Ushbu maqola sonlar qatori mavzusidagi deyarli har qanday misolni yechish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlarni to'pladi va tuzdi: qatorning yig'indisini topishdan tortib, yaqinlashuvni tekshirishgacha.

Maqolani ko'rib chiqish.

Keling, belgi-musbat, belgi o'zgaruvchan qatorning ta'riflari va konvergentsiya tushunchasidan boshlaylik. Keyinchalik, garmonik qator, umumlashtirilgan garmonik qator kabi standart qatorlarni ko'rib chiqamiz, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini topish formulasini eslaymiz. Shundan so'ng biz yaqinlashuvchi qatorlar xossalariga to'xtalib, qator yaqinlashuvining zaruriy shartiga to'xtalib, qator yaqinlashuvining yetarli mezonlarini yangraymiz. Biz nazariyani batafsil tushuntirishlar bilan tipik misollar yechimi bilan suyultiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy ta'riflar va tushunchalar.

Aytaylik, bizda raqamli ketma-ketlik bor, bu erda .

Raqamli ketma-ketlikka misol keltiramiz: .

Raqamlar seriyasi Shaklning sonli ketma-ketligi a'zolarining yig'indisi .

Sonlar qatoriga misol tariqasida cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning maxraji q = -0,5 bo‘lgan yig‘indisini keltirishimiz mumkin: .

chaqiriladi raqamlar qatorining umumiy a'zosi yoki qatorning k-a’zosi.

Oldingi misol uchun raqamlar qatorining umumiy atamasi.

Raqamlar qatorining qisman yig‘indisi Bu shaklning yig'indisi, bu erda n - qandaydir natural son. sonlar qatorining n- qismli yig‘indisi ham deyiladi.

Masalan, qatorning to'rtinchi qisman yig'indisi mavjud .

Qisman miqdorlar sonlar qatorining qisman yig‘indilarining cheksiz ketma-ketligini hosil qiladi.

Bizning qatorimiz uchun n - qismli yig‘indi geometrik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisi formulasi bilan topiladi. , ya'ni biz qisman yig'indilarning quyidagi ketma-ketligiga ega bo'lamiz: .

Raqamlar qatori deyiladi yaqinlashish agar qisman summalar ketma-ketligining chekli chegarasi mavjud bo'lsa. Agar sonli qatorning qisman yigʻindilari ketma-ketligi chegarasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, qator deyiladi. turlicha.

Yaqinlashuvchi sonlar qatorining yig'indisi uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasi deyiladi, ya'ni .

Bizning misolimizda, shuning uchun qator yaqinlashadi va uning yig'indisi o'n olti uchdan biriga teng: .

Ayiruvchi qatorga misol sifatida maxraji birdan katta bo‘lgan geometrik progressiya yig‘indisini keltirish mumkin: ... n-chi qisman yig'indi ifoda bilan aniqlanadi , va qisman summalar chegarasi cheksizdir: .

Ajraladigan sonlar qatorining yana bir misoli shaklning yig'indisidir ... Bunday holda, n-chi qisman yig'indi sifatida hisoblash mumkin. Qisman summalar chegarasi cheksizdir .

Shakl yig'indisi chaqirdi garmonik sonlar qatori.

Shakl yig'indisi , bu yerda s qandaydir haqiqiy son deyiladi umumlashgan garmonik sonlar qatori.

Yuqoridagi ta'riflar quyidagi juda tez-tez ishlatiladigan bayonotlarni asoslash uchun etarli, biz ularni eslab qolishingizni tavsiya qilamiz.

GARMONIK SERIAL TARQALADI.

Garmonik qatorning farqlanishini isbotlaylik.

Aytaylik, qatorlar yaqinlashdi. Keyin uning qisman summalarining chekli chegarasi mavjud. Bunday holda, biz yozishimiz mumkin va, bu bizni tenglikka olib keladi .

Boshqa tomondan,


Quyidagi tengsizliklar shubhasizdir. Shunday qilib, . Olingan tengsizlik bizga tenglikni ko'rsatadi erishib bo'lmaydi, bu garmonik qatorlarning yaqinlashuvi haqidagi taxminimizga ziddir.

Xulosa: garmonik qatorlar ajralib chiqadi.

MAHRACH BILAN KO'RISHGAN G'OMETRIK PROGRESSIYASI YIG'INISHI IF VA AT BO'LGAN SONLAR KERTALARINI YAKLASHTIRISH SONLARI BO'LADI.

Keling, buni isbotlaylik.

Bizga ma'lumki, geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi formula bo'yicha topiladi .

Qachon rost bo'lsa


sonlar qatorining yaqinlashuvini ko'rsatadi.

q = 1 uchun bizda raqamlar qatori mavjud ... Uning qisman yig'indilari sifatida topiladi va qisman yig'indilarning chegarasi cheksizdir , bu holda ketma-ketlikning farqlanishini ko'rsatadi.

Agar q = -1 bo'lsa, sonlar qatori ko'rinishga ega bo'ladi ... Qisman summalar toq n va juft n uchun qiymatlarni oladi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, qisman summalar chegarasi mavjud emas va qatorlar ajralib chiqadi.

Qachon rost bo'lsa


sonlar qatorining farqlanishini ko'rsatadi.

UMUMIYLANGAN, GARMONIK SERIAL s> 1 UCHUN YAQINLASHADI VA UCHUN TURLI KELADI.

Isbot.

s = 1 uchun biz garmonik qatorni olamiz va yuqorida biz uning divergensiyasini o'rnatdik.

Da s tengsizlik barcha natural k uchun amal qiladi. Garmonik qatorning bir-biridan ajralishi tufayli uning qisman yig‘indilari ketma-ketligi chegaralanmagan (chunki chekli chegara yo‘q) degan fikrni aytish mumkin. Keyin sonli qatorlarning qisman yig'indilari ketma-ketligi cheksizroq bo'ladi (bu qatorning har bir a'zosi garmonik qatorning tegishli hadidan kattaroqdir), shuning uchun umumlashtirilgan garmonik qator s da ajralib chiqadi.

s>1 uchun qatorning yaqinlashuvini isbotlash qoladi.

Keling, farqni yozamiz:



Shubhasiz, keyin


Olingan tengsizlikni n = 2, 4, 8, 16, ... uchun yozamiz.



Ushbu natijalardan foydalanib, asl raqamlar seriyasi bilan quyidagilarni amalga oshirishingiz mumkin:



Ifoda geometrik progressiyaning yig'indisi bo'lib, uning maxraji. Biz s> 1 uchun ishni ko'rib chiqayotganimiz uchun. Shunday qilib
... Shunday qilib, s> 1 uchun umumlashtirilgan garmonik qatorning qisman yig'indilari ketma-ketligi ortib bormoqda va bir vaqtning o'zida yuqoridan qiymat bilan chegaralangan, shuning uchun u qatorning yaqinlashishini ko'rsatadigan chegaraga ega. Dalil to'liq.

Raqamlar qatori deyiladi ijobiy agar uning barcha a'zolari ijobiy bo'lsa, ya'ni .

Raqamlar qatori deyiladi muqobil agar uning qo'shni a'zolarining belgilari boshqacha bo'lsa. Muqobil sonlar qatori quyidagicha yozilishi mumkin yoki , qayerda .

Raqamlar qatori deyiladi muqobil u ham ijobiy, ham salbiy atamalarning cheksiz to'plamini o'z ichiga olsa.

O'zgaruvchan sonlar qatori o'zgaruvchan qatorning maxsus holatidir.

Darajalar

mos ravishda ishora-musbat, belgi-almashtiruvchi va alomat-almashtiruvchidir.

Muqobil qator uchun mutlaq va shartli yaqinlashuv tushunchasi mavjud.

mutlaqo konvergent, agar uning a'zolarining mutlaq qiymatlari qatori yaqinlashsa, ya'ni ishorali musbat sonlar qatori yaqinlashadi.

Masalan, raqamlar qatori va ketma-ket beri, mutlaqo yaqinlashadi , bu cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisidir.

Muqobil qator deyiladi shartli konvergent qator ajralsa va qator yaqinlashsa.

Shartli yaqinlashuvchi sonlar qatoriga misol sifatida qatorni keltirishimiz mumkin ... Raqamlar seriyasi , asl qator a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan, divergent, chunki u garmonikdir. Shu bilan birga, asl seriya konvergent bo'lib, u yordamida osongina o'rnatiladi. Shunday qilib, raqamli o'zgaruvchan qator shartli konvergent.

Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning xossalari.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvini isbotlang.

Yechim.

Keling, seriyani boshqa shaklda yozamiz ... Raqamli qator yaqinlashadi, chunki umumlashtirilgan garmonik qator s>1 uchun yaqinlashadi va sonli qatorlarni yaqinlashishning ikkinchi xususiyati tufayli sonli koeffitsientli qator ham yaqinlashadi.

Misol.

Raqamlar qatori yaqinlashadimi.

Yechim.

Keling, asl qatorni o'zgartiramiz: ... Shunday qilib, biz ikkita raqamli seriyaning yig'indisini oldik va ularning har biri birlashadi (oldingi misolga qarang). Binobarin, sonli qatorlarni yaqinlashishning uchinchi xossasi tufayli asl qator ham yaqinlashadi.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvini isbotlang va uning summasini hisoblang.

Yechim.

Bu raqamlar seriyasini ikki qator o'rtasidagi farq sifatida ko'rsatish mumkin:

Bu qatorlarning har biri cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisidir, shuning uchun u yaqinlashadi. Yaqinlashuvchi qatorning uchinchi xossasi asl sonlar qatorining yaqinlashishini ta’kidlash imkonini beradi. Keling, uning yig'indisini hisoblaylik.

Seriyaning birinchi hadi bitta va mos keladigan geometrik progressiyaning maxraji 0,5 ga teng, shuning uchun .

Seriyaning birinchi hadi 3 ga teng, mos keladigan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning maxraji 1/3 ga teng, shuning uchun .

Olingan natijalardan asl sonli qatorlar yig‘indisini topish uchun foydalanamiz:

Seriyaning yaqinlashishi uchun zaruriy shart.

Agar sonlar qatori yaqinlashsa, uning k-chi hadining chegarasi nolga teng:.

Har qanday sonli qatorni yaqinlashish uchun tekshirishda, birinchi navbatda, zaruriy yaqinlashish shartining bajarilishini tekshirish kerak. Bu shartning bajarilmasligi sonli qatorning divergensiyasini ko'rsatadi, ya'ni agar, u holda qator ajralib chiqadi.

Boshqa tomondan, bu shart etarli emasligini tushunishingiz kerak. Ya'ni, tenglikning bajarilishi sonlar qatorining yaqinlashishini anglatmaydi. Masalan, garmonik qator uchun zaruriy yaqinlashish sharti bajariladi va qator ajraladi.

Misol.

Konvergentsiya uchun bir qator raqamlarni o'rganing.

Yechim.

Raqamli qatorning yaqinlashuvi uchun zarur shartni tekshiramiz:

Cheklash sonlar qatorining n-azosi nolga teng emas, shuning uchun qator ajraladi.

Ijobiy qator yaqinlashuvining etarli belgilari.

Konvergentsiya uchun raqamli qatorlarni o'rganish uchun etarli xususiyatlardan foydalanganda, siz doimo shug'ullanishingiz kerak, shuning uchun agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, ushbu bo'limga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz.

Musbat sonlar qatorining yaqinlashuvining zaruriy va yetarli sharti.

Musbat sonlar qatorining yaqinlashuvi uchun uning qisman yig‘indilarining ketma-ketligi chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarlidir.

Keling, ketma-ket taqqoslash belgilaridan boshlaylik. Ularning mohiyati o'rganilayotgan sonli qatorlarni yaqinlashishi yoki divergensiyasi ma'lum bo'lgan qatorlar bilan solishtirishdan iborat.

Taqqoslashning birinchi, ikkinchi va uchinchi belgilari.

Qatorlarni solishtirishning birinchi belgisi.

Ikki ishorali musbat son qator boʻlsin va tengsizlik barcha k = 1, 2, 3, ... uchun bajariladi ... U holda qatorlarning yaqinlashuvi yaqinlashuvni, qatorlarning divergensiyasi esa divergensiyani bildiradi.

Birinchi taqqoslash mezoni juda tez-tez qo'llaniladi va sonli qatorlarni yaqinlashish uchun tekshirish uchun juda kuchli vositadir. Asosiy muammo - taqqoslash uchun mos seriyani tanlash. Taqqoslash uchun qator odatda (lekin har doim ham emas) shunday tanlanadiki, uning k-chi hadining ko‘rsatkichi o‘rganilayotgan son qatorning k-chi hadining numeratori va maxraji ko‘rsatkichlari orasidagi farqga teng bo‘ladi. Masalan, ayiruvchi va maxrajning darajalari orasidagi farq 2 - 3 = -1 bo'lsin, deylik, shuning uchun taqqoslash uchun k-chi hadli qatorni, ya'ni garmonik qatorni tanlaymiz. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Seriyaning yaqinlashishi yoki divergensiyasini belgilang.

Yechim.

Qatorning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lganligi uchun qatorning yaqinlashuvining zarur sharti bajariladi.

Tengsizlik barcha natural k sonlar uchun amal qilishini tushunish oson. Bilamizki, garmonik qator ajraladi, shuning uchun taqqoslashning birinchi belgisiga ko'ra, asl qator ham ajralib turadi.

Misol.

Raqamlar qatorini yaqinlashish uchun tekshiring.

Yechim.

Raqamli qatorni yaqinlashtirish uchun zarur shart bajariladi, chunki ... Shubhasiz, tengsizlik har qanday tabiiy qiymat uchun k. Umumlashtirilgan garmonik qator s>1 ga yaqinlashganligi sababli qator yaqinlashadi. Shunday qilib, qatorlarni solishtirishning birinchi belgisi dastlabki sonli qatorning yaqinlashuvini aytishga imkon beradi.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvi yoki divergensiyasini aniqlang.

Yechim.

, demak, sonli qatorlarni yaqinlashishning zarur sharti bajariladi. Taqqoslash uchun qaysi qatorni tanlash kerak? Raqamlar qatori o'zini o'zi taklif qiladi va s ni aniqlash uchun biz sonlar ketma-ketligini diqqat bilan tekshiramiz. Raqamli ketma-ketlikning a'zolari cheksizgacha ortadi. Shunday qilib, ba'zi N sonidan boshlab (masalan, N = 1619 bilan) bu ketma-ketlikning a'zolari 2 dan katta bo'ladi. Bu N sonidan boshlab tengsizlik o'rinli bo'ladi. Raqamli qator yaqinlashuvchi qatorning birinchi xossasi tufayli yaqinlashadi, chunki u yaqinlashuvchi qatordan birinchi N - 1 hadlarni olib tashlash orqali olinadi. Shunday qilib, birinchi taqqoslash mezoniga ko'ra, qator yaqinlashadi va sonli qatorlarni yaqinlashishning birinchi xossasi tufayli qatorlar ham yaqinlashadi.

Taqqoslashning ikkinchi belgisi.

Musbat son qatorlar bo'lsin va bo'lsin. Agar, u holda ketma-ketlikning yaqinlashuvidan konvergentsiya kelib chiqadi. Agar bo'lsa, u holda divergensiya son qatorlarning divergentsiyasidan kelib chiqadi.

Natija.

Agar va bo‘lsa, bir qatorning yaqinlashuvidan ikkinchisining yaqinlashuvi, divergensiyadan esa ajralish kelib chiqadi.

Keling, ikkinchi taqqoslash mezonidan foydalanib, ketma-ketlikni konvergentsiya uchun tekshiramiz. Yaqinlashuvchi qatorni qator sifatida oling. Raqamli qatorning k-chi hadlari nisbati chegarasi topilsin:

Shunday qilib, ikkinchi taqqoslash mezoniga ko'ra, dastlabki qatorning yaqinlashuvi sonli qatorlarning yaqinlashuvidan kelib chiqadi.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvini o‘rganing.

Yechim.

Keling, qatorning yaqinlashishi uchun zarur shartni tekshiramiz ... Shart bajarildi. Ikkinchi taqqoslash mezonini qo'llash uchun biz garmonik qatorni olamiz. k-chi hadlar nisbati chegarasi topilsin:

Binobarin, garmonik qatorning divergentsiyasidan ikkinchi taqqoslash mezoniga ko'ra asl qatorning divergentsiyasi kelib chiqadi.

Ma'lumot uchun, seriyani taqqoslashning uchinchi belgisini beramiz.

Taqqoslashning uchinchi belgisi.

Musbat son qatorlar bo'lsin va bo'lsin. Agar qandaydir N sonidan shart bajarilsa, qatorning yaqinlashuvidan konvergentsiya, qatorning divergensiyasidan divergensiya kelib chiqadi.

D'Alembert belgisi.

Izoh.

Agar chegara cheksiz bo'lsa, ya'ni agar d'Alembert testi haqiqiydir , keyin qator yaqinlashadi if , keyin qator farqlanadi.

Agar, u holda d'Alembert testi ketma-ketlikning yaqinlashishi yoki divergensiyasi haqida ma'lumot bermasa va qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi.

Misol.

D'Alember yaqinlashuvi uchun raqamlar qatorini ko'rib chiqing.

Yechim.

Raqamli qatorning yaqinlashuvi uchun zarur shartning bajarilishini tekshirib ko'raylik, chegara quyidagicha hisoblanadi:

Shart bajarildi.

Keling, d'Alembert testidan foydalanamiz:

Shunday qilib, qator yaqinlashadi.

Koshining radikal belgisi.

Musbat sonlar qatori bo‘lsin. Agar, u holda sonlar qatori yaqinlashsa, agar, u holda qator ajralib chiqadi.

Izoh.

Koshining radikal mezoni chegara cheksiz bo'lsa, ya'ni agar o'rinli bo'ladi , keyin qator yaqinlashadi if , keyin qator farqlanadi.

Agar, radikal Koshi testi ketma-ketlikning yaqinlashishi yoki divergentsiyasi haqida ma'lumot bermasa va qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi.

Koshining radikal mezonidan foydalanish eng yaxshisi bo'lgan holatlarni aniqlash odatda oson. Raqamli qatorning umumiy atamasi eksponensial eksponensial ifoda bo'lganda odatiy holat. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Radikal Koshi testi yordamida konvergentsiya uchun musbat sonlar qatorini o‘rganing.

Yechim.

... Koshi radikal mezoniga ko'ra, biz olamiz .

Natijada, qatorlar yaqinlashadi.

Misol.

Raqamlar qatori yaqinlashadimi? .

Yechim.

Biz radikal Koshi mezonidan foydalanamiz , demak, sonlar qatori yaqinlashadi.

Integral Koshi testi.

Musbat sonlar qatori bo‘lsin. y = f (x) uzluksiz argumentli funktsiyaga o'xshash funktsiyani tuzamiz. y = f (x) funksiya musbat, uzluksiz va intervalda kamayuvchi bo'lsin, bu erda). Keyin, konvergentsiya holatida noto'g'ri integral o'rganilayotgan sonli qator yaqinlashadi. Agar noto'g'ri integral ajralib chiqsa, u holda asl qator ham ajralib chiqadi.

y = f (x) funktsiyaning intervalda kamayishini tekshirganda, bo'limdagi nazariya siz uchun foydali bo'lishi mumkin.

Misol.

Konvergentsiyaning ijobiy shartlariga ega bo'lgan bir qator raqamlarni ko'rib chiqing.

Yechim.

Seriyaning yaqinlashishi uchun zaruriy shart qanoatlantiriladi, chunki ... Funktsiyani ko'rib chiqaylik. U musbat, uzluksiz va intervalda kamayib boradi. Ushbu funktsiyaning uzluksizligi va ijobiyligi shubhasizdir va biz pasayish haqida biroz batafsilroq to'xtalamiz. Hosilini toping:
... Bu oraliqda manfiy, shuning uchun funktsiya bu oraliqda kamayadi.

D'Alembert yaqinlashuv mezoni Radikal Koshi yaqinlashuv mezoni Integral Koshi yaqinlashuv mezoni

Amaliy misollarda uchraydigan umumiy taqqoslash belgilaridan biri d'Alember belgisidir. Cauchy belgilari kamroq tarqalgan, lekin ayni paytda juda mashhur. Har doimgidek, men materialni sodda, tushunarli va tushunarli tarzda taqdim etishga harakat qilaman. Mavzu eng qiyin emas va barcha vazifalar ma'lum darajada stencilable.

Jan Leron D'Alember - XVIII asrning mashhur frantsuz matematiki. Umuman olganda, D'Alembert differensial tenglamalarga ixtisoslashgan va o'z tadqiqotlari asosida ballistika bilan shug'ullangan, shuning uchun Janobi Oliylarining to'plari yaxshiroq uchardi. Shu bilan birga, men son darajalarni unutmadim, Napoleon qo'shinlarining saflari shunchalik aniq bir-biriga yaqinlashib, ajralib turishi bejiz emas edi.

Xususiyatning o'zini shakllantirishdan oldin muhim savolni ko'rib chiqing:
D'Alembert yaqinlashuv mezoni qachon qo'llanilishi kerak?

Keling, takrorlashdan boshlaylik. Keling, eng mashhurlaridan foydalanishingiz kerak bo'lgan holatlarni eslaylik chegaraviy taqqoslash mezoni... Cheklovchi taqqoslash mezoni qatorning umumiy atamasida qo'llaniladi:
1) maxraj ko‘phadni o‘z ichiga oladi.
2) Ko‘phadlar ham ayiruvchi, ham maxrajda bo‘ladi.
3) Bir yoki ikkala ko‘phad ildizda bo‘lishi mumkin.

D'Alembert xususiyatidan foydalanishning asosiy shartlari quyidagilardan iborat:

1) Seriyaning umumiy atamasi (ketmaning "to'ldirilishi") quvvatdagi ba'zi sonlarni, masalan, va hokazolarni o'z ichiga oladi. Bundan tashqari, bu narsa qayerda, hisoblagichda yoki maxrajda joylashganligining ahamiyati yo'q - u erda bo'lishi muhim.

2) Faktorial qatorning umumiy hadi tarkibiga kiradi. Dars davomida faktoriallar bilan qilichlarni kesib o'tdik Raqamli ketma-ketlik va uning chegarasi... Biroq, o'z-o'zidan yig'ilgan dasturxonni yana yoyish zarar qilmaydi:





…


…

! D'Alembert testidan foydalanganda biz faktorialni batafsil tavsiflashimiz kerak. Oldingi paragrafda bo'lgani kabi, faktorial fraktsiyaning yuqori yoki pastki qismida joylashgan bo'lishi mumkin.

3) Agar qatorning umumiy atamasida "omillar zanjiri" mavjud bo'lsa, masalan,. Bu holat kamdan-kam uchraydi, lekin! Bunday ketma-ketlikni tekshirishda ko'pincha xatolarga yo'l qo'yiladi - 6-misolga qarang.

Kuchlar va (va) faktoriallar bilan bir qatorda polinomlar ko'pincha qatorni to'ldirishda uchraydi, bu masalani o'zgartirmaydi - siz d'Alembert belgisidan foydalanishingiz kerak.

Bundan tashqari, qatorning umumiy terminida bir vaqtning o'zida darajani ham, faktorialni ham topish mumkin; ikkita faktorial, ikki daraja bo'lishi mumkin, borligi muhim hech bo'lmaganda biror narsa ko'rib chiqilgan nuqtalardan - va bu faqat d'Alembert belgisini ishlatish uchun zaruriy shartdir.

D'Alembert belgisi: O'ylab ko'ring musbat sonlar qatori... Agar keyingi a'zoning oldingi a'zoga munosabati chegaralangan bo'lsa:, u holda:
a) Seriya uchun birlashadi... Xususan, qatorlar uchun yaqinlashadi.
b) qator uchun farqlanadi... Xususan, ketma-ketlik bir-biridan farq qiladi.
c) qachon belgi javob bermaydi... Boshqa belgidan foydalanish kerak. Ko'pincha, birlik d'Alembert testini cheklovchi taqqoslash xususiyatidan foydalanish zarur bo'lganda qo'llashga harakat qilganda olinadi.

Hali ham chegaralar yoki chegaralarni noto'g'ri tushunish bilan bog'liq muammolarga duch kelgan har bir kishi darsga murojaat qiling Cheklovlar. Yechimlarga misollar... Afsuski, chegara va noaniqlikni oshkor qilish qobiliyatini tushunmasdan, oldinga siljish mumkin emas.

Va endi uzoq kutilgan misollar.

1-misol

Biz ketma-ket umumiy atamaga ega ekanligimizni ko'ramiz va bu d'Alembert belgisini ishlatish uchun to'g'ri shartdir. Birinchidan, to'liq yechim va namunaviy dizayn, quyida sharhlar.

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

birlashadi.

(1) Biz qatorning keyingi a'zosining oldingisiga nisbatini tuzamiz:. Shartdan ko'ramizki, turkumning umumiy atamasi. Seriyaning keyingi a'zosini olish uchun bu kerak almashtirish o'rniga: .
(2) To'rt qavatli fraktsiyadan qutulish. Yechim bilan ba'zi tajribaga ega bo'lgan holda, bu bosqichni o'tkazib yuborish mumkin.
(3) Numeratordagi qavslarni kengaytiring. Maxrajda biz darajadan to'rttasini chiqaramiz.
(4) kamaytirish. Doimiy chegara belgisidan chiqariladi. Qavslar ichidagi hisoblagichga o'xshash shartlarni beramiz.
(5) Noaniqlik standart usulda yo'q qilinadi - numerator va maxrajni eng yuqori quvvatda "en" ga bo'lish.
(6) Numeratorlarni a’zolar bo‘yicha sonlarga bo‘lamiz va nolga moyil bo‘lgan shartlarni ko‘rsatamiz.
(7) Biz javobni soddalashtiramiz va d'Alembert testiga ko'ra, o'rganilayotgan qator yaqinlashadi degan xulosaga e'tibor qaratamiz.

Ko'rib chiqilayotgan misolda qatorning umumiy terminida biz 2-darajali ko'phadga duch keldik. Agar 3, 4 yoki undan yuqori darajali ko'phad mavjud bo'lsa-chi? Gap shundaki, agar yuqori darajadagi ko'phad berilsa, qavslarni ochishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Bunday holda siz "turbo" yechimdan foydalanishingiz mumkin.

2-misol

Shunga o'xshash qatorni oling va uni konvergentsiya uchun tekshiring

Avval to'liq yechim, keyin sharhlar:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) munosabatni tuzish.
(2) To'rt qavatli fraktsiyadan qutulish.
(3) Numeratordagi ifoda va maxrajdagi ifodani ko'rib chiqing. Biz hisoblagichda siz qavslarni ochishingiz va to'rtinchi darajaga ko'tarishingiz kerakligini ko'ramiz: buni siz mutlaqo qilishni xohlamaysiz. Bundan tashqari, Nyuton binomial bilan tanish bo'lmaganlar uchun bu vazifani umuman bajarib bo'lmasligi mumkin. Keling, eng yuqori darajalarni tahlil qilaylik: agar biz yuqoridagi qavslarni ochsak, biz eng yuqori darajani olamiz. Quyida biz bir xil yuqori darajaga egamiz:. Oldingi misolga o'xshatib, ko'rinib turibdiki, son va maxraj hadga bo'linganda, biz chegarada bittani olamiz. Yoki, matematiklar aytganidek, polinomlar va - o'sishning bir xil tartibi... Shunday qilib, nisbatni oddiy qalam bilan aylantirib, darhol bu narsa bittaga moyilligini ko'rsatish mumkin. Ikkinchi ko'phadli juftlik bilan ham xuddi shunday ishlaymiz: va, ular ham o'sishning bir xil tartibi, va ularning nisbati birlikka intiladi.

Aslida, bunday "buzg'unchilik" №1-misolda amalga oshirilishi mumkin edi, ammo 2-darajali polinom uchun bunday yechim hali ham qandaydir nomaqbul ko'rinadi. Shaxsan men buni qilaman: agar birinchi yoki ikkinchi darajali ko‘phad (yoki ko‘phad) bo‘lsa, 1-misolni yechish uchun “uzoq” yo‘ldan foydalanaman. Agar uchinchi yoki undan yuqori darajali ko‘phadga duch kelsam, men "turbo" - 2-misolga o'xshash usul.

3-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Raqamlar ketma-ketligi darsining oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.
(4) Kamaytirish mumkin bo'lgan hamma narsani kamaytirish.
(5) Konstanta chegara belgisidan chiqariladi. Numeratordagi qavslarni kengaytiring.
(6) Noaniqlik standart usulda - numerator va maxrajni eng yuqori quvvatda "en" ga bo'lish orqali yo'q qilinadi.

5-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn

6-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Ba'zida ularni to'ldirishda "zanjir" omillari mavjud bo'lgan qatorlar mavjud, biz bu turdagi qatorni hali ko'rib chiqmaganmiz. Faktorlar "zanjiri" bo'lgan qatorni qanday tekshirish mumkin? D'Alembert belgisidan foydalaning. Lekin birinchi navbatda, nima bo'layotganini tushunish uchun biz seriyani batafsil tasvirlab beramiz:

Kengayishdan ko'ramizki, qatordagi har bir keyingi atama uchun maxrajga qo'shimcha omil qo'shiladi, shuning uchun agar qatordagi umumiy atama bo'lsa, u holda seriyadagi keyingi atama:
... Bu erda ular ko'pincha avtomatik ravishda xatoga yo'l qo'yishadi, rasmiy ravishda algoritmga muvofiq yozib qo'yishadi

Yechimning taxminiy misoli quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

Ushbu mavzu bilan ishlashni boshlashdan oldin, men sizga raqamlar qatorlari uchun terminologiya bo'limiga qarashni maslahat beraman. Ayniqsa, qatorning umumiy a'zosi tushunchasiga e'tibor qaratish lozim. Agar sizda konvergentsiya mezonini tanlashning to'g'riligiga shubhangiz bo'lsa, men sizga "Raqamli qatorlar uchun konvergentsiya mezonini tanlash" mavzusini ko'rib chiqishni maslahat beraman.

Alambert testi (yoki d'Alember testi) umumiy hadi noldan qat'iy katta bo'lgan, ya'ni $ u_n> 0 $ bo'lgan qatorlarning yaqinlashuvini o'rganish uchun ishlatiladi.Bunday qatorlar deyiladi. qat'iy ijobiy... Standart misollarda Alamber atributi D uning cheklovchi shaklida qo'llaniladi.

D belgisi "Alamber" (ekstremal shaklda)

Agar $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $ qat'iy musbat va $$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = L bo'lsa. , $$ keyin $ L uchun<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (va $ L = \ infty $ uchun) qator farqlanadi.

Formulyatsiya juda oddiy, ammo quyidagi savol ochiq qolmoqda: agar $ L = 1 $ bo'lsa nima bo'ladi? Alambertning D belgisi bu savolga javob bera olmaydi.Agar $ L = 1 $ bo'lsa, u holda qator yaqinlashishi ham, uzoqlashishi ham mumkin.

Ko'pincha, standart misollarda Alamber D belgisi, agar seriyaning umumiy atamasi uchun ifoda $ n $ ko'phadni (polinom ildiz ostida bo'lishi mumkin) va $ a ^ n $ shakli darajasini o'z ichiga olgan bo'lsa, ishlatiladi. yoki $ n! $. Masalan, $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (1-misolga qarang) yoki $ u_n = \ frac (\ sqrt ( 4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

“N!” iborasi nimani anglatadi? ko'rsatish \ yashirish

"n!" yozuvi ("en faktorial" ni o'qing) 1 dan n gacha bo'lgan barcha natural sonlarning mahsulotini bildiradi, ya'ni.

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

Ta'rifga ko'ra, $ 0! = 1! = 1 $ deb taxmin qilinadi. Masalan, 5 ni topamiz!:

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

Bundan tashqari, Alambertning D "xususiyati ko'pincha umumiy atamasi quyidagi tuzilish mahsulotini o'z ichiga olgan qatorning yaqinlashuvini aniqlash uchun ishlatiladi: $ u_n = \ frac (3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot \ ldots \ cdot (2n +) 1)) (2 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-1)) $.

№1 misol

$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ qatorini konvergentsiya uchun o'rganing.

Yigʻindining quyi chegarasi 1 boʻlgani uchun qatorning umumiy hadi yigʻindi belgisi ostida yoziladi: $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. Chunki $ n≥ 1 $ uchun bizda $ 3n + 7> 0 $, $ 5 ^ n> 0 $ va $ 2n ^ 3-1> 0 $, keyin $ u_n> 0 $ boʻladi. Shuning uchun bizning seriyamiz qat'iy ijobiydir.

$$ 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac ((3n + 10) \ chap (2n ^ 3-1 \ o'ng)) (\ chap (2 (n + 1) ^ 3-1 \ o'ng) ) (3n + 7)) = \ chap | \ frac (\ infty) (\ infty) \ o'ng | = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frak ((3n + 10) \ chap) (2n ^ 3-1 \ o'ng)) (n ^ 4)) (\ frac (\ chap (2 (n + 1) ^ 3-1 \ o'ng) (3n + 7)) (n ^ 4)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (3n + 10) (n) \ cdot \ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\ frak (\ chap (2) n + 1) ^ 3-1 \ o'ng)) (n ^ 3) \ cdot \ frac (3n + 7) (n)) = \\ = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ chap (\ frac (3n) (n) + \ frac (10) (n) \ o'ng) \ cdot \ chap (\ frak (2n ^ 3) (n ^ 3) - \ frak (1) (n ^ 3) \ o'ng)) (\ chap (2 \ chap (\ frak (n) (n) + \ frak (1) (n) \ o'ng) ^ 3- \ frak (1) (n ^ 3) \ o'ng) \ cdot \ chap (\ frac (3n) (n) + \ frac (7) (n) \ o'ng)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frak (\ chap (3+ \ frak (10)) (n) \ o'ng) \ cdot \ chap (2- \ frac (1) (n ^ 3) \ o'ng)) (\ chap (2 \ chap (1+ \ frac (1) (n) \ o'ng) ^ 3 - \ frac (1) (n ^ 3) \ o'ng) \ cdot \ chap (3+ \ frac (7) (n) \ o'ng)) = 5 \ cdot \ frac (3 \ cdot 2) (2 \ cdot 3 ) = 5. $$

$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 5> 1 $ bo'lgani uchun, berilgan qatorga ko'ra farqlanadi.

Rostini aytsam, Alambert D "belgisi bu vaziyatda yagona variant emas. Siz, masalan, radikal Koshi testidan foydalanishingiz mumkin. Biroq, radikal Koshi testidan foydalanish qo'shimcha formulalarni bilishni (yoki isbotlashni) talab qiladi. Shuning uchun, bu vaziyatda Alamber D" funksiyasidan foydalanish qulayroq.

Javob: qator ajralib chiqadi.

Misol № 2

$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2) diapazonini o'rganing$ на сходимость.!}

Yig'ishning pastki chegarasi 1 bo'lgani uchun qatorning umumiy hadi yig'indi belgisi ostida yoziladi: $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Seriyaning umumiy atamasi ildizdagi polinomni o'z ichiga oladi, ya'ni. $ \ sqrt (4n + 5) $ va faktorial $ (3n-2)! $. Standart misolda faktorialning mavjudligi Alamberning D xarakteristikasidan foydalanishning deyarli yuz foiz kafolatidir.

Ushbu xususiyatni qo'llash uchun biz $ \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $ nisbatining chegarasini topishimiz kerak. $ u_ (n + 1) $ yozish uchun sizga $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2) kerak bo'ladi.$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

$ (3n + 1)!= (3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $ boʻlgani uchun $ u_ (n + 1) $ formulasini quyidagicha yozish mumkin. boshqa:

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ushbu belgi chegara ostidagi kasrni bekor qilishimiz kerak bo'lganda keyingi yechim uchun qulaydir. Agar faktoriallar bilan tenglik tushuntirishni talab qilsa, iltimos, quyidagi eslatmani kengaytiring.

$ (3n + 1)!= (3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $ tengligini qanday oldik? ko'rsatish \ yashirish

$ (3n + 1) belgisi! $ 1 dan $ 3n + 1 $ gacha bo'lgan barcha natural sonlarning ko'paytmasini bildiradi. Bular. bu ifodani quyidagicha yozish mumkin:

$$ (3n + 1)!= 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n + 1). $$

To'g'ridan-to'g'ri $ 3n + 1 $ raqamidan oldin bitta raqam kamroq, ya'ni. soni $ 3n + 1-1 = 3n $. Va darhol $ 3n $ raqamidan oldin $ 3n-1 $ raqami bor. Xo'sh, $ 3n-1 $ raqamidan oldin bizda $ 3n-1-1 = 3n-2 $ raqami bor. Keling, $ (3n + 1) formulasini qayta yozamiz! $:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

$ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $ mahsuloti nima? Bu mahsulot $ (3n-2) ga teng!$. Shuning uchun $ (3n + 1)! $ ifodasini quyidagicha qayta yozish mumkin:

$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Ushbu belgi chegara ostidagi kasrni bekor qilishimiz kerak bo'lganda keyingi yechim uchun qulaydir.

$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $ qiymatini hisoblaymiz:

$$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1))) (\ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Chunki $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 0<1$, то согласно

Seriyalarning yaqinlashuv mezonlari.
D'Alembert belgisi. Koshi belgilari

Ish, ish - va tushunish keyinroq keladi
J.L. D'Alembert

Barchani o'quv yilining boshlanishi bilan tabriklayman! Bugun 1 sentyabr va bayram sharafiga men o'quvchilarni siz uzoq vaqtdan beri intiqlik bilan kutganingiz va bilishni orzu qilganingiz bilan tanishtirishga qaror qildim - musbat sonli qatorlar uchun yaqinlashish mezonlari... 1-sentyabr bayrami va mening tabriklarim har doim dolzarbdir, agar tashqarida yoz bo'lsa, mayli, siz uchinchi marta imtihonni qayta topshirasiz, agar siz ushbu sahifaga kirsangiz!

Serialni endigina o'rganishni boshlaganlar uchun avvalo maqolani o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman Dummies uchun raqamlar seriyasi... Aslida bu arava ziyofatning davomi. Shunday qilib, bugungi darsda biz mavzular bo'yicha misollar va echimlarni ko'rib chiqamiz:

Amaliy misollarda uchraydigan umumiy taqqoslash belgilaridan biri d'Alember belgisidir. Cauchy belgilari kamroq tarqalgan, lekin ayni paytda juda mashhur. Har doimgidek, men materialni sodda, tushunarli va tushunarli tarzda taqdim etishga harakat qilaman. Mavzu eng qiyin emas va barcha vazifalar ma'lum darajada stencilable.

D'Alembert yaqinlashuv testi

Jan Leron D'Alember - XVIII asrning mashhur frantsuz matematiki. Umuman olganda, D'Alembert differensial tenglamalarga ixtisoslashgan va o'z tadqiqotlari asosida ballistika bilan shug'ullangan, shuning uchun Janobi Oliylarining to'plari yaxshiroq uchardi. Shu bilan birga, men son darajalarni unutmadim, Napoleon qo'shinlarining saflari shunchalik aniq bir-biriga yaqinlashib, ajralib turishi bejiz emas edi.

Xususiyatning o'zini shakllantirishdan oldin muhim savolni ko'rib chiqing:
D'Alembert yaqinlashuv mezoni qachon qo'llanilishi kerak?

Keling, takrorlashdan boshlaylik. Keling, eng mashhurlaridan foydalanishingiz kerak bo'lgan holatlarni eslaylik chegaraviy taqqoslash mezoni... Cheklovchi taqqoslash mezoni qatorning umumiy atamasida qo'llaniladi:

1) maxraj ko‘phadni o‘z ichiga oladi.
2) Ko‘phadlar ham ayiruvchi, ham maxrajda bo‘ladi.
3) Bir yoki ikkala ko‘phad ildizda bo‘lishi mumkin.
4) Albatta, ko'proq polinomlar va ildizlar bo'lishi mumkin.

D'Alembert xususiyatidan foydalanishning asosiy shartlari quyidagilardan iborat:

1) Seriyaning umumiy atamasi (ketmaning "to'ldirilishi") quvvatdagi ba'zi sonlarni o'z ichiga oladi, masalan, va hokazo. Bundan tashqari, bu narsa qayerda, hisoblagichda yoki maxrajda joylashganligining ahamiyati yo'q - u erda bo'lishi muhim.

2) Faktorial qatorning umumiy hadi tarkibiga kiradi. Darsda Faktoriallar bilan qilichlarni kesib o'tdik Sonlar ketma-ketligi va uning chegarasi. Biroq, o'z-o'zidan yig'ilgan dasturxonni yana yoyish zarar qilmaydi:





…


…

! D'Alembert testidan foydalanganda biz faktorialni batafsil tavsiflashimiz kerak. Oldingi paragrafda bo'lgani kabi, faktorial fraktsiyaning yuqori yoki pastki qismida joylashgan bo'lishi mumkin.

3) Agar qatorning umumiy atamasida "omillar zanjiri" mavjud bo'lsa, masalan, ... Bu holat kamdan-kam uchraydi, lekin! Bunday ketma-ketlikni tekshirishda ko'pincha xatolarga yo'l qo'yiladi - 6-misolga qarang.

Kuchlar va (va) faktoriallar bilan bir qatorda polinomlar ko'pincha qatorni to'ldirishda uchraydi, bu masalani o'zgartirmaydi - siz d'Alembert belgisidan foydalanishingiz kerak.

Bundan tashqari, qatorning umumiy terminida bir vaqtning o'zida darajani ham, faktorialni ham topish mumkin; ikkita faktorial, ikki daraja bo'lishi mumkin, borligi muhim hech bo'lmaganda biror narsa ko'rib chiqilgan nuqtalardan - va bu faqat d'Alembert belgisini ishlatish uchun zaruriy shartdir.

D'Alembert belgisi: O'ylab ko'ring musbat sonlar qatori... Agar keyingi a'zoning oldingi a'zoga munosabati chegaralangan bo'lsa:, u holda:
a) Seriya uchun birlashadi
b) qator uchun farqlanadi
c) qachon belgi javob bermaydi... Boshqa belgidan foydalanish kerak. Ko'pincha, birlik d'Alembert testini cheklovchi taqqoslash xususiyatidan foydalanish zarur bo'lganda qo'llashga harakat qilganda olinadi.

Hali ham chegaralar yoki chegaralarni noto'g'ri tushunish bilan bog'liq muammolarga duch kelgan har bir kishi darsga murojaat qiling Cheklovlar. Yechimlarga misollar... Afsuski, chegara va noaniqlikni oshkor qilish qobiliyatini tushunmasdan, oldinga siljish mumkin emas.

Va endi uzoq kutilgan misollar.

1-misol

Biz ketma-ket umumiy atamaga ega ekanligimizni ko'ramiz va bu d'Alembert belgisini ishlatish uchun to'g'ri shartdir. Birinchidan, to'liq yechim va namunaviy dizayn, quyida sharhlar.

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:


birlashadi.
(1) Biz qatorning keyingi a'zosining oldingisiga nisbatini tuzamiz:. Shartdan ko'ramizki, turkumning umumiy atamasi. Seriyaning keyingi a'zosini olish uchun sizga kerak O'rniga: .
(2) To'rt qavatli fraktsiyadan qutulish. Yechim bilan ba'zi tajribaga ega bo'lgan holda, bu bosqichni o'tkazib yuborish mumkin.
(3) Numeratordagi qavslarni kengaytiring. Maxrajda biz darajadan to'rttasini chiqaramiz.
(4) kamaytirish. Doimiy chegara belgisidan chiqariladi. Qavslar ichidagi hisoblagichga o'xshash shartlarni beramiz.
(5) Noaniqlik standart usulda yo'q qilinadi - numerator va maxrajni eng yuqori quvvatda "en" ga bo'lish.
(6) Numeratorlarni a’zolar bo‘yicha sonlarga bo‘lamiz va nolga moyil bo‘lgan shartlarni ko‘rsatamiz.
(7) Biz javobni soddalashtiramiz va d'Alembert testiga ko'ra, o'rganilayotgan qator yaqinlashadi degan xulosaga e'tibor qaratamiz.

Ko'rib chiqilayotgan misolda qatorning umumiy terminida biz 2-darajali ko'phadga duch keldik. Agar 3, 4 yoki undan yuqori darajali ko'phad mavjud bo'lsa-chi? Gap shundaki, agar yuqori darajadagi ko'phad berilsa, qavslarni ochishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Bunday holda siz "turbo" yechimdan foydalanishingiz mumkin.

2-misol

Shunga o'xshash qatorni oling va uni konvergentsiya uchun tekshiring

Avval to'liq yechim, keyin sharhlar:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:


Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) munosabatni tuzish.

(3) ifodani ko'rib chiqing ayiruvchida va ifodada maxrajda. Biz hisoblagichda siz qavslarni ochishingiz va to'rtinchi darajaga ko'tarishingiz kerakligini ko'ramiz: buni siz mutlaqo qilishni xohlamaysiz. Nyuton binomialini bilmaganlar uchun esa bu vazifa yanada qiyinroq bo'ladi. Keling, yuqori darajalarni tahlil qilaylik: agar biz yuqoridagi qavslarni kengaytirsak , keyin biz eng yuqori darajani olamiz. Quyida biz bir xil yuqori darajaga egamiz:. Oldingi misolga o'xshatib, ko'rinib turibdiki, son va maxraj hadga bo'linganda, biz chegarada bittani olamiz. Yoki, matematiklar aytganidek, polinomlar va - o'sishning bir xil tartibi... Shunday qilib, munosabatlarni aylana olish juda mumkin oddiy qalam bilan va darhol bu narsa bir moyil ekanligini ko'rsatadi. Ikkinchi ko'phadli juftlik bilan ham xuddi shunday ishlaymiz: va, ular ham o'sishning bir xil tartibi, va ularning nisbati birlikka intiladi.

Aslida, bunday "hack" №1 misolda amalga oshirilishi mumkin edi, lekin 2-darajali polinom uchun bunday yechim hali ham qandaydir nomaqbul ko'rinadi. Shaxsan men buni qilaman: agar birinchi yoki ikkinchi darajali ko‘phad (yoki ko‘phad) bo‘lsa, men 1-misolni yechish uchun “uzoq” yo‘ldan foydalanaman. Agar uchinchi yoki undan yuqori darajali ko‘phadga duch kelsam, men "turbo" - 2-misolga o'xshash usul.

3-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Keling, faktoriallar bilan odatiy misollarni ko'rib chiqaylik:

4-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Seriyaning umumiy atamasi darajani ham, faktorialni ham o'z ichiga oladi. Bu yerda d'Alember belgisidan foydalanish kerakligi kun yorug'iday aniq. Biz qaror qilamiz.

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.
(1) munosabatni tuzish. Yana bir bor takrorlaymiz. Shartga ko'ra, seriyaning umumiy atamasi: ... Seriyadagi keyingi muddatni olish uchun, o'rniga siz almashtirishingiz kerak, Shunday qilib: .
(2) To'rt qavatli fraktsiyadan qutulish.
(3) Biz yettilikni darajadan chimchilab tashlaymiz. Biz faktoriallarni batafsil chizamiz... Buni qanday qilish kerak - darsning boshiga yoki raqamlar ketma-ketligi haqidagi maqolaga qarang.
(4) Kamaytirish mumkin bo'lgan hamma narsani kamaytirish.
(5) Konstanta chegara belgisidan chiqariladi. Numeratordagi qavslarni kengaytiring.
(6) Noaniqlik standart usulda - numerator va maxrajni eng yuqori quvvatda "en" ga bo'lish orqali yo'q qilinadi.

5-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn

6-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Ba'zida ularni to'ldirishda "zanjir" omillari mavjud bo'lgan qatorlar mavjud, biz bu turdagi qatorni hali ko'rib chiqmaganmiz. Faktorlar "zanjiri" bo'lgan qatorni qanday tekshirish mumkin? D'Alembert belgisidan foydalaning. Lekin birinchi navbatda, nima bo'layotganini tushunish uchun biz seriyani batafsil tasvirlab beramiz:

Kengayishdan ko'ramizki, qatorning har bir keyingi a'zosi uchun maxrajga qo'shimcha omil qo'shiladi, shuning uchun agar qatorning umumiy hadi bo'lsa , keyin seriyaning keyingi a'zosi:
... Bu erda ular ko'pincha avtomatik ravishda xatoga yo'l qo'yishadi, rasmiy ravishda algoritmga muvofiq yozib qo'yishadi

Yechimning taxminiy misoli quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

Koshining radikal belgisi

Avgustin Lui Koshi - bundan ham mashhur frantsuz matematiki. Har qanday texnik talaba sizga Koshining tarjimai holi haqida aytib berishi mumkin. Eng go'zal ranglarda. Bu nom Eyfel minorasining birinchi qavatida o‘yilganligi bejiz emas.

Koshining ijobiy qatorlar uchun yaqinlashuv testi hozirgina ko'rib chiqilgan d'Alembert testiga biroz o'xshaydi.

Koshining radikal belgisi: O'ylab ko'ring musbat sonlar qatori... Agar chegara bo'lsa:, keyin:
a) Seriya uchun birlashadi... Xususan, qatorlar uchun yaqinlashadi.
b) qator uchun farqlanadi... Xususan, ketma-ketlik bir-biridan farq qiladi.
c) qachon belgi javob bermaydi... Boshqa belgidan foydalanish kerak. Shunisi qiziqki, agar Koshi testi ketma-ketliklarning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob bermasa, d'Alember testi ham javob bermaydi. Ammo agar d'Alembert belgisi javob bermasa, Koshi belgisi yaxshi "ishlashi" mumkin. Ya'ni, Koshi belgisi shu ma'noda kuchliroq belgidir.

Radikal Koshi belgisini qachon ishlatish kerak? Koshi radikal mezoni odatda "yaxshi" ildiz qatorning umumiy a'zosidan olingan hollarda qo'llaniladi. Odatda, bu qalampir darajada bo'ladi qaysiga bog'liq... Ekzotik holatlar ham bor, lekin biz ular bilan bezovtalanmaymiz.

7-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Biz kasr "en" ga qarab to'liq darajadan past ekanligini ko'ramiz, ya'ni radikal Koshi mezonidan foydalanish kerak:


Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.

(1) Biz qatorning umumiy atamasini ildiz sifatida hosil qilamiz.

(2) Xuddi shu narsani faqat ildizsiz, quvvat xususiyatidan foydalanib qayta yozamiz.
(3) Ko'rsatkichda sonni maxraj a'zolariga bo'ling, shuni ko'rsating.
(4) Natija noaniqlikdir. Bu erda uzoq yo'lni bosib o'tish mumkin: kub shaklida qurish, kub shaklida qurish, keyin hisoblagich va maxrajni kubdagi "en" ga bo'lish. Ammo bu holda, yanada samarali echim bor: bu texnikani to'g'ridan-to'g'ri daraja-sobit ostida qo'llash mumkin. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun pay va maxrajni (polinomlarning eng yuqori darajasi) ga bo'ling.

(5) Biz muddatga bo'linishni amalga oshiramiz va nolga moyil bo'lgan shartlarni ko'rsatamiz.
(6) Biz javobni eslaymiz, uni belgilaymiz va ketma-ket ajraladi degan xulosaga kelamiz.

Va bu erda o'z-o'zidan hal qilish uchun oddiyroq misol:

8-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Va yana bir nechta odatiy misollar.

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn

9-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring
Biz radikal Koshi belgisidan foydalanamiz:


Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) Biz qatorning umumiy atamasini ildiz ostiga qo'yamiz.

(2) Biz xuddi shunday yozamiz, lekin ildizsiz, qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, qavslarni kengaytiramiz: .
(3) Ko'rsatkichda sonni maxraj a'zosiga bo'ling va shuni ko'rsating.
(4) Shaklning noaniqligi olinadi va bu erda ham to'g'ridan-to'g'ri daraja ostida bo'linishni amalga oshirishingiz mumkin. Ammo bir shart bilan: polinomlarning eng yuqori darajalaridagi koeffitsientlar har xil bo'lishi kerak. Bizda ular har xil (5 va 6) bor va shuning uchun ikkala qavatni ham bo'lish mumkin (va zarur). Agar bu koeffitsientlar bo'lsa bir xil, masalan (1 va 1):, keyin bu hiyla ishlamaydi va siz foydalanishingiz kerak ikkinchi ajoyib chegara... Esingizda bo'lsa, ushbu nozikliklar maqolaning oxirgi xatboshida ko'rib chiqilgan. Yechish usullarini cheklash.

(5) Haqiqatan ham, biz muddatlarga bo'linishni amalga oshiramiz va qaysi atamalar nolga moyilligini ko'rsatamiz.
(6) Noaniqlik olib tashlanadi, bizda eng oddiy chegara bor:. Nima uchun cheksiz katta daraja nolga intiladi? Chunki daraja asosi tengsizlikni qanoatlantiradi. Agar kimdir chegaraning adolatliligiga shubha qilsa , keyin men dangasa bo'lmayman, men kalkulyatorni olaman:
Agar, keyin
Agar, keyin
Agar, keyin
Agar, keyin
Agar, keyin
… va hokazo. cheksizlikka - ya'ni chegarada:

Xuddi shunday cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya barmoqlarda =)
! Hech qachon bu hiylani dalil sifatida ishlatmang! Agar biror narsa aniq bo'lsa, bu uning to'g'ri ekanligini anglatmaydi.

(7) Biz ketma-ketlik yaqinlashadi degan xulosaga kelganimizni ta'kidlaymiz.

10-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol.

Ba'zan yechim uchun provokatsion misol taklif etiladi, masalan:. Bu erda ko'rsatkichda "en" yo'q, faqat doimiy. Bu erda siz hisoblagich va maxrajni kvadratga olishingiz kerak (siz ko'p nomlarni olasiz), so'ngra maqoladagi algoritmga rioya qiling. Dummies uchun qatorlar... Bunday misolda yo qatorning yaqinlashuvi uchun zarur bo'lgan mezon yoki cheklovchi taqqoslash mezoni ishlashi kerak.

Integral Koshi testi

Yoki shunchaki ajralmas xususiyat. Birinchi kurs materialini yomon o'zlashtirganlarni xafa qilaman. Koshi integral mezonini qo'llash uchun ozmi-ko'pmi ishonchli tarzda hosilalarni, integrallarni topa olish, shuningdek hisoblash malakasiga ega bo'lish kerak. noto'g'ri integral birinchi turdagi.

Hisoblash bo'yicha darsliklarda integral Koshi testi matematik jihatdan qat'iy berilgan, lekin juda buzilgan, shuning uchun men mezonni juda qattiq emas, balki tushunarli tarzda shakllantiraman:

O'ylab ko'ring musbat sonlar qatori... Agar noto'g'ri integral bo'lsa, u holda qator bu integral bilan birga yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.

Va darhol tushuntirish uchun misollar:

11-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Deyarli klassik. Natural logarifm va qandaydir byaka.

Integral Koshi mezonidan foydalanishning asosiy sharti qatorning umumiy atamasi qandaydir funksiya va uning hosilasiga o‘xshash omillarni o‘z ichiga olganligidir. Mavzudan