Яке з виразів є арифметичній прогресії. алгебраїчна прогресія

Наприклад, послідовність \\ (2 \\); \\ (5 \\); \\ (8 \\); \\ (11 \\); \\ (14 \\) ... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додатком трійки):

У цій прогресії різниця \\ (d \\) позитивна (дорівнює \\ (3 \\)), і тому кожен наступний член більше попереднього. Такі прогресії називаються зростаючими.

Однак \\ (d \\) може бути і негативним числом. наприклад, в арифметичної прогресії \\ (16 \\); \\ (10 \u200b\u200b\\); \\ (4 \\); \\ (- 2 \\); \\ (- 8 \\) ... різниця прогресії \\ (d \\) дорівнює мінус шести.

І в цьому випадку кожен наступний елемент буде менше, ніж попередній. Ці прогресії називаються убутними.

Позначення арифметичної прогресії

Прогресію позначають маленької латинською літерою.

Числа, що утворюють прогресію, називають її членами (Або елементами).

Їх позначають тією ж буквою що і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

Наприклад, арифметична прогресія \\ (a_n \u003d \\ left \\ (2; 5; 8; 11; 14 ... \\ right \\) \\) складається з елементів \\ (a_1 \u003d 2 \\); \\ (A_2 \u003d 5 \\); \\ (A_3 \u003d 8 \\) і так далі.

Іншими словами, для прогресії \\ (a_n \u003d \\ left \\ (2; 5; 8; 11; 14 ... \\ right \\) \\)

Рішення задач на арифметичну прогресію

В принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (в тому числі з тих, що пропонують на ОГЕ).

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана умовами \\ (b_1 \u003d 7; d \u003d 4 \\). Знайдіть \\ (b_5 \\).
Рішення:

відповідь: \\ (B_5 \u003d 23 \\)

Приклад (ОГЕ). Дано перші три члена арифметичної прогресії: \\ (62; 49; 36 ... \\) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії ..
Рішення:

	Нам дано перші елементи послідовності і відомо, що вона - арифметична прогресія. Тобто, кожен елемент відрізняється від сусіднього на одне і те ж число. Дізнаємося на яке, вирахувавши з наступного елемента попередній: \\ (d \u003d 49-62 \u003d -13 \\).
	Тепер ми можемо відновити нашу прогресію до потрібного нам (першого негативного) елемента.
	Готово. Можна писати відповідь.

відповідь: \(-3\)

Приклад (ОГЕ). Дано кілька йдуть підряд елементів арифметичної прогресії: \\ (... 5; x; 10; 12,5 ... \\) Знайдіть значення елемента, позначеного літерою \\ (x \\).
Рішення:

	Щоб знайти \\ (x \\), нам потрібно знати на скільки наступний елемент відрізняється від попереднього, інакше кажучи - різниця прогресії. Знайдемо її з двох відомих сусідніх елементів: \\ (d \u003d 12,5-10 \u003d 2,5 \\).
	А зараз без проблем знаходимо шукане: \\ (x \u003d 5 + 2,5 \u003d 7,5 \\).
	Готово. Можна писати відповідь.

відповідь: \(7,5\).

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана наступними умовами: \\ (a_1 \u003d -11 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d a_n + 5 \\) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

Нам потрібно знайти суму перших шести членів прогресії. Але ми не знаємо їх значень, нам дано тільки перший елемент. Тому спочатку обчислюємо значення по черзі, використовуючи дане нам:

\\ (N \u003d 1 \\); \\ (A_ (1 + 1) \u003d a_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6 \\)
\\ (N \u003d 2 \\); \\ (A_ (2 + 1) \u003d a_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\)
\\ (N \u003d 3 \\); \\ (A_ (3 + 1) \u003d a_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4 \\)
А зрозумівши потрібні нам шість елементів - знаходимо їх суму.

\\ (S_6 \u003d a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \u003d \\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Шукана сума знайдена.

відповідь: \\ (S_6 \u003d 9 \\).

Приклад (ОГЕ). В арифметичній прогресії \\ (a_ (12) \u003d 23 \\); \\ (A_ (16) \u003d 51 \\). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:

відповідь: \\ (D \u003d 7 \\).

Важливі формули арифметичної прогресії

Як бачите, багато завдань по арифметичній прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне - те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент в цьому ланцюжку виходить додатком до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).

Однак часом зустрічаються ситуації, коли вирішувати «в лоб» досить незручно. Наприклад, уявіть, що в самому першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \\ (b_5 \\), а триста вісімдесят шостій \\ (b_ (386) \\). Це що ж, нам \\ (385 \\) раз додавати четвірку? Або уявіть, що в передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучить ...

Тому в таких випадках «в лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні з них це формула енної члена прогресії і формула суми \\ (n \\) перших членів.

Формула \\ (n \\) - го члена: \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), де \\ (a_1 \\) - перший член прогресії;
\\ (N \\) - номер шуканого елемента;
\\ (A_n \\) - член прогресії з номером \\ (n \\).

Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч трьохсотий, хоч мільйонний елемент, знаючи тільки перший і різниця прогресії.

Приклад. Арифметична прогресія задана умовами: \\ (b_1 \u003d -159 \\); \\ (D \u003d 8,2 \\). Знайдіть \\ (b_ (246) \\).
Рішення:

відповідь: \\ (B_ (246) \u003d 1850 \\).

Формула суми n перших членів: \\ (S_n \u003d \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\ cdot n \\), де

\\ (A_n \\) - останній сумовною член;

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана умовами \\ (a_n \u003d 3,4n-0,6 \\). Знайдіть суму перших \\ (25 \\) членів цієї прогресії.
Рішення:

\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \\)		Щоб обчислити суму перших двадцяти п'яти елементів, нам потрібно знати значення першого і двадцять п'ятого члена. Наша прогресія задана формулою енної члена в залежності від його номера (докладніше дивись). Давайте обчислимо перший елемент, підставивши замість \\ (n \\) одиницю.
\\ (N \u003d 1; \\) \\ (a_1 \u003d 3,4 · 1-0,6 \u003d 2,8 \\)		Тепер знайдемо двадцять п'ятого член, підставивши замість \\ (n \\) за рибу гроші.
\\ (N \u003d 25; \\) \\ (a_ (25) \u003d 3,4 · 25-0,6 \u003d 84,4 \\)		Ну, а зараз без проблем обчислюємо потрібну суму.
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (2,8 + 84,4) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (1090 \\)		Відповідь готовий.

відповідь: \\ (S_ (25) \u003d 1090 \\).

Для суми \\ (n \\) перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в \\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \\ отримаємо:

Формула суми n перших членів: \\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\), де

\\ (S_n \\) - шукана сума \\ (n \\) перших елементів;
\\ (A_1 \\) - перший сумовною член;
\\ (D \\) - різниця прогресії;
\\ (N \\) - кількість елементів в сумі.

Приклад. Знайдіть суму перших \\ (33 \\) - ех членів арифметичної прогресії: \\ (17 \\); \\ (15,5 \\); \\ (14 \\) ...
Рішення:

відповідь: \\ (S_ (33) \u003d - 231 \\).

Більш складні завдання на арифметичну прогресію

Тепер у вас є вся необхідна інформація для вирішення практично будь-якої задачі на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом задач, в яких треба не просто застосовувати формули, але і трохи думати (в математиці це буває корисно ☺)

Приклад (ОГЕ). Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: \\ (- 19,3 \\); \\ (- 19 \\); \\ (- 18,7 \\) ...
Рішення:

\\ (S_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)		Завдання дуже схожа на попередню. Починаємо вирішувати також: спочатку знайдемо \\ (d \\).
\\ (D \u003d a_2-a_1 \u003d -19 - (- 19,3) \u003d 0,3 \\)		Тепер би підставити \\ (d \\) в формулу для суми ... і ось тут спливає маленький нюанс - ми не знаємо \\ (n \\). Інакше кажучи, не знаємо скільки членів потрібно буде скласти. Як це з'ясувати? Давайте думати. Ми припинимо складати елементи тоді, коли дійдемо до першого позитивного елементу. Тобто, потрібно дізнатися номер цього елемента. Як? Запишемо формулу обчислення будь-якого елементу арифметичної прогресії: \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\) для нашого випадку.
\\ (A_n \u003d a_1 + (n-1) d \\)
\\ (A_n \u003d -19,3 + (n-1) · 0,3 \\)		Нам потрібно, щоб \\ (a_n \\) став більше нуля. З'ясуємо, при якому \\ (n \\) це станеться.
\\ (- 19,3+ (n-1) · 0,3\u003e 0 \\)
\\ ((N-1) · 0,3\u003e 19,3 \\) \\ (\|: 0,3 \\)		Ділимо обидві частини нерівності на \\ (0,3 \\).
\\ (N-1\u003e \\) \\ (\\ frac (19,3) (0,3) \\)		Переносимо мінус одиницю, не забуваючи міняти знаки
\\ (N\u003e \\) \\ (\\ frac (19,3) (0,3) \\) \\ (+ 1 \\)		Обчислюємо ...
\\ (N\u003e 65,333 ... \\)		... і з'ясовується, що перший позитивний елемент матиме номер \\ (66 \\). Відповідно, останній негативний має \\ (n \u003d 65 \\). Про всяк випадок, перевіримо це.
\\ (N \u003d 65; \\) \\ (a_ (65) \u003d - 19,3+ (65-1) · 0,3 \u003d -0,1 \\) \\ (N \u003d 66; \\) \\ (a_ (66) \u003d - 19,3+ (66-1) · 0,3 \u003d 0,2 \\)		Таким чином, нам потрібно скласти перші \\ (65 \\) елементів.
\\ (S_ (65) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \\)\\ (\\ Cdot 65 \\) \\ (S_ (65) \u003d \\) \\ ((- 38,6 + 19,2) (2) \\) \\ (\\ cdot 65 \u003d -630,5 \\)		Відповідь готовий.

