Як виконувати дії зі звичайними дробами. Математика: дії з дробами

1.Сложеніе і віднімання дробів з однаковими знаменниками

При додаванні дробів з однаковими знаменниками числители складають, а

При відніманні дробів з однаковими знаменниками з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, а знаменник залишають той же.

приклади:а); б)

2.Сложеніе і віднімання дробів з різними знаменниками

Щоб скласти (відняти) дроби з різними знаменниками, треба:

привести дані дроби до найменшого спільного знаменника

скласти (відняти) одержані дроби (як в пункте1)

приклади:а)
; б)

3.Сложеніе і віднімання мішаних чисел

Щоб скласти змішані числа, треба:

привести дробові частини цих чисел до найменшого спільного знаменника;

окремо виконати додавання цілих частин і окремо дробових частин. Якщо при додаванні дрібних частин вийшла неправильна дріб, виділити цілу частину з цього дробу і додати її до отриманої цілої частини.

приклади:а)
; б)

Щоб виконати віднімання мішаних чисел, треба:

привести дробові частини цих чисел до найменшого спільного знаменника; якщо дрібна частина зменшуваного менше дробової частини від'ємника, перетворити її в неправильну дріб, зменшивши на одиницю цілу частину;

окремо виконати віднімання цілих частин і окремо дробових частин.

приклади:а)
; б)

4.Умноженіе дробів

а) Щоб помножити дріб на натуральне число , Треба її чисельник помножити на це число, а знаменник залишити без зміни

приклади:

б) Щоб помножити дріб на дріб, Треба:

1) в чисельнику записати твір числителей, в знаменнику - твір знаменників;

2) виконати скорочення (якщо можливо);

3) виконати множення

приклади:а)
; б)

в) Для того, щоб виконати множення мішаних чисел, треба їх записати у вигляді неправильних дробів, а потім скористатися правилом множення дробів.

приклади:

5.Деленіе дробів

Щоб розділити одну дріб на іншу, треба ділене помножити на число, протилежне дільнику

Дії з дробами. У цій статті розберемо приклади, все детально з поясненнями. Розглядати будемо звичайні дроби. Надалі розберемо і десяткові. Рекомендую подивитися весь і вивчати послідовно.

1. Сума дробів, різниця дробів.

Правило: при додаванні дробів з рівними знаменниками, в результаті отримуємо дріб - знаменник якої залишається той же, а чисельник її буде дорівнює сумі числівників дробів.

Правило: при обчисленні різниці дробів з однаковими знаменниками отримуємо дріб - знаменник залишається той же, а з чисельника першого дробу віднімається чисельник другого.

Формальна запис суми і різниці дробів з рівними знаменниками:

Приклади (1):

Зрозуміло, що коли дано звичайні дроби, то все просто, а якщо змішані? Нічого складного…

Варіант 1- можна перевести їх у звичайні і далі обчислювати.

Варіант 2- можна окремо «працювати» з цілою і дробовою частиною.

Приклади (2):

ще:

А якщо буде дана різниця двох змішаних дробів і чисельник першого дробу буде менше чисельника другий? Теж можна діяти двома способами.

Приклади (3):

* Перевели в звичайні дроби, вирахували різницю, перевели отриману неправильну дріб в змішану.

* Розбили на цілі і дробові частини, отримали трійку, далі представили 3 як суму 2 і 1, при чому одиницю представили як 11/11, далі знайшли різницю 11/11 і 7/11 і вирахували результат. Сенс викладених перетворень полягає в тому, щоб взяти (виділити) одиницю і представити її у вигляді дробу з потрібним нам знаменником, далі від цього дробу ми вже можемо відняти іншу.

Ще приклад:

Висновок: є універсальний підхід - для того, щоб обчислити суму (різницю) змішаних дробів з рівними знаменниками їх завжди можна перевести в неправильні, далі виконати необхідну дію. Після цього якщо в результаті отримуємо неправильну дріб переводимо її в змішану.

