Квадратне рівняння - вирішується просто! * Далі в тексті «КУ».Друзі, здавалося б, що може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним у багатьох є проблеми. Вирішив подивитися скільки показів за запитом на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:

Що це означає? Це означає те, що близько 70000 чоловік в місяць шукають цю інформацію, при чому це літо, а що буде серед учбового року - запитів буде в два рази більше. Це й не дивно, адже ті хлопці і дівчата, які давно закінчили школу і готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив теж внести свою лепту і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться щоб по даному запиту і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» буду давати посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його вирішенні трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Приступимо!Зміст статті:

Квадратне рівняння - це рівняння виду:

де коефіцієнти a,b і з довільні числа, при чому a ≠ 0.

В шкільному курсі матеріал дають в наступному вигляді - умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два кореня.

2. * Мають тільки один корінь.

3. Не мають коренів. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюються коріння? Просто!

Обчислюємо дискриминант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

* Ці формули потрібно знати напам'ять.

Можна відразу записувати і вирішувати:

приклад:

1. Якщо D\u003e 0, то рівняння має два кореня.

2. Якщо D \u003d 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

З цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, в шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, тут він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але ...

Зазначене подання кілька дещо некоректно. Насправді виходить два кореня. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівних кореня, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два кореня:

х 1 \u003d 3 х 2 \u003d 3

Але це так - невеличкий відступ. У школі можете записувати і говорити, що корінь один.

Тепер наступний приклад:

Як нам відомо - корінь з від'ємного числа не розгорнеться, тому рішення в даному випадку немає.

Ось і весь процес вирішення.

Квадратична функція.

Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це вкрай важливо розуміти (надалі в одній зі статей ми докладно будемо розбирати рішення квадратного нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с - задані числа, при чому a ≠ 0

Графіком є \u200b\u200bпарабола:

Тобто, виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискриминант позитивний), одна (дискриминант дорівнює нулю) і жодної (дискриминант негативний). детально про квадратичної функції можете подивитись статтю у Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d b 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Відповідь: х 1 \u003d 8 х 2 \u003d -12

* Можна було відразу ж ліву і праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простіше.

Приклад 2: вирішити x 2–22 x + 121 \u003d 0

а \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Отримали, що х 1 \u003d 11 і х 2 \u003d 11

У відповіді допустимо записати х \u003d 11.

Відповідь: х \u003d 11

Приклад 3: вирішити x 2 -8x + 72 \u003d 0

а \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Дискримінант негативний, рішення в дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння в разі коли виходить негативний дискриминант. Ви що-небудь знаєте про комплексних числах? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їх конкретна роль і необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Поняття комплексного числа.

Трохи теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z \u003d a + bi

де a і b - дійсні числа, i - так звана уявна одиниця.

a + bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не складання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучених кореня.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, це коли коефіцієнт «b» або «з» дорівнює нулю (або обидва дорівнюють нулю). Вони вирішуються легко без всяких Дискримінант.

Випадок 1. Коефіцієнт b \u003d 0.

Рівняння набуває вигляду:

перетворимо:

приклад:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Випадок 2. Коефіцієнт з \u003d 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворимо, розкладаємо на множники:

* Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

приклад:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 або x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Випадок 3. Коефіцієнти b \u003d 0 і c \u003d 0.

Тут зрозуміло, що рішенням рівняння завжди буде х \u003d 0.

Корисні властивості і закономірності коефіцієнтів.

Є властивості, які дозволяють вирішити рівняння з великими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b + З \u003d 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + З \u003db, то

Дані властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, значить

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

виконується рівність a + З \u003db, значить

Закономірності коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 + (а 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d -а х 2 \u003d -1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 6х 2 + 37х + 6 \u003d 0.

х 1 \u003d -6 х 2 \u003d -1/6.

2. Якщо в рівнянні ax 2 - bx + c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 - (а 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 15х 2 -226х +15 \u003d 0.

х 1 \u003d 15 х 2 \u003d 1/15.

3. Якщо в рівнянніax 2 + bx - c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт «c» чисельно рівний коефіцієнту «a», то його коріння рівні

аx 2 + (а 2 -1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 17х 2 + 288х - 17 \u003d 0.

х 1 \u003d - 17 х 2 \u003d 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 - bx - c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 - 1), а коефіцієнт з чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 - (а 2 -1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 10х 2 - 99х -10 \u003d 0.

х 1 \u003d 10 х 2 \u003d - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається по імені знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна висловити суму і твір коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумі число 14 дають тільки 5 і 9. Це коріння. При певному навику, використовуючи представлену теорему, багато квадратні рівняння ви зможете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після рішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримані коріння можна перевіряти. Рекомендую це робити завжди.

СПОСІБ перекидання

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його і називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

якщо а± b + c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х +5 = 0 (1) => х 2 – 11х +10 = 0 (2)

По теоремі Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 \u003d 10 х 2 \u003d 1

Отримані корені рівняння необхідно розділити на 2 (тому що від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 \u003d 5 х 2 \u003d 0,5.

Яке обгрунтування? Подивіться що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) і (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять тільки різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходять в 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на 2.

* Якщо будемо перекидати трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 \u003d 5 х 2 \u003d 0,5

Кв. ур-ие і ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанту необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до вирішення квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто відзначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявній». Наприклад, можлива така запис:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 або 15х + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 або 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися при вирішенні).

2. Пам'ятайте, що х це невідома величина і вона може бути позначена будь-який інший буквою - t, q, p, h та іншими.

Копьевская сільська середня загальноосвітня школа

10 способів вирішення квадратних рівнянь

Керівник: Патрікеева Галина Анатоліївна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал Хорезми

1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст

1.6 Про теорему Вієта

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

висновок

література

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до н. е. вавилоняни.

Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи вирішення квадратних рівнянь.

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння.

У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одна з його завдань.

Завдання 11. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96»

Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так як якщо б вони були рівні, то їх твір дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто . 10 + х , Інше ж менше, тобто 10 - х . Різниця між ними 2х .

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) \u003d 96

100 - х 2 \u003d 96

х 2 - 4 \u003d 0 (1)

Звідси х \u003d 2 . Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х \u003d -2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи в якості невідомого одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до рішення рівняння

у (20 - у) \u003d 96,

у 2 - 20у + 96 \u003d 0. (2)

Ясно, що, вибираючи в якості невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести задачу до вирішення неповного квадратного рівняння (1).

1.3 Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило рішення квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:

ах 2 + b х \u003d с, а\u003e 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцента, крім а , Можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого на ринках, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто вдягалися в віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскару.

Завдання 13.

«Мавпочок жвавих зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи ...

Їх в квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, в цій зграї? »

Рішення Бхаскару свідчить про те, що він знав про двозначності коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаськара пише під виглядом:

х 2 - 64х \u003d -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , Отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(Х - 32) 2 \u003d 256,

х - 32 \u003d ± 16,

х 1 \u003d 16, х 2 \u003d 48.

1.4 Квадратні рівняння у ал - Хорезмі

В алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:

1) «Квадрати рівні корінням», тобто ах 2 + с \u003d b х.

2) «Квадрати рівні числу», тобто ах 2 \u003d с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах \u003d с.

4) «Квадрати і числа рівні коріння», тобто ах 2 + с \u003d b х.

5) «Квадрати і коріння рівні числу», тобто ах 2 + bx \u003d С.

6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобто bx + З \u003d ах 2.

Для ал - Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр і ал - мукабала. Його рішення, звичайно, не збігається повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII в., е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.

Завдання 14. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь » (Мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 \u003d 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: роздягли навпіл число коренів, отримаєш 5, примножиш 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал - Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст

Формули рішення квадратних рівнянь за зразком ал - Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної 1202 р італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Цей об'ємний працю, в якому відображено вплив математики, як країн ісламу, так і Стародавній Греції, Відрізняється і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з «Книги абака» переходили майже в усі європейські підручники XVI - XVII ст. і частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду:

х 2 + bx \u003d С,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b , з було сформульовано в Європі лише в 1544 р М. Штіфель.

Висновок формули вирішення квадратного рівняння в загалом вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI в. Враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише в XVII ст. Завдяки праці Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб вирішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

1.6 Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням, що носить ім'я Вієта, була їм сформульована вперше 1591 р наступним чином: «Якщо B + D , Помножене на A - A 2 , так само BD , то A одно В і так само D ».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А , Як і будь-яка голосна буква, означало у нього невідоме (наше х), Голосні ж В, D - коефіцієнти при невідомому. Мовою сучасної алгебри вищенаведена формулювання Вієта означає: якщо має місце

(А + b ) Х - х 2 \u003d ab ,

х 2 - (а + b ) Х + а b = 0,

х 1 \u003d а, х 2 \u003d b .

Висловлюючи залежність між країнами і коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Виет встановив однаковість в прийомах рішення рівнянь. Однак символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і з цього при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивні.

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей. Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу.

В сучасному суспільстві вміння проводити дії з рівняннями, що містять змінну, зведену в квадрат, може стати в нагоді в багатьох областях діяльності і широко застосовується на практиці в наукових і технічних розробках. Свідченням тому може служити конструювання морських і річкових суден, літаків і ракет. За допомогою подібних розрахунків визначають траєкторії переміщення самих різних тіл, в тому числі і космічних об'єктів. Приклади з рішенням квадратних рівнянь знаходять застосування не тільки в економічному прогнозуванні, при проектуванні і будівництві будівель, але і в самих звичайних життєвих обставинах. Вони можуть знадобитися в туристичних походах, на спортивних змаганнях, в магазинах при здійсненні покупок і в інших вельми поширених ситуаціях.

Розіб'ємо вираз на складові множники

Ступінь рівняння визначається максимальним значенням ступеня у змінної, яку містить цей вислів. У разі, якщо вона дорівнює 2, то подібне рівняння якраз і називається квадратним.

Якщо висловлюватися мовою формул, то зазначені вирази, як би вони не виглядали, завжди можна привести до виду, коли ліва частина виразу складається з трьох доданків. Серед них: ax 2 (тобто змінна, зведена в квадрат зі своїм коефіцієнтом), bx (невідоме без квадрата зі своїм коефіцієнтом) і c (вільна складова, тобто звичайне число). Все це в правій частині прирівнюється 0. У випадку, коли у подібного многочлена відсутня одна з його складових доданків, за винятком ax 2, воно називається неповним квадратним рівнянням. Приклади з рішенням таких завдань, значення змінних в яких знайти нескладно, слід розглянути в першу чергу.

Якщо вираз на вигляд виглядає таким чином, що доданків у вираження в правій частині два, точніше ax 2 і bx, найлегше відшукати х винесенням змінної за дужки. Тепер наше рівняння буде виглядати так: x (ax + b). Далі стає очевидно, що або х \u003d 0, або завдання зводиться до знаходження змінної з наступного виразу: ax + b \u003d 0. Зазначене продиктоване одним з властивостей множення. Правило говорить, що твір двох множників дає в результаті 0, тільки якщо один з них дорівнює нулю.

приклад

x \u003d 0 або 8х - 3 \u003d 0

В результаті отримуємо два кореня рівняння: 0 і 0,375.

Рівняння такого роду можуть описувати переміщення тіл під дією сили тяжіння, що почали рух з певної точки, прийнятої за початок координат. Тут математична запис приймає наступну форму: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Підставивши необхідні значення, прирівнявши праву частину 0 і знайшовши можливі невідомі, можна дізнатися час, що проходить з моменту підйому тіла до моменту його падіння, а також багато інших величини. Але про це ми поговоримо пізніше.

Розкладання виразу на множники

Описане вище правило дає можливість вирішувати зазначені завдання і в більш складних випадках. Розглянемо приклади з рішенням квадратних рівнянь такого типу.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Цей квадратний тричлен є повним. Для початку перетворимо вираз і розкладемо його на множники. Їх виходить два: (x-8) і (x-25) \u003d 0. У результаті маємо два кореня 8 і 25.

Приклади з рішенням квадратних рівнянь в 9 класі дозволяють даним методом знаходити змінну у виразах не тільки другого, але навіть третього і четвертого порядків.

Наприклад: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. При розкладанні правій частині на множники зі змінною, їх виходить три, тобто (x + 1), (x-3) і (x + 3).

В результаті стає очевидно, що дане рівняння має три корені: -3; -1; 3.

Витяг квадратного кореня

Іншим випадком неповного рівняння другого порядку є вираз, на мові букв представлене таким чином, що права частина будується зі складових ax 2 і c. Тут для отримання значення змінної вільний член переноситься в праву сторону, А після цього з обох частин рівності витягується квадратний корінь. Слід звернути увагу, що і в даному випадку коренів рівняння зазвичай буває два. Винятком можуть служити лише тільки рівності, взагалі не містять доданок с, де змінна дорівнює нулю, а також варіанти виразів, коли права частина виявляється негативною. В останньому випадку рішень взагалі не існує, так як зазначені вище дії неможливо виробляти з корінням. Приклади рішень квадратних рівнянь такого типу необхідно розглянути.

В даному випадку корінням рівняння виявляться числа -4 і 4.

Обчислення пощади земельної ділянки

Потреба в подібного роду обчисленнях з'явилася в далекій давнині, адже розвиток математики багато в чому в ті далекі часи було обумовлено необхідністю визначати з найбільшою точністю площі і периметри земельних ділянок.

Приклади з рішенням квадратних рівнянь, складених на основі завдань такого роду, слід розглянути і нам.

Отже, припустимо є прямокутна ділянка землі, довжина якого на 16 метрів більше, ніж ширина. Слід знайти довжину, ширину і периметр ділянки, якщо відомо, що його площа дорівнює 612 м 2.

Приступаючи до справи, спочатку складемо необхідне рівняння. Позначимо за х ширину ділянки, тоді його довжина виявиться (х + 16). З написаного випливає, що площа визначається виразом х (х + 16), що, згідно з умовою нашого завдання, становить 612. Це означає, що х (х + 16) \u003d 612.

Рішення повних квадратних рівнянь, а цей вислів є саме таким, не може проводитися в попередній спосіб. Чому? Хоча ліва частина його як і раніше містить два множники, твір їх зовсім не дорівнює 0, тому тут застосовуються інші методи.

дискримінант

Перш за все зробимо необхідні перетворення, тоді зовнішній вигляд даного виразу буде виглядати таким чином: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Це означає, ми отримали вираз у формі, що відповідає зазначеному раніше стандарту, де a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Це може стати прикладом вирішення квадратних рівнянь через дискримінант. Тут необхідні розрахунки проводяться за схемою: D \u003d b 2 - 4ac. Дана допоміжна величина не просто дає можливість знайти шукані величини в рівнянні другого порядку, вона визначає кількість можливих варіантів. У разі, якщо D\u003e 0, їх два; при D \u003d 0 існує один корінь. У разі, якщо D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Про коріння і їх формулою

У нашому випадку дискримінант дорівнює: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Це говорить про те, що відповідь у нашій задачі існує. Якщо знати, до, рішення квадратних рівнянь потрібно продовжувати із застосуванням нижче наведеної формули. Вона дозволяє обчислити корені.

Це означає, що в представленому випадку: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Другий варіант в даній проблемі не може бути рішенням, тому що розміри земельної ділянки не можуть вимірюватися в негативних величинах, значить х (тобто ширина ділянки) дорівнює 18 м. Звідси обчислюємо довжину: 18 + 16 \u003d 34, і периметр 2 (34+ 18) \u003d 104 (м 2).

Приклади і задачі

Продовжуємо вивчення квадратних рівнянь. Приклади і докладний рішення кількох з них будуть наведені далі.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Перенесемо все в ліву частину рівності, зробимо перетворення, тобто отримаємо вид рівняння, який прийнято називати стандартним, і прирівняємо його нулю.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Склавши подібні, визначимо дискриминант: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Значить у нашого рівняння буде два кореня. Обчислимо їх згідно наведеної вище формулою, а це значить, що перший з них буде дорівнює 4/3, а другий 1.

2) Тепер розкриємо загадки іншого роду.

З'ясуємо, чи є взагалі тут коріння x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Для отримання вичерпної відповіді наведемо багаточлен до відповідного звичного вигляду і обчислимо дискриминант. У зазначеному прикладі рішення квадратного рівняння проводити не обов'язково, адже суть завдання полягає зовсім не в цьому. В даному випадку D \u003d 16 - 20 \u003d -4, а значить, коріння дійсно немає.

теорема Вієта

Квадратні рівняння зручно вирішувати через зазначені вище формули і дискримінант, коли з значення останнього витягується квадратний корінь. Але це буває не завжди. Однак способів для отримання значень змінних в даному випадку існує безліч. Приклад: рішення квадратних рівнянь за теоремою Вієта. Вона названа на честь який жив в XVI столітті у Франції і зробив блискучу кар'єру завдяки своєму математичному таланту і зв'язків при дворі. Портрет його можна побачити в статті.

Закономірність, яку помітив прославлений француз, полягала в наступному. Він довів, що коріння рівняння в сумі чисельно рівні -p \u003d b / a, а їх добуток відповідає q \u003d c / a.

Тепер розглянемо конкретні завдання.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Для простоти перетворимо вираз:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Скористаємося теоремою Вієта, це дасть нам наступне: сума коренів дорівнює -7, а їх добуток -18. Звідси отримаємо, що корінням рівняння є числа -9 і 2. Зробивши перевірку, переконаємося, що ці значення змінних дійсно підходять в вираз.

Графік і рівняння параболи

Поняття квадратична функція і квадратні рівняння тісно пов'язані. Приклади подібного вже були наведені раніше. Тепер розглянемо деякі математичні загадки трохи докладніше. Будь-яке рівняння описуваного типу можна уявити наочно. Подібна залежність, намальована у вигляді графіка, називається параболою. Різні її види представлені на малюнку нижче.

Будь-яка парабола має вершину, тобто точку, з якої виходять її гілки. У разі якщо a\u003e 0, вони йдуть високо в нескінченність, а коли a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наочні зображення функцій допомагають вирішувати будь-які рівняння, в тому числі і квадратні. Цей метод називається графічним. А значенням змінної х є координата абсцис в точках, де відбувається перетин лінії графіка з 0x. Координати вершини можна дізнатися по щойно наведеній формулі x 0 \u003d -b / 2a. І, підставивши отримане значення в початкове рівняння функції, можна дізнатися y 0, тобто другу координату вершини параболи, що належить осі ординат.

Перетин гілок параболи з віссю абсцис

Прикладів з рішенням квадратних рівнянь дуже багато, але існують і загальні закономірності. Розглянемо їх. Зрозуміло, що перетин графіка з віссю 0x при a\u003e 0 можливо тільки якщо у 0 набуває від'ємних значень. А для a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В іншому випадку D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

За графіком параболи можна визначити і коріння. Вірно також зворотне. Тобто якщо отримати наочне зображення квадратичної функції нелегко, можна прирівняти праву частину виразу до 0 і вирішити отримане рівняння. А знаючи точки перетину з віссю 0x, легше побудувати графік.

З історії

За допомогою рівнянь, що містять змінну, зведену в квадрат, в старовину не тільки робили математичні розрахунки і визначали площі геометричних фігур. Подібні обчислення древнім були потрібні для грандіозних відкриттів в області фізики і астрономії, а також для складання астрологічних прогнозів.

Як припускають сучасні діячі науки, одними з перших рішенням квадратних рівнянь зайнялися жителі Вавилона. Сталося це за чотири століття до настання нашої ери. Зрозуміло, їх обчислення докорінно відрізнялися від нині прийнятих і виявлялися набагато примітивніше. Наприклад, месопотамські математики поняття не мали про існування негативних чисел. Незнайомі їм були також інші тонкощі з тих, які знає будь-який школяр сучасності.

