Кака знайти різницю арифметичної прогресії. Як знайти різницю арифметичної прогресії: формули і приклади рішень

Так, так: арифметична прогресія - це вам не іграшки :)

Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки ще не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (немає, ось так: Ооооочень!) Хочете дізнатися. Тому не буду мучити вас довгими вступами і відразу перейду до справи.

Для початку парочка прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ Sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Що спільного у всіх цих наборів? На перший погляд - нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на одне і те ж число.

Судіть самі. Перший набір - це просто йдуть підряд числа, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом стоять числами вже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно постійна. У третьому випадку взагалі коріння. Однак $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, а $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, тобто і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ \ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).

Так ось: всі такі послідовності як раз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:

Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну і ту ж величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, на яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $ d $.

Позначення: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - сама прогресія, $ d $ - її різницю.

І відразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкованапослідовність чисел: їх дозволено читати строго в тому порядку, в якому вони записані - і ніяк інакше. Переставляти і міняти місцями числа не можна.

По-друге, сама послідовність може бути як кінцевої, так і нескінченною. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати що-небудь в дусі (1; 2; 3; 4; ...) - це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще досить багато чисел. Нескінченно багато, наприклад. :)

Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими і спадними. Зростаючі ми вже бачили - той же набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади відбувають прогресій:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ Sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Добре Добре: останній прикладможе здатися надто складним. Але інші, думаю, вам зрозумілі. Тому введемо нові визначення:

Визначення. Арифметична прогресіяназивається:

1. зростаючої, якщо кожен наступний елемент більше попереднього;
2. спадною, якщо, навпаки, кожний наступний елемент менше попереднього.

Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності - вони складаються з одного і того ж повторюваного числа. Наприклад, (3; 3; 3; ...).

Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, який знак числа $ d $, тобто різниці прогресії:

1. Якщо $ d \ gt 0 $, то прогресія зростає;
2. Якщо $ d \ lt 0 $, то прогресія, очевидно, зменшується;
3. Нарешті, є випадок $ d = 0 $ - в цьому випадку вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) і т.д.

Спробуємо розрахувати різницю $ d $ для трьох відбувають прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть ліворуч. Виглядати це буде ось так:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ Sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Як бачимо, у всіх трьох випадках різниця дійсно вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, пора розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.

Члени прогресії і рекуррентная формула

Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:

\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ right \) \]

Окремі елементи цього набору називаються членами прогресії. На них так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.

Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:

\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Коротше кажучи, щоб знайти $ n $ -й член прогресії, потрібно знати $ n-1 $ -й член і різниця $ d $. Така формула називається рекуррентной, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а по факту - всі попередні). Це дуже незручно, тому існує більш хитра формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члену і різниці:

\ [((A) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \]

Напевно ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках і решебники. Та й в будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.

Проте пропоную трохи потренуватися.

Завдання №1. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $, якщо $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Рішення. Отже, нам відомий перший член $ ((a) _ (1)) = 8 $ і різниця прогресії $ d = -5 $. Скористаємося тільки що наведеної формулою і підставимо $ n = 1 $, $ n = 2 $ і $ n = 3 $:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ left (1-1 \ right) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ left (2-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ left (3-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (align) \]

Відповідь: (8; 3; -2)

От і все! Зверніть увагу: наша прогресія - спадна.

Звичайно, $ n = 1 $ можна було і не підставляти - перший член нам і так відомий. Втім, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. В інших випадках все звелося до банальної арифметики.

Завдання №2. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює -40, а сімнадцятий член дорівнює -50.

Рішення. Запишемо умову задачі в звичних термінах:

\ [((A) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ Left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (align) \ right. \]

\ [\ Left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ right. \]

Знак системи я поставив тому, що ці вимоги повинні виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50 \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (align) \]

Ось так просто ми знайшли різниця прогресії! Залишилося підставити знайдене число в будь-який з рівнянь системи. Наприклад, на початку:

\ [\ Begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matrix) \]

Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (align) \]

Готово! Завдання вирішена.

Відповідь: (-34; -35; -36)

Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яке ми виявили: якщо взяти $ n $ -й і $ m $ -й члени і відняти їх один з одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $ n-m $:

\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n-m \ right) \]

Просте, але дуже корисна властивість, Яке обов'язково треба знати - з його допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань по прогресу. Ось яскравий тому приклад:

Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, а її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.

Рішення. Оскільки $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $, а потрібно знайти $ ((a) _ (15)) $, то зауважимо наступне:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (align) \]

Але за умовою $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 $, тому $ 5d = 6 $, звідки маємо:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (align) \]

Відповідь: 20,4

От і все! Нам не треба було складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все вирішилося буквально в пару рядків.

Тепер розглянемо інший вид завдань - на пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що якщо прогресія зростає, при цьому перший член у неї негативний, то рано чи пізно в неї з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.

При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент «в лоб», послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складені так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька листів - ми просто заснули б, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання більш швидким способом.

Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; -35,8; ...?

Рішення. Отже, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, звідки відразу знаходимо різницю:

Зауважимо, що різниця позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому дійсно в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише в тому, коли це станеться.

Спробуємо з'ясувати: до яких пір (тобто до якого натурального числа$ N $) зберігається негативність членів:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ left | \ Cdot 10 \ right. \\ & -385 + 27 \ cdot \ left (n-1 \ right) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (align) \]

Останній рядок вимагає пояснень. Отже, нам відомо, що $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більш того: $ n \ in \ mathbb (N) $), тому найбільший допустимий номер - це саме $ n = 15 $, а ні в якому разі не 16.

Завдання №5. В арифметичній прогресії $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Знайдіть номер першого позитивного члена цієї прогресії.

Це була б точь-в-точь така ж завдання, як і попередня, проте нам невідомо $ ((a) _ (1)) $. Зате відомі сусідні члени: $ ((a) _ (5)) $ і $ ((a) _ (6)) $, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:

Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різниця за стандартною формулою:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ end (align) \]

Тепер чинимо по аналогії з попередньою завданням. З'ясовуємо, в який момент в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (align) \]

Мінімальна целочисленное рішення даного нерівності - число 56.

Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворого нерівності, тому варіант $ n = 55 $ нас не влаштує.

Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до більш складним. Але для початку давайте вивчимо ще одне дуже корисна властивість арифметичних прогресій, яке в майбутньому заощадить нам купу часу і нерівних клітин. :)

Середнє арифметичне і рівні відступи

Розглянемо кілька послідовних членів зростаючої арифметичної прогресії $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:

Члени арифметичної прогресії на числовій прямій

Я спеціально зазначив довільні члени $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не якісь там $ ((a) _ (1)) , \ ((a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ і т.д. Тому що правило, про який я зараз розповім, однаково працює для будь-яких «відрізків».

А правило дуже просте. Давайте згадаємо рекуррентную формулу і запишемо її для всіх зазначених членів:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (align) \]

Однак ці рівності можна переписати інакше:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (align) \]

Ну і що з того? А то, що члени $ ((a) _ (n-1)) $ і $ ((a) _ (n + 1)) $ лежать на одному і тому ж відстані від $ ((a) _ (n)) $. І ця відстань дорівнює $ d $. Те ж саме можна сказати про члени $ ((a) _ (n-2)) $ і $ ((a) _ (n + 2)) $ - вони теж віддалені від $ ((a) _ (n)) $ на однакову відстань, рівну $ 2d $. Продовжувати можна до безкінечності, але сенс добре ілюструє картинка

Члени прогресії лежать на однаковій відстані від центру

Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $ ((a) _ (n)) $, якщо відомі числа-сусіди:

\ [((A) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Ми вивели чудове твердження: всякий член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більш того: ми можемо відступити від нашого $ ((a) _ (n)) $ вліво і вправо нема на один крок, а на $ k $ кроків - і все одно формула буде вірна:

\ [((A) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Тобто ми спокійно можемо знайти якесь $ ((a) _ (150)) $, якщо знаємо $ ((a) _ (100)) $ і $ ((a) _ (200)) $, тому що $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На перший погляд може здатися, що даний факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточені» під використання середнього арифметичного. Погляньте:

Завдання №6. Знайдіть всі значення $ x $, при яких числа $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ і $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ є послідовними членами арифметичної прогресії (в зазначеному порядку).

Рішення. Оскільки зазначені числа є членами прогресії, для них виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент $ x + 1 $ можна виразити через сусідні елементи:

\ [\ Begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (align) \]

вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x = 2 $ і $ x = -3 $ - це і є відповіді.

Відповідь: -3; 2.

Завдання №7. Знайдіть значення $$, при яких числа $ 1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ складають арифметичну прогресію (в зазначеному порядку).

Рішення. Знову висловимо середній член через середнє арифметичне сусідніх членів:

\ [\ Begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ Cdot 2 \ right .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (align) \]

Знову квадратне рівняння. І знову два кореня: $ x = 6 $ і $ x = 1 $.

Відповідь: 1; 6.

Якщо в процесі виконання завдання у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, тобто чудовий прийом, що дозволяє перевірити: чи правильно ми розв'язали це завдання?

Припустимо, в завданню №6 ми отримали відповіді -3 і 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідне умова і подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ і $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), які повинні складати арифметичну прогресію. Підставами $ x = -3 $:

\ [\ Begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ End (align) \]

Отримали числа -54; -2; 50, які відрізняються на 52 - безсумнівно, це арифметична прогресія. Те ж саме відбувається і при $ x = 2 $:

\ [\ Begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ End (align) \]

Знову прогресія, але з різницею 27. Таким чином, задача вирішена вірно. Бажаючі можуть перевірити другу задачу самостійно, але відразу скажу: там теж все вірно.

В цілому, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, Який теж необхідно запам'ятати:

Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першогоі останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.

В майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись на умову задачі. Але перш ніж ми займемося подібним «конструюванням», слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з уже розглянутого.

Угруповання і сума елементів

Давайте ще раз повернемося до числової осі. Відзначимо там кілька членів прогресії, між якими, можливо. варто дуже багато інших членів:

На числовій прямій відзначені 6 елементів

Спробуємо висловити «лівий хвіст» через $ ((a) _ (n)) $ і $ d $, а «правий хвіст» через $ ((a) _ (k)) $ і $ d $. Це дуже просто:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (align) \]

А тепер зауважимо, що дорівнюють наступні суми:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ End (align) \]

Простіше кажучи, якщо ми розглянемо в якості старту два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $ S $, а потім почнемо крокувати від цих елементів в протилежні сторони (назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми будемо натикатися, теж будуть рівні$ S $. Найбільш наочно це можна представити графічно:

Однакові відступи дають однакові суми

розуміння даного фактудозволить нам вирішувати завдання принципово більш високого рівня складності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:

Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, в якій перший член дорівнює 66, а твір другого і дванадцятого членів є найменшим з можливих.

Рішення. Запишемо все, що нам відомо:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ End (align) \]

Отже, нам невідома різниця прогресії $ d $. Власне, навколо різниці і буде будуватися все рішення, оскільки твір $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ можна переписати таким чином:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ End (align) \]

Для тих, хто в танку: я виніс загальний множник 11 з другої дужки. Таким чином, шукане твір представляє собою квадратичну функцію щодо змінної $ d $. Тому розглянемо функцію $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, тому що якщо розкрити дужки, то ми отримаємо:

\ [\ Begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

Як бачимо, коефіцієнт при старшому слагаемом дорівнює 11 - це позитивне число, тому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:

графік квадратичної функції- парабола

Зверніть увагу: мінімальне значення ця парабола приймає в своїй вершині з абсцисою $ ((d) _ (0)) $. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсциссу за стандартною схемою (є ж формула $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), але куди розумніше буде помітити, що шукана вершина лежить на осі симетрії параболи, тому точка $ ((d) _ (0)) $ рівновіддалена від коренів рівняння $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ Begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (align) \]

Саме тому я не особливо поспішав розкривати дужки: в початковому вигляді коріння було знайти дуже і дуже просто. Отже, абсциса дорівнює середньому арифметичному чисел -66 і -6:

\ [((D) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Що дає нам виявлене число? При ньому необхідну твір приймає найменше значення (ми, до речі, так і не порахували $ ((y) _ (\ min)) $ - від нас це не потрібно). Одночасно це число є різницею вихідної прогресії, тобто ми знайшли відповідь. :)

Відповідь: -36

Завдання №9. Між числами $ - \ frac (1) (2) $ і $ - \ frac (1) (6) $ вставте три числа так, щоб вони разом з даними числами склали арифметичну прогресію.

Рішення. По суті, нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо відсутні числа змінними $ x $, $ y $ і $ z $:

\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

Відзначимо, що число $ y $ є «серединою» нашої послідовності - воно рівновіддаленим і від чисел $ x $ і $ z $, і від чисел $ - \ frac (1) (2) $ і $ - \ frac (1) ( 6) $. І якщо з чисел $ x $ і $ z $ ми в даний моментне можемо отримати $ y $, то ось з кінцями прогресії інша справа. Згадуємо про середнє арифметичне:

Тепер, знаючи $ y $, ми знайдемо залишилися числа. Зауважимо, що $ x $ лежить між числами $ - \ frac (1) (2) $ і тільки що знайденим $ y = - \ frac (1) (3) $. Тому

Аналогічно розмірковуючи, знаходимо час, що залишився число:

Готово! Ми знайшли всі три числа. Запишемо їх у відповіді в тому порядку, в якому вони повинні бути вставлені між вихідними числами.

Відповідь: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте декілька чисел, які разом з даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого і останнього з вставлених чисел дорівнює 56.

Рішення. Ще більш складна задача, яка, однак, вирішується за тією ж схемою, що і попередні - через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо, скільки конкретно чисел треба вставити. Тому покладемо для опредлённості, що після вставки за все буде рівно $ n $ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. В цьому випадку шукана арифметична прогресія подана в вигляді:

\ [\ Left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ right \) \]

\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Зауважимо, однак, що числа $ ((a) _ (2)) $ і $ ((a) _ (n-1)) $ виходять з стоять по краях чисел 2 і 42 шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що

\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Але тоді записане вище вираз можна переписати так:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ right) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (align) \]

Знаючи $ ((a) _ (3)) $ і $ ((a) _ (1)) $, ми легко знайдемо різницю прогресії:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12-2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ left (3-1 \ right) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ end (align) \]

Залишилося лише знайти інші члени:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (align) \]

Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності - число 42. Разом потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстові завдання з прогресіями

На закінчення хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися бляхою. Проте саме такі завдання трапляються в ОГЕ і ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.

Завдання №11. Бригада виготовила в січні 62 деталі, а в кожен наступний місяць виготовляла на 14 деталей більше, ніж в попередній. Скільки деталей виготовила бригада в листопаді?

Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписане по місяцях, буде являти собою зростаючу арифметичну прогресію. причому:

\ [\ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 14. \\ \ end (align) \]

Листопад - це 11-й місяць в році, тому нам потрібно знайти $ ((a) _ (11)) $:

\ [((A) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Отже, в листопаді буде виготовлено 202 деталі.

Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а в кожен наступний місяць вона переплітала на 4 книги більше, ніж в попередній. Скільки книг переплела майстерня в грудні?

Рішення. Все теж саме:

$ \ Begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 4. \\ \ end (align) $

Грудень - це останній, 12-й місяць в році, тому шукаємо $ ((a) _ (12)) $:

\ [((A) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Це і є відповідь - 260 книг буде переплетено в грудні.

Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» по арифметичній прогресії ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного уроку, де ми вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі і дуже корисні слідства з неї.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну і ту ж величину.

Ця тема часто представляється складною та незрозумілою. Індекси у букв, n-й членпрогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичній прогресії і все відразу налагодиться.)

Поняття арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія - поняття дуже просте і чітке. Сумніваєтеся? Даремно.) Дивіться самі.

Я напишу незакінчений ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен ... е-е-е ..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 і т.д.

Ускладнити завдання. Даю незакінчений ряд чисел:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьомечисло ряду?

Якщо зрозуміли, що це число 20 - я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моменти арифметичної прогресії,але і успішно використали їх в справу! Якщо не зрозуміли - читаємо далі.

А тепер переведемо ключові моменти з відчуттів в математику.)

Перший ключовий момент.

Арифметична прогресія має справу з рядами чисел.Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше ... А тут продовжити ряд, знайти число ряду ...

Нічого страшного. Просто прогресії - це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел і виразів. Звикайте.)

Другий ключовий момент.

В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину.

У першому прикладі ця різниця - одиничка. Яке число не візьми, воно більше попереднього на одиницю. У другому - трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент і дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.

Третій ключовий момент.

Цей момент не кидається в очі, так ... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть на своєму місці.Є перше число, є сьомим, є сорок п'яте, і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне і арифметична прогресія. Чи залишиться просто ряд чисел.

Ось і вся суть.

Зрозуміло, в нової темиз'являються нові терміни і позначення. Їх треба знати. Інакше і завдання щось не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:

Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.

Вселяє?) Буковки, індекси якісь ... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти сенс термінів і позначень. Зараз ми цю справу освоїмо і повернемося до завдання.

Терміни і позначення.

Арифметична прогресія- це ряд чисел, в якому кожне число відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину.

Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.

Різниця арифметичної прогресії.

Різниця арифметичної прогресії- це величина, на яку будь-яке число прогресії більшепопереднього.

Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше".Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додаткомрізниці арифметичної прогресії до попереднього числа.

Для розрахунку, скажімо, другогочисла ряду, треба до першогочислу додатицю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого- різниця треба додатидо четвертому,ну і т.п.

Різниця арифметичної прогресіїможе бути позитивної,тоді кожне число ряду вийде реально більше попереднього.Така прогресія називається зростаючій.наприклад:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тут кожне число виходить додаткомпозитивного числа, +5 до попереднього.

Різниця може бути і негативною,тоді кожне число ряду вийде менше попереднього.Така прогресія називається (ви не повірите!) спадання.

наприклад:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тут кожне число виходить теж додаткомдо попереднього, але вже негативного числа, -5.

До речі, при роботі з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, або спадна. Це здорово допомагає зорієнтуватися в рішенні, засікти свої помилки і виправити їх, поки не пізно.

Різниця арифметичної прогресіїпозначається, як правило, буквою d.

Як знайти d? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відняти попереднєчисло. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)

Визначимо, наприклад, dдля зростаючої арифметичної прогресії:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число,тобто 8:

Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.

Брати можна саме будь-яке число прогресії,тому для конкретної прогресії d -завжди одне і те ж.Хоч де-небудь на початку ряду, хоч в середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки найперше число. Просто тому, що у самого першого числа немає попереднього.)

До речі, знаючи, що d = 3, Знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримав шість, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме число - двадцять.

визначимо dдля спадної арифметичної прогресії:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Нагадую, що, незалежно від знаків, для визначення dтреба від будь-якого числа відняти попереднє.Вибираємо будь-яке число прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього - число -2. тоді:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дробовим, ірраціональним, всяким.

Інші терміни та позначення.

Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.

Кожен член прогресії имет свій номер.Номери йдуть строго по порядочку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, в прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли ...) Прошу чітко усвідомити - самі числаможуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які потрапило, але нумерація чисел- строго по порядку!

Як записати прогресію в загальному вигляді? Не питання! Кожне число ряду записується у вигляді букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, буква a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- це перше число, a 3- третя, і т.п. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (A n).

прогресії бувають кінцеві і нескінченні.

Кінцевапрогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, хоч греблю гати. Але - кінцеве число.

Нескінченнапрогресія - має нескінченну кількість членів, як можна здогадатися.)

Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени і точка в кінці:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Або так, якщо членів багато:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

У короткої записи доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:

(A n), n = 20

Нескінченну прогресію можна дізнатися по три крапки в кінці ряду, як в прикладах цього уроку.

Тепер уже можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто для розуміння сенсу арифметичної прогресії.

Приклади завдань по арифметичній прогресії.

Розберемо подробненько завдання, що наведено вище:

1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.

Переводимо завдання на зрозумілу мову. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відомий друге число цієї прогресії: a 2 = 5.Відома різниця прогресії: d = -2,5.Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий і шостий члени цієї прогресії.

Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член - п'ятірка:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

Підставляємо у вираз a 2 = 5і d = -2,5. Не забуваємо про мінус!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третій член вийшов менше другого. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативнувеличину, значить саме число вийде менше попереднього. Прогресія - спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Так, члени з третього по шостий вирахували. Вийшов такий ряд:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Залишається знайти перший член a 1по відомому другого. Це крок в інший бік, вліво.) Значить, різниця арифметичної прогресії dтреба не додати до a 2, а відняти:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ось і всі справи. Відповідь завдання:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Попутно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентнимспособом. Це страшне слово означає, всього лише, пошук члена прогресії за попереднім (сусіднього) числу.Інші способи роботи з прогресією ми розглянемо далі.

З цього нескладного завдання можна зробити один важливий висновок.

запам'ятовуємо:

Якщо нам відомий хоча б один член і різницю арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.

Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсу по цій темі. Всі завдання крутяться навколо трьох головних параметрів: член арифметичної прогресії, різниця прогресії, номер члена прогресії.Всі.

Зрозуміло, вся попередня алгебра не відміняється.) До прогресії чіпляється і нерівності, і рівняння, і інші речі. але по самій прогресії- все крутиться навколо трьох параметрів.

Для прикладу розглянемо деякі популярні завдання по цій темі.

2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n = 5, d = 0,4, і a 1 = 3,6.

Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважають членів арифметичної прогресії, порахувати, та й записати. Бажано не пропустити слова в умові завдання: "кінцеву" і " n = 5". Щоб не брати до уваги до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Залишається записати відповідь:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ще завдання:

3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 4,1; d = 1,2.

Хм ... Хто ж його знає? Як визначити-то?

Як-як ... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! вважаємо:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочилиміж 6,5 і 7,7! Чи не потрапила сімка в наш ряд чисел, і, значить, сімка НЕ ​​буде членом заданої прогресії.

Відповідь: ні.

А ось завдання на основі реального варіантуДПА:

4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15; х; 9; 6; ...

Тут записаний ряд без кінця і початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого страшного. Для вирішення завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і міркуємо, що можна дізнатисяз цього ряду? Які параметри з трьох головних?

Номери членів? Немає тут ні єдиного номера.

Зате є три числа і - увага! - слово "Послідовних"в умови. Це означає, що числа йдуть строго по порядку, без пропусків. А чи є в цьому ряду два сусідніхвідомих числа? Так є! Це 9 і 6. Стало бути, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднєчисло, тобто дев'ятку:

Залишилися дрібниці. Яке число буде попереднім для ікси? П'ятнадцять. Значить, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:

От і все. відповідь: х = 12

Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - нема на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимося і міркуємо.

5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 = -3; d = 1,1.

6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 1,6; d = 1,3. Визначте номер n цього члена.

7. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 4; a 5 = 15,1. Знайдіть a 3.

8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15,6; х; 3,4; ...

Знайдіть член прогресії, позначений буквою х.

9. Поїзд почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів в хвилину. Яка буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте у км / год.

10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 5; a 6 = -5. Знайдіть a 1.

Відповіді (в безладді): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію на більш високому рівні, В наступних уроках.

Чи не все вийшло? Не біда. В Особливій розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує рішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!

До речі, в задачці про поїзд є дві проблемки, на яких часто спотикається народ. Одна - чисто по прогресії, а друга - загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізиці теж. Це переклад розмірностей з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.

У цьому уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії і її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. додавай dдо чисел, пиши ряд, все і вирішиться.

Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як в прикладах цього уроку. Якщо ряд достовірніше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 в питанні замінити "п'ять хвилин"на "Тридцять п'ять хвилин",завдання стане істотно зліше.)

А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121, якщо a 1 = 3, а d = 1/6.

І що, будемо багато-багато раз додавати по 1/6 ?! Це ж вбитися можна !?

Можна.) Якщо не знати просту формулу, по якій вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде в наступному уроці. І завдання це там вирішена. За хвилину.)

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Інструкція

Арифметична прогресія - це послідовність виду a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. Число d кроком прогресії.Очевидно, що загальна довільного n-го члена арифметичної прогресіїмає вигляд: An = A1 + (n-1) d. Тоді знаючи один з членів прогресії, член прогресіїі крок прогресії, Можна, тобто номер члена прогресси. Очевидно, він буде визначатися за формулою n = (An-A1 + d) / d.

Нехай тепер відомий m-ий член прогресіїі -то інший член прогресії- n-ий, але n, як і в попередньому випадку, але відомо, що n і m НЕ совпадают.Шаг прогресіїможе бути обчислений за формулою: d = (An-Am) / (n-m). Тоді n = (An-Am + md) / d.

Якщо відома сума кількох елементів арифметичної прогресії, А також її перший і останній, то кількість цих елементів теж можна определіть.Сумма арифметичної прогресіїбуде дорівнює: S = ((A1 + An) / 2) n. Тоді n = 2S / (A1 + An) - чденов прогресії. Використовуючи той факт, що An = A1 + (n-1) d, цю формулу можна переписати у вигляді: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). З цієї можна виразити n, вирішуючи квадратне рівняння.

Арифметичної послідовністю називають такий упорядкований набір чисел, кожен член якого, крім першого, відрізняється від попереднього на одну і ту ж величину. Ця постійна величина називається різницею прогресії або її кроком і може бути розрахована по відомим членам арифметичної прогресії.

Інструкція

Якщо з умов задачі відомі значення першого і другого або будь-який інший пари сусідніх членів, для обчислення різниці (d) просто відніміть від подальшого члена попередній. Отримана величина може бути як позитивним, так і негативним числом - це залежить від того, чи є прогресія зростаючої. У загальній формі рішення для довільно взятої пари (aᵢ і aᵢ₊₁) сусідніх членів прогресії запишіть так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пари членів такої прогресії, один з яких є першим (a₁), а інший - будь-яким іншим довільно обраним, теж можна скласти формулу знаходження різниці (d). Однак в цьому випадку обов'язково повинен бути відомий порядковий номер (i) довільного обраного члена послідовності. Для обчислення різниці складіть обидва числа, а отриманий результат розділіть на зменшений на одиницю порядковий номер довільного члена. У загальному вигляді цю формулу запишіть так: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Якщо крім довільного члена арифметичної прогресії з порядковим номером i відомий інший її член з порядковим номером u, змініть формулу з попереднього кроку відповідним чином. В цьому випадку різницею (d) прогресії буде сума цих двох членів, поділена на різницю їх порядкових номерів: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Формула обчислення різниці (d) дещо ускладниться, якщо в умовах задачі дано значення першого її члена (a₁) і сума (Sᵢ) заданого числа (i) перших членів арифметичної послідовності. Для отримання шуканого значення розділіть суму на кількість склали її членів, відніміть значення першого числа в послідовності, а результат подвійте. Отриману величину розділіть на зменшене на одиницю число членів, що склали суму. У загальному вигляді формулу обчислення дискримінанту запишіть так: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Наприклад, послідовність \ (2 \); \ (5 \); \ (8 \); \ (11 \); \ (14 \) ... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додатком трійки):

У цій прогресії різниця \ (d \) позитивна (дорівнює \ (3 \)), і тому кожен наступний член більше попереднього. Такі прогресії називаються зростаючими.

Однак \ (d \) може бути і негативним числом. наприклад, В арифметичній прогресії \ (16 \); \ (10 ​​\); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.

І в цьому випадку кожен наступний елемент буде менше, ніж попередній. Ці прогресії називаються убутними.

Позначення арифметичної прогресії

Прогресію позначають маленької латинською літерою.

Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(Або елементами).

Їх позначають тією ж буквою що і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

Наприклад, арифметична прогресія \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (A_2 = 5 \); \ (A_3 = 8 \) і так далі.

Іншими словами, для прогресії \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Рішення задач на арифметичну прогресію

В принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (в тому числі з тих, що пропонують на ОГЕ).

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана умовами \ (b_1 = 7; d = 4 \). Знайдіть \ (b_5 \).
Рішення:

відповідь: \ (B_5 = 23 \)

Приклад (ОГЕ). Дано перші три члена арифметичної прогресії: \ (62; 49; 36 ... \) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії ..
Рішення:

	Нам дано перші елементи послідовності і відомо, що вона - арифметична прогресія. Тобто, кожен елемент відрізняється від сусіднього на одне і те ж число. Дізнаємося на яке, вирахувавши з наступного елемента попередній: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Тепер ми можемо відновити нашу прогресію до потрібного нам (першого негативного) елемента.
	Готово. Можна писати відповідь.

відповідь: \(-3\)

Приклад (ОГЕ). Дано кілька йдуть підряд елементів арифметичної прогресії: \ (... 5; x; 10; 12,5 ... \) Знайдіть значення елемента, позначеного літерою \ (x \).
Рішення:

	Щоб знайти \ (x \), нам потрібно знати на скільки наступний елемент відрізняється від попереднього, інакше кажучи - різниця прогресії. Знайдемо її з двох відомих сусідніх елементів: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	А зараз без проблем знаходимо шукане: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Готово. Можна писати відповідь.

відповідь: \(7,5\).

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана наступними умовами: \ (a_1 = -11 \); \ (A_ (n + 1) = a_n + 5 \) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

Нам потрібно знайти суму перших шести членів прогресії. Але ми не знаємо їх значень, нам дано тільки перший елемент. Тому спочатку обчислюємо значення по черзі, використовуючи дане нам: \ (N = 1 \); \ (A_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (N = 2 \); \ (A_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (N = 3 \); \ (A_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) А зрозумівши потрібні нам шість елементів - знаходимо їх суму.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Шукана сума знайдена.

відповідь: \ (S_6 = 9 \).

Приклад (ОГЕ). В арифметичній прогресії \ (a_ (12) = 23 \); \ (A_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:

відповідь: \ (D = 7 \).

Важливі формули арифметичної прогресії

Як бачите, багато завдань по арифметичній прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне - те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент в цьому ланцюжку виходить додатком до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).

Однак часом зустрічаються ситуації, коли вирішувати «в лоб» досить незручно. Наприклад, уявіть, що в самому першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \ (b_5 \), а триста вісімдесят шостій \ (b_ (386) \). Це що ж, нам \ (385 \) раз додавати четвірку? Або уявіть, що в передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучить ...

Тому в таких випадках «в лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні з них це формула енної члена прогресії і формула суми \ (n \) перших членів.

Формула \ (n \) - го члена: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), де \ (a_1 \) - перший член прогресії;
\ (N \) - номер шуканого елемента;
\ (A_n \) - член прогресії з номером \ (n \).

Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч трьохсотий, хоч мільйонний елемент, знаючи тільки перший і різниця прогресії.

Приклад. Арифметична прогресія задана умовами: \ (b_1 = -159 \); \ (D = 8,2 \). Знайдіть \ (b_ (246) \).
Рішення:

відповідь: \ (B_ (246) = 1850 \).

Формула суми n перших членів: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), де

\ (A_n \) - останній сумовною член;

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана умовами \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Знайдіть суму перших \ (25 \) членів цієї прогресії.
Рішення:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Щоб обчислити суму перших двадцяти п'яти елементів, нам потрібно знати значення першого і двадцять п'ятого члена. Наша прогресія задана формулою енної члена в залежності від його номера (докладніше дивись). Давайте обчислимо перший елемент, підставивши замість \ (n \) одиницю.
\ (N = 1; \) \ (a_1 = 3,4 · 1-0,6 = 2,8 \)		Тепер знайдемо двадцять п'ятого член, підставивши замість \ (n \) за рибу гроші.
\ (N = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 · 25-0,6 = 84,4 \)		Ну, а зараз без проблем обчислюємо потрібну суму.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ Frac (2,8 + 84,4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Відповідь готовий.

відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).

Для суми \ (n \) перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) замість \ (a_n \) підставити формулу для нього \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). отримаємо:

Формула суми n перших членів: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), де

\ (S_n \) - шукана сума \ (n \) перших елементів;
\ (A_1 \) - перший сумовною член;
\ (D \) - різниця прогресії;
\ (N \) - кількість елементів в сумі.

Приклад. Знайдіть суму перших \ (33 \) - ех членів арифметичної прогресії: \ (17 \); \ (15,5 \); \ (14 \) ...
Рішення:

відповідь: \ (S_ (33) = - 231 \).

Більш складні завдання на арифметичну прогресію

Тепер у вас є вся необхідна інформація для вирішення практично будь-якої задачі на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом задач, в яких треба не просто застосовувати формули, але і трохи думати (в математиці це буває корисно ☺)

Приклад (ОГЕ). Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: \ (- 19,3 \); \ (- 19 \); \ (- 18,7 \) ...
Рішення:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Завдання дуже схожа на попередню. Починаємо вирішувати також: спочатку знайдемо \ (d \).
\ (D = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \)		Тепер би підставити \ (d \) в формулу для суми ... і ось тут спливає маленький нюанс - ми не знаємо \ (n \). Інакше кажучи, не знаємо скільки членів потрібно буде скласти. Як це з'ясувати? Давайте думати. Ми припинимо складати елементи тоді, коли дійдемо до першого позитивного елементу. Тобто, потрібно дізнатися номер цього елемента. Як? Запишемо формулу обчислення будь-якого елементу арифметичної прогресії: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) для нашого випадку.
\ (A_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (A_n = -19,3 + (n-1) · 0,3 \)		Нам потрібно, щоб \ (a_n \) став більше нуля. З'ясуємо, при якому \ (n \) це станеться.
\ (- 19,3+ (n-1) · 0,3> 0 \)
\ ((N-1) · 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \)		Ділимо обидві частини нерівності на \ (0,3 \).
\ (N-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Переносимо мінус одиницю, не забуваючи міняти знаки
\ (N> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Обчислюємо ...
\ (N> 65,333 ... \)		... і з'ясовується, що перший позитивний елемент матиме номер \ (66 \). Відповідно, останній негативний має \ (n = 65 \). Про всяк випадок, перевіримо це.
\ (N = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) · 0,3 = -0,1 \) \ (N = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) · 0,3 = 0,2 \)		Таким чином, нам потрібно скласти перші \ (65 \) елементів.
\ (S_ (65) = \) \ (\ Frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ Cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Відповідь готовий.

відповідь: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Приклад (ОГЕ). Арифметична прогресія задана умовами: \ (a_1 = -33 \); \ (A_ (n + 1) = a_n + 4 \). Знайдіть суму від \ (26 \) - го до \ (42 \) елемента включно.
Рішення:

\ (A_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	У цьому завданні також потрібно знайти суму елементів, але починаючи не з першого, а з \ (26 \) - го. Для такого випадку у нас формули немає. Як вирішувати? Легко - щоб отримати суму з \ (26 \) - го до \ (42 \) - ой, треба спочатку знайти суму з \ (1 \) - ого по \ (42 \) - ой, а потім відняти від неї суму з першого до \ (25 \) - ого (див картинку).
	Для нашої прогресії \ (a_1 = -33 \), а різниця \ (d = 4 \) (адже саме четвірку ми додаємо до попереднього елемента, щоб знайти наступний). Знаючи це, знайдемо суму перших \ (42 \) - двох елементів.
\ (S_ (42) = \) \ (\ Frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ Cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ Frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Тепер суму перших \ (25 \) - ти елементів.
\ (S_ (25) = \) \ (\ Frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ Cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ Frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Ну і нарешті, обчислюємо відповідь.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

відповідь: \ (S = 1683 \).

Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в даній статті через їхню малу практичної користі. Однак ви без праці можете знайти їх.

При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, До яких відносяться прогресії -геометріческая і арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію і приклади з рішеннями.

Що собою являє арифметична прогресія?

Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення розглянутої прогресії, а також привести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.

Арифметична або - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на деяку постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел і різниця, можна відновити всю арифметичну прогресію.

Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде прогресією арифметичної: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А ось набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до даного виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

важливі формули

Наведемо тепер основні формули, які знадобляться для вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n-й член послідовності, де n - ціле число. Різниця позначимо латинською буквою d. Тоді справедливі такі вирази:

1. Для визначення значення n-го члена підійде формула: a n = (n-1) * d + a 1.
2. Для визначення суми перших n доданків: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням в 9 класі, досить запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання розглянутого типу. Також слід не забувати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = a n - a n-1.

Приклад №1: знаходження невідомого члена

Наведемо простий приклад арифметичній прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.

Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно в ній знайти п'ять членів.

З умови задачі вже випливає, що перші 4 доданків відомі. П'яте можна визначити двома способами:

1. Обчислимо для початку різницю. Маємо: d = 8 - 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члена, що стоять поруч один з одним. Наприклад, d = 4 - 6 = -2. Оскільки відомо, що d = a n - a n-1, тоді d = a 5 - a 4, звідки отримуємо: a 5 = a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Другий спосіб також вимагає знання різниці розглянутої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a 1 = 10, скористаємося формулою для n числа послідовності. Маємо: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Підставляючи в останній вираз n = 5, отримуємо: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Як видно, обидва способи вирішення привели до одного і того ж результату. Відзначимо, що в цьому прикладі різницю d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються убутними, так як кожен наступний член менше попереднього.

Приклад №2: різниця прогресії

Тепер усложним трохи завдання, наведемо приклад, як знайти різницю арифметичній прогресії.

Відомо, що в деякій прогресії алгебраїчної 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.

Скористаємося формулою для визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1. Підставами в неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7, маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Таким чином, відповіли на першу частину завдання.

Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням алгебраїчній прогресії, Тобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. В результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Приклад №3: складання прогресії

Ускладнимо ще сильніше умову задачі. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести такий приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти прогресію алгебраїчну так, щоб між цими містилося ще три члени.

Перш ніж починати вирішувати цю задачу, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа в майбутньої прогресії. Оскільки між ними будуть перебувати ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до задачі, яка аналогічна попередній. Знову для n-го члена скористаємося формулою, одержимо: a 5 = a 1 + 4 * d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, однак воно є раціональним числом, тому формули для алгебраїчної прогресії залишаються тими ж самими.

Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо відсутні члени прогресії. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою завдання.

Приклад №4: перший член прогресії

Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії з рішенням. У всіх попередніх завданнях було відомо перше число алгебраїчної прогресії. Тепер розглянемо задачу іншого типу: нехай дано два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.

Формули, якими користувалися до теперішнього часу, припускають знання a 1 і d. В умові задачі про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вираження для кожного члена, про яку є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, в яких 2 невідомі величини (a 1 і d). Це означає, що завдання зводиться до вирішення системи лінійних рівнянь.

Зазначену систему найпростіше вирішити, якщо висловити в кожному рівнянні a 1, а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведені лише 3 знаки точності після коми).

Знаючи d, можна скористатися будь-яким з 2 наведених вище виразів для a 1. Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити 43 член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язана з тим, що при обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.

Приклад №5: сума

Тепер розглянемо кілька прикладів з рішеннями на суму арифметичної прогресії.

Нехай дана числова прогресія такого вигляду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?

Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна цю задачу вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як тільки людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в розумі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є прогресією алгебраїчної, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Цікаво відзначити, що ця задача носить назву "гаусом", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще будучи у віці всього 10 років, зміг розв'язати цю проблему в розумі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебри прогресії, але він зауважив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки витрат на пальне буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді досить помножити 50 на 101.

Приклад №6: сума членів від n до m

ще одним типовим прикладомсуми арифметичної прогресії є наступний: дана така чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнює сума його членів з 8 по 14.

Завдання вирішується двома способами. Перший з них передбачає знаходження невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків трохи, то такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити цю задачу другим методом, який є більш універсальним.

Ідея полягає в отриманні формули для суми алгебри прогресії між членами m і n, де n> m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Оскільки n> m, то очевидно, що 2 сума включає в себе першу. Останнє умовивід означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (в разі взяття різниці він віднімається від суми S n), то отримаємо необхідний відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 m / 2). В цей вислів необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить тільки від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа, отримаємо: S mn = 301.

Як видно з наведених рішень, все завдання грунтуються на знанні вираження для n-го члена і формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якої з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і лише потім приступати до вирішення.

Ще одна порада полягає в прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на запитання, чи не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, в прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, і розбити спільне завданняна окремі підзадачі (в даному випадку спочатку знайти члени a n і a m).

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується його перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, то це не так складно.