Що називають нулями квадратичної функції. Як побудувати параболу? Що таке парабола? Як вирішуються квадратні рівняння? Iii випадок, з'являється «з»

Функція виду, де називається квадратичною функцією.

Графік квадратичної функції - парабола.

Розглянемо випадки:

I ВИПАДОК, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

Тобто , ,

Для побудови заповнюємо таблицю, підставляючи значення x в формулу:

Відзначаємо точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1) і т.д. на координатної площині (ніж з меншим кроком ми беремо значення х (в даному випадку крок 1), і чим більше беремо значень х, тим плавніше буде крива), отримуємо параболу:

Неважко помітити, що якщо ми візьмемо випадок,,, тобто, то ми отримаємо параболу, симетричну щодо осі (ох). Переконатися в цьому нескладно, заповнивши аналогічну таблицю:

II ВИПАДОК, «a» ОТЛИЧНО ВІД ОДИНИЦІ

Що ж буде, якщо ми будемо брати,,? Як зміниться поведінка параболи? При title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

На першій картинці (див. Вище) добре видно, що точки з таблиці для параболи (1; 1), (-1; 1) трансформувалися в точки (1; 4), (1; -4), тобто при тих же значеннях ордината кожної точки збільшилась на 4. Це станеться з усіма ключовими точками вихідної таблиці. Аналогічно міркуємо у випадках картинок 2 і 3.

А при парабола «розшириться» параболи:

Давайте Підсумуємо:

1) Знак коефіцієнта відповідає за напрямок гілок. При title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) абсолютна величина коефіцієнта (модуля) відповідає за "розширення", "стиснення" параболи. Чим більше, тим у'же парабола, чим менше | a |, тим ширше парабола.

III ВИПАДОК, З`ЯВЛЯЄТЬСЯ «С»

Тепер давайте введемо в гру (тобто розглядаємо випадок, коли), будемо розглядати параболи виду. Неважко здогадатися (ви завжди можете звернутися до таблиці), що буде відбуватися зсув параболи вздовж осі вгору або вниз в залежності від знака:

IV ВИПАДОК, З`ЯВЛЯЄТЬСЯ «b»

Коли ж парабола "відірветься" від осі і буде, нарешті, "гуляти" по всій координатної площині? Коли перестане бути рівним.

Тут для побудови параболи нам знадобиться формула для обчислення вершини: , .

Так ось в цій точці (як в точці (0; 0) нової системи координат) ми будемо будувати параболу, що вже нам під силу. Якщо маємо справу з випадком, то від вершини відкладаємо один одиничний інтервал вправо, один вгору, - отримана точка - наша (аналогічно крок вліво, крок вгору - наша точка); якщо маємо справу з, наприклад, то від вершини відкладаємо один одиничний інтервал вправо, два - вгору і т.д.

Наприклад, вершина параболи:

Тепер головне усвідомити, що в цій вершині ми будемо будувати параболу за шаблоном параболи, адже в нашому випадку.

При побудові параболи після знаходження координат вершини дуже зручно враховувати наступні моменти:

1) парабола обов'язково пройде через точку . Дійсно, підставивши в формулу x \u003d 0, отримаємо, що. Тобто ордината точки перетину параболи з віссю (оу), це. У нашому прикладі (вище), парабола перетинає вісь ординат в точці, так як.

2) віссю симетрії параболи є пряма, тому всі точки параболи будуть симетричні щодо неї. У нашому прикладі, ми відразу беремо точку (0; -2) і будуємо їй симетричну щодо осі симетрії параболи, отримаємо точку (4; -2), через яку буде проходити парабола.

3) Прирівнюючи до, ми дізнаємося точки перетину параболи з віссю (ох). Для цього вирішуємо рівняння. Залежно від дискримінанту, будемо отримувати одну (,), дві (title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . У попередньому прикладі у нас корінь з дискриминанта - не ціла кількість, при побудові нам особливо немає сенсу знаходити коріння, але ми бачимо чітко, що дві точки перетину з віссю (ох) у нас будуть (так як title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Отже, давайте виробимо

Алгоритм для побудови параболи, якщо вона задана у вигляді

1) визначаємо напрямок гілок (а\u003e 0 - вгору, a<0 – вниз)

2) знаходимо координати вершини параболи по формулі,.

3) знаходимо точку перетину параболи з віссю (оу) за вільним члену, будуємо точку, симетричну даній щодо осі симетрії параболи (треба зауважити, буває, що цю точку невигідно відзначати, наприклад, тому, що значення велике ... пропускаємо цей пункт ...)

4) У знайденій точці - вершині параболи (як в точці (0; 0) нової системи координат) будуємо параболу. Якщо title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Знаходимо точки перетину параболи з віссю (оу) (якщо вони ще самі «не спливли"), вирішуючи рівняння

приклад 1

приклад 2

Зауваження 1. Якщо ж парабола спочатку нам задана у вигляді, де - деякі числа (наприклад,), то побудувати її буде ще легше, бо нам вже задані координати вершини. Чому?

Візьмемо квадратний тричлен і виділимо в ньому повний квадрат: Подивіться, ось ми і отримали, що,. Ми з вами раніше називали вершину параболи, тобто тепер,.

Наприклад,. Відзначаємо на площині вершину параболи, розуміємо, що гілки спрямовані вниз, парабола розширена (відносно). Тобто виконуємо пункти 1; 3; 4; 5 з алгоритму побудови параболи (див. Вище).

Зауваження 2. Якщо парабола задана у вигляді, подібному цього (тобто представлений у вигляді добутку двох лінійних множників), то нам відразу видно точки перетину параболи з віссю (ох). В даному випадку - (0; 0) і (4; 0). В іншому ж діємо згідно з алгоритмом, розкривши дужки.

У багатьох задачах потрібно обчислити максимальне або мінімальне значення квадратичної функції. Максимум або мінімум можна знайти, якщо початкова функція записана в стандартному вигляді: або через координати вершини параболи: f (x) \u003d a (x - h) 2 + k (\\ displaystyle f (x) \u003d a (x-h) ^ (2) + k). Більш того, максимум або мінімум будь квадратичної функції можна обчислити за допомогою математичних операцій.

кроки

Квадратична функція записана в стандартному вигляді

Запишіть функцію в стандартному вигляді. Квадратична функція - це функція, рівняння якої включає змінну x 2 (\\ displaystyle x ^ (2)). Рівняння може включати чи не включати змінну x (\\ displaystyle x). Якщо рівняння включає змінну з показником ступеня більше 2, воно не описує квадратичну функцію. Якщо потрібно, приведіть подібні члени і переставте їх, щоб записати функцію в стандартному вигляді.

Графік квадратичної функції є параболу. Гілки параболи спрямовані вгору або вниз. якщо коефіцієнт a (\\ displaystyle a) при змінної x 2 (\\ displaystyle x ^ (2)) a (\\ displaystyle a)

Обчисліть -b / 2a. значення - b 2 a (\\ displaystyle - (\\ frac (b) (2a))) - це координата x (\\ displaystyle x) вершини параболи. Якщо квадратична функція записується в стандартному вигляді a x 2 + b x + c (\\ displaystyle ax ^ (2) + bx + c), Скористайтеся коефіцієнтами при x (\\ displaystyle x) і x 2 (\\ displaystyle x ^ (2)) наступним чином:

• У функції коефіцієнти a \u003d 1 (\\ displaystyle a \u003d 1) і b \u003d 10 (\\ displaystyle b \u003d 10)
• Як другий приклад розглянемо функцію. тут a \u003d - 3 (\\ displaystyle a \u003d -3) і b \u003d 6 (\\ displaystyle b \u003d 6). Тому координату «x» вершини параболи обчисліть так:

1. Знайдіть відповідне значення f (x). Підставте знайдене значення «x» в вихідну функцію, щоб знайти відповідне значення f (x). Так ви знайдете мінімум або максимум функції.

