To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak. Samolyotdagi to'g'ri chiziq bilan eng oddiy masalalar

2020-yil iyul oyida NASA Marsga ekspeditsiyani boshlaydi. Kosmik kema Marsga barcha roʻyxatdan oʻtgan ekspeditsiya ishtirokchilarining ism-shariflari koʻrsatilgan elektron vositani yetkazadi.

Agar ushbu post muammoingizni hal qilgan bo'lsa yoki sizga shunchaki yoqqan bo'lsa, unga havolani ijtimoiy tarmoqlardagi do'stlaringiz bilan baham ko'ring.

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangiz kodiga joylashtirish kerak, afzalroq teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytning boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklab olish kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini o'rganing va siz saytingiz veb-sahifalariga matematik formulalarni kiritishga tayyorsiz.

Yana bir yangi yil kechasi... sovuq ob-havo va deraza oynasidagi qor parchalari... Bularning barchasi meni yana... fraktallar va Volfram Alfa bu haqda nima bilishi haqida yozishga undadi. Ushbu mavzu bo'yicha qiziqarli maqola mavjud bo'lib, unda ikki o'lchovli fraktal tuzilmalarning misollari mavjud. Bu erda biz uch o'lchamli fraktallarning yanada murakkab misollarini ko'rib chiqamiz.

Fraktal vizual ravishda geometrik figura yoki jism sifatida tasvirlanishi (ta'riflanishi) mumkin (ya'ni ikkalasi ham to'plam, bu holda nuqtalar to'plami), uning tafsilotlari asl figuraning o'zi bilan bir xil shaklga ega. Ya'ni, bu o'ziga o'xshash tuzilma bo'lib, uning tafsilotlarini o'rganib chiqsak, kattalashganda biz kattalashtirilmagan shaklni ko'ramiz. Oddiy geometrik figuraga (fraktal emas) kelsak, kattalashganda biz asl figuraning o'zidan oddiyroq shaklga ega bo'lgan detallarni ko'ramiz. Misol uchun, etarlicha yuqori kattalashtirishda ellipsning bir qismi to'g'ri chiziq segmentiga o'xshaydi. Fraktallar bilan bu sodir bo'lmaydi: ulardagi har qanday o'sish bilan biz yana bir xil murakkab shaklni ko'ramiz, bu har bir o'sish bilan yana va yana takrorlanadi.

Fraktallar fanining asoschisi Benua Mandelbrot o'zining "Fraktallar va fan nomidagi san'at" maqolasida shunday deb yozgan edi: "Fraktallar o'zlarining tafsilotlari bo'yicha ham, ya'ni fraktalning bir qismi bo'lgan geometrik shakllardir butunning o'lchamiga qadar kattalashadi, u to'liq yoki ehtimol bir oz deformatsiya bilan yaxlit ko'rinadi."

Kosmosdagi to'g'ri chiziq har doim ikkita parallel bo'lmagan tekislikning kesishish chizig'i sifatida belgilanishi mumkin. Agar bitta tekislikning tenglamasi ikkinchi tekislikning tenglamasi bo'lsa, chiziq tenglamasi quyidagicha beriladi.

Bu yerga kollinear bo'lmagan
. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar to'g'ridan-to'g'ri kosmosda.

Chiziqning kanonik tenglamalari

Berilgan chiziqda yoki unga parallel bo'lgan nolga teng bo'lmagan har qanday vektor bu chiziqning yo'nalish vektori deyiladi.

Agar nuqta ma'lum bo'lsa
to'g'ri chiziq va uning yo'nalishi vektori
, u holda chiziqning kanonik tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

. (9)

Chiziqning parametrik tenglamalari

Chiziqning kanonik tenglamalari berilsin

Bu yerdan chiziqning parametrik tenglamalarini olamiz:

(10)

Bu tenglamalar chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini topish uchun foydalidir.

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi
Va
shaklga ega:

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakka teng. Shuning uchun uni (4) formuladan foydalanib hisoblash mumkin:

Parallel chiziqlar uchun shart:

Samolyotlarning perpendikