Sanoq tizimidagi pozitsiyaning vazni qancha? Sanoq tizimi nima? Mutaxassislar kompyuter bilan aloqa qilish uchun qanday sanoq tizimlaridan foydalanadilar

Yaproq bilan tanishish

Listik ixtirochisi raqamlarni uzatish uchun moslama yaratdi. Uning qurilmasi xabarlarni qisqa va uzoq signallar zanjiri shaklida uzatgan. Listik o'z eslatmalarida "0" raqami bilan qisqa signalni va "1" raqami bilan uzoq signalni belgiladi. Raqamlarni uzatishda u har bir raqam uchun quyidagi kodni ishlatgan:

1 va 2 raqamlaridan iborat 12 raqami, varaqa uzatish uchun quyidagicha yozgan:

Qurilma ushbu xabarni shunday signallar zanjirida uzatdi: uchta qisqa, biri uzun, ikkisi qisqa, biri uzun va biri qisqa.

Listik tizimiga ko'ra 77 raqami quyidagicha kodlangan:

Axborot kodlash

Kodlash - bu ma'lumotni uzatish yoki saqlash uchun qulay bo'lgan shaklga tarjima qilish.

Masalan, matnlar harflar va tinish belgilari yordamida kodlanadi. Bundan tashqari, bitta yozuvni har xil tarzda kodlash mumkin: rus tilida, ingliz tilida, xitoy tilida ...

Raqamlar raqamlar yordamida kodlanadi. Biz odatlanib qolgan raqamlar arabcha raqamlar deyiladi. Rim raqamlari ba'zan ishlatiladi. Bunday holda axborotni kodlash usuli o'zgaradi. Masalan, 12 va XII bir xil sonni yozishning har xil usullari.

Musiqani maxsus belgilar - notalar yordamida kodlash mumkin. Yo'l belgilari - haydovchilar va piyodalarga piktogramma yordamida kodlangan xabar.

Do'konda tovarlar shtrix-kod bilan belgilanadi, unda mahsulot va uning ishlab chiqaruvchisi haqida ma'lumotlar mavjud.

Shtrixli - bu texnik qurilmalar tomonidan o'qilishi oson bo'lgan shaklda ma'lumotlarni kodlaydigan qora va oq chiziqlar ketma-ketligi. Bundan tashqari, shtrix-kod ostida bir qator raqamlar ko'rinishidagi kod joylashtirilishi mumkin.

Axborot har doim kod shaklida saqlanadi va uzatiladi. Siz faqat ma'lumotni tashuvchisiz saqlashingiz mumkin emas. Xuddi shu tarzda, faqat ma'lumotni saqlash va uzatish mumkin emas: u har doim qandaydir shaklga ega, ya'ni kodlangan.

Ikkilik kodlash

Ikkilik kodlash - bu nol va bitta yordamida ma'lumotni kodlash. Axborotni taqdim etishning bunday usuli kompyuter texnologiyalari uchun juda qulay ekanligini isbotladi.

Gap shundaki, kompyuterlar ikkita mumkin bo'lgan holatlarda bo'lishi mumkin bo'lgan elementlar asosida qurilgan. Bunday holatlardan biri 0 raqami, ikkinchisi 1 raqami bilan belgilanadi.

Ikkilik qurilmaning namunasi oddiy lampochkadir. Bu ikkita holatning birida bo'lishi mumkin: yoqilgan (holat 1) yoki o'chirilgan (holat 0).

Lampochkalarda elektr xotirasini yaratishingiz va unda saqlashingiz mumkin, masalan, Leafning ikkilik kodidan foydalangan holda raqamlarni.

Har bir o'nlik raqamni saqlash uchun to'rtta lampochka kerak. 6-raqamni qanday eslashingiz mumkin:

Kalitlarni kerakli joyga qo'ying - va endi choy ichamiz! Agar elektr o'chirilmasa, ma'lumot saqlanib qoladi.

Lampochka, albatta, kompyuter ishlab chiqarishga yaroqsiz: ular katta, tez yonib ketadi, qimmat (axir ularning millionlari bor) va ular atrof-muhitni juda isitadi.

Zamonaviy kompyuterlarda xotira elementi sifatida elektron qurilma, tranzistor ishlatiladi.

Transistor oqimni o'zi orqali o'tishi mumkin (holat 1) yoki yo'q (holat 0).

Har bir tranzistor alohida ishlab chiqarilgan va hajmi jihatidan muhim bo'lgan vaqt bo'lgan.

Endi tranzistorlar, boshqa elektron elementlar singari, fotosuratni bosib chiqarishga o'xshash tarzda ishlab chiqarilgan. Bittasi mikrosxem tirnoqning kattaligi, bir necha million tranzistorlar "bosib chiqarilishi" mumkin.

Listik xabarlarni kodlash uchun ishlatgan kod aslida kompyuterdagi raqamlar bilan ishlash uchun ishlatiladi.

Ikkilik kodlash bilan siz ushbu jadvalga umuman qarashingiz shart emas, lekin ikkilik kodni o'nli raqamga aylantirishning oddiy qoidasini eslang.

Kodda birinchi navbatda o'ngdagi raqam raqamni beradi
lo 1, ikkinchisida - 2, uchinchisida - 4, to'rtinchisida - 8. O'nli raqamni olish uchun raqamlar qo'shiladi. Masalan, "0101" kodi 5-raqamga tarjima qilingan (4 va 1-sonlar yig'indisi).

Xuddi shu qoidadan dekodlash uchun ham foydalanish mumkin. Masalan, 6 raqami 4 va 2 raqamlarining yig'indisi sifatida yoziladi, ya'ni uning kodi "0110" bo'ladi.

Qadimgi Bobilda ishlatilgan raqamlar tizimida raqamlar yozilgan planshet. Miloddan avvalgi 1700 yil atrofida 1945 yilda ochilgan.

Sanoq tizimlari

Barg kodi va raqamlarni kodlash

Oldingi dars sizga nol va birlik yordamida raqamlarni yozishni ko'rsatib berdi. Broshyura kodlaydi har bir raqam to'rtinchi raqam ikkilik belgilar.

Shunday qilib, Leaf kodi bo'yicha 102 raqami 12 ikkilik belgilar yordamida yoziladi:

Broshyura kodlaydi alohida-alohida har bir 10 ta raqam va buning uchun 4 ta ikkilik raqamdan foydalaniladi. Ammo to'rtta ikkilik belgilar 10 emas, balki 16 qiymatni kodlashi mumkin:

Ma'lum bo'lishicha, 6 ta yaproq kodi (bu 10 dan yarmidan ko'prog'i) behuda ketmoqda!

Iqtisodiy jihatdan kodlashni iloji bormi?

Agar kodlasangiz mumkin raqamlar emas(ulardan raqam yig'iladi), va darhol raqamlar! Shunday qilib, 102 raqami, ushbu kodlash usuli bilan, o'n ikkitada emas, balki faqat etti raqamli raqamlarda yozilishi mumkin (biz 5 ta raqamni saqlaymiz):

Ushbu kodlash ushbu qo'llanmada keltirilgan. Ammo tartibda boshlaylik.

O'nli sanoq tizimi

Ma'lumki, raqamlar raqamlardan tuzilgan va faqat o'nta raqam mavjud, bu erda:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Qanday qilib katta raqamlarni faqat o'nta raqam bilan yozish mumkin? Buni hozir ko'rib chiqamiz, lekin avval ta'rifni eslang:

Raqamlarni yozish usuli deyiladi sanoq tizimi.

