F x 3x 2 первісна. Первісна функції та загальний вигляд

Урок і презентація на тему: "Первісна функція. Графік функції"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Алгебраїчні задачі з параметрами, 9-11 класи
"Інтерактивні завдання на побудову в просторі для 10 і 11 класів"

Первісна функція. Вступ

Хлопці, ви вміємо знаходити похідні функцій, використовуючи різні формули і правила. Сьогодні ми будемо вивчати операцію, зворотну обчисленню похідною. Поняття похідної часто застосовується в реальному житті. Нагадаю: похідна - це швидкість зміни функції в конкретній точці. Процеси, пов'язані з рухом і швидкістю, добре описуються в цих термінах.

Давайте розглянемо ось таке завдання: "Швидкість руху об'єкта, по прямій, описується формулою $ V \u003d gt $. Потрібно відновити закон руху.
Рішення.
Ми добре знаємо формулу: $ S "\u003d v (t) $, де S - закон руху.
Наше завдання зводиться до пошуку функції $ S \u003d S (t) $, похідна якої дорівнює $ gt $. Подивившись уважно, можна здогадатися, що $ S (t) \u003d \\ frac (g * t ^ 2) (2) $.
Перевіримо правильність вирішення цього завдання: $ S "(t) \u003d (\\ frac (g * t ^ 2) (2))" \u003d \\ frac (g) (2) * 2t \u003d g * t $.
Знаючи похідну функції, ми знайшли саму функцію, тобто виконали зворотну операцію.
Але варто звернути увагу ось на такий момент. Рішення нашої задачі вимагає уточнення, якщо до знайденої функції додати будь-яке число (константу), то значення похідної не зміниться: $ S (t) \u003d \\ frac (g * t ^ 2) (2) + c, c \u003d const $.
$ S "(t) \u003d (\\ frac (g * t ^ 2) (2))" + c "\u003d g * t + 0 \u003d g * t $.

Хлопці, зверніть увагу: наша задача має безліч рішень!
Якщо в задачі не задано початкове або якесь інше умова, не забувайте додавати константу до вирішення. Наприклад, в нашій задачі може бути задано положення нашого тіла в самому початку руху. Тоді обчислити константу не важко, підставивши нуль в отримане рівняння, отримаємо значення константи.

Як називається така операція?
Операція зворотна диференціюванню називається - інтеграцією.
Знаходження функції по заданій похідної - інтегрування.
Сама функція буде називатися первісної, тобто образ, то з чого була отримана похідна функції.
Первісну прийнято записувати великими літерами $ y \u003d F "(x) \u003d f (x) $.

Визначення. Функцію $ y \u003d F (x) $ називається первісною функції $ y \u003d f (x) $ на проміжку Х, якщо для будь-якого $ хεХ $ виконується рівність $ F '(x) \u003d f (x) $.

Давайте складемо таблицю первісних для різних функції. Її треба роздрукувати як нагадування і вивчити.

У нашій таблиці ніяких початкових умов задано не було. Значить до кожного виразу в правій частині таблиці слід додати константу. Пізніше ми уточнимо це правило.

Правила знаходження первісних

Давайте запишемо декілька правил, які нам допоможуть при знаходженні первісних. Всі вони схожі на правила диференціювання.

Правило 1. Первісна суми дорівнює сумі первісних. $ F (x + y) \u003d F (x) + F (y) $.

Приклад.
Знайти первісну для функції $ y \u003d 4x ^ 3 + cos (x) $.
Рішення.
Первісна суми дорівнює сумі первісних, тоді треба знайти первісну для кожної з представлених функцій.
$ F (x) \u003d 4x ^ 3 $ \u003d\u003e $ F (x) \u003d x ^ 4 $.
$ F (x) \u003d cos (x) $ \u003d\u003e $ F (x) \u003d sin (x) $.
Тоді первісної вихідної функції буде: $ y \u003d x ^ 4 + sin (x) $ або будь-яка функція виду $ y \u003d x ^ 4 + sin (x) + C $.

Правило 2. Якщо $ F (x) $ - первісна для $ f (x) $, то $ k * F (x) $ - первісна для функції $ k * f (x) $. (Коефіцієнт можемо спокійно виносити за функцію).

Приклад.
Знайти Первісні функцій:
а) $ y \u003d 8sin (x) $.
б) $ y \u003d - \\ frac (2) (3) cos (x) $.
в) $ y \u003d (3x) ^ 2 + 4x + 5 $.
Рішення.
а) первісною для $ sin (x) $ служить мінус $ cos (x) $. Тоді первісна вихідної функції набуде вигляду: $ y \u003d -8cos (x) $.

Б) первісних для $ cos (x) $ служить $ sin (x) $. Тоді первісна вихідної функції набуде вигляду: $ y \u003d - \\ frac (2) (3) sin (x) $.

В) первісних для $ x ^ 2 $ служить $ \\ frac (x ^ 3) (3) $. Первісною для x служить $ \\ frac (x ^ 2) (2) $. Первісною для 1 служить x. Тоді первісна вихідної функції набуде вигляду: $ y \u003d 3 * \\ frac (x ^ 3) (3) + 4 * \\ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x \u003d x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x $ .

Правило 3. Якщо $ у \u003d F (x) $ - первісна для функції $ y \u003d f (x) $, то первісна для функції $ y \u003d f (kx + m) $ служить функція $ y \u003d \\ frac (1) (k) * F (kx + m) $.

Приклад.
Знайти Первісні наступних функцій:
а) $ y \u003d cos (7x) $.
б) $ y \u003d sin (\\ frac (x) (2)) $.
в) $ y \u003d (- 2x + 3) ^ 3 $.
г) $ y \u003d e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.
Рішення.
а) первісною для $ cos (x) $ служить $ sin (x) $. Тоді первісна для функції $ y \u003d cos (7x) $ буде функція $ y \u003d \\ frac (1) (7) * sin (7x) \u003d \\ frac (sin (7x)) (7) $.

Б) первісних для $ sin (x) $ служить мінус $ cos (x) $. Тоді первісна для функції $ y \u003d sin (\\ frac (x) (2)) $ буде функція $ y \u003d - \\ frac (1) (\\ frac (1) (2)) cos (\\ frac (x) (2) ) \u003d - 2cos (\\ frac (x) (2)) $.

В) первісних для $ x ^ 3 $ служить $ \\ frac (x ^ 4) (4) $, тоді первісна вихідної функції $ y \u003d - \\ frac (1) (2) * \\ frac (((- 2x + 3) ) ^ 4) (4) \u003d - \\ frac (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) $.

Г) Злегка спростимо вираз в ступеня $ \\ frac (2x + 1) (5) \u003d \\ frac (2) (5) x + \\ frac (1) (5) $.
Первісної експоненційної функції є сама експоненціальна функція. Первісної вихідної функції буде $ y \u003d \\ frac (1) (\\ frac (2) (5)) e ^ (\\ frac (2) (5) x + \\ frac (1) (5)) \u003d \\ frac (5) ( 2) * e ^ (\\ frac (2x + 1) (5)) $.

Теорема. Якщо $ у \u003d F (x) $ - первісна для функції $ y \u003d f (x) $ на проміжку Х, то у функції $ y \u003d f (x) $ нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд $ у \u003d F ( x) + С $.

Якщо у всіх прикладах, які були розглянуті вище, потрібно було б знайти безліч всіх первісних, то всюди слід було б додати константу С.
Для функції $ y \u003d cos (7x) $ всі первісні мають вигляд: $ y \u003d \\ frac (sin (7x)) (7) + C $.
Для функції $ y \u003d (- 2x + 3) ^ 3 $ все Первісні мають вигляд: $ y \u003d - \\ frac (((- 2x + 3)) ^ 4) (8) + C $.

Приклад.
За заданим законом зміни швидкості тіла від часу $ v \u003d -3sin (4t) $ знайти закон руху $ S \u003d S (t) $, якщо в початковий момент часу тіло мало координату рівну 1,75.
Рішення.
Так як $ v \u003d S '(t) $, нам треба знайти первісну для заданої швидкості.
$ S \u003d -3 * \\ frac (1) (4) (- cos (4t)) + C \u003d \\ frac (3) (4) cos (4t) + C $.
У цьому завданні дано додаткову умову - початковий момент часу. Це означає, що $ t \u003d 0 $.
$ S (0) \u003d \\ frac (3) (4) cos (4 * 0) + C \u003d \\ frac (7) (4) $.
$ \\ Frac (3) (4) cos (0) + C \u003d \\ frac (7) (4) $.
$ \\ Frac (3) (4) * 1 + C \u003d \\ frac (7) (4) $.
$ C \u003d 1 $.
Тоді закон руху описується формулою: $ S \u003d \\ frac (3) (4) cos (4t) + 1 $.

Завдання для самостійного рішення

1. Знайти Первісні функцій:
а) $ y \u003d -10sin (x) $.
б) $ y \u003d \\ frac (5) (6) cos (x) $.
в) $ y \u003d (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. Знайти Первісні наступних функцій:
а) $ y \u003d cos (\\ frac (3) (4) x) $.
б) $ y \u003d sin (8x) $.
в) $ y \u003d ((7x + 4)) ^ 4 $.
г) $ y \u003d e ^ (\\ frac (3x + 1) (6)) $.
3. По заданому закону зміни швидкості тіла від часу $ v \u003d 4cos (6t) $ знайти закон руху $ S \u003d S (t) $, якщо в початковий момент часу тіло мало координату рівну 2.

Рішення інтегралів - завдання легка, але тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого або майже нічого. Інтеграл ... Навіщо він потрібен? Як його обчислювати? Що таке певний і невизначений інтеграли? Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла - діставати гачком в формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати інтеграли і чому без цього ніяк не можна обійтися.

Вивчаємо поняття "інтеграл"

Інтегрування було відомо ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж. З тих пір математики написали дуже багато книг по цій темі. особливо відзначилися ньютон і Лейбніц , Але суть речей не змінилася. Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про, необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас в блозі.

невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f (x) .

Невизначеним інтегралом функції f (x) називається така функція F (x) , Похідна якої дорівнює функції f (x) .

Іншими словами інтеграл - це похідна навпаки або первісна. До речі, про те, як читайте в нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають знак константи, так як похідні функцій, що розрізняються на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати Первісні елементарних функцій, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями.

Повна таблиця інтегралів для студентів

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях і багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо собі графік якої-небудь функції. Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції?

За допомогою інтеграла! Розіб'ємо криволинейную трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площа трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть приблизний результат. Однак чим менше і вже будуть відрізки, тим точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх до такої міри, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а і b називаються межами інтегрування.

Барі Алібасов і група "Інтеграл"

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтеграла

Як вирішувати невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть в нагоді при вирішенні прикладів.

Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

Константу можна виносити з-під знака інтеграла:

Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Вірно також для різниці:

Властивості визначеного інтеграла

лінійність:

Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

при будь-яких точках a, b і з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл - це межа суми. Але як отримати конкретне значення при вирішенні прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади розв'язання інтегралів

Нижче розглянемо кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів. Пропонуємо самостійно розібратися в тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, задавайте питання в коментарях.

Для закріплення матеріалу подивіться відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Чи не впадайте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться в професійний сервіс для студентів, і будь-який потрійний або криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.

Визначення первісної.

Первісної функції f (x) на проміжку (a; b) називається така функція F (x), що виконується рівність для будь-якого х з заданого проміжку.

Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи дорівнює нулю, то справедливо рівність . Таким чином, функція f (x) має безліч первісних F (x) + C, для довільної константи, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.

Визначення невизначеного інтеграла.

Всі безліч первісних функції f (x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається .

вираз називають подинтегрального виразом, А f (x) - підінтегральної функцією. Підінтегральний вираз являє собою диференціал функції f (x).

Дія знаходження невідомої функції по заданому її диференціалу називається невизначеним інтеграцією, тому що результатом інтегрування є не одна функція F (x), а безліч її первісних F (x) + C.

На підставі властивостей похідної можна сформулювати і довести властивості невизначеного інтеграла (Властивості первісної).

Проміжні рівності першого і другого властивостей невизначеного інтеграла наведені для пояснення.

Для доказу третього і четвертого властивостей досить знайти похідні від правих частин рівностей:

Ці похідні дорівнюють підінтегральної функції, що і є доказом в силу першого властивості. Воно ж використовується в останніх переходах.

Таким чином, завдання інтегрування є зворотній задачі диференціювання, причому між цими завданнями дуже тісний зв'язок:

перша властивість дозволяє проводити перевірку інтегрування. Щоб перевірити правильність виконаного інтегрування досить обчислити похідну отриманого результату. Якщо отримана в результаті диференціювання функція виявиться рівною підінтегральної функції, то це буде означати, що інтегрування проведено вірно;
друга властивість невизначеного інтеграла дозволяє за відомим диференціалу функції знайти її первісну. На цій властивості засновано безпосереднє обчислення невизначених інтегралів.

Розглянемо приклад.

Приклад.

Знайти первісну функції, значення якої дорівнює одиниці при х \u003d 1.

Рішення.

Ми знаємо з диференціального обчислення, що (Досить заглянути в таблицю похідних основних елементарних функцій). Таким чином, . За другим властивості . Тобто, маємо безліч первісних. При х \u003d 1 отримаємо значення. За умовою, це значення має дорівнювати одиниці, отже, С \u003d 1. Шукана первісна набуде вигляду.

Приклад.

Знайти невизначений інтеграл і результат перевірити диференціюванням.

Рішення.

За формулою синуса подвійного кута з тригонометрії , тому

Одна з операцій діфференцірованія- знаходження похідної (диференціала) і стосовно дослідженню функцій.

Не менш важливою є зворотна задача. Якщо відомо поведінку функції в околицях кожної точки її визначення, то як відновити функцію в цілому, тобто у всій області її визначення. Це завдання є предметом вивчення так званого інтегрального числення.

Інтегруванням називається дію зворотне диференціювання. Або відновлення функції f (х) по даній похідною f` (х). Латинське слово "integro" означає - відновлення.

приклад №1.

Нехай (f (х)) '\u003d 3х 2. Знайдемо f (х).

Рішення:

Спираючись на правило диференціювання, неважко здогадатися, що f (х) \u003d х 3, бо

(Х 3) '\u003d 3х 2 Однак, легко можна помітити, що f (х) знаходиться неоднозначно. Як f (х) можна взяти f (х) \u003d х 3 + 1 f (х) \u003d х 3 +2 f (х) \u003d х 3 -3 і ін.

Оскільки похідна кожної з них одно 3х 2. (Похідна постійної дорівнює 0). Всі ці функції відрізняються одна від одної постійним доданком. Тому загальне рішення завдання можна записати у вигляді f (х) \u003d х 3 + С, де С - будь постійне дійсне число.

Будь-яку зі знайдених функцій f (х) називають первообразной для функції F` (х) \u003d 3х 2

Визначення.

Функція F (х) називається первісною для функції f (х) на заданому проміжку J, якщо для всіх х з цього проміжку F` (х) \u003d f (х). Так функція F (х) \u003d х 3 первісна для f (х) \u003d 3х 2 на (- ∞; ∞). Так як, для всіх х ~ R справедливо рівність: F` (х) \u003d (х 3) `\u003d 3х 2

Як ми вже помітили, дана функція має нескінченну безліч первісних.

Приклад №2.

Функція є первісна для всіх на проміжку (0; + ∞), тому що для всіх ч з цього проміжку, виконується рівність.

Завдання інтегрування полягає в тому, щоб для заданої функції знайти всі її первісні. При вирішенні цього завдання важливу роль відіграє таке твердження:

Ознака сталості функції. Якщо F "(х) \u003d 0 на деякому проміжку I, то функція F - постійна на цьому проміжку.

Доведення.

Зафіксуємо деяке x 0 з проміжку I. Тоді для будь-якого числа х з такого проміжку в силу формули Лагранжа можна вказати таке число c, укладену між х і x 0, що

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

За умовою F '(с) \u003d 0, так як з ∈1, отже,

F (x) - F (x 0) \u003d 0.

Отже, для всіх х з проміжку I

т е. функція F зберігає постійне значення.

Всі первісні функції f можна записати за допомогою однієї формули, яку називають загальним видом первісних для функції f. Справедлива наступна теорема ( основну властивість первісних):

Теорема. Будь-яка первісна для функції f на проміжку I може бути записана у вигляді

F (x) + C, (1) де F (х) - одна з первісних для функції f (x) на проміжку I, а С - довільна стала.

Пояснимо це твердження, в якому коротко сформульовані два властивості первісної:

яке б число ні поставити в вираз (1) замість С, отримаємо первісну для f на проміжку I;
яку б первісну Ф для f на проміжку I ні взяти, можна підібрати таке число С, що для всіх х з проміжку I буде виконано рівність

Доведення.

За умовою функція F - первісна для f на проміжку I. Отже, F "(х) \u003d f (х) для будь-якого х∈1, тому (F (x) + C)" \u003d F "(x) + C" \u003d f (x) + 0 \u003d f (x), т. е. F (x) + C - первісна для функції f.
Нехай Ф (х) - одна з первісних для функції f на тому ж проміжку I, т. Е. Ф "(x) \u003d f (х) для всіх x∈I.

Тоді (Ф (x) - F (x)) "\u003d Ф" (х) -F '(х) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0.

Звідси випливає ст. силу ознаки сталості функції, що різниця Ф (х) - F (х) є функція, що приймає деяке постійне значення С на проміжку I.

Таким чином, для всіх х з проміжку I справедливо рівність Ф (х) - F (x) \u003d С, що й треба було довести. Основній властивості первісної можна надати геометричний сенс: графіки будь-яких двох первісних для функції f виходять один з одного паралельним перенесенням уздовж осі Оу

Питання до конспектів

Функція F (x) є первісною для функції f (x). Знайдіть F (1), якщо f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 і F (-1) \u003d 2.

Знайдіть всі первісні для функції

Для функції (x) \u003d cos2 * sin2x, знайдіть первісну F (x), якщо F (0) \u003d 0.

Для функції знайдіть первісну, графік якої проходить через точку

Для кожного математичного дії існує зворотне йому дію. Для дії диференціювання (знаходження похідних функцій) теж існує зворотну дію - інтегрування. За допомогою інтегрування знаходять (відновлюють) функцію по заданій її похідної або диференціалу. Знайдену функцію називають первообразной.

Визначення. диференціюється функція F (x) називається первісною для функції f (x) на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку справедливо рівність: F '(x) \u003d f (x).

Приклади. Знайти Первісні для функцій: 1) f (x) \u003d 2x; 2) f (x) \u003d 3cos3x.

1) Так як (х²) '\u003d 2х, то, за визначенням, функція F (x) \u003d x² буде первісною для функції f (x) \u003d 2x.

2) (Sin3x) '\u003d 3cos3x. Якщо позначити f (x) \u003d 3cos3x і F (x) \u003d sin3x, то, за визначенням первісної, маємо: F '(x) \u003d f (x), і, отже, F (x) \u003d sin3x є первісною для f ( x) \u003d 3cos3x.

Зауважимо, що і (sin3x +5 )′= 3cos3x, І (sin3x -8,2 )′= 3cos3x... в загальному вигляді можна записати: (sin3x + З)′= 3cos3x, де З - деяка постійна величина. Ці приклади свідчать про неоднозначність дії інтегрування, в відміну від дії диференціювання, коли у будь-який диференціюється існує єдина похідна.

Визначення. якщо функція F (x) є первісною для функції f (x) на деякому проміжку, то безліч всіх первісних цієї функції має вигляд:

F (x) + C, Де С - будь-яке дійсне число.

Сукупність всіх первісних F (x) + C функції f (x) на даному проміжку називається невизначеним інтегралом і позначається символом ∫ (Знак інтеграла). записують: ∫f (x) dx \u003d F (x) + C.

вираз ∫f (x) dx читають: «інтеграл еф від ікс по де ікс».

f (x) dx - підінтегральний вираз,

f (x) - підінтегральна функція,

х - змінна інтегрування.

F (x) - первісна для функції f (x),

З - деяка постійна величина.

Тепер розглянуті приклади можна записати так:

1) ∫ 2хdx \u003d x² + C. 2) ∫ 3cos3xdx \u003d sin3x + C.

Що ж означає знак d?

d - знак диференціала - має подвійне призначення: по-перше, цей знак відокремлює підінтегральної функції від змінної інтегрування; по-друге, все, що стоїть після цього знака діференціруется за замовчуванням і множиться на підінтегральної функції.

Приклади. Знайти інтеграли: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Після значка диференціала d варто х х, а р

∫ 2хрdx \u003d рх² + С. Порівняйте з прикладом 1).

Зробимо перевірку. F '(x) \u003d (px² + C)' \u003d p · (x²) '+ C' \u003d p · 2x \u003d 2px \u003d f (x).

4) Після значка диференціала d варто р. Значить, змінна інтегрування р, А множник х слід вважати певною постійною величиною.

∫ 2хрdр \u003d р²х + С. Порівняйте з прикладами 1) і 3).

Зробимо перевірку. F '(p) \u003d (p²x + C)' \u003d x · (p²) '+ C' \u003d x · 2p \u003d 2px \u003d f (p).