Umumiylik va borliqning miqdor ko‘rsatkichlari. Kvantorlar Predikatlar mantiqiy formulasining ma'nosi

Miqdor ko'rsatkichlarini joriy qilish bilan bog'liq holda quyidagilarni e'tiborga olish kerak:

1. Predikat mantiqiy formulasi bir xil ob'ektiv o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi, u formulaning bir qismida bog'langan va boshqa qismida erkin bo'ladi.

2. Bir xil o‘zgaruvchi bir-biriga qo‘sh bo‘lgan kvantlovchilar mintaqasida bo‘la olmaydi.

Ushbu shartlarning buzilishi deyiladi o'zgaruvchan to'qnashuv.

Kvantorli gapning haqiqat qiymati qanday aniqlanadi?

Gapni umumiy miqdor ko‘rsatkichi bilan isbotlash qiymatlarning har birini almashtirishda ishonch hosil qilishingiz kerak X predikatga aylanadi P(x) ikkinchisi haqiqiy bayonotga aylanadi. Agar X to'plam chekli bo'lsa, u holda bu barcha holatlarni sanab o'tish orqali amalga oshirilishi mumkin; agar X to'plam cheksiz bo'lsa, u holda umumiy shaklda fikr yuritish kerak.

Bayonot (x) P(x) agar bunday qiymatni belgilash mumkin bo'lsa, noto'g'ri AX, qaysi vaqtda P(x) yolg'on bayonotga aylanadi R(a). Shunung uchun, gapni umumiy miqdor belgisi bilan rad etish Bunga misol keltirish kifoya.

Bayonot (x) P(x) rost, agar bunday qiymatni belgilash mumkin bo'lsa AX, qaysi vaqtda P(x) haqiqiy bayonotga aylanadi R(a). Shuning uchun, tartibda gapning to‘g‘riligini miqdor ko‘rsatkichi bilan tasdiqlang mavjudlik , misol keltirish va shu bilan isbotlash kifoya.

Uchun bayonotning yolg'onligini tekshirish miqdor ko'rsatkichi bilan mavjudlik (x) P(x), har birining yolg'onligini tekshirish kerak P(x), P(x), …, P(x). Agar to'plam X Albatta, bu qo'pol kuch bilan amalga oshirilishi mumkin. Agar ko'p bo'lsa X cheksiz, keyin umumiy shaklda fikr yuritish kerak.

Misollar.

1. “Raqamlar orasidan” haqiqat qiymatini toping. 1, 2, 3, 4 tub son bor."

Yechim: Bayonot ekzistensial kvantifikatorni o'z ichiga oladi va shuning uchun bayonotlarning diszyunksiyasi sifatida ifodalanishi mumkin: " 1 - tub raqam" yoki " 2 - tub raqam" yoki " 3 - tub raqam" yoki " 4 - Bosh raqam". Dizyunksiyaning haqiqatini isbotlash uchun kamida bitta bayonotning haqiqati etarli, masalan, " 3 to'g'ri bo'lgan tub sondir. Shuning uchun, asl bayonot ham to'g'ri.

2. Har qanday kvadrat to'rtburchak ekanligini isbotlaylik.

Yechim: Bayonotda umumiy miqdor ko'rsatkichi mavjud. Shuning uchun uni birlashma sifatida taqdim etish mumkin: "kvadrat - to'rtburchak" va "kvadrat - to'rtburchak" va "kvadrat - to'rtburchak" va boshqalar. Bu gaplarning hammasi to‘g‘ri bo‘lgani uchun bu gaplarning bog‘lovchisi ham to‘g‘ri bo‘ladi, demak, asl gap ham to‘g‘ri bo‘ladi.

3. “Har qanday uchburchak teng yonlidir”. Bu yolg'on bayonot. Buni tekshirish uchun teng yonli bo'lmagan uchburchakni chizish kifoya.a

Miqdor ko‘rsatkichlari bilan gapning inkorini yasash zarur:

1) umumiylik miqdor ko‘rsatkichini borlik miqdor ko‘rsatkichi bilan, mavjudlik miqdorini umumiylik ko‘rsatkichi bilan almashtiring;

2) predikatni uning inkori bilan almashtiring.

Misol. Keling, quyidagi bayonotlar uchun inkorni shakllantiramiz:

a) to'plamning barcha elementlari Z tekis; b) ba'zi fe'llar "nima qilish kerak?" Degan savolga javob beradi.

Yechim: a) Umumiylik miqdor ko‘rsatkichini borlik miqdor ko‘rsatkichi bilan, ifodasini esa inkor bilan almashtiramiz: to‘plamning ayrim elementlari. Z g'alati.

b) Borliq sonlovchisini umumiylik sonlovchisi bilan, ifodasini esa inkor bilan almashtiraylik: barcha fe’llar “nima qilish kerak?” degan savolga javob bermaydi.

Predikat (lat. praedicatum- aytilgan, aytib o'tilgan, aytilgan) - kamida bitta o'zgaruvchi mavjud bo'lgan har qanday matematik bayonot. Predikat birinchi tartibli mantiqda asosiy tadqiqot ob'ekti hisoblanadi.

Predikat - bu o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari uchun mantiqiy o'zgaruvchilarga ega ifoda.

Ifodalar: x > 5, x > y – predikatlar.

Predikat ( n-mahalliy yoki n-ary) - bu to'plamda aniqlangan qiymatlar to'plami (0,1) (yoki "noto'g'ri" va "to'g'ri") bo'lgan funksiya. Shunday qilib, to'plam elementlarining har bir to'plami M"to'g'ri" yoki "noto'g'ri" sifatida tavsiflanadi.

Predikat matematik munosabat bilan bog'lanishi mumkin: agar n-ka munosabatga mansub bo`lsa, unda predikat unga 1 ni qaytaradi.Xususan, unar predikat ma'lum to`plamga a'zolik munosabatini belgilaydi.

Predikat birinchi va yuqori tartibli mantiq elementlaridan biridir. Ikkinchi tartibli mantiqdan boshlab, kvantlar formulalardagi predikatlarga joylashtirilishi mumkin.

Predikat deyiladi xuddi shunday haqiqat va yozing:

agar argumentlar to'plamida u 1 qiymatini oladi.

Predikat deyiladi xuddi shunday yolg'on va yozing:

agar argumentlar to'plamida u 0 qiymatini oladi.

Predikat deyiladi mumkin, agar u kamida bitta argumentlar to'plamida 1 qiymatini qabul qilsa.

Predikatlar faqat ikkita ma'noga ega bo'lganligi sababli, ular uchun mantiqiy algebraning barcha amallari qo'llaniladi, masalan: inkor, implikatsiya, konyunksiya, dis'yunksiya va boshqalar.

Kvantor - predikatning haqiqat sohasini cheklovchi mantiqiy amallarning umumiy nomi. Eng tez-tez tilga olinadi:

Universal kvantifikator(belgilash: o'qiydi: "hamma uchun ...", "hamma uchun ..." yoki "har bir ...", "har qanday ...", "har qanday ... uchun").

Mavjudlik kvantifikatori(belgilash: , o'qiydi: "mavjud ..." yoki "topiladi ...").

Misollar

belgilaylik P(x) predikat " x 5 ga bo'linadi." Umumiy kvantdan foydalanib, biz quyidagi bayonotlarni rasmiy ravishda yozishimiz mumkin (albatta, noto'g'ri):

har qanday natural son 5 ga bo'linadi;

har bir natural son 5 ga karrali;

barcha natural sonlar 5 ga karrali;

quyida bayon qilinganidek:

.

Quyidagi (allaqachon to'g'ri) bayonotlar ekzistensial kvantdan foydalanadi:

5 ga karrali natural sonlar mavjud;

5 ga karrali natural son mavjud;

kamida bitta natural son 5 ga bo'linadi.

Ularning rasmiy belgilari:

.Tushunchaga kirish

X tub sonlar to‘plamida P(x) predikati berilgan bo‘lsin: “X tub son toqdir”. Keling, ushbu predikat oldiga "har qanday" so'zini qo'yaylik. Biz "har qanday tub son x toq" degan noto'g'ri bayonotni olamiz (bu bayonot noto'g'ri, chunki 2 - tub son).

Berilgan P(x) predikati oldiga “mavjud” so‘zini qo‘yib, “Toq bo‘lgan x tub son bor” degan to‘g‘ri gapni olamiz (masalan, x = 3).

Shunday qilib, predikat oldiga mantiqda kvantlovchilar deb ataladigan "hamma narsa", "mavjud" va hokazo so'zlarni qo'yish orqali predikatni gapga aylantirishingiz mumkin.

Matematik mantiqda kvantifikatorlar

Bayonot o'zgaruvchining diapazoni degan ma'noni anglatadi x predikatning haqiqat sohasiga kiritilgan P(x).

(“(x) ning barcha qiymatlari uchun bayonot to‘g‘ri.”)

Bayonot predikatning haqiqat sohasini bildiradi P(x) bo'sh emas.

(“Bayonot to‘g‘ri bo‘lgan (x) mavjud”).

31-savol Grafik va uning elementlari. Asosiy tushunchalar. Hodisa, ko‘plik, halqa, tutashlik. Grafik turlari. Grafikdagi marshrut va uning uzunligi. Yo'nalishlarning tasnifi. Yo'naltirilgan va yo'naltirilmagan grafiklarning qo'shnilik matritsalari.

Matematik grafiklar nazariyasida va informatikada grafik - bu bo'sh bo'lmagan cho'qqilar to'plami va juft cho'qqilar to'plamidir.

Ob'ektlar grafikning cho'qqilari yoki tugunlari, ulanishlar esa yoylar yoki qirralar sifatida ifodalanadi. Turli xil qo'llash sohalari uchun grafiklar turlari yo'nalishda, ulanishlar soni bo'yicha cheklovlarda va cho'qqilar yoki qirralar haqida qo'shimcha ma'lumotlarda farq qilishi mumkin.

Grafikdagi yo'l (yoki zanjir) - bu cho'qqilarning chekli ketma-ketligi bo'lib, unda har bir cho'qqi (oxirgisidan tashqari) uchlari ketma-ketligidagi keyingisiga chekka bilan bog'langan.

Digrafdagi yo'naltirilgan yo'l uchlarning chekli ketma-ketligidir v i, buning uchun barcha juftliklar ( v i,v i+ 1) (yo'naltirilgan) qirralardir.

Tsikl - bu birinchi va oxirgi uchlari mos keladigan yo'l. Bunday holda, yo'lning (yoki tsiklning) uzunligi uning tarkibiy qismlarining sonidir qovurg'alar. E'tibor bering, agar cho'qqilar u Va v ba'zi bir chekkaning uchlari, keyin bu ta'rifga ko'ra, ketma-ketlik ( u,v,u) sikldir. Bunday "degenerativ" holatlarning oldini olish uchun quyidagi tushunchalar kiritiladi.

Yo'l (yoki tsikl) agar uning qirralari takrorlanmasa, oddiy deyiladi; oddiy bo'lsa va uning uchlari takrorlanmasa elementar. Buni ko'rish oson:

Ikki cho'qqini bog'laydigan har bir yo'lda bir xil ikkita cho'qqini bog'laydigan elementar yo'l mavjud.

Har qanday oddiy boshlang'ich bo'lmagan yo'lda elementar mavjud tsikl.

Har qanday oddiy ba'zi bir cho'qqi (yoki chekka) orqali o'tuvchi tsikli o'z ichiga oladi boshlang'ich bir xil cho'qqi (yoki chekka) orqali o'tadigan (sub-) tsikl.

Loop elementar sikldir.

Grafik yoki yo'naltirilmagan grafik G tartiblangan juftlikdir G: = (V,E

V

E bu chekkalar deb ataladigan juftliklar to'plami (yo'naltirilmagan grafik bo'lsa, tartibsiz).

V(va shuning uchun E, aks holda u ko'p to'plam bo'lar edi) odatda chekli to'plamlar hisoblanadi. Cheklangan grafiklar uchun olingan ko'plab yaxshi natijalar to'g'ri emas (yoki qandaydir tarzda farqlanadi). cheksiz grafiklar. Buning sababi shundaki, cheksiz to'plamlar holatida bir qator mulohazalar noto'g'ri bo'ladi.

Grafikning uchlari va qirralari grafik elementlari deb ham ataladi, grafikdagi uchlari soni | V| - tartib, qirralarning soni | E| - grafik hajmi.

Cho'qqilar u Va v chekka uchlari (yoki oddiygina uchlari) deb ataladi e = {u,v). Bir chekka, o'z navbatida, bu cho'qqilarni bog'laydi. Xuddi shu qirraning ikkita uchi qo'shni deyiladi.

Ikki qirraning umumiy uchi bo'lsa, qo'shni deyiladi.

Ikki chekka, agar ularning oxirgi uchlari to'plami mos kelsa, ko'p sonli deb ataladi.

Agar uning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa, chekka pastadir deb ataladi, ya'ni e = {v,v}.

daraja daraja V cho'qqilari V unga tushgan qirralarning sonini chaqiring (bu holda, looplar ikki marta hisoblanadi).

Agar cho'qqi biron bir chekkaning oxiri bo'lmasa, u izolyatsiya qilingan deyiladi; osilgan (yoki barg), agar u aniq bir chekkaning oxiri bo'lsa.

Yo'naltirilgan grafik (qisqartirilgan digraf) G tartiblangan juftlikdir G: = (V,A), ular uchun quyidagi shartlar bajariladi:

V cho'qqilar yoki tugunlarning bo'sh bo'lmagan to'plamidir,

A bu yoylar yoki yo'naltirilgan qirralar deb ataladigan (tartibli) aniq juftliklar to'plamidir.

yoy tartiblangan juft uchlaridir (v, w), uchi qayerda v boshlanishi deb ataladi va w- yoyning oxiri. Aytishimiz mumkinki, yoy yuqoridan olib boradi v tepaga w.

Aralash grafik

Aralash grafik G ba'zi qirralari yo'naltirilishi mumkin bo'lgan va ba'zilari yo'naltirilmagan bo'lishi mumkin bo'lgan grafikdir. Buyurtma qilingan uchlik sifatida yozilgan G: = (V,E,A), Qayerda V, E Va A yuqoridagi kabi aniqlangan.

Yo'naltirilgan va yo'naltirilmagan grafiklar aralash grafiklarning maxsus holatlaridir.

Izomorf grafiklar (?)

Grafik G grafikga izomorf deyiladi H, agar bijection mavjud bo'lsa f grafik uchlari to'plamidan G grafikning cho'qqilari to'plamiga H, quyidagi xususiyatga ega: agar grafikda bo'lsa G cho'qqidan chekka bor A tepaga B, keyin grafikda H f(A) tepaga f(B) va aksincha - agar grafikda bo'lsa H cho'qqidan chekka bor A tepaga B, keyin grafikda G tepadan chekka bo'lishi kerak f − 1 (A) tepaga f − 1 (B). Yo'naltirilgan grafik bo'lsa, bu ikkilanish chekka yo'nalishini ham saqlab qolishi kerak. Og'irlangan grafik bo'lsa, bijeksiyon chekka og'irligini ham saqlab turishi kerak.

Grafik qo'shnilik matritsasi G chekli sonli uchlari bilan n(1 dan boshlab raqamlangan n) kvadrat matritsadir A hajmi n, unda element qiymati a ij dan qirralarning soniga teng i grafikning th cho'qqisi j- cho'qqi.

Ba'zan, ayniqsa, yo'naltirilmagan grafikda, pastadir (chet i th cho'qqisining o'ziga) ikkita chekka, ya'ni diagonal elementning qiymati hisoblanadi. a ii bu holda atrofida aylanalar sonining ikki barobariga teng i th cho'qqisi.

Oddiy grafikning qo'shnilik matritsasi (ko'chadan yoki bir nechta qirralardan iborat) ikkilik matritsa bo'lib, asosiy diagonalda nollarni o'z ichiga oladi.

32-savol Funktsiya. Topshiriq berish usullari. Funksiyalarning tasnifi. Asosiy elementar funksiyalar va ularning grafiklari. Funksiyalarning tarkibi. Elementar funksiyalar.

Funktsiya - bu to'plam elementlari orasidagi munosabatni aks ettiruvchi matematik tushuncha. Aytishimiz mumkinki, funktsiya bu "qonun" bo'lib, unga ko'ra bitta to'plamning har bir elementi (deb ataladi ta'rif sohasi ) boshqa to'plamning biron bir elementi bilan yozishmalarga qo'yiladi (deb ataladi qiymatlar diapazoni ).

Funktsiyaning matematik kontseptsiyasi bir miqdor boshqa miqdorning qiymatini qanday to'liq aniqlashi haqidagi intuitiv fikrni ifodalaydi. Shunday qilib, o'zgaruvchining qiymati x ifoda ma’nosini o‘ziga xos tarzda belgilaydi x 2 va oyning qiymati undan keyingi oyning qiymatini yagona tarzda belgilaydi, shuningdek, har qanday odamni boshqa odam bilan - uning otasi bilan solishtirish mumkin. Xuddi shunday, ba'zi bir oldindan ishlab chiqilgan algoritm turli xil kirish ma'lumotlariga asoslangan holda ma'lum bir chiqish ma'lumotlarini ishlab chiqaradi.

Funktsiyani belgilash usullari

Analitik usul

Funksiya - ma'lum shartlarni qanoatlantiradigan ikkilik munosabat bo'lgan matematik ob'ekt. Funktsiya to'g'ridan-to'g'ri tartiblangan juftliklar to'plami sifatida ko'rsatilishi mumkin, masalan: funktsiya mavjud. Biroq, bu usul cheksiz to'plamlardagi funktsiyalar uchun mutlaqo mos kelmaydi (ular odatiy real funktsiyalar: quvvat, chiziqli, eksponensial, logarifmik va boshqalar).

Funktsiyani belgilash uchun quyidagi ifodadan foydalaning: . Bunda, x funktsiyani aniqlash sohasi bo'ylab ishlaydigan o'zgaruvchidir va y- qiymatlar diapazoni. Ushbu yozuv to'plamlar elementlari o'rtasida funktsional munosabat mavjudligini ko'rsatadi. X Va y har qanday tabiatdagi ob'ektlarning har qanday to'plamidan o'tishi mumkin. Bu raqamlar, vektorlar, matritsalar, olmalar, kamalak ranglari bo'lishi mumkin. Keling, misol bilan tushuntiramiz:

To'plam bo'lsin olma, samolyot, nok, stul va ko'p odam, lokomotiv, kvadrat. f funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: (olma, odam), (samolyot, lokomotiv), (nok, kvadrat), (stul, odam). Agar to‘plam bo‘ylab o‘tuvchi x o‘zgaruvchini va to‘plam bo‘ylab o‘tuvchi y o‘zgaruvchini kiritsak, belgilangan funksiya analitik tarzda quyidagicha ko‘rsatilishi mumkin: .

Raqamli funktsiyalar ham xuddi shunday belgilanishi mumkin. Masalan: bu erda x haqiqiy sonlar to'plamidan o'tadi va ba'zi f funktsiyasini belgilaydi. Bu ifodaning o'zi funktsiya emasligini tushunish muhimdir. Ob'ekt sifatida funktsiya (tartibli juftliklar) to'plamidir. Va bu ifoda ob'ekt sifatida ikkita o'zgaruvchining tengligidir. Bu funktsiyani belgilaydi, lekin bitta emas.

Biroq, matematikaning ko‘pgina bo‘limlarida funksiyaning o‘zini ham, uni aniqlovchi analitik ifodani ham f(x) bilan belgilash mumkin. Bu sintaktik konventsiya nihoyatda qulay va asosli.

Grafik usul

Raqamli funksiyalarni grafik yordamida ham aniqlash mumkin. n ta o‘zgaruvchining real funksiyasi bo‘lsin.

Haqiqiy sonlar maydoni ustidagi ba'zi (n+1) o'lchovli chiziqli fazoni ko'rib chiqaylik (funksiya haqiqiy bo'lgani uchun). Keling, ushbu bo'shliqda har qanday asosni () tanlaymiz. Funktsiyaning har bir nuqtasi vektor bilan bog'langan: . Shunday qilib, biz belgilangan qoida bo'yicha berilgan funktsiyaning nuqtalariga mos keladigan chiziqli fazo vektorlari to'plamiga ega bo'lamiz. Tegishli affin fazoning nuqtalari ma'lum bir sirt hosil qiladi.

Agar erkin geometrik vektorlarning (yo‘naltirilgan segmentlarning) Evklid fazosini chiziqli fazo sifatida olsak va f funksiya argumentlari soni 2 dan oshmasa, ko‘rsatilgan nuqtalar to‘plamini chizma (grafik) ko‘rinishida vizual tasvirlash mumkin. ). Agar qo'shimcha ravishda asl asos ortonormal bo'lsa, biz funktsiya grafigining "maktab" ta'rifini olamiz.

3 yoki undan ko'p argumentli funktsiyalar uchun bu vakillik insonning ko'p o'lchovli bo'shliqlarning geometrik sezgisi yo'qligi sababli qo'llanilmaydi.

Biroq, bunday funktsiyalar uchun vizual yarim geometrik tasvirni topish mumkin (masalan, nuqtaning to'rtinchi koordinatasining har bir qiymati grafikdagi ma'lum bir rang bilan bog'lanishi mumkin).

Proportsional miqdorlar. Agar o'zgaruvchilar y Va x to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir

y = k x,

Qayerda k- doimiy qiymat ( proportsionallik omili).

Jadval to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik– koordinatalar boshi orqali o‘tuvchi va o‘q bilan chiziq hosil qiluvchi to‘g‘ri chiziq X tangensi teng bo'lgan burchak k: sarg'ish = k(8-rasm). Shuning uchun proportsionallik koeffitsienti ham deyiladi qiyalik. 8-rasmda uchta grafik ko'rsatilgan k = 1/3, k= 1 va k = 3 .

Chiziqli funksiya. Agar o'zgaruvchilar y Va x 1-darajali tenglama bilan bog'langan:

A x + B y = C ,

bu erda raqamlarning kamida bittasi A yoki B nolga teng bo'lmasa, bu funksional bog'liqlikning grafigi to'g'ri chiziq. Agar C= 0, keyin u koordinatadan o'tadi, aks holda u o'tmaydi. Turli kombinatsiyalar uchun chiziqli funktsiyalarning grafiklari A,B,C 9-rasmda ko'rsatilgan.

Teskari proportsionallik. Agar o'zgaruvchilar y Va x teskari proportsionaldir, u holda ular orasidagi funksional munosabat tenglama bilan ifodalanadi:

y = k / x,

Qayerda k- doimiy qiymat.

Teskari proportsional grafik - giperbola(10-rasm). Bu egri chiziqning ikkita novdasi bor. Giperbolalar dumaloq konus tekislik bilan kesishganda olinadi (konus kesimlari uchun "Stereometriya" bobidagi "Konus" bo'limiga qarang). 10-rasmda ko'rsatilganidek, giperbola nuqtalari koordinatalarining ko'paytmasi doimiy qiymat bo'lib, bizning misolimizda 1 ga teng. Umumiy holatda bu qiymat ga teng. k, bu giperbola tenglamasidan kelib chiqadi: xy = k.

Giperbolaning asosiy xususiyatlari va xususiyatlari:

x 0, diapazon: y 0 ;

Funktsiya monotonik (kamayuvchi) da x< 0va da x> 0, lekin emas

tanaffus nuqtasi tufayli monotonik umumiy x = 0);

Cheklanmagan funksiya, bir nuqtada uzluksiz x= 0, toq, davriy bo'lmagan;

- Funktsiyada nol yo'q.

Kvadrat funksiya. Bu funksiya: y = bolta 2 + bx + c, Qayerda a, b, c- doimiy, a b=c= 0 va y = bolta 2. Ushbu funktsiyaning grafigi kvadrat parabola - OY, deb ataladi parabolaning o'qi.Nuqta O parabolaning tepasi.

Kvadrat funksiya. Bu funksiya: y = bolta 2 + bx + c, Qayerda a, b, c- doimiy, a 0. Eng oddiy holatda bizda: b=c= 0 va y = bolta 2. Ushbu funktsiyaning grafigi kvadrat parabola - koordinatalarning kelib chiqishidan o'tuvchi egri chiziq (11-rasm). Har bir parabolaning simmetriya o'qi bor OY, deb ataladi parabolaning o'qi.Nuqta O parabolaning uning o'qi bilan kesishishi deyiladi parabolaning tepasi.

Funksiya grafigi y = bolta 2 + bx + c- shuningdek, bir xil turdagi kvadrat parabola y = bolta 2, lekin uning cho'qqisi boshlang'ichda emas, balki koordinatali nuqtada yotadi:

Kvadrat parabolaning koordinatalar tizimidagi shakli va joylashishi butunlay ikkita parametrga bog'liq: koeffitsient a da x 2 va diskriminant D:D=b 2 – 4ac. Bu xususiyatlar kvadrat tenglamaning ildizlarini tahlil qilishdan kelib chiqadi ("Algebra" bo'limidagi tegishli bo'limga qarang). Kvadrat parabola uchun barcha mumkin bo'lgan turli holatlar 12-rasmda ko'rsatilgan.

Kvadrat parabolaning asosiy xarakteristikalari va xossalari:

Funktsiya doirasi:  < x+ (ya’ni. x R) va hudud

qiymatlar: … (Iltimos, bu savolga o'zingiz javob bering!);

Butun funktsiya monotonik emas, balki tepaning o'ng yoki chap tomonida joylashgan

o'zini monoton kabi tutadi;

Funktsiya cheklanmagan, hamma joyda, hatto qachon ham davom etadi b = c = 0,

va davriy bo'lmagan;

- da D< 0 не имеет нулей.

Eksponensial funktsiya. Funktsiya y = a x, Qayerda a- musbat doimiy son deyiladi eksponensial funktsiya.Dalil x qabul qiladi har qanday haqiqiy qiymatlar; funksiyalar qiymat sifatida qabul qilinadi faqat ijobiy raqamlar, chunki aks holda bizda ko'p qiymatli funksiya mavjud. Ha, funksiya y = 81x da bor x= 1/4 to'rt xil qiymat: y = 3, y = 3, y = 3 i Va y = 3 i(Iltimos, tekshiring!). Lekin biz faqat funktsiyaning qiymati sifatida qaraymiz y= 3. uchun ko'rsatkichli funktsiyaning grafiklari a= 2 va a= 1/2 17-rasmda keltirilgan. Ular (0, 1) nuqtadan o'tadilar. Da a= 1 bizda o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqning grafigi mavjud X, ya'ni. funksiya 1 ga teng doimiy qiymatga aylanadi. Qachon a> 1 bo'lsa, eksponensial funktsiya ortadi va 0 bo'lsa< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Funktsiya doirasi:  < x+ (ya’ni. x R);

diapazon: y> 0 ;

Funktsiya monotonik: u bilan ortadi a> 1 va 0 da kamayadi< a < 1;

- Funktsiyada nol yo'q.

Logarifmik funktsiya. Funktsiya y=log a x, Qayerda a– 1 ga teng bo‘lmagan doimiy musbat son deyiladi logarifmik. Bu funktsiya ko'rsatkichli funktsiyaga teskari funktsiyadir; uning grafigini (18-rasm) ko’rsatkichli funksiya grafigini 1-koordinata burchagi bissektrisasi atrofida aylantirib olish mumkin.

Logarifmik funktsiyaning asosiy xarakteristikalari va xossalari:

Funktsiya doirasi: x> 0 va qiymatlar diapazoni:  < y+

(ya'ni y R);

Bu monotonik funktsiya: u kabi ortadi a> 1 va 0 da kamayadi< a < 1;

Funktsiya cheksiz, hamma joyda uzluksiz, davriy emas;

Funktsiya bitta nolga ega: x = 1.

Trigonometrik funktsiyalar. Trigonometrik funktsiyalarni qurishda biz foydalanamiz radian burchaklar o'lchovi.Keyin funktsiya y= gunoh x grafik bilan ifodalanadi (19-rasm). Bu egri chiziq deyiladi sinusoid.

Funksiya grafigi y=cos x 20-rasmda keltirilgan; bu ham grafikni siljitish natijasida hosil bo'ladigan sinus to'lqinidir y= gunoh x eksa bo'ylab X2 tomonidan chapga

Ushbu grafiklardan ushbu funktsiyalarning xarakteristikalari va xususiyatlari aniq:

Domen:  < x+ qiymatlar diapazoni: 1 y +1;

Bu funksiyalar davriydir: ularning davri 2;

Cheklangan funksiyalar (| y| , hamma joyda uzluksiz, monoton emas, balki

deb atalgan monotonlik intervallari, ular ichida joylashgan

o'zini monotonik funktsiyalar kabi tuting (19-rasm va 20-rasmdagi grafiklarga qarang);

Funktsiyalar cheksiz sonli nolga ega (batafsil ma'lumot uchun bo'limga qarang).

"Trigonometrik tenglamalar").

Funksiya grafiklari y= sarg'ish x Va y= krovat x mos ravishda 21-rasm va 22-rasmda ko'rsatilgan.

Grafiklardan ko'rinib turibdiki, bu funktsiyalar: davriy (ularning davri ,

cheksiz, odatda monotonik emas, lekin monotonlik intervallariga ega

(qaysi biri?), uzluksiz (bu funksiyalar qanday uzilish nuqtalariga ega?). Mintaqa

Ushbu funktsiyalarning ta'riflari va qiymatlari diapazoni:

Funksiyalar y= Arsin x(23-rasm) va y= Arccos x(24-rasm) ko'p qiymatli, cheksiz; ularning ta'rif sohasi va qiymatlar diapazoni mos ravishda: 1 x+1 va  < y+ . Ushbu funktsiyalar ko'p qiymatli bo'lgani uchun, qilmang

Boshlang'ich matematikada ko'rib chiqiladigan, ularning asosiy qiymatlari teskari trigonometrik funktsiyalar sifatida qabul qilinadi: y= arksin x Va y= arkkos x; ularning grafiklari 23-rasmda va 24-rasmda qalin chiziqlar bilan ajratilgan.

Funksiyalar y= arksin x Va y= arkkos x quyidagi xususiyatlar va xususiyatlarga ega:

Ikkala funksiya ham bir xil ta'rif sohasiga ega: 1 x +1 ;

ularning qiymat diapazoni:  /2 y/2 uchun y= arksin x va 0 y Uchun y= arkkos x;

(y= arksin x- funktsiyani oshirish; y= arkkos x - kamayadi);

Har bir funksiya bitta nolga ega ( x funktsiya uchun = 0 y= arksin x Va

x funktsiya uchun = 1 y= arkkos x).

Funksiyalar y= Arktan x(25-rasm) va y= Arkko x(26-rasm) - ko'p qiymatli, cheksiz funktsiyalar; ularning ta'rif sohasi:  x+ . Ularning asosiy ma'nolari y= arktan x Va y= arkkot x teskari trigonometrik funksiyalar sifatida qaraladi; ularning grafiklari 25-rasmda va 26-rasmda qalin novdalar bilan ajratilgan.

Funksiyalar y= arktan x Va y= arkkot x quyidagi xususiyatlar va xususiyatlarga ega:

Ikkala funksiya ham bir xil ta'rif sohasiga ega:  x + ;

ularning qiymat diapazoni:  /2<y < /2 для y= arktan x va 0< y < для y= arkkos x;

Funktsiyalar cheklangan, davriy bo'lmagan, doimiy va monotonik

(y= arktan x- funktsiyani oshirish; y= arkkot x - kamayadi);

Faqat funktsiya y= arktan x bitta nolga ega ( x= 0);

funktsiyasi y= arkkot x nolga ega emas.

Funksiyalarning tarkibi

Agar ikkita xarita berilgan bo'lsa va , bu erda , u holda formula bo'yicha berilgan "uchdan oxirigacha xarita" mantiqiy bo'ladi, bu funksiyalar tarkibi deb ataladi va va bilan belgilanadi.

1.30-rasm.Uchdan oxirigacha displey