Як визначається послідовність. Числова послідовність

Послідовність

Послідовність- це набірелементів деякої множини:

• для кожного натурального числа можна вказати елемент даної множини;
• це число є номером елемента та позначає позицію даного елемента в послідовності;
• для будь-якого елемента (члена) послідовності можна вказати наступний за ним елемент послідовності.

Таким чином, послідовність виявляється результатом послідовноговибору елементів заданої множини. І якщо будь-який набір елементів є кінцевим, і говорять про вибірку кінцевого об'єму, то послідовність виявляється вибіркою нескінченного об'єму.

Послідовність за своєю природою – відображення, тому його не слід змішувати з безліччю, яка «пробігає» послідовність.

У математиці розглядається безліч різних послідовностей:

• тимчасові ряди як числової, так і не числової природи;
• послідовності елементів метричного простору
• послідовності елементів функціонального простору
• послідовності станів систем управління та автоматів.

Метою вивчення різноманітних послідовностей є пошук закономірностей, прогноз майбутніх станів та генерація послідовностей.

Визначення

Нехай задано кілька елементів довільної природи. | Будь-яке відображення безлічі натуральних чисел у задану множину називається послідовністю(Елементів множини).

Образ натурального числа , а саме, елемент , називається - їм членомабо елементом послідовності, А порядковий номер члена послідовності - її індексом.

Пов'язані визначення

• Якщо взяти зростаючу послідовність натуральних чисел, то її можна розглядати як послідовність індексів деякої послідовності: якщо взяти елементи вихідної послідовності з відповідними індексами (взятими із зростаючої послідовності натуральних чисел), то можна знову отримати послідовність, яка називається підпослідовністюзаданої послідовності.

Коментарі

• У математичному аналізі важливим поняттям є межа числової послідовності.

Позначення

Послідовності виду

прийнято компактно записувати за допомогою круглих дужок:

або

іноді використовуються фігурні дужки:

Допускаючи деяку вільність мови, можна розглядати і кінцеві послідовності виду

,

які є образ початкового відрізка послідовності натуральних чисел.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

Дивитися що таке "Послідовність" в інших словниках:

НАСЛІДНІСТЬ. У І. В. Кірєєвського у статті «Дев'ятнадцяте століття» (1830) читаємо: «Від самого падіння Римської імперії до наших часів просвітництво Європи представляється нам у поступовому розвитку та в безперервній послідовності» (т. 1, с.… … Історія слів

НАСЛІДНІСТЬ, послідовності, мн. ні, дружин. (Книжковий). відволікати. сущ. до послідовного. Послідовність якихось явищ. Послідовність у зміні припливів та відливів. Послідовність у міркуваннях. Тлумачний словникУшакова. Тлумачний словник Ушакова

Постійність, наступність, логічність; ряд, прогресія, висновок, серія, низка, низка, ланцюг, ланцюжок, каскад, естафета; завзятість, обґрунтованість, набір, методичність, розстановка, стрункість, завзятість, підпослідовність, зв'язок, черга, … Словник синонімів

НАСЛІДНІСТЬ, числа або елементи, розташовані в організованому порядку. Послідовності можуть бути кінцевими (що мають обмежену кількість елементів) або нескінченними як повна послідовність натуральних чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Науково-технічний енциклопедичний словник

НАСЛІДНІСТЬ, сукупність чисел (математичних виразів тощо; кажуть: елементів будь-якої природи), занумерованих натуральними числами. Послідовність записується як x1, x2,..., xn,... чи коротко (xi) … Сучасна енциклопедія

Одне з основних понять математики. Послідовність утворюється елементами будь-якої природи, занумерованими натуральними числами 1, 2, ..., n, ... і записується у вигляді x1, x2, ..., xn, ... або коротко (xn) … Великий Енциклопедичний словник

Послідовність- НАСЛІДНІСТЬ, сукупність чисел (математичних виразів тощо; кажуть: елементів будь-якої природи), занумерованих натуральними числами. Послідовність записується як x1, x2, ..., xn, ... чи коротко (xi). … Ілюстрований енциклопедичний словник

НАСЛІДНІСТЬ, і, дружин. 1. див. Послідовний. 2. У математиці: нескінченний упорядкований набір чисел. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