Ilmiy so'z o'lik hisoblash, "hisoblash" so'zi bilan undosh allaqachon "raqamlarni yozish usuli" degan ma'noni anglatadi. Ammo matematiklarga bu ibora tuyuldi yozuv yaxshi eshitiladi. Hechqisi yo'q, biz bu ikki so'zli atamani o'zlashtiramiz! Endi bu bilan shug'ullanamiz sanoq tizimi, ular odatlanib qolgan.

253 raqamiga qarang. Ushbu yozuvda o'ngdagi birinchi raqam (u deyiladi kamida muhim raqam) "uchta bitta", beshta "besh o'nlik" degan ma'noni anglatadi va ikkitasi ( eng yuqori raqam) - "ikki yuz".

Bu chiqadi: 253 = 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Biz gaplashamiz: "Ikki yuz ellik uch"... Bu quyidagilarni qo'shish orqali olingan raqamni anglatadi:

ikki yuz (2 100 = ikki yuz),

besh o'nlab (5 10 = ellik) va

uch birlik (3 1 = uchta).

Raqam yozuvidagi raqamning qiymati bog'liqligiga ko'ramiz lavozimlar raqam joylashgan joyda. Raqamli pozitsiyalar boshqacha nomlanadi chiqindilar raqamlar.

Eng kam raqam birliklarni anglatadi:

O'ngdan ikkinchi raqam o'nlab degan ma'noni anglatadi:

O'ngdan uchinchi raqam yuzlab degan ma'noni anglatadi:

Raqamning raqamga qo'shgan hissasi o'ngdan chapga ortib borayotganini ko'ramiz.

Raqamning raqamga qo'shishi bog'liq bo'lgan sanoq tizimlari lavozimlar yozuvdagi raqamlar chaqiriladi pozitsion sanoq tizimlari.

Bizga tanish bo'lgan raqamlar tizimi, biz ko'rganimizdek, pozitsiyadir. E'tibor bering asos u 10 raqami bo'lishi kerak - ishlatilgan raqamlar soni.

Eng kichik raqam raqamdagi birliklar sonini, ikkinchisi o'ngdan - o'nliklarning sonini ko'rsatadi (1 · 10). Uchinchisi yuzlab (10 10), to'rtinchisi minglab (10 100) va boshqalarni ko'rsatadi.

Biz birliklar deb hisoblaymiz, birliklar o'nga qadar qo'shiladi (o'n birlik o'nga almashtiriladi), o'nlik - yuzlarga (o'n o'nlik yuzga almashtiriladi) va hokazo.

10 raqami odatiy sanoq tizimining asosidir, shuning uchun u shunday nomlanadi o'nlik tizim, yoki sanoq tizimi bo'yicha asos 10.

2789 raqamga qanday tarjima qilinganiga yana bir bor e'tibor bering.

Raqam qo'shib olinadi depozitlar unga kiritilgan raqamlar:

Har bir raqamning hissasi ushbu raqamni tizim radiusi bilan bog'liq bo'lgan pozitsiyaga bog'liq multiplikatorga ko'paytirish orqali olinadi.

Joylashtiruvchi multiplikatorlar quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

1. Birinchi (o'ng) pozitsiyaning ko'paytuvchisi 1 .

2. Har bir keyingi pozitsiyaning multiplikatori tizimning asosini (sonini) ko'paytirish yo'li bilan olinadi 10 ) oldingi pozitsiyaning faktori bo'yicha.

Joylashtiruvchi multiplikatorlar chaqiriladi pozitsiyalarning og'irliklari, yoki pozitsion og'irliklar.

Raqam depozitlar yig'indisiga teng. Hissa raqamning hosilasi va pozitsion vazniga teng. Birinchi pozitsiyaning vazni 1, ikkinchisi 10, uchinchisi 100 va hokazo. Ya'ni, har bir pozitsiyaning og'irligi (birinchisidan tashqari) tizimning asosiga ko'paytirib, oldingisining vaznidan olinadi. Birinchi pozitsiyaning vazni biriga teng.

Mana shunday: ular ko'paytirildi, qo'shildi va shubha qilmadilar! Biz raqamlarni yozamiz o'nta pozitsion yozuv! Nima uchun bizning tizimimizning bazasi 10 ga teng? Xo'sh, bu tushunarli: axir bizda 10 ta barmog'imiz bor, ularni tartib bilan bukish orqali hisoblash qulay.

Ammo kompyuter uchun, siz allaqachon bilganingizdek, ikkilik tizim ko'proq tanish, ya'ni pozitsion tayanch ikki.

Ikkilik sanoq tizimi

Ikkilik tizimda faqat ikkita raqam mavjud:

Agar o'nlik tizimda holat og'irliklari o'nga ko'paytirilsa, ikkilik tizimda ikkiga ko'paytiriladi:

Ko'rinib turibdiki: 1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 .

Ikkilik tizimda ular bir deb hisoblanadi, ikkitasi ikkitaga qo'shiladi (ikkitasi bitta ikkiga almashtiriladi), ikkitasi - to'rtlikka (ikkita ikkitasi bitta to'rtiga almashtiriladi) va boshqalar.

Raqam qaysi tizimda yozilganligini aniqlashtirish zarur bo'lganda, tizimning asosi unga quyida keltirilgan:

1011 2 - raqam ikkilik tizimda yozilgan.

Uni o'nlik tizimga o'tkazish qiyin emas, faqat ko'paytirish va qo'shish amallarini bajarish kerak:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 =

1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 11 10.

Ikkilikdan o'nlikka aylantirish

Ikkilik tizimda birining o'ngdagi birinchi o'rindagi hissasi 1 raqami, ikkinchisida - 2, uchinchisida - 4, to'rtinchisida - 8 va boshqalar. Nollarning hissasi, albatta, ularning pozitsiyalaridan qat'i nazar, nolga teng.

Biz quyidagi qoidani olamiz:

Ikkilikdan o‘nlikka o‘girish uchun har bir ikkilik raqam ustida uning holatining vaznini yozish va ularning ustiga yozilgan sonlarni qo‘shish kerak.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Yana bir misol, 100110 raqami:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Ikkilik konversiyaga o'nlik

O'nlikdan ikkilikka o'tkazish uchun biz avvalgi sxemani pozitsiya og'irliklari bilan ishlatamiz:

26 raqamini ikkilik tizimga o'tkazish kerak bo'lsin.Biz sxema bo'yicha ikkilik raqamning boshini (eng muhim raqam) tanlaymiz. 32 juda ko'p, shuning uchun biz 16 dan boshlaymiz:

Dastlabki raqamning bir qismi, ya'ni 16, kodlangan, 26 - 16 = 10 kodlash qoladi, 8 ni oling (mumkin bo'lgan eng katta pozitsion og'irlik):

10 - 8 = 2. kodlash qoladi, to'rttasi juda ko'p. Biz 0 holatiga yozamiz va 2 ni olamiz:

Biz butun raqamni kodladik, ya'ni oxirgi raqam nolga teng bo'lishi kerak:

Bu chiqdi: 26 10 = 11010 2.

O'nli kasrdan ikkilikka o'tkazish qoidasini quyidagicha shakllantirish mumkin.

Ushbu algoritmni yaxshiroq tushunish uchun Tester skameykasida ishlang. Tugmani bosing Qayta o'rnatish, raqamni tering. Keyin tugmani bosing Boshlang: Tester qanday qilib ikkilik konvertatsiya algoritmini bosqichma-bosqich bajarishini ko'rasiz.