Вище ми розглянули приклади з дробом, у яких рівні знаменники. А якщо знаменники будуть відрізнятися? В цьому випадку дробу приводяться до одного знаменника і виконується вказане дію. Для зміни (перетворення) дроби використовується основна властивість дробу.

Розглянемо прості приклади:

У цих прикладах ми відразу бачимо яким чином можна перетворити одну з дробів, щоб отримати рівні знаменники.

Якщо позначити способи приведення дробів до спільного знаменника, то цей назвемо СПОСІБ ПЕРШИЙ.

Тобто, відразу при «оцінці» дробу потрібно прикинути чи спрацює такий підхід - перевіряємо чи ділиться більший знаменник на менший. І якщо ділиться, то виконуємо перетворення - домножаем чисельник і знаменник так щоб у обох дробів знаменники стали рівними.

Тепер подивіться на ці приклади:

До них вказаний підхід не застосовний. Існують ще способи приведення дробів до спільного знаменника, розглянемо їх.

спосіб ДРУГИЙ.

Множимо чисельник і знаменник першого дробу на знаменник другого, а чисельник і знаменник другого дробу на знаменник першої:

* Фактично ми наводимо дроби до виду, коли знаменники стають рівними. Далі використовуємо правило складання бійся з рівними знаменниками.

приклад:

* Даний спосіб можна назвати універсальним, і він працює завжди. Єдиний мінус у тому, що після обчислень може вийде дріб яку необхідно буде ще скоротити.

Розглянемо приклад:

Видно що чисельник і знаменник ділиться на 5:

Спосіб ТРЕТІЙ.

Необхідно знайти найменше спільне кратне (НОК) знаменників. Це і буде спільний знаменник. Що це за число таке? Це найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з чисел.

Подивіться, ось два числа: 3 і 4, є безліч чисел, які діляться на них - це 12, 24, 36, ... Найменше з них 12. Або 6 і 15, на них діляться 30, 60, 90 .... Найменша 30. Питання - а як визначити це саме найменше спільне кратне?

Є чіткий алгоритм, але часто це можна зробити і відразу без обчислень. Наприклад, за вказаними вище прикладів (3 і 4, 6 і 15) ніякого алгоритму не треба, ми взяли великі числа (4 і 15) збільшили їх в два рази і побачили, що вони діляться на друге число, але пари чисел можуть бути і іншими, наприклад 51 і 119.

Алгоритм. Для того, щоб визначити найменше спільне кратне кількох чисел, необхідно:

- розкласти кожне з чисел на ПРОСТІ множники

- виписати розкладання БІЛЬШОЇ з них

- помножити його на відсутню множники інших чисел

Розглянемо приклади:

50 і 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в розкладанні більшого числа не вистачає однієї п'ятірки

=> НОК (50,60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 5 ∙ 5 = 300

48 і 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в розкладанні більшого числа не вистачає двійки і трійки

=> НОК (48,72) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 = 144

* Найменше спільне кратне двох простих чисел дорівнює їх добутку

Питання! А чим корисно перебування найменшого спільного кратного, адже можна користуватися другим способом і отриману дріб просто скоротити? Так, можна, але це не завжди зручно. Подивіться, який вийде знаменник для чисел 48 і 72, якщо їх просто перемножити 48 ∙ 72 = 3456. Погодьтеся, що приємніше працювати з меншими числами.

Розглянемо приклади:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в розкладанні більшого числа не вистачає трійки

=> НОК (51,119) = 3 ∙ 7 ∙ 17

А тепер застосуємо перший спосіб:

* Подивіться яка різниця в обчисленнях, в першому випадку їх мінімум, а в другому потрібно попрацювати окремо на листочку, та ще й дріб яку отримали скоротити необхідно. Знаходження НОК спрощує роботу значно.

Ще приклади:

* У другому прикладі і так видно, що найменше число, Яке ділиться на 40 і 60 дорівнює 120.

ПІДСУМОК! ЗАГАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ОБЧИСЛЕНЬ!

- наводимо дроби до звичайних, якщо є ціла частина.

- наводимо дроби до спільного знаменника (спочатку дивимося ділиться один знаменник на інший, якщо ділиться то множимо чисельник і знаменник цього інший дробу; якщо не ділиться діємо за допомогою інших зазначених вище способів).

- отримавши дроби з рівними знаменниками, виконуємо дії (додавання, віднімання).

- якщо необхідно, то результат скорочуємо.

- якщо необхідно, то виділяємо цілу частину.

2. Твір дробів.

Правило просте. При множенні дробів множаться їх чисельники і знаменники:

приклади:

Ця стаття являє собою загальний погляд на дії з дробами. Тут ми сформулюємо і обгрунтуємо правила додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня дробів загального вигляду A / B, де A і B деякі числа, числові вирази або вирази зі змінними. Зазвичай матеріал будемо постачати пояснювальними прикладами з детальними описами рішень.

Навігація по сторінці.

Правила виконання дій з числовими дробом загального вигляду

Давайте домовимося під числовими дробом загального вигляду розуміти дробу, в яких чисельник і / або знаменник можуть бути представлені не тільки натуральними числами, а й іншими числами або числовими виразами. Для наочності наведемо кілька прикладів таких дробів:, .

Нам відомі правила, за якими виконуються. За цими ж правилами можна виконувати дії з дробами загального виду:

обгрунтування правил

Для обгрунтування справедливості правил виконання дій з числовими дробом загального вигляду можна відштовхуватися від наступних моментів:

• подрібнена риса - це по суті знак ділення,
• поділ на деякий відмінне від нуля число можна розглядати як множення на число, протилежне дільнику (цим відразу пояснюється правило ділення дробів),
• властивостей дій з дійсними числами,
• і його узагальненому розумінні,

Вони дозволяють провести наступні перетворення, що обгрунтовують правила додавання, віднімання дробів з однаковими і різними знаменниками, а також правило множення дробів:

приклади

Наведемо приклади виконання дії з дробами загального виду по розученого в попередньому пункті правилам. Відразу скажемо, що зазвичай після проведення дій з дробами отримана дріб вимагає спрощення, причому процес спрощення дробу часто складніше, ніж виконання попередніх дій. Ми не будемо детально зупинятися на спрощення дробів (відповідні перетворення розібрані в статті перетворення дробів), щоб не відволікатися від цікавої для нас теми.

Почнемо з прикладів додавання і віднімання числових дробів з однаковими знаменниками. Для початку складемо дроби і. Очевидно, знаменники рівні. Згідно з відповідним правилом записуємо дріб, чисельник якого дорівнює сумі числівників вихідних дробів, а знаменник залишаємо колишнім, маємо. Додавання виконано, залишається спростити отриману дріб: . Отже, .

Можна було рішення вести по-іншому: спочатку здійснити перехід до звичайних дробів, після чого провести складання. При такому підході маємо .

Тепер віднімемо з дробу дріб . Знаменники дробів рівні, тому, діємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Переходимо до прикладів додавання і віднімання дробів з різними знаменниками. Тут головна складність полягає в приведенні дробів до спільного знаменника. Для дробів загального вигляду це досить велика тема, її ми розберемо детально в окремій статті приведення дробів до спільного знаменника. Зараз же обмежимося парою загальних рекомендацій, Так як в даний моментнас більше цікавить техніка виконання дій з дробами.

Взагалі, процес схожий з приведенням до спільного знаменника звичайних дробів. Тобто, знаменники представляються у вигляді творів, далі беруться всі множники з знаменника першого дробу і до них додаються відсутні множники з знаменника другого дробу.

Коли знаменники складаються або віднімаються дробів не мають загальних множників, то в якості спільного знаменника логічно взяти їх твір. Наведемо приклад.

