Багатогранник який складається з двох плоских багатокутників. Многограннік- це тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників
багатогранник
багатогранник- це таке тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників.
багатогранник називається опуклим
багатогранник називається опуклим , Якщо він розташований по одну сторону кожного плоского багатокутника на його поверхні.
Евклід (імовірно 330- 277 до н.е.) - математик Олександрійської школи Стародавньої Греції, автор першого дійшов до нас трактату з математики «Начала» (в 15 книгах)
бічними гранями.
Призма-багатогранник, який складається з двох плоских багатокутників, що лежать в різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих многокутників.Багатокутники Ф і Ф1, що лежать в паралельних площинах, називають підставами призми, а інші грані - бічними гранями.
Поверхня призми, таким чином, складається з двох рівних багатокутників (підстав) і паралелограма (бічних граней). Розрізняють призми трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д. в залежності від числа вершин підстави.
Якщо бічне ребро призми перпендикулярно площині її заснування, то таку призму називають прямий ; якщо бічне ребро призми НЕ перпендикулярно площині її заснування, то таку призму називають похилій . У прямої призми бічні грані - прямокутники.
Підстави призми рівні.
Підстави призми рівні.
У призми підстави лежать в паралельних площинах.
У призми бічні ребра паралельні і рівні.
Висотою призми називається відстань між площинами її основ.
Виявляється, що призма може бути не тільки геометричним тілом, а й художнім шедевром.Іменно призма стала основою картин Пікассо, Брака, Грісса і т.д.
Виявляється, що сніжинка може прийняти форму шестигранної призми, але це буде залежати від температури повітря.
У III столітті до н. е. був побудований маяк, щоб кораблі могли благополучно минути рифи на шляху в александрійську бухту. Вночі їм допомагало в цьому відображення язиків полум'я, а днём- стовп диму. Це був перший в світі маяк, і простояв він 1500 років.
Маяк був побудований на маленькому острові Фарос в Середземному морі, біля берегів Олександрії. На його будівництво пішло 20 років, а завершений він був близько 280 року до н.е.
У XIV столітті маяк був знищений землетрусом. Його уламки використовували при будівництві військового форту. Форт не раз перебудовувався і досі стоїть на місці першого в світі маяка.
Мавсол був правителем Карий. Столицею області був Галікарнас. Мавсол одружився на своїй сестрі Артемізії. Він вирішив побудувати гробницю для себе і своєї цариці. Мавсол мріяв про величний пам'ятник, який би нагадував світу про його багатство і могутність. Він помер до закінчення робіт над гробницею. Керувати будівництвом продовжила Артемизия. Гробниця була побудована в 350 році до н. е. Вона була названа мавзолеєм на ім'я царя.
Попіл царственої подружжя зберігався в золотих урнах в усипальниці в основі будівлі. Ряд кам'яних левів вартував це приміщення. Сама споруда нагадувало грецький храм, оточений колонами і статуями. На вершині будівлі знаходилася ступінчаста піраміда. На висоті 43 м над землею її вінчала скульптурне зображення колісниці, запряженій кіньми. На ній, ймовірно, стояли статуї царя і цариці.
Через вісімнадцять століть землетрус зруйнував Мавзолей дощенту. Ще триста років пройшло, перш ніж археологи приступили до розкопок. У 1857 році всі знахідки були перевезені в Британський музей в Лондоні. Тепер на місці, де колись був Мавзолей, залишилася лише жменька каменів.
кристали.
Існують не тільки геометричні форми, створені руками человека. багато і в самій пріроде.Воздействіе на вигляд земної поверхнітаких природних факторів, як вітер, вода, сонячне світло, досить стихійно і носить безладний характер.Однако піщані дюни, галька на морському березі, кратер погаслого вулкана мають, як правило, геометрично правильні форми.В землі іноді знаходять камені такої форми, як ніби їх хтось ретельно випилював, шліфував, поліровал.Ето - кристали.
параллелепипедом.
Якщо основа призми є паралелограм, то він називається параллелепипедом.
Моделями прямокутного паралелепіпеда служать:
класна кімната
Виявляється, що кристали кальциту, скільки їх не дробу на більш дрібні частини, завжди розпадаються на осколки, які мають форму паралелепіпеда.
Міські будівлі найчастіше мають форму многогранніков.Как правило, це звичайні параллелепіпеди.І лише несподівані архітектурні рішення прикрашають міста.
1.Чи є призма правильною, якщо її ребра рівні?
а) так; в) немає. Обгрунтуйте свою відповідь.
