Відеоурок 2: Рішення квадратних рівнянь

лекція: Квадратні рівняння

рівняння

рівняння - це якесь рівність, в виразах якого є змінна.

Розв'язати рівняння - значить знайти таке число замість змінної, яке буде приводити його в правильне рівність.

Рівняння може мати одне рішення або кілька, або ж не мати його взагалі.

Для вирішення будь-якого рівняння його слід максимально спростити до вигляду:

лінійне: a * x \u003d b;

квадратне: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Тобто будь-які рівняння перед рішенням потрібно перетворити до стандартного виду.

Будь-яке рівняння можна вирішити двома способами: аналітичним і графічним.

На графіку рішенням рівняння вважаються точки, в яких графік перетинає вісь ОХ.

Квадратні рівняння

Рівняння можна назвати квадратним, якщо при спрощення воно набуває вигляду:

a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

При цьому a, b, c є коефіцієнтами рівняння, що відрізняються від нуля. А "Х" - корінь рівняння. Вважається, що квадратне рівняння має два кореня або можуть не мати рішення взагалі. Отримані корені можуть бути однаковими.

"А" - коефіцієнт, який стоїть перед коренем в квадраті.

"B" - стоїть перед невідомою в першого ступеня.

"З" - вільний член рівняння.

Якщо, наприклад, ми маємо рівняння виду:

2х 2 -5х + 3 \u003d 0

У ньому "2" - це коефіцієнт при старшому члені рівняння, "-5" - другий коефіцієнт, а "3" - вільний член.

Рішення квадратного рівняння

Існує величезна безліч способів вирішення квадратного рівняння. Однак, в шкільному курсі математики вивчається рішення по теоремі Вієта, а також за допомогою дискримінанту.

Рішення по Дискримінант:

При вирішенні за допомогою даного методу необхідно обчислити дискримінант за формулою:

Якщо при обчисленнях Ви отримали, що дискримінант менше нуля, це означає, що дане рівняння не має рішень.

Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два однакових рішення. В такому випадку многочлен можна згорнути за формулою скороченого множення в квадрат суми або різниці. Після чого вирішити його, як лінійне рівняння. Або скористатися формулою:

Якщо ж дискримінант більше нуля, то необхідно скористатися наступним методом:

теорема Вієта

Якщо рівняння наведене, тобто коефіцієнт при старшому члені дорівнює одиниці, то можна скористатися теоремою Вієта.

Отже, припустимо, що рівняння має вигляд:

Коріння рівняння знаходяться наступним чином:

Неповне квадратне рівняння

Існує кілька варіантів отримання неповного квадратного рівняння, вид яких залежить від наявності коефіцієнтів.

1. Якщо другий і третій коефіцієнт дорівнює нулю (B \u003d 0, с \u003d 0), То квадратне рівняння буде мати вигляд:

Дане рівняння буде мати єдине рішення. Рівність буде вірним лише в тому випадку, коли в якості рішення рівняння буде нуль.

Формули коренів квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних і комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів і розкладання на множники.

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння (1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна об'єднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відомі, то многочлен другого ступеня можна представити у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що - дійсні числа.
Розглянемо дискриминант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний,, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю,, то квадратне рівняння (1) має два кратних (рівних) дійсних кореня:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант від'ємний,, то квадратне рівняння (1) має два комплексно сполучених корені:
;
.
Тут - уявна одиниця,;
і - дійсна і уявна частини коренів:
; .
тоді

.

графічна інтерпретація

якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При, графік перетинає вісь абсцис (вісь) в двох точках.
При, графік стосується осі абсцис в одній точці.
При, графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наводяться приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Висновок формули для коренів квадратного рівняння

Виконуємо перетворення і застосовуємо формули (f.1) і (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для многочлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
і.
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

приклад 1

(1.1) .

Рішення

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний,, то рівняння має два дійсних кореня:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 перетинає вісь абсцис в двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) в двох точках:
і.
Ці точки є коріннями вихідного рівняння (1.1).

відповідь

;
;
.

приклад 2

Знайти корені квадратного рівняння:
(2.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю,, то рівняння має два кратних (рівних) кореня:
;
.

Тоді розкладання трехчлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y \u003d x 2 - 4 x + 4 стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить в розкладання на множники два рази:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівних кореня:
.

відповідь

;
.

приклад 3

Знайти корені квадратного рівняння:
(3.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний,. Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексні корені:
;
;
.

тоді


.

Графік функції не перетинає вісь абсцис. Дійсних коренів немає.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

відповідь

Дійсних коренів немає. Коріння комплексні:
;
;
.

