Остання активність логарифми приклади. Логарифми: приклади і рішення

У центрі уваги цієї статті - логарифм. Тут ми дамо визначення логарифма, покажемо прийняте позначення, наведемо приклади логарифмів, і скажемо про натуральні і десяткові логарифми. Після цього розглянемо основне логарифмічна тотожність.

Навігація по сторінці.

визначення логарифма

Поняття логарифма виникає при вирішенні завдання в даному разі зворотного, коли потрібно знайти показник ступеня за відомим значенням ступеня і відомому основи.

Але вистачить передмов, прийшов час відповісти на питання «що таке логарифм»? Дамо відповідну ухвалу.

Визначення.

Логарифм числа b по підставі a, Де a\u003e 0, a ≠ 1 і b\u003e 0 - це показник ступеня, в який потрібно звести число a, щоб в результаті отримати b.

На цьому етапі зауважимо, що вимовлене слово «логарифм» має відразу викликати два випливають питання: «якого числа» і «за яким основи». Іншими словами, просто логарифма як би немає, а є тільки логарифм числа по деякому основи.

відразу введемо позначення логарифма: Логарифм числа b по підставі a прийнято позначати як log a b. Логарифм числа b по підставі e і логарифм за основою 10 мають свої спеціальні позначення lnb і lgb відповідно, тобто, пишуть не log e b, а lnb, і не log 10 b, а lgb.

Тепер можна привести:.
А записи не мають сенсу, так як в першій з них під знаком логарифма знаходиться негативне число, в другій - негативне число в підставі, а в третій - і негативне число під знаком логарифма і одиниця в підставі.

Тепер скажемо про правилах читання логарифмів. Запис log a b читається як «логарифм b по підставі a». Наприклад, log 2 3 - це логарифм трьох за основою 2, а - це логарифм двох цілих дві третини по підставі квадратний корінь з п'яти. Логарифм за основою e називають натуральним логарифмом, А запис lnb читається як «натуральний логарифм b». Наприклад, ln7 - це натуральний логарифм семи, а ми прочитаємо як натуральний логарифм пі. Логарифм за основою 10 також має спеціальну назву - десятковий логарифм, А запис lgb читається як «десятковий логарифм b». Наприклад, lg1 - це десятковий логарифм одиниці, а lg2,75 - десятковий логарифм двох цілих сімдесяти п'яти сотих.

Варто окремо зупинитися на умовах a\u003e 0, a ≠ 1 і b\u003e 0, при яких дається визначення логарифма. Пояснимо, звідки беруться ці обмеження. Зробити це нам допоможе рівність виду, зване, яке безпосередньо випливає з даного вище визначення логарифма.

Почнемо з a ≠ 1. Так як одиниця в будь-якого ступеня дорівнює одиниці, то рівність може бути справедливо лише при b \u003d 1, але при цьому log 1 1 може бути будь-яким дійсним числом. Щоб уникнути цієї багатозначності і приймається a ≠ 1.

Обґрунтуємо доцільність умови a\u003e 0. При a \u003d 0 за визначенням логарифма ми б мали рівність, яке можливе лише за b \u003d 0. Але тоді log 0 0 може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль в будь-який відмінною від нуля ступеня є нуль. Уникнути цієї багатозначності дозволяє умова a ≠ 0. А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Нарешті, умова b\u003e 0 випливає з нерівності a\u003e 0, так як, а значення ступеня з позитивним підставою a завжди позитивно.

На закінчення цього пункту скажімо, що озвучене визначення логарифма дозволяє відразу вказати значення логарифма, коли число під знаком логарифма є деяка ступінь підстави. Дійсно, визначення логарифма дозволяє стверджувати, що якщо b \u003d a p, то логарифм числа b по підставі a дорівнює p. Тобто, справедливо рівність log a a p \u003d p. Наприклад, ми знаємо, що 2 3 \u003d 8, тоді log 2 8 \u003d 3. Детальніше про це ми поговоримо в статті

Сьогодні ми поговоримо про формулах логарифмів і дамо показові приклади розв'язання.

Самі по собі мають на увазі шаблони рішення згідно основних властивостей логарифмів. Перш застосовувати формули логарифмів для вирішення нагадаємо для вас, спочатку все властивості:

Тепер на основі цих формул (властивостей), покажемо приклади розв'язання логарифмів.

Приклади розв'язання логарифмів на підставі формул.

логарифм позитивного числа b по підставі a (позначається log a b) - це показник ступеня, в яку треба звести a, щоб отримати b, при цьому b\u003e 0, a\u003e 0, а 1.

Згідно визначення log a b \u003d x, що рівносильно a x \u003d b, тому log a a x \u003d x.

логарифми, Приклади:

log 2 8 \u003d 3, тому що 2 3 \u003d 8

log 7 49 \u003d 2, тому що 7 2 \u003d 49

log 5 1/5 \u003d -1, тому що 5 -1 \u003d 1/5

десятковий логарифм - це звичайний логарифм, в основі якого знаходиться 10. Позначається як lg.

log 10 100 \u003d 2, тому що 10 2 \u003d 100

натуральний логарифм - також звичайний логарифм логарифм, але вже з повним правом е (е \u003d 2,71828 ... - ірраціональне число). Позначається як ln.

Формули або властивості логарифмів бажано запам'ятати, тому що вони знадобляться нам надалі при вирішенні логарифмів, логарифмічних рівнянь і нерівностей. Давайте ще раз відпрацюємо кожну формулу на прикладах.

Основна логарифмічна тотожність
a log a b \u003d b
8 2log 8 3 \u003d (8 2log 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів
log a (bc) \u003d log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 \u003d log 3 (8,1 * 10) \u003d log 3 81 \u003d 4
Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів
log a (b / c) \u003d log a b - log a c
9 log 5 50/9 log 5 2 \u003d 9 log 5 50 log 5 2 \u003d 9 log 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
Властивості ступеня логаріфміруемого числа і підстави логарифма
Показник ступеня логаріфміруемого числа log a b m \u003d mlog a b

Показник ступеня підстави логарифма log a n b \u003d 1 / n * log a b

log a n b m \u003d m / n * log a b,

якщо m \u003d n, отримаємо log a n b n \u003d log a b

log 4 9 \u003d log 2 + 2 3 2 \u003d log 2 3
Перехід до нового основи
log a b \u003d log c b / log c a,
якщо c \u003d b, отримаємо log b b \u003d 1

тоді log a b \u003d 1 / log b a

log 0,8 3 * log 3 1,25 \u003d log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 \u003d log 0,8 1,25 \u003d log 4/5 5/4 \u003d -1

Як бачите, формули логарифмів не такі складні як здаються. Тепер розглянувши приклади розв'язання логарифмів ми можемо переходити до логарифмическим рівнянням. Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь ми більш детально розглянемо в статті: "". НЕ пропустіть!

Якщо у вас залишилися питання щодо вирішення, пишіть їх в коментарях до статті.

Замітка: вирішили здобути освіту іншого класу навчання за кордоном як варіант розвитку подій.

Одним з елементів алгебри примітивного рівня є логарифм. Назва походить з грецької мови від слова "число" або "ступінь" і означає ступінь, в яку необхідно звести число, що знаходиться в підставі, для знаходження підсумкового числа.

види логарифмів

log a b - логарифм числа b по підставі a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0);
lg b - десятковий логарифм (логарифм за основою 10, a \u003d 10);
ln b - натуральний логарифм (логарифм за основою e, a \u003d e).

Як вирішувати логарифми?