відповідь: \\ (S_ (65) \u003d - 630,5 \\).

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана умовами: \\ (a_1 \u003d -33 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d a_n + 4 \\). Знайдіть суму від \\ (26 \\) - го до \\ (42 \\) елемента включно.
Рішення:

\\ (A_1 \u003d -33; \\) \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + 4 \\)	У цьому завданні також потрібно знайти суму елементів, але починаючи не з першого, а з \\ (26 \\) - го. Для такого випадку у нас формули немає. Як вирішувати? Легко - щоб отримати суму з \\ (26 \\) - го до \\ (42 \\) - ой, треба спочатку знайти суму з \\ (1 \\) - ого по \\ (42 \\) - ой, а потім відняти від неї суму з першого до \\ (25 \\) - ого (див картинку).
	Для нашої прогресії \\ (a_1 \u003d -33 \\), а різниця \\ (d \u003d 4 \\) (адже саме четвірку ми додаємо до попереднього елемента, щоб знайти наступний). Знаючи це, знайдемо суму перших \\ (42 \\) - двох елементів.
\\ (S_ (42) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\)\\ (\\ Cdot 42 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 164) (2) \\) \\ (\\ cdot 42 \u003d 2058 \\)	Тепер суму перших \\ (25 \\) - ти елементів.
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \\)\\ (\\ Cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 96) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d 375 \\)	Ну і нарешті, обчислюємо відповідь.
\\ (S \u003d S_ (42) -S_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\)

відповідь: \\ (S \u003d 1683 \\).

Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в даній статті через їхню малу практичної користі. Однак ви без праці можете знайти їх.

І. В. Яковлєв | Матеріали з математики | MathUs.ru

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія це спеціального виду послідовність. Тому перш ніж давати визначення арифметичної (а потім і геометричної) прогресії, нам потрібно коротко обговорити важливе поняття числової послідовності.

послідовність

Уявіть пристрій, на екрані якого висвічуються одне за іншим деякі числа. Скажімо, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Такий набір чисел якраз і є прикладом послідовності.

Визначення. Числова послідовність це безліч чисел, в якому кожному числу можна привласнити унікальний номер (тобто поставити у відповідність єдине натуральне число) 1. Число з номером n називається n-м членом послідовності.

Так, в наведеному вище прикладі перший номер має число 2 це перший член послідовності, який можна позначити a1; номер п'ять має число 6 це п'ятий член послідовності, який можна позначити a5. взагалі, n-й член послідовності позначається an (або bn, cn і т. д.).

Дуже зручна ситуація, коли n-й член послідовності можна задати деякою формулою. Наприклад, формула an \u003d 2n 3 задає послідовність: 1; 1; 3; 5; 7; ::: Формула an \u003d (1) n задає послідовність: 1; 1; 1; 1; :::

Не всяке безліч чисел є послідовністю. Так, відрізок чи не послідовність; в ньому міститься ¾слішком много¿ чисел, щоб їх можна було перенумерувати. Безліч R всіх дійсних чисел також не є послідовністю. Ці факти доводяться в курсі математичного аналізу.

Арифметична прогресія: основні визначення

Ось тепер ми готові дати визначення арифметичній прогресії.

Визначення. Арифметична прогресія це послідовність, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює сумі попереднього члена і деякого фіксованого числа (званого різницею арифметичної прогресії).