   • У першому прикладі f (x) \u003d x 2 + 10 x - 1 (\\ displaystyle f (x) \u003d x ^ (2) + 10x-1) ви вирахували, що координата «х» вершини параболи дорівнює x \u003d - 5 (\\ displaystyle x \u003d -5). У вихідної функції замість x (\\ displaystyle x) підставте - 5 (\\ displaystyle -5)
   • У другому прикладі f (x) \u003d - 3 x 2 + 6 x - 4 (\\ displaystyle f (x) \u003d - 3x ^ (2) + 6x-4) ви знайшли, що координата «х» вершини параболи дорівнює x \u003d 1 (\\ displaystyle x \u003d 1). У вихідної функції замість x (\\ displaystyle x) підставте 1 (\\ displaystyle 1), Щоб знайти її максимальне значення:

2. Запишіть відповідь. Перечитайте умову задачі. Якщо потрібно знайти координати вершини параболи, у відповіді запишіть обидва значення x (\\ displaystyle x) і y (\\ displaystyle y) (або f (x) (\\ displaystyle f (x))). Якщо необхідно обчислити максимум або мінімум функції, у відповіді запишіть тільки значення y (\\ displaystyle y) (або f (x) (\\ displaystyle f (x))). Ще раз подивіться на знак коефіцієнта a (\\ displaystyle a), Щоб перевірити, що ви вирахували: максимум або мінімум.

   Квадратична функція записана через координати вершини параболи

   1. Запишіть квадратичную функцію через координати вершини параболи. Таке рівняння має наступний вигляд:

      Визначте напрям параболи. Для цього подивіться на знак коефіцієнта a (\\ displaystyle a). якщо коефіцієнт a (\\ displaystyle a) позитивний, парабола спрямована вгору. якщо коефіцієнт a (\\ displaystyle a) негативний, парабола спрямована вниз. наприклад:

      Знайдіть мінімальне або максимальне значення функції. Якщо функція записана через координати вершини параболи, мінімум або максимум дорівнює значенню коефіцієнта k (\\ displaystyle k). У наведених вище прикладах:

      Знайдіть координати вершини параболи. Якщо в задачі потрібно знайти вершину параболи, її координати рівні (H, k) (\\ displaystyle (h, k)). Зверніть увагу, коли квадратична функція записана через координати вершини параболи, в дужки повинна бути укладена операція віднімання (X - h) (\\ displaystyle (x-h)), Тому значення h (\\ displaystyle h) береться з протилежним знаком.

   Як обчислити мінімум або максимум за допомогою математичних операцій

   Спочатку розглянемо стандартний вид рівняння. Запишіть квадратичную функцію в стандартному вигляді: f (x) \u003d a x 2 + b x + c (\\ displaystyle f (x) \u003d ax ^ (2) + bx + c). Якщо потрібно, приведіть подібні члени і переставте їх, щоб отримати стандартне рівняння.

   Знайдіть першу похідну. Перша похідна квадратичної функції, яка записана в стандартному вигляді, дорівнює f '(x) \u003d 2 a x + b (\\ displaystyle f ^ (\\ prime) (x) \u003d 2ax + b).

   Похідну прирівняти до нуля. Нагадаємо, що похідна функції дорівнює кутовому коефіцієнту функції в певній точці. У мінімумі або максимумі кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Тому, щоб знайти мінімальне або максимальне значення функції, похідну потрібно прирівняти до нуля. У нашому прикладі:

Квадратичною функцією називається функція виду:
y \u003d a * (x ^ 2) + b * x + c,
де а - коефіцієнт при старшій ступеня невідомої х,
b - коефіцієнт при невідомої х,
а з - вільний член.
Графіком квадратичної функції є крива, звана параболою. Загальний вигляд параболи представлений на малюнку нижче.