Логарифм числа b по підставі a є показником ступеня, яка вимагає, щоб до числа b звели підставу а. Отриманий результат вимовляється так: "логарифм b по підставі а". Рішення логарифмічних завдань полягає в тому, що вам необхідно визначити даний ступінь по числам за вказаними числах. Існують деякі основні правила, щоб визначити чи вирішити логарифм, а також перетворити саму запис. Використовуючи їх, проводиться рішення логарифмічних рівнянь, знаходяться похідні, вирішуються інтеграли і здійснюються багато інших операцій. В основному, рішенням самого логарифма є його спрощена запис. Нижче наведені основні формули і властивості:

Для будь-яких a; a\u003e 0; a ≠ 1 і для будь-яких x; y\u003e 0.

a log a b \u003d b - основне логарифмічна тотожність
log a 1 \u003d 0
log a a \u003d 1
log a (x · y) \u003d log a x + log a y
log a x / y \u003d log a x - log a y
log a 1 / x \u003d -log a x
log a x p \u003d p log a x
log a k x \u003d 1 / k · log a x, при k ≠ 0
log a x \u003d log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - формула переходу до нового основи
log a x \u003d 1 / log x a

Як вирішувати логарифми - покрокова інструкція рішення

Для початку запишіть необхідне рівняння.

Зверніть увагу: якщо в логарифм за основою коштує 10, то запис коротшає, виходить десятковий логарифм. якщо стоїть натуральне число е, то записуємо, скорочуючи до натурального логарифма. Мається на увазі, що результат всіх логарифмів - ступінь, до якої зводиться число підстави до отримання числа b.

Безпосередньо, рішення і полягає в обчисленні цього ступеня. До того як вирішити вираз з логарифмом, його необхідно спростити за правилом, тобто, користуючись формулами. Основні тотожності ви зможете знайти, повернувшись трохи назад в статті.

Складаючи і віднімаючи логарифми з двома різними числами, але з однаковими підставами, замінюйте одним логарифмом з твором або розподілом чисел b і с відповідно. В такому випадку можна застосувати формулу переходу до іншого підстави (див. Вище).

Якщо ви використовуєте вираження для спрощення логарифма, то необхідно враховувати деякі обмеження. А то є: підстава логарифма а - тільки позитивне число, але не рівне одиниці. Число b, як і а, має бути більше нуля.

Є випадки, коли спростивши вираз, ви не зможете обчислити логарифм в числовому вигляді. Буває, що такий вислів не має сенсу, адже багато ступеня - числа ірраціональні. За такої умови залиште ступінь числа у вигляді запису логарифма.

Логарифм числа b (b\u003e 0) по підставі a (a\u003e 0, a ≠ 1) - показник ступеня, в яку потрібно звести число a, щоб отримати b.

Логарифм числа b по підставі 10 можна записати як lg (b), А логарифм за основою e (натуральний логарифм) - ln (b).

Часто використовується при вирішенні задач з логарифмами:

властивості логарифмів

Існує чотири основних властивості логарифмів.

Нехай a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 і y\u003e 0.

Властивість 1. Логарифм добутку

логарифм твори дорівнює сумі логарифмів:

log a (x ⋅ y) \u003d log a x + log a y

Властивість 2. Логарифм приватного

логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів:

log a (x / y) \u003d log a x - log a y

Властивість 3. Логарифм ступеня

логарифм ступеня дорівнює добутку ступеня на логарифм:

Якщо в ступеня знаходиться основа логарифма, то діє інша формула:

Властивість 4. Логарифм кореня

Даною властивість можна отримати з властивості логарифм ступеня, так як корінь n-го ступеня дорівнює ступеню 1 / n:

Формула переходу від логарифма в одному підставі до логарифму при іншій підставі

Дана формула також часто застосовується при вирішенні різних завдань на логарифми:

Окремий випадок:

Порівняння логарифмів (нерівності)

Нехай у нас є 2 функції f (x) і g (x) під логарифмами з однаковими підставами і між ними стоїть знак нерівності:

Щоб їх порівняти, потрібно спочатку подивитися на підставу логарифмів a:

Якщо a\u003e 0, то f (x)\u003e g (x)\u003e 0
якщо 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Як вирішувати завдання з логарифмами: приклади

Завдання з логарифмами включені до складу ЄДІ з математики для 11 класу в завданні 5 і завданні 7, ви можете знайти завдання з рішеннями на нашому сайті у відповідних розділах. Також завдання з логарифмами зустрічаються в банку завдань з математики. Всі приклади ви можете знайти через пошук по сайту.