Iltimos, diqqat qiling: algoritm yozuvida bajariladigan element ta'kidlangan keyin tugmachasini bosish Boshlang... Masalan, agar element ta'kidlangan bo'lsa "Raqam nolga aylanguncha takrorlang", keyin bosgandan so'ng Boshlang Sinovchi joriy raqamni tenglikni nolga tengligini tekshiradi va takrorlashni davom ettirish to'g'risida qaror qabul qiladi.

(Elektron ariza sahifasida Tester bilan ishlashni bajaring.)

Boshqa bazalar bilan pozitsion tizimlar

Vasya o'nlik tizimni yaxshi ko'radi, uning kompyuteri ikkitomonlama va qiziquvchan matematiklar turli xil pozitsion sanoq tizimlarini yaxshi ko'radilar, chunki siz har qanday sonni 2 yoki 10 ni emas, balki baza sifatida qabul qilishingiz mumkin.

Masalan, uchlik sanoq sistemasini olaylik.

Uchlik sanoq tizimi

Uchlik sanoq sistemasi, siz taxmin qilganingizdek, uchta raqamdan foydalanadi:

Uchlamchi tizimda ular birlik deb qaraladi, bittasi uchga qo'shiladi (uchtasi bitta uchtaga almashtiriladi), uchtasi - to'qqizga (uchtasi bitta to'qqizga almashtiriladi) va boshqalar.

Qizig'i shundaki, 1958 yilda N.P. Brusentsov, Setun kompyuteri Moskva davlat universitetida yaratilgan va u raqamlar bilan ikkilik emas, balki uchlik sanoq tizimida ishlagan! Suratda birinchi "Setun" prototipi ko'rsatilgan:

Uchlikdan o'nli kasrga aylantirish

Diagrammada uchlik sanoq tizimidagi raqamlarning pozitsion hissalarini belgilaylik:

O'nli tizimga o'tish uchun ularning pozitsion og'irliklari bilan ko'paytirilgan raqamlarni qo'shing (albatta, nol raqamli pozitsiyalar qoldirilishi mumkin):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Ikkilik tizimda biz ko'paytma bilan tarqatdik (1 ga ko'paytirishning ma'nosi yo'q). Uchlamchi tizimda 2 raqami mavjud, shuning uchun tegishli pozitsion og'irliklarni ikki baravar oshirish kerak.

Uchlik konversiyasiga o'nlik

196 raqamini uchlik sistemaga aylantirish kerak bo'lsin.Shema bo'yicha uchlik sonining boshini tanlaymiz. 243 juda ko'p, shuning uchun biz 81 va 2 (2 81) raqamlaridan boshlaymiz< 196):

Dastlabki raqamning bir qismi, ya'ni 162 = 2 · 81 kodlangan, u 196 - 162 = 34 kodlashda qoladi. 27 raqamini oling va 1 raqamini (2 raqami 54 ni beradi, bu juda ko'p):

34 - 1 · 27 = 7 kodlashni davom ettirish kerak. Vazni 9 bo'lgan pozitsiya juda ko'p narsani beradi, unda 0 yozing va 3 og'irligi va 2 raqami bilan pozitsiyani oling:

7 - 2 · 3 = 1 ni kodlash qoladi, bu qolgan eng ahamiyatsiz raqamning qiymati:

Bu chiqadi: 196 10 = 21021 3.

Pozitsion tizimlar: asosiy qoidalar

Keling, pozitsion sanoq tizimlarida sonlarni qurish umumiy qoidalarini shakllantiraylik.

Raqam raqamlar bilan yozilgan, masalan:

Raqamning qiymatini aniqlash uchun siz raqamlarni ularning pozitsiyalari og'irliklari bo'yicha ko'paytirishingiz va natijalarni qo'shishingiz kerak.

Lavozimlar o'ngdan chapga raqamlangan. Birinchi pozitsiyaning vazni 1 ga teng.

Har bir keyingi pozitsiyaning vazni avvalgisining og'irligidan tizim asosiga ko'paytirib olinadi.

Ma'lum bo'lishicha, ikkinchi pozitsiyaning og'irligi har doim tizimning asosiga teng bo'ladi.

Tizimning asosi ushbu tizimda ishlatiladigan raqamlarning sonini ko'rsatadi. Shunday qilib, 10-baza tizimida o'nta raqam, 5-asos tizimida beshta raqam mavjud.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Agar kirish bo'lsa

5-asos tizimidagi sonni bildiradi, keyin u tengdir

3242 5 = 3 125 + 2 25 + 4 5 + 2 1 = 447 10 .

6-tayanch tizimidagi bir xil yozuv raqamni bildiradi

3242 6 = 3 216 + 2 36 + 4 6 + 2 1 = 746 10 .

Pozitsiyasiz sanoq tizimlari

Pozitsiyali sanoq tizimlari darhol paydo bo'lmadi, ibtidoiy odamlar ba'zi narsalarning sonini boshqalarning soniga teng deb belgilashdi (ular toshlar, tayoqlar, suyaklar deb hisoblangan).

Hisoblashning yanada qulay usullari ham qo'llanilgan: tayoq ustidagi tirqishlar, toshga chiziqlar, arqondagi tugunlar.

Ba'zan zamonaviy odamlar ham bunday sanoq tizimidan foydalanadilar, masalan, pog'onalardan o'tgan kunlar sonini ta'kidlaydilar.

Bu misol pozitsiyasiz birliklarni hisoblash tizimi: hisoblash uchun ishlatiladi bitta soni (tosh, tayoq, suyak, chiziqcha, tugun ...) va bu raqamning hissasi uning joyiga (holatiga) bog'liq emas, u har doim bir birlikka teng.

Pozitsion sanoq tizimlaridan foydalanish ancha qulay ekanligi aniq.

Raqamlar bo'yicha harakatlar

Har qanday bazaga ega bo'lgan pozitsion tizimdagi raqamlar bo'yicha harakatlar o'nlik tizimdagi kabi amalga oshiriladi: ular mos keladigan sanoq tizimlarining raqamlarini qo'shish va ko'paytirish jadvallariga asoslanadi.

Agar turli xil tizimlarda siz qo'shishingiz, ayirishingiz, ko'paytirishingiz va har xil usulda bo'lishingiz kerak bo'lsa, g'alati bo'lar edi! Darhaqiqat, barcha sanoq tizimlarida raqamlar bir xil tarzda tuziladi, ya'ni ulardagi harakatlar bir xil tarzda bajarilishi kerak.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Qo'shish

5 + 7 = 12. Eng kichik bitga biz 2 ni yozamiz va bitni bitga qo'shamiz.

Sakkizli qo'shimcha jadvalini tuzamiz:

Qo'shish jadvaliga ko'ra 5 + 7 = 14 8. Biz eng kichik raqamga 4 ni yozamiz va keyingi raqamga bittasini qo'shamiz.

Chiqarish

Biz ikkinchi raqamda 1-ni egallaymiz va 15-sondan 7-ni chiqaramiz, xuddi shunday sakkizli tizimda:

Biz ikkinchi raqamda 1ni egallaymiz va 15 8 sonidan 7ni chiqaramiz. 7-qatorda qo'shimcha jadvalga ko'ra biz 15-sonni topamiz. Tegishli ustunning soni farqning natijasini beradi - 6-raqam.

Bu, ehtimol, o'rgimchaklardan foydalanish uchun qulaydir
sakkizli sanoq tizimi!

Ko'paytirish

2 7 = 14. Biz 4 ni yozamiz, va 1 "aql" ga o'tadi (keyingi toifaga qo'shing). 4 · 7 = 28. Biz 9 (8 plyus "aql" dan 1) yozamiz va 2 ni keyingi toifaga o'tkazamiz.

