Розтягування графіка y = sinx по осі y. Графік функції y = sin x графік функції y sinx 3

Урок і презентація на тему: "Функція y = sin (x). Визначення та властивості"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники і тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо завдання з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що будемо вивчати:

• Властивості функції Y = sin (X).
• Графік функції.
• Як будувати графік і його масштаб.
• Приклади.

Властивості синуса. Y = sin (X)

Хлопці, ми вже познайомилися з тригонометричними функціями числового аргументу. Ви пам'ятаєте їх?

Давайте познайомимося ближче з функцією Y = sin (X)

Запишемо деякі властивості цієї функції:
1) Область визначення - множина дійсних чисел.
2) Функція непарна. Давайте згадаємо визначення непарної функції. Функція називається непарною якщо виконується рівність: y (-x) = - y (x). Як ми пам'ятаємо з формул привиди: sin (-x) = - sin (x). Визначення виповнилося, значить Y = sin (X) - непарна функція.
3) Функція Y = sin (X) зростає на відрізку і убуває на відрізку [π / 2; π]. Коли ми рухаємося по першій чверті (проти годинникової стрілки), ордината збільшується, а при русі по другій чверті вона зменшується.

4) Функція Y = sin (X) обмежена знизу і зверху. Дана властивість випливає з того, що
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = - π / 2 + πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при х = π / 2 + πk).

Давайте, скориставшись властивостями 1-5, побудуємо графік функції Y = sin (X). Будемо будувати наш графік послідовно, застосовуючи наші властивості. Почнемо будувати графік на відрізку.

Особливу увагу варто звернути на масштаб. На осі ординат зручніше прийняти одиничний інтервал рівний 2 клітинам, а на осі абсцис - одиничний інтервал (дві клітинки) прийняти рівним π / 3 (дивіться малюнок).

Побудова графіка функції синус х, y = sin (x)

Порахуємо значення функції на нашому відрізку:

Побудуємо графік по нашим точкам, з урахуванням третього властивості.

Таблиця перетворень для формул привиди

Скористаємося другою властивістю, яке говорить, що наша функція непарна, а це значить, що її можна відобразити симетрично відносно початок координат:

Ми знаємо, що sin (x + 2π) = sin (x). Це означає, що на відрізку [- π; π] графік виглядає так само, як на відрізку [π; 3π] або або [-3π; - π] і так далі. Нам залишається акуратно перемалювати графік на попередньому малюнку на всю вісь абсцис.

Графік функції Y = sin (X) називають - синусоїдою.

Напишемо ще кілька властивостей згідно побудованому графіку:
6) Функція Y = sin (X) зростає на будь-якому відрізку виду: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k - ціле число і убуває на будь-якому відрізку виду: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k - ціле число.
7) Функція Y = sin (X) - безперервна функція. Подивимося на графік функції і переконаємося що у нашої функції немає розривів, це і означає безперервність.
8) Область значень: відрізок [- 1; 1]. Це також добре видно з графіка функції.
9) Функція Y = sin (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція приймає одні і ті ж значення, через деякі проміжки.

Приклади завдань з синусом

1. Вирішити рівняння sin (x) = x-π

Рішення: Побудуємо 2 графіка функції: y = sin (x) і y = x-π (див. Малюнок).
Наші графіки перетинаються в одній точці А (π; 0), це і є відповідь: x = π

2. Побудувати графік функції y = sin (π / 6 + x) -1

Рішення: Бажаємий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y = sin (x) на π / 6 одиниць вліво і 1 одиницю вниз.

Рішення: Побудуємо графік функції і розглянемо наш відрізок [π / 2; 5π / 4].
На графіку функції видно, що найбільші і найменші значення досягаються на кінцях відрізка, в точках π / 2 і 5π / 4 відповідно.
Відповідь: sin (π / 2) = 1 - найбільше значення, sin (5π / 4) = найменше значення.

Завдання на синус для самостійного рішення

• Розв'яжіть рівняння: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
• Побудувати графік функції y = sin (π / 3 + x) -2
• Побудувати графік функції y = sin (-2π / 3 + x) +1
• Знайти найбільше і найменше значення функції y = sin (x) на відрізку
• Знайти найбільше і найменше значення функції y = sin (x) на відрізку [- π / 3; 5π / 6]

Ми з'ясували, що поведінка тригонометричних функцій, і функції у = sin х зокрема, на всій числовій прямій (або при всіх значеннях аргументу х) Повністю визначається її поведінкою в інтервалі 0 < х < π / 2 .

Тому перш за все ми побудуємо графік функції у = sin х саме в цьому інтервалі.

Складемо таку таблицю значень нашої функції;

Відзначаючи відповідні точки на площині координат і з'єднуючи їх плавною лінією, ми отримуємо криву, представлену на малюнку

Отриману криву можна було б побудувати і геометрично, що не складаючи таблиці значень функції у = sin х .

1. Перший чверть кола радіуса 1 розділимо на 8 рівних частей.Ордінати точок ділення кола представляють собою синуси відповідних кутів.

2.Первий чверть кола відповідає кутах від 0 до π / 2 . Тому на осі хвізьмемо відрізок і розділимо його на 8 рівних частин.

3.Проведем прямі, паралельні осі х, А з точок поділу оживимо перпендикуляри до перетину з горизонтальними прямими.

4.Точкі перетину з'єднаємо плавною лінією.

Тепер звернемося до інтервалу π / 2 < х < π .
Кожне значення аргументу хз цього інтервалу можна представити у вигляді

x = π / 2 + φ

де 0 < φ < π / 2 . За формулами приведення

sin ( π / 2 + φ ) = Соs φ = Sin ( π / 2 - φ ).

точки осі хз абцісс π / 2 + φ і π / 2 - φ симетричні одна одній щодо точки осі хз абсцисою π / 2 , І синуси в цих точках однакові. Це дозволяє отримати графік функції у = sin х в інтервалі [ π / 2 , π ] Шляхом простого симетричного відображення графіка цієї функції в інтервалі відносно прямої х = π / 2 .

Тепер, використовуючи властивість непарності функції у = sin х,

sin (- х) = - sin х,

легко побудувати графік цієї функції в інтервалі [- π , 0].

Функція у = sin х періодична з періодом 2π ;. Тому для побудови всього графіка цієї функції досить криву, зображену на малюнку, продовжити вліво і вправо періодично з періодом 2π .

Отримана в результаті цього крива називається синусоїдою . Вона і є графіком функції у = sin х.

Малюнок добре ілюструє всі ті властивості функції у = sin х , Які раніше були доведені нами. Нагадаємо ці властивості.

1) Функція у = sin х визначена для всіх значень х , Так що областю її визначення є сукупність всіх дійсних чисел.

2) Функція у = sin х обмежена. Всі значення, які вона приймає, укладені в інтервалі від -1 до 1, включаючи ці два числа. Отже, область зміни цієї функції визначається нерівністю -1 < у < 1. При х = π / 2 + 2k π функція приймає максимальні значення, Рівні 1, а при х = - π / 2 + 2k π - найменші значення, рівні - 1.

3) Функція у = sin х є непарною (синусоїда симетрична щодо початку координат).

4) Функція у = sin х періодична з періодом 2 π .

5) В інтервалах 2n π < x < π + 2n π (N - будь-яке ціле число) вона позитивна, а в інтервалах π + 2k π < х < 2π + 2k π (K - будь-яке ціле число) вона негативна. При х = k π функція звертається в нуль. Тому ці значення аргументу х (0; ± π ; ± 2 π ; ...) називаються нулями функції у = sin x

6) У інтервалах - π / 2 + 2n π < х < π / 2 + 2n π функція у = sin x монотонно зростає, а в інтервалах π / 2 + 2k π < х < 3π / 2 + 2k π вона монотонно убуває.

Cледует особливо звернути увагу на поведінку функції у = sin x поблизу точки х = 0 .

Наприклад, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2 ° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Разом з тим слід зазначити, що при будь-яких значеннях х

| sin x| < | x | . (1)

Дійсно, нехай радіус кола, представленої на малюнку, дорівнює 1,
a / AОВ = х.

тоді sin x= АС. але АС< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Довжина цієї дуги дорівнює, очевидно, х, Так як радіус кола дорівнює 1. Отже, при 0< х < π / 2

sin х< х.

Звідси в силу непарності функції у = sin x легко показати, що при - π / 2 < х < 0

| sin x| < | x | .

Нарешті, при x = 0

| sin x | = | x |.

Таким чином, для | х | < π / 2 нерівність (1) доведено. Насправді ж це нерівність вірно і при | x | > π / 2 в силу того, що | sin х | < 1, а π / 2 > 1

вправи

1.За графіка функції у = sin x визначити: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (-3).

2. За графіком функції у = sin x визначити, яке число з інтервалу
[ - π / 2 , π / 2 ] Має синус, рівний: а) 0,6; б) -0,8.

3. За графіком функції у = sin x визначити, які числа мають синус,
рівний 1/2.

4. Знайти наближено (без використання таблиць): a) sin 1 °; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2 ° 30 ").

Як побудувати графік функції y = sin x? Для початку розглянемо графік синуса на проміжку.

Одиничний інтервал беремо довжиною 2 клітинки зошити. На осі Oy відзначаємо одиницю.

Для зручності число π / 2 округляємо до 1,5 (а не до 1,6, як потрібно за правилами округлення). В цьому випадку відрізку довжиною π / 2 відповідають 3 клітинки.

На осі Ox відзначаємо непоодинокі відрізки, а відрізки довжиною π / 2 (через кожні 3 клітинки). Відповідно, відрізку довжиною π відповідає 6 клітинок, відрізку довжиною π / 6 - 1 клітинка.

При такому виборі одиничного відрізка графік, зображений на аркуші зошита в клітинку, максимально відповідає графіку функції y = sin x.

Складемо таблицю значень синуса на проміжку:

Отримані точки відзначимо на координатної площині:

Так як y = sin x - непарна функція, графік синуса симетричний відносно початку відліку - точки O (0; 0). З урахуванням цього факту продовжимо побудову графіка вліво, то точки -π:

Функція y = sin x - періодична з періодом T = 2π. Тому графік функції, взятий на на проміжку [-π; π], повторюється нескінченне число разів вправо і вліво.

«Йошкар-Олінскій технікум сервісних технологій»

Побудова і дослідження графіка тригонометричної функції y = sinx в табличному процесоріMS Excel

/ Методична розробка /

Йошкар - Ола

Тема. Побудова і дослідження графіка тригонометричної функціїy = sinx в табличному процесорі MS Excel

Тип уроку- інтегрований (отримання нових знань)

цілі:

дидактична мета - дослідити поведінку графіків тригонометричної функціїy= sinxв залежності від коефіцієнтів за допомогою комп'ютера

Навчальні:

1. З'ясувати зміна графіка тригонометричної функції y= sin xв залежності від коефіцієнтів

2. Показати впровадження комп'ютерних технологій у навчання математики, інтеграцію двох предметів: алгебри та інформатики.

3. Формувати навички використання комп'ютерних технологій на уроках математики

4. Закріпити навички дослідження функцій і побудови їх графіків

Розвиваючі:

1. Розвивати пізнавальний інтерес учнів до навчальних дисциплін та вміння застосовувати свої знання в практичних ситуаціях

2. Розвивати вміння аналізувати, порівнювати, виділяти головне

3. Сприяти підвищенню загального рівнярозвитку студентів

виховують :

1. Виховувати самостійність, акуратність, працьовитість

2. Виховувати культуру діалогу

Форми роботи на уроці -комбінована

Дидактичне оснащення та обладнання:

1. Комп'ютери

2. Мультимедійний проектор

4. Роздатковий матеріал

5. Слайди презентації

Хід уроку

I. Організація початку уроку

· Привітання студентів та гостей

· Настрій на урок

II. Цілепокладання і актуалізація теми

Для дослідження функції та побудови її графіка потрібно багато часу, доводиться виконувати багато громіздких обчислень, це не зручно, на допомогу приходять комп'ютерні технології.

Сьогодні ми навчимося будувати графіки тригонометричних функцій в середовищі табличного процесора MS Excel 2007.

Тема нашого заняття «Побудова і дослідження графіка тригонометричної функції y= sinxв табличному процесорі »

З курсу алгебри нам відома схема дослідження функції та побудови її графіка. Давайте згадаємо як це зробити.

слайд 2

Схема дослідження функції

1. Область визначення функції (D (f))

2. Область значення функції Е (f)

3. Визначення парності

4. Періодичність

5. Нулі функції (y = 0)

6. Проміжки знакопостоянства (у> 0, y<0)

7. Проміжки монотонності

8. Екстремуми функції

III. Первинне засвоєння нового навчального матеріалу

Відкрийте програму MS Excel 2007.

Побудуємо графік функції y = sin x

Побудова графіків в табличному процесоріMS Excel 2007

Графік цієї функції будемо будувати на відрізку xЄ [-2π; 2π]

Значення аргументу будемо брати з кроком , щоб графік вийшов більш точним.

Т. к. Редактор працює з числами, переведемо радіани в числа, знаючи що П ≈ 3,14 . (Таблиця перекладу в раздаточном матеріалі).

1. Знаходимо значення функції в точці х = -2П. Для інших значення аргументу відповідні значення функції редактор обчислює автоматично.

2. Тепер у нас є таблиця зі значеннями аргументу і функції. За допомогою цих даних ми повинні побудувати графік цієї функції за допомогою майстра діаграм.

3. Для побудови графіка треба виділити потрібний діапазон даних, рядки зі значеннями аргументу і функції

4..jpg "width =" 667 "height =" 236 src = ">

Висновки записуємо в зошит (Слайд 5)

Висновок. Графік функції виду у = sinx + k виходить з графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення уздовж осі ОУ на k одиниць

Якщо k> 0, то графік зміщується вгору на k одиниць

якщо k<0, то график смещается вниз на k единиц

Побудова і дослідження функції видуу =k* Sinx,k- const

Завдання 2.на робочому Лісте2в одній системі координат побудуйте графіки функцій y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вид графіка.

(Щоб заново не ставити значення аргументу давайте скопіюємо наявні значення. Тепер вам треба задати формулу, і по отриманій таблиці побудувати графік.)

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом з учнями поведінку графіка тригонометричної функції в залежності від коефіцієнтів. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif "width =" 16 "height =" 41 src = "> x , на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вид графіка.

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом з учнями поведінку графіка тригонометричної функції в залежності від коефіцієнтів. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg "width =" 649 "height =" 281 src = ">

Висновки записуємо в зошит (Слайд 11)

Висновок. Графік функції виду у = sin (x + k) виходить з графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення уздовж осі ОХ на k одиниць

Якщо k> 1, то графік зміщується вправо уздовж осі ОХ

якщо 0

IV. Первинне закріплення отриманих знань

Диференційовані картки із завданням на побудову і дослідження функції за допомогою графіка

	Y = 6* Sin (x)	Y =1-2 sinх	Y =- sin(3х +)
1. Область визначення
2. область значення
3. парність
4. періодичність
5. проміжки знакопостоянства
6. проміжкимонотонності
функція зростає
функція убуває
7. екстремуми функції
мінімум
максимум

V. Організація домашнього завдання

Побудувати графік функції y = -2 * sinх + 1, досліджувати і перевірити правильність побудови в середовищі електронної таблиці Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI. рефлексія

Розтягування графіка y = sinx по осі y. Дана функція y = 3sinx. Щоб побудувати її графік, потрібно Розтягнути графік y = sinx так, щоб E (y): (-3; 3).

Картинка 7 з презентації «Побудувати графік функції»до уроків алгебри на тему «Графік функції»

Розміри: 960 х 720 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно завантажити картинку для уроку алгебри, клацніть по зображенню правою кнопкою мишки і натисніть «Зберегти зображення як ...». Для показу картинок на уроці Ви також можете безкоштовно скачати презентацію «Побудувати графік функціі.ppt» цілком з усіма картинками в zip-архіві. Розмір архіву - 327 КБ.

завантажити презентацію

Графік функції

«Побудувати графік функції» - Зміст: Розтягування графіка y = sinx по осі y. Дана функція y = 3sinx. Дана функція y = sinx + 1. Дана функція y = 3cosx. Побудуйте графік функції. Графік функції y = m * cos x. Виконав: Кадет 52 навчальної групи Левін Олексій. Зміщення графіка y = cosx по вертикалі. Щоб перейти до прикладів завдань клацніть л. кнопкою мишки.

«Система координат в просторі» - Засов закритий. Вись, широчінь, глиб. Прямокутна система координат в просторі. Координати точки в просторі. Робота М.Ешера відображає ідею введення прямокутної системи координат в просторі. Ох - вісь абсцис, Оу - вісь ординат, Оz - вісь аплікат. З Пифагором слухай сфер сонати, Атомам дли рахунок, як Демокріт.

«Координатна площина 6 клас» - У. Математика 6 клас. 1.Найдіте і запишіть координати точок A, B, C, D: О. Х. Координатна площина. -3. 1.

«Функції та їх графіки» - Приклади непарних функцій: y = x3; y = x3 + x. (Y = x3; y (1) = 13 = 1; y (-1) = (-1) 3 = -1; y (-1) = -y (1)). 3. Якщо k? 0 і b? 0, то y = kx + b. Функція визначена на множині всіх дійсних чисел. Лінійна функція виду y = kx називається прямий пропорційністю. Статечна. y = sin x. Періодичність.

«Дослідження функції» - Функцій. Дорохова Ю.А. Давайте згадаємо ... План роботи на уроці. Використовуючи схему дослідження функції виконайте завдання: п. 24; №296 (а, б), №299 (а, б). Чи знаєте ви, що ... Мета заняття: Застосування похідної. Завдання. Перевірочна робота: Виконайте усно: Для функції f (x) = х3 визначити D (f), парність, зростання, спадання.

«Зростання і спадання функції» - Зростання і спадання функцій. Познайомимося на прикладі зі зростанням та убуванням функції. В силу періодичності функції синуса доказ досить провести для відрізка [-? / 2; ? / 2]. Розглянемо ще один приклад. Якщо -? / 2? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

Всього в темі 25 презентацій