Що таке логарифм

Логарифми завжди вважалися складною темою в шкільному курсі математики. Існує багато різних визначень логарифма, але більшість підручників чомусь використовують найскладніші і невдалі з них.

Ми ж визначимо логарифм просто і наочно. Для цього складемо таблицю:

Отже, перед нами ступеня двійки.

Логарифми - властивості, формули, як вирішувати

Якщо взяти число з нижньої рядки, то можна легко знайти ступінь, в яку доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести в четверту ступінь. А щоб отримати 64, треба два звести в шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер - власне, визначення логарифма:

по підставі a від аргументу x - це ступінь, в яку треба звести число a, щоб отримати число x.

Позначення: log a x \u003d b, де a - підстава, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (логарифм за основою 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 \u003d 8). З тим же успіхом log 2 64 \u003d 6, оскільки 2 6 \u003d 64.

Операцію знаходження логарифма числа по заданому підставі називають. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 + 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

На жаль, далеко не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм буде лежати десь на відрізку. Тому що 2 + 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати до безкінечності, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще так і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз з двома змінними (підстава і аргумент). Багато на перших порах плутають, де знаходиться підставу, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифма. Згадайте: логарифм - це ступінь, В яку треба звести підстава, щоб отримати аргумент. Саме підставу зводиться до степеня - на зображенні воно виділено червоним. Виходить, що підстава завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті - і ніякої плутанини не виникає.

Як вважати логарифми

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто позбавлятися від знака «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливих факти:

Аргумент і підстава завжди повинні бути більше нуля. Це випливає з визначення ступеня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифма.
Основа повинна бути відмінним від одиниці, оскільки одиниця в будь-якого ступеня все одно залишається одиницею. Через це питання «в який ступінь треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлений сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень (ОПЗ). Виходить, що ОДЗ логарифма виглядає так: log a x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Зауважте, що ніяких обмежень на число b (значення логарифма) не накладалися. Наприклад, логарифм цілком може бути негативним: log 2 0,5 \u003d -1, тому що 0,5 \u003d 2 -1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифма не потрібно. Всі обмеження вже враховані укладачами завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння і нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі і аргументі можуть стояти дуже неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається з трьох кроків:

Уявити підставу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою підставою, великим одиниці. Попутно краще позбутися десяткових дробів;
Вирішити щодо змінної b рівняння: x \u003d a b;
Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому кроці. Вимога, щоб підстава була більше одиниці, досить актуально: це знижує ймовірність помилки і значно спрощує викладки. аналогічно з десятковими дробами: Якщо відразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

Уявімо підставу і аргумент як ступінь п'ятірки: 5 \u003d 5 1, 25 \u003d 5 2,

Складемо і вирішимо рівняння:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

Уявімо підставу і аргумент як ступінь двійки: 4 \u003d 2 + 2; 64 \u003d 2 6;
Складемо і вирішимо рівняння:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 + 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

Уявімо підставу і аргумент як ступінь двійки: 16 \u003d 2 4, 1 \u003d 2 0;
Складемо і вирішимо рівняння:
log 16 +1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

Уявімо підставу і аргумент як ступінь сімки: 7 \u003d 7 1, 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
Відповідь - без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точною ступенем іншого числа? Дуже просто - достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різних множника, число не є точною ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - точна ступінь, тому що множник всього один;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - не є точною ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - точна ступінь;
35 \u003d 7 · 5 - знову не є точною ступенем;
14 \u003d 7 · 2 - знову не точна ступінь;

Зауважимо також, що самі прості числа завжди є точними ступенями самих себе.

десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву і позначення.

від аргументу x - це логарифм по підставі 10, тобто ступінь, в яку треба звести число 10, щоб отримати число x. Позначення: lg x.

Наприклад, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - І т.д.

Відтепер, коли в підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його завжди можна переписати:
lg x \u003d log 10 x

Все, що вірно для звичайних логарифмів, вірно і для десяткових.

натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власне позначення. У певному сенсі, він навіть важливіший, ніж десятковий. Мова йде про натуральний логарифм.

від аргументу x - це логарифм по підставі e, тобто ступінь, в яку треба звести число e, щоб отримати число x. Позначення: ln x.

Багато запитають: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значення знайти і записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e \u003d +2,718281828459 ...

Не будемо заглиблюватися, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифма:
ln x \u003d log e x

Таким чином, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 - ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа ірраціональний. Крім, зрозуміло, одиниці: ln 1 \u003d 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які вірні для звичайних логарифмів.

Дивіться також:

Логарифм. Властивості логарифма (ступінь логарифма).

Як уявити число у вигляді логарифма?

Використовуємо визначення логарифма.

Логарифм - це показник ступеня, в яку треба звести підстава, щоб отримати число, що стоїть під знаком логарифма.

Таким чином, щоб представити деяке число c у вигляді логарифма за основою a, треба під знак логарифма поставити ступінь з тим же підставою, що і підстава логарифма, а в показник ступеня записати це число c:

У вигляді логарифма можна уявити абсолютно будь-яке число - позитивне, негативне, ціле, дробове, раціональне, ірраціональне:

Щоб в стресових умовах контрольної чи іспиту не переплутати a і c, можна скористатися таким правилом для запам'ятовування:

то, що внизу, йде вниз, то, що вгорі, йде вгору.

Наприклад, потрібно представити число 2 у вигляді логарифма за основою 3.

У нас є два числа - 2 і 3. Ці числа - основа і показник ступеня, яку ми запишемо під знак логарифма. Залишається визначити, яке з цих чисел потрібно записати вниз, в основу ступеня, а яке - вгору, в показник.

Підстава 3 в запису логарифма стоїть внизу, значить, коли ми будемо представляти двійку у вигляді логарифма за основою 3, 3 також запишемо вниз, в основу.

2 стоїть вище трійки. І в запису ступеня двійку запишемо вище трійки, тобто, в показник ступеня:

Логарифми. Початковий рівень.

логарифми

логарифмом позитивного числа b по підставі a, де a\u003e 0, a ≠ 1, Називається показник ступеня, в яку треба звести число a, Щоб отримати b.

визначення логарифма можна коротко записати так:

Це рівність справедливо при b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1. Його зазвичай називають логарифмическим тотожністю.
Дія знаходження логарифма числа називають логарифмування.

Властивості логарифмів:

Логарифм твори:

Логарифм частки від розподілу:

Заміна підстави логарифма:

Логарифм ступеня:

Логарифм кореня:

Логарифм з поважним підставою:

Десяткові і натуральні логарифми.

десятковим логарифмом числа називають логарифм цього числа за основою 10 і пишуть & nbsp lg b
натуральним логарифмом числа називають логарифм цього числа за основою e, де e - ірраціональне число, наближено дорівнює 2,7. При цьому пишуть ln b.

Інші замітки з алгебри і геометрії

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати і всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми - це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не наважується жодна серйозна логарифмічна завдання. До того ж, їх зовсім небагато - все можна вивчити за один день. Отже, приступимо.

Додавання і віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифма з однаковими підставами: log a x і log a y. Тоді їх можна додавати і віднімати, причому:

log a x + log a y \u003d log a (x · y);
log a x - log a y \u003d log a (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - логарифму приватного. Зверніть увагу: ключовий момент тут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічні вираз навіть тоді, коли окремі його частини не вважаються (див. Урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади - і переконайтеся:

Log 6 4+ log 6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 - log 2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 - log 3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з «поганих» логарифмів, які окремо не зважають. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні - подібні вирази на повному серйозі (іноді - практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифма

Тепер трохи ускладнити завдання. Що, якщо в підставі або аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифма за такими правилами:

Нескладно помітити, що останнім правило слід їх перших двох. Але краще його все-таки пам'ятати - в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс при дотриманні ОДЗ логарифма: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. І ще: вчіться застосовувати всі формули не тільки зліва направо, а й навпаки, тобто можна вносити числа, які стоять перед знаком логарифма, в сам логарифм.