Рис.1 Загальний вигляд параболи.

Є кілька різних способів побудови графіка квадратичної функції. Ми розглянемо основний і самий загальний з них.

Алгоритм побудови графіка квадратичної функції y \u003d a * (x ^ 2) + b * x + c

1. Побудувати систему координат, відзначити одиничний інтервал і підписати координатні осі.

2. Визначити напрямок гілок параболи (вгору або вниз).
Для цього треба подивитися на знак коефіцієнта a. Якщо плюс - то гілки спрямовані вгору, якщо мінус - то гілки спрямовані вниз.

3. Визначити координату х вершини параболи.
Для цього потрібно використовувати формулу Хвершіни \u003d -b / 2 * a.

4. Визначити координату у вершини параболи.
Для цього підставити в рівняння Увершіни \u003d a * (x ^ 2) + b * x + c замість х, знайдене в попередньому кроці значення Хвершіни.

5. Нанести отриману точку на графік і провести через неї вісь симетрії, паралельно координатної осі Оу.

6. Знайти точки перетину графіка з віссю Ох.
Для цього потрібно вирішити квадратне рівняння a * (x ^ 2) + b * x + c \u003d 0 одним з відомих способів. Якщо в рівняння не має дійсних коренів, то графік функції не перетинає вісь Ох.

7. Знайти координати точки перетину графіка з віссю Оу.
Для цього підставляємо в рівняння значення х \u003d 0 і обчислюємо значення у. Відзначаємо цю та симетричну їй точку на графіку.

8. Знаходимо координати довільної точки А (х, у)
Для цього вибираємо довільне значення координати х, і підставляємо його в наше рівняння. Отримуємо значення у в цій точці. Нанести точку на графік. А також відзначити на графіку точку, симетричну точці А (х, у).

9. Поєднати отримані точки на графіку плавною лінією і продовжити графік за крайні точки, До кінця координатної осі. Підписати графік або на виносці, або, якщо дозволяє місце, уздовж самого графіка.

Приклад побудови графіка

Як приклад, побудуємо графік квадратичної функції заданої рівнянням y \u003d x ^ 2 + 4 * x-1
1. Малюємо координатні осі, підписуємо їх і відзначаємо одиничний інтервал.
2. Значення коефіцієнтів а \u003d 1, b \u003d 4, c \u003d -1. Так як а \u003d 1, що більше нуля гілки параболи спрямовані вгору.
3. Визначаємо координату Х вершини параболи Хвершіни \u003d -b / 2 * a \u003d -4 / 2 * 1 \u003d -2.
4. Визначаємо координату У вершини параболи
Увершіни \u003d a * (x ^ 2) + b * x + c \u003d 1 * ((- 2) ^ 2) + 4 * (- 2) - 1 \u003d -5.
5. Відзначаємо вершину і проводимо вісь симетрії.
6. Знаходимо точки перетину графіка квадратичної функції з віссю Ох. Вирішуємо квадратне рівняння x ^ 2 + 4 * x-1 \u003d 0.
х1 \u003d -2-√3 х2 \u003d -2 + √3. Відзначаємо отримані значення на графіку.
7. Знаходимо точки перетину графіка з віссю Оу.
х \u003d 0; у \u003d -1
8. Вибираємо довільну точку B. Нехай вона має координату х \u003d 1.
Тоді у \u003d (1) ^ 2 + 4 * (1) -1 \u003d 4.
9. З'єднуємо отримані точки і підписуємо графік.

Якщо Ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є до того можливість. Вона надасть Вам потім величезну допомогу у всій вашій роботі

М.І. Калінін

Однією з головних функцій шкільної математики, Для якої побудована повна теорія і доведені всі властивості, є квадратична функція. Учнів повинні чітко розуміти і знати всі ці властивості. При цьому завдань на квадратичну функцію існує безліч - від дуже простих, які випливають безпосередньо з теорії і формул, до найскладніших, вирішення яких вимагає аналізу і глибокого розуміння всіх властивостей функції.