За допомогою цієї математичної програми ви можете вирішити квадратне рівняння.

Програма не тільки дає відповідь завдання, але і відображає процес вирішення двома способами:
- за допомогою дискримінанту
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).

Причому, відповідь виводиться точний, а не наближений.
Наприклад, для рівняння \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) відповідь виводиться в такій формі:

$$ x_1 \u003d \\ frac (8 + \\ sqrt (145)) (81), \\ quad x_2 \u003d \\ frac (8- \\ sqrt (145)) (81) $$ а не в такій: \\ (x_1 \u003d 0,247; \\ quad x_2 \u003d -0,05 \\)

Дана програма може бути корисна учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт і іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може бути вам дуже накладно наймати репетитора або купувати нові підручники? Або ви просто хочете якомога швидше зробити домашнє завдання з математики або алгебрі? В цьому випадку ви також можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання і / або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в області вирішуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного многочлена, рекомендуємо з ними ознайомитися.

Правила введення квадратного многочлена

В якості змінної може виступати будь-яка латінс буква.
Наприклад: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дробові.
Причому, дробові числа можна вводити не тільки у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах дрібна частина від цілої може відділятися як точкою так і коми.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x ^ 2

Правила введення звичайних дробів.
В як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник не може бути негативним.

При введенні числовий дробу чисельник відділяється від знаменника знаком ділення: /
Ціла частина відділяється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Результат: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

При введенні виразу можна використовувати дужки. В цьому випадку при вирішенні квадратного рівняння введене вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

вирішити

Виявлено що ні завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас включений AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновити сторінку.

У вас в браузері відключено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Оскільки бажаючих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлений в чергу.
Через кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сек ...

Якщо ви помітили помилку в рішенні, То про це ви можете написати в Формі зворотного зв'язку.
не забудьте вказати яке завдання ви вирішуєте і що вводите в поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Квадратне рівняння і його корені. Неповні квадратні рівняння

Кожне з рівнянь
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2 \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
має вид
\\ (Ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
де x - змінна, a, b і c - числа.
У першому рівнянні a \u003d -1, b \u003d 6 і c \u003d 1,4, у другому a \u003d 8, b \u003d -7 і c \u003d 0, в третьому a \u003d 1, b \u003d 0 і c \u003d 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.

Визначення.
квадратним рівнянням називається рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому \\ (a \\ neq 0 \\).

Числа a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b - другим коефіцієнтом і число c - вільним членом.

У кожному з рівнянь виду ax 2 + bx + c \u003d 0, де \\ (a \\ neq 0 \\), найбільша ступінь змінної x - квадрат. Звідси і назва: квадратне рівняння.

Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, так як його ліва частина є многочлен другого ступеня.

Квадратне рівняння, в якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеними квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
\\ (X ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Якщо в квадратному рівнянні ax 2 + bx + c \u003d 0 хоча б один з коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 - неповні квадратні рівняння. У першому з них b \u003d 0, у другому c \u003d 0, в третьому b \u003d 0 і c \u003d 0.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 + c \u003d 0, де \\ (c \\ neq 0 \\);
2) ax 2 + bx \u003d 0, де \\ (b \\ neq 0 \\);
3) ax 2 \u003d 0.

Розглянемо рішення рівнянь кожного з цих видів.

Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 + c \u003d 0 при \\ (c \\ neq 0 \\) переносять його вільний член в праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
\\ (X ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Так як \\ (c \\ neq 0 \\), то \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Якщо \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), то рівняння має два кореня.

Якщо \\ (- \\ frac (c) (a) Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 + bx \u003d 0 при \\ (b \\ neq 0 \\) розкладають його ліву частину на множники і отримують рівняння
\\ (X (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ end (array) \\ right. \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (array) \\ right. \\)

Значить, неповне квадратне рівняння виду ax 2 + bx \u003d 0 при \\ (b \\ neq 0 \\) завжди має два кореня.

Неповне квадратне рівняння виду ax 2 \u003d 0 рівносильне рівнянню x 2 \u003d 0 і тому має єдиний корінь 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнта при невідомих і вільний член відмінні від нуля.

Вирішимо квадратне рівняння в загальному вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати при вирішенні будь-якого квадратного рівняння.

Вирішимо квадратне рівняння ax 2 + bx + c \u003d 0

Розділивши обидві його частини на a, одержимо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
\\ (X ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
\\ (X ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Rightarrow \\)

\\ (X ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow \\) \\ (\\ left (x + \\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \\ frac ( c) (a) \\ Rightarrow \\ left (x + \\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \u003d \\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \\ Rightarrow \\) \\ (x + \\ frac (b ) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (b) (2a) + \\ frac (\\ pm \\ sqrt (b ^ 2 -4ac)) (2a) \\ Rightarrow \\) \\ (x \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \\)

Подкоренное вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 + bx + c \u003d 0 ( «дискриминант» по латині - различитель). Його позначають буквою D, тобто
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Тепер, використовуючи позначення дискримінанту, перепишемо формулу для коренів квадратного рівняння:
\\ (X_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), де \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Очевидно, що:
1) Якщо D\u003e 0, то квадратне рівняння має два кореня.
2) Якщо D \u003d 0, то квадратне рівняння має один корінь \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Якщо D Таким чином, в залежності від значення дискриминанта квадратне рівняння може мати два кореня (при D\u003e 0), один корінь (при D \u003d 0) або не мати коренів (при D При вирішенні квадратного рівняння по даній формулі доцільно поступати таким чином:
1) обчислити дискримінант і порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант від'ємний, то записати, що коріння немає.

теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x + 10 \u003d 0 має корені 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену. Таку властивість має будь наведене квадратне рівняння, має коріння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.

Тобто теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q \u003d 0 мають властивість:
\\ (\\ Left \\ (\\ begin (array) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (array) \\ right. \\)

Квадратне рівняння - вирішується просто! * Далі в тексті «КУ».Друзі, здавалося б, що може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним у багатьох є проблеми. Вирішив подивитися скільки показів за запитом на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:

Що це означає? Це означає те, що близько 70000 чоловік в місяць шукають цю інформацію, при чому це літо, а що буде серед учбового року - запитів буде в два рази більше. Це й не дивно, адже ті хлопці і дівчата, які давно закінчили школу і готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив теж внести свою лепту і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться щоб по даному запиту і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» буду давати посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його вирішенні трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Приступимо!Зміст статті:

Квадратне рівняння - це рівняння виду:

де коефіцієнти a,b і з довільні числа, при чому a ≠ 0.

У шкільному курсі матеріал дають в наступному вигляді - умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два кореня.

2. * Мають тільки один корінь.

3. Не мають коренів. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюються коріння? Просто!

Обчислюємо дискриминант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

* Ці формули потрібно знати напам'ять.

Можна відразу записувати і вирішувати:

приклад:

1. Якщо D\u003e 0, то рівняння має два кореня.

2. Якщо D \u003d 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

З цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, в шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, тут він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але ...

Зазначене подання кілька дещо некоректно. Насправді виходить два кореня. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівних кореня, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два кореня:

х 1 \u003d 3 х 2 \u003d 3

Але це так - невеличкий відступ. У школі можете записувати і говорити, що корінь один.

Тепер наступний приклад:

Як нам відомо - корінь з від'ємного числа не розгорнеться, тому рішення в даному випадку немає.

Ось і весь процес вирішення.

Квадратична функція.

Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це вкрай важливо розуміти (надалі в одній зі статей ми докладно будемо розбирати рішення квадратного нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с - задані числа, при чому a ≠ 0

Графіком є \u200b\u200bпарабола:

Тобто, виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискриминант позитивний), одна (дискриминант дорівнює нулю) і жодної (дискриминант негативний). детально про квадратичної функції можете подивитись статтю у Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d b 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Відповідь: х 1 \u003d 8 х 2 \u003d -12

* Можна було відразу ж ліву і праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простіше.

Приклад 2: вирішити x 2–22 x + 121 \u003d 0

а \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Отримали, що х 1 \u003d 11 і х 2 \u003d 11

У відповіді допустимо записати х \u003d 11.

Відповідь: х \u003d 11

Приклад 3: вирішити x 2 -8x + 72 \u003d 0

а \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Дискримінант негативний, рішення в дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння в разі коли виходить негативний дискриминант. Ви що-небудь знаєте про комплексних числах? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їх конкретна роль і необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Поняття комплексного числа.

Трохи теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z \u003d a + bi

де a і b - дійсні числа, i - так звана уявна одиниця.

a + bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не складання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучених кореня.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, це коли коефіцієнт «b» або «з» дорівнює нулю (або обидва дорівнюють нулю). Вони вирішуються легко без всяких Дискримінант.

Випадок 1. Коефіцієнт b \u003d 0.

Рівняння набуває вигляду:

перетворимо:

приклад:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Випадок 2. Коефіцієнт з \u003d 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворимо, розкладаємо на множники:

* Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

приклад:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 або x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Випадок 3. Коефіцієнти b \u003d 0 і c \u003d 0.

Тут зрозуміло, що рішенням рівняння завжди буде х \u003d 0.

