумливо вислухайте виступу товаришів, при необхідності задавайте питання.

Навчальним групам, які виконали завдання в повному обсязі, пропонується виконати завдання інших груп. Склад успішних груп заохочується підвищенням підсумкового бала на одну одиницю.

Перша група:

Застосовуємо формулу:

Корній немає

тому

відповідь:

Друга група:

Застосовуємо формулу:

Заміна, тоді рівняння приймає вид

Відповідь:;

Третя група:

Застосовуємо формулу:

Помножимо рівняння на

Заміна, тоді рівняння приймає вид

відповідь:

Четверта група:

Розділимо рівняння на

Заміна, тоді рівняння приймає вид

відповідь:

П'ята група:

Заміна, тоді рівняння приймає вид

відповідь :; .

VII . Рефлексія. Підведення підсумків. Домашнє завдання.

Викладач: Підіб'ємо підсумки вашої роботи, співвідносячи результати вашої діяльності з поставленою метою.

повторимо поняття:

«Тригонометричні рівняння, які за допомогою перетворення і заміни змінної наводяться до квадратних називаються тригонометричними рівняннями, які зводились до квадратних».

1 тип - рівняння, алгебраїчні щодо однієї з тригонометричних функцій:

- безпосередня підстановка - заміна або;

- рівняння, що вимагають перетворення за формулою тригонометричної одиниці;

- рівняння, що вимагають перетворення за формулою зв'язку tgx і з tgx :

2 тип - однорідні рівняння, в яких кожний доданок має одну й ту ж саму ступінь: розділимо рівняння на, потім заміна.

Алгоритм рішення:

1. Визначте тип рівняння. При необхідності перетворіть рівняння так, що б у ньому була присутня тільки одна тригонометрическая функція.

Для цього вибери потрібну формулу:

або або роздягнули на

2. Вводиться заміна (наприклад, sinx \u003d t , cosx = t , tgx = t ).

3. Вирішіть квадратне рівняння.

4. Проводиться зворотна заміна, і вирішується найпростіше тригонометрическое рівняння.

5. Запиши відповідь.

Викладач проводить оцінювання роботи учнів, навчальних груп і оголошує оцінки.

Викладач: «Запишіть домашнє завдання: Башмаков М.І. Математика: підручник для початкового і середнього проф. образованія.- М .; «Академія», 2010. Стор. 114-115. У номері 10 вирішити рівняння № 4,5,7,9. стр. 118. Виконайте перевірку результату в редакторі Microsoft Excel ».

При вирішенні багатьох математичних задач, Особливо тих, які зустрічаються до 10 класу, порядок виконуваних дій, які приведуть до мети, визначено однозначно. До таких завдань можна віднести, наприклад, лінійні і квадратні рівняння, лінійні і квадратні нерівності, дробові рівняння і рівняння, які зводяться до квадратних. Принцип успішного вирішення кожного зі згаданих завдань полягає в наступному: треба встановити, до якого типу належить вирішити завдання, згадати необхідну послідовність дій, які призведуть до потрібного результату, Тобто відповіді, і виконати ці дії.

Очевидно, що успіх або неуспіх у вирішенні того чи іншого завдання залежить головним чином від того, наскільки правильно визначено тип решаемого рівняння, наскільки правильно відтворена послідовність всіх етапів його рішення. Зрозуміло, при цьому необхідно володіти навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Інша ситуація виходить з тригонометричними рівняннями. Встановити факт того, що рівняння є тригонометричним, зовсім неважко. Складнощі виникають при визначенні послідовності дій, які б привели до правильної відповіді.

За зовнішнім виглядом рівняння часом буває важко визначити його тип. А не знаючи типу рівняння, майже неможливо вибрати з декількох десятків тригонометричних формул потрібну.

Щоб вирішити тригонометрическое рівняння, треба спробувати:

1. привести всі функції входять в рівняння до «однаковим кутах»;
2. привести рівняння до «однаковим функцій»;
3. розкласти ліву частину рівняння на множники і т.п.

Розглянемо основні методи рішення тригонометричних рівнянь.

I. Приведення до найпростіших тригонометричним рівнянням

схема рішення

Крок 1. Висловити тригонометричну функцію через відомі компоненти.

Крок 2. Знайти аргумент функції за формулами:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n Є Z..

sin x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x \u003d a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x \u003d a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3. Знайти невідому змінну.

Приклад.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Рішення.

1) cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Відповідь: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. заміна змінної

схема рішення

Крок 1. Привести рівняння до алгебраїчного виду щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2. Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно, ввести обмеження на t).

Крок 3. Записати і вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4. Зробити зворотний заміну.

Крок 5. Вирішити найпростіше тригонометрическое рівняння.

Приклад.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Рішення.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Нехай sin (x / 2) \u003d t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 або е \u003d -3/2, не задовольняє умові | t | ≤ 1.

4) sin (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n Є Z;

x \u003d π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x \u003d π + 4πn, n Є Z.

III. Метод зниження порядку рівняння

схема рішення

Крок 1. Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи для цього формули пониження степеня:

sin 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2. Вирішити отримане рівняння з допомогою методів I і II.

Приклад.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x \u003d ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. однорідні рівняння

схема рішення

Крок 1. Привести дане рівняння до виду

a) a sin x + b cos x \u003d 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або до виду

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2. Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b \u003d 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Крок 3. Вирішити рівняння відомими способами.

Приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 \u003d 0.

3) Нехай tg x \u003d t, тоді

t 2 + 3t - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 або t \u003d -4, значить

tg x \u003d 1 або tg x \u003d -4.

З першого рівняння x \u003d π / 4 + πn, n Є Z; з другого рівняння x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x \u003d π / 4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

схема рішення

Крок 1. Використовуючи всілякі тригонометричні формули, привести дане рівняння до рівняння, вирішувати методами I, II, III, IV.

Крок 2. Вирішити отримане рівняння відомими методами.

Приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x \u003d 0.

Рішення.

1) (Sin x + sin 3x) + sin 2x \u003d 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x \u003d 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) \u003d 0;

sin 2x \u003d 0 або 2cos x + 1 \u003d 0;

З першого рівняння 2x \u003d π / 2 + πn, n Є Z; з другого рівняння cos x \u003d -1/2.

Маємо х \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; з другого рівняння x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

У підсумку х \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Вміння і навички вирішувати тригонометричні рівняння є дуже важливими, їх розвиток вимагає значних зусиль, як з боку учня, так і з боку вчителя.

З рішенням тригонометричних рівнянь пов'язані багато завдань стереометрії, фізики, та ін. Процес вирішення таких завдань як би містить в собі багато знання і вміння, які купуються при вивченні елементів тригонометрії.

Тригонометричні рівняння займають важливе місце в процесі навчання математики та розвитку особистості в цілому.

Залишилися питання? Не знаєте, як вирішувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Ви можете замовити докладний рішення вашого завдання !!!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції ( `sin x, cos x, tg x` або` ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми і розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, де` x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коренів.

1. Рівняння `sin x \u003d a`.

При `| a |\u003e 1` не має рішень.

При `| a | \\ Leq 1` має нескінченне число рішень.

Формула коренів: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. Рівняння `cos x \u003d a`

При `| a |\u003e 1` - як і у випадку з синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `| a | \\ Leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z`

Окремі випадки для синуса і косинуса в графіках.

3. Рівняння `tg x \u003d a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

4. Рівняння `ctg x \u003d a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь в таблиці

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса і котангенс:
Формули рішення рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи рішення тригонометричних рівнянь

Рішення будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

за допомогою перетворити його до найпростішого;
вирішити отримане просте рівняння, використовуючи вище написані формули коренів і таблиці.

Розглянемо на прикладах основні методи вирішення.

Алгебраїчний метод.

У цьому методі робиться заміна змінної та її підстановка в рівність.

Приклад. Вирішити рівняння: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

робимо заміну: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, тоді` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

знаходимо коріння: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2`, звідки йдуть два випадки:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 ',` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Розкладання на множники.

Приклад. Вирішити рівняння: `sin x + cos x \u003d 1 '.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Використовуючи, перетворимо і розкладемо на множники ліву частину:

`Sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2sin x / 2) \u003d 0`,

`Sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
`Cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1 ', `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно дане тригонометрическое рівняння привести до одного з двох видів:

`A sin x + b cos x \u003d 0` (однорідне рівняння першого ступеня) або` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \\ ne 0` - для першого випадку, і на` cos ^ 2 x \\ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`:` a tg x + b \u003d 0` і `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, які потрібно вирішити відомими способами.

Приклад. Вирішити рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1 '.

Рішення. Запишемо праву частину, як `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`Sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву і праву частини на `cos ^ 2 x \\ ne 0`, отримаємо:

`\\ Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Введемо заміну `tg x \u003d t`, в результаті` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Коріння цього рівняння: `t_1 \u003d -2` і` t_2 \u003d 1 '. тоді:

`Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in Z`
`Tg x \u003d 1 ',` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Перехід до половинному куті

Приклад. Вирішити рівняння: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `` 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 `

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Застосувавши описаний вище алгебраїчний метод, отримаємо:

`Tg x / 2 \u003d 2`, `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`,
`Tg x / 2 \u003d 3/4`, `x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x \u003d c`, де a, b, c - коефіцієнти, а x - змінна, розділимо обидві частини на` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса і косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 і їх модулі не більш 1. Позначимо їх наступним чином: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, тоді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Детальніше розглянемо на наступному прикладі:

Приклад. Вирішити рівняння: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, отримаємо:

`\\ Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Позначимо `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Так як `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, то в якості допоміжного кута візьмемо `\\ varphi \u003d arcsin 4/5`. Тоді наше рівність запишемо у вигляді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо наше рівність в наступному вигляді:

`Sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5`,

`X + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`,

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Дрібно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробом, в чисельнику і знаменниках яких є тригонометричні функції.

Приклад. Розв'язати рівняння. `\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Рішення. Помножимо і розділимо праву частину рівності на `(1 + cos x)`. В результаті отримаємо:

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

З огляду на, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Тоді `sin x \u003d 0` або` 1-sin x \u003d 0`.

`Sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in Z`
`1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

З огляду на, що `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`, рішеннями будуть` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in Z` і `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Тригонометрія, і тригонометричні рівняння зокрема, застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати все формули тригонометричних рівнянь - вони вам точно знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть, і вміти вивести. Це не так і складно, як здається. Переконайтеся самі, переглянувши відео.

Урок і презентація на тему: "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники і тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо завдання з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову в просторі
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що будемо вивчати:
1. Що таке тригонометричні рівняння?

3. Два основні методи рішення тригонометричних рівнянь.
4. Однорідні тригонометричні рівняння.
5. Приклади.

Що таке тригонометричні рівняння?

Хлопці, ми з вами вивчили вже арксинуса, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Тепер давайте подивимося на тригонометричні рівняння в загальному.

Тригонометричні рівняння - рівняння в якому змінна втримується під знаком тригонометричної функції.

Повторимо вид рішення найпростіших тригонометричних рівнянь:

1) Якщо | а | ≤ 1, то рівняння cos (x) \u003d a має рішення:

X \u003d ± arccos (a) + 2πk

2) Якщо | а | ≤ 1, то рівняння sin (x) \u003d a має рішення:

3) Якщо | а | \u003e 1, то рівняння sin (x) \u003d a і cos (x) \u003d a не мають рішень 4) Рівняння tg (x) \u003d a має рішення: x \u003d arctg (a) + πk

5) Рівняння ctg (x) \u003d a має рішення: x \u003d arcctg (a) + πk

Для всіх формул k- ціле число

Найпростіші тригонометричні рівняння мають вигляд: Т (kx + m) \u003d a, T- яка-небудь тригонометрическая функція.

Приклад.

