Tana polietedra va aylanish yuzalari. Polietra

Mkou "3namenka markaziy o'rta maktab" KurG'skiy tumani

Dars - ekskursiya

"Ko'plab begonalar. Tana aylanishi »

(11-sinfda geometriya darsi)

Tayyorlangan: Matematika o'qituvchisi Bukreev T. A.

Darsning mavzusi: "menchistlar" mavzusida takrorlash. Aylanish organlari. "

Darsning maqsadi:1. Tayyorlanganlarni takrorlang. Va talabalarning bilimlarini umumlashtirish.

2. Talabalarga mavzuni qiziqishini, ufqlarni, ufqlarni kengaytirish, interventlararo munosabatlarni rivojlantirish.

Z. Talabalarning kognitiv faoliyatini o'rganish.

Dars rejasi:

1. O'qituvchining kirish so'zi.

2. "Folxedro olamiga ekskursiya".

Z. eksperimental tajribalar.

4. Amaliy ishlar.

5. Vazifalarni hal qilish.

7. Dars natijasi.

Uskunalar:Polietredraniya modellari, aylanish organlari, rasmlar bo'yicha rassom Shishkinning "yashirin oqshom", tajribalar, kompyuter, proektorlar bilan chizish.

Sinflar davomida:

1 . O'qituvchining kirish so'zi

Bolalar, bugungi kunda biz g'ayrioddiy shaklda o'tkaziladigan geometriya kursini takrorlash uchun yana bir dars o'tkazamiz. Falmedra ma'lumotnomaining mavzusi. Aylanish jismlari "Biz siz bilan ushbu mavzu bo'yicha asosiy tushunchalarni takrorladik, turli xil formulalardan foydalanish vazifalarini hal qildi. Ammo menimcha, bugungi darsda siz ko'proq qiziq faktlarni bilib olasiz (dars rejasini aytib bering). Va endi ozgina eslaylik.

Puliredron deb ataladi?

Falhamedra misollarini keltiringmi?

Aylanish organi deb ataladi?

Aylanish organlariga misollar keltiring.

Har qanday polietronning asosiy elementlari nima? (verterlar, qovurg'a, yuz).

Barcha keng tarqalgan mulkka ega mulkka egalik qiladimi?

(Ikki peymetronning qirralari sonining yig'indisi, i.e. b + R - p \u003d 2). Ushbu taklif "Teorema Eyler" deb nomlanadi.

Bolalar va endi men sizga "Menofmer va aylanish dunyosiga ozgina ekskursiya qilish" ni taklif qilaman. Va biz bu guruhda bizga yordam beramiz. Iltimos, yigitlar. Siz so'zsiz.

"Teorema Eyler" Folxedra haqida

B + janob \u003d 2

2. Ekskursiya.

1 qo'llanma . Hamma piramida, konus, prizma, silindr, to'p, to'p kabi tanaga yaxshi ma'lum. Siz bu raqamlarning nomi kelganidan kimdir haqida o'yladingizmi? Iltimos, taniqli rassom Shishkin "kemasi bog'i" ning rasmiga qarang. Va endi keyingi raqamga e'tibor bering (2 raqami 2 raqami). Bu erda siz konus tasvirini ko'rasiz. Va mening qo'llarimda men konus modeli bor. Siz aytasiz va bu rasm va bu organ o'rtasidagi bog'liqlik nima bo'ladi. Bu eng zudlik bilan bo'ladi. Rasmda qarag'ay ko'rsatilgan va men saqlaydigan model yunon tilida "qarag'ayning qarag'ayi" degan ma'noni anglatadi. Va, albatta, qarang, konus bu urishga o'xshaydi. Ushbu "urish" yunon corosda. Shuning uchun bunday shaklning jasadlari konus deb nomlangan.

Umuman olganda, Gretsiyada Geometriya "Ovalz" ga hech kim qilmadi, shuning uchun geometrik raqamlar hech qanday ismga ega emas edi. Yunonlar bu so'zlarni so'zma-so'z deb atashni boshladilar, ularni xuddi shunday yonoqlarga ifoda etishdi. Masalan, aylantirish pinlari yashil rangga aylangan ichki rangga ega bo'lgan ichki kiyimlarni aylantirish uchun ishlatilgan. Shuning uchun, yumaloq kesilgan qismli barcha cho'zilgan jismlar silindr nomini olishdi. Quyidagi shaxs quyidagi shaklda ko'rsatilgan tanani misrlik piramidalarni eslatadi, shuning uchun bunday jasadlar piramida deb atalgan.

Shu bilan birga, Misrda piramidalarning asoslari to'rtburchaklar edi va yunonlar to'rtburchaklar va hatto olti burchakli piramidalar o'rganilgan.

Va sizning ismingizni qaerdan oldingiz? Yunon tilida to'p bolalar o'ynagan to'pni (3 raqami) o'ynadi.

2 qo'llanma. Va endi polihedra guruhiga e'tibor bering: tetraedr, kub, ikozahedron, oktaedredron, Dodecaxedron. Ma'lumki, bular qadimgi Yunonistonda ham tanilgan va taniqli "boshlangan" ning 13-kitobi, Evlokida ularga bag'ishlangan.

To'g'ri polihedra ta'limoti uning toji "boshlandi". Birinchidan, etkazib beriladigan poliledraning mavjudligini belgilaydi va keyin isbotlaydi. 18 yoshida, 13-kitobning oxirgi hukmi, eslatib o'tilgan beshta tanadan tashqari, boshqa to'g'ri polixedra.

Ammo shuni ta'kidlashicha, polihedra arximedlar (5-sonli slayd) bilan shug'ullangan, ammo uning ishi bizga etib bormagan. Arximedes yarim nusxadagi kashfiyotga tegishli bo'lib, ularning har biri bir xil to'g'ri ko'pburchaklar bilan cheklangan va ko'p qirrali burchaklar va bir xil miqdordagi ko'pburchaklar teng va bir xil bo'lgan ko'pburchaklar tengdir Har bir verteksdagi yuzlar bir xil darajada tengdir. Ushbu organlarning yuzlari 8 dan 92 gacha bo'lgan.

Qadimgi yunonlar aynan shu polytedranni o'rgangan, deb ishonilganidek, ushbu organlarning shakllari (6-slayd) ning shakllari bo'lgan deb ishonilganidek: Yong'in - Tetraedr, Hexhaxedron (kubik), havo - oktaedr, suv - ikozaedredron yoki shunday dedi; Ushbu to'rtta polih to'rtta elementni aniqlab, olov, er, suv va havo va beshinchi polihedr shakli, ya'ni Dodcastededronning barcha koinotini anglatadi.

Ely Salvadorning rasmini takrorlash to'g'risida behuda emas "Siroviy oqshom", Talabalari bilan Masih juda katta shaffof dodekaxedron fonida (7-sonli) fitnaga qarshi o'tirgan.

Ular, shuningdek, pollohning ko'p shakllari odam bilan birga kelmaganligi, tabiat ularning tabiati kristallar shaklida yaratilganligini payqashdi. Kristallar - tabiiy polietedra. Masalan, tog 'kristalli yoki kvarts. Ikki tomondan qalamni eslatadi, i.e. olti burchakli piramidali piramidalar bilan ta'minlanganligi asosida olti burchakli prizmaning shakli. Islandiya Spat - parallelevit qilingan obstruktsiya shakli bor.

Pirit (yoki oltingugurtli oltingugurt) ko'pincha oktaedr shaklida, ba'zan kub yoki hatto kesilgan oktaedrning kesishgan.

O'tgan asrning boshida frantsuz matematik va mexanikasi (1777-1859) (8-sonli) (8-sonli) (8-slayd) (8-slayd), uning geometrikasi "8-slayd" (8-slayd), to'g'ri noto'g'ri bo'lmagan polietedraning mavjudligini ochdi. Bunday raqamlarning 4 turi mavjud edi. 1812 yilda O. Kauch boshqa to'g'ri yulduzli polihedra mavjud emasligini isbotladi (9-slayd).

3 qo'llanma . Va endi ular paydo bo'lgan formulalar va olimlar haqida gaplashaylik. Fuledra va aylanma tanalar hajmini hisoblash uchun ko'plab formulalarni o'rgandik, ularning yuzalarining joylarini hisoblash uchun. Ammo siz bunday savol haqida o'ylaganmisiz va bu formulalar qancha vaqt paydo bo'ldi va ularni birinchi marta ochdi? Ma'lum bo'lishicha, bizning davrimizdan uzoq vaqt davomida ko'plab jismlar (paralleleved, prizmali, prizma, tsilindrning formulalar hajmi ma'lum bo'lgan.

Keyinchalik, qadimgi Yunoniston olimlari, Demitus, Evdoks, Evdoks va arximedesning piramidalar, konus, to'p va boshqa jasadlar hajmini hisoblash uchun kashf etilgan. Har bir olimning hissasi haqida gapirib bo'lmaydi, ammo ulardan birida to'xtovsiz, matematika va fizikadagi ko'plab amaliy vazifalarni hal qilgan olim va ixtirochi Arximedee. Barcha hayotida Arximeda siz hamma narsa haqida hech narsa aytolmaysiz. U birinchi marta geometriyada juda ko'p qiyin vazifalarni hal qildi: turli organlarning kvadratlari va hajmlarini hisoblash qoidalarini topdi. Bunday vazifalar orasida silindrning hajmini silindrning hajmiga silindrga kiritish (kiritilgan) hajmining balandligini topish.

Arximeda, o'rnatilgan tsilindrning hajmi silindr hajmining 2/3 ekanligini va to'pning yuzasi silindrning yuzasidan 2/3 qismini tashkil qiladi. Ushbu taklif arximeda juda katta ahamiyatga ega. Afsonada aytilishicha, Arximeda o'z do'stlarini tilaklarini bildirdi, shunda uning qabrini bosganidan keyin chizilgan, rasm bu vazifani chizib, men aytmoqchi bo'lgan qiziqarli haqiqat. Arximed Sirakuzaning kichik orolida, Sity orolida yashar edi. U taxminan 70 yoshga to'lganda, 212 yilda bizning eski Kengashimiz boshlanishidan oldin, uning vatani kuchli Rim qo'shinlari tomonidan qurshab olingan va talab qilingan. Sirakuusers o'zlarini himoya qilishga qaror qilishdi. Mudofaa etakchilaridan biri arximed edi, Sirakusetsetsliklar deyarli bir yil edi, uning rahbarligi ostida bo'lgan ko'plab Rim qo'shinlari. Geometriya, arximedlar haqidagi bilimlaringizdan foydalanib, ulkan nometall va ularning yordami bilan Rim jangchilari va dahshati tufayli Rim jangchilari va dahshatni ko'rishgan. Bu erda archimeda hali ham ularning o'limiga yangi mashina ixtiro qilingan. Ammo rimliklar hali ham shaharga tushib, deyarli barcha aholini o'ldirdilar. O'lganlar orasida arxivlangan edi. An'analar, Rim askari qilich bilan arximedlarni qo'yganida, olim "mening rasmlarimga tegmang" deb baqirdi. Arximedlarning xohishlari amalga oshdi. Qabr toshi bilan Sirakuzedagi arximedlar qabrlari unda slayd bilan yozilgan to'pni tasvirlab berdi (10 raqami 10-raqam). Ushbu rasmda 200 yildan keyin olimning qabrini topdi. Bu to'pning formulalarini ochish, va sohaning maydoni ochilishining ramzi. Arximedlar xotirasi ko'plab she'rlarga bag'ishlangan. Ulardan birini tinglang. (She'r).

Arximed xotirasi

Bizning ittifoqimizdan uzoq

Va bizdan oldin ko'p yillar davomida

Qiyin yili, mahalliy Sirakuze

Olim arximedlarini himoya qildi.

Ko'plab OBERA DAVOMI

Ularga mo'ljallangan edi

Shahar uzoq vaqt davomida shod edi,

Olimning donoligi saqlanadi.

Ammo harbiy baxtning qonunlari

Hali ham hech kim tomonidan hisobga olinmagan

Va dushman qismlari amalga oshiriladi

Qorong'i sovg'ada devorlarda.

Noma'lum qopqoq g'oyasi,

U dushmanlar shaharda, deb bilmas edi,

Va zaminda meditatsiya issiq

Ba'zi doiralarni sharmanda qiladi.

U g'ururlanmas,

Hozirgi ishlarni unutish,

Va to'satdan tushunarsiz akkord

Soyali nayza chizilgan.

Ammo tinchlik qo'rqinchli qotillari

U xorlovchi emas, qaltirab bo'lmaydi.

Qo'l cho'zildi

O'zingiz emas, balki chizmalarni chizish.

U askarning nazarida jasorat bilan qaradi:

"Qattiq, Rimliklar dushman!

O'ldirish, chunki bu shunday,

Ammo doiralarda qadam qo'ying!

Men qalam bilan ishlashni xohlayman,

Vatan va Vatan o'zini o'zi beradi

Kasalxonada jang maydonida

O'zim uchun bu men uchun qo'rqinchli emas edi.

Shunday qilib, menda ruhi bor

Siznikining o'limi:

"Shaxsan - meni o'ldir, kampir,

Ammo satrlarda kelmaydi! "

3. Eksperimental tajribalar

O'qituvchi:Yigitlar, menimcha, biz qurol-yarog ', uzoq o'tmishda qiziqarli voqea bo'lgan. Agar kimdir arximedlar tarjimai holini qiziqtirgan bo'lsangiz, siz "Matematika va hayot" gazetasini "Matematika va hayot" sahifalarida batafsilroq ma'lumot olishingiz mumkin. (Ko'rgazma).

Va endi laboratoriyani ko'rib chiqamiz, bu erda tadqiqotchilar guruhi polietedran va aylanish organlari bilan bog'liq ba'zi formulalarning eksperimental isboti bilan shug'ullanishadi. Yigitlar siz so'zingizni ayting.

1 talaba. Bizning tadqiqotlarimiz natijasida pa6os, biz ba'zi formulalarning adolati tajriba yordamida adolatni isbotlay oldik. Endi biz buni namoyish qilamiz.

1 raqami 1. (piramida balandligi)

Ushbu tajriba bilan biz piramidaning hajmi prizma hajmining 1/3 ekanligini ko'ramiz. Buning uchun ikkita tomchi oling: bitta - prizma shakli, boshqa piramida. Piramida va prizmada teng balandliklarga ega (h) taglikka olib boriladi va asosning teng maydonlari. Kema - piramida suv bilan to'ldirilgan, so'ng idishdagi suv - kemadagi piramidalar - prizma. Biz kemaning tanketi - piramidalar kema-prizma tankidan uch baravar kam, ya'ni pir \u003d 1 / 3v.

Shunday qilib, ular piramidaning hajmi prizma hajmining 1/3 ekanligini ta'kidladilar.

Tajriba №2 . (Izometrik asoslar va teng balandlikdagi piramidalarning mulki)

Biz bunday bayonotni bilamizki, ikkita (uchburchakli) piramidalari, bazalarning teng maydoni va teng balandlikdagi ishlab chiqarish asometrikasi, i.e. Teng hajmlarga ega.

Buni quyidagi tajribaga ishonch hosil qiling.

Tajriba.

Tor uchi bo'lgan tomorda suvni teshib qo'yishi uchun suv quying. O'lchov oynasini teshik ostiga almashtirish, siz piramidalardan birini kemaga botirasiz. O'lchov oynasidan foydalanib, piramida tomonidan ko'chirilgan suv hajmi bir vaqtning o'zida o'rganish va piramidaning hajmi. Boshqa piramida bilan tajriba o'tkazgan holda, biz piramidalarning izometrik asoslari va teng balandliklarga ega bo'lsa, ularning hajmi tengdir.

1 piramida - to'rtta sm bo'lgan kvadrat, i.e. Asosiy maydoni 16 sm.

2 piramida - to'rtburchaklar 2 va 8 sm

(Suyuqlikka solingan tananing hajmi ko'chib ketgan suyuqlik hajmiga teng).

3 raqami.. (Sohaning sirt maydoni)

Shimoliy sohaning sirt maydonini xuddi polietronning sirt maydoni deb topib bo'lmaydi, i.e. Uning skaneridan samolyotga foydalanib, samolyotga joy tushirilmaganligi sababli. Ammo siz keyingi tajribadan foydalanishingiz mumkin.

Yarim balli modelni oling va unga ikkita tirnoqni tuzating: bitta doiraning markazida biri yarim to'pning yuqori qismida joylashgan. Men ipning uchini yarim to'pning yuqori qismida joylashgan va yarim ballik sirtining ipini spiral bilan o'rab turgan holda mahkamlang. Keyin yarim to'pning poydevori - katta doira. Ishlatilgan iplar uzunligini o'lchash, biz ipning uzunligi va radius doirasidan, yarim to'pning yuzasini qoplaydigan ip uzunligidan taxminan 2 baravar kam.

Xulosa: yarim to'pning sirt maydoni 2, to'pning sirt maydoni 4. 4. Serve maydoni formula maydoni S \u003d 4t 2 formulasi tomonidan hisoblanadi.

O'qituvchi: Tasvirlangan tajriba eng qadimgilardan biri. Shu bilan odamlar to'pning sirt maydoni katta doirasidan 4 baravar katta ekanligini bilishdi.

Xulosa: Tajribali dalillarning tajribali asoslari o'qitish geometriyasini amaliyot bilan aloqada bo'lish vositasi hisoblanadi.

4. Amaliy ishlar.

Va endi men kichik amaliy ishlarni taklif qilaman.

Vazifa. Sizda stollarda turli geometrik jismlar mavjud. O'zingizni har qanday shaklni tanlang, kerakli o'lchovlarni bajaring va tegishli formuladan foydalangan holda ushbu tananing hajmini hisoblang. (Tovushning qanday hisoblanganligini ayting).

5. Ko'ngil ochgan geometriyaning vazifalari.

Vazifalar sizga quyidagi yigitlarni taklif qiladi. (№11 slayd)

1-band.

Ikki to'g'ri prizma haqida bahslashdi

Qaysi birining hajmini o'z ichiga oladi.

Biri: "Agar barcha omillar ko'rib chiqilsa, -

Axir, men ikki baravar yuqori va oltitaning yuzlari -

Bu erda men uchun g'alaba bo'lgani haqida hech narsa yo'q ... "

Boshqa javoblar: "shoshilmang, kuting!

Kamida beshta yuz va o'sish katta emas,

Ammo tayanchda partiyadan ko'proq. "

Kechqurun, tortishuv, men hech narsasiz qoldirdim.

Bu nizo ichida kim to'g'ri va yaxshi, aniqlandi?

(1-sonli muammoni hal qilish)

Chiqish: Taqqoslash uchun siz hajmlarni topishingiz kerak.

Vazifa 2 raqami.

Futbol to'pi 32ta bezga o'xshaydi, ulardan 20 tasi o'ng elgyonlar va 12 - o'ng pentgons. Bunday polietron qancha uchraydi? (12-raqamli slayd)

Qaror. Vazifada biz kesilgan Ikosaxedra haqida gapiramiz. Ushbu polihedronning qirralarining umumiy sonini toping. 12 12 + 620 \u003d 180, p \u003d 32, p \u003d 32 holatida bo'lganligi sababli

B + g - p \u003d 2, i.e. B \u003d p - r +2 \u003d 90 - 2 \u003d 2 60

Theorema Eyler: Polihedron 2 ning uchlari soni va qirralarining chetlari soni uning qovurg'alari sonidan kattaroqdir, i.e. Da + g - p \u003d 2

Bayonot: Barcha yuzlarning yon tomonlari bir xil darajada ikki baravar ko'paydi,

t. K. Har bir chekka darhol ikki marta hisoblanganda, ikki marta hisoblanganda. (№13 slayd)

Vazifa raqami 3.

Siz omborga yuborishingiz kerak bo'lgan bug'doy g'alla bor. Don hajmini yig'ish uchun narxni baholang. Buni qanday qilish kerak? (№14 slayd)

Qaror. Uning shakliga ko'ra, bir guruh don ma'lum fazoviy raqamlardan sezilarli darajada farq qiladi, ammo u dumaloq konusni olib tashlaydi.

Kon konus v \u003d 1/3 soat. Hatto bir dasta bir donning konus shaklida, to'g'ridan-to'g'ri R va N.ni to'g'ridan-to'g'ri o'lchash qiyin, uni konusning asosi deb hisoblash qiyin, uning aylanasi bir xil uzunlikdagi qoziqning perimetri sifatida. Ushbu uzunlikni to'g'ridan-to'g'ri sim bilan o'lchash mumkin. Agar u teng bo'lsa, unda r \u003d c / 2p. Balandligi, shuningdek, to'g'ridan-to'g'ri o'lchash uchun, ammo kabinaning yordami bilan osonlikcha "kabin" ni toping. P \u003d A vakolati, keyin

4-band.

Va endi men sizlarga haqiqatning donalaridan birini tinglashingizni maslahat beraman, unda haqiqatning hech qanday donasi yo'q. Agar biron-bir qadimgi istak bo'lsa, men hozir aytadigan biron bir fikrni amalga oshirgan bo'lsa, natijaning ikkiyuzlamachiligi tushkunlikka tushadi. (№15 slayd)

Shunday qilib, Pushkinning she'rida Sharq xalqlarining afsonasi Pushkinning she'rida aytilgan.

Men biron bir joyda o'qidim

Podshoh jangchilarni bir marta

Bir guruhda erni yo'q qilishga buyruq berdi, -

Va mag'rurlik tepasi ko'tarildi.

Va shohning orqasidan chiroyli ko'rinishi mumkin edi.

Va dollar oq chodirlar bilan qoplangan

Kemalar qochib ketgan dengiz.

Qaysi balandlik bunday tepalik bo'lishi mumkin? Bu savolga javob berib, natija yuz berayotganiga ishonch hosil qilasiz.

Qaror. 1 haliy \u003d 1 / 5l \u003d 0,2 dm 3

Armiya 100000 kishidan chiqsin. Bir burchak faqat 45 ° (va kamroq), aks holda er yuz o'giradi. Siz boy xayolga ega bo'lish uchun siz boy tasavvurga ega bo'lishingiz kerak.

6 sinov.

Talabalar sinfda o'qishni boshlaydigan sinovlar bilan individual paketlarni olishadi.

7 ta dars.

Konveks polihedr pietedrasi, agar u har bir yuzning tekisligidan bir yo'lda bo'lsa, konveks deb ataladi. Konveks polietronining barcha qirralari konveks anchagisidir. Konveks poxirronda, har bir yuqori qismidagi barcha tekis burchaklar yig'indisi 360 darajadan kam.

Prismning elementlari - prismning asosi - balandligi 3 - yon yuzasi

Piramida elementlari piramidaning piramidaning 3-qismidagi piramidaning 3-qismidagi piramida yuzining balandligi

Dodecaxedron Dodecaxedron o'n ikki tengli pentgondan iborat. Har bir cho'qqis - uchta Pentgonning tepasi. Har bir vertexda tekis burchaklar yig'indisi 324 daraja. Shunday qilib, Dodcaenedronda 12 yuz, 20 versiya va 30 ta qovurg'a bor.

Silindrli silindr deb ataladi, bu bir xil tekislikda yotib, parallel translyatsiya va barcha segmentlar ushbu doiralarning tegishli nuqtalarini bog'laydigan barcha segmentlardan iborat. Sandislar deyiladi (3) va segmentlar - bu (4) deb nomlanadi. Agar uning hosil bo'lishi asosiy samolyotlarga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ridan-to'g'ri deb ataladi. Silindr radiusi - bu uning bazasi radiusi (1). Silindrning balandligi asosiy samolyotlar (2) orasidagi masofadir. Silindrning o'qi to'g'ridan-to'g'ri, tayanch markazlari orqali o'tadi. 4 5.

Konus konusasi doiradan iborat bo'lgan tana - bu doira tekisligida emas, balki va barcha segmentlar Konusni shakllantirish - bu konusni shakllantirish bilan konusning vertexidir. Konusning balandligi perpendikulyar deb ataladi, uning vertexidan tayanch tekislikka (1) tushiriladi. Konusning o'qi to'g'ridan-to'g'ri deb ataladi, uning balandligini o'z ichiga oladi. Konusning umumiy yuzasi uning asosi (5) va yon yuzasidan (3) iborat. Konusning radiusi uning bazasi radiusi. Sohish va to'pning sohasi ushbu nuqtadan (3) joylashgan masofada joylashgan joydan iborat sirt deb ataladi. Bu nuqta soha markazi deb ataladi va bu radius masofasi (1). Tana soha bilan cheklangan to'p deb ataladi. Markaz, shuningdek, sohaning radiusi va diametri markaz, to'pning diametri ham deyiladi. To'pning markazidan o'tib, diagramma tekislik (2) deb nomlanadi. Dietasiz samolyotning kesishishi katta doira deb ataladi va sohaning kesishishi katta doiradir. 3.

Polihedron, tanadan har tomondan cheklangan samolyotlar bilan.Polihedronning elementlari: yuz, qovurg'alar, toplar. Barcha Razember Folixedraning umumiyligi uning panjarasi deb ataladi. Polihedron, agar u bir tomonida uning yuzidagi samolyotning bir tomonida joylashgan bo'lsa, deyiladi; Bunday holda, uning yuzlari konveks ko'pburchaklardir. Conxed Pimatedra uchun Leonard Euler formulani taklif qildi:

R \u003d 2 da r + B - uchlari soni; P - rober raqami.

Ko'plab konveksli polihedra orasida to'g'ri polixedra (Plamidlar), piramida va prizmalar katta qiziqish uyg'otadi. Polihedron deb ataladi, agar uning yuzlari to'g'ri ko'pburchaklar bilan teng bo'lsa. Bular tarkibiga kiradi (26-rasm): a - tetraedr; b - hexhedron (kub); oktaedrda; M - DodecAnedron; D - Ikosaxedron.

a b c d e)

Anjir. 26.

To'g'ri polihedra parametrlari (26-rasm)

	To'g'ri polietron (Tana platoni)	Raqam	Qo'shni burchak ribrami, do'l.
	grand	zangori	ryububer	yon tomonlar. har bir yuz	Riber soni har bir vertexga ega
Tetraedr	4	4	6	3	60	3
Hexhedron (kub)	6	8	12	4	90	3
Oktaedr	8	6	12	3	60	4
Dodecahaxron	12	20	30	5	72	3
Ikkitasi	20	12	30	3	60	5

Buni kub va oktaedrda yuzlar va uchlari sonining soni va uchlari sonining soni, bir-birlariga cheksizlik uchun mos (27-rasm) ga mos keladigan (27-rasm).

Katta guruh yarim soniya polietedra (arximediya organlari) deb ataladi. Bular konveksli piotedra, uning xizmatchilari turli xil turdagi ko'p turg'undirlar. Arximediya tanalari platoning kesilgan organlari. Ularning ba'zilari ko'rinishi tasvirlangan. 28 va stoldagi parametrlar ostida.

a B C D)

Anjir. 27 anjir. 28.

Yarim-yarim polihedra parametrlari (28-rasm)

Polihedron kosmosda umumiy pozitsiyani yoki uning elementlari parallel va (yoki) proektsiya samolyotlariga perpendikulyar bo'lishi mumkin. Birinchi holatda polietronni qurish uchun boshlang'ich ma'lumotlar, ikkinchi ─ ning koordinatalari koordinatalariga xizmat qiladi. Polietronning versiyalarining qurilishi uning panjara prognozlarini qurishga undiriladi. Solihidni proektsiyasining tashqi inshosi tananing konturiga aylanadi.

Nizo

─ konveks polietedr, ularning qovurg'alari o'zaro parallel. Pastki va yuqori yuz ─ Bemart qirralarning sonini aniqlaydigan teng ko'pburchaklar prizmaning asoslari deb ataladi. Praxm to'g'ri perikon va to'g'ridan-to'g'ri, agar yonboshlari bazaga perpendikulyar bo'lsa, to'g'ri deb nomlanadi. Aks holda, prizma moyil bo'ladi. To'g'ridan-to'g'ri prizmaning yon tomonlari va moyilogramm parallelogramm. To'g'ridan-to'g'ri prizmaning yon qismi ob'ektlarni loyihalash bilan bog'liq va grainonga proektsiyalar samolyotining yon tomoniga perpendikulyar tomonga perpendikulyarlikka joylashtiradi. Prismning yon yuzasida joylashgan nuqta va chiziqlarning proektsiyasi uning yomon proektsiyasi bilan bir-biriga to'g'ri keladi.

Oddiy vazifa 3.(29-rasm) : To'g'ridan-to'g'ri priza xulosasi murakkab chizig'ini qurish: bazaning L-tomoni (prism uzunligi); B - o'zgartirilgan uchburchak bazasining (pr-Facts kengligi) balandligi; H- prizmaning balandligi. Ryubening pozitsiyasini va proektsiya samolyotlari bo'yicha yuzlarini aniqlang. Abb'a 'va Acc'iyning chetida oldingi prognozlarni o'rnatadi, mos ravishda M miqdorida m va to'g'ridan-to'g'ri n va yo'qolgan proektsiyalarini quradi.

1. Bizning aqlan papektsiyalar tizimida proedronimiz bor, shunda d abcp 1; va ACP 3-ning chetida (29-rasm).

2. Asosiy samolyotlarni mensi bilan tanishtiring: kadr 1 va bazasi (D abC) bilan to'g'ri keladi; 2 dekabr 2 va otaning orqa yuzi bilan bir-biriga to'g'ri keladi. Biz asosiy satrlarni s 2, s 3, d 1, d 3 (b)) quramiz (29-rasm).

3. Gorizontal, keyin old va nihoyat, prizmaning profilini pozitsiyasini prizmaning pozitsiyasi d 1, d 29-rasm) yordamida proektsiyalash (29-rasm).

Rybra: Ab, quyosh ─ gorizontal; AC ─ Acriby-Proektsiya; SC, sb ─ gorizontal-proektsiyalash. Huquqlar: ABC AK "bc" gorizontal darajasi; ABV'A ', BCS'V' bcs'v 'gorizontal darajasi.

5. Prizsiyaning yon tomonlarida yotgan punktlarning gorizontal prognozlarini qurish, biz prizmaning yon yuzasida joylashgan barcha punktlar va chiziqlarning barcha progressiyalari (gorizontal) bilan bir-biriga to'g'ri keladi (gorizontal) Proektsiya. Profil proektsiyalari (masalan, m) biz gorizontal proektsiyasida gorizontal Proektsiyada o'lchanadigan gorizontal chiziqlarni (8, 17 ga qarang). . To'g'ri chizig'ida N 1, 2-bandlarni ko'rsating va biz ushbu fikrlarni prisment yuzasida, m. Bomandagi ballar bilan moslashtirishni aniqlaymiz. "Prizisni kesish bilan" vazifasini bajaring.

a b c)

Anjir. 29.

Piramida

uning yuzlaridan biri bo'lgan ko'pburchak (piramida asosi) va qolgan yuzlar soni (yon tomon), yarim verteksli uchburchak piramida cho'qqisiga qo'ng'iroq qildi. Piramidaning vertexini bazaning yuqori qismlari bilan bog'laydigan segment yon yraklar deyiladi. Perpendikulyar, piramidaning yuqori qismidan uning bazasi tekisligiga tushirilgan piramidaning balandligi deyiladi. Agar asosda to'g'ri ko'pburchak va tekis bo'lsa, agar verxeks bazaning markaziga rejalashtirilgan bo'lsa, piramida to'g'ri. O'ng piramidaning yonbog'li qovurg'alar teng va yon yuzlari teng darajada zanjirli uchburchaklardir. O'ng piramidaning yon tomonining balandligi apop deb ataladi. Agar piramidaning vertexi uning bazasidan tashqarida rejalashtirilgan bo'lsa, unda piramida moyil bo'ladi.

Oddiy vazifa 4.(30-32-rasm) : Belgilar bilan to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri piramidali murakkab chizma chizig'ini qurish: bazaning (uzunligi); B - ildiz uchburchagi (kengligi) ning balandligi; Piramidaning balandligi. Ryubening pozitsiyasini va proektsiya samolyotlari bo'yicha yuzlarini aniqlang. ASB va N ballar va gorizontal prognozlarini o'rnating, Asb va ACCRIC-ning amallari va yo'qolgan proektsiyalarini qurish.

1. aqlan, bizda proektsiyalarning dizayn tizimida proeziya, shunda d abstp 1; va ACP 3-ning chetida (31-rasm).

2. Asosiy samolyotlarni mensi bilan tanishtiring: kadr 1 va bazasi (D abC) bilan to'g'ri keladi;

2 soat 2 va au chetida to'g'ri. Biz asosiy satrlarni s 2, s 3, d 1, d 3 (32-rasm) quramiz.

3. Gorizontal, keyin old va nihoyat,

piramidaning profil proektsiyasi (32-rasmga qarang).

4. Biz Ryube va to'g'ridan-to'g'ri va samolyotlar pozitsiyasining manbalari va klassifikatorlari (11.14) pozitsiyasining manbalari va klassifikatorlari (11.14).

Ribr: AB, Sun ─ gorizontal; AC ─ Acriby-Proektsiya; Sc ─ Bosh pozitsiyasi; SB ─ profil darajasi. EDGE: ASB, BSC ─ Bosh pozitsiya; Abc ẹgoral darajasi; AS AC ─ ASPUBOR-proektsiya.

5. Piramidaning chetida yotgan punktlarning etishmayotgan proektsiyasini qurish, biz "samolyot nuqtalariga tegishli" belgisini ishlatamiz. Gorizontal yoki o'zboshimchalik bilan to'g'ridan-to'g'ri foydalanish uchun yordamchi to'g'ridan-to'g'ri foydalaning. Punktlarning profil prognozlari gorizontal liniyalar tomonidan gorizontal Proektsiyada o'lchanadigan ballar chuqurligini (y o'qi yo'nalishi bo'yicha) sozlash (8, 17-bet).

Anjir. 30-rasm. 31-rasm. 32.

Polihedra nafaqat geometriyada, balki har bir kishining kundalik hayotida ham uchrashadi. Sun'iy ravishda yaratilgan filiallar, go'ytbox shaklida va me'moriy elementlar bilan tugash, shuningdek, kub (tryami), piramidalar (shelit) shaklida kristallar mavjud emas. ), oktaedra (olmos) va t d.

Geometriyada pilandron, polietedran turlari tushunchasi

Ilmiy geometriya tarkibida uch o'lchovli maydonlarda uch o'lchovli maydonlar (qirralar) tomonidan hosil bo'lgan kesma tanalar va xususiyatlarini o'rganadigan sterometometry bo'limi tarkibida mavjud. Yuzlarning soni va shaklida farq qiladigan bir o'nlab vakillar polietedraning turlari.

Shunga qaramay, polihedra umumiy xususiyatlarga ega:

1. Ularning barchasi 3 ta muhim tarkibiy qismga ega: yuzi (ko'pgon yuzasi), vertex (yuzlarning joylarida hosil bo'lgan burchaklar), chekka (bir qismning joylarida hosil bo'lgan burchaklar) yuzlari).
2. Ko'pburchakning har bir chekkasi ikki va faqat ikki yuzni bog'laydi, ular bir-biriga nisbatan ulashgan.
3. Lace tanasi tananing bir tomonida, yuzlarning bir tomonida joylashganligini anglatadi. Najot polietronning barcha yuzlariga qo'llaniladi. Sterometriyada bunday geometrik shakllar konveksli polietedra deyiladi. Istisnolar - bu eng to'g'ri ko'p qirrali geometrik jadal jug'rofiy jismlarning hosilalari bo'lgan polihedraning yulduzlari.

Jumlamedraning:

1. Quyidagi sinflardan iborat konveksli pomatizredran turlari: oddiy yoki klassik (prizik, piramida), to'g'ri (shuningdek, platonik idora deb atalgan), yarim atrof-muhit (ikkinchi ismi - arximed tanasi).
2. Uxtamaslik polihedra (Yulduzlar).

Prism va uning xususiyatlari

Sterometriya geometriya parchasi sifatida uch o'lchovli ko'rsatkichlarning xususiyatlarini, polimedran turlari (ular orasida prizmalar) xususiyatlarini tekshiradi. Praxm, albatta, ikkita to'liq bir xil yuzni (ular ham bazalar deb atashadi) parallel tekislikda yotadi, va parallelogrammalar shaklida lateral yuzlar soni. O'z navbatida, priza, shuningdek, bir nechta nav, shu jumladan polietedra kabi bir nechta navlarga ega:

1. Parallelepiped shakllangan bo'lsa, parallelogrammada hosil bo'ladi - 2 juft teng burchakli burchakli va ikki juftlik bilan qarama-qarshi tomonlarning bir-ikki juftligi bilan ko'pburchaklar.
2. U qovurg'aning tagiga perpendikulyar bo'ladi.
3. U qirralar va baza oralig'ida bilvosita burchaklar mavjudligi bilan tavsiflanadi.
4. To'g'ri prizma teng bo'lmagan yuzlar ko'rinishidagi bazalar bilan ajralib turadi.

Prizsiyaning asosiy xususiyatlari:

• Do'stona asoslar.
• Prizislarning barcha radiaslari bir-birlariga nisbatan teng va parallel.
• Barcha tomonlarning yuzi parallelogramma shaklida.

Piramida

Piramida bir nuqtadan iborat bo'lgan va uchburchak yuzlari - uch qismdan iborat uchburchak yuzlarning n-chi qismidan iborat geometrik tana deb ataladi. Shuni ta'kidlash kerakki, agar piramidalarning yon yuzlari uchburchaklar bilan oldindan belgilab qo'yilsa, trianal ko'pburchakka, shuningdek, etakilik, shuningdek, pentagon va shunchalik cheksiz. Bunday holda, piramida ismi bazada ko'pburchakka to'g'ri keladi. Masalan, agar piramida asosi uchburchak bo'lsa - bu to'rtburchak - to'rtburchak - to'rtburchak - to'rtburchakli va boshqalar.

Piramidalar konusga o'xshash poliatedrodir. Ushbu guruhning polietedran turlari yuqoridan tashqari, quyidagi vakillarni ham o'z ichiga oladi:

1. Unda to'g'ri ko'pburchak bor va uning balandligi bazada yozilgan yoki uning atrofida tasvirlangan doira markaziga mo'ljallangan.
2. To'rtburchaklar piramida to'g'ri qirralardan biri pastki burchak ostida kesilganda hosil bo'ladi. Bunday holda, bu chekka ham piramida balandligi deb nomlanadi.

Piramida xususiyatlari:

• Agar piramidalarning barcha latta qovurmalari mos keladi (bir xil balandlikdagi) bo'lsa, ularning barchasi bir burchakda va piramid verteksining proektsiyasi bilan markaz bilan birlashma to'planishi mumkin.
• Agar piramidaning tagida to'g'ri ko'pburchak bo'lsa, unda mos keladiganlarning barcha tomonlari va yuzlar teng darajada zanjirli uchburchaklardir.

O'ng pulihodr: Jimomadra turlari va xususiyatlari

Sterometriya, geometrik idoralar bir xil o'lchagichlar bilan bog'laydigan alohida o'rinni egallaydi. Bu jismlar tananing platoni yoki to'g'ri bir xilma-xillikni qabul qildilar. Bunday xususiyatlarga ega bo'lgan polimadro turlari atigi beshta raqamga ega:

1. Tetraedr.
2. Hexhaxedron.
3. Oktaedr.
4. Dodecaxedron.
5. Ikosaxedron.

O'zining ismi bilan, bu geometrik jismlarni ularning asarlarida tasvirlab bergan qadimgi yunon faylasufi platoni, er, suv, yong'in, havo. Beshinchi shaxs shunga o'xshashlik koinotning tuzilishi bilan taqdirlandi. Uning fikricha, shakldagi tabiiy elementlarning atomlari to'g'ri birjredra turlariga o'xshaydi. Uning eng hayajonli mulki tufayli - simmetriya, bu geometriya, nafaqat qadimiy matematiklar va faylasuflar, balki har doim arxitektorlar, rassomlar va haykaltaroshlar uchun katta qiziqish uyg'otdi. Mutlaq simmetriya bilan atigi 5 turdagi mavjudligi asosiy topilgan bo'lib, ular hatto ilohiy foyda bilan aloqa o'rnatdilar.

Hexhedron va uning xususiyatlari

Oltig'aza shaklida, yer atomlari tarkibiga o'xshashlikni o'z zimmasiga olgan Aflunning vorislari shaklida. Albatta, bu faraz to'liq rad etilsa, bu figuralarga xalaqit bermaydi va bugungi kunda ularning estetiklari bilan taniqli shaxslarning ongini jalb qilish uchun.

Geometriya, Hexhededron, u bir xil kub, parallelepiyalangan muayyan holat deb hisoblanadi, bu esa o'z navbatida prizmaning bir turi hisoblanadi. Shunga ko'ra, kubning xususiyatlari barcha qirralar va kubning burchaklari bir-biriga teng bo'lgan yagona farq bilan bog'liq. Quyidagi xususiyatlar bundan mustasno:

1. Barcha Kuba Kuba Kongge va bir-biriga nisbatan parallel samolyotlarda yolg'on gapirishadi.
2. Barcha yuzlar koeffitsientlar (Kuba 6), ularning qaysi biri bazaga qabul qilinishi mumkin.
3. Barcha intergorant burchaklar 90 ga teng.
4. Har bir verteksdan boshlab teng miqdordagi Rayeerning teng miqdori, ya'ni 3.
5. Kub bor, bu Hexhaxedron diagonallarining kesishganida, simmetriya markazi deb nomlangan.

Tetraedr

Tetraedr - bu uchburchaklar shaklida teng qirralarga ega, ularning har biri uch yuzni ulash nuqtasi bo'lgan.

Tetraedr to'g'ri to'g'rilangan xususiyatlari:

1. Tetradaning barcha yuzlari - bu to'rt boshning barcha yuzlarining barcha yuzlari borligidan.
2. Baza to'g'ri geometrik shaklda tasvirlanganligi sababli, u teng tomonga teng, so'ng, tetraedraning yaqinida, ya'ni barcha burchaklar tengdir.
3. Har bir uchida tekis burchaklar yig'indisi 180, chunki barcha burchaklar teng, so'ngra to'rt tartibli o'ng to'rt qirrali burchagi 60 ga teng.
4. Ularning har bir verislari yuzning qarama-qarshi (ortotentri) keskin (ortotsentre) kesish nuqtasiga rejalashtirilgan.

Oktaedr va uning xususiyatlari

To'g'ri birlik siyosati turlarini tasvirlab, na oktaedron kabi ob'ektni, shuningdek, vizual ravishda tug'ilganlar oddiy piramidalarning ikki markali piramidalari shaklida namoyish etilishi mumkin emas.

Oktahedra xususiyatlari:

1. Geometrik organning nomi uning yuzlarini taklif qiladi. Oktaedr 8 ta tabrik bir tomonlama uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har bir uch qismida teng miqdordagi yuzlar, ya'ni 4.
2. Oktaedrning barcha qirralari bir xil intergorant burchaklarga teng, ularning har biri 60 ga teng va har bir uchining tekis burchaklari yig'indisi shunda 240.

Dodecahaxron

Agar siz geometrik organning barcha yuzlari to'g'ri Pentagonning to'g'ri ekanligini tasavvur qilsangiz, unda Dodekaxedron 12 tamogonning ko'rsatkichidir.

Dodecahedron xususiyatlari:

1. Har bir verteks uch yuzni kesib o'tadi.
2. Barcha tomonlar teng va teng maydonni, shuningdek teng maydonga teng.
3. Dodecahedrada simmetriya 15 ta o'q va samolyotlari mavjud va ulardan birortasi uning qarama-qarshi tomoni va uning qovurmasining o'rtasidan o'tib ketadi.

Ikkitasi

Xodahcaedrondan kamroq qiziq emas, Ikoshededronning raqami 20 ta teng qirralarga ega volumetrik geometrik tanasi. Yigirma yigirma mo'rining xususiyatlari orasida quyidagilarni ta'kidlash mumkin:

1. Ikosahedronning barcha yuzlari tenglashtirilgan uchburchaklardir.
2. Polihedronning har bir tepasi besh yuzni qayta birlashtiradi va qo'shni cho'qqi burchaklarining yig'indisi 300 ga teng.
3. Ikosaxedron, o'rta qarama-qarshi yuzlar orasidan o'tib ketayotgan simmetriya 15 ta o'q va simmetriya samolyotlari bilan bir xil.

Yarim atrof-muhit ko'pburchaklar

Plato tanalariga qo'shimcha ravishda konveks pomohedra guruhi, shuningdek, arximedraning to'g'ri polixedra kesilgan. Ushbu guruhdagi polietedran turlari quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Geometrik jismlar bir necha turdagi teng yuzlarga ega, masalan, kesilgan tetraedrning o'ng qanotlari, 8 yuzi bilan bir xil, ammo tananing kameralari bilan bir xil, ammo tananing kameralari uchraydi, bu uchburchak shakl va 4 ta olti burchak bo'ladi.
2. Bitta vertexning barcha burchaklari.

Folxedra yulduzlari

Geometrik jismlarning ichki turlari - yulduzli polietra vakillari bir-birlari bilan kesishgan yuzlar. Ular ikki oddiy uch o'lchovli tananing birlashishi yoki yuzlarini davom ettirish natijasida shakllantirilishi mumkin.

Shunday qilib, polihedro yulduzlari deyiladi: oktaedron, Xosaxedra, Kubakohedra, Ikosododekaxedahron.