Корисні властивості і закономірності коефіцієнтів.

Є властивості, які дозволяють вирішити рівняння з великими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b + З \u003d 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + З \u003db, то

Дані властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, значить

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

виконується рівність a + З \u003db, значить

Закономірності коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 + (а 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d -а х 2 \u003d -1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 6х 2 + 37х + 6 \u003d 0.

х 1 \u003d -6 х 2 \u003d -1/6.

2. Якщо в рівнянні ax 2 - bx + c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 - (а 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 15х 2 -226х +15 \u003d 0.

х 1 \u003d 15 х 2 \u003d 1/15.

3. Якщо в рівнянніax 2 + bx - c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт «c» чисельно рівний коефіцієнту «a», то його коріння рівні

аx 2 + (а 2 -1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 17х 2 + 288х - 17 \u003d 0.

х 1 \u003d - 17 х 2 \u003d 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 - bx - c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 - 1), а коефіцієнт з чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 - (а 2 -1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 10х 2 - 99х -10 \u003d 0.

х 1 \u003d 10 х 2 \u003d - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається по імені знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна висловити суму і твір коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумі число 14 дають тільки 5 і 9. Це коріння. При певному навику, використовуючи представлену теорему, багато квадратні рівняння ви зможете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після рішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримані коріння можна перевіряти. Рекомендую це робити завжди.

СПОСІБ перекидання

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його і називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

якщо а± b + c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х +5 = 0 (1) => х 2 – 11х +10 = 0 (2)

По теоремі Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 \u003d 10 х 2 \u003d 1

Отримані корені рівняння необхідно розділити на 2 (тому що від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 \u003d 5 х 2 \u003d 0,5.

Яке обгрунтування? Подивіться що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) і (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять тільки різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходять в 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на 2.

* Якщо будемо перекидати трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 \u003d 5 х 2 \u003d 0,5

Кв. ур-ие і ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанту необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до вирішення квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто відзначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявній». Наприклад, можлива така запис:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 або 15х + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 або 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися при вирішенні).

2. Пам'ятайте, що х це невідома величина і вона може бути позначена будь-який інший буквою - t, q, p, h та іншими.

», Тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівнянням і як його вирішувати.

Що називають квадратним рівнянням

Важливо!

Ступінь рівняння визначають за найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.

Якщо максимальний ступінь, в якій стоїть невідоме - «2», значить, перед вами квадратне рівняння.

Приклади квадратних рівнянь

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

Важливо! Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:

A x 2 + b x + c \u003d 0

«A», «b» і «c» - задані числа.

• «A» - перший або старший коефіцієнт;
• «B» - другий коефіцієнт;
• «C» - вільний член.

Щоб знайти «a», «b» і «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним видом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c \u003d 0».

Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» і «c» в квадратних рівняннях.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -x 2 + x +

рівняння	коефіцієнти
a \u003d 5 b \u003d -14 з \u003d 17
a \u003d -7 b \u003d -13 з \u003d 8

1

3

= 0

• a \u003d -1
• b \u003d 1
• з \u003d

  1

  3

x 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0,25
• з \u003d 0

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1
• b \u003d 0
• з \u003d -8

Як вирішувати квадратні рівняння

На відміну від лінійних рівнянь для вирішення квадратних рівнянь використовується спеціальна формула для знаходження коренів.

Запам'ятайте!

Щоб вирішити квадратне рівняння потрібно:

• привести квадратне рівняння до загальному вигляду «Ax 2 + bx + c \u003d 0». Тобто в правій частині повинен залишитися тільки «0»;
• використовувати формулу для коренів:

Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коренів квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

Рівняння «x 2 - 3x - 4 \u003d 0» вже приведено до загального вигляду «ax 2 + bx + c \u003d 0» і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам досить застосувати формулу знаходження коренів квадратного рівняння.

Визначимо коефіцієнти «a», «b» і «c» для цього рівняння.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

З її допомогою вирішується будь-квадратне рівняння.

У формулі «x 1; 2 \u003d» часто замінюють подкоренное вираз
«B 2 - 4ac» на букву «D» і називають дискримінантом. Більш детально поняття дискримінанту розглядається в уроці «Що таке дискримінант».

Розглянемо ще один приклад квадратного рівняння.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

В даному виді визначити коефіцієнти «a», «b» і «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду «ax 2 + bx + c \u003d 0».

X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Тепер можна використовувати формулу для коренів.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d

6

2

x \u003d 3
Відповідь: x \u003d 3

Бувають випадки, коли в квадратних рівняннях немає коренів. Така ситуація виникає, коли у формулі під коренем виявляється негативне число.