Наприклад, послідовність 2; 5; 8; 11; ::: Є арифметичною прогресією з першим членом 2 і різницею 3. Послідовність 7; 2; 3; 8; ::: Є арифметичною прогресією з першим членом 7 і різницею 5. Послідовність 3; 3; 3; ::: Є арифметичною прогресією з різницею, що дорівнює нулю.

Еквівалентну визначення: послідовність an називається арифметичною прогресією, якщо різниця an + 1 an є величина постійна (не залежить від n).

Арифметична прогресія називається зростаючою, якщо її різниця позитивна, і спадною, якщо її різниця негативна.

1 А ось більш лаконічне визначення: послідовність є функція, певна на безлічі натуральних чисел. Наприклад, послідовність дійсних чисел є функція f: N! R.

За замовчуванням послідовності вважаються нескінченними, тобто містять безліч чисел. Але ніхто не заважає розглядати і кінцеві послідовності; власне, будь-який кінцевий набір чисел можна назвати кінцевої послідовністю. Наприклад, кінцева послідовність 1; 2; 3; 4; 5 складається з п'яти чисел.

Формула n-го члена арифметичної прогресії

Легко зрозуміти, що арифметична прогресія повністю визначається двома числами: першим членом і різницею. Тому виникає питання: як, знаючи перший член і різницю, знайти довільний член арифметичної прогресії?

Отримати шукану формулу n-го члена арифметичної прогресії неважко. нехай an

арифметична прогресія з різницею d. маємо:
an + 1 \u003d an + d (n \u003d 1; 2;:: :):
Зокрема, пишемо:
a2 \u003d a1 + d;
a3 \u003d a2 + d \u003d (a1 + d) + d \u003d a1 + 2d;
a4 \u003d a3 + d \u003d (a1 + 2d) + d \u003d a1 + 3d;
і тепер стає ясно, що формула для an має вигляд:
an \u003d a1 + (n 1) d:

Завдання 1. У арифметичної прогресії 2; 5; 8; 11; ::: Знайти формулу n-го члена і обчислити сотий член.

Рішення. Відповідно до формули (1) маємо:

an \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Властивість і ознака арифметичної прогресії

Властивість арифметичної прогресії. В арифметичній прогресії an для будь-якого

Інакше кажучи, кожен член арифметичної прогресії (починаючи з другого) є середнім арифметичним сусідніх членів.

	Доведення. маємо:
	a n 1 + a n + 1		(An d) + (an + d)

що і було потрібно.

більш загальним чином, Для арифметичної прогресії an справедливо рівність

a n \u003d a n k + a n + k

при будь-якому n\u003e 2 і будь-якому натуральному k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Виявляється, формула (2) служить не тільки необхідним, але і достатньою умовою того, що послідовність є арифметичною прогресією.

Ознака арифметичної прогресії. Якщо для всіх n\u003e 2 виконано рівність (2), то послідовність an є арифметичною прогресією.

Доведення. Перепишемо формулу (2) наступним чином:

a n a n 1 \u003d a n + 1 a n:

Звідси видно, що різниця an + 1 an не залежить від n, а це якраз і означає, що послідовність an є арифметична прогресія.

Властивість і ознака арифметичної прогресії можна сформулювати у вигляді одного твердження; ми для зручності зробимо це для трьох чисел (саме така ситуація часто зустрічається в завданнях).

Характеризація арифметичної прогресії. Три числа a, b, c утворюють арифметичну прогресію тоді і тільки тоді, коли 2b \u003d a + c.

Завдання 2. (МГУ, економіч. Ф-т, 2007) Три числа 8x, 3 x2 і 4 в зазначеному порядку утворюють спадну арифметичну прогресію. Знайдіть x і вкажіть різницю цієї прогресії.

Рішення. По властивості арифметичної прогресії маємо:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Якщо x \u003d 1, то виходить спадна прогресія 8, 2, 4 з різницею 6. Якщо x \u003d 5, то виходить зростаюча прогресія 40, 22, 4; цей випадок не годиться.

Відповідь: x \u003d 1, різниця дорівнює 6.

Сума перших n членів арифметичної прогресії

Народна легенда розповідає, що одного разу вчитель велів дітям знайти суму чисел від 1 до 100 і сіл спокійно читати газету. Однак не минуло й кількох хвилин, як один хлопчик сказав, що вирішив задачу. Це був 9-річний Карл Фрідріх Гаус, згодом один з найвидатніших математиків в історії.

Ідея маленького Гаусса була така. нехай

S \u003d 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:

Запишемо дану суму в зворотному порядку:

S \u003d 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;

і складемо дві цих формули:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Кожне складова в дужках одно 101, а всього таких доданків 100. Тому

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Ми використовуємо цю ідею для виведення формули суми

S \u003d a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)

Корисна модифікація формули (3) виходить, якщо в неї підставити формулу n-го члена an \u003d a1 + (n 1) d:

		2a1 + (n 1) d

Завдання 3. Знайти суму всіх позитивних тризначних чисел, які діляться на 13.

Рішення. Тризначні числа, кратні 13, утворюють арифметичну прогресію з першим членом 104 і різницею 13; n-й член цієї прогресії має вигляд:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Давайте з'ясуємо, скільки членів містить наша прогресія. Для цього вирішимо нерівність:

an 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n 6 69:

Отже, в нашій прогресії 69 членів. За формулою (4) знаходимо шукану суму:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:
Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно (в нашому випадку їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі до останнього, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний тільки для одного числа послідовності. Іншими словами, в послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і -ве число) завжди одне.
Число з номером називається -ним членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо який-небудь буквою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тієї ж буквою з індексом, рівним номеру цього члена:.

У нашому випадку:

Припустимо, у нас є числова послідовність, В якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
наприклад:

і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» був введений римським автором Боецієм ще в 6 столітті і розумівся в ширшому сенсі, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися стародавні греки.

Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з одним і тим же числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається.

Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які ні:

a)
b)
c)
d)

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
є арифметичною прогресією - b, c.
Не є арифметичною прогресією - a, d.

Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її -го члена. існує два способу його знаходження.

1. Спосіб

Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до -го члена прогресії. Добре, що підсумовувати нам залишилося небагато - всього три значення:

Отже, -ої член описаної арифметичної прогресії дорівнює.

2. Спосіб

А що якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при додаванні чисел.
Зрозуміло, математики придумали спосіб, при якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивися уважно до намальованому малюнку ... Напевно ти вже помітив якусь закономірність, а саме:

Наприклад, подивимося, з чого складається значення -го члена даної арифметичної прогресії:

Іншими словами:

Спробуй самостійно знайти таким способом значення члена даної арифметичної прогресії.

Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:

Зверни увагу, що у тебе вийшло точно таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «обмежити доступ» цю формулу - наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:

Рівняння арифметичної прогресії.

Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.

зростаючі - прогресії, в яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
наприклад:

убутні - прогресії, в яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
наприклад:

Виведена формула застосовується в розрахунку членів як в зростаючих, так і в відбувають членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це на практиці.
Нам дана арифметична прогресія, яка складається з таких чисел: Перевіримо, яке вийде -е число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:

Так як, то:

Таким чином, ми переконалися, що формула діє як в порядку спадання, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти -ої і -ий члени цієї арифметичної прогресії.

Порівняємо отримані результати:

Властивість арифметичної прогресії

Ускладнити завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш рахувати по вже відомій тобі формулою:

Нехай, а, тоді:

Абсолютно вірно. Виходить, ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена \u200b\u200bмаленькими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам в умови дані числа? Погодься, є ймовірність помилитися в обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити цю задачу в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.

Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як, формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
, Тоді:

попередній член прогресії це:
наступний член прогресії це:

Підсумуємо попередній і наступний члени прогресії:

Виходить, що сума попередніх і наступних членів прогресії - це подвоєне значення члена прогресії, що знаходиться між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх і послідовних значеннях, необхідно скласти їх і розділити на.

Все вірно, ми отримали це ж число. Закріпимо матеріал. Порахуй значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.

Молодець! Ти знаєш про прогресії майже все! Залишилося дізнатися тільки одну формулу, яку за легендами без праці вивів для себе один з найвидатніших математиків всіх часів, «король математиків» - Карл Гаусс ...

Коли Карлу Гаусу було 9 років, учитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці таку задачу: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один з його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому, більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат ...

Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку без праці помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з -ти членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні необхідно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаусс?

Зобразимо задану нам прогресію. Придивися уважно до виділених числах і спробуй зробити з ними різні математичні дії.

Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їх суми дорівнюють

А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар в заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар, ми отримуємо, що загальна сума дорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

У деяких завданнях нам невідомий -й член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити в формулу суми, формулу -го члена.
Що у тебе вийшло?

