Чи може арифметична прогресія бути негативною. Арифметична і геометрична прогресії
завдання по арифметичної прогресії існували вже в далекій давнині. Вони з'являлися і вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.
Так, в одному з папірусів стародавнього Єгипту, Що має математичне зміст, - папірусі Райнд (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: роздягли десять заходів хліба на десять чоловік, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму заходи ».
І в математичних працях стародавніх греків зустрічаються витончені теореми, що мають відношення до арифметичної прогресії. Так, Гипсикл Олександрійський (II століття склав чимало цікавих завдань і додав чотирнадцяту книгу до «Початкам» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне число членів, сума членів 2-ї половини більше суми членів 1-ої на квадрату 1 / 2 числа членів ».
Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай літерами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 ... читається: «a 1-е», «a 2-е», «a 3-тє» і так далі ).
Послідовність може бути нескінченною або кінцевої.
А що ж таке арифметична прогресія? Під нею розуміють одержувану складанням попереднього члена (n) з одним і тим же числом d, що є різницею прогресії.
якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючої.
Арифметична прогресія називається кінцевої, якщо враховуються тільки кілька її перших членів. При дуже великій кількості членів це вже нескінченна прогресія.
Здається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:
an \u003d kn + b, при цьому b і k - деякі числа.
Абсолютно вірно твердження, що є зворотним: якщо послідовність задається подібної формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:
- Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена і наступного.
- Зворотне: якщо, починаючи з 2-ого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто якщо виконується умова, то дана послідовність - арифметична прогресія. Це рівність одночасно є і ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичним властивістю прогресії.
Точно так же вірна теорема, яка відображає цю властивість: послідовність - арифметична прогресія тільки в тому випадку, якщо це рівність вірно для будь-якого з членів послідовності, починаючи з 2-ої.
Характеристичне властивість для чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am \u003d ak + al, якщо n + m \u003d k + l (m, n, k - числа прогресії).
В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член знайти можна, застосовуючи наступну формулу:
Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти потрібно сорок п'ятого член цієї прогресії. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177
Формула an \u003d ak + d (n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-тий член за умови, якщо він відомий.
Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі 1-і n членів кінцевої прогресії) обчислюється таким чином:
Sn \u003d (a1 + an) n / 2.
Якщо відомі і 1-ий член, то для обчислення зручна інша формула:
Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.
Сума арифметичній прогресії, яка містить n членів, підраховується таким чином:
Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань і вихідних даних.
Натуральний ряд будь-яких чисел, таких як 1,2,3, ..., n, ...- найпростіший приклад арифметичної прогресії.
Крім арифметичної прогресії існує ще і геометрична, яка має свої властивості і характеристиками.
Якщо кожному натуральному числу n поставити у відповідність дійсне число a n , То говорять, що задано числову послідовність :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Отже, числова послідовність - функція натурального аргументу.
число a 1 називають першим членом послідовності , число a 2 — другим членом послідовності , число a 3 — третім і так далі. число a n називають n-м членом послідовності , А натуральне число n — його номером .
З двох сусідніх членів a n і a n +1 послідовності член a n +1 називають подальшим (по відношенню до a n ), А a n — попереднім (по відношенню до a n +1 ).
Щоб задати послідовність, потрібно вказати спосіб, що дозволяє знайти член послідовності з будь-яким номером.
Часто послідовність задають за допомогою формули n-го члена , Тобто формули, яка дозволяє визначити член послідовності по його номеру.
наприклад,
послідовність позитивних непарних чисел можна задати формулою
a n= 2n -1,
а послідовність чергуються 1 і -1 - формулою
b n = (-1) n +1 . ◄
Послідовність можна визначити рекуррентной формулою, тобто формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого, через попередні (один або кілька) члени.
наприклад,
якщо a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
якщо а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то перші сім членів числової послідовності встановлюємо в такий спосіб:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Послідовності можуть бути кінцевими і нескінченними .
послідовність називається кінцевої , Якщо вона має кінцеве число членів. послідовність називається нескінченної , Якщо вона має нескінченно багато членів.
наприклад,
послідовність двозначних натуральних чисел:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
кінцева.
Послідовність простих чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
нескінченна. ◄
послідовність називають зростаючої , Якщо кожен її член, починаючи з другого, більше ніж попередній.
послідовність називають спадної , Якщо кожен її член, починаючи з другого, менше ніж попередній.
наприклад,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - зростаюча послідовність;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - спадна послідовність. ◄
Послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають, називається монотонної послідовністю .
Монотонними послідовностями, зокрема, є зростаючі послідовності і спадні послідовності.
