A1 arifmetik progressiya formulasida qanday topiladi? teskari matritsa

Shunday qilib, matritsalarni onlayn tarzda hal qilish bo'yicha xizmatlar:

Matritsalar bilan ishlash xizmati elementar matritsali o'zgarishlarni amalga oshirishga imkon beradi.
Agar sizda murakkabroq transformatsiyani amalga oshirish vazifasi bo'lsa, unda ushbu xizmat konstruktor sifatida ishlatilishi kerak.

Misol... Matritsalar berilgan A va B, topish kerak C = A -1 * B + B T,

Avval topishingiz kerak teskari matritsaA1 = A-1, teskari matritsani topish xizmatidan foydalangan holda;
Keyinchalik, matritsani topgandan keyin A1 buni qiling matritsani ko'paytirishA2 = A1 * B matritsani ko'paytirish xizmatidan foydalanish;
Keling, qatl qilaylik matritsa transpozitsiyasiA3 = B T (transpozitsiya qilingan matritsani topish xizmati);
Va oxirgi narsa - matritsalarning yig'indisini toping Dan = A2 + A3(matritsalar yig'indisini hisoblash xizmati) - va biz eng batafsil echim bilan javob olamiz!

Matritsalar mahsuloti

Bu onlayn xizmat ikki qadam:

Birinchi omil matritsasini kiriting A
Ikkinchi omil matritsasini yoki ustun vektorini kiriting B

Matritsa-vektorni ko'paytirish

Matritsani vektorga ko'paytirishni xizmat yordamida topish mumkin Matritsani ko'paytirish
(Birinchi omil berilgan matritsa, ikkinchi omil berilgan vektor elementlaridan iborat ustun bo'ladi)

Bu onlayn xizmat ikki qadam:

Matritsani kiriting A, buning uchun teskari matritsani topishingiz kerak
Teskari matritsani topish uchun batafsil echim bilan javob oling

Matritsani aniqlovchi

Bu onlayn xizmat bir qadam:

Matritsani kiriting A, buning uchun matritsaning determinantini topishingiz kerak

Matritsa transpozitsiyasi

Bu erda siz matritsani transpozitsiya qilish algoritmini kuzatishingiz va bunday muammolarni o'zingiz hal qilishni o'rganishingiz mumkin.
Bu onlayn xizmat bir qadam:

Matritsani kiriting A ko'chirilishi kerak

Matritsa darajasi

Bu onlayn xizmat bir qadam:

Matritsani kiriting A, buning uchun siz darajani topishingiz kerak

Matritsaning o'ziga xos qiymatlari va matritsaning o'ziga xos vektorlari

Bu onlayn xizmat bir qadam:

Matritsani kiriting A, buning uchun siz o'z vektorlarini va o'z qiymatlarini (o'z qiymatlarini) topishingiz kerak

Matritsaning ko'rsatkichi

Bu onlayn xizmat ikki qadam:

Matritsani kiriting A, uni kuchga ko'tarasiz
Butun sonni kiriting q- daraja

$ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ sharti bajarilgan bo'lsa, $ A ^ (- 1) $ matritsasi $ A $ kvadratik matritsaga nisbatan teskari deb ataladi. , bu erda $ E $ tartibi $ A $ matritsasining tartibiga teng bo'lgan identifikatsiya matritsasi.

Degeneratlanmagan matritsa - determinanti nolga teng bo'lmagan matritsa. Shunga ko'ra, degeneratsiya matritsasi - bu determinant nolga teng.

$ A ^ (- 1) $ teskari matritsa mavjud, agar $ A $ matritsasi noaniq bo'lsa. Agar $ A ^ (- 1) $ teskari matritsa mavjud bo'lsa, unda u noyobdir.

Matritsani teskari topishning bir necha usullari mavjud va biz ulardan ikkitasini ko'rib chiqamiz. Ushbu sahifada matematikaning aksariyat oliy o'quv kurslarida standart hisoblangan biriktirilgan matritsa usuli yoritiladi. Gauss usuli yoki Gauss-Jordan usulidan foydalanishni o'z ichiga olgan teskari matritsani topishning ikkinchi usuli (elementar o'zgartirishlar usuli) ikkinchi qismda muhokama qilinadi.

Biriktirilgan (biriktirilgan) matritsa usuli

$ A_ (n \ marta n) $ matritsasi berilsin. $ A ^ (- 1) $ matritsasining teskarisini topish uchun uchta qadam kerak:

$ A $ matritsasining determinantini toping va $ \ Delta A \ neq 0 $, ya'ni A matritsasi degenerativ emas.
$ A_ $ matritsasining har bir elementining $ A_ (ij) $ algebraik komplektlarini tuzing va $ A_ (n \ marta n) ^ (*) = \ chap (A_ (ij) \ o'ng) $ matritsasini yozing. algebraik qo'shimchalarni topdi.
$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ formulasini hisobga olgan holda teskari matritsani yozing.

$ A (A ^ (*)) ^ T $ matritsasi ko'pincha $ A $ matritsasiga qo'shilgan (o'zaro, qo'shma) deb nomlanadi.

Agar yechim qo'lda bajarilgan bo'lsa, unda birinchi usul faqat nisbatan kichik tartibdagi matritsalar uchun foydalidir: ikkinchi (), uchinchi (), to'rtinchi (). Yuqori tartibli matritsaning teskari tomonini topish uchun boshqa usullar qo'llaniladi. Masalan, ikkinchi qismida muhokama qilingan Gauss usuli.

Misol # 1

$ A = \ chap (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & teskari toping. - 1 & -9 & 0 \ end (array) \ right) $.

To'rtinchi ustunning barcha elementlari nolga teng bo'lgani uchun $ \ Delta A = 0 $ (ya'ni $ A $ matritsasi degeneratsiya qilingan). $ \ Delta A = 0 $ bo'lgani uchun $ A $ matritsasiga teskari matritsa mavjud emas.

Javob$ A ^ (- 1) $ matritsasi mavjud emas.

2-misol

$ A = \ chap (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $ matritsasining teskarisini toping. Tekshiring.

Biz biriktirilgan matritsa usulidan foydalanamiz. Birinchidan, $ A $ berilgan matritsaning determinantini topamiz:

$$ \ Delta A = \ chap | \ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Agar $ \ Delta A \ neq 0 $ bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud, shuning uchun biz echimni davom ettiramiz. Algebraik qo'shimchalarni topish

\ begin (hizalanmış) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ end (hizalanmış)

Biz algebraik qo'shimchalardan matritsa tuzamiz: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

Natijada matritsani o'tkazing: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (natija matritsa ko'pincha $ A $ matritsasiga qo'shilgan yoki qo'shilgan matritsa deb ataladi). $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ formulasidan foydalanib, bizda:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) = \ chap (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $$

Shunday qilib teskari topilgan: $ A ^ (- 1) = \ chap (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. Natijada haqiqiyligini tekshirish uchun tengliklardan birining to'g'riligini tekshirish kifoya: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ yoki $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ tengligini tekshiramiz. Kasrlar bilan kamroq ishlash uchun $ A ^ (- 1) $ matritsasini $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103) shaklida emas, balki almashtiramiz. & 5/103 \ end (array) \ right) $, va $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 kabi \ end (array) \ right) $:

$$ A ^ (- 1) \ cdot (A) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end () qator) \ o'ng) \ cdot \ chap (\ begin (qator) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (qator) \ o'ng) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ chap ( \ begin (array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) $ \ right) = E $$

Javob$ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $.

Misol № 3

$ A = \ chap (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $ matritsasining teskarisini toping. Tekshiring.

$ A $ matritsasining determinantini hisoblashdan boshlaymiz. Shunday qilib, $ A $ matritsasining determinanti quyidagicha:

$$ \ Delta A = \ chap | \ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ o'ng | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Agar $ \ Delta A \ neq 0 $ bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud, shuning uchun biz echimni davom ettiramiz. Berilgan matritsaning har bir elementining algebraik qo'shimchalarini topamiz:

$$ \ begin (hizalanmış) & A_ (11) = (- 1) ^ (2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 9 & 4 \\ 3 & 2 \ end (array) \ right | = 6; \; A_ (12) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) -4 & 4 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 8; \; A_ (13) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) -4 & 9 \\ 0 & 3 \ end (array) \ right | = -12; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 7 & 3 \\ 3 & 2 \ end (array) \ right | = -5; \; A_ (22) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 2; \; A_ (23) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ 0 & 3 \ end (array) \ right | = -3; \\ & A_ (31) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 7 & 3 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | = 1; \; A_ (32) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ -4 & 4 \ end (array) \ right | = -16; \; A_ (33) = (- 1) ^ (6) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ -4 & 9 \ end (array) \ right | = 37. \ end (hizalanmış) $$

Biz algebraik qo'shimchalar matritsasini tuzamiz va uni ko'chirib o'tkazamiz:

$$ A ^ * = \ chap (\ begin (array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (array) \ right); \; (A ^ *) ^ T = \ chap (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) ... $$

$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ formulasidan foydalanib quyidagilarga erishamiz:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (array) \ right) = \ chap (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $$

Shunday qilib $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $. Natijada haqiqiyligini tekshirish uchun tengliklardan birining to'g'riligini tekshirish kifoya: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ yoki $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $ tengligini tekshiramiz. Kasrlar bilan kamroq ishlash uchun $ A ^ (- 1) $ matritsasini $ \ chap (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4 shaklida emas, balki almashtiramiz. / 13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $, va $ \ frac (1) (26) \ cdot \ chap (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $:

$$ A \ cdot (A ^ (- 1)) = \ chap (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array)) \ o'ng) \ cdot \ frac (1) (26) \ cdot \ chap (\ begin (qator) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (array) \ right) = E $$

Tekshiruv muvaffaqiyatli o'tdi, teskari $ A ^ (- 1) $ to'g'ri topildi.

Javob: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $.

Misol № 4

$ A = \ chap (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 "ning teskarisini toping. & -8 & -3 \ end (array) \ right) $.

To'rtinchi tartibli matritsa uchun algebraik qo'shimchalar yordamida teskari matritsani topish biroz mushkul. Biroq, bunday misollar test qog'ozlarida uchraydi.

Matritsaning teskari tomonini topish uchun avval $ A $ matritsasining determinantini hisoblash kerak. Bunday vaziyatda buni qilishning eng yaxshi usuli - determinantni satr (ustun) bo'yicha kengaytirish. Biz har qanday satr yoki ustunni tanlaymiz va tanlangan satr yoki ustunning har bir elementining algebraik qo'shimchalarini topamiz.

Masalan, birinchi qator uchun biz quyidagilarni olamiz:

$$ A_ (11) = \ chap | \ begin (array) (ccc) 7 & 5 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \ end (array) \ right | = 556; \; A_ (12) = - \ chap | \ begin (qator) (ccc) 9 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \ end (array) \ right | = -300 ; $$ $$ A_ (13) = \ chap | \ begin (array) (ccc) 9 & 7 & 2 \\ 7 & 5 & 7 \\ -4 & 8 & -3 \ end (array) \ o'ng | = -536; \; A_ (14) = - \ chap | \ begin (array) (ccc) 9 & 7 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ -4 & 8 & -8 \ end (array) \ right | = -112. $$

$ A $ matritsasining determinanti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

$$ \ Delta (A) = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14) ) = 6 \ cdot 556 + (- 5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $$

$$ \ begin (hizalanmış) & A_ (21) = - 77; \; A_ (22) = 50; \; A_ (23) = 87; \; A_ (24) = 4; \\ & A_ (31) = -93; \; A_ (32) = 50; \; A_ (33) = 83; \; A_ (34) = 36; \\ & A_ (41) = 473; \; A_ (42) = - 250 ; \; A_ (43) = - 463; \; A_ (44) = - 96. \ end (hizalanmış) $$

Algebraik komplement matritsasi: $ A ^ * = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ end (array) \ right) $.

Qo'shilgan matritsa: $ (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (array) \ right) $.

Teskari matritsa:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (100) \ cdot \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28 / 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end (array) \ right) $$

Tekshirish, agar kerak bo'lsa, avvalgi misollarda bo'lgani kabi amalga oshirilishi mumkin.

Javob: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end (array) \ o'ng) $.

Ikkinchi qismda teskari matritsani topishning boshqacha usuli ko'rib chiqiladi, bu Gauss usuli yoki Gauss-Jordan usuli konvertatsiyalaridan foydalanishni o'z ichiga oladi.

(3) chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun x 1 biz Gauss usulidan foydalanamiz.

Qolgan chiziqli tenglamalar tizimlari (2) shunga o'xshash tarzda echiladi.

Nihoyat, ustunli vektorlar guruhi x 1, x 2, ..., x n teskari shaklni hosil qiladi A -1.

E'tibor bering, bir marta almashtirish matritsalarini toping P 1, P 2, ..., P n-1 va istisno matritsalari M 1, M 2, ..., M n-1(Gaussni yo'q qilish usuli sahifasiga qarang) va matritsa tuzish

M = M n-1 P n-1 ... M 2 P 2 M 1 P 1,

tizim (2) shaklga aylantirilishi mumkin

MAx 1 = Men 1,
MAx 2 = Men 2,
......
MAx n = Me n.

Bu erdan x 1, x 2, ..., x n, turli xil o'ng tomonlari bilan Men 1, Men 2, ..., Men n.

Teskari matritsani hisoblashda identifikatsiya matritsasini asl matritsaning o'ng tomoniga qo'shish va oldinga va teskari yo'nalishda Gauss usulini qo'llash qulayroqdir.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Teskari matritsani hisoblash misoli

Teskari matritsani topish talab etilsin A -1 berilgan matritsa uchun A:

Keling, o'ng tomonga shaxsiyat matritsasini yozamiz:

Biz "4" burilish elementini tanlaymiz (chunki u mutlaq qiymati bo'yicha eng kattasi) va birinchi va uchinchi qatorlarni qayta joylashtiramiz:

Birinchi ustun uchun Gauss istisnosini qo'llang:

Ikkinchi va uchinchi qatorlarni almashtiring va ikkinchi ustun uchun Gauss istisnosini qo'llang.

Teskari matritsani topish usullari. Kvadrat matritsani ko'rib chiqing

Ph = det A ni belgilaymiz.

A kvadrat matritsa deyiladi nasli buzilmagan, yoki yagona bo'lmagan agar uning determinanti nolga teng bo'lsa va buzilib ketgan, yoki maxsus, agar aΔ = 0.

Kvadrat matritsa B bir xil tartibdagi A kvadrat matritsa uchun mavjud, agar ularning hosilasi A B = B A = E bo'lsa, bu erda E A va B matritsalari bilan bir xil tartibdagi identifikatsiya matritsasi.

Teorema . A matritsaning teskari matritsaga ega bo'lishi uchun uning determinanti nolga teng bo'lishi zarur va etarli.

A matritsasining teskari matritsasi, A bilan belgilanadi- 1, shuning uchun B = A - 1 va formula bo'yicha hisoblanadi

, (1)

bu erda A i j - A .. matritsaning a i j elementlarining algebraik to'ldiruvchisi.

Yuqori tartibli matritsalar uchun (1) formula bo'yicha A -1 ni hisoblash juda mashaqqatli, shuning uchun amalda elementar konvertatsiya (EP) usuli yordamida A -1 ni topish qulay. Har qanday bema'ni A matritsani E ustunlik EP yordamida faqat ustunlar (yoki faqat qatorlar) yordamida kamaytirish mumkin.A agar A matritsasi ustida mukammal bo'lgan RaIlar E identifikator matritsasiga bir xil tartibda qo'llanilsa, natijada teskari bo'ladi. matritsa. EPni bir vaqtning o'zida A va E matritsalari ustida bajarish, ikkala matritsani chiziq bo'ylab yonma-yon yozish bilan bajarish qulay. Qayta e'tibor bering, topish uchun matritsaning kanonik shaklini topishda qatorlar va ustunlar konvertatsiyasidan foydalanish mumkin. Agar siz matritsaning teskari tomonini topishingiz kerak bo'lsa, transformatsiya jarayonida faqat satrlar yoki faqat ustunlardan foydalanish kerak.

1-misol... Matritsa uchun A -1 ni toping.

Qaror.Dastlab A matritsaning determinantini topamiz
shuning uchun teskari matritsa mavjud va biz uni quyidagi formula bo'yicha topishimiz mumkin: , bu erda A i j (i, j = 1,2,3) - asl matritsaning a i j elementlarining algebraik qo'shimchalari.

Qayerdan .

2-misol... Elementar transformatsiyalar usulidan foydalanib, matritsa uchun A -1 ni toping: A =.

Qaror.O'ng tarafdagi asl matritsaga xuddi shu tartibdagi identifikatsiya matritsasini beramiz: ... Elementar ustunli konvertatsiyalar yordamida biz chap "yarmini" birlikka keltiramiz, bir vaqtning o'zida o'ng matritsa bo'ylab aynan bir xil o'zgarishlarni amalga oshiramiz.
Buning uchun birinchi va ikkinchi ustunlarni almashtiramiz: ~ ... Birinchisini uchinchi ustunga qo'shing, ikkinchisiga -2 ga ko'paytiring: ... Birinchi ustundan biz ikkinchisini ikki baravar, uchinchisidan - ikkinchisini 6 ga ko'paytiramiz; ... Uchinchi ustunni birinchi va ikkinchisiga qo'shamiz: ... Oxirgi ustunni -1 ga ko'paytiramiz: ... Vertikal chiziqning o'ng tomonida olingan kvadrat matritsa berilgan A matritsaga teskari bo'ladi.
.

Umumta'lim maktabida (9-sinf) algebra o'qiyotganda, muhim mavzulardan biri bu sonli ketma-ketliklarni o'rganishdir, ular progressiyalarni o'z ichiga oladi - geometrik va arifmetik. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiyani va echimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz.

Arifmetik progresiya nima?

Buni tushunish uchun ko'rib chiqilayotgan progressiyaning ta'rifini berish, shuningdek, muammolarni hal qilishda kelgusida foydalaniladigan asosiy formulalarni berish kerak.

Arifmetik yoki algebraik progresiya - bu har bir atamasi oldingisidan qandaydir doimiy miqdor bilan farq qiladigan tartiblangan ratsional sonlar to'plami. Ushbu qiymat farq deb ataladi. Ya'ni, tartiblangan raqamlar qatorining istalgan a'zosi va farqini bilib, butun arifmetik progressiyani tiklashingiz mumkin.

Misol keltiraylik. Raqamlarning quyidagi ketma-ketligi arifmetik progressiya bo'ladi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holda farq 4 ga teng (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlar to'plamini endi ko'rib chiqilayotgan progresiya turiga kiritish mumkin emas, chunki uning farqi doimiy qiymat emas (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17) - 12).

Muhim formulalar

Keling, arifmetik progressiya yordamida masalalarni echish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni keltiramiz. Ketma-ketlikning n-chi a'zosini n bilan belgilaylik, bu erda n butun son. Farqi lotin d harfi bilan belgilanadi. Keyin quyidagi iboralar amal qiladi:

N-chi hadning qiymatini aniqlash uchun formula mos keladi: a n = (n-1) * d + a 1.
Birinchi n atamaning yig'indisini aniqlash uchun: S n = (a n + a 1) * n / 2.

9-sinfda arifmetik progressiyaning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikkita formulani esga olish kifoya, chunki ko'rib chiqilayotgan turdagi har qanday muammolar ulardan foydalanishga asoslangan. Shuni ham yodda tutish kerakki, progressiyaning farqi quyidagi formula bilan aniqlanadi: d = a n - a n-1.

1-misol: noma'lum a'zoni topish

Arifmetik progresiya va hal qilish uchun ishlatilishi kerak bo'lgan formulalarga oddiy misol keltiramiz.

10, 8, 6, 4, ... ketma-ketligi berilsin, unda beshta atamani topish kerak.

Muammoning echimidan allaqachon dastlabki 4 ta shart ma'lum bo'lganligi kelib chiqadi. Beshinchisini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin:

Avval farqni hisoblab chiqamiz. Bizda: d = 8 - 10 = -2. Xuddi shunday, bir-birining yonida turgan yana ikkita a'zoni olish mumkin. Masalan, d = 4 - 6 = -2. D = a n - a n-1 ekanligi ma'lum bo'lganligi sababli, d = a 5 - a 4, qaerdan olamiz: a 5 = a 4 + d. Ma'lum qiymatlarni almashtiring: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan progressiyaning farqini bilishni talab qiladi, shuning uchun avval uni yuqorida ko'rsatilgan tarzda aniqlash kerak (d = -2). Birinchi atama a 1 = 10 ekanligini bilib, ketma-ketlikning n soni uchun formuladan foydalanamiz. Bizda: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Oxirgi ifodada n = 5 o'rnini egallab, quyidagilarga erishamiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ko'rib turganingizdek, ikkala yechim usuli ham bir xil natijaga olib keldi. E'tibor bering, ushbu misolda progressiyaning d farqi manfiydir. Bunday ketma-ketliklar kamayish deb ataladi, chunki har bir keyingi muddat avvalgisidan kam.

Misol # 2: Progressiya farqi

Endi vazifani biroz murakkablashtiraylik, qanday qilib misol keltiraylik

Ma'lumki, ba'zilarida 1-chi son 6 ga, 7-chi qo'shiq 18 ga teng. Farqni topish va shu ketma-ketlikni 7-chorakka tiklash kerak.

Noma'lum atamani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n = (n - 1) * d + a 1. Unda biz ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni shartdan almashtiramiz, ya'ni a 1 va a 7 raqamlari, bizda: 18 = 6 + 6 * d. Ushbu iboradan farqni osongina hisoblashingiz mumkin: d = (18 - 6) / 6 = 2. Shunday qilib, biz masalaning birinchi qismiga javob berdik.

7 ta terminga qadar ketma-ketlikni tiklash uchun siz algebraik progressiyaning ta'rifidan foydalanishingiz kerak, ya'ni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d va hk. Natijada biz butun ketma-ketlikni tiklaymiz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Misol # 3: progressiv rivojlanish

Keling, muammoning holatini yanada murakkablashtiraylik. Endi arifmetik progressiyani qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob berish kerak. Siz quyidagi misolni keltirishingiz mumkin: ikkita raqam berilgan, masalan - 4 va 5. Bular orasida yana uchta atama mos bo'lishi uchun algebraik progressiya qilish kerak.

Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, kelgusi progressiyada berilgan raqamlar qaysi o'rinni egallashini tushunish kerak. Ular orasida yana uchta atama bo'lishi kerakligi sababli, u holda 1 = -4 va 5 = 5. Buni o'rnatganimizdan so'ng, avvalgisiga o'xshash masalaga o'tamiz. Shunga qaramay, n-chi muddat uchun biz formuladan foydalanamiz, quyidagicha olamiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Qayerdan: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Bu erda biz farqning butun qiymatini olmadik, ammo bu ratsional son, shuning uchun algebraik progressiyaning formulalari bir xil bo'lib qolmoqda.

Endi topilgan farqni 1 ga qo'shing va etishmayotgan a'zolarni tiklang. Biz quyidagilarni olamiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5 muammoning sharti bilan.

Misol # 4: progressiyaning birinchi muddati

Keling, yechim bilan arifmetik progresiya misollarini keltiring. Oldingi barcha muammolarda algebraik progressiyaning birinchi soni ma'lum bo'lgan. Endi boshqa turdagi masalani ko'rib chiqing: ikkita raqam berilsin, bu erda 15 = 50 va 43 = 37. Ushbu ketma-ketlik boshlanadigan sonni topish kerak.

Hozirgacha ishlatilgan formulalar $ a $ va $ d $ ga ega. Muammoni hal qilishda ushbu raqamlar haqida hech narsa ma'lum emas. Shunga qaramay, biz har bir a'zo uchun ma'lumot mavjud bo'lgan iboralarni yozamiz: a 15 = a 1 + 14 * d va 43 = a 1 + 42 * d. Ikkita noma'lum miqdor (a 1 va d) bo'lgan ikkita tenglama qabul qilindi. Bu shuni anglatadiki, muammo chiziqli tenglamalar tizimini echishga kamayadi.

Ushbu tizimni hal qilishning eng oson yo'li har bir tenglamada 1 ni ifodalash, so'ngra hosil bo'lgan ifodalarni taqqoslashdir. Birinchi tenglama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikkinchi tenglama: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ushbu ifodalarni tenglashtirsak, quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, bu erda farq d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (faqat 3 ta kasr berilgan).

$ D $ ni bilib, siz $ 1 $ uchun yuqoridagi $ 2 $ har qanday iboralardan foydalanishingiz mumkin. Masalan, birinchisi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Agar natijada shubhangiz bo'lsa, uni tekshirib ko'rishingiz mumkin, masalan, shartda ko'rsatilgan progressiyaning 43 muddatini aniqlang. Biz olamiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kichkina xatolik hisob-kitoblarning minginchi qismga yaxlitlashidan foydalanilganligi bilan bog'liq.

5-misol: miqdor

Endi arifmetik progressiyaning yig'indisi echimlari bilan bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.

Quyidagi shakldagi raqamli progressiya berilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Ushbu 100 raqamning yig'indisini qanday hisoblash mumkin?

Kompyuter texnologiyalarining rivojlanishi tufayli bu muammoni hal qilish mumkin, ya'ni barcha raqamlarni ketma-ket qo'shish mumkin, bu kompyuter Enter tugmachasini bosishi bilan kompyuter tomonidan amalga oshiriladi. Ammo, agar berilgan raqamlar qatori algebraik progresiya ekanligi va uning farqi 1. Bu yig'indining formulasini qo'llasak, quyidagilarga erishamiz: S n = n * (a 1) + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Shunisi qiziqki, bu muammo "Gauss" deb nomlangan, chunki 18-asrning boshlarida taniqli nemis hali 10 yoshida bo'lganida, uni bir necha soniya ichida hal qila olgan. Bola algebraik progressiyaning yig'indisi formulasini bilmas edi, lekin agar u ketma-ketlik qirralaridagi sonlarni juft-juft qilib qo'shsangiz, har doim bitta natija, ya'ni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., va bu miqdorlar to'liq 50 (100/2) bo'lishi sababli to'g'ri javobni olish uchun 50ni 101 ga ko'paytirish kifoya.

Misol # 6: n dan m gacha bo'lgan a'zolar yig'indisi

Arifmetik progresiya yig'indisining yana bir tipik misoli quyidagicha: 3, 7, 11, 15, ... raqamlar qatori berilgan bo'lsa, uning 8 dan 14 gacha bo'lgan a'zolari yig'indisi nimaga teng bo'lishini topish kerak.

Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi. Ulardan birinchisi 8 dan 14 gacha bo'lgan noma'lum atamalarni topishni, so'ngra ularning ketma-ket yig'ilishini o'z ichiga oladi. Atamalar oz bo'lganligi sababli, bu usul etarli darajada mashaqqatli emas. Shunga qaramay, ushbu muammoni ko'proq universal bo'lgan ikkinchi usul bilan hal qilish taklif etiladi.

G'oya m va n atamalar orasidagi algebraik progressiyaning yig'indisi uchun formulani olishdir, bu erda n> m butun sonlardir. Ikkala holat uchun ham yig'indiga ikkita ifodani yozamiz:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

N> m bo'lgani uchun, 2 yig'indisiga birinchisi kirishi aniq. Oxirgi xulosa shuni anglatadiki, agar biz ushbu yig'indilar orasidagi farqni olsak va unga a m atamasini qo'shsak (farqni oladigan bo'lsak, u S n yig'indisidan ayiriladi), shunda biz masalaga kerakli javobni olamiz. Bizda: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). Ushbu ifodada a n va a m formulalarni almashtirish kerak. Keyin olamiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Olingan formulalar biroz noqulay, ammo S mn ning yig'indisi faqat n, m, a 1 va d ga bog'liq. Bizning holatimizda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ushbu sonlarni almashtirib quyidagilarni olamiz: S mn = 301.

Berilgan echimlardan ko'rinib turibdiki, barcha muammolar n-sonli ifoda va birinchi hadlar to'plamining yig'indisi formulasini bilishga asoslangan. Ushbu muammolarning birortasini hal qilishga kirishishdan oldin, shartni diqqat bilan o'qib chiqib, nimani topish kerakligini aniq tushunib oling va shundan keyingina echimga o'ting.

Yana bir maslahat - soddalikka intilish, ya'ni agar siz savolga murakkab matematik hisob-kitoblardan foydalanmasdan javob bera olsangiz, unda siz buni qilishingiz kerak, chunki bu holda xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi. Masalan, # 6 eritma bilan arifmetik progresiya misolida S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am formulada to'xtab, sindirish mumkin. umumiy muammoni alohida subtaskalarga ajratish (bu holda, avval a va am a'zolarini toping).

Olingan natijada shubha tug'ilsa, uni tekshirish tavsiya etiladi, chunki bu ba'zi bir misollarda keltirilgan. Arifmetik progressiyani qanday topish kerakligini aniqladik. Agar buni tushunsangiz, bu unchalik qiyin emas.