Вирішити рівняння: а) sin (3x) \u003d √3 / 2

Рішення:

А) Позначимо 3x \u003d t, тоді наше рівняння перепишемо у вигляді:

Рішення цього рівняння буде: t \u003d ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

З таблиці значень отримуємо: t \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Повернемося до нашої змінної: 3x \u003d ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Тоді x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Відповідь: x \u003d ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, де n-ціле число. (-1) ^ n - мінус один в ступеня n.

Ще приклади тригонометричних рівнянь.

Вирішити рівняння: а) cos (x / 5) \u003d 1 б) tg (3x- π / 3) \u003d √3

Рішення:

А) У цей раз перейдемо безпосередньо до обчислення коренів рівняння відразу:

X / 5 \u003d ± arccos (1) + 2πk. Тоді x / 5 \u003d πk \u003d\u003e x \u003d 5πk

Відповідь: x \u003d 5πk, де k - ціле число.

Б) Запишемо у вигляді: 3x- π / 3 \u003d arctg (√3) + πk. Ми знаємо що: arctg (√3) \u003d π / 3

3x- π / 3 \u003d π / 3 + πk \u003d\u003e 3x \u003d 2π / 3 + πk \u003d\u003e x \u003d 2π / 9 + πk / 3

Відповідь: x \u003d 2π / 9 + πk / 3, де k - ціле число.

Вирішити рівняння: cos (4x) \u003d √2 / 2. І знайти всі корені на відрізку.

Рішення:

вирішимо в загалом вигляді наше рівняння: 4x \u003d ± arccos (√2 \u200b\u200b/ 2) + 2πk

4x \u003d ± π / 4 + 2πk;

X \u003d ± π / 16 + πk / 2;

Тепер давайте подивимося які коріння потраплять на наш відрізок. При k При k \u003d 0, x \u003d π / 16, ми потрапили в заданий відрізок.
При к \u003d 1, x \u003d π / 16 + π / 2 \u003d 9π / 16, знову потрапили.
При k \u003d 2, x \u003d π / 16 + π \u003d 17π / 16, а тут ось вже не потрапили, а значить при великих k теж свідомо не будемо потрапляти.

Відповідь: x \u003d π / 16, x \u003d 9π / 16

Два основні методи вирішення.

Ми розглянули найпростіші тригонометричні рівняння, але існують і більш складні. Для їх вирішення застосовують метод введення нової змінної і метод розкладання на множники. Давайте розглянемо приклади.

Вирішимо рівняння:

Рішення:
Для вирішення нашого рівняння скористаємося методом введення нової змінної, позначимо: t \u003d tg (x).

В результаті заміни отримаємо: t 2 + 2t -1 \u003d 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t \u003d -1 і t \u003d 1/3

Тоді tg (x) \u003d - 1 і tg (x) \u003d 1/3, отримали найпростіше тригонометрическое рівняння, знайдемо його корені.

X \u003d arctg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk; x \u003d arctg (1/3) + πk.

Відповідь: x \u003d -π / 4 + πk; x \u003d arctg (1/3) + πk.

Приклад рішення рівняння

Вирішити рівнянь: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

Рішення:

Скористаємося тотожністю: sin 2 (x) + cos 2 (x) \u003d 1

Наше рівняння набуде вигляду: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) \u003d 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 \u003d 0

Введемо заміну t \u003d cos (x): 2t 2 -3t - 2 \u003d 0

Рішенням нашого квадратного рівняння є коріння: t \u003d 2 і t \u003d -1 / 2

Тоді cos (x) \u003d 2 і cos (x) \u003d - 1/2.

Оскільки косинус не може приймати значення більше одиниці, то cos (x) \u003d 2 не має коренів.

Для cos (x) \u003d - 1/2: x \u003d ± arccos (-1/2) + 2πk; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Відповідь: x \u003d ± 2π / 3 + 2πk

Однорідні тригонометричні рівняння.

Визначення: Рівняння виду a sin (x) + b cos (x) називаються однорідними тригонометричними рівняннями першого ступеня.

рівняння виду

однорідними тригонометричними рівняннями другого ступеня.