2.Висота правильної трикутної призми дорівнює 6 см. Сторона основи дорівнює 4 см. Знайдіть площу повної поверхні цієї призми.
3. Площі двох бічних граней похилій трикутної призми дорівнюють 40 і 30 см2. Кут між цими гранями прямий. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
4. У паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 проведені перетину A1BC і CB1D1. У якому відношенні ці площини ділять діагональ AC1.
1) тетраедр, який має 4 грані, 4 вершини, 6 ребер;
2) куб - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер;
3) октаедр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;
4) додекаедр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;
5) ікосаедр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.
Фалеса Мілетського, засновника ионийской Піфагора Самоський
Вчені і філософи Стародавній Греціїсприйняли і переробили досягнення культури і науки Стародавнього Сходу. Фалес, Піфагор, Демокріт, Евдокс та ін. Їздили в Єгипет і Вавилон для вивчення музики, математики та астрономії. Не випадково зачатки грецької геометричній науки пов'язані з іменем Фалеса Мілетського, засновника ионийскойшколи. Іонійці, що населяли територію, яка межувала з східними країнами, Першими запозичили знання Сходу і стали їх розвивати. Вчені іонійської школи вперше піддали логічній обробці і систематизували математичні відомості, запозичені у стародавніх східних народів, особливо у вавилонян. Фалесу, голові цієї школи, Прокл та інші історики приписують чимало геометричних відкриттів. про ставлення Піфагора Самоськийдо геометрії Прокл пише в своєму коментарі до "Початкам" Евкліда наступне: "Він вивчав цю науку (т. е. геометрію), виходячи від перших її підстав, і намагався отримувати теореми за допомогою чисто логічного мислення". Прокл приписує Піфагору, крім відомої теореми про квадраті гіпотенузи, ще побудова п'ятьох правильних багатогранників:
тіла Платона
тіла Платона -це опуклі багатогранники, всі грані яких правильні багатокутники. Всі багатогранні кути правильного багатогранника конгруентний. Як це випливає вже з підрахунку суми плоских кутів при вершині, опуклих правильних багатогранників не більш п'яти. Зазначеним нижче шляхом можна довести, що існує саме п'ять правильних багатогранників (це довів Евклід). Вони - правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр і ікосаедр.
октаедр (Рис.3).
октаедр -восьміграннік; тіло, обмежене вісьмома трикутниками; правильний октаедр обмежений вісьмома рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатогранників. (Рис.3).
додекаедр -двенадцатіграннік, тіло, обмежене дванадцятьма багатокутниками; правильний п'ятикутник; один з п'яти правильних багатогранників . (Рис.4).
ікосаедр -двадцатіграннік, тіло, обмежене двадцятьма багатокутниками; правильний ікосаедр обмежений двадцятьма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатогранників. (Рис.5).
Достовірних відомостей про життя і наукової діяльності Піфагора не збереглося. Йому приписується створення вчення про подібність фігур. Він, ймовірно, був серед перших учених, які розглядали геометрію не як практичну і прикладну дисципліну, а як абстрактну логічну науку.
Грані Додекаедр є правильними п'ятикутниками. Діагоналі ж правильного п'ятикутника утворюють так званий зірчастий п'ятикутник - фігуру, яка служила емблемою, розпізнавальним знаком для учнів Піфагора. Відомо, що піфагорейський союз був одночасно філософською школою, політичною партієюі релігійним братством. Згідно з легендою, один піфагорієць захворів на чужині і не міг перед смертю розплатитися з доглядають за ним господарем будинку. Останній намалював на стіні свого будинку зірчастий п'ятикутник. Побачивши через кілька років цей знак, інший мандрівний піфагорієць поцікавився про те, що трапилося у господаря і щедро його винагородив.
У школі Піфагора було відкрито існування несумірних величин, т. Е. Таких, відношення між якими неможливо виразити ніяким цілим або дробовим числом. Прикладом може служити відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони, рівне Ц2. Число це не є раціональним (т. Е. Цілим або відношенням двох цілих чисел) і називається ірраціональним, тобто нераціональним (від латинського ratio - відношення).
тетраедр (Рис.1).
тетраедр -четирехграннік, всі грані якого трикутники, тобто трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатокутників. (Рис.1).
Куб або правильний гексаедр (Рис.2).
тетраедр -четирехграннік, всі грані якого трикутники, тобто трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатокутників. (Рис.1).
тетраедр -четирехграннік, всі грані якого трикутники, тобто трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма рівносторонніми трикутниками; один з п'яти правильних багатокутників. (Рис.1).
Куб або правильний гексаедр - правильна чотирикутна призма з рівними ребрами, обмежена шістьма квадратами. (Рис.2).
піраміда
піраміда-многограннік, який складається з плоского многоугольніка- основа піраміди, точки, що не лежать в площині підстави-вершини піраміди і всіх відрізків, що з'єднують вершину піраміди з точками основи
визначення . Піраміда, основа якої - правильний багатокутник і вершина проектується в його центр, називається правильною.
На малюнку зображена правильна шестикутна піраміда.
На малюнку зображені п'ятикутна піраміда SABCDEі її розгортка. Трикутники, що мають спільну вершину, називають бічними гранямипіраміди; загальну вершину бічних граней - вершиноюпіраміди; багатокутник, якому не належить ця вершина, - підставоюпіраміди; ребра піраміди, сходяться в її вершині, - бічними ребрамипіраміди. Висотапіраміди - це відрізок перпендикуляра, проведеного через її вершину до площині підстави, з кінцями у вершині і на площині основи піраміди. На малюнку відрізок SO- висота піраміди.
Серед чудових грецьких вчених V - IV ст. до н.е., які розробляли теорію обсягів, були Демокріт з Абдери і Евдокс Кнідський.
Евклід не застосовує терміна "обсяг". Для нього термін "куб", наприклад, означає і обсяг куба. В ХI книзі "Почав" викладені серед інших і теореми такого змісту.
1. Паралелепіпеди з однаковими висотами і рівновеликими підставами рівновеликі.
2. Ставлення обсягів двох паралелепіпедів з рівними висотами дорівнює відношенню площ їх підстав.
3. У рівновеликих паралелепіпедах площі підстав обернено пропорційні висот.
Теореми Евкліда відносяться тільки до порівняння обсягів, так як безпосереднє обчислення обсягів тіл Евклід, ймовірно, вважав справою практичних посібників з геометрії. У творах прикладного характеру Герона Олександрійського є правила для обчислень об'єму куба, призми, паралелепіпеда і інших просторових фігур.
Обсяги зернових комор та інших споруд у вигляді кубів, призм і циліндрів єгиптяни і вавилоняни, китайці та індійці обчислювали шляхом множення площі основи на висоту. Однак древньому Сходу були відомі в основному тільки окремі правила, знайдені дослідним шляхом, якими користувалися для знаходження обсягів для площ фігур. У більш пізній час, коли геометрія сформувалася як наука, була знайдена спільна підхід до обчислення обсягів багатогранників.
Призма, основа якої - паралелограм, називається параллелепипедом.
Відповідно до визначення паралелепіпед - це чотирикутна призма, всі грані якої - паралелограма. Паралелепіпеди, як і призми, можуть бути прямимиі похилими. На малюнку 1 зображено похилий паралелепіпед, а на малюнку 2 прямою паралелепіпед.
Прямий паралелепіпед, підставою якого служить прямокутник, називають прямокутним параллелепипедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані - прямокутники. Моделями прямокутного паралелепіпеда служать класна кімната, цегла, сірникова коробка.
Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальний кінець, називають його вимірами. Наприклад, є сірникові коробки з вимірюваннями 15, 35, 50 мм. Куб - прямокутний паралелепіпед з рівними вимірами. Всі шість граней куба - рівні квадрати.
Розглянемо деякі властивості паралелепіпеда.
Теорема. Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
З теореми безпосередньо випливають важливі властивості паралелепіпеда:
1. Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл. 2. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні
геометричні тіла
Вступ
У стереометрії вивчаються фігури в просторі, які називаються геометричними тілами.
Подання про геометричні тілах дають оточуючі нас предмети. На відміну від реальних предметів геометричні тіла є уявними об'єктами. наочно геометричне тілотреба уявляти собі як частину простору, зайняту матерією (глина, дерево, метал, ...) і обмежену поверхнею.
Всі геометричні тіла діляться на багатогранникиі круглі тіла.
багатогранники
багатогранник- це геометричне тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників.
гранямибагатогранника, називаються багатокутники, складові його поверхню.
ребрамибагатогранника, називаються сторони граней багатогранника.
вершинамибагатогранника, називаються вершини граней багатогранника.
Багатогранники діляться на опукліі неопуклі.
багатогранник називається опуклим, Якщо він весь лежить по одну сторону від будь-якої його межі.
завдання. вкажіть грані, ребраі вершиникуба зображеного на малюнку.
Опуклі багатогранники діляться на призмиі піраміди.
Призма
Призма- це багатогранник, у якого дві грані рівні і паралельні
n-угольнікі, а решта nграней - паралелограми.
Два n-угольніка називаються підставами призми, Паралелограми - бічними гранями. Сторони бічних граней і підстав називаються ребрами призми, Кінці ребер називаються вершинами призми. Бічними ребрами називаються ребра, які не належать підставах.
Багатокутники А 1 А 2 ... А n і B 1 B 2 ... B n - підстави призми.
Паралелограми А 1 А 2 B 2 B 1, ... - бічні грані.
Властивості призми:
· Підстави призми рівні і паралельні.
· Бічні ребра призми рівні і паралельні.
діагоналлю призминазивається відрізок, що з'єднує дві вершини, які не належать одній грані.
висотою призминазивається перпендикуляр, опущений з точки верхнього підстави на площину нижньої основи.
Призма називається 3-вугільної, 4-вугільної, ..., n-угольной, якщо її заснування
3-косинці, 4-косинці, ..., n-угольнікі.
прямий призмоюназивається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні підставах. Бічні грані прямої призми є прямокутниками.
похилій призмоюназивається призма, яка не є прямою. Бічні грані похилої призми є паралелограма.
правильною призмоюназивається прямапризма, у якої в підставах лежать правильні багатокутники.
площею повної поверхніпризминазивається сума площ всіх її граней.
площею бічній поверхніпризминазивається сума площ її бічних граней.
Sповн = Sпліч + 2 · Sосн
Грані багатогранника - це багатокутники, які його утворюють. Грані багатогранника - це багатокутники, які його утворюють. Ребра багатогранника - це сторони багатокутників. Ребра багатогранника - це сторони багатокутників. Вершини багатогранника - це вершини багатокутника. Вершини багатогранника - це вершини багатокутника. Діагональ багатогранника - це відрізок, що з'єднує 2 вершини, які не належать одній грані. Діагональ багатогранника - це відрізок, що з'єднує 2 вершини, які не належать одній грані.
Правильні багатогранники Якщо межі багатогранника є правильними багатокутниками з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер, то опуклий багатогранник називається правильним. Якщо межі багатогранника є правильними багатокутниками з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер, то опуклий багатогранник називається правильним.
Октаедр - це багатогранник, гранями якого є правильні трикутники і в кожній вершині сходиться 4 грані. Октаедр - це багатогранник, гранями якого є правильні трикутники і в кожній вершині сходиться 4 грані. Правильна форма алмаза - октаедр
1 варіант
1. Тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників, називається:
1. Чотирикутник 2. Багатокутник 3. Багатогранник 4. Шестиугольник
2. До многогранників відносяться:
1. Паралелепіпед 2. Призма 3. Піраміда 4. Всі відповіді вірні
3. Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать одній грані називається:
1. Діагоналлю 2. Ребром 3. Межею 4. Віссю
4. У призми бічні ребра:
1. Чи рівні 2. Симетрична 3. Рівнобіжні і рівні 4. Рівнобіжні
5. Грані паралелепіпеда не мають загальних вершин, називаються:
1. противолежащей 2. Протилежні 3. Симетричними 4. Рівними
6. Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину підстави, називається:
1. Медианой 2. Віссю 3. Діагоналлю 4. Висотою
7. Точки, що не лежать в площині основи піраміди, називаються:
1. Вершинами піраміди 2. Бічними ребрами 3. Лінійним розміром
4. Вершинами межі
8. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається:
1. Медианой 2. апофемой 3. перпендикуляр 4. Биссектрисой
9. У куба всі грані:
1. Прямокутники 2. Квадрати 3. Трапеції 4. Ромби
10. Тіло, яке складається з двох кіл і всіх відрізків, що з'єднують точки кіл називається:
1. Конусом 2. Кулею 3. Циліндром 4. Сферою
11. У циліндра утворюють:
1. Чи рівні 2. Рівнобіжні 3. Симетрична 4. Рівнобіжні і рівні
12. Підстави циліндра лежать в:
1. Однією площині 2. Рівних площинах 3. Паралельних площинах 4. Різних площинах
13. Поверхня конуса складається з:
1. Їхнім Виокремленням 2. Граней і ребер 3. Підстави і ребра 4. Підстави і бічній поверхні
14. Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається:
1. Радіусом 2. Центром 3. Віссю 4. Діаметром
15. Будь-яке перетин кулі площиною є:
1. Окружність 2. Коло 3. Сфера 4. Півколо
16. Перетин кулі діаметральної площиною називається:
1. Великим колом 2. Великий окружністю 3. Малим колом 4. Окружністю
17. Коло конуса називається:
1. Вершиною 2. Площиною 3. Межею 4. Підставою
18. Підстави призми:
1. Рівнобіжні 2. Чи рівні 3. Перпендикулярні 4. Не рівні
19. Площею бічної поверхні призми називається:
1. Сума площ бічних багатокутників
2. Сума площ бічних ребер
3. Сума площ бічних граней
4. Сума площ підстав
20. Перетинання діагоналей паралелепіпеда є його:
1. Центром 2. Центром симетрії 3. Лінійним розміром 4. Точкою перетину
21. Радіус основи циліндра 1,5 см, висота 4 см. Знайти діагональ осьового перерізу.
1. 4,2 см. 2. 10 см. 3. 5 см.
0 . Чому дорівнює діаметр основи, якщо утворює дорівнює 7 см?
1. 7 см. 2. 14 см. 3. 3,5 см.
23. Висота циліндра дорівнює 8 см, радіус 1 см. Знайти площу осьового перерізу.
1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .
24. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 15 см і 12 см, висота 4 см. Чому дорівнює утворює конуса?
1. 5 см 2. 4 см 3. 10 см
Багатогранник І ТІЛА ОБЕРТАННЯ
2 варіант
1. Вершини багатогранника позначаються:
1. а, в, с, d... 2. А, В, С, D ... 3. ab, cd, ac, ad... 4. АВ, СВ, А D, СD ...
2. Багатогранник, який складається з двох плоских багатокутників, суміщених паралельним переносом, називається:
1. Пірамідою 2. Призмою 3. Циліндром 4. паралелепіпеда
3. Якщо бічні ребра призми перпендикулярні основі, то призма є:
1. Похилій 2. Правильною 3. Прямий 4. Опуклою
4. Якщо в основі призми лежить паралелограм, то вона є:
1. Чи правильною призмою 2. паралелепіпеда 3. Правильним многоугольником
4. Пірамідою
5. Багатогранник, який складається з плоского багатокутника, точки і відрізків з'єднують їх, називається:
1. Конусом 2. Пірамідою 3. Призмою 4. Кулею
6. Відрізки, що з'єднують вершину піраміди з вершинами основи, називаються:
1. Сторонами 2. Сторонами 3. Бічними ребрами 4. Діагоналями
7. Трикутна піраміда називається:
1. Чи правильною пірамідою 2. тетраедрами 3. Трикутної пірамідою 4. Похилій пірамідою
8. До правильним многогранників не відноситься:
1. Куб 2. Тетраедр 3. Ікосаедр 4. Піраміда
9. Висота піраміди є:
1. Віссю 2. Медианой 3. перпендикуляр 4. апофемой
10. Відрізки, що з'єднують точки кіл кругів, називаються:
1. Сторонами циліндра 2. чином циліндра 3. Висота циліндра
4. перпендикуляр циліндра
1. Віссю циліндра 2. Висотою циліндра 3. Радіусом циліндра
4. Ребром циліндра
12. Тіло, яке складається з точки, кола і відрізків з'єднують їх, називається:
1. Пірамідою 2. Конусом 3. Кулею 4. Циліндром
13. Тіло, яке складається з усіх точок простору, називається:
1. Сферою 2. Кулею 3. Циліндром 4. півсфери
14. Кордон кулі називається:
1. Сферою 2. Кулею 3. Перерізом 4. Окружністю
15. Лінія перетину двох сфер є:
1. Коло 2. Півколо 3. Окружність 4. Перетин
16. Перетин сфери називається:
1. Кругом 2. Великий окружністю 3. Малим колом 4. Малої окружністю
17. Грані опуклого многогранника є опуклими:
1. трикутника 2. Кутами 3. багатокутника 4. шестикутник
18. Бічна поверхня призми складається з ...
1. паралелограма 2. Квадратів 3. ромб 4. Трикутників
19. Бічна поверхня прямої призми дорівнює:
1. Твору периметра на довжину грані призми
2. Твору довжини грані призми на підставу
3. Твору довжини грані призми на висоту
4. Твору периметра підстави на висоту призми
20. До правильним многогранників відносяться:
21. Радіус основи циліндра 2,5 см, висота 12см. Знайти діагональ осьового перерізу.
1. 15 см; 2. 14 см; 3. 13 см.
22. Найбільший кут між утворюють конуса 60 0 . Чому дорівнює діаметр основи, якщо утворює дорівнює 5 см?
1. 5 см; 2. 10 см; 3. 2,5 см.
23. Висота циліндра дорівнює 4 см, радіус 1 см. Знайти площу осьового перерізу.
1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .
24. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 6 см і 12 см, висота 8 см. Чому дорівнює утворює конуса?
1. 10 см; 2. 4 см; 3. 6 см.