Арифметична прогресія
арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне і те ж число.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:
a n +1 = a n + d,
де d - деяке число.
Таким чином, різниця між наступним і попереднім членами даної арифметичної прогресії завжди постійна:
а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
число d називають різницею арифметичної прогресії.
Щоб задати арифметичну прогресію, досить вказати її перший член і різницю.
наприклад,
якщо a 1 = 3, d = 4 , То перші п'ять членів послідовності знаходимо наступним чином:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Для арифметичної прогресії з першим членом a 1 і різницею d її n
a n = a 1 + (n- 1)d.
наприклад,
знайдемо тридцятий член арифметичної прогресії
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
то, очевидно,
| a n=
| a n-1 + a n + 1
|
| 2
|
кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному попереднього і наступного членів.
числа a, b і c є послідовними членами деякої арифметичної прогресії тоді і тільки тоді, коли одне з них дорівнює середньому арифметичному двох інших.
наприклад,
a n = 2n- 7 , Є арифметичною прогресією.
Скористаємося наведеними вище твердженням. маємо:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,
a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.
отже,
| a n + 1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Відмітимо, що n -й член арифметичної прогресії можна знайти не толь через a 1 , Але і будь-який попередній a k
a n = a k + (n- k)d.
наприклад,
для a 5 можна записати
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n + k - kd,
то, очевидно,
| a n=
| a n-k
+ a n + k
|
| 2
|
будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює напівсумі рівновіддалених від нього членів цієї арифметичної прогресії.
Крім того, для будь-якої арифметичної прогресії справедливо рівність:
a m + a n \u003d a k + a l,
m + n \u003d k + l.
наприклад,
в арифметичній прогресії
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, так як
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
перших n членів арифметичної прогресії дорівнює добутку напівсуми крайніх доданків на число доданків:
Звідси, зокрема, випливає, що якщо потрібно підсумувати члени
a k, a k +1 , . . . , a n,
то попередня формула зберігає свою структуру:
наприклад,
в арифметичній прогресії 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Якщо дана арифметична прогресія, то величини a 1 , a n, d, n іS n пов'язані двома формулами:
Тому, якщо значення трьох з цих величин дані, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних в систему двох рівнянь з двома невідомими.
Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. При цьому:
- якщо d > 0 , То вона є зростаючою;
- якщо d < 0 , То вона є спадною;
- якщо d = 0 , То послідовність буде стаціонарною.
Геометрична прогресія
геометричною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
є геометричною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:
b n +1 = b n · q,
де q ≠ 0 - деяке число.
Таким чином, ставлення подальшого члена даної геометричній прогресії до попереднього є число постійне:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
число q називають знаменником геометричної прогресії.
Щоб задати геометричну прогресію, досить вказати її перший член і знаменник.
наприклад,
якщо b 1 = 1, q = -3 , То перші п'ять членів послідовності знаходимо наступним чином:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 і знаменником q її n -й член може бути знайдений за формулою:
b n = b 1 · q n -1 .
наприклад,
знайдемо сьомий член геометричної прогресії 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄
b n-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
то, очевидно,
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному (пропорційному) попереднього і наступного членів.
Так як вірно і зворотне твердження, то має місце наступне твердження:
числа a, b і c є послідовними членами деякої геометричної прогресії тоді і тільки тоді, коли квадрат одного з них дорівнює добутку двох інших, то є одна з чисел є середнім геометричним двох інших.
наприклад,
доведемо, що послідовність, яка задається формулою b n \u003d 3 · 2 n , Є геометричною прогресією. Скористаємося наведеними вище твердженням. маємо:
b n \u003d 3 · 2 n,
b n -1 \u003d 3 · 2 n -1 ,
b n +1 \u003d 3 · 2 n +1 .
отже,
b n 2 \u003d (-3 · 2 n) 2 \u003d (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
що і доводить потрібне твердження. ◄
Відмітимо, що n -й член геометричної прогресії можна знайти не тільки через b 1 , Але і будь-який попередній член b k , Для чого достатньо скористатися формулою
b n = b k · q n - k.
наприклад,
для b 5 можна записати
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
то, очевидно,
b n 2 = b n - k· b n + k
квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого дорівнює добутку рівновіддалених від нього членів цієї прогресії.
Крім того, для будь-якої геометричної прогресії справедливо рівність:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
наприклад,
в геометричній прогресії
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так як
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
перших n членів геометричної прогресії зі знаменником q ≠ 0 обчислюється за формулою:
А при q = 1 - за формулою
S n= nb 1
Зауважимо, що якщо потрібно підсумувати члени
b k, b k +1 , . . . , b n,
то використовується формула:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
наприклад,
в геометричній прогресії 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Якщо дана геометрична прогресія, то величини b 1 , b n, q, n і S n пов'язані двома формулами:
Тому, якщо значення будь-яких трьох з цих величин дані, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних в систему двох рівнянь з двома невідомими.
Для геометричній прогресії з першим членом b 1 і знаменником q мають місце такі властивості монотонності :
- прогресія є зростаючою, якщо виконано одну з наступних умов:
b 1 > 0 і q> 1;
b 1 < 0 і 0 < q< 1;
- прогресія є спадною, якщо виконано одну з наступних умов:
b 1 > 0 і 0 < q< 1;
b 1 < 0 і q> 1.
якщо q< 0 , То геометрична прогресія є знакозмінною: її члени з непарними номерами мають той же знак, що і її перший член, а члени з парними номерами - протилежний йому знак. Ясно, що знакозмінна геометрична прогресія не є монотонною.
твір перших n членів геометричної прогресії можна розрахувати за формулою:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
наприклад,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Нескінченно спадна геометрична прогресія
Нескінченно спадної геометричною прогресією називають нескінченну геометричну прогресію, модуль знаменника якої менше 1 , тобто
|q| < 1 .
Зауважимо, що нескінченно спадна геометрична прогресія може не бути спадної послідовністю. Це відповідає випадку
1 < q< 0 .
При такому знаменнику послідовність знакозмінна. наприклад,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії називають число, до якого необмежено наближається сума перших n членів прогресії при необмеженому зростанні числа n . Це число завжди звичайно і виражається формулою
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
наприклад,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Зв'язок арифметичної і геометричної прогресій
арифметична і геометрична прогресії тісно пов'язані між собою. Розглянемо лише два приклади.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
наприклад,
1, 3, 5, . . . - арифметична прогресія з різницею 2 і
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресія з знаменником 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресія з знаменником q , то
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - арифметична прогресія з різницею log aq .
наприклад,
2, 12, 72, . . . - геометрична прогресія з знаменником 6 і
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - арифметична прогресія з різницею lg 6 . ◄
Сума арифметичній прогресії.
Сума арифметичній прогресії - штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання по цій темі бувають всякі. Від елементарних до цілком солідних.
Спочатку розберемося зі змістом і формулою суми. А потім і повирішуємо. Свого задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без жодних формул. Але якщо багато, або дуже багато ... складання напружує.) У цьому випадку рятує формула.
Формула суми виглядає просто:
Розберемося, що за буковки входять в формулу. Це багато прояснить.
S n - сума арифметичної прогресії. результат складання всіх членів, з першого по останній. Це важливо. складаються саме усе члени поспіль, без пропусків і перескоків. І, саме, починаючи з першого. У завданнях, типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосування формули розчарує.)
a 1 - перший член прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першого число ряду.
a n - останній член прогресії. Останнє число ряду. Не дуже звичне назва, але, в застосуванні до суми, дуже навіть годиться. Далі самі побачите.
n - номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю складаються членів.
Визначимося з поняттям останнього члена a n. Питання на засипку: який член буде останнім, якщо дана нескінченна арифметична прогресія?)
Для впевненої відповіді потрібно розуміти елементарний сенс арифметичної прогресії і ... уважно читати завдання!)
У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися. Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує. Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.
Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена c номером n. Власне, повна назва формули виглядає ось так: сума n перших членів арифметичної прогресії. Кількість цих найперших членів, тобто n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація частенько зашифрована, так ... Але нічого, в прикладах нижче ми ці секрети пороззявляли.)
Приклади завдань на суму арифметичної прогресії.
Насамперед, корисна інформація:
Основна складність в завданнях на суму арифметичної прогресії полягає в правильному визначенні елементів формули.
Ці самі елементи укладачі завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне - не боятися. Розуміючи суть елементів, досить просто їх розшифрувати. Розберемо докладно кілька прикладів. Почнемо з завдання на основі реального ДПА.
1. Арифметична прогресія задана умовою: a n \u003d 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.
Гарне завдання. Легке.) Нам для визначення суми за формулою чого треба знати? перший член a 1, Останній член a n, Та номер останнього члена n.
Де взяти номер останнього члена n? Так там же, в умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів. Ну і з яким номером буде останній, десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Стало бути, замість a n в формулу будемо підставляти a 10, А замість n - десятку. Повторю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.
залишилося визначити a 1 і a 10. Це легко обчислюється за формулою n-го члена, яка дана в умові завдання. Не знаєте, як це зробити? Відвідайте попередній урок, без цього - ніяк.
a 1\u003d 2 · 1 - 3,5 \u003d -1,5
a 10\u003d 2 · 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:
Ось і всі справи. Відповідь: 75.
Ще завдання на основі ДПА. Трохи складніше:
2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 \u003d 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.
Відразу пишемо формулу суми:
Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за його номером. Шукаємо простий підстановкою:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54,1
Залишилося підставити всі елементи в формулу суми арифметичної прогресії і порахувати відповідь:
Відповідь: 423.
До речі, якщо в формулу суми замість a n просто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:
Наведемо подібні, отримаємо нову формулу суми членів арифметичної прогресії:
 |
Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких задачах ця формула здорово виручає, так ... Можна цю формулу запам'ятати. А можна в потрібний момент її просто вивести, як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена всяко треба пам'ятати.)
Тепер завдання у вигляді короткої шифровки):
3. Знайти суму всіх позитивних двозначних чисел, кратних трьом.
ВО як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі ... Як жити !?
Доведеться думати головою і витягувати з умови все елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двозначні числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, мабуть.) А останнє двозначне число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть ...
Кратні трьом ... Гм ... Це такі числа, які діляться на три без остачі, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться ... 12 ... ділиться! Так, дещо вимальовується. Уже можна записати ряд за умовою задачі:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звісно! Кожен член відрізняється від попереднього строго на трійку. Якщо до члена додати 2, або 4, скажімо, результат, тобто нове число, вже не поділиться без остачі на 3. До купи можна відразу і різниця арифметичної прогресії визначити: d \u003d 3. Стане в нагоді!)
Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:
А якою буде номер n останнього члена? Той, хто думає, що 99 - фатально помиляється ... Номери - вони завжди поспіль йдуть, а члени у нас - через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.
Тут два шляхи вирішення. Один шлях - для сверхтрудолюбівих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати пальчиком кількість членів.) Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто n \u003d 30.
Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:
Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови задачі все необхідне для розрахунку суми:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа в формулу і вважаємо:
Відповідь: 1665
Ще один тип популярних задачок:
4. Дана арифметична прогресія:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Знайти суму членів з двадцятого по тридцять четвертий.
Дивимося на формулу суми і ... засмучуємося.) Формула, нагадаю, вважає суму з першого члена. А в задачі потрібно вважати суму з двадцятого ... Чи не спрацює формула.
Можна, звичайно, розписати всю прогресію в ряд, так поскладати члени з 20 по 34. Але ... якось тупо і довго виходить, правда?)
Є більш елегантне рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена по дев'ятнадцятий. Друга частина - з двадцятого по тридцять чётвёртий. Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів перший частини S 1-19, Та складемо з сумою членів другої частини S 20-34, Отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Звідси видно, що знайти суму S 20-34 можна простим відніманням
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Обидві суми в правій частині вважаються з першого члена, тобто до них цілком застосовна стандартна формула суми. Приступаємо?
Витягуємо з умови задачі парметри прогресії:
d \u003d 1,5.
a 1= -21,5.
Для розрахунку сум перших 19 і перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й і 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як в завданні 2:
a 19\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5,5
a 34\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28
Залишається всього нічого. Від суми 34 членів відняти суму 19 членів:
S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262,5
Відповідь: 262,5
Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34), ми порахували то, що, здавалося б, не потрібно - S 1-19. А вже потім визначили і S 20-34, Відкинувши від повного результату непотрібне. Такий "фінт вухами" частенько рятує в злих військово-політичні завдання.)
У цьому уроці ми розглянули завдання, для вирішення яких достатньо розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.)
При вирішенні будь-якої задачі на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві головні формули з цієї теми.
Формулу n-го члена:
Ці формули відразу підкажуть, що потрібно шукати, в якому напрямку думати, щоб вирішити задачу. Допомагає.
А тепер завдання для самостійного рішення.
5. Знайти суму всіх двозначних чисел, які не діляться без остачі на три.
Круто?) Підказка прихована в зауваженні до задачі 4. Ну і задачка 3 допоможе.
6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.
Незвично?) Це рекуррентная формула. Про неї можна прочитати в попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА частенько зустрічаються.
7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати коханій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити красиво, ні в чому собі не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а в кожний наступний день витрачати на 50 рублів більше, ніж в попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?
Складно?) Чи допоможе додаткова формула з завдання 2.
Відповіді (в безладді): 7, 3240, 6.
Якщо Вам подобається цей сайт ...
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
можна познайомитися з функціями і похідними.
Або арифметична - це вид впорядкованої числової послідовності, властивості якої вивчають в шкільному курсі алгебри. У цій статті докладно розглянуто питання, як знайти суму арифметичної прогресії.
Що це за прогресія?
Перш ніж переходити до розгляду питання (як знайти суму арифметичної прогресії), варто зрозуміти, про що піде мова.
Будь-яка послідовність дійсних чисел, яка виходить шляхом додавання (віднімання) деякого значення з кожного попереднього числа, називається алгебраїчної (арифметичної) прогресією. Це визначення в перекладі на мову математики приймає форму:
Тут i - порядковий номер елемента ряду a i. Таким чином, знаючи лише одне початкове число, можна з легкістю відновити весь ряд. Параметр d у формулі називається різницею прогресії.
Можна легко показати, що для розглянутого ряду чисел виконується рівність:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Тобто для знаходження значення n-го по порядку елемента слід n-1 раз додати різницю d до першого елементу a 1.
Чому дорівнює сума арифметичної прогресії: формула
Перш ніж приводити формулу для зазначеної суми, варто розглянути простий окремий випадок. Дана прогресія натуральних чисел від 1 до 10, необхідно знайти їх суму. Оскільки членів в прогресії трохи (10), то можна вирішити задачу в лоб, тобто підсумувати всі елементи по порядку.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Варто врахувати одну цікаву річ: оскільки кожен член відрізняється від подальшого на одне і те ж значення d \u003d 1, то попарне підсумовування першого з десятим, другого з дев'ятим і так далі дасть однаковий результат. дійсно:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Як видно, витрат на пальне всього 5, тобто рівно в два рази менше, ніж число елементів ряду. Тоді множачи число сум (5) на результат кожної суми (11), ви прийдете до отриманого в першому прикладі результату.
Якщо узагальнити ці міркування, то можна записати наступний вираз:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Цей вислів показує, що зовсім не обов'язково підсумувати поспіль всі елементи, досить знати значення першого a 1 і останнього a n, а також загального числа доданків n.
Вважається, що вперше до цієї рівності додумався Гаусс, коли шукав рішення на задану його шкільним учителем задачу: підсумувати 100 перших цілих чисел.
Сума елементів від m до n: формула
Формула, наведена в попередньому пункті, дає відповідь на питання, як знайти суму арифметичної прогресії (перше елементів), але часто в задачах необхідно підсумувати ряд чисел, що стоять в середині прогресії. Як це зробити?
Відповісти на це питання найпростіше, розглядаючи наступний приклад: нехай необхідно знайти суму членів від m-го до n-го. Для вирішення завдання має бути поданий заданий відрізок від m до n прогресії у вигляді нового числового ряду. В такому поданні m-й член a m буде першим, а a n стане під номер n- (m-1). В цьому випадку, застосовуючи стандартну формулу для суми, вийде такий вираз:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Приклад використання формул
Знаючи, як знайти суму арифметичної прогресії, варто розглянути простий приклад використання наведених формул.
Нижче дана числова послідовність, слід знайти суму її членів, починаючи з 5-го і закінчуючи 12-м:
Наведені цифри свідчать, що різниця d дорівнює 3. Використовуючи вираз для n-го елемента, можна знайти значення 5-го і 12-го членів прогресії. виходить:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Знаючи значення чисел, що стоять на кінцях розглянутої алгебраїчній прогресії, А також знаючи, які номери в ряду вони займають, можна скористатися формулою для суми, отриманої в попередньому пункті. вийде:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Варто відзначити, що це значення можна було отримати інакше: спочатку знайти суму перших 12 елементів за стандартною формулою, потім обчислити суму перших 4 елементів по тій же формулі, після цього відняти від першої суми другу.
Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і мати певні властивості - прогресія. В останньому випадку кожний наступний елемент (член) послідовності можна обчислити за допомогою попереднього.
Арифметична прогресія - послідовність числових значень, в якій її сусідні члени різняться між собою на однакове число (подібним властивістю володіють всі елементи ряду, починаючи з 2-ого). Дане число - різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.
Різниця прогресії: визначення
Розглянемо послідовність, що складається з j значень A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, - послідовність , в якій a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Величина d - шукана різниця даної прогресії.
d \u003d a (j) - a (j-1).
виділяють:
- Зростаючу прогресію, в такому випадку d\u003e 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Спадну прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Різниця прогресії і її довільні елементи
Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на базі співвідношення:
a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, значить d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).
Різниця прогресії і її перший член
Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.
Різниця прогресії і її сума
Сума прогресії - це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:
S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, але тому що a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), то S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.