Для вирішення однорідного тригонометричного рівняння першого ступеня розділимо його на cos (x): Ділити на косинус можна якщо він дорівнює нулю, давайте переконаємося що це не так:
Нехай cos (x) \u003d 0, тоді asin (x) + 0 \u003d 0 \u003d\u003e sin (x) \u003d 0, але синус і косинус одночасно не рівні нулю, отримали протиріччя, тому можна сміливо ділити на нуль.

Розв'язати рівняння:
Приклад: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) \u003d 0

Рішення:

Винесемо загальний множник: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) \u003d 0

Тоді нам треба вирішити два рівняння:

Cos (x) \u003d 0 і cos (x) + sin (x) \u003d 0

Cos (x) \u003d 0 при x \u003d π / 2 + πk;

Розглянемо рівняння cos (x) + sin (x) \u003d 0 Розділимо наше рівняння на cos (x):

1 + tg (x) \u003d 0 \u003d\u003e tg (x) \u003d - 1 \u003d\u003e x \u003d arctg (-1) + πk \u003d -π / 4 + πk

Відповідь: x \u003d π / 2 + πk і x \u003d -π / 4 + πk

Як вирішувати однорідні тригонометричні рівняння другого ступеня?
Хлопці, дотримуйтеся цих правил завжди!

1. Подивитися чому дорівнює коефіцієнт а, якщо а \u003d 0 то тоді наше рівняння набуде вигляду cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), приклад вирішення якого на попередньому слайді

2. Якщо a ≠ 0, то потрібно поділити обидві частини рівняння на косинус в квадраті, отримаємо:

Робимо заміну змінної t \u003d tg (x) отримуємо рівняння:

Вирішити приклад №: 3

Розв'язати рівняння:
Рішення:

Розділимо обидві частини рівняння на косинус квадрат:

Робимо заміну змінної t \u003d tg (x): t 2 + 2 t - 3 \u003d 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t \u003d -3 і t \u003d 1

Тоді: tg (x) \u003d - 3 \u003d\u003e x \u003d arctg (-3) + πk \u003d -arctg (3) + πk

Tg (x) \u003d 1 \u003d\u003e x \u003d π / 4 + πk

Відповідь: x \u003d -arctg (3) + πk і x \u003d π / 4 + πk

Вирішити приклад №: 4

Розв'язати рівняння:

Рішення:
Перетворимо наше вираз:

Вирішувати такі рівняння ми вміємо: x \u003d - π / 4 + 2πk і x \u003d 5π / 4 + 2πk

Відповідь: x \u003d - π / 4 + 2πk і x \u003d 5π / 4 + 2πk

Вирішити приклад №: 5

Розв'язати рівняння:

Рішення:
Перетворимо наше вираз:

Введемо заміну tg (2x) \u003d t: 2 2 - 5t + 2 \u003d 0

Рішенням нашого квадратного рівняння будуть коріння: t \u003d -2 і t \u003d 1/2

Тоді отримуємо: tg (2x) \u003d - 2 і tg (2x) \u003d 1/2
2x \u003d -arctg (2) + πk \u003d\u003e x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x \u003d arctg (1/2) + πk \u003d\u003e x \u003d arctg (1/2) / 2 + πk / 2

Відповідь: x \u003d -arctg (2) / 2 + πk / 2 і x \u003d arctg (1/2) / 2 + πk / 2

Завдання для самостійного рішення.

1) Вирішити рівняння

А) sin (7x) \u003d 1/2 б) cos (3x) \u003d √3 / 2 в) cos (-x) \u003d -1 г) tg (4x) \u003d √3 д) ctg (0.5x) \u003d -1.7

2) Вирішити рівняння: sin (3x) \u003d √3 / 2. І знайти всі корені на відрізку [π / 2; π].

3) Розв'язати рівняння: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 \u003d 0

4) Вирішити рівняння: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) \u003d 0

5) Вирішити рівняння: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) \u003d 0

6) Вирішити рівняння: cos 2 (2x) -1 - cos (x) \u003d √3 / 2 -sin 2 (2x)