Sakkizli ko'paytma jadvalini tuzamiz:

2 7 = 16 8. Biz 6 ni yozamiz, va 1 "aql" ga o'tadi (keyingi toifaga qo'shing). 4 7 = 34 8. Biz 5 ni yozamiz ("aql" dan 4 plyus 1) va 3 ni keyingi raqamga o'tkazamiz.

Bo'lim

3 5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

5-satrda ko'paytma jadvalida tegishli raqamni topamiz 17 8 = 5 3:

Bu degani natijaning birinchi raqami 3. 17 8 dan 17 8 = 5 · 3 ayiramiz. 0 farqiga biz oxirgi 5 raqamini beramiz. 5 = 5 · 1. 5 dan 5ni ayirsak, 0 chiqadi - bo'linish tugadi.

Savollar va javoblar

1. "Sanoq tizimi" atamasiga ta'rif bering.

2. "Pozitsion sanoq tizimi" atamasiga ta'rif bering.

3. 548 sonli misol yordamida raqamlarni o'nlik sanoq sistemasida qurish tamoyillarini tushuntiring.

4. Lavozimning vazni nima deyiladi? Bizga pozitsiyaning og'irligini topish algoritmini aytib bering. Raqamning o'nli belgisida o'ngdan uchinchi pozitsiyaning vazni qancha? Va ikkilikmi? Va uchlikda?

5. Chiqarish deganda nima tushuniladi? 1532 kasr sonida 5 raqami qaysi o'rinda joylashgan?

6. Sonlarning hissasi deb nimaga aytiladi? 7 raqamining 1745 10 ga qo'shgan hissasi qanday? Va 4-raqamning 1432-sonli raqamga qo'shgan hissasi 5?

7. "Pozitsion sanoq tizimining asosi" atamasiga ta'rif bering. Tizimning asosi ushbu tizimdagi raqamlar soniga qanday bog'liq? 5-sonli sanoq sistemasida nechta raqam mavjud? Va o'n oltilikda? 25-tayanch tizimi haqida nima deyish mumkin?

8. Raqam yozuvidagi eng kichik raqam qaerda? Va eng kattasi?

9. Ikkilik sonni o'nlik sanoq tizimiga o'tkazish algoritmini ayting va ushbu algoritmni 101101 2 raqami uchun bajaring.

10. O'nli sonni ikkilik sanoq tizimiga o'tkazish algoritmini ayting va ushbu algoritmni 50 10 soni uchun bajaring.

11. Istalgan pozitsiyali sanoq sistemasidan sonni o'nlik tizimga qanday o'tkazish mumkin? Tushuntirish bazasi 4 bo'lgan tizim misolida asoslanadi.

Hometasks

Variant 1. Kompyutersiz, "qog'ozda" bajariladi

1. Ikkilik raqamlarni o'nli raqamga almashtirib, til burishlarini o'qing:

Yaxshi bajarildi
100001 pirogli 2 ta pirog,
Ha, barchasi tvorog bilan.

101000 2 ta sichqon bor edi,
101000 2 grosz,
10 2 ta sichqon kichikroq
Ularning har biri 10 dan 2 gros ko'targan.

2. Ikkilik harfli jumboqlarni eching:

3. Hisob-kitoblarni bajaring va javobni o'nli kasr bilan yozing:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 - 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Berilgan raqamlarni ko'rsatilgan sanoq tizimlariga tarjima qiling:

Variant 2. Kompyuterda bajarilgan

1. Quyidagi masalani echish uchun arifmetik ifodani yozing va javobini hisoblang:

Bizning aqlli Malvina
Buratino haqida g'amxo'rlik qiladi
Va men uni unga sotib oldim
U eng muhimi nimaga muhtoj:
10 2 qopqoq, 11 2 o'lchagich
Va 111 2 rubl uchun stikerlar.
Muqovalarda - Barmaley,
Har birining narxi 101 2 rubl.
Men sotib olgan hukmdorlar to'g'risida
101010 2 rubl etarli edi.
Xaridlar qancha turadi?
Ko'zguda - yarim daqiqa.

2. She'rdan raqamlarni odatdagi kasrli raqamga aylantirish uchun standart Kalkulyator dasturidan foydalanib ko'ring ( Ko'rinish- muhandislik, Bin- raqamning ikkilik tasviri, Dekabr- raqamning o'nli tasviri). Kalkulyator yordamida raqamlarni ikkilikdan o'nlikka va aksincha, o'nlikdan ikkilikka o'tkazish algoritmlarini yozing.

Variant 3. Qiziquvchanlar uchun

1. Istalgan pozitsiyali sanoq sistemasida 10 ni yozish ushbu tizim asosiga teng sonni anglatishini isbotlang.

2.Pozitsion sanoq tizimining asosini aniqlang b har bir tenglik uchun:

1) 10 b = 50 10 ;

2) 11 b = 6 10 ;

3) 100 b = 64 10 ;

4) 101 b = 26 10 ;

5) 50 b = 30 10 ;

6) 99 b = 909 10 ;

7) 21 b = 15 6 ;

8) 10 2 b = 100 b ;

9) 12 2 b = 22 b ;

10) 14 b· b = 104 b .

p ALIGN = "HUSTFY"> 3. Onaltılık sanoq tizimida 16 ta raqam ishlatiladi. Birinchi o'nta raqam o'nlik tizimning raqamlariga to'g'ri keladi va oxirgi lotin alifbosidagi harflar bilan belgilanadi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	Qiymat

Keling, masalan, A8 16 raqamini o'nlik tizimga tarjima qilaylik:

A8 16 = 10 16 + 8 1 = 168 10 .

Har bir topshiriqda raqamning qiymatini toping x:

1) 25 16 = x 10 ; 4) 170 10 = x 16 ;

2) AB 16 = x 10 ; 5) 2569 10 = x 16 ;

3) FD 16 = x 10 ; 6) 80 32 = x 16 .

4. Quyidagi vazifalarni bajaring.

1) Agar ikkinchi pozitsiyaning og'irligi 7. ekanligini bilsangiz, raqamlar yozuvidagi uchinchi pozitsiyaning og'irligini toping. Pozitsiyalarni o'ngdan chapga raqamlash.

2) sanoq tizimi 5 ta raqamdan foydalanadi. Raqam belgilarida o'ng tomondan to'rtinchi pozitsiyaning og'irligini toping.

3) Raqam ikki birlik shaklida yoziladi: 11. Agar o'nli kasrda 21 ga teng bo'lsa, qaysi sanoq sistemasida yoziladi?

4) Ma'lum bir sanoq tizimida raqam 100 ga o'xshaydi. Agar o'nlik tizimda bu raqam 2500 bo'lsa, bu sanoq sistemasi nechta raqamdan foydalanadi?

5) Ikki raqam 100 deb yozilgan, ammo radiusi har xil bo'lgan tizimlarda. Ma'lumki, birinchi tizimning asosi ikkinchisining asosidan ikki baravar ko'p. Qaysi raqam katta va necha marta?

6) Tizimning asosini toping, agar ma'lum bo'lsa, ushbu tizimda yozilgan 101 raqami o'nlik kasr sonini 37 anglatadi.

7) Qaysi sanoq tizimida raqamni ikki baravar oshirish uchun uning kiritilishining o'ng tomoniga nol qo'shish kerak?

8) o'nlik tizimda 10 ga ko'paytish, raqamga o'ngga nol qo'shishni anglatadi. 10 ga ko'paytirish qoidasini tuzing b bazaga ega tizimda b.