При вирішенні завдань на квадратичну функцію велике практичне значення має наявність відповідності між алгебраїчним відомості про завдання та її геометричній інтерпретацією - зображенням на координатної площині ескізу графіка функції. Саме завдяки цій особливості у вас завжди є можливість перевірити правильність і несуперечність своїх теоретичних міркувань.

Розглянемо кілька задач по темі «Квадратична функція» і зупинимося на докладному їх вирішенні.

Завдання 1.

Знайти суму цілих значень числа p, при яких вершина параболи y \u003d 1 / 3x 2 - 2px + 12p розташована вище осі Ox.

Рішення.

Гілки параболи спрямовані вгору (a \u003d 1/3\u003e 0). Так як вершина параболи лежить вище осі Ox, то парабола не перетинає вісь абсцис (рис. 1). Значить, функція

y \u003d 1 / 3x 2 - 2px + 12p не має нулів,

а рівняння

1 / 3x 2 - 2px + 12p \u003d 0 не має коренів.

Це можливо, якщо дискримінант останнього рівняння виявиться негативним.

Обчислимо його:

D / 4 \u003d p 2 - 1/3 · 12p \u003d p 2 - 4p;

p 2 - 4p< 0;

p (p - 4)< 0;

p належить інтервалу (0; 4).

Сума цілих значень числа p з проміжку (0; 4): 1 + 2 + 3 \u003d 6.

відповідь: 6.

Зауважимо, що для відповіді на питання завдання можна було вирішити нерівність

y в\u003e 0 або (4ac - b 2) / 4a\u003e 0.

Завдання 2.

Знайти кількість цілих значень числа a, при яких абсциса і ордината вершини параболи y \u003d (x - 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 негативні.

Рішення.

Якщо квадратична функція має вигляд

y \u003d a (x - n) 2 + m, то точка з координатами (m; n) є вершиною параболи.

У нашому випадку

х в \u003d 9a; y в \u003d a 2 + 7a + 6.

Так як і абсциса, і ордината вершини параболи повинні бути негативні, то складемо систему нерівностей:

(9a< 0,
(A 2 + 7a + 6< 0;

Вирішимо отриману систему:

(a< 0,
((A + 1) (a + 6)< 0;

Зобразимо рішення нерівностей на координатних прямих і дамо остаточну відповідь:

a належить проміжку (-6; -1).

Цілі значення числа a: -5; -4; -3; -2. Їх кількість: 4.

Відповідь: 4.

Завдання 3.

Знайти найбільше ціле значення числа m, при якому квадратична функція
y \u003d -2x 2 + 8x + 2m приймає тільки негативні значення.

Рішення.

Гілки параболи спрямовані вниз (a \u003d -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2x 2 + 8x + 2m \u003d 0.

Розділимо коефіцієнти рівняння на -2, отримаємо:

x 2 - 4x - m \u003d 0;

D / 4 \u003d 2 + 2 - 1 · 1 · (-m) \u003d 4 + m;

Найбільше ціле значення числа m: -5.

Відповідь: -5.

Для відповіді на питання завдання можна було вирішити нерівність y в< 0 или

(4ac - b 2) / 4a< 0.

Завдання 4.

Знайти найменше значення квадратичної функції y \u003d ax 2 - (a + 6) x + 9, якщо відомо, що пряма x \u003d 2 є віссю симетрії її графіка.

Рішення.

1) Так як пряма x \u003d 2 є віссю симетрії даного графіка, то x в \u003d 2. Скористаємося формулою

x в \u003d -b / 2a, тоді x в \u003d (a + 6) / 2a. Але x в \u003d 2.

Складемо рівняння:

(A + 6) / 2a \u003d 2;

Тоді функція приймає вид

y \u003d 2x 2 - (2 + 6) x + 9;

y \u003d 2x 2 - 8x + 9.

2) Гілки параболи

Найменше значення даної функції дорівнює ординате вершини параболи (Рис. 2), Яку легко знайти, скориставшись формулою

y в \u003d (4ac - b 2) / 4a.

y в \u003d (4 · 2 · 9 - 8 2) / 4 · 2 \u003d (72 - 64) / 8 \u003d 8/8 \u003d 1.

Найменше значення аналізованої функції дорівнює 1.

Відповідь: 1.

Завдання 5.

Знайти найменше ціле значення числа a, при якому безлічі значень функції y \u003d x 2 - 2x + a і y \u003d -x 2 + 4x - a не перетинаються.

Рішення.

Знайдемо безліч значень кожної функції.

I спосіб.

y 1 \u003d x 2 - 2x + a.

застосуємо формулу

y в \u003d (4ac - b 2) / 4a.

y в \u003d (4 · 1 · a - 2 + 2) / 4 · 1 \u003d (4a - 4) / 4 \u003d 4 (a - 1) / 4 \u003d a - 1.

Так як гілки параболи спрямовані вгору, то

E (y) \u003d.

E (y 2) \u003d (-∞; 4 - a].

Зобразимо отримані безлічі на координатних прямих (Рис. 3).

Отримані множини не будуть перетинатися, якщо точка з координатою 4 - a буде розташовуватися лівіше точки з координатою a - 1, тобто

4 - a< a – 1;

Найменша ціле значення числа a: 3.

Відповідь: 3.

Завдання на розташування коренів квадратичної функції, завдання з параметрами і задачі, що зводяться до квадратичним функцій, дуже популярні на ЄДІ. Тому при підготовці до іспитів варто звернути на них увагу.

Залишилися питання? Не знаєте, як побудувати графік квадратичної функції?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Функція виду y \u003d a * x ^ 2 + b * x + c, де a, b, c - деякі речові числа, причому а відмінно від нуля, а x, y - змінні, називається квадратичною функцією. Графіком квадратичної функції y \u003d a * x ^ 2 + b * x + c є лінія, яка називається в математиці параболою. Загальний вигляд параболи представлений на малюнку нижче.

Варто відзначити, що якщо у функції коефіцієнт а\u003e 0, то парабола спрямована гілками вгору, а якщо аГрафік квадратичної функції симетричний щодо осі симетрії. Віссю симетрії параболи служить пряма проведена через точку x \u003d (- b) / (2 * a), паралельно осі Оу.

Координатами вершини параболи визначаються за такими формулами:

x0 \u003d (- b) / (2 * a) y0 \u003d y (x0) \u003d (4 * a * c-b ^ 2) / 4 * a.

На малюнку нижче представлений графік довільної квадратичної функції. Побудова графіка квадратичної функції. Також на малюнку відзначені вершина параболи і вісь симетрії.

Залежно від значення коефіцієнта а, вершина параболи буде мінімальним або максимальним значенням квадратичної функції. При a\u003e 0, вершина є мінімальним значення квадратичної функції, при цьому максимального значення не існує. При аОсь симетрії проходить через вершину параболи. Областю визначення квадратичної функції є все безліч дійсних чисел R.

Квадратичну функцію y \u003d a * x ^ 2 + b * x + c завжди можна перетворити до вигляду y \u003d a * (x + k) ^ 2 + p, де k \u003d b / (2 * a), p \u003d (4 * a * cb ^ 2) / (4 * a). Для цього необхідно виділити повний квадрат.

Зверніть увагу, що точка з координатами (-k; p) буде вершиною параболи. Графік квадратичної функції y \u003d a * (x + k) ^ 2 + p можна отримати з графіка функції y \u003d a * x ^ 2 за допомогою паралельного перенесення.

Потрібна допомога в навчанні?

Попередня тема: