Первісна функція і невизначений інтеграл.

Первісна функція і невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме, відновлення функції по відомій похідною цієї функції. Відновлена \u200b\u200bтаким чином функція F(x) називається первообразной для функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) На деякому проміжку X, Якщо для всіх значень x з цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), Тобто дана функція f(x) Є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) \u003d Sin x є первісною для функції f(x) \u003d Cos x на всій числовій прямій, так як при будь-якому значенні ікси (sin x) "\u003d (Cos x) .

Визначення 2. невизначеність інтегралом функції f(x) Називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

,

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) - підінтегральної функцією, а f(x)dx - підінтегральна виразом.

Таким чином, якщо F(x) - якась первісна для f(x), То

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функції як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційна дерев'яна двері). Її функція - "бути дверима". А з чого зроблена двері? Із дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральної функції "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може означати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблена з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів і відповідних їм первісних ( "бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" і ін.) Аналогічна таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде приведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, з яких "зроблені" ці функції. У частині завдань на знаходження невизначеного інтеграла дано такі підінтегральної функції, які без особливих услілій можуть бути проінтегрувати безпосередньо, тобто по таблиці невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральної функції потрібно попередньо перетворити так, щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми повинні враховувати довільну постійну (константу) C, А щоб не писати список первообразной з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою C, Наприклад, так: 5 x³ + С. Отже, довільна постійна (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³ + 4 або 5 x³ + 3 і при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа звертаються в нуль.

Поставимо задачу інтегрування: для даної функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якої дорівнює f(x).

Приклад 1.Знайти безліч первісних функції

Рішення. Для даної функції первообразной є функція

функція F(x) Називається первісною для функції f(x), Якщо похідна F(x) дорівнює f(x), Або, що одне і те ж, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, Тобто

(2)

Отже, функція - первісна для функції. Однак вона не є єдиною первісною для. Ними служать також функції

де З - довільна постійна. У цьому можна переконатися дифференцированием.

Таким чином, якщо функція має одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійний доданок. Всі Первісні для функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає з наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).якщо F(x) - первісна для функції f(x) На деякому проміжку Х, То будь-яка інша первісна для f(x) На тому самому проміжку може бути представлена \u200b\u200bу вигляді F(x) + C, де З- довільна постійна.

У наступному прикладі вже звертаємося до таблиці інтегралів, яка буде дана в параграфі 3, після властивостей невизначеного інтеграла. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб була зрозуміла суть вищевикладеного. А після таблиці і властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повністю.

Приклад 2.Знайти безлічі первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безлічі первісних функцій, з яких "зроблені" дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки просто прийміть, що там є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n \u003d 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n \u003d 1/3, маємо

3) Так як

то за формулою (7) при n \u003d -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f , А її твір на диференціал dx . Це робиться насамперед для того, щоб вказати, з якої змінної шукається первісна. наприклад,

, ;

тут в обох випадках подинтегральная функція дорівнює, але її невизначені інтеграли в розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція розглядається як функція від змінної x , А в другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегруванням цієї функції.

Геометричний сенс невизначеного інтеграла

Нехай потрібно знайти криву y \u003d F (x) і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній її точці є задана функція f (x) абсциси цієї точки.

Згідно геометричному змістом похідної, тангенс кута нахилу дотичної в цій точці кривої y \u003d F (x) дорівнює значенню похідної F "(x). Значить, потрібно знайти таку функцію F (x), для якої F "(x) \u003d f (x). Необхідна в завданні функція F (x) є первісною від f (x). Умові завдання задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y \u003d F (x) - одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням уздовж осі Oy.

Назвемо графік первісної функції від f (x) інтегральної кривої. якщо F "(x) \u003d f (x), То графік функції y \u003d F (x) є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений семества всіх інтегральних кривих , Як на малюнку нижче. Відстань кожній кривій від початку координат визначається довільної сталої (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтеграла

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, а його диференціал - підінтегральна висловом.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціала функції f(x) Дорівнює функції f(x) З точністю до постійного доданка , Тобто

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник в подинтегрального вираженні можна виносити за знак невизначеного інтеграла , Тобто

функція F (x ) називається первообразной для функції f (x) на заданому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку виконується рівність

F "(x ) = f(x ) .

Наприклад, функція F (x) \u003d х 2 f (x ) = 2х , так як

F "(x) \u003d (х 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Основна властивість первісної

якщо F (x) - первісна для функції f (x) на заданому проміжку, то функція f (x) має нескінченно багато первісних, і всі ці первісні можна записати у вигляді F (x) + С, де З - довільна постійна.

Наприклад. функція F (x) \u003d х 2 + 1 є первісною для функції f (x ) = 2х , так як F "(x) \u003d (х 2 + 1 )" = 2 x \u003d f (x); функція F (x) \u003d х 2 - 1 є первісною для функції f (x ) = 2х , так як F "(x) \u003d (х 2 - 1)" = 2x \u003d f (x) ; функція F (x) \u003d х 2 - 3 є первісною для функції f (x) = 2х , так як F "(x) \u003d (х 2 - 3)" = 2 x \u003d f (x); будь-яка функція F (x) \u003d х 2 + З , де З - довільна постійна, і тільки така функція, є первісною для функції f (x) = 2х . ◄

Правила обчислення первісних

1. якщо F (x) - первісна для f (x) , а G (x) - первісна для g (x) , то F (x) + G (x) - первісна для f (x) + g (x) . Іншими словами, первісна суми дорівнює сумі первісних .
2. якщо F (x) - первісна для f (x) , і k - постійна, то k · F (x) - первісна для k · f (x) . Іншими словами, постійний множник можна виносити за знак похідної .
3. якщо F (x) - первісна для f (x) , і k, b- постійні, причому k ≠ 0 , то 1 / k · F (k x +b ) - первісна для f(k x + b) .

невизначений інтеграл

невизначеним інтегралом від функції f (x) називається вираз F (x) + С, Тобто сукупність всіх первісних даної функції f (x) . Позначається невизначений інтеграл так:

∫ f (x) dx \u003d F (x) + С ,

f (x)- називають підінтегральної функцією ;

f (x) dx - називають подинтегрального виразом ;

x - називають змінної інтегрування ;

F (x) - одна з первісних функції f (x) ;

З - довільна постійна.

наприклад, ∫ 2 x dx \u003dх 2 + З , ∫ cosx dx \u003dsin х + З і так далі. ◄

Слово "інтеграл" походить від латинського слова integer , Що означає "відновлений". Вважаючи невизначений інтеграл від 2 x , Ми як би відновлюємо функцію х 2 , Похідна якої дорівнює 2 x . Відновлення функції по її похідної, або, що те ж, відшукання невизначеного інтеграла по даній підінтегральної функції, називається інтеграцією цієї функції. Інтегрування є операцію, зворотну діфференцірованію.Для того щоб перевірити, чи правильно виконано інтегрування, досить продифференцировать результат і отримати при цьому підінтегральної функції.

Основні властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

(∫ f (x) dx )" \u003d F (x) .

2. Постійний множник подинтегрального вираження можна виносити за знак інтеграла:

∫ k · f (x) dx = k · ∫ f (x) dx .

3. Інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій:

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x ) dx .

4. якщо k, b- постійні, причому k ≠ 0 , то

∫ f ( k x + b) dx = 1 / k · F (k x +b ) + З .

Таблиця первісних і невизначених інтегралів

	f (x)	F (x) + C	∫ f (x) dx \u003d F (x) + С
I.	$$0$$	$$ C $$	$$ \\ int 0dx \u003d C $$
II.	$$ k $$	$$ kx + C $$	$$ \\ int kdx \u003d kx + C $$
III.	$$ x ^ n ~ (n \\ neq-1) $$	$$ \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$	$$ \\ int x ^ ndx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $$
IV.	$$ \\ frac (1) (x) $$	$$ \\ ln | x | + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (x) \u003d \\ ln | x | + C $$
V.	$$ \\ sin x $$	$$ - \\ cos x + C $$	$$ \\ int \\ sin x ~ dx \u003d - \\ cos x + C $$
VI.	$$ \\ cos x $$	$$ \\ sin x + C $$	$$ \\ int \\ cos x ~ dx \u003d \\ sin x + C $$
VII.	$$ \\ frac (1) (\\ cos ^ 2x) $$	$$ \\ textrm (tg) ~ x + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ textrm (tg) ~ x + C $$
VIII.	$$ \\ frac (1) (\\ sin ^ 2x) $$	$$ - \\ textrm (ctg) ~ x + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2x) \u003d - \\ textrm (ctg) ~ x + C $$
IX.	$$ e ^ x $$	$$ e ^ x + C $$	$$ \\ int e ^ xdx \u003d e ^ x + C $$
X.	$$ a ^ x $$	$$ \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + C $$	$$ \\ int a ^ xdx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + C $$
XI.	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) $$	$$ \\ arcsin x + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + C $$
XII.	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) $$	$$ \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C $$
XIII.	$$ \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $$	$$ \\ textrm (arctg) ~ x + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ textrm (arctg) ~ x + C $$
XIV.	$$ \\ frac (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$	$$ \\ frac (1) (a) \\ textrm (arctg) ~ \\ frac (x) (a) + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (a ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ frac (1) (a) \\ textrm (arctg) ~ \\ frac (x) (a) + C $$
XV.	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) $$	$$ \\ ln | x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ ln | x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) | + C $$
XVI.	$$ \\ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \\ neq0) $$	$$ \\ frac (1) (2a) \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ frac (x-a) (x + a) \\ end (vmatrix) + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (x ^ 2a ^ 2) \u003d \\ frac (1) (2a) \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ frac (xa) (x + a) \\ end (vmatrix) + C $$
XVII.	$$ \\ textrm (tg) ~ x $$	$$ - \\ ln | \\ cos x | + C $$	$$ \\ int \\ textrm (tg) ~ x ~ dx \u003d - \\ ln | \\ cos x | + C $$
XVIII.	$$ \\ textrm (ctg) ~ x $$	$$ \\ ln | \\ sin x | + C $$	$$ \\ int \\ textrm (ctg) ~ x ~ dx \u003d \\ ln | \\ sin x | + C $$
XIX.	$$ \\ frac (1) (\\ sin x) $$	$$ \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) ~ \\ frac (x) (2) \\ end (vmatrix) + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) ~ \\ frac (x) (2) \\ end (vmatrix) + C $$
XX.	$$ \\ frac (1) (\\ cos x) $$	$$ \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) \\ left (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4) \\ right) \\ end (vmatrix) + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d \\ ln \\ begin (vmatrix) \\ textrm (tg) \\ left (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4) \\ right ) \\ end (vmatrix) + C $$
Первісні і невизначені інтеграли, наведені в цій таблиці, прийнято називати табличними первісних і табличними інтегралами .

Визначений інтеграл

Нехай на проміжку [a; b] задана безперервна функція y \u003d f (x) , тоді певним інтегралом від a до b функції f (x) називається приріст первісної F (x) цієї функції, тобто

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ F (a) -F (b). $$

числа aі b називаються відповідно нижнім і верхнім межами інтегрування.

Основні правила обчислення певного інтеграла

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \\);

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx \u003d k \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \\) де k - постійна;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \\ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \\ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \\);

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \\), де f (x) - парна функція;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), де f (x) - непарна функція.

зауваження . У всіх випадках передбачається, що підінтегральна функції інтегровані на числових проміжках, межами яких є межі інтегрування.

Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла

геометричний сенс визначеного інтеграла	фізичний сенс визначеного інтеграла
Площа S криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком безперервної позитивної на проміжку [a; b] функції f (x) , віссю Ox і прямими x \u003d a , x \u003d b ) Обчислюється за формулою $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	шлях s, Який подолала матеріальна точка, Рухаючись прямолінійно зі швидкістю, що змінюється за законом v (t) , За проміжок часу a ; b], То площа фігури, обмеженої графіками цих функцій і прямими x \u003d a , x \u003d b , Обчислюється за формулою $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$
	Наприклад. Обчислимо площу фігури, обмеженої лініями y \u003d x 2 і y \u003d2 - x . Зобразимо схематично графіки даних функцій і виділимо іншим кольором фігуру, площа якої необхідно знайти. Для знаходження меж інтегрування вирішимо рівняння: x 2 = 2 - x ; x 2 + x -2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$ S \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d \\ left (2x- \\ frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ right ) \\ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$ ◄

Обсяг тіла обертання

	Якщо тіло отримано в результаті обертання близько осі Ox криволінійної трапеції, обмеженою графіком безупинної і неотрицательной на проміжку [a; b] функції y \u003d f (x) і прямими x \u003d aі x \u003d b , То його називають тілом обертання . Обсяг тіла обертання обчислюється за формулою $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Якщо тіло обертання отримано в результаті обертання фігури, обмеженої зверху і знизу графіками функцій y \u003d f (x) і y \u003d g (x) , Відповідно, то $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$
	Наприклад. Обчислимо обсяг конуса з радіусом r і висотою h . Розташуємо конус в прямокутній системі координат так, щоб його вісь збігалася з віссю Ox , А центр підстави розташовувався на початку координат. обертання утворює AB визначає конус. Так як рівняння AB $$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1, $$ $$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$
і для обсягу конуса маємо $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (r- \\ frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1 \\ frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frac ((1 \\ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ left (0- \\ frac (1) (3) \\ right) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄

Розглянемо рух точки вздовж прямої. Нехай за час t від початку руху точка пройшла шлях s (t). тоді миттєва швидкість v (t) дорівнює похідної функції s (t), тобто v (t) \u003d s "(t).

У практиці зустрічається зворотна задача: по заданій швидкості руху точки v (t) знайти пройдений нею шлях s (t), Тобто знайти таку функцію s (t), похідна якої дорівнює v (t). функцію s (t), таку, що s "(t) \u003d v (t), Називають первісної функції v (t).

Наприклад, якщо v (t) \u003d аt, де а- задане число, то функція
s (t) \u003d (аt 2) / 2 v (t), так як
s "(t) \u003d ((аt 2) / 2)" \u003d аt \u003d v (t).

функція F (x) називається первісною функції f (x)на деякому проміжку, якщо для всіх хз цього проміжку F "(x) \u003d f (x).

Наприклад, функція F (x) \u003d sin xє первісною функції f (x) \u003d cos x,так як (Sin x) "\u003d cos x; функція F (x) \u003d х 4/4є первісною функції f (x) \u003d х 3, так як (Х 4/4) "\u003d х 3.

Розглянемо задачу.

завдання.

Довести, що функції х 3/3, х 3/3 + 1, х 3/3 - 4 є первісною однієї і тієї ж функції f (x) \u003d х 2.

Рішення.

1) Позначимо F 1 (x) \u003d х 3/3, тоді F "1 (x) \u003d 3 ∙ (х 2/3) \u003d х 2 \u003d f (x).

2) F 2 (x) \u003d х 3/3 + 1, F "2 (x) \u003d (х 3/3 + 1)" \u003d (х 3/3) "+ (1)" \u003d х 2 \u003d f ( x).

3) F 3 (x) \u003d х 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (х 3/3 - 4)" \u003d х 2 \u003d f (x).

Взагалі будь-яка функція х 3/3 + С, де С - постійна, є первісною функції х 2. Це випливає з того, що похідна постійної дорівнює нулю. Цей приклад показує, що для заданої функції її Первісна визначається неоднозначно.

Нехай F 1 (x) і F 2 (x) - дві первісні однієї і тієї ж функції f (x).

Тоді F 1 "(x) \u003d f (x) і F" 2 (x) \u003d f (x).

Похідна їх різниці g (х) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) дорівнює нулю, так як g "(х) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0.

Якщо g "(х) \u003d 0 на деякому проміжку, то дотична до графіка функції у \u003d g (х) в кожній точці цього проміжку паралельна осі Ох. Тому графіком функції у \u003d g (х) є пряма, паралельна осі Ох, т. е. g (х) \u003d С, де С - деяка постійна. З рівності g (х) \u003d С, g (х) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) випливає, що F 1 (x) \u003d F 2 (x) + С.

Отже, якщо функція F (x) є первісною функції f (x) на деякому проміжку, то все первісні функції f (x) записуються у вигляді F (x) + С, де С - довільна стала.

Розглянемо графіки всіх первісних заданої функції f (x). Якщо F (x) - одна з первісних функції f (x), то будь-яка первісна цієї функції виходить додатком до F (x) деякої постійної: F (x) + С. Графіки функцій у \u003d F (x) + С виходять з графіка у \u003d F (x) зсувом уздовж осі Оу. Вибором З можна домогтися того, щоб графік первісної проходив через задану точку.

Звернемо увагу на правила знаходження первісних.

Згадаймо, що операцію знаходження похідної для заданої функції називають дифференцированием. Зворотну операцію знаходження первісної для даної функції називають інтеграцією(Від латинського слова «Відновлювати»).

таблицю первісних для деяких функцій можна скласти, використовуючи таблицю похідних. Наприклад, знаючи, що (Cos x) "\u003d -sin x, отримуємо (-Cos x) "\u003d sin x, Звідки випливає, що всі первісні функції sin x записуються у вигляді -cos x + С, де З- постійна.

Розглянемо деякі значення первісних.

1) функція: х р, р ≠ -1. Первісна: (Х р + 1) / (р + 1) + С.

2) функція: 1 / х, х\u003e 0. Первісна: ln x + С.

3) функція: х р, р ≠ -1. Первісна: (Х р + 1) / (р + 1) + С.

4) функція: е х. Первісна: е х + С.

5) функція: sin x. Первісна: -cos x + С.

6) функція: (Kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Первісна: (((Kx + b) p + 1) / k (p + 1)) + С.

7) функція: 1 / (kx + b), k ≠ 0. Первісна: (1 / k) ln (kx + b) + С.

8) функція: е kx + b, k ≠ 0. Первісна: (1 / k) е kx + b + С.

9) функція: sin (kx + b), k ≠ 0. Первісна: (-1 / k) cos (kx + b).

10) функція: cos (kx + b), k ≠ 0.Первісна: (1 / k) sin (kx + b).

Правила інтегрування можна отримати за допомогою правил диференціювання. Розглянемо деякі правила.

нехай F (x) і G (x) - Первісні відповідно функцій f (x)і g (x)на деякому проміжку. тоді:

1) функція F (x) ± G (x) є первісною функції f (x) ± g (x);

2) функція аF (x)є первісною функції аF (x).

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Рішення інтегралів - завдання легка, але тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого або майже нічого. Інтеграл ... Навіщо він потрібен? Як його обчислювати? Що таке певний і невизначений інтеграли? Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла - діставати гачком в формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати інтеграли і чому без цього ніяк не можна обійтися.

Вивчаємо поняття "інтеграл"

Інтегрування було відомо ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж. З тих пір математики написали дуже багато книг по цій темі. особливо відзначилися ньютон і Лейбніц , Але суть речей не змінилася. Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Саме ці фундаментальні відомості про Ви знайдете у нас в блозі.

невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f (x) .

Невизначеним інтегралом функції f (x) називається така функція F (x) , Похідна якої дорівнює функції f (x) .

Іншими словами інтеграл - це похідна навпаки або первісна. До речі, про те, як читайте в нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають знак константи, так як похідні функцій, що розрізняються на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати Первісні елементарних функцій, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями:

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях і багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо собі графік якої-небудь функції. Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції?

За допомогою інтеграла! Розіб'ємо криволинейную трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площа трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть приблизний результат. Однак чим менше і вже будуть відрізки, тим точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх до такої міри, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а і b називаються межами інтегрування.

Барі Алібасов і група "Інтеграл"

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтеграла

Як вирішувати невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які стануть в нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

• Константу можна виносити з-під знака інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Вірно також для різниці:

Властивості визначеного інтеграла

• лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• при будь-яких точках a, b і з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл - це межа суми. Але як отримати конкретне значення при вирішенні прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади розв'язання інтегралів

Нижче розглянемо кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів. Пропонуємо Вам самостійно розібратися в тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, задавайте питання в коментарях.

Для закріплення матеріалу подивіться відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Чи не впадайте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Запитайте, і вони розкажуть вам про обчислення інтегралів все, що знають самі. З нашою допомогою будь-потрійний або криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.

Одна з операцій діфференцірованія- знаходження похідної (диференціала) і стосовно дослідженню функцій.

Не менш важливою є зворотна задача. Якщо відомо поведінку функції в околицях кожної точки її визначення, то як відновити функцію в цілому, тобто у всій області її визначення. Це завдання є предметом вивчення так званого інтегрального числення.

Інтегруванням називається дію зворотне диференціювання. Або відновлення функції f (х) по даній похідною f` (х). Латинське слово "integro" означає - відновлення.

приклад №1.

Нехай (f (х)) '\u003d 3х 2. Знайдемо f (х).

Рішення:

Спираючись на правило диференціювання, неважко здогадатися, що f (х) \u003d х 3, бо

(Х 3) '\u003d 3х 2 Однак, легко можна помітити, що f (х) знаходиться неоднозначно. Як f (х) можна взяти f (х) \u003d х 3 + 1 f (х) \u003d х 3 +2 f (х) \u003d х 3 -3 і ін.

Оскільки похідна кожної з них одно 3х 2. (Похідна постійної дорівнює 0). Всі ці функції відрізняються одна від одної постійним доданком. Тому загальне рішення завдання можна записати у вигляді f (х) \u003d х 3 + С, де С - будь постійне дійсне число.

Будь-яку зі знайдених функцій f (х) називають первообразной для функції F` (х) \u003d 3х 2

Визначення.

Функція F (х) називається первісною для функції f (х) на заданому проміжку J, якщо для всіх х з цього проміжку F` (х) \u003d f (х). Так функція F (х) \u003d х 3 первісна для f (х) \u003d 3х 2 на (- ∞; ∞). Так як, для всіх х ~ R справедливо рівність: F` (х) \u003d (х 3) `\u003d 3х 2

Як ми вже помітили, дана функція має нескінченну безліч первісних.

Приклад №2.

Функція є первісна для всіх на проміжку (0; + ∞), тому що для всіх ч з цього проміжку, виконується рівність.

Завдання інтегрування полягає в тому, щоб для заданої функції знайти всі її первісні. При вирішенні цього завдання важливу роль відіграє таке твердження:

Ознака сталості функції. Якщо F "(х) \u003d 0 на деякому проміжку I, то функція F - постійна на цьому проміжку.

Доведення.

Зафіксуємо деяке x 0 з проміжку I. Тоді для будь-якого числа х з такого проміжку в силу формули Лагранжа можна вказати таке число c, укладену між х і x 0, що

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

За умовою F '(с) \u003d 0, так як з ∈1, отже,

F (x) - F (x 0) \u003d 0.

Отже, для всіх х з проміжку I

т е. функція F зберігає постійне значення.

Всі первісні функції f можна записати за допомогою однієї формули, яку називають загальним видом первісних для функції f. Справедлива наступна теорема ( основну властивість первісних):

Теорема. Будь-яка первісна для функції f на проміжку I може бути записана у вигляді

F (x) + C, (1) де F (х) - одна з первісних для функції f (x) на проміжку I, а С - довільна стала.

Пояснимо це твердження, в якому коротко сформульовані два властивості первісної:

1. яке б число ні поставити в вираз (1) замість С, отримаємо первісну для f на проміжку I;
2. яку б первісну Ф для f на проміжку I ні взяти, можна підібрати таке число С, що для всіх х з проміжку I буде виконано рівність

Доведення.

1. За умовою функція F - первісна для f на проміжку I. Отже, F "(х) \u003d f (х) для будь-якого х∈1, тому (F (x) + C)" \u003d F "(x) + C" \u003d f (x) + 0 \u003d f (x), т. е. F (x) + C - первісна для функції f.
2. Нехай Ф (х) - одна з первісних для функції f на тому ж проміжку I, т. Е. Ф "(x) \u003d f (х) для всіх x∈I.

Тоді (Ф (x) - F (x)) "\u003d Ф" (х) -F '(х) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0.

Звідси випливає ст. силу ознаки сталості функції, що різниця Ф (х) - F (х) є функція, що приймає деяке постійне значення С на проміжку I.

Таким чином, для всіх х з проміжку I справедливо рівність Ф (х) - F (x) \u003d С, що й треба було довести. Основній властивості первісної можна надати геометричний сенс: графіки будь-яких двох первісних для функції f виходять один з одного паралельним перенесенням уздовж осі Оу

Питання до конспектів

Функція F (x) є первісною для функції f (x). Знайдіть F (1), якщо f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 і F (-1) \u003d 2.

Знайдіть всі первісні для функції

Для функції (x) \u003d cos2 * sin2x, знайдіть первісну F (x), якщо F (0) \u003d 0.

Для функції знайдіть первісну, графік якої проходить через точку