Припустимо, нам потрібно виконати додавання дробів і 1/2. Тут в якості спільного знаменника логічно взяти твір знаменників вихідних дробів, тобто,. В цьому випадку додатковим множником для першого дробу буде 2. Після множення на нього чисельника і знаменника дріб набуде вигляду. А для другого дробу додатковим множником є ​​вираз. З його допомогою дріб 1/2 приводиться до вигляду. Залишається скласти отримані дробу з однаковими знаменниками. Ось короткий запис всього рішення:

У разі дробів загального вигляду мова вже не йде про найменшому загальному знаменнику, до якого зазвичай наводяться звичайні дроби. Хоча в цьому питанні все ж бажано прагнути до деякого мінімалізму. Цим ми хочемо сказати, що не варто в якості спільного знаменника відразу брати твір знаменників вихідних дробів. Наприклад, зовсім не обов'язково брати спільним знаменником дробів і твір . Тут як загальний знаменник можна взяти.

Переходимо до прикладів множення дробів загального вигляду. Помножимо дроби і. Правило виконання цієї дії нам наказує записати дріб, чисельник якого є твір числителей вихідних дробів, а знаменник - добуток знаменників. маємо . Тут, як і в багатьох інших випадках при множенні дробів, можна скоротити дріб: .

Правило ділення дробів дозволяє від ділення переходити до множення на зворотну дріб. Тут потрібно пам'ятати, що для того, щоб отримати дріб, зворотний даної, потрібно переставити місцями чисельник і знаменник даної дробу. Ось приклад переходу від ділення числових дробів загального вигляду до множення: . Залишається виконати множення і спростити отриману в результаті дріб (при необхідності дивіться перетворення ірраціональних виразів):

Завершуючи інформацію цього пункту, нагадаємо, що будь-яке число або числовий вираз можна представити у вигляді дробу зі знаменником 1, тому, додавання, віднімання, множення і ділення числа і дроби можна розглядати як виконання відповідного дії з дробами, одна з яких має одиницю в знаменнику . Наприклад, замінивши в вираженні корінь з трьох дробом, ми від множення дробу на число перейдемо до множення двох дробів: .

Виконання дій з дробами, що містять змінні

Правила з першої частини поточної статті застосовуються і для виконання дій з дробами, які містять змінні. Обґрунтуємо перше з них - правило додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками, інші доводяться абсолютно аналогічно.

Доведемо, що для будь-яких виразів A, C і D (D тотожне не дорівнює нулю) має місце рівність на його області допустимих значень змінних.

Візьмемо деякий набір змінних з ОДЗ. Нехай при цих значеннях змінних вираження A, C і D приймають значення a 0, c 0 і d 0. Тоді підстановка значень змінних з обраного набору в вираз звертає його в суму (різницю) числових дробів з однаковими знаменниками виду, яка за правилом додавання (віднімання) числових дробів з однаковими знаменниками дорівнює. Але підстановка значень змінних з обраного набору в вираз звертає його в ту ж дріб. Це означає, що для обраного набору значень змінних з ОДЗ значення виразів і рівні. Зрозуміло, що значення зазначених виразів дорівнюватимуть і для будь-якого іншого набору значень змінних з ОДЗ, а це означає, що вирази і тотожно рівні, тобто, справедливо доказувана рівність .

Приклади додавання і віднімання дробів з змінними

Коли знаменники складаються або віднімаються дробів однакові, то все досить просто - складаються або віднімаються числители, а знаменник залишається колишнім. Зрозуміло, що отримана після цього дріб при потребі і можливості спрощується.

Зауважимо, що іноді знаменники дробів відрізняються лише з першого погляду, але за фактом є тотожно рівними виразами, як наприклад, і, або і. А іноді досить спростити вихідні дробу, щоб «проявилися» їх однакові знаменники.

Приклад.

, Б) , В) .

Рішення.

а) Нам потрібно виконати віднімання дробів з однаковими знаменниками. Згідно з відповідним правилом знаменник залишаємо колишнім і віднімаємо числители, маємо . Дія проведено. Але ще можна розкрити дужки в чисельнику і привести подібні доданки: .

б) Очевидно, знаменники складаються дробів однакові. Тому, складаємо числители, а знаменник залишаємо колишнім:. Додавання виконано. Але неважко помітити, що отриману дріб можна скоротити. Дійсно, чисельник отриманої дроби можна згорнути за формулою квадрат суми як (lgx + 2) 2 (дивіться формули скороченого множення), таким чином, мають місце такі перетворення: .

в) Дроби в сумі мають різні знаменники. Але, перетворивши одну з дробів, можна перейти до складання дробів з однаковими знаменниками. Покажемо два варіанти вирішення.

Перший спосіб. Знаменник першого дробу можна розкласти на множники, скориставшись формулою різницю квадратів, після чого скоротити цю дріб: . Таким чином, . Ще не завадить звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу: .

Другий спосіб. Множення чисельника і знаменника другого дробу на (цей вислів не звертається в нуль ні при яких значеннях змінної x з ОДЗ для вихідного вираження) дозволяє досягти відразу двох цілей: звільнитися від ірраціональності і перейти до складання дробів з однаковими знаменниками. маємо

відповідь:

а) , Б) , В) .

Останній прикладпідвів нас до питання приведення дробів до спільного знаменника. Там ми майже випадково прийшли до однакових знаменників, спрощуючи одну з складаються дробів. Але в більшості випадків при додаванні і відніманні дробів з різними знаменниками доводиться цілеспрямовано приводити дроби до спільного знаменника. Для цього зазвичай знаменники дробів представляються у вигляді творів, беруться всі множники з знаменника першого дробу і до них додаються відсутні множники з знаменника другого дробу.

Приклад.

Виконати дії з дробами: а) , Б), в) .

Рішення.

а) Тут немає потреби щось робити зі знаменниками дробів. В як загальний знаменник беремо твір . В цьому випадку додатковим множником для першого дробу виступає вираз, а для другого дробу - число 3. Ці додаткові множники призводять дроби до спільного знаменника, що в подальшому дозволяє виконати потрібну нам дію, маємо

б) У цьому прикладі знаменники вже представлені у вигляді творів, і ніяких додаткових перетворень не вимагають. Очевидно, множники в знаменниках відрізняються лише показниками ступенів, тому, як загальний знаменник беремо твір множників з найбільшими показниками, тобто, . Тоді додатковим множником для першого дробу буде x 4, а для другої - ln (x + 1). Тепер ми готові виконати віднімання дробів:

в) А в даному випадкудля початку попрацюємо із знаменниками дробів. Формули різницю квадратів і квадрат суми дозволяють від вихідної суми перейти до вираження . Тепер зрозуміло, що ці дроби можна привести до спільного знаменника . При такому підході рішення матиме такий вигляд:

відповідь:

а)

б)

в)

Приклади множення дробів зі змінними

Множення дробів дає дріб, чисельник якого є твір числителей вихідних дробів, а знаменник - добуток знаменників. Тут, як бачите, все звично і просто, і можна лише додати, що отримана в результаті виконання цієї дії дріб часто виявляється скоротливості. У цих випадках її скорочують, якщо, звичайно, це необхідно і виправдано.

В математиці різні типи чисел вивчаються з самого свого зародження. Існує велика кількість множин і підмножин чисел. Серед них виділяють цілі числа, раціональні, ірраціональні, натуральні, парні, непарні, комплексні і дробові. Сьогодні розберемо інформацію про останньому безлічі - дрібних числах.

визначення дробів

Дробу - це числа, що складаються з цілої частини і часткою одиниці. Також, як і цілих чисел, існує безліч дрібних, між двома цілими. В математиці дії з дробами виконуються, так як з цілими і натуральними числами. Це досить просто і навчитися цьому можна за пару занять.

У статті представлено два види

звичайні дроби

Звичайні дроби представляють собою цілу частину a і два числа записаних через дробову риску b / c. Звичайні дроби можуть бути вкрай зручні, якщо дробову частину не можна уявити в раціональному десятковому вигляді. Крім того, арифметичні операції зручніше проводити через дробову риску. Верхня частина називається чисельник, нижня - знаменник.

Дії зі звичайними дробами: приклади

Основна властивість дробу. примноженні чисельника і знаменника на одне і те ж число, що не є нулем, в результаті виходить число, що дорівнює даному. Це властивість дробу відмінно допомагає привести знаменник для складання (про це буде розказано нижче) або скоротити дріб, зробити її зручніше для рахунку. a / b = a * c / b * c. Наприклад, 36/24 = 6/4 або 9/13 = 18/26

Приведення до спільного знаменника.Щоб привести знаменник дробу необхідно представити знаменник у вигляді множників, а потім помножити на відсутні числа. Наприклад, 7/15 і 12/30; 7/5 * 3 і 12/5 * 3 * 2. Бачимо, що знаменники відрізняються двійкою, тому множимо чисельник і знаменник першого дробу на 2. Отримуємо: 14/30 і 12/30.

складові дроби- звичайні дроби з виділеної цілої частиною. (A b / c) Щоб уявити складову дріб у вигляді звичайного, необхідно помножити число, що стоїть перед дробом на знаменник, а потім скласти з чисельником: (A * c + b) / c.

Арифметичні дії з дробами

Не зайвим буде розглянути відомі арифметичні дії тільки при роботі з дробовими числами.

Додавання і віднімання.Додавати і віднімати звичайні дроби точно так же легко, як і цілі числа, за винятком однієї проблеми - наявності дробової риси. Складаючи дроби з однаковими знаменником, необхідно скласти лише числители обох дробів, знаменники залишаються без зміни. Наприклад: 5/7 + 1/7 = (5 + 1) / 7 = 6/7

Якщо ж знаменники двох дробів є різні числа спочатку потрібно привести їх до спільного (як це зробити було розглянуто вище). 1/8 + 3/2 = 1/2 * 2 * 2 + 3/2 = 1/8 + 3 * 4/2 * 4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Віднімання відбувається по точно таким же принципом: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Множення і ділення. діїз дробом по множенню відбуваються за таким принципом: окремо перемножуються чисельники і знаменники. В Загалом виглядіформула множення виглядає так: a / b * c / d = a * c / b * d. Крім того, у міру множення можна скоротити дріб, виключаючи однакові множники з чисельника і знаменника. Висловлюючись іншою мовою, чисельник і знаменник ділиться на одне і те ж число: 4/16 = 4/4 * 4 = 1/4.

Для поділу однієї звичайного дробу на іншу, потрібно поміняти чисельник і знаменник дільника і виконати множення двох дробів, за принципом, розглянутому раніше: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11/11 * 25 = 1/5

десяткові дроби

Десяткові дроби є більш популярною і часто використовуваної версією дробових чисел. Їх простіше записати в рядок або представити на комп'ютері. Структура десяткового дробу така: спочатку записується ціле число, а потім, після коми, записується дрібна частина. За своєю суттю десяткові дроби- це складові звичайні дроби, проте їх дрібна частина представлена ​​числом, діленим на кратне цифрі 10. Звідси і пішла їх назва. Дії з дробами десятковими аналогічні діям з цілими числами, так як вони так само записані в десятковій системі числення. Також на відміну від звичайних дробів, десяткові можуть бути ірраціональними. Це означає, що вони можуть бути нескінченні. Записуються вони так 7, (3). Читається такий запис: сім цілих, три десятих в періоді.

Основні дії з десятковими числами

Додавання і віднімання десяткових дробів.Виконати дії з дробами не складніше, ніж з цілими натуральними числами. Правила абсолютно аналогічні з тими, що використовують при додаванні або вирахуванні натуральних чисел. Їх точно так же можна множити в стовпчик, однак при необхідності замінювати відсутні місця нулями. Наприклад: 5,5697 - 1,12. Для того щоб виконати віднімання стовпчиком потрібно зрівняти кількість чисел після коми: (5,5697 - 1,1200). Так, числове значення не змінитися і можна буде вважати в стовпчик.

Дії з десятковими дробами можна виробляти, якщо одне з них має ірраціональний вид. Для цього потрібно перевести обидва числа в звичайні дроби, а потім користуватися прийомами, описаними раніше.

