Множення трьох дробів з різними знаменниками. дробу
Ще одну дію, яке можна виконувати з звичайними дробами, - множення. Ми спробуємо роз'яснити його основні правила при вирішенні завдань, покажемо, як множиться звичайна дріб на натуральне число і як правильно виконати множення трьох звичайних дробів і більше.
Запишемо спочатку основне правило:
визначення 1
Якщо ми помножимо одну звичайну дріб, то чисельник дробу, отриманої в результаті, буде дорівнює добутку числівників вихідних дробів, а знаменник - добутку їх знаменників. У буквеному вигляді для двох дробів a / b і c / d це можна виразити як a b · c d \u003d a · c b · d.
Подивимося на прикладі, як правильно застосувати це правило. Припустимо, у нас є квадрат, сторона якого дорівнює одній числової одиниці. Тоді площа фігури складе 1 кв. одиницю. Якщо розділити квадрат на рівні прямокутники зі сторонами, рівними 1 4 і 1 8 числовий одиниці, у нас вийде, що він тепер складається з 32 прямокутників (бо 8 · 4 \u003d 32). Відповідно, площа кожного з них буде дорівнює 1 32 від площі всієї фігури, тобто 1 32 кв. одиниці.
У нас вийшов зафарбований фрагмент зі сторонами, рівними 5 8 числовий одиниці і 3 4 числовий одиниці. Відповідно, для обчислення його площі треба помножити перший дріб на другу. Вона буде дорівнює 5 8 • 3 4 кв. одиниць. Але ми можемо просто підрахувати, скільки прямокутників входить у фрагмент: їх 15, значить, загальна площа становить 15 32 квадратних одиниць.
Оскільки 5 · 3 \u003d 15 і 8 · 4 \u003d 32, ми можемо записати наступне рівність:
5 8 • 3 4 \u003d 5 • 3 8 · 4 \u003d 15 32
Воно є підтвердженням сформульованого нами правила множення звичайних дробів, яке виражається як a b · c d \u003d a · c b · d. Воно діє однаково як для правильних, так і для неправильних дробів; за допомогою нього можна помножити дробу і з різними, і з однаковими знаменниками.
Розберемо вирішення декількох завдань на множення звичайних дробів.
приклад 1
Помножте 7 11 на 9 8.
Рішення
Для початку підрахуємо твір числителей зазначених дробів, помноживши 7 на 9. У нас вийшло 63. Потім обчислимо твір знаменників і отримаємо: 11 · 8 \u003d 88. Складемо їх двох чисел відповідь: 63 88.
Всі рішення можна записати так:
7 11 · 9 8 \u003d 7 · 9 11 · 8 \u003d 63 88
відповідь: 7 11 · 9 8 \u003d 63 88.
Якщо у відповіді у нас вийшла скоротна дріб, потрібно довести обчислення до кінця і виконати її скорочення. Якщо ж у нас вийшла неправильна дріб, з неї треба виділити цілу частину.
приклад 2
Обчисліть добуток дробів 4 15 і 55 6.
Рішення
Згідно вивченого вище правилом, нам треба помножити чисельник на чисельник, а знаменник на знаменник. Запис рішення буде виглядати так:
4 15 · 55 6 \u003d 4 · 55 15 · 6 \u003d 220 90
Ми отримали сократимостью дріб, тобто таку, у якій є ознака подільності на 10.
Виконаємо скорочення дробу: 220 90 НСД (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. В результаті у нас вийшла неправильна дріб, з якої ми виділимо цілу частину і отримаємо змішане число: 22, 9 \u003d 2 4 9.
відповідь: 4 15 · 55 6 \u003d 2 4 9.
Для зручності обчислення ми можемо скоротити і вихідні дробу перед виконанням дії множення, для чого нам треба привести дріб до виду a · c b · d. Розкладемо значення змінних на прості множники і однакові з них скоротимо.
Пояснимо, як це виглядає, використовуючи дані конкретного завдання.
приклад 3
Обчисліть добуток 4 15 · 55 6.
Рішення
Запишемо обчислення, виходячи з правила множення. У нас вийде:
4 15 · 55 6 \u003d 4 · 55 15 · 6
Оскільки як 4 \u003d 2 · 2, 55 \u003d 5 · 11, 15 \u003d 3 · 5 і 6 \u003d 2 · 3, значить, 4 · 55 15 · 6 \u003d 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3.
2 · 11 3 · 3 \u003d 22 9 \u003d 2 4 9
відповідь4 15 · 55 6 \u003d 2 4 9.
Числовий вираз, в якому має місце множення звичайних дробів, володіє переместітельним властивістю, тобто при необхідності ми можемо змінити порядок проходження множників:
a b · c d \u003d c d · a b \u003d a · c b · d
Як перемножити звичайну дріб з натуральним числом
Запишемо відразу основне правило, а потім спробуємо пояснити його на практиці.
визначення 2
Щоб помножити звичайну дріб на натуральне число, потрібно помножити чисельник цього дробу на це число. При цьому знаменник підсумкової дробу буде дорівнює знаменника вихідної звичайного дробу. Множення деякої дробу a b на натуральне число n можна записати у вигляді формули a b · n \u003d a · n b.
Зрозуміти цю формулу легко, якщо згадати, що будь-яке натуральне число може бути представлено у вигляді звичайного дробу зі знаменником, рівним одиниці, тобто:
a b · n \u003d a b · n 1 \u003d a · n b · 1 \u003d a · n b
Пояснимо нашу думку конкретними прикладами.
приклад 4
Обчисліть добуток 2 27 на 5.
Рішення
В результаті множення чисельника вихідної дробу на другий множник отримаємо 10. В силу правила, зазначеного вище, ми отримаємо в результаті 10 27. Всі рішення приведено в цьому записі:
2 27 · 5 \u003d 2 · 5 27 \u003d 10 27
відповідь: 2 27 · 5 \u003d 10 27
Коли ми перемножуємо натуральне число зі звичайною дробом, то часто доводиться скорочувати результат або представляти його як змішане число.
приклад 5
Умова: обчисліть твір 8 на 5 12.
Рішення
За правилом вище ми множимо натуральне число на чисельник. У підсумку отримуємо, що 5 12 · 8 \u003d 5 · 8 12 \u003d 40 12. Підсумкова дріб має ознаки подільності на 2, тому нам потрібно виконати її скорочення:
НОК (40, 12) \u003d 4, отже, 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Тепер нам залишилося тільки виділити цілу частину і записати готову відповідь: 10 3 \u003d 3 1 3.
У цьому записі можна бачити все рішення цілком: 5 12 · 8 \u003d 5 · 8 12 \u003d 40 12 \u003d 10 3 \u003d 3 1 3.
Також ми могли скоротити дріб за допомогою розкладання чисельника і знаменника на прості множники, і результат вийшов би точно таким же.
відповідь: 5 12 · 8 \u003d 3 1 3.
Числовий вираз, в якому натуральне число множиться на дріб, також має властивість переміщення, тобто порядок розташування множників не впливає на результат:
a b · n \u003d n · a b \u003d a · n b
Як виконати множення трьох і більше звичайних дробів
Ми можемо поширити на дію множення звичайних дробів ті ж властивості, які характерні для множення натуральних чисел. Це випливає з самого визначення даних понять.
Завдяки знанню асоціативного і переместітельного властивості можна множити три звичайні дроби і більш. Припустимо переставляти множники місцями для більшої зручності або розставляти дужки так, як буде легше вважати.
Покажемо на прикладі, як це робиться.
приклад 6
Помножте чотири звичайні дроби 1 20, 12 5, 3 7 і 5 8.
Рішення: для початку зробимо запис твору. У нас вийде 1 20 · 12 5 • 3 7 · 5 8. Нам треба перемножити між собою всі чисельники і все знаменники: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 \u003d 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8.
Перед тим, як почати множення, ми можемо трохи полегшити собі завдання і розкласти деякі числа на прості множники для подальшого скорочення. Це буде простіше, ніж скорочувати вже готову дріб, отриману в результаті.
1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 \u003d 1 · (2 \u200b\u200b· 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) \u003d 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 \u003d 9 280
відповідь: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 \u003d 9 280.
приклад 7
Перемножте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10.
Рішення
Для зручності ми можемо згрупувати дріб 7 8 з числом 8, а число 12 з дробом 5 36, оскільки при цьому нам будуть очевидні майбутні скорочення. В результаті у нас вийде:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 \u003d 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 \u003d 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 \u003d 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 \u003d \u003d 7 · 5 3 · 10 \u003d 7 · 5 · 10 3 \u003d 350 3 \u003d 116 2 3
відповідь: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 \u003d 116 2 3.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter
У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є Апорія "Ахіллес і черепаха". Ось як вона звучить:Припустимо, Ахіллес біжить в десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані в тисячу кроків. За той час, за яке Ахіллес пробіжить це відстань, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і так далі. Процес буде продовжуватися до безкінечності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Це міркування стало логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт ... Всі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії тривають і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки не вдалося ... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні і філософські підходи; жоден з них не став загальновизнаним вирішенням питання ..."[Вікіпедія," Апорії Зенона "]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З точки зору математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини к. Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць вимірювання або ще не розроблений, або його не застосовували до апорії Зенона. Застосування ж нашої звичайної логіки призводить нас в пастку. Ми, по інерції мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до зворотного величиною. З фізичної точки зору це виглядає, як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахіллес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахіллес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху в десять разів коротшим від попереднього. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, в десять разів менше попереднього. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" в цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і не переходити до зворотних величин. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за яке Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, рівний першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно описує реальність без всяких логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На зеноновських апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про нездоланність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити і вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава Апорія Зенона оповідає про що летить стрілі:
Летюча стріла нерухома, так як в кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожен момент часу летить стріла спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут потрібно відзначити інший момент. За однією фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити ні факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але по ним не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але по ним не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, так це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
середовище, 4 липня 2018 р
Дуже добре відмінності між безліччю і мультімножество описані в Вікіпедії. Дивимося.
Як бачите, "в безлічі не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи в безлічі є, таку силу-силенну називається "мультімножество". Подібну логіку абсурду розумних істот не понять ніколи. Це рівень папуг, що говорять і дресированих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають в ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.
Колись інженери, які побудували міст, під час випробувань моста знаходилися в човні під мостом. Якщо міст нападав, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.
Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математикам.
Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо в касі, видаємо зарплату. Ось приходить до нас математик за своїми грошима. Відраховуємо йому всю суму і розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри одного гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі і вручаємо математику його "математичне безліч зарплати". Пояснюємо математику, що інші купюри він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.
В першу чергу, спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - нізьзя!". Далі почнуться запевнення нас в тому, що на купюрах однакового гідності є різні номери купюр, а значить їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами - на монетах немає номерів. Тут математик почне судорожно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура і розташування атомів у кожної монети унікально ...
А тепер у мене найцікавіше запитання: де проходить та межа, за якою елементи мультимножини перетворюються в елементи множини і навпаки? Такий межі не існує - все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.
Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони з однаковою площею поля. Площа полів однакова - значить у нас вийшло мультімножество. Але якщо розглядати назви цих же стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, один і той же набір елементів одночасно є і безліччю, і мультімножество. Як правильно? А ось тут математик-шаман-Шуллер дістає з рукава козирного туза і починає нам розповідати або про безліч, або про мультімножество. У будь-якому випадку він переконає нас у своїй правоті.
Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, досить відповісти на одне питання: чим елементи одного безлічі відрізняються від елементів іншого безлічі? Я вам покажу, без всяких "мислиме що не єдине ціле" або "не мислиме як єдине ціле".
неділю, 18 березня 2018 р
Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, яка до математики ніякого відношення не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа і користуватися нею, але на то вони і шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам і премудростям, інакше шамани просто вимруть.
Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію і спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її не існує. Ні в математиці формули, за якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, за допомогою яких ми записуємо числа і на мові математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики цю задачу вирішити не можуть, а ось шамани - елементарно.