Можливо, ще раніше вчених Вавилона рішенням квадратних рівнянь зайнявся мудрець з Індії Баудхаяма. Сталося це приблизно за вісім століть до настання ери Христа. Правда, рівняння другого порядку, способи вирішення яких він привів, були самими найпростіший. Крім нього, подібними питаннями цікавилися в старовину і китайські математики. В Європі квадратні рівняння почали вирішувати лише на початку XIII століття, але зате пізніше їх використовували в своїх роботах такі великі вчені, як Ньютон, Декарт і багато інших.

В продовження теми «Рішення рівнянь» матеріал даної статті познайомить вас з квадратними рівняннями.

Розглянемо всі докладно: суть і запис квадратного рівняння, задамо супутні терміни, розберемо схему вирішення неповних і повних рівнянь, познайомимося з формулою коренів і дискримінантом, встановимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами, ну і звичайно наведемо наочне рішення практичних прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратне рівняння, його види

визначення 1

Квадратне рівняння - це рівняння, записане як a · x 2 + b · x + c \u003d 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, при цьому aне їсти нуль.

Найчастіше квадратні рівняння також носять назву рівнянь другого ступеня, оскільки по суті квадратне рівняння є рівняння алгебри другого ступеня.

Наведемо приклад для ілюстрації заданого визначення: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 і т.п. - це квадратні рівняння.

визначення 2

Числа a, b і c - це коефіцієнти квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, При цьому коефіцієнт a носить назву першого, або старшого, або коефіцієнта при x 2, b - другого коефіцієнта, або коефіцієнта при x, а c називають вільним членом.

Наприклад, в квадратному рівнянні 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт є − 2 , А вільний член дорівнює − 11 . Звернемо увагу на той факт, що, коли коефіцієнти bі / або c є негативними, то використовується коротка форма запису виду 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, а не 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Уточнимо також такий аспект: якщо коефіцієнти a і / або b рівні 1 або − 1 , То явного участі в запису квадратного рівняння вони можуть не брати, що пояснюється особливостями записи зазначених числових коефіцієнтів. Наприклад, в квадратному рівнянні y 2 - y + 7 \u003d 0 старший коефіцієнт дорівнює 1, а другий коефіцієнт є − 1 .

Наведені та неприведення квадратні рівняння

За значенням першого коефіцієнта квадратні рівняння поділяють на наведені і неприведення.

визначення 3

Наведене квадратне рівняння - це квадратне рівняння, де старший коефіцієнт дорівнює 1. При інших значеннях старшого коефіцієнта квадратне рівняння є неприведення.

Наведемо приклади: квадратні рівняння x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 +5 \u003d 0 є наведеними, в кожному з яких старший коефіцієнт дорівнює 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - неприведення квадратне рівняння, де перший коефіцієнт відмінний від 1 .

Будь-яке неприведення квадратне рівняння можливо перетворити в наведене рівняння, якщо розділити обидві його частини на перший коефіцієнт (рівносильне перетворення). Перетворене рівняння матиме такі ж коріння, як і заданий неприведення рівняння або так же не мати коренів зовсім.

Розгляд конкретного прикладу дозволить нам наочно продемонструвати виконання переходу від неприведення квадратного рівняння до наведеного.

приклад 1

Задано рівняння 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Необхідно перетворити вихідне рівняння в наведену форму.

Рішення

Згідно згаданою вище схемою розділимо обидві частини вихідного рівняння на старший коефіцієнт 6. Тоді отримаємо: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3, І це те ж саме, що: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 і далі: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. Звідси: x 2 + 3 · x - 1 + 1 6 \u003d 0. Таким чином, отримано рівняння, рівносильне заданому.

відповідь: x 2 + 3 · x - 1 + 1 6 \u003d 0.

Повні і неповні квадратні рівняння

Звернемося до визначення квадратного рівняння. У ньому ми уточнили, що a ≠ 0. Подібне умова необхідно, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0 було саме квадратним, оскільки при a \u003d 0 воно по суті перетворюється в лінійне рівняння b · x + c \u003d 0.

У разі ж, коли коефіцієнти b і cдорівнюють нулю (що можливо, як окремо, так і спільно), квадратне рівняння називається неповного.

визначення 4

Неповне квадратне рівняння - таке квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0,де хоча б один з коефіцієнтів bі c(Або обидва) дорівнює нулю.

Повний квадратне рівняння - квадратне рівняння, в якому все числові коефіцієнти не рівні нулю.

Поміркуємо, чому типам квадратних рівнянь дані саме такі назви.

При b \u003d 0 квадратне рівняння набуде вигляду a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0, Що те ж саме, що a · x 2 + c \u003d 0. при c \u003d 0 квадратне рівняння записано як a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0, Що рівносильно a · x 2 + b · x \u003d 0. при b \u003d 0 і c \u003d 0 рівняння набуде вигляду a · x 2 \u003d 0. Рівняння, які ми отримали, відмінні від повного квадратного рівняння тим, що в їх лівих частинах не міститься або доданка зі змінною x, або вільного члена, або обох відразу. Власне, цей факт і поставив назва такого типу рівнянь - неповне.

Наприклад, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 і - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 - це повні квадратні рівняння; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь

Заданий вище визначення дає можливість виділити наступні види неповних квадратних рівнянь:

• a · x 2 \u003d 0, Такому рівняння відповідають коефіцієнти b \u003d 0 і c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 при b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0 при c \u003d 0.

Розглянемо послідовно рішення кожного виду неповного квадратного рівняння.

Рішення рівняння a · x 2 \u003d 0

Як вже було зазначено вище, такого рівняння відповідають коефіцієнти b і c, Рівні нулю. рівняння a · x 2 \u003d 0 можливо перетворити в рівносильну їй рівняння x 2 \u003d 0, Яке ми отримаємо, поділивши обидві частини вихідного рівняння на число a, Не рівне нулю. Очевидний факт, що корінь рівняння x 2 \u003d 0 це нуль, оскільки 0 2 = 0 . Інших коренів це рівняння не має, що можна пояснити властивостями ступеня: для будь-якого числа p,не дорівнює нулю, вірно нерівність p 2\u003e 0, З чого випливає, що при p ≠ 0 рівність p 2 \u003d 0ніколи не буде досягнуто.

визначення 5

Таким чином, для неповного квадратного рівняння a · x 2 \u003d 0 існує єдиний корінь x \u003d 0.

приклад 2

Для прикладу вирішимо неповне квадратне рівняння - 3 · x 2 \u003d 0. Йому рівносильно рівняння x 2 \u003d 0, Його єдиним коренем є x \u003d 0, Тоді і вихідне рівняння має єдиний корінь - нуль.

Коротко рішення оформляється так:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Рішення рівняння a · x 2 + c \u003d 0

На черзі - рішення неповних квадратних рівнянь, де b \u003d 0, c ≠ 0, тобто рівнянь виду a · x 2 + c \u003d 0. Перетворимо це рівняння, перенісши доданок з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак на протилежний і розділивши обидві частини рівняння на число, не рівне нулю:

• переносимо c в праву частину, що дає рівняння a · x 2 \u003d - c;
• ділимо обидві частини рівняння на a, Отримуємо в підсумку x \u003d - c a.

Наші перетворення є рівносильними, відповідно отримане рівняння також рівносильно вихідного, і цей факт дає можливість робити висновок про коріння рівняння. Від того, які значення a і cзалежить значення виразу - c a: воно може мати знак мінус (припустимо, якщо a \u003d 1 і c \u003d 2, Тоді - c a \u003d - 2 +1 \u003d - 2) або знак плюс (наприклад, якщо a \u003d - 2 і c \u003d 6, То - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); воно не дорівнює нулю, оскільки c ≠ 0. Детальніше зупинимося на ситуаціях, коли - c a< 0 и - c a > 0 .

У разі, коли - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p рівність p 2 \u003d - c a не може бути вірним.

Все інакше, коли - c a\u003e 0: згадаємо про квадратному корені, і стане очевидно, що коренем рівняння x 2 \u003d - c a буде число - c a, оскільки - c a 2 \u003d - c a. Неважко зрозуміти, що число - - c a - також корінь рівняння x 2 \u003d - c a: дійсно, - - c a 2 \u003d - c a.

Інших коренів рівняння не буде мати. Ми можемо це продемонструвати, використовуючи метод від супротивного. Для початку поставимо позначення знайдених вище коренів як x 1 і - x 1. Висловимо припущення, що рівняння x 2 \u003d - c a має також корінь x 2, Який відрізняється від коренів x 1 і - x 1. Ми знаємо, що, підставивши в рівняння замість x його коріння, перетворимо рівняння в справедливе числове рівність.

для x 1 і - x 1 запишемо: x 1 2 \u003d - c a, а для x 2 - x 2 + 2 \u003d - c a. Спираючись на властивості числових рівностей, почленно віднімемо одне вірне рівність з іншого, що дасть нам: x 1 2 - x 2 + 2 \u003d 0. Використовуємо властивості дій з числами, щоб переписати останню рівність як (X 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Відомо, що твір двох чисел є нуль тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з чисел є нулем. Зі сказаного випливає, що x 1 - x 2 \u003d 0 і / або x 1 + x 2 \u003d 0, Що те ж саме, x 2 \u003d x 1 і / або x 2 \u003d - x 1. Виникло очевидне протиріччя, адже спочатку було домовлено, що корінь рівняння x 2 відрізняється від x 1 і - x 1. Так, ми довели, що рівняння не має інших коренів, крім x \u003d - c a і x \u003d - - c a.

Резюмуємо все міркування вище.

визначення 6

Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c \u003d 0 рівносильне рівнянню x 2 \u003d - c a, яке:

• не матиме коренів при - c a< 0 ;
• матиме два кореня x \u003d - c a і x \u003d - - c a при - c a\u003e 0.

Наведемо приклади розв'язання рівнянь a · x 2 + c \u003d 0.

приклад 3

Задано квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Необхідно знайти його рішення.

Рішення

Перенесемо вільний член в праву частину рівняння, тоді рівняння прийме вид 9 · x 2 \u003d - 7.
Розділимо обидві частини отриманого рівняння на 9 , Прийдемо до x 2 \u003d - 7 9. У правій частині ми бачимо число зі знаком мінус, що означає: у заданого рівняння немає коренів. Тоді і вихідне неповне квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0 не матиме коренів.

відповідь: рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0не має коренів.

приклад 4

Необхідно вирішити рівняння - x 2 + 36 \u003d 0.

Рішення

Перенесемо 36 в праву частину: - x 2 \u003d - 36.
Розділимо обидві частини на − 1 , отримаємо x 2 \u003d 36. У правій частині - позитивне число, звідси можна зробити висновок, що x \u003d 36 або x \u003d - 36.
Винесемо корінь і запишемо остаточний підсумок: неповне квадратне рівняння - x 2 + 36 \u003d 0 має два кореня x \u003d 6 або x \u003d - 6.

відповідь: x \u003d 6 або x \u003d - 6.

Рішення рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0

Розберемо третій вид неповних квадратних рівнянь, коли c \u003d 0. Щоб знайти рішення неповного квадратного рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0, Скористаємося методом розкладання на множники. Розкладемо на множники многочлен, який знаходиться в лівій частині рівняння, винісши за дужки загальний множник x. Цей крок дасть можливість перетворити вихідне неповне квадратне рівняння в рівносильну їй x · (a · x + b) \u003d 0. А це рівняння, в свою чергу, рівносильно сукупності рівнянь x \u003d 0 і a · x + b \u003d 0. рівняння a · x + b \u003d 0 лінійне, і корінь його: x \u003d - b a.

визначення 7

Таким чином, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0 матиме два кореня x \u003d 0 і x \u003d - b a.

Закріпимо матеріал прикладом.

приклад 5

Необхідно знайти рішення рівняння 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Рішення

винесемо x за дужки і отримаємо рівняння x • 2 3 · x - 2 + 2 +7 \u003d 0. Це рівняння рівносильне рівнянням x \u003d 0 і 2 3 · x - 2 + 2 +7 \u003d 0. Тепер слід вирішити отримане лінійне рівняння 2 3 · x \u003d 2 + 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Коротко рішення рівняння запишемо так:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 +7 \u003d 0

x \u003d 0 або 2 3 · x - 2 + 2 +7 \u003d 0

x \u003d 0 або x \u003d 3 3 7

відповідь: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для знаходження рішення квадратних рівнянь існує формула коренів:

визначення 8

x \u003d - b ± D 2 · a, де D \u003d b 2 - 4 · a · c - так званий дискриминант квадратного рівняння.

Запис x \u003d - b ± D 2 · a по суті означає, що x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Незайвим буде розуміти, як була виведена зазначена формула і яким чином її застосовувати.

Висновок формули коренів квадратного рівняння

Нехай перед нами стоїть завдання вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Здійснимо ряд рівносильних перетворень:

• розділимо обидві частини рівняння на число a, Відмінне від нуля, отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• виділимо повний квадрат в лівій частині отриманого рівняння:
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
  Після цього рівняння набуде вигляду: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• тепер можливо зробити перенесення двох останніх доданків в праву частину, змінивши знак на протилежний, після чого отримуємо: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• нарешті, перетворимо вираз, записане в правій частині останнього рівності:
  b 2 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Таким чином, ми прийшли до рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, рівносильному вихідному рівнянню a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Рішення подібних рівнянь ми розбирали в попередніх пунктах (рішення неповних квадратних рівнянь). Вже отриманий досвід дає можливість зробити висновок щодо коренів рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d 0 рівняння має вигляд x + b 2 · a 2 \u003d 0, тоді x + b 2 · a \u003d 0.

Звідси очевидний єдиний корінь x \u003d - b 2 · a;

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2\u003e 0 вірним буде: x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, що те ж саме, що x + - b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x \u003d - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, тобто рівняння має два кореня.

Можливо зробити висновок, що наявність або відсутність коренів рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (а значить і вихідного рівняння) залежить від знака виразу b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, записаного в правій частині. А знак цього виразу задається знаком чисельника, (знаменник 4 · a 2 завжди буде позитивний), тобто, знаком виразу b 2 - 4 · a · c. цьому висловом b 2 - 4 · a · c дано назву - дискриминант квадратногоуравненія і визначена як його позначення буква D. Тут можна записати суть дискримінанту - по його значенню і знаку роблять висновок, чи буде квадратне рівняння мати дійсні корені, і, якщо буде, то яка кількість коренів - один або два.

Повернемося до рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2. Перепишемо його, використовуючи позначення дискримінанту: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Знову сформулюємо висновки:

визначення 9

• при D< 0 рівняння не має дійсних коренів;
• при D \u003d 0 рівняння має єдиний корінь x \u003d - b 2 · a;
• при D\u003e 0 рівняння має два кореня: x \u003d - b 2 · a + D 4 · a 2 або x \u003d - b 2 · a - D 4 · a 2. Ці корені на основі властивості радикалів можливо записати у вигляді: x \u003d - b 2 · a + D 2 · a або - b 2 · a - D 2 · a. А, коли розкриємо модулі і наведемо дроби до спільного знаменника, Отримаємо: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Так, результатом наших міркувань стало виведення формули коренів квадратного рівняння:

x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a, дискриминант D обчислюється за формулою D \u003d b 2 - 4 · a · c.

Дані формули дають можливість при дискримінант більше нуля визначити обидва дійсних кореня. Коли дискриминант дорівнює нулю, застосування обох формул дасть один і той же корінь, як єдине рішення квадратного рівняння. У разі, коли дискримінант від'ємний, спробувавши використовувати формулу кореня квадратного рівняння, ми зіткнемося з необхідністю витягти квадратний корінь з від'ємного числа, що виведе нас за рамки дійсних чисел. При негативному дискримінант у квадратного рівняння не буде дійсних коренів, але можлива пара комплексно сполучених коренів, що визначаються тими ж отриманими нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Вирішити квадратне рівняння можливо, відразу задіюючи формулу коренів, але в основному так надходять при необхідності знайти комплексні корені.

В основній же масі випадків зазвичай мається на увазі запитом не знайдено комплексних, а дійсних коренів квадратного рівняння. Тоді оптимально перед тим, як використовувати формули коренів квадратного рівняння, спочатку визначити дискриминант і упевнитися, що він не є негативним (в іншому випадку можна дійти висновку, що у рівняння немає дійсних коренів), а після приступити до обчислення значення коренів.

Міркування вище дають можливість сформулювати алгоритм вирішення квадратного рівняння.

визначення 10

Щоб вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, Необхідно:

• за формулою D \u003d b 2 - 4 · a · c знайти значення дискримінанту;
• при D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• при D \u003d 0 знайти єдиний корінь рівняння за формулою x \u003d - b 2 · a;
• при D\u003e 0 визначити два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою x \u003d - b ± D 2 · a.

Відзначимо, що, коли дискримінант є нуль, можна використовувати формулу x \u003d - b ± D 2 · a, вона дасть той же результат, що і формула x \u003d - b 2 · a.

Розглянемо приклади.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Наведемо рішення прикладів при різних значеннях дискримінанту.

приклад 6

Необхідно знайти корені рівняння x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Рішення

Запишемо числові коефіцієнти квадратного рівняння: a \u003d 1, b \u003d 2 і c \u003d - 6. Далі діємо за алгоритмом, тобто приступимо до обчислення дискримінанту, для чого підставимо коефіцієнти a, b і c в формулу дискримінанту: D \u003d b 24 · a · c \u003d 2 24 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Отже, ми отримали D\u003e 0, а це означає, що вихідне рівняння буде мати два дійсних кореня.
Для їх знаходження використовуємо формулу кореня x \u003d - b ± D 2 · a і, підставивши відповідні значення, отримаємо: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Спростимо отриманий вираз, винісши множник за знак кореня з подальшим скороченням дробу:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 або x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 або x \u003d - 1 - 7

відповідь: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

приклад 7

Необхідно вирішити квадратне рівняння - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Рішення

Визначимо дискриминант: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. При такому значенні дискримінанту вихідне рівняння буде мати лише один корінь, який визначається за формулою x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 × (- 4) x \u003d 3, 5

відповідь: x \u003d 3, 5.

приклад 8

Необхідно вирішити рівняння 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0

Рішення

Числові коефіцієнти цього рівняння будуть: a \u003d 5, b \u003d 6 і c \u003d 2. Використовуємо ці значення для знаходження дискримінанту: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Обчислений дискриминант негативний, таким чином, вихідне квадратне рівняння не має дійсних коренів.

У разі, коли стоїть завдання вказати комплексні корені, застосуємо формулу коренів, виконуючи дії з комплексними числами:

x \u003d - 6 ± - 4 2 × 5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 або x \u003d - 6 - 2 · i 10,

x \u003d - 3 5 +1 5 · i чи x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

відповідь: дійсні корені відсутні; комплексні коріння наступні: - 3 5 +1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

В шкільній програмі стандартно немає вимоги шукати комплексні корені, тому, якщо в ході вирішення дискриминант визначено як негативний, відразу записується відповідь, що дійсних коренів немає.

Формула коренів для парних друге коефіцієнтів

Формула коренів x \u003d - b ± D 2 · a (D \u003d b 2 - 4 · a · c) дає можливість отримати ще одну формулу, більш компактну, що дозволяє знаходити рішення квадратних рівнянь з парних коефіцієнтом при x (або з коефіцієнтом виду 2 · n, наприклад, 2 · 3 або 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Покажемо, як виводиться ця формула.