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше і потрібна.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6.

Позбудемося ступеня в аргументі по першій формулі:
log 7 49 6 \u003d 6 · log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що в знаменнику стоїть логарифм, підстава та аргумент якого є точними ступенями: 16 \u003d 2 4, 49 \u003d 7 2. маємо:

Думаю, до останнього наприклад потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? до самого останнього моменту ми працюємо тільки з знаменником. Представили підставу і аргумент стоїть там логарифма у вигляді ступенів і винесли показники - отримали «триповерхову» дріб.

Тепер подивимося на основну дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть одне і те ж число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - в знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що і було зроблено. В результаті вийшов відповідь: 2.

Перехід до нового основи

Говорячи про правила додавання і віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють тільки при однакових підставах. А що, якщо підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями одного і того ж числа?

На допомогу приходять формули переходу до нового основи. Сформулюємо їх у вигляді теореми:

Нехай дано логарифм log a x. Тоді для будь-якого числа c такого, що c\u003e 0 і c ≠ 1, вірно рівність:

Зокрема, якщо покласти c \u003d x, отримаємо:

З другої формули слід, що можна міняти місцями підставу і аргумент логарифма, але при цьому все вираз «перевертається», тобто логарифм виявляється в знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається в звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна тільки при вирішенні логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нового основи. Розглянемо парочку таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступеня. Винесемо показники: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2, log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5,

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників добуток не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку і двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.

Підстава і аргумент першого логарифма - точні ступеня. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифма, перейшовши до нового основи:

Основна логарифмічна тотожність

Часто в процесі рішення у Вас можуть запитати число як логарифм по заданому основи.

У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть в аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифма.

Друга формула - це фактично перефразований визначення. Вона так і називається:.

Справді, що буде, якщо число b звести в таку ступінь, що число b в цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз - багато на ньому «зависають».

Подібно формулами переходу до нового основи, основне логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log 25 64 \u003d log 5 8 - просто винесли квадрат з підстави і аргументи логарифма. З огляду на правила множення ступенів з однаковим підставою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це була справжня завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця і логарифмічний нуль

На закінчення приведу два тотожності, які складно назвати властивостями - скоріше, це наслідки з визначення логарифма. Вони постійно зустрічаються в задачах і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

log a a \u003d 1 - це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм по будь-якої підстави a від самого цього підстави дорівнює одиниці.
log a 1 \u003d 0 - це. Підстава a може бути яким завгодно, але якщо в аргументі стоїть одиниця - логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 \u003d 1 - це прямий наслідок з визначення.

Ось і все властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її - і вирішуйте завдання.

Отже, перед нами ступеня двійки. Якщо взяти число з нижньої рядки, то можна легко знайти ступінь, в яку доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести в четверту ступінь. А щоб отримати 64, треба два звести в шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер - власне, визначення логарифма:

Логарифм по підставі a від аргументу x - це ступінь, в яку треба звести число a, щоб отримати число x.

Позначення: log a x \u003d b, де a - підстава, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (логарифм за основою 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 \u003d 8). З тим же успіхом log 2 64 \u003d 6, оскільки 2 6 \u003d 64.

Операцію знаходження логарифма числа по заданому підставі називають логарифмування. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 + 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Аргумент і підстава завжди повинні бути більше нуля. Це випливає з визначення ступеня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифма.
Основа повинна бути відмінним від одиниці, оскільки одиниця в будь-якого ступеня все одно залишається одиницею. Через це питання «в який ступінь треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлений сенсу. Немає такої міри!

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається з трьох кроків:

Уявити підставу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою підставою, великим одиниці. Попутно краще позбутися десяткових дробів;
Вирішити щодо змінної b рівняння: x \u003d a b;
Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому кроці. Вимога, щоб підстава була більше одиниці, досить актуально: це знижує ймовірність помилки і значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо відразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.