Англ. succession/sequence; ньому. Konsequenz. 1. Порядок проходження одного за іншим. 2. Одне з основних понять математики. 3. Якість правильної логічного мислення, при кром міркування вільно від внутрішніх протиріч по одному й тому ... ... Енциклопедія соціології

Послідовність- «функція, визначена на множині натуральних чисел, безліч значень якої може складатися з елементів будь-якої природи: чисел, точок, функцій, векторів, множин, випадкових величин та ін, занумерованих натуральними числами … Економіко-математичний словник

Книги

• Вибудовуємо послідовність. Кошенята. 2-3 роки, . Гра "Кошенята". Вибудовуємо послідовність. 1 рівень. Серія" Дошкільна освітаВеселі кошенята вирішили позасмагати на пляжі! Але ніяк не можуть поділити місця. Допоможи їм розібратися!

Вида y= f(x), xПро N, де N- множина натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y=f(n) або y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Значення y 1 ,y 2 ,y 3 ,… називають відповідно першим, другим, третім, … членами послідовності.

Наприклад, для функції y= n 2 можна записати:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способи завдання послідовностей.Послідовності можна задавати різними способами, серед яких особливо важливими є три: аналітичний, описовий і рекурентний.

1. Послідовність задана аналітично, якщо задана її формула n-го члена:

y n=f(n).

приклад. y n= 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описовий Метод завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність.

Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, мова йдепро стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….

Приклад 2. "Послідовність складається з усіх простих чисел у порядку зростання". Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності даному прикладіважко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.

3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere- Повертатися. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкові члени послідовності.

приклад 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4,….

Тут y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можна бачити, що отриману у цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: y n= 4n – 1.

приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….

Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають у математиці, оскільки вона має низку цікавих властивостей та додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі - на ім'я італійського математика 13 ст. Задати послідовність Фібоначчі рекурентно дуже легко, а аналітично – дуже важко. n-е число Фібоначчі виражається через його порядковий номер наступною формулою.

На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, що задає послідовність одних лише натуральних чисел, містяться квадратне коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.

Властивості числових послідовностей.

Числова послідовність – окремий випадок числової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються й у послідовностей.

Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

приклад 1. y 1 = 1; y n= n 2 – зростаюча послідовність.

Отже, вірна наступна теорема (характеристичне властивість арифметичної прогресії). Числова послідовність є арифметичною тоді і лише тоді, коли кожен її член, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

приклад. При якому значенні xчисла 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 утворюють кінцеву арифметичну прогресію?

Згідно з характерною властивістю, задані висловлювання повинні задовольняти співвідношення

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Вирішення цього рівняння дає x= –5,5. При цьому значення xзадані вирази 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 приймають, відповідно, значення -14,5, –31,5, –48,5. Це – арифметична прогресія, Її різниця дорівнює -17.

Геометрична прогресія.

Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне й те число q, називають геометричною прогресією, а число q– знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія- Це числова послідовність ( b n), задана рекурентно співвідношеннями

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bі q –задані числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Приклад 1. 2, 6, 18, 54, ... - Зростаюча геометрична прогресія b = 2, q = 3.

Приклад 2. 2, -2, 2, -2, … – геометрична прогресія b= 2,q= –1.

Приклад 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресія b= 8, q= 1.

Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q> 1, і спадної, якщо b 1 > 0, 0 q

Одне з очевидних властивостей геометричної прогресії у тому, що й послідовність є геометричної прогресією, те й послідовність квадратів, тобто.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює b 1 2 , а знаменник – q 2 .

Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд

b n= b 1 q n– 1 .

Можна одержати формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

нехай S n –сума її членів, тобто.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Приймається, що q№ 1. Для визначення S nзастосовується штучний прийом: виконуються деякі геометричні перетворення виразу S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Таким чином, S n q= S n +b n q – b 1 і, отже,

Це формула з умми n членів геометричної прогресіїдля випадку, коли q≠ 1.

При q= 1 формулу можна виводити окремо, очевидно, що у разі S n= a 1 n.

Геометрична прогресія названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попереднього і наступного членів. Справді, оскільки

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

отже, b n 2= b n- 1 b n+ 1 і вірна наступна теорема (характеристичне властивість геометричної прогресії):

числова послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів.

Межа послідовності.

Нехай є послідовність ( c n} = {1/n}. Цю послідовність називають гармонійною, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнім гармонійним між попереднім і наступним членами. Середнє геометричне чисел aі bє число

В іншому випадку послідовність називається розбіжною.

Спираючись на це визначення, можна, наприклад, довести наявність межі A = 0у гармонійної послідовності ( c n} = {1/n). Нехай ε – скільки завгодно мале позитивне число. Розглядається різниця

Чи існує таке N, що для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /N? Якщо взяти як Nбудь-яке натуральне число, що перевищує 1/ε , то для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /n ≤ 1/N ε , що і потрібно було довести.

Довести наявність межі в тій чи іншій послідовності іноді дуже складно. Найпоширеніші послідовності добре вивчені і наводяться в довідниках. Є важливі теореми, дозволяють зробити висновок наявність межі в даної послідовності (і навіть обчислити його), спираючись на вже вивчені послідовності.

Теорема 1. Якщо послідовність має межу, вона обмежена.

Теорема 2. Якщо послідовність монотонна і обмежена, вона має межу.

Теорема 3. Якщо послідовність ( a n} має межу A, то послідовності ( ca n}, {a n+ с) та (| a n|} мають межі cA, A +c, |A| відповідно (тут c- Довільне число).

Теорема 4. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі B pa n + qb n) має межу pA+ qB.

Теорема 5. Якщо послідовності ( a n) та ( b n)мають межі, рівні Aі Bвідповідно, то послідовність ( a n b n) має межу AB.

Теорема 6. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі Bвідповідно, і, крім того, b n ≠ 0 та B ≠ 0, то послідовність ( a n / b n) має межу A/B.

Ганна Чугайнова

Числовою послідовністю називається числова функція, визначена на множині натуральних чисел .

Якщо функцію задати на безлічі натуральних чисел
, то безліч значень функції буде лічильним і кожному номеру
ставиться у відповідність число
. У цьому випадку кажуть, що задано числова послідовність. Число називають елементамиабо членами послідовності, а число - загальним або -М Членом послідовності. Кожен елемент має наступний елемент
. Це пояснює вживання терміна "послідовність".

Задають послідовність зазвичай або перерахуванням її елементів або вказівкою закону, за яким обчислюється елемент з номером , тобто. зазначенням її формули ‑го члена .

приклад.Послідовність
може бути задана формулою:
.

Зазвичай послідовності позначаються так: і т.п., де в дужках вказується її формула -го члена.

приклад.Послідовність
‑це послідовність

Безліч всіх елементів послідовності
позначається
.

Нехай
і
‑ дві послідовності.

З уммойпослідовностей
і
називають послідовність
, де
, тобто.

Р азністюцих послідовностей називають послідовність
, де
, тобто.

Якщо і ‑ постійні, то послідовність
,
називають лінійною комбінацією послідовностей
і
, тобто.

Творомпослідовностей
і
називають послідовність з -м членом
, тобто.
.

Якщо
, то можна визначити приватне
.

Сума, різниця, твір та приватна послідовність
і
називаються їх алгебраїчнимикомпозиціями.

приклад.Розглянемо послідовності
і
де. Тоді
, тобто. послідовність
має всі елементи, що дорівнюють нулю.

,
, тобто. всі елементи твору та приватного рівні
.

Якщо викреслити деякі елементи послідовності
так, щоб залишилося безліч елементів, то отримаємо іншу послідовність, звану підпослідовністюпослідовності
. Якщо викреслити кілька перших елементів послідовності
, то нову послідовність називають залишком.

Послідовність
обмеженазверху(знизу), якщо безліч
обмежено зверху (знизу). Послідовність називають обмеженоюякщо вона обмежена зверху і знизу. Послідовність обмежена тоді й тільки тоді, коли обмежений її залишок.

Сходові послідовності

Кажуть що послідовність
сходиться, якщо існує число таке, що для будь-кого
існує таке
, що для будь-кого
, виконується нерівність:
.

Число називають межею послідовності
. При цьому записують
або
.

приклад.
.

Покажемо, що
. Задамо будь-яке число
. Нерівність
виконується для
, такого, що
, що визначення збіжності виконується для числа
. Значить,
.

Іншими словами
означає, що всі члени послідовності
із досить великими номерами мало відрізняється від числа , тобто. починаючи з деякого номера
(при) елементи послідовності знаходяться в інтервалі
, який називається околиці точки .

Послідовність
, межа якої дорівнює нулю (
, або
при
) називається нескінченно малою.

Щодо нескінченно малих справедливі твердження:

Сума двох нескінченно малих є нескінченно малою;

Твір нескінченно малої на обмежену величину є нескінченно малою.

Теорема .Для того щоб послідовність
мала межу, необхідно і достатньо щоб
, де - Постійна; – нескінченно мала .

Основні властивості послідовностей, що сходяться:

Властивості 3. і 4. узагальнюються на випадок будь-якого числа послідовностей, що сходяться.

Зазначимо, що при обчисленні межі дробу, чисельник і знаменник якого є лінійними комбінаціями ступенів , межа дробу дорівнює межі відносини старших членів (тобто членів, що містять найбільші ступені чисельника та знаменника).

Послідовність
називається:

Усі такі послідовності називають монотонними.

Теорема . Якщо послідовність
монотонно зростає і обмежена зверху, вона сходиться і її межа дорівнює її точної верхньої грані; якщо послідовність зменшується і обмежена знизу, вона сходиться до своєї точної нижньої грані.

Вступ………………………………………………………………………………3

1.Теоретична частина……………………………………………………………….4

Основні поняття та терміни…………………………………………………....4

1.1 Види послідовностей…………………………………………………...6

1.1.1.Обмежені та необмежені числові послідовності…..6

1.1.2.Монотонність послідовностей…………………………………6

1.1.3.Безкінечно великі і нескінченно малі послідовності…….7

1.1.4.Властивості нескінченно малих послідовностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся і розбіжні послідовності та його властивості..…9

1.2 Межа послідовності………………………………………………….11

1.2.1.Теореми про межі послідовностей……………………………15

1.3.Арифметична прогресія…………………………………………………17

1.3.1. Властивості арифметичної прогресії…………………………………..17

1.4 Геометрична прогресія…………………………………………………..19

1.4.1. Властивості геометричної прогресії…………………………………….19

1.5. Числа Фібоначчі……………………………………………………………..21

1.5.1 Зв'язок чисел Фібоначчі з іншими галузями знань…………………….22

1.5.2. Використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи…………………………………………………………………………….23

2. Власні дослідження…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список використаної литературы…………………………………………....31

Вступ.

Числові послідовності це дуже цікава та пізнавальна тема. Ця тема зустрічається у завданнях підвищеної складності, які пропонують учням автори дидактичних матеріалів, у завданнях математичних олімпіад, вступних іспитів у Вищі Навчальні закладита на ЄДІ. Мені цікаво дізнатися зв'язок математичних послідовностей з іншими галузями знань.

Ціль дослідницької роботи: Розширити знання про числову послідовність

1. Розглянути послідовність;

2. Розглянути її властивості;

3. Розглянути аналітичне завдання послідовності;

4. Продемонструвати її роль розвитку інших галузей знань.

5. Продемонструвати використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи.

1. Теоретична частина.

Основні поняття та терміни.

Визначення. Числова послідовність – функція виду y = f(x), x N, де N – безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y = f(n) або y1, y2,…, yn,…. Значення y1, y2, y3, називають відповідно першим, другим, третім, ... членами послідовності.

Число a називається межею послідовності x = (x n ), якщо довільного заздалегідь заданого скільки завгодно малого позитивного числа ε знайдеться таке натуральне число N, що з усіх n>N виконується нерівність |x n - a|< ε.

Якщо число a є межа послідовності x = (x n ), то кажуть, що x n прагне a і пишуть

.

Послідовність (yn) називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Послідовність (yn) називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду.

Арифметична прогресія- це послідовність (an), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює сумі попереднього члена і одного і того ж числа d називають арифметичною прогресією, а число d - різницею арифметичної прогресії.

Таким чином, арифметична прогресія – це числова послідовність (an), задана рекурентно співвідношеннями

a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрична прогресія- це послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те число q.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність (bn), задана рекурентно співвідношеннями

b1 = b, bn = bn-1q (n = 2, 3, 4 ...).

1.1 Види послідовностей.

1.1.1 Обмежені та необмежені послідовності.

Послідовність (bn) називають обмеженою зверху, якщо є таке число М, що з будь-якого номера n виконується нерівність bn≤ M;

Послідовність (bn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число М, що для будь-якого номера n виконується нерівність bn≥ М;

Наприклад:

1.1.2 Монотонність послідовностей.

Послідовність (bn) називають незростаючою (неубутньою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Послідовність (bn) називають спадною (зростаючою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn> bn+1 (bn

Убутні і зростаючі послідовності називають строго монотонними, незростаючі-монотонними у сенсі.

Послідовності, обмежені одночасно зверху та знизу, називаються обмеженими.

Послідовність всіх цих типів носять загальну назву-монотонні.

1.1.3 Нескінченно великі та малі послідовності.

Нескінченно мала послідовність - це числова функція або послідовність, яка прагне нуля.

Послідовність an називається нескінченно малою, якщо

Функція називається нескінченно малою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)=0.

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)=0 або ℓimx→-∞ f(x)=0

Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a) = 0.

Нескінченно велика послідовність-числова функція чи послідовність, яка прагне нескінченності.

Послідовність an називається нескінченно великою, якщо

ℓimn→0 an=∞.

Функція називається нескінченно великою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функція називається нескінченно великою на нескінченності, якщо

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ або ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Властивості нескінченно малих послідовностей.

Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числанескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена.

Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю.

Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі.

Якщо (xn) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, існує послідовність (1/xn) , яка є нескінченно малою. Якщо ж все ж таки (xn) містить нульові елементи, то послідовність (1/xn) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно малою.

Якщо (an) - нескінченно мала послідовність, яка містить нульових членів, існує послідовність (1/an), яка є нескінченно великий. Якщо ж все ж таки (an) містить нульові елементи, то послідовність (1/an) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно великий.

1.1.5 Схожі та розбіжні послідовності та їх властивості.

Сходящаяся послідовність- це послідовність елементів множини Х, що має межу в цьому множині.

Розбіжна послідовність- це послідовність, яка не є схожою.

Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю.

Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності.

Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться.

Якщо послідовність (xn) сходиться, але не є дуже малою, то, починаючи з деякого номера, визначена послідовність (1/xn), яка є обмеженою.

Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить.

Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней.

Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої.

Лекція 8. Числові послідовності.

Визначення8.1. Якщо кожному значенню ставиться у відповідність за певним законом деяке речове числоx n , то безліч занумерованих речових чисел

– скорочений запис
, (8.1)

будемо називатичисловою послідовністю чи просто послідовністю.

Окремі числа x n  елементи чи члени послідовності (8.1).

Послідовність може бути задана формулою загального члена, наприклад:
або
. Послідовність може задаватися неоднозначно, наприклад, послідовність –1, 1, –1, 1, … можна задати формулою
або
. Іноді використовують рекурентний спосіб завдання послідовності: задаються перші кілька членів послідовності та формула для обчислення наступних елементів. Наприклад, послідовність, що визначається першим елементом і рекурентним співвідношенням
(арифметична прогресія). Розглянемо послідовність, яка називається поряд Фібоначчі: задаються перші два елементи x 1 =1, x 2 = 1 і рекурентне співвідношення
за будь-якого
. Отримуємо послідовність чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. Для цього знайти формулу загального члена досить важко.

8.1. Арифметичні дії із послідовностями.

Розглянемо дві послідовності:

(8.1)

Визначення 8.2. Назвемотвором послідовності
на число mпослідовність
. Запишемо так:
.

Назвемо послідовність сумою послідовностей (8.1) та (8.2), запишемо так: ; аналогічно
назвемо різницею послідовностей (8.1) та (8.2);
 твором послідовностей (8.1) та (8.2);  приватним послідовностей (8.1) та (8.2) (усі елементи
).

8.2. Обмежені та необмежені послідовності.

Сукупність всіх елементів довільної послідовності
утворює певну числову множину, яка може бути обмежена зверху (знизу) і для якої справедливі визначення, аналогічні введеним для дійсних чисел.

Визначення 8.3. Послідовність
називаєтьсяобмеженою зверху , якщо; М  верхня грань.

Визначення 8.4. Послідовність
називаєтьсяобмеженою знизу , якщо;m  нижня грань.

Визначення 8.5.Послідовність
називаєтьсяобмеженою якщо вона обмежена і зверху, і знизу, тобто якщо існують два речові числа М іm такі, що кожен елемент послідовності
задовольняє нерівностей:

, (8.3)

mіM– нижня та верхня грані
.

Нерівності (8.3) називають умовою обмеженості послідовності
.

Наприклад, послідовність
обмежена, а
необмежена.

♦ Твердження 8.1.
є обмеженою .

Доведення.Виберемо
. Відповідно до визначення 8.5 послідовність
буде обмеженою. ■

Визначення 8.6. Послідовність
називаєтьсянеобмеженою якщо для будь-якого позитивного (як завгодно великого) речовинного числа А знайдеться хоча б один елемент послідовностіx n , що задовольняє нерівності:
.

Наприклад, послідовність 1, 2, 1, 4, …, 1, 2 n, …  необмежена, т.к. обмежена лише знизу.

8.3. Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності.

Визначення 8.7. Послідовність
називаєтьсянескінченно великий , якщо для будь-якого (завгодно великого) речовинного числа А знайдеться номер
такий, що за всіх
елементиx n
.

☼ Зауваження 8.1.Якщо послідовність нескінченно велика, вона необмежена. Але не слід думати, що будь-яка необмежена послідовність є нескінченно великою. Наприклад, послідовність
не обмежена, але є нескінченно великий, т.к. умова
не виконується при всіх парних n. ☼

 Приклад 8.1.
є нескінченно великий. Візьмемо будь-яке число А>0. З нерівності
отримуємо n>A. Якщо взяти
, то для всіх n>Nвиконуватиметься нерівність
, тобто згідно з визначенням 8.7, послідовність
нескінченно велика. 

Визначення 8.8. Послідовність
називаєтьсянескінченно малою , якщо для
(скільки завгодно малого ) знайдеться номер
такий, що за всіх
елементи цій послідовності задовольняють нерівності
.

 Приклад 8.2.Доведемо, що послідовність нескінченно мала.

Візьмемо будь-яке число
. З нерівності
отримуємо . Якщо взяти
, то для всіх n>Nвиконуватиметься нерівність
. 

♦ Твердження 8.2. Послідовність
є нескінченно великий при
і нескінченно малої при
.

Доведення.

1) Нехай спочатку
:
, де
. За формулою Бернуллі (приклад 6.3, п. 6.1)
. Фіксуємо довільне позитивне число Аі виберемо за ним номер Nтакий, щоб була справедлива нерівність:

,
,
,
.

Так як
, то за якістю добутку речових чисел за всіх

.

Таким чином, для
знайдеться такий номер
, що за всіх


- нескінченно велика при
.

2) Розглянемо випадок
,
(при q=0 маємо тривіальний випадок).

Нехай
, де
, за формулою Бернуллі
або
.

Фіксуємо
,
і виберемо
такий, щоб

,
,
.

Для

. Вкажемо такий номер N, що за всіх

, тобто при
послідовність
нескінченно мала. ■

8.4. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.

♦ Теорема 8.1.Сума

і

Доведення.Фіксуємо ;
– нескінченно мала

,

– нескінченно мала

. Виберемо
. Тоді при

,
,
. ■

♦ Теорема 8.2. Різниця
двох нескінченно малих послідовностей
і
є нескінченно мала послідовність.

Для доказитеореми досить використовувати нерівність. ■

Слідство.Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

♦ Теорема 8.3.Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Доведення.
– обмежена,
- Безмежно мала послідовність. Фіксуємо ;
,
;
: при
справедливо
. Тоді
. ■

♦ Теорема 8.4.Будь-яка нескінченно мала послідовність є обмеженою.

Доведення.Фіксуємо Нехай деяке число. Тоді
для всіх номерів nщо означає обмеженість послідовності. ■

Слідство. Добуток двох (і будь-якого кінцевого числа) нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

♦ Теорема 8.5.

Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності
рівні одному й тому ж числуc, то з = 0.

Доведеннятеореми проводиться методом від протилежного, якщо позначити
. ■

♦ Теорема 8.6. 1) Якщо
- нескінченно велика послідовність, то, починаючи з деякого номераn, визначено приватне двох послідовностей
і
, Що являє собою нескінченно малу послідовність.

2) Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності
відмінні від нуля, то приватне двох послідовностей
і
є нескінченно більшою послідовністю.

Доведення.

1) Нехай
- Безкінечно велика послідовність. Фіксуємо ;
або
при
. Таким чином, за визначенням 8.8 послідовність – нескінченно мала.

2) Нехай
- Безмежно мала послідовність. Припустимо, що всі елементи
відмінні від нуля. Фіксуємо А;
або
при
. За визначенням 8.7 послідовність нескінченно велика. ■