Давайте розберемося, що і як ми робимо для того, щоб знайти суму цифр заданого числа. І так, нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.
1. Записуємо число на папірці. Що ж ми зробили? Ми перетворили число в графічний символ числа. Це не математичне дію.
2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це не математична дія.
3. перетворювати окремі графічні символи в числа. Це не математичне дію.
4. Складаємо отримані числа. Ось це вже математика.
Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.
З точки зору математики не має значення, в якій системі числення ми записуємо число. Так ось, в різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. В математиці система числення вказується у вигляді нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про. Запишемо це число в двійковій, вісімковій, десятковій і шістнадцятковій системах числення. Ми не будемо розглядати кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося на результат.
Як бачите, в різних системах числення сума цифр одного і того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики ніякого відношення не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б абсолютно різні результати.
Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр не має. Це ще один аргумент на користь того, що. Питання до математикам: як в математиці позначається те, що не є числом? Що, для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке допустити, але для вчених - немає. Реальність полягає не тільки з чисел.
Отриманий результат слід розглядати як доказ того, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й ті ж дії з різними одиницями вимірювання однієї і тієї ж величини призводять до різних результатів після їх порівняння, значить це не має нічого спільного з математикою.
Що ж таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниця виміру і від того, хто це дію виконує.
Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільной святості душ при вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілочка вгору. Який ще туалет?
Жіночий ... Німб зверху і стрілочка вниз - це чоловічий.
Якщо у вас перед очима кілька разів на день миготить ось таке ось витвір дизайнерського мистецтва,
Тоді не дивно, що в своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:
Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в какао людині (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурепою, яка не знає фізику. Просто у неї дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно вчать. Ось приклад.
1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "Кака людина" або число "двадцять шість" в шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють в цій системі числення, автоматично сприймають цифру і літеру як один графічний символ.
) І знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твори).
Формула множення дробів:
наприклад:
Перед тим, як приступити до множення числителей і знаменників, необхідно перевірити на можливість скорочення дробу. Якщо вийде скоротити дріб, то вам легше буде далі проводити розрахунки.
Розподіл звичайного дробу на дріб.
Ділення дробів за участю натурального числа.
Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. наприклад:
Множення змішаних дробів.
Правила множення дробів (змішаних):
- перетворюємо змішані дроби в неправильні;
- перемножуємо числители і знаменники дробів;
- скорочуємо дріб;
- якщо отримали неправильну дріб, То перетворюємо неправильну дріб в змішану.
Зверніть увагу! Щоб помножити змішану дріб на іншу змішану дріб, потрібно, для початку, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.
Другий спосіб множення дробу на натуральне число.
Буває більш зручно використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.
Зверніть увагу! Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити на це число, а чисельник залишити без зміни.
З, наведеного вище, приклад зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.
Багатоповерхові дробу.
У старших класах часто зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. приклад:
Щоб привести таку дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:
Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.
Зверніть увагу, наприклад:
При розподілі одиниці на будь-яку дріб, результатом буде таж сама дріб, тільки перевернута:
Практичні поради при множенні і діленні дробів:
1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність і уважність. Всі обчислення робіть уважно і акуратно, зосереджено й чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків в чернетці, ніж заплутатися в розрахунках в розумі.
2. У завданнях з різними видами дробів - переходите до виду звичайних дробів.
3. Всі дробу скорочуємо до тих пір, поки скорочувати вже буде неможливо.
4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо в вид звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.
5. Одиницю на дріб ділимо в розумі, просто перевертаючи дріб.
Минулого разу ми навчилися складати і віднімати дроби (див. Урок «Додавання і віднімання дробів»). Найбільш складним моментом в тих діях було приведення дробів до спільного знаменника.
Тепер настала пора розібратися з множенням і діленням. Гарна новина полягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання і віднімання. Для початку розглянемо найпростіший випадок, коли є дві позитивні дробу без виділеної цілої частини.
Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники і знаменники. Перше число буде чисельником нової дробу, а друге - знаменником.
Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернуту» другу.
позначення:
З визначення випливає, що ділення дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, досить поміняти місцями чисельник і знаменник. Тому весь урок ми будемо розглядати в основному множення.
В результаті множення може виникнути (і часто дійсно виникає) скоротна дріб - її, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявилася неправильною, в ній слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: ніяких методів «хрест-навхрест», найбільших множників і найменших загальних кратних.
За визначенням маємо:
Множення дробів з цілою частиною і негативних дробів
Якщо в дробах присутній ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеним вище.
Якщо в чисельнику дробу, в знаменнику або перед нею стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:
- Плюс на мінус дає мінус;
- Мінус на мінус дає плюс.
До сих пір ці правила зустрічалися тільки при додаванні і відніманні негативних дробів, коли необхідно було позбутися цілої частини. Для твори їх можна узагальнити, щоб «спалювати» відразу кілька мінусів:
- Викреслюємо мінуси парами до тих пір, поки вони повністю не зникнуть. В крайньому випадку, один мінус може вижити - той, якому не знайшлося пари;
- Якщо мінусів не залишилося, операція виконана - можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закресленим, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативна дріб.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
Все дробу переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо по звичайними правилами. отримуємо:
Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом з виділеної цілої частиною, відноситься саме до всієї дробу, а не тільки до її цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).
Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають в дужки. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити всю запис більш акуратною.
Скорочення дробів «на льоту»
Множення - вельми трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити дріб ще до множення. Адже по суті, чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
За визначенням маємо:
У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.
Зверніть увагу: в першому випадку множники скоротилися повністю. На їх місці залишилися одиниці, які, взагалі кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення домогтися не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.
Однак ні в якому разі не використовуйте цей прийом при додаванні і відніманні дробів! Так, іноді там зустрічаються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:
Так робити не можна!
Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не твір чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості мова йде саме про примноження чисел.
Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне рішення попередньої задачі виглядає так:
Правильне рішення:
Як бачите, правильну відповідь виявився не таким красивим. Загалом, будьте уважні.
Множення звичайних дробів
Розглянемо приклад.
Нехай на тарілці лежить $ \\ frac (1) (3) $ частина яблука. Потрібно знайти $ \\ frac (1) (2) $ частина від неї. Необхідна частина є результатом множення дробів $ \\ frac (1) (3) $ і $ \\ frac (1) (2) $. Результат множення двох звичайних дробів - це звичайна дріб.
Множення двох звичайних дробів
Правило множення звичайних дробів:
Результатом множення дробу на дріб є дріб, чисельник якого дорівнює добутку числівників множимо дробів, а знаменник дорівнює добутку знаменників:
приклад 1
Виконати множення звичайних дробів $ \\ frac (3) (7) $ і $ \\ frac (5) (11) $.
Рішення.
Скористаємося правилом множення звичайних дробів:
\\ [\\ Frac (3) (7) \\ cdot \\ frac (5) (11) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 5) (7 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (15) (77) \\]
відповідь: $ \\ Frac (15) (77) $
Якщо в результаті множення дробів виходить скоротна або неправильна дріб, то потрібно її спростити.
приклад 2
Виконати множення дробів $ \\ frac (3) (8) $ і $ \\ frac (1) (9) $.
Рішення.
Використовуємо правило множення звичайних дробів:
\\ [\\ Frac (3) (8) \\ cdot \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 1) (8 \\ cdot 9) \u003d \\ frac (3) (72) \\]
В результаті отримали сократимостью дріб (за ознакою поділу на $ 3 $. Чисельник і знаменник дробу розділимо на $ 3 $, отримаємо:
\\ [\\ Frac (3) (72) \u003d \\ frac (3: 3) (72: 3) \u003d \\ frac (1) (24) \\]
Короткий рішення:
\\ [\\ Frac (3) (8) \\ cdot \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 1) (8 \\ cdot 9) \u003d \\ frac (3) (72) \u003d \\ frac (1) (24) \\]
відповідь: $ \\ Frac (1) (24). $
При множенні дробів скорочувати числители і знаменники можна до знаходження їх твори. При цьому чисельник і знаменник дробу розкладається на прості множники, після чого скорочуються повторювані множники і знаходиться результат.
приклад 3
Обчислити твір дробів $ \\ frac (6) (75) $ і $ \\ frac (15) (24) $.
Рішення.
Скористаємося формулою множення звичайних дробів:
\\ [\\ Frac (6) (75) \\ cdot \\ frac (15) (24) \u003d \\ frac (6 \\ cdot 15) (75 \\ cdot 24) \\]
Очевидно, що в чисельнику і знаменнику є числа, які попарно можна скоротити на числа $ 2 $, $ 3 $ і $ 5 $. Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники і зробимо скорочення:
\\ [\\ Frac (6 \\ cdot 15) (75 \\ cdot 24) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 5) (3 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (1) (5 \\ cdot 2 \\ cdot 2) \u003d \\ frac (1) (20) \\]
відповідь: $ \\ Frac (1) (20). $
При множенні дробів можна застосовувати переместітельний закон:
Множення звичайного дробу на натуральне число
Правило множення звичайного дробу на натуральне число:
Результатом множення дробу на натуральне число є дріб, у якої чисельник дорівнює добутку чисельника множити дроби на натуральне число, а знаменник дорівнює знаменника множити дроби:
де $ \\ frac (a) (b) $ - звичайна дріб, $ n $ - натуральне число.
приклад 4
Виконати множення дробу $ \\ frac (3) (17) $ на $ 4 $.
Рішення.
Скористаємося правилом множення звичайного дробу на натуральне число:
\\ [\\ Frac (3) (17) \\ cdot 4 \u003d \\ frac (3 \\ cdot 4) (17) \u003d \\ frac (12) (17) \\]
відповідь: $ \\ Frac (12) (17). $
Не варто забувати про перевірку результату множення на скоротність дробу або на неправильну дріб.
приклад 5
Помножити дріб $ \\ frac (7) (15) $ на число $ 3 $.
Рішення.
Скористаємося формулою множення дробу на натуральне число:
\\ [\\ Frac (7) (15) \\ cdot 3 \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (15) \u003d \\ frac (21) (15) \\]
За ознакою розподілу на число $ 3 $) можна визначити, що отриману дріб можна скоротити:
\\ [\\ Frac (21) (15) \u003d \\ frac (21: 3) (15: 3) \u003d \\ frac (7) (5) \\]
В результаті отримали неправильну дріб. Виділимо цілу частину:
\\ [\\ Frac (7) (5) \u003d 1 \\ frac (2) (5) \\]
Короткий рішення:
\\ [\\ Frac (7) (15) \\ cdot 3 \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (15) \u003d \\ frac (21) (15) \u003d \\ frac (7) (5) \u003d 1 \\ frac (2) (5) \\]
Скоротити дроби також можна було заміною чисел в чисельнику і знаменнику на їх розкладання на прості множники. У такому випадку рішення можна було записати так:
\\ [\\ Frac (7) (15) \\ cdot 3 \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (15) \u003d \\ frac (7 \\ cdot 3) (3 \\ cdot 5) \u003d \\ frac (7) (5) \u003d 1 \\ frac (2) (5) \\]
відповідь: $ 1 \\ frac (2) (5). $
При множенні дробу на натуральне число можна використовувати переместітельний закон:
Ділення звичайних дробів
Операція ділення є зворотною до множення і результатом її є дріб, на яку потрібно помножити відому дріб щоб отримати відомий твір двох дробів.
Розподіл двох звичайних дробів
Правило ділення звичайних дробів:Очевидно, що чисельник і знаменник отриманої дробу можна розкласти на прості множники і зробити скорочення:
\\ [\\ Frac (8 \\ cdot 35) (15 \\ cdot 12) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 5 \\ cdot 7) (3 \\ cdot 5 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 7) (3 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (14) (9) \\]
В результаті отримали неправильну дріб, з якої виділимо цілу частину:
\\ [\\ Frac (14) (9) \u003d 1 \\ frac (5) (9) \\]
відповідь: $ 1 \\ frac (5) (9). $