Множення і ділення.Множення десяткових дробів аналогічно множенню натуральних. Їх також можна множити стовпчиком, просто, не звертаючи уваги на кому, а потім відокремити комою в підсумковому значенні така ж кількість знаків, скільки в сумі після коми було в двох десяткових дробах. Наприклад, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все дуже просто, і не повинно викликати труднощів, якщо ви вже оволоділи множенням натуральних чисел.

Розподіл також збігається з поділом натуральних чисел, але з невеликим відступом. Щоб розділити на десяткове число стовпчиком необхідно відкинути кому в дільнику, і помножити ділене на число знаків, що стояли після коми в дільнику. Після чого виконувати розподіл як з натуральними числами. При неповному розподілі можна додавати нулі до делимому справа, також додаючи нуль у відповідь після коми.

Приклади дій з десятковими дробами.Десяткові дроби - дуже зручний інструмент для арифметичного рахунку. Вони поєднують в собі зручність натуральних, цілих чисел і точність звичайних дробів. До того ж досить просто перевести одні дробу в інші. Дії з дробами не відрізняються від дій з натуральними числами.

1. Додавання: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Віднімання: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Множення: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Розподіл: 3,6: 0,6 = 6

Крім того, десяткові дроби підходять для подання відсотків. Так, 100% = 1; 60% = 0,6; і навпаки: 0,659 = 65,9%.

Ось і все, що потрібно знати про дробах. У статті було розглянуто два види дробів - звичайні і десяткові. Обидва досить прості в обчисленні, і якщо ви повністю оволоділи натуральними числами і діями з ними, можете сміливо приступати до вивчення дрібних.

1º. Натуральні числа- це числа, що вживаються при рахунку. Безліч всіх натуральних чисел позначають N, тобто N = (1, 2, 3, ...).

дробомназивається число, що складається з декількох частин одиниці. звичайної дробомназивається число виду, де натуральне число nпоказує, на скільки рівних частин поділено одиниця, а натуральне число mпоказує, скільки таких рівних частин взято. числа mі nназивають відповідно числителемі знаменникомдробу.

якщо чисельник менше знаменника, То звичайна дріб називається правильної; якщо чисельник дорівнює знаменника або більше нього, то дріб називається неправильної. Число, що складається з цілої і дробової частин, називається змішаним числом.

Наприклад, - правильні звичайні дроби, - неправильні звичайні дроби, 1 - змішане число.

2º. При виконанні дій над звичайними дробамислід пам'ятати наступні правила:

1)Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на одне й те саме натуральне число, то вийде дріб, що дорівнює даної.

Наприклад, а); б) .

Розподіл чисельника і знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називається скороченням дробу.

2) Щоб змішане число представити у вигляді неправильного дробу, потрібно помножити його цілу частину на знаменник дробової частини і до отриманого добутку додати чисельник дробової частини, записати отриману суму числителем дробу, а знаменник залишити колишнім.

Аналогічно будь-яке натуральне число можна записати у вигляді неправильного дробу з будь-яким знаменником.

Наприклад, а), так як; б) і т.д.

3) Щоб неправильну дріб записати у вигляді змішаного числа (тобто з неправильного дробу виділити цілу частину), потрібно чисельник розділити на знаменник, частка від ділення взяти в якості цілої частини, залишок - як чисельник, знаменник залишити колишнім.

Наприклад, а), так як 200: 7 = 28 (ост. 4);
б), так як 20: 5 = 4 (ост. 0).

4) Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба знайти найменше спільне кратне (НОК) знаменників цих дробів (воно і буде їх найменшим спільним знаменником), розділити найменший спільний знаменник на знаменники даних дробів (тобто знайти додаткові множники для дробів) , помножити чисельник і знаменник кожного дробу на її додатковий множник.

Наприклад, наведемо дроби до найменшого спільного знаменника:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

значить, ; ; .

5) Правила арифметичних дій над звичайними дробами:

a) Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками виконується за правилом:

b) Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками виконується за правилом a), попередньо привівши дроби до найменшого спільного знаменника.

c) При додаванні і відніманні змішаних чисел можна звернути їх у неправильні дроби, А потім виконати дії за правилами a) і b),