Нехай перед нами стоїть завдання знайти рішення квадратного рівняння a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Діємо за алгоритмом: визначаємо дискриминант D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c), а потім використовуємо формулу коренів:

x \u003d - 2 · n ± D 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Нехай вираз n 2 - a · c буде позначено як D 1 (іноді його позначають D "). Тоді формула коренів розглянутого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n набуде вигляду:

x \u003d - n ± D 1 a, де D 1 \u003d n 2 - a · c.

Легко побачити, що що D \u003d 4 · D 1, або D 1 \u003d D 4. Інакше кажучи, D 1 - це чверть дискримінанту. Очевидно, що знак D 1 такий же, як знак D, а значить знак D 1 також може служити індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

визначення 11

Таким чином, щоб знайти рішення квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n, необхідно:

• знайти D 1 \u003d n 2 - a · c;
• при D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• при D 1 \u003d 0 визначити єдиний корінь рівняння за формулою x \u003d - n a;
• при D 1\u003e 0 визначити два дійсних кореня за формулою x \u003d - n ± D 1 a.

приклад 9

Необхідно вирішити квадратне рівняння 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Рішення

Другий коефіцієнт заданого рівняння можемо уявити як 2 · (- 3). Тоді перепишемо заданий квадратне рівняння як 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, де a \u003d 5, n \u003d - 3 і c \u003d - 32.

Обчислимо четверту частину дискримінанту: D 1 \u003d n 2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Отримане значення позитивно, це означає, що рівняння має два дійсних кореня. Визначимо їх за відповідною формулою коренів:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 або x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 або x \u003d - 2

Можливо було б зробити обчислення і по звичайній формулі коренів квадратного рівняння, але в такому випадку рішення було б більш громіздким.

відповідь: x \u003d 3 1 5 або x \u003d - 2.

Спрощення виду квадратних рівнянь

Іноді існує можливість оптимізувати вигляд вихідного рівняння, що дозволить спростити процес обчислення коренів.

Наприклад, квадратне рівняння 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 явно зручніше для вирішення, ніж 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Найчастіше спрощення виду квадратного рівняння проводиться діями множення або ділення його обох частин на якесь число. Наприклад, вище ми показали спрощену запис рівняння 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, отриману діленням обох його частин на 100.

Таке перетворення можливе, коли коефіцієнти квадратного рівняння не є взаємно простими числами. Тоді зазвичай здійснюють розподіл обох частин рівняння на найбільший спільний дільник абсолютних величин його коефіцієнтів.

Як приклад використовуємо квадратне рівняння 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Визначимо НСД абсолютних величин його коефіцієнтів: НСД (12, 42, 48) \u003d НСД (НСД (12, 42), 48) \u003d НСД (6, 48) \u003d 6. Зробимо розподіл обох частин вихідного квадратного рівняння на 6 і одержимо рівносильне йому квадратне рівняння 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Множенням обох частин квадратного рівняння зазвичай позбавляються від дрібних коефіцієнтів. При цьому множать на найменше спільне кратне знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо кожну частину квадратного рівняння 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 перемножити з НОК (6, 3, 1) \u003d 6, то воно стане записано в більш простому вигляді x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Наостанок зазначимо, що майже завжди позбавляються від мінуса при першому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки кожного члена рівняння, що досягається шляхом множення (або поділу) обох частин на - 1. Наприклад, від квадратного рівняння - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0 можна перейти до спрощеної його версії 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Зв'язок між країнами і коефіцієнтами

Вже відома нам формула коренів квадратного рівняння x \u003d - b ± D 2 · a висловлює коріння рівняння через його числові коефіцієнти. Спираючись на цю формулу, ми маємо можливість задати інші залежності між корінням і коефіцієнтами.

Найвідомішими і застосовними є формули теореми Вієта:

x 1 + x 2 \u003d - b a і x 2 \u003d c a.

Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів є другий коефіцієнт з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену. Наприклад, з вигляду квадратного рівняння 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 можливо відразу визначити, що сума його коренів дорівнює 7 3, а твір коренів - 22 3.

Також можна знайти ряд інших зв'язків між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, сума квадратів коренів квадратного рівняння може бути виражена через коефіцієнти:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Початковий рівень

Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)

У терміні «квадратне рівняння» ключовим є слово «квадратне». Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) в квадраті, і при цьому не повинно бути іксів в третій (і більшою) мірою.

Рішення багатьох рівнянь зводиться до вирішення саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якусь іншу.

Приклад 1.

Позбудемося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку убування ступенів ікси

Тепер можна з упевненістю сказати, що дане рівняння є квадратним!

Приклад 2.

Домножим ліву і праву частину на:

Це рівняння, хоча в ньому спочатку був, не є квадратним!

Приклад 3.

Домножим все на:

Страшно? Четверта і друга ступені ... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

Приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все в ліву частину:

Бачиш, скоротився - і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступного рівнянь є квадратними, а які ні:

приклади:

відповіді:

1. квадратне;
2. квадратне;
3. нЕ квадратне;
4. нЕ квадратне;
5. нЕ квадратне;
6. квадратне;
7. нЕ квадратне;
8. квадратне.

Математики умовно ділять все квадратні рівняння на виду:

• Повні квадратні рівняння - рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як в прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені - це рівняння, в яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще і наведеним!)

• Неповні квадратні рівняння - рівняння, в яких коефіцієнт і чи вільний член з дорівнюють нулю:

  Неповні вони, тому що в них не вистачає якогось елементу. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс в квадраті !!! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо придумали такий розподіл? Здавалося б, є ікс в квадраті, і ладно. Такий поділ обумовлено методами рішення. Розглянемо кожен з них детальніше.

Рішення неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на рішенні неповних квадратних рівнянь - вони набагато простіше!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

1. , В цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
2. , В цьому рівнянні вільний член дорівнює.
3. , В цьому рівнянні коефіцієнт і вільний член дорівнюють.

1. і. Оскільки ми знаємо, як витягувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, так і позитивним. Число, зведена в квадрат, не може бути негативним, адже при перемножуванні двох негативних або двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, так що: якщо, то рівняння не має рішень.

А якщо, то отримуємо два кореня. Ці формули не потрібно запам'ятовувати. Головне, ти повинен знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давай спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь з лівої і правої частини. Адже ти пам'ятаєш як витягувати коріння?

відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком !!!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння

немає коренів!

Для таких рівнянь, в яких немає коренів, математики придумали спеціальний значок - (порожня множина). І відповідь можна записати так:

відповідь:

Таким чином, дане квадратне рівняння має два кореня. Тут немає ніяких обмежень, так як корінь ми не отримували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два кореня.

відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони все прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має тільки один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Рішення повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Рішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, для початку опановуй рішення за допомогою дискримінанту.

1. Рішення квадратних рівнянь за допомогою дискримінанту.

Рішення квадратних рівнянь цим способом дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і пару формул.

Якщо, то рівняння має корняНужно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує нам на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння буде мати всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти корінь з дискриминанта на кроці. Це вказує на те, що рівняння не має коренів.

Повернемося до наших рівнянь і розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1 пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

А значить рівняння має два кореня.

Крок 3.

відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлено в стандартному вигляді, тому Крок 1 пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

А значить рівняння має один корінь.

відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлено в стандартному вигляді, тому Крок 1 пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

Азначіт ми не зможемо витягти корінь з дискриминанта. Коренів рівняння не існує.

Тепер ми знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

відповідь:Корній немає

2. Рішення квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт а дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює, а твір коренів одно.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить для вирішення з використанням теореми Вієта, тому що .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння наведене, а значить:

відповідь:

КВАДРАТНІ Рівняння. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння - це рівняння виду, де - невідоме, - деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтом квадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, А - вільним членом.

Чому? Тому що якщо, рівняння відразу стане лінійним, тому що пропаде.

При цьому і можуть бути рівні нулю. У цьому стулчае рівняння називають неповним. Якщо ж всі складові на місці, тобто, рівняння - повне.

Рішення різних типів квадратних рівнянь

Методи рішення неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи рішень неповних квадратних рівнянь - вони простіше.

Можна виділити типу таких рівнянь:

I., в цьому рівнянні коефіцієнт і вільний член дорівнюють.

II. , В цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

III. , В цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного з цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має тільки один корінь:

Число, зведена в квадрат, не може бути негативним, адже при перемножуванні двох негативних або двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння не має рішень;

якщо, маємо учаем два кореня

Ці формули не потрібно запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

приклади:

рішення:

відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння

немає коренів.

Щоб коротко записати, що у завдання немає рішень, використовуємо значок порожнього безлічі.

відповідь:

Отже, це рівняння має два кореня: і.

відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, дане квадратне рівняння має два кореня: і.

приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

відповідь:

Методи вирішення повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій і пару формул. Запам'ятай, будь квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Ти помітив корінь з дискриминанта у формулі для коренів? Але ж дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує нам на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має корені:
• Якщо, то рівняння має однакових кореня, а по суті, один корінь:

  Такі коріння називаються дворазовими.

• Якщо, то корінь з дискриминанта не розгорнеться. Це вказує на те, що рівняння не має коренів.

Чому можливо різна кількість коренів? звернемося до геометричному змістом квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

В окремому випадку, яким є квадратне рівняння,. А це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь, або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо - то вниз.

приклади:

рішення:

відповідь:

Відповідь:.

відповідь:

А значить, рішень немає.

Відповідь:.

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: треба всього лише підібрати таку пару чисел, твір яких одно вільному члену рівняння, а сума - другого коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведених квадратних рівняннях ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить для вирішення з використанням теореми Вієта, тому що . Решта коефіцієнти:; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, і перевіримо, дорівнює чи їх сума:

• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і - корені нашого рівняння.

Відповідь:; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, а потім перевіримо, дорівнює чи їх сума:

і: в сумі дають.

і: в сумі дають. Щоб отримати, достатньо просто поміняти знаки передбачуваних коренів: і, адже твір.

відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, а значить і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один з коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їх різниця дорівнює - не підходить;

і: - не підходить;

і: - не підходить;

і: - підходить. Залишається тільки згадати, що один з коренів негативний. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним повинен бути менший за модулем корінь:. перевіряємо:

відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Рівняння наведене, а значить:

Вільний член негативний, а значить і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння від'ємний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, а потім визначимо, який коренів повинен мати негативний знак:

Очевидно, що під перша умова підходять тільки коріння і:

відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Рівняння наведене, а значить:

Сума коренів негативна, а це значить що, по крайней мере, один з коренів негативний. Але оскільки їх твір позитивно, то значить обидва кореня зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно:

Очевидно, що корінням є числа і.

відповідь:

Погодься, це дуже зручно - придумувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей противний дискриминант. Намагайся використовувати теорему Вієта якомога частіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити і прискорити знаходження коренів. Щоб тобі було вигідно її використовувати, ти повинен довести дії до автоматизму. А для цього повирішувати-ка ще пяток прикладів. Але не шахраювати: дискриминант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Рішення завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

По теоремі Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, так як сума;

: Сума - то що треба.

Відповідь:; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: в сумі повинно вийти, а добуток дорівнює.

Але так як повинно бути не, а, міняємо знаки коренів: і (в сумі).

Відповідь:; .

Завдання 3.

Хм ... А де тут що?

Треба перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так, стоп! Рівняння щось не наведене. Але теорема Вієта застосовна тільки в наведених рівняннях. Так що спершу потрібно рівняння привести. Якщо привести не виходить, кидай цю затію і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що привести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт дорівнює:

Відмінно. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь:; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що в цьому особливого? А то, що коріння будуть різних знаків. І тепер під час підбору перевіряти не суму коренів, а різниця їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один з них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і, так як.

Відповідь:; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити в першу чергу? Правильно, привести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але один з них з мінусом. Який? Їх сума повинна дорівнювати, значить, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь:; .

Підведу підсумок:

1. Теорема Вієта використовується тільки в наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі складові, що містять невідоме, представити у вигляді доданків з формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння:.

Рішення:

відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння:.

Рішення:

відповідь:

У загальному вигляді перетворення буде виглядати так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискриминант! Саме так, формулу дискримінанту так і отримали.

КВАДРАТНІ Рівняння. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де - невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повний квадратне рівняння - рівняння, в якому коефіцієнти, не рівні нулю.

Наведене квадратне рівняння - рівняння, в якому коефіцієнт, тобто:.

Неповне квадратне рівняння - рівняння, в якому коефіцієнт і чи вільний член з дорівнюють нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд:,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:,
• якщо і, рівняння має вигляд:.

1. Алгоритм рішення неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де,:

1) Висловимо невідоме:,

2) Перевіряємо знак вираження:

• якщо, то рівняння не має рішень,
• якщо, то рівняння має два кореня.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де,:

1) Винесемо загальним множник за дужки:,

2) Твір дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два кореня:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння завжди має тільки один корінь:.

2. Алгоритм рішення повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанту

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду:,

2) Обчислимо дискримінант за формулою:, який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має кореня, які знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, який знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коренів.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а твір коренів одно, тобто , А.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата