Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і мати певні властивості - прогресія. В останньому випадку кожний наступний елемент (член) послідовності можна обчислити за допомогою попереднього.

Арифметична прогресія - послідовність числових значень, в якій її сусідні члени різняться між собою на однакове число (подібним властивістю володіють всі елементи ряду, починаючи з 2-ого). Дане число - різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.

Різниця прогресії: визначення

Розглянемо послідовність, що складається з j значень A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, - послідовність, в якій a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Величина d - шукана різниця даної прогресії.

d \u003d a (j) - a (j-1).

виділяють:

• Зростаючу прогресію, в такому випадку d\u003e 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Спадну прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Різниця прогресії і її довільні елементи

Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на базі співвідношення:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, значить d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

Різниця прогресії і її перший член

Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.

Різниця прогресії і її сума

Сума прогресії - це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, але тому що a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), то S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Так, так: арифметична прогресія - це вам не іграшки :)

Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки ще не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (немає, ось так: Ооооочень!) Хочете дізнатися. Тому не буду мучити вас довгими вступами і відразу перейду до справи.

Для початку парочка прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ Sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Що спільного у всіх цих наборів? На перший погляд - нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на одне і те ж число.

Судіть самі. Перший набір - це просто йдуть підряд числа, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом стоять числами вже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно постійна. У третьому випадку взагалі коріння. Однак $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, а $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, тобто і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ \\ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).

Так ось: всі такі послідовності як раз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:

Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну і ту ж величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, на яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $ d $.

Позначення: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - сама прогресія, $ d $ - її різницю.

І відразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкована послідовність чисел: їх дозволено читати строго в тому порядку, в якому вони записані - і ніяк інакше. Переставляти і міняти місцями числа не можна.

По-друге, сама послідовність може бути як кінцевої, так і нескінченною. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати що-небудь в дусі (1; 2; 3; 4; ...) - це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще досить багато чисел. Нескінченно багато, наприклад. :)

Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими і спадними. Зростаючі ми вже бачили - той же набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади відбувають прогресій:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ Sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Добре Добре: останній приклад може здатися надто складним. Але інші, думаю, вам зрозумілі. Тому введемо нові визначення:

Визначення. Арифметична прогресія називається:

1. зростаючої, якщо кожен наступний елемент більше попереднього;
2. спадною, якщо, навпаки, кожний наступний елемент менше попереднього.

Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності - вони складаються з одного і того ж повторюваного числа. Наприклад, (3; 3; 3; ...).

Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, який знак числа $ d $, тобто різниці прогресії:

1. Якщо $ d \\ gt 0 $, то прогресія зростає;
2. Якщо $ d \\ lt 0 $, то прогресія, очевидно, зменшується;
3. Нарешті, є випадок $ d \u003d 0 $ - в цьому випадку вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) і т.д.

Спробуємо розрахувати різницю $ d $ для трьох відбувають прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть ліворуч. Виглядати це буде ось так:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ Sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Як бачимо, у всіх трьох випадках різниця дійсно вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, пора розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.

Члени прогресії і рекуррентная формула

Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:

\\ [\\ Left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ right \\) \\]

Окремі елементи цього набору називаються членами прогресії. На них так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.

Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:

\\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Коротше кажучи, щоб знайти $ n $ -й член прогресії, потрібно знати $ n-1 $ -й член і різниця $ d $. Така формула називається рекуррентной, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а по факту - всі попередні). Це дуже незручно, тому існує більш хитра формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члену і різниці:

\\ [((A) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\]

Напевно ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках і решебники. Та й в будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.

Проте пропоную трохи потренуватися.

Завдання №1. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $, якщо $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Рішення. Отже, нам відомий перший член $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ і різниця прогресії $ d \u003d -5 $. Скористаємося тільки що наведеної формулою і підставимо $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ і $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (1-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (align) \\]

Відповідь: (8; 3; -2)

От і все! Зверніть увагу: наша прогресія - спадна.

Звичайно, $ n \u003d 1 $ можна було і не підставляти - перший член нам і так відомий. Втім, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. В інших випадках все звелося до банальної арифметики.

Завдання №2. Випишіть перші три члена арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює -40, а сімнадцятий член дорівнює -50.

Рішення. Запишемо умову задачі в звичних термінах:

\\ [((A) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (align) \\ right. \\]

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (align) \\ right. \\]

Знак системи я поставив тому, що ці вимоги повинні виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ left (((a) _ (1)) + 6d \\ right) \u003d - 50 \\ left (-40 \\ right); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (align) \\]

Ось так просто ми знайшли різниця прогресії! Залишилося підставити знайдене число в будь-який з рівнянь системи. Наприклад, на початку:

\\ [\\ Begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matrix) \\]

Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (align) \\]

Готово! Завдання вирішена.

Відповідь: (-34; -35; -36)

Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яке ми виявили: якщо взяти $ n $ -й і $ m $ -й члени і відняти їх один з одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $ n-m $:

\\ [((A) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]

Просте, але дуже корисна властивість, Яке обов'язково треба знати - з його допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань по прогресу. Ось яскравий тому приклад:

Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, а її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.

Рішення. Оскільки $ ((a) _ (5)) \u003d 8,4 $, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $, а потрібно знайти $ ((a) _ (15)) $, то зауважимо наступне:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (align) \\]

Але за умовою $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14,4-8,4 \u003d 6 $, тому $ 5d \u003d 6 $, звідки маємо:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\ \\ end (align) \\]

Відповідь: 20,4

От і все! Нам не треба було складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все вирішилося буквально в пару рядків.

Тепер розглянемо інший вид завдань - на пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що якщо прогресія зростає, при цьому перший член у неї негативний, то рано чи пізно в неї з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.

При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент «в лоб», послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складені так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька листів - ми просто заснули б, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання більш швидким способом.

Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; -35,8; ...?

Рішення. Отже, $ ((a) _ (1)) \u003d - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8 $, звідки відразу знаходимо різницю:

Зауважимо, що різниця позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому дійсно в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише в тому, коли це станеться.

Спробуємо з'ясувати: до яких пір (тобто до якого натурального числа $ n $) зберігається негативність членів:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ lt 0; \\\\ & -38,5+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 2,7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot 10 \\ right. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (align) \\]

Останній рядок вимагає пояснень. Отже, нам відомо, що $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більш того: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), тому найбільший допустимий номер - це саме $ n \u003d 15 $, а ні в якому разі не 16.

Завдання №5. В арифметичній прогресії $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - 147 $. Знайдіть номер першого позитивного члена цієї прогресії.

Це була б точь-в-точь така ж завдання, як і попередня, проте нам невідомо $ ((a) _ (1)) $. Зате відомі сусідні члени: $ ((a) _ (5)) $ і $ ((a) _ (6)) $, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:

Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різниця за стандартною формулою:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (align) \\]

Тепер чинимо по аналогії з попередньою завданням. З'ясовуємо, в який момент в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (align) \\]

Мінімальна целочисленное рішення даного нерівності - число 56.

Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворого нерівності, тому варіант $ n \u003d 55 $ нас не влаштує.

Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до більш складним. Але для початку давайте вивчимо ще одне дуже корисна властивість арифметичних прогресій, яке в майбутньому заощадить нам купу часу і нерівних клітин. :)

Середнє арифметичне і рівні відступи

Розглянемо кілька послідовних членів зростаючої арифметичної прогресії $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:

Члени арифметичної прогресії на числовій прямій

Я спеціально зазначив довільні члени $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не якісь там $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ і т.д. Тому що правило, про який я зараз розповім, однаково працює для будь-яких «відрізків».

А правило дуже просте. Давайте згадаємо рекуррентную формулу і запишемо її для всіх зазначених членів:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (align) \\]

Однак ці рівності можна переписати інакше:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (align) \\]

Ну і що з того? А то, що члени $ ((a) _ (n-1)) $ і $ ((a) _ (n + 1)) $ лежать на одному і тому ж відстані від $ ((a) _ (n)) $. І ця відстань дорівнює $ d $. Те ж саме можна сказати про члени $ ((a) _ (n-2)) $ і $ ((a) _ (n + 2)) $ - вони теж віддалені від $ ((a) _ (n)) $ на однакову відстань, рівну $ 2d $. Продовжувати можна до безкінечності, але сенс добре ілюструє картинка

Члени прогресії лежать на однаковій відстані від центру

Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $ ((a) _ (n)) $, якщо відомі числа-сусіди:

\\ [((A) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Ми вивели чудове твердження: всякий член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більш того: ми можемо відступити від нашого $ ((a) _ (n)) $ вліво і вправо нема на один крок, а на $ k $ кроків - і все одно формула буде вірна:

\\ [((A) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

Тобто ми спокійно можемо знайти якесь $ ((a) _ (150)) $, якщо знаємо $ ((a) _ (100)) $ і $ ((a) _ (200)) $, тому що $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На перший погляд може здатися, що даний факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточені» під використання середнього арифметичного. Погляньте:

Завдання №6. Знайдіть всі значення $ x $, при яких числа $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ і $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ є послідовними членами арифметичної прогресії (в зазначеному порядку).

Рішення. Оскільки зазначені числа є членами прогресії, для них виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент $ x + 1 $ можна виразити через сусідні елементи:

\\ [\\ Begin (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x \u003d 2 $ і $ x \u003d -3 $ - це і є відповіді.

Відповідь: -3; 2.

Завдання №7. Знайдіть значення $$, при яких числа $ 1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ складають арифметичну прогресію (в зазначеному порядку).

Рішення. Знову висловимо середній член через середнє арифметичне сусідніх членів:

\\ [\\ Begin (align) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ Cdot 2 \\ right .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Знову квадратне рівняння. І знову два кореня: $ x \u003d 6 $ і $ x \u003d 1 $.

Відповідь: 1; 6.

Якщо в процесі виконання завдання у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, тобто чудовий прийом, що дозволяє перевірити: чи правильно ми розв'язали це завдання?

Припустимо, в завданню №6 ми отримали відповіді -3 і 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідне умова і подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ і $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), які повинні складати арифметичну прогресію. Підставами $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ Begin (align) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ End (align) \\]

Отримали числа -54; -2; 50, які відрізняються на 52 - безсумнівно, це арифметична прогресія. Те ж саме відбувається і при $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ Begin (align) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ End (align) \\]

Знову прогресія, але з різницею 27. Таким чином, задача вирішена вірно. Бажаючі можуть перевірити другу задачу самостійно, але відразу скажу: там теж все вірно.

В цілому, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, Який теж необхідно запам'ятати:

Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першого і останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.

В майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись на умову задачі. Але перш ніж ми займемося подібним «конструюванням», слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з уже розглянутого.

Угруповання і сума елементів

Давайте ще раз повернемося до числової осі. Відзначимо там кілька членів прогресії, між якими, можливо. варто дуже багато інших членів:

На числовій прямій відзначені 6 елементів

Спробуємо висловити «лівий хвіст» через $ ((a) _ (n)) $ і $ d $, а «правий хвіст» через $ ((a) _ (k)) $ і $ d $. Це дуже просто:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (align) \\]

А тепер зауважимо, що дорівнюють наступні суми:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ End (align) \\]

Простіше кажучи, якщо ми розглянемо в якості старту два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $ S $, а потім почнемо крокувати від цих елементів в протилежні сторони (назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми будемо натикатися, теж будуть рівні $ S $. Найбільш наочно це можна представити графічно:

Однакові відступи дають однакові суми

розуміння даного факту дозволить нам вирішувати завдання принципово більш високого рівня складності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:

Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, в якій перший член дорівнює 66, а твір другого і дванадцятого членів є найменшим з можливих.

Рішення. Запишемо все, що нам відомо:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ End (align) \\]

Отже, нам невідома різниця прогресії $ d $. Власне, навколо різниці і буде будуватися все рішення, оскільки твір $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ можна переписати таким чином:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right). \\ End (align) \\]

Для тих, хто в танку: я виніс загальний множник 11 з другої дужки. Таким чином, шукане твір представляє собою квадратичну функцію щодо змінної $ d $. Тому розглянемо функцію $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, тому що якщо розкрити дужки, то ми отримаємо:

\\ [\\ Begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]

Як бачимо, коефіцієнт при старшому слагаемом дорівнює 11 - це позитивне число, тому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:

графік квадратичної функції - парабола

Зверніть увагу: мінімальне значення ця парабола приймає в своїй вершині з абсцисою $ ((d) _ (0)) $. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсциссу за стандартною схемою (є ж формула $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), але куди розумніше буде помітити, що шукана вершина лежить на осі симетрії параболи, тому точка $ ((d) _ (0)) $ рівновіддалена від коренів рівняння $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $:

\\ [\\ Begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (align) \\]

Саме тому я не особливо поспішав розкривати дужки: в початковому вигляді коріння було знайти дуже і дуже просто. Отже, абсциса дорівнює середньому арифметичному чисел -66 і -6:

\\ [((D) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Що дає нам виявлене число? При ньому необхідну твір приймає найменше значення (ми, до речі, так і не порахували $ ((y) _ (\\ min)) $ - від нас це не потрібно). Одночасно це число є різницею вихідної прогресії, тобто ми знайшли відповідь. :)

Відповідь: -36

Завдання №9. Між числами $ - \\ frac (1) (2) $ і $ - \\ frac (1) (6) $ вставте три числа так, щоб вони разом з даними числами склали арифметичну прогресію.

Рішення. По суті, нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо відсутні числа змінними $ x $, $ y $ і $ z $:

\\ [\\ Left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ right \\ Відзначимо, що число $ y $ є «серединою» нашої послідовності - воно рівновіддаленим і від чисел $ x $ і $ z $, і від чисел $ - \\ frac (1) (2) $ і $ - \\ frac (1) ( 6) $. І якщо з чисел $ x $ і $ z $ ми в

Наразі не можемо отримати $ y $, то ось з кінцями прогресії інша справа. Згадуємо про середнє арифметичне: Тепер, знаючи $ y $, ми знайдемо залишилися числа. Зауважимо, що $ x $ лежить між числами $ - \\ frac (1) (2) $ і тільки що знайденим $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. Тому

Аналогічно розмірковуючи, знаходимо час, що залишився число:

Готово! Ми знайшли всі три числа. Запишемо їх у відповіді в тому порядку, в якому вони повинні бути вставлені між вихідними числами.

Відповідь: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте декілька чисел, які разом з даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого і останнього з вставлених чисел дорівнює 56.

Рішення. Ще більш складна задача, яка, однак, вирішується за тією ж схемою, що і попередні - через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо, скільки конкретно чисел треба вставити. Тому покладемо для опредлённості, що після вставки за все буде рівно $ n $ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. В цьому випадку шукана арифметична прогресія подана в вигляді:

\\ [\\ Left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \\ right \\) \\]

\\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Зауважимо, однак, що числа $ ((a) _ (2)) $ і $ ((a) _ (n-1)) $ виходять з стоять по краях чисел 2 і 42 шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що

\\ [((A) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Але тоді записане вище вираз можна переписати так:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ right) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (align) \\]

Знаючи $ ((a) _ (3)) $ і $ ((a) _ (1)) $, ми легко знайдемо різницю прогресії:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ right) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (align) \\]

Залишилося лише знайти інші члени:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (align) \\]

{!LANG-f227e9a71ac20230d21648d99bdddf9d!}

Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності - число 42. Разом потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстові завдання з прогресіями

На закінчення хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися бляхою. Проте саме такі завдання трапляються в ОГЕ і ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.

Завдання №11. Бригада виготовила в січні 62 деталі, а в кожен наступний місяць виготовляла на 14 деталей більше, ніж в попередній. Скільки деталей виготовила бригада в листопаді?

Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписане по місяцях, буде являти собою зростаючу арифметичну прогресію. причому:

\\ [\\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (align) \\]

Листопад - це 11-й місяць в році, тому нам потрібно знайти $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((A) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Отже, в листопаді буде виготовлено 202 деталі.

Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а в кожен наступний місяць вона переплітала на 4 книги більше, ніж в попередній. Скільки книг переплела майстерня в грудні?

Рішення. Все теж саме:

$ \\ Begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (align) $

Грудень - це останній, 12-й місяць в році, тому шукаємо $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((A) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Це і є відповідь - 260 книг буде переплетено в грудні.

Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» по арифметичній прогресії ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного уроку, де ми вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі і дуже корисні слідства з неї.

арифметичною прогресією називають послідовність чисел (членів прогресії)

В якій кожний наступний член відрізняється від попереднього на сталь доданок, яке ще називають кроком або різницею прогресії.

Таким чином, задаючи крок прогресії і її перший член можна знайти будь-який її елемент по формулі

Властивості арифметичної прогресії

1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера є середнім арифметичним від попереднього і наступного члена прогресії

Зворотне твердження також вірне. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії дорівнює члену, який стоїть між ними, то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.

Також по властивості арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної

У цьому легко переконатися, якщо розписати складові праворуч від знака рівності

Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень в задачах.

2) Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою

Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях і досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.

3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частина послідовності починаючи з k -го її члена, то в Вам знадобиться наступна формула суми

4) Практичний інтерес представляє пошук суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k -го номера. Для цього використовуйте формулу

На цьому теоретичний матеріал закінчується і переходимо до вирішення поширених на практиці завдань.

Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4; 7; ...

Рішення:

Згідно з умовою маємо

Визначимо крок прогресії

За відомою формулою знаходимо сороковий член прогресії

Приклад 2. Арифметична прогресія задана третім і сьомим її членом. Знайти перший член прогресії і суму десяти.

Рішення:

Розпишемо задані елементи прогресії за формулами

Від другого рівняння віднімемо найперше, в результаті знайдемо крок прогресії

Знайдене значення підставляємо в будь-який з рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії

Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії

Чи не застосовуючи складних обчислень ми знайшли всі шукані величини.

Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником і одним з її членів. Знайти перший член прогресії, суму 50 її членів починаючи з 50 і суму 100 перших.

Рішення:

Запишемо формулу сотого елемента прогресії

і знайдемо перший

На основі першого знаходимо 50 член прогресії

Знаходимо суму частини прогресії

і суму перших 100

Сума прогресії дорівнює 250.

Приклад 4.

Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:

а3-а1 \u003d 8, а 2 + а4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

Рішення:

Запишемо рівняння через перший член і крок прогресії і визначимо їх

Отримані значення підставляємо в формулу суми для визначення кількості членів в сумі

виконуємо спрощення

і вирішуємо квадратне рівняння

Із знайдених двох значень умови задачі підходить тільки число 8. Таким чином сума перших восьми членів прогресії становить 111.

Приклад 5.

Розв'язати рівняння

1 + 3 + 5 + ... + х \u003d 307.

Рішення: Дане рівняння є сумою арифметичній прогресії. Випишемо перший її член і знайдемо різницю прогресії

Завдання по арифметичній прогресії існували вже в далекій давнині. Вони з'являлися і вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичне зміст, - папірусі Райнд (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: роздягли десять заходів хліба на десять чоловік, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму заходи ».

І в математичних працях стародавніх греків зустрічаються витончені теореми, що мають відношення до арифметичної прогресії. Так, Гипсикл Олександрійський (II століття склав чимало цікавих завдань і додав чотирнадцяту книгу до «Початкам» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне число членів, сума членів 2-ї половини більше суми членів 1-ої на квадрату 1 / 2 числа членів ».

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай літерами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 ... читається: «a 1-е», «a 2-е», «a 3-тє» і так далі ).

Послідовність може бути нескінченною або кінцевої.

А що ж таке арифметична прогресія? Під нею розуміють одержувану складанням попереднього члена (n) з одним і тим же числом d, що є різницею прогресії.

якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючої.

Арифметична прогресія називається кінцевої, якщо враховуються тільки кілька її перших членів. При дуже великій кількості членів це вже нескінченна прогресія.

Здається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:

an \u003d kn + b, при цьому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірно твердження, що є зворотним: якщо послідовність задається подібної формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

1. Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена і наступного.
2. Зворотне: якщо, починаючи з 2-ого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто якщо виконується умова, то дана послідовність - арифметична прогресія. Це рівність одночасно є і ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичним властивістю прогресії.
   Точно так же вірна теорема, яка відображає цю властивість: послідовність - арифметична прогресія тільки в тому випадку, якщо це рівність вірно для будь-якого з членів послідовності, починаючи з 2-ої.

Характеристичне властивість для чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am \u003d ak + al, якщо n + m \u003d k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член знайти можна, застосовуючи наступну формулу:

Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти потрібно сорок п'ятого член цієї прогресії. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

Формула an \u003d ak + d (n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-тий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі 1-і n членів кінцевої прогресії) обчислюється таким чином:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Якщо відомі і 1-ий член, то для обчислення зручна інша формула:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Сума арифметичній прогресії, яка містить n членів, підраховується таким чином:

Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань і вихідних даних.

Натуральний ряд будь-яких чисел, таких як 1,2,3, ..., n, ...- найпростіший приклад арифметичної прогресії.

Крім арифметичної прогресії існує ще і геометрична, яка має свої властивості і характеристиками.

Початковий рівень

Арифметична прогресія. Детальна теорія з прикладами (2019)

числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:
Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно (в нашому випадку їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі до останнього, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний тільки для одного числа послідовності. Іншими словами, в послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і -ве число) завжди одне.
Число з номером називається -ним членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо який-небудь буквою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тієї ж буквою з індексом, рівним номеру цього члена:.

У нашому випадку:

Припустимо, у нас є числова послідовність, В якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
наприклад:

і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» був введений римським автором Боецієм ще в 6 столітті і розумівся в ширшому сенсі, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися стародавні греки.

Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з одним і тим же числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається.

Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які ні:

a)
b)
c)
d)

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
є арифметичною прогресією - b, c.
Не є арифметичною прогресією - a, d.

Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її -го члена. існує два способу його знаходження.

1. Спосіб

Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до -го члена прогресії. Добре, що підсумовувати нам залишилося небагато - всього три значення:

Отже, -ої член описаної арифметичної прогресії дорівнює.

2. Спосіб

А що якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при додаванні чисел.
Зрозуміло, математики придумали спосіб, при якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивися уважно до намальованому малюнку ... Напевно ти вже помітив якусь закономірність, а саме:

Наприклад, подивимося, з чого складається значення -го члена даної арифметичної прогресії:


Іншими словами:

Спробуй самостійно знайти таким способом значення члена даної арифметичної прогресії.

Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:

Зверни увагу, що у тебе вийшло точно таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «обмежити доступ» цю формулу - наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:

Рівняння арифметичної прогресії.

Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.

зростаючі - прогресії, в яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
наприклад:

убутні - прогресії, в яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
наприклад:

Виведена формула застосовується в розрахунку членів як в зростаючих, так і в відбувають членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це на практиці.
Нам дана арифметична прогресія, яка складається з таких чисел: Перевіримо, яке вийде -е число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:

Так як, то:

Таким чином, ми переконалися, що формула діє як в порядку спадання, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти -ої і -ий члени цієї арифметичної прогресії.

Порівняємо отримані результати:

Властивість арифметичної прогресії

Ускладнити завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш рахувати по вже відомій тобі формулою:

Нехай, а, тоді:

Абсолютно вірно. Виходить, ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена \u200b\u200bмаленькими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам в умови дані числа? Погодься, є ймовірність помилитися в обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити цю задачу в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.

Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як, формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
, Тоді:

• попередній член прогресії це:
• наступний член прогресії це:

Підсумуємо попередній і наступний члени прогресії:

Виходить, що сума попередніх і наступних членів прогресії - це подвоєне значення члена прогресії, що знаходиться між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх і послідовних значеннях, необхідно скласти їх і розділити на.

Все вірно, ми отримали це ж число. Закріпимо матеріал. Порахуй значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.

Молодець! Ти знаєш про прогресії майже все! Залишилося дізнатися тільки одну формулу, яку за легендами без праці вивів для себе один з найвидатніших математиків всіх часів, «король математиків» - Карл Гаусс ...

Коли Карлу Гаусу було 9 років, учитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці таку задачу: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один з його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому, більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат ...

Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку без праці помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з -ти членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні необхідно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаусс?

Зобразимо задану нам прогресію. Придивися уважно до виділених числах і спробуй зробити з ними різні математичні дії.


Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їх суми дорівнюють

А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар в заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар, ми отримуємо, що загальна сума дорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

У деяких завданнях нам невідомий -й член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити в формулу суми, формулу -го члена.
Що у тебе вийшло?

Молодець! Тепер повернемося до задачі, яку задали Карлу Гаусу: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.

Скільки у тебе вийшло?
У Гаусса вийшло, що сума членів дорівнює, а сума членів. Так ти вирішував?

Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Диофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди щосили користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипет і наймасштабнішу будівництво того часу - будівництво піраміди ... На малюнку представлена \u200b\u200bодна її сторона.

Де ж тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно і знайди закономірність в кількості піщаних блоків в кожному ряді стіни піраміди.


Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться блокових цегли. Сподіваюся, ти не будеш вважати, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичній прогресії?

В даному випадку прогресія виглядає наступним чином:.
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставами в останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).

Спосіб 1.

Спосіб 2.

А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яке є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму -них членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у основі піраміду не побудуєш, а ось з? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаних цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:

Тренування

завдання:

1. Маша приходить в форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань на. Скільки разів буде присідати Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
2. Яка сума всіх непарних чисел, що містяться в.
3. Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шар містить на одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо підставою кладки служать колод.

відповіді:

1. Визначимо параметри арифметичній прогресії. В даному випадку
   (Тижні \u003d днів).

   відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати раз в день.

2. перше непарне число, Останнє число.
   Різниця арифметичної прогресії.
   Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження -ного члена арифметичної прогресії:

   В числах дійсно міститься непарних чисел.
   Наявні дані підставимо в формулу:

   відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться в, дорівнює.

3. Згадаймо завдання про піраміди. Для нашого випадку, a, так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купці шарів, тобто.
   Підставами дані в формулу:

   відповідь:У кладці знаходиться колод.

Підведемо підсумки

1. - числова послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючій і зменшення.
2. Формула знаходження -го члена арифметичної прогресії записується формулою -, де - кількість чисел в прогресії.
3. Властивість членів арифметичної прогресії - - де - кількість чисел в прогресії.
4. Суму членів арифметичної прогресії можна знайти двома способами:
   
   , Де - кількість значень.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

числова послідовність

Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке - друге і так далі, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.

числова послідовність - це безліч чисел, кожному з яких можна привласнити унікальний номер.

Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність деякий натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не дамо більше ніякому іншому числу з даної множини.

Число з номером називається -им членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо який-небудь буквою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тієї ж буквою з індексом, рівним номеру цього члена:.

Дуже зручно, якщо -ий член послідовності можна поставити яке-небудь формулою. Наприклад, формула

задає послідовність:

А формула - таку послідовність:

Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).

Формула n-го члена

Рекуррентной ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися -ий член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:

Щоб знайти за такою формулою, наприклад, -ий член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, нехай. тоді:

Ну що, ясно тепер якась формула?

У кожному рядку ми до додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:

Тепер набагато зручніше, правда? перевіряємо:

Виріши сам:

В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена і знайти сотий член.

Рішення:

Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:

(Вона ж тому й називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).

Отже, формула:

Тоді сотий член дорівнює:

Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?

За легендою, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, вважав цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого і останнього числа дорівнює, сума другого і передостаннього - теж, сума третього і 3-го з кінця - теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,

Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

приклад:
Знайдіть суму всіх двозначних чисел, кратних.

Рішення:

Перше таке число - це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, питання, що цікавлять нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.

Формула-го члена для цієї прогресії:

Скільки членів у прогресії, якщо всі вони повинні бути двозначними?

Дуже легко: .

Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:

Відповідь:.

Тепер виріши сам:

1. Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо в перший день він пробіг км м?
2. Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж в попередній. У перший день він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати км? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
3. Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на одну і ту ж суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо, виставлений на продаж за рублів, через шість років був проданий за рублів.

відповіді:

1. Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію, і визначити її параметри. В даному випадку, (тижні \u003d днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
   .
   відповідь:
2. Тут дано:, треба знайти.
   Очевидно, потрібно використовувати ту ж формулу суми, що і в попередній задачі:
   .
   Підставляємо значення:

   Корінь, очевидно, не підходить, значить, відповідь.
   Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули -го члена:
   (Км).
   відповідь:

3. Дано:. Знайти:.
   Простіше не буває:
   (Руб).
   відповідь:

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Це числова послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.

Арифметична прогресія буває зростаючою () і спадної ().

наприклад:

Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

записується формулою, де - кількість чисел в прогресії.

Властивість членів арифметичної прогресії

Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени - де - кількість чисел в прогресії.

Сума членів арифметичної прогресії

Існує два способи знаходження суми:

Де - кількість значень.

Де - кількість значень.