Молодець! Тепер повернемося до задачі, яку задали Карлу Гаусу: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.

Скільки у тебе вийшло?
У Гаусса вийшло, що сума членів дорівнює, а сума членів. Так ти вирішував?

Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Диофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди щосили користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипет і наймасштабнішу будівництво того часу - будівництво піраміди ... На малюнку представлена \u200b\u200bодна її сторона.

Де ж тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно і знайди закономірність в кількості піщаних блоків в кожному ряді стіни піраміди.

Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться блокових цегли. Сподіваюся, ти не будеш вважати, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичній прогресії?

В даному випадку прогресія виглядає наступним чином:.
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставами в останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).

Спосіб 1.

Спосіб 2.

А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яке є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму -них членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у основі піраміду не побудуєш, а ось з? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаних цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:

Тренування

завдання:

Маша приходить в форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань на. Скільки разів буде присідати Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
Яка сума всіх непарних чисел, що містяться в.
Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шар містить на одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо підставою кладки служать колод.

відповіді:

Визначимо параметри арифметичній прогресії. В даному випадку
(Тижні \u003d днів).
відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати раз в день.
Перше непарне число, останнє число.
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження -ного члена арифметичної прогресії:
В числах дійсно міститься непарних чисел.
Наявні дані підставимо в формулу:
відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться в, дорівнює.
Згадаймо завдання про піраміди. Для нашого випадку, a, так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купці шарів, тобто.
Підставами дані в формулу:
відповідь:У кладці знаходиться колод.

Підведемо підсумки

- числова послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючій і зменшення.
Формула знаходження -го члена арифметичної прогресії записується формулою -, де - кількість чисел в прогресії.
Властивість членів арифметичної прогресії - - де - кількість чисел в прогресії.
Суму членів арифметичної прогресії можна знайти двома способами:

, Де - кількість значень.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

числова послідовність

Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.

числова послідовність - це безліч чисел, кожному з яких можна привласнити унікальний номер.

Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність деякий натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не дамо більше ніякому іншому числу з даної множини.

Число з номером називається -им членом послідовності.

Дуже зручно, якщо -ий член послідовності можна поставити яке-небудь формулою. Наприклад, формула

задає послідовність:

А формула - таку послідовність:

Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).

Формула n-го члена

Рекуррентной ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися -ий член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:

Щоб знайти за такою формулою, наприклад, -ий член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, нехай. тоді:

Ну що, ясно тепер якась формула?

У кожному рядку ми до додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:

Тепер набагато зручніше, правда? перевіряємо:

Виріши сам:

В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена і знайти сотий член.

Рішення:

Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:

(Вона ж тому й називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).

Отже, формула:

Тоді сотий член дорівнює:

Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?

За легендою, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, вважав цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого і останнього числа дорівнює, сума другого і передостаннього - теж, сума третього і 3-го з кінця - теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,

Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

приклад:
Знайдіть суму всіх двозначних чисел, кратних.

Рішення:

Перше таке число - це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, питання, що цікавлять нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.

Формула-го члена для цієї прогресії:

Скільки членів у прогресії, якщо всі вони повинні бути двозначними?

Дуже легко: .

Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:

Відповідь:.

Тепер виріши сам:

Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо в перший день він пробіг км м?
Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж в попередній. У перший день він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати км? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на одну і ту ж суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо, виставлений на продаж за рублів, через шість років був проданий за рублів.

відповіді:

Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію, і визначити її параметри. В даному випадку, (тижні \u003d днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
.
відповідь:
Тут дано:, треба знайти.
Очевидно, потрібно використовувати ту ж формулу суми, що і в попередній задачі:
.
Підставляємо значення:
Корінь, очевидно, не підходить, значить, відповідь.
Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули -го члена:
(Км).
відповідь:
Дано:. Знайти:.
Простіше не буває:
(Руб).
відповідь:

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Це числова послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.

Арифметична прогресія буває зростаючою () і спадної ().

наприклад:

Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

записується формулою, де - кількість чисел в прогресії.

Властивість членів арифметичної прогресії

Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени - де - кількість чисел в прогресії.

Сума членів арифметичної прогресії

Існує два способи знаходження суми:

Де - кількість значень.

Залишається 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!

Стати учнем YouClever,

Підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",

А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програмі підготовки (розв'язнику) "100gia", необмеженому пробному ЄДІ і ОГЕ, 6000 завдань з розбором рішень і до інших сервісів YouClever і 100gia.