5. Sonni o‘nlikdan uchlik sanoq sistemasiga o‘tkazish algoritmini tuzing.

6. To'rtta sanoq sistemasi uchun qo'shish va ko'paytirish jadvallarini tuzing. Ushbu jadvallardan foydalanib, ustundagi raqamlarga quyidagi amallarni bajaring (to'rtlamchi sanoq tizimida qolgan holda):

1.a) 1021 4 + 333 4;

b) 3333 4 + 3210 4;

2.a) 321 4 - 123 4;

b) 1000 4 - 323 4;

3. a) 13 4 · 12 4;

b) 302 4 23 4;

4.a) 1123 4:13 4;

b) 112003 4: 101 4.

7. Ikkilik sanoq tizimi uchun qo'shish va ko'paytirish jadvallarini tuzing. Ushbu jadvallardan foydalanib, ustundagi raqamlar bo'yicha quyidagi amallarni bajaring (ikkilik sanoq tizimida qolgan):

1.a) 1001 2 + 1010 2;

b) 10111 2 + 1110 2;

2. a) 1110 2 - 101 2;

b) 10000 2 - 111 2;

3. a) 101 2 · 11 2;

b) 1110 2 · 101 2;

4.a) 1000 110 2: 101 2;

b) 100000100 2: 1101 2.

Seminar

Elektron dastur sahifalarida, Encoder ijrochisi bilan ishlash.

Mashqlar quyidagi guruh vazifalarini o'z ichiga oladi:

O'nli

1. Ikkilikdan o'nlikgacha

2. Uchlikdan o'nlikgacha

3. Beshdan o'nlikgacha

4. Oltitalikdan o'nli kasrgacha

O'nli kasrdan

1. Ikkilikka o'nlik

2. O'nli kasrdan uchlikka

3. O'nli kasrdan beshgacha

4. O'nli o'nlikdan o'nlikka

Kreditlash klassi 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Kreditlash klassi 2

10. 1001 2 = ? 16

O'qituvchi uchun material

Pozitsion sanoq tizimlari

Pozitsiyali sanoq tizimida raqam maxsus belgilar zanjiri sifatida yoziladi:

a n a n - 1 ... a 2 a 1 (1)

Belgilar a i deyiladi raqamlar... Ular tartibli hisoblanadigan miqdorlarni noldan boshlab va bitta kamroq sonning qiymatiga qadar belgilaydilar. q deb nomlangan asos sanoq tizimi. Ya'ni, agar q- asos, keyin raqamlarning qiymatlari intervalda (chegaralarni o'z ichiga olgan holda) yotadi.

Raqamning (1) yozuvidagi joylashuvi deyiladi pozitsiya, yoki tushirish.

Izoh 1. Ushbu sahifalarda "pozitsiya" atamasiga ustunlik beriladi. Birinchidan, "pozitsiya" so'zi "pozitsion sanoq tizimi" tushunchasi bilan yaxshi mos keladi, ikkinchidan, "pozitsion og'irlik" yoki "pozitsiya og'irligi" atamasi "bit vazn" yoki "bit vazn" ga qaraganda yaxshiroq, tushunarli va sodda eshitiladi. ”. Biroq, o'qituvchi vaqti-vaqti bilan talabalarga "lavozim" va "daraja" teng keladigan atamalar ekanligini eslatishi mumkin va kerak.

Izoh 2. Talabalar uchun matnlarda berilgan pozitsion sanoq tizimining ta'rifi to'liq aniq emas. Raqamning hissasining faqatgina pozitsiyaga bog'liqligi etarli emas. Masalan, Rim raqamlar tizimida raqamning hissasi ham pozitsiyaga bog'liq (IV va VI raqamlar har xil), ammo bu tizim pozitsion emas. To'liq ta'rifni o'qituvchi uchun ushbu kontekstda berilgan raqamni tuzish bo'yicha barcha qoidalar to'plami deb hisoblash mumkin (ya'ni pozitsiyaga bog'liqlik haqiqati bilan birga ta'rifga quyidagilar kiradi: raqamlar to'plamining cheklanganligi va uchun qoidalar raqamni yozib olish orqali topish).

Lavozimlar o'ngdan chapga raqamlangan. Birinchi pozitsiyadagi raqam chaqiriladi yoshroq raqamning raqami, oxirgisi - katta.

Har bir pozitsiya raqam bilan bog'liq bo'lib, biz uni og'irligi deb ataymiz ( tortish holati).

Vaznaning og'irliklari quyidagi rekursiv qoidaga muvofiq belgilanadi:

1. Eng past pozitsiyaning vazni 1 ga teng.

2. Har bir keyingi pozitsiyaning vazni oldingi poydevorning og'irligidan tizim asosiga ko'paytirib olinadi.

Bo'lsin q- sanoq tizimining asosi. Keyin pozitsion og'irliklarni hisoblash qoidasi w i takrorlanadigan formulalar sifatida qisqacha yozilishi mumkin:

1. w 1 = 1.

2. w i = w i-bir · q(Barcha uchun men > 1).

Pozitsiyali raqamlar tizimida yozuv

a n a n - 1 ... a 2 a 1 (1)

raqamni bildiradi N, ularning pozitsion og'irliklari bo'yicha raqamlar mahsulotlarining yig'indisiga teng:

N = a n· w n + a n-bir · w n–1 + ... + a 2018-04-01 121 2 w 2 + a bitta · w 1 . (2)

Raqamning pozitsion og'irligi bo'yicha mahsuloti (ya'ni.) a i· w i) chaqiriladi raqamlarning pozitsion hissasi.

Formula (2) talabalar uchun matnlarda taklif qilingan raqamlarni bir tizimdan boshqasiga o'tkazish qoidalari uchun asosdir.

O'nli tizimda raqamlar o'nta arabcha belgilar yordamida yoziladi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ushbu tizimning pozitsion og'irliklari: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

Ikkilik tizimda raqamlar ikkita arabcha belgilar yordamida yoziladi: 0 va 1. Ushbu tizimning pozitsion og'irliklari: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Masalan, 10101 yozuvi quyidagicha "shifrdan chiqarilgan":

10101 2 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1.

Og'irlikni hisoblashning rekursiv qoidasi shuni anglatishini unutmang w i = q i–1 va shuning uchun (2) yozuv kuch polinom shaklidagi an'anaviy yozuvga teng:

N = a n· q n–1 + a n-bir · q n–2 + ... + a 2018-04-01 121 2 q + a 1 . (3)

Biz buni induksiya bilan isbotlaymiz. Induksion asos da men= 1 to'g'ridan-to'g'ri tekshiriladi: w 1 = q 0 = 1.

Induksiya gipotezasi: bu bayonot ba'zilar uchun to'g'ri bo'lsin n:

w n = q n–1 .

Keling, u uchun ham tegishli bo'lishini isbotlaylik n + 1.
Ya'ni, biz tenglikning to'g'riligini isbotlaymiz:

w n + 1 = q n.

Haqiqatdan ham, w n+1 = w n· q(pozitsiya vaznining rekursiv ta'rifiga ko'ra), va w n = q n-1 induksiya gipotezasi bo'yicha. Aniqlanishicha:

w n + 1 = w n· q = q n-bir · q = q n.

Har qanday son (1) (Teorema 1) shaklida o'ziga xos tarzda (2-teorema) ifodalanishini isbotlaylik.

Teorema 1 (mavjudlik). Istalgan raqam m har qanday kishi uchun (1) shaklida ifodalanishi mumkin q > 1.

Dalillar. Keling, induksiya bilan isbotlaylik. Uchun m = 0
va m= 1 talab qilinadigan vakolatxonani qurish oson - bu navbati bilan 0 va 1 (har biri uchun q> 1). Aytaylik, biz raqamni namoyish qila oldik m shaklida (1). Keling, uchun vakolatxonani topaylik m+ 1. Buning uchun summani konvertatsiya qilish kifoya

a n q n–1 + a n-bir · q n–2 + ... + a 2018-04-01 121 2 q + a 1 (1) hosil qilish uchun 1 + 1.

Agar a a 1 < (q-1), keyin raqamni almashtirish orqali kerakli tasvir olinadi a 1 kuni a " 1 = a 1 + 1.

Agar a a 1 = (q–1), biz birlikni keyingi holatga o'tkazamiz:

a n q n F - 1 + a n-bir · q n–2 + ... + (a 2 + 1) q + 0.

Keyin biz shunga o'xshash tarzda mulohaza yuritamiz. Agar a a 2 < (q-1), keyin raqamni almashtirish orqali kerakli tasvir olinadi a 2 kuni a " 2 = a 2 + 1. Agar a 2 = (q–1), keyin a 2 nolga almashtiriladi va bittasi keyingi holatga o'tkaziladi.

Yoki ba'zilarida men < n biz qurilishni tugatamiz, yoki biz 1000 ... 0 yozuvini olamiz - bitta va n nollar o'ngga. Dalil to'liq.

2-teoremadan oldin biz lemmani isbotlaymiz.

Lemma. (1) yozuvdagi nolga teng bo'lmagan har bir raqamning hissasi, uning o'ng tomonida joylashgan raqamlar hissasining yig'indisidan oshadi.

a n a n - 1 ... a 2 a 1 . (1)

Dalillar. Keling, buni har kim uchun isbotlaylik n > 1:

a n q n–1 > a n-bir · q n–2 + ... + a 2018-04-01 121 2 q+ a 1 .

Raqamlar a i oralig'ida yotish kerak, shuning uchun chap tomonda nolga teng bo'lmagan eng kichik raqam va o'ngdagi maksimal raqamlar uchun tengsizlikni isbotlash kifoya:

q n - 1> ( q- bitta) · q n–2 + ... + (q- bitta) · q + (q–1).

O'ng tomonda biz omilni chiqaramiz ( q–1) qavs tashqarisida:

(q- bitta) · q n–2 + ... + (q- bitta) · q + (q–1) =

= (q- bitta) · ( q n–2 + ... + q + 1).

Biz taniqli formuladan foydalanib, oxirgi qavsdagi geometrik progressiyaning yig'indisini hisoblaymiz:

(q- bitta) · ( q n–2 + ... + q + 1) =

= (q- bitta) · ( q n–1 –1)/(q–1) = q n–1 – 1.

Biz lemmani tasdiqlaydigan aniq tengsizlikni olamiz:

q n - 1> q n–1 – 1.

Teorema 2 (o'ziga xoslik). Shakldagi raqam (1) yagona usul bilan ifodalanadi.

Dalillar. Lemmadan kelib chiqadiki, ularning yozuvlarida boshqa raqamli raqamlar (chapdagi ahamiyatsiz nollar hisoblanmaydi) teng bo'lishi mumkin emas: ko'p sonli raqamlar soni har doim katta bo'ladi. Demak, agar ekanligini isbotlash kerak bo'lsa a i teng emas b i Barcha uchun men 1 dan n keyin qayd qiladi

a n a n - 1 ... a 2 a 1 (4)

b n b n - 1 ... b 2 b 1 (5)

bir xil sonni anglatishi mumkin emas.

Noto'g'ri raqamlarni izlash uchun chapdan o'ngga (4) va (5) yozuvlarni ko'rib chiqamiz. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin a k va b k qo'yib yubor a k – b k = d.

Ustida k-ko‘rsatuvda -o‘rinda, farq bor edi d· q k- bitta. Ushbu farq o'ng tomonda joylashgan pozitsiyalarning hissalari bilan qoplanishi kerak. Ammo buning iloji yo'q, chunki lemma bo'yicha, o'ng tomonda joylashgan pozitsiyalarning hissasi yig'indisi har doimgi pozitsiyaning hissasidan kamroq. Teorema isbotlangan.

O'nli kasrga aylantirish

Radiks tizimidan raqamlarni tarjima qilish uchun q o'nlik tizimda (2) formuladan foydalanishingiz mumkin, unda ko'paytirish va qo'shishni amalga oshiring.

N = a n· w n + a n-bir · w n–1 + ... + a 2018-04-01 121 2 w 2 + a bitta · w 1 (2)

Ikkilik tizimdan tarjima qilishda faqat qo'shimcha qo'shiladi (chunki siz 1 ga ko'paytira olmaysiz). Shunday qilib, biz o'qish zalida tuzilgan tarjima qoidasini olamiz:

Ikkilikdan o‘nlikka o‘girish uchun har bir ikkilik raqam ustidagi holatining vaznini yozishingiz va birliklar ustiga yozilgan raqamlarni qo‘shishingiz kerak.

Masalan, masalan, 10111 raqami uchun biz quyidagilarni olamiz:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Dan o'tkazish umumiy qoidasi q-ariy sistema o'nlik soniga quyidagicha o'xshaydi:

Dan o'tkazish q-ariyli tizim, har bir raqam ustidagi holatining vaznini yozishingiz va ularning pozitsion og'irliklari bo'yicha raqamlar ko'paytmasining yig'indisini topishingiz kerak (ya'ni pozitsion hissa yig'indisini toping).

Masalan, 10212 3 raqami uchun biz quyidagilarni olamiz:

Biz ularning pozitsion og'irliklari bilan ko'paytirilgan raqamlarni qo'shamiz (nol raqamli pozitsiyalar, albatta, o'tkazib yuborilishi mumkin):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Tarjima q- shaxsiy

Raqamlarni o‘nli kasrdan radiksga o‘tkazish uchun q biz (2) formulaga tayanishni davom ettiramiz:

N = a n· w n + a n-bir · w n–1 + ... + a 2018-04-01 121 2 w 2 + a bitta · w 1 . (2)

Tarjima algoritmi.

I. Raqam nolga aylanguncha takrorlang:

1. Chapdagi birinchi holatni toping, uning vazni joriy sondan oshmaydi. Joyiga eng katta mumkin bo'lgan raqamni yozing, shunda uning pozitsion hissasi (raqamning og'irligi bo'yicha mahsuloti) joriy sondan oshmaydi.

2. Qurilgan pozitsiyaning hissasi bilan joriy sonni kamaytiring.

II. Qurilgan raqamlar egallamagan joylarga nollarni yozing.

Har bir pozitsiyada mumkin bo'lgan maksimal raqam olinadi, chunki lemma bo'yicha ushbu raqamning hissasini o'ng tomonda joylashgan raqamlar bilan qoplash mumkin emas. Algoritm isbotlangan mavjudligi (Teorema 1) va o'ziga xosligi (Teorema 2) tufayli raqamni (1) shaklda aks ettiradi.

Ikkilik tizim uchun biz talabada materialda berilgan algoritmning bir variantini olamiz.

Ikkilik raqamga o'tish uchun siz ikkilik raqamlarning og'irliklari bilan shablonni yaratishingiz kerak:

Raqam quyidagi algoritm bo'yicha tarjima qilingan:

I. Raqam nolga aylanguniga qadar takrorlang:

1. Chapdagi birinchi holatiga 1 ni yozing, uning vazni joriy sondan oshmaydi.

2. Amaldagi raqamni tuzilgan birlik og'irligi bo'yicha kamaytiring.

II. Nollarni egallamagan joylarga yozing.

Amalda, ushbu tarjima usuli qoldiqlarni topish bilan an'anaviy algoritmga qaraganda ancha sodda va tezroq bo'lib chiqadi.

O'nli tizimdan uchlik sistemaga o'tishda ham pozitsion og'irliklarni, ham ularning ko'payishini hisobga olish kerak. Tezkor tarjima qilish uchun siz jadvalni o'rnatishingiz mumkin, uning satrlari raqamlarning pozitsiyalariga, ustunlar - raqamlarga, hujayralar esa raqamdagi joylashishiga qarab raqamga qo'shgan hissasiga to'g'ri keladi. raqamli yozuv:


pozitsiya 729
pozitsiya 243
pozitsiya 81
pozitsiya 27
9-pozitsiya
pozitsiya 3
pozitsiya 1

Aytaylik, 2-raqamning 243-pozitsiyadagi hissasi 486, 9-pozitsiyada 18-raqam.

Uchlamchi tizimga tarjima qilish uchun joriy qiymatdan oshmaydigan eng katta sonni izlash uchun jadvalni satrlar bo'yicha skanerlash kerak.

Masalan, 183 raqamini uchlik tizimga o'tkazamiz, mos keladigan qiymat uchinchi qatorda va birinchi ustunda joylashgan:


pozitsiya 729
pozitsiya 243
pozitsiya 81
pozitsiya 27
9-pozitsiya
pozitsiya 3
pozitsiya 1

Shunday qilib, uchlik raqam 2 raqamdan boshlanadi:

183 10 = 202?? 3

Jadvaldagi 21-18 = 3 raqami uchun aniq ma'no berilgan, tarjima tugagan:

183 10 = 20210 3 .

Katta bazaga ega bo'lgan tizimlar uchun tegishli jadvallar, albatta, ko'proq hajmli bo'ladi. Oxirgi misol sifatida, o'n oltinchi sanoq tizimiga o'tish uchun jadval tuzamiz:

4255 raqami o'n oltilik tizimga o'tkazilsin, biz jadvaldagi birinchi raqamni qidiramiz (chapdan o'ngga, satrma-qator, yuqoridan boshlab), bu asl 4255 raqamidan oshmaydi:

Biz birinchi raqamni 4096 pozitsiyasida olamiz:

4255 - 4096 = 159 kodlash kerak.

256-qatorni o'tkazib yuboring (mos keladigan raqam 0 ga teng bo'ladi) va 16-satrda biz tegishli 144 qiymatini topamiz:

256 va 16 pozitsiyalaridagi raqamlarni olamiz:

159 - 144 = 15 kodlash qoladi, bu eng kam raqamning qiymati ekanligi aniq:

Bu chiqadi: 4255 10 = 109F 16.

Raqamlar bo'yicha harakatlar

Ushbu bo'lim ma'lumot uchun o'quvchiga sxematik tarzda taqdim etilgan.

Alohida, katta va juda qiziqarli darsni mavzuga bag'ishlash mumkin, ammo juda ko'p materiallar mavjud - cheksizlikni anglash qiyin!

Oddiy, kirish versiyasida har qanday sanoq tizimidagi raqamlar bo'yicha harakatlar o'nlik tizimdagi kabi bajarilishi ko'rsatilgan. Agar boshqacha bo'lsa, g'alati, chunki barcha pozitsion tizimlardagi raqamlar bir xil qoidalar asosida qurilgan, ya'ni ulardagi harakatlar bir xil tarzda bajarilishi kerak.

Bo'lim 3-variant uchun uy vazifalari bilan ta'minlangan. Ushbu mashqlarni qiziquvchan maktab o'quvchilariga individual topshiriqlar sifatida tavsiya etish mumkin.

4-bob. Kompyuterlarning arifmetik asoslari

4.1. Sanoq tizimi nima?

Pozitsion va pozitsiyasiz sanoq tizimlari mavjud.

Pozitsiyasiz sanoq tizimlarida raqamning og'irligi (ya'ni raqamning qiymatiga qo'shadigan hissasi) uning mavqeiga bog'liq emas raqamning yozuvida. Shunday qilib, XXXII (o'ttiz ikki) sonidagi rim raqamlar tizimida X raqamining istalgan holatdagi vazni atigi o'nga teng.

Pozitsion sanoq tizimlarida har bir raqamning vazni raqamni ko'rsatadigan raqamlar ketma-ketligidagi pozitsiyasiga (pozitsiyasiga) qarab o'zgaradi. Masalan, 757.7 raqamida birinchi ettita 7 yuz, ikkinchisi - 7 birlik, uchinchisi - bitta o'ndan o'ntasini anglatadi.

Xuddi shu 757,7 raqamli yozuv ham ifodaning qisqartirilgan yozuvini bildiradi

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Har qanday pozitsion sanoq tizimi uning xarakteristikasi asos.

Tizimning asosi sifatida har qanday tabiiy sonni olish mumkin - ikki, uch, to'rt va hk. Shuning uchun, son-sanoqsiz joylashishni aniqlash tizimlari mumkin: ikkilik, uchlamchi, to'rtlamchi va boshqalar. Radiks tizimlarining har birida raqamlarni yozish q stenografiya ifodasini bildiradi

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

Qaerda a men - raqamlar; n va m - tegishlicha butun va kasr sonlarining soni.
Masalan:

4.2. Pozitsion sanoq tizimlarida butun sonlar qanday hosil qilinadi?

Har bir sanoq tizimida raqamlar ma'nosiga ko'ra tartiblanadi: 1 - 0 dan katta, 2 - 1 dan katta va hk.

1-raqamni oldinga siljitish uni 2 ga almashtirishni, 2-raqamni 3 ga almashtirishni anglatadi va hokazo. Yuqori raqamli reklama(masalan, o'nlikdagi 9 raqamlari) uni 0 ga almashtirishni anglatadi... 0 va 1 raqamli ikkita raqamdan foydalanadigan ikkilik tizimda 0 ga o'tish uni 1 ga almashtirishni, 1 avans esa 0 ga almashtirishni anglatadi.

Istalgan sanoq tizimidagi butun sonlar yordamida hosil bo'ladi Hisob qoidalari [44 ]:

Ushbu qoidani qo'llagan holda keling, birinchi o'nta butun sonni yozamiz

ikkilikda: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

uchlamchi tizimda: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

besh qavatli tizimda: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

sakkizta: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Mutaxassislar kompyuter bilan qanday raqamlash tizimlaridan foydalanadilar?

O'nli kasrdan tashqari, bazasi 2 ga teng bo'lgan tizimlar keng qo'llaniladi, ya'ni:

ikkilik(0, 1 raqamlari ishlatiladi);

sakkizli(0, 1, ..., 7 raqamlari ishlatiladi);

o'n oltinchi(noldan to'qqizgacha bo'lgan birinchi butun sonlar uchun 0, 1, ..., 9 raqamlari, keyingi o'ndan o'n beshgacha bo'lgan raqamlar uchun A, B, C, D, E, F belgilar ishlatiladi raqamlar).

Dastlabki o'n o'nlik sonlar uchun ushbu sanoq tizimlarida yozuvni eslab qolish foydalidir:

Barcha sanoq tizimlaridan ayniqsa oddiy va shuning uchun kompyuterlarning ikkilik sanoq tizimida texnik qo'llanilishi uchun qiziqarli.

4.4. Nima uchun odamlar o'nlikdan, kompyuterlar ikkilikdan foydalanadilar?

Odamlar o'nlik tizimni afzal ko'rishadi, ehtimol qadim zamonlardan beri ular barmoqlari bilan hisoblashgan va odamlarning qo'llarida va oyoqlarida o'n barmoq bor. Har doim ham va hamma joyda ham odamlar o'nlik sanoq tizimidan foydalanmaydi. Masalan, Xitoyda besh qavatli sanoq tizimi uzoq vaqt ishlatilgan.

Va kompyuterlar ikkilik tizimdan foydalanadi, chunki u boshqa tizimlarga nisbatan bir qator afzalliklarga ega:

uni amalga oshirish uchun sizga kerak ikkita barqaror holatga ega bo'lgan texnik qurilmalar(oqim mavjud - oqim yo'q, magnitlangan - magnitlangan emas va hokazo) va masalan, o'nlikdagi kabi o'nlik bilan emas;

ma'lumotni faqat ikkita davlat orqali taqdim etish ishonchli va siqilish;

ehtimol Mantiqiy algebra apparati qo'llanilishi ma'lumotlarning mantiqiy o'zgarishini amalga oshirish;

ikkilik arifmetika o‘nli kasrga nisbatan ancha sodda.

Ikkilik tizimning kamchiligi shundaki raqamlar sonining tez o'sishi raqamlarni yozish uchun talab qilinadi.

4.5. Nima uchun kompyuterlarda sakkizlik va o'n oltilik sanoq tizimlari ham ishlatiladi?

Ikkilik tizim, kompyuterlar uchun qulay, noqulayligi va g'ayrioddiy yozuvi tufayli odamlar uchun noqulay.

Raqamlarni o‘nlikdan ikkilikka aylantirish va aksincha, mashina tomonidan amalga oshiriladi. Biroq, kompyuterdan professional darajada foydalanish uchun siz mashina so'zini tushunishni o'rganishingiz kerak. Buning uchun sakkizinchi va o'n oltinchi tizimlar ishlab chiqilgan.

Ushbu tizimlardagi raqamlar o'nlik raqamlar singari deyarli oson o'qiladi, ular uchun ikkilik tizimga nisbatan mos ravishda uch (sakkizta) va to'rtta (o'n oltinchi) marta kam sonlar kerak (oxir-oqibat, 8 va 16 raqamlari mos ravishda uchinchi, va to'rtinchi kuchlar 2) ...

Masalan:

Masalan,

4.6. Butun sonni o'nlik tizimdan boshqa har qanday pozitsion sanoq tizimiga qanday o'tkazish mumkin?

Misol: Keling, 75 raqamini o'nli tizimdan ikkilik, sakkizli va o'n oltinchi raqamlarga o'tkazaylik:

Javob: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. To'g'ri o'nlik raqamini boshqa har qanday pozitsion sanoq tizimiga qanday tarjima qilish kerak?

To'g'ri o'nlik raqamini tarjima qilish uchunF radixgachaq zarurF bilan ko'paytiringq , xuddi shu o'nlik tizimda yozilgan, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotning kasr qismini ko'paytiringq, va hokazo, keyingi mahsulotning kasr qismi nolga teng bo'lguncha yoki sonning kerakli aniqligiga erishilguncha F yildaq - juftlashgan tizim. Sonning kasr qismini tasvirlashF yangi sanoq tizimida kelib tushgan asarlarning kelib tushish tartibida yozilgan va bitta tasvirlangan butun qismlarining ketma-ketligi bo'ladi. q - raqam. Agar raqamni konvertatsiya qilishning kerakli aniqligi bo'lsaF buk o'nlik kasrlar, keyin maksimal mutlaq xato teng bo'ladiq - (k + 1) / 2.

Misol. Keling, 0.36 raqamini o'nlik tizimdan ikkilik, sakkizli va o'n oltinchi raqamlarga o'tkazaylik:

4.8. Raqamni qanday qilib ikkilik (sakkizlik, o'n oltinchi) tizimdan o'nlikka aylantirish mumkin?

Raqamni o'nlik tizimga aylantirishx qayd etilganq sanoq sistemasi (q = 2, 8 yoki 16) shaklidax q = (a n a n-1 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m ) q polinomning qiymatini hisoblashgacha kamayadi

x 10 = a n q n + a n-1 q n-1 + ... + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + ... + a -m q -m

o‘nlik arifmetikasi yordamida.

Misollar:

4.9. Bir sonli tizimdan ikkinchisiga butun sonlarning tarjimalarining qisqacha jadvali

Faqatgina kompyuterlarda ishlatiladigan sanoq sistemalarini - o'nlik, ikkilik, sakkizinchi va o'n oltinchi sanoq sistemalarini ko'rib chiqing. Aniqlik uchun biz o'zboshimchalik bilan o'nlik raqamini olamiz, masalan 46 va buning uchun biz bir sanoq tizimidan boshqasiga barcha mumkin bo'lgan ketma-ket tarjimalarni bajaramiz. Tarjimalarning tartibi quyidagi rasmga muvofiq belgilanadi:

Ushbu raqam quyidagi konventsiyalardan foydalanadi:

sanoq sistemalarining asoslari doiralarda yozilgan;

o'qlar tarjima yo'nalishini ko'rsatadi;

o'q yonidagi raqam 4.1-jadval jadvalidagi tegishli misolning seriya raqamini bildiradi.

Masalan: jadvalda tartib raqami 6 bo'lgan ikkilikdan o'n oltilikka tarjimani anglatadi.

Butun sonli tarjimalarning pivot jadvaliikkitasibo'limlar- statistika nazariyasi ... statistika, informatika intizom sifatida ... KR (elektron versiyasi nashrlar). ".... E.P. Mikroiqtisodiy statistika: O'quv qo'llanma. nafaqa... - M.: Delo, 2000. ... jurnal. Internet- Rosstat veb-saytlari ...

& axborot resurslarining ochiq ma'lumotlar bazalarini shakllantirish &

Hisobot

Malumot nashrlari. Bibliografik imtiyozlar. Bo'lim 1. Malumot nashrlari ... yarashtirish protseduralari. Internet-versiyasi jurnal kirish huquqini beradi ... URSS / Internet-Xol iboratningikkitasi bo'limlar: ... idora mutaxassislari informatika va telekommunikatsiya ...

Notation belgilangan maxsus belgilar (raqamlar) to'plamidan foydalanib raqamni yozish usuli.

Izoh:

raqamlar to'plamining (butun sonlar va / yoki haqiqiy) tasvirini beradi;

har bir raqamga noyob vakolatxonani (yoki hech bo'lmaganda standart tasvirni) beradi;

sonning algebraik va arifmetik tuzilishini aks ettiradi.

Raqamni ma'lum sanoq tizimida yozish deyiladi raqam kodi.

Raqamni ko'rsatishda alohida pozitsiya deyiladi tushirish, bu pozitsiya raqami ekanligini anglatadi tartib raqami.

Raqamdagi bitlar soni deyiladi tishlash va uning uzunligiga mos keladi.

Sanoq tizimlari bo'linadi pozitsion va pozitsiyasiz. Pozitsion sanoq tizimlari ikkiga bo'lingan

ustida bir hil va aralashgan.

sakkizli sanoq tizimi, o'n oltilik sanoq tizimi va boshqa sanoq tizimlari.

Sanoq tizimlarining tarjimasi. Raqamlarni bitta sanoq tizimidan boshqasiga o'tkazish mumkin.

Turli xil sanoq tizimlarida raqamlarning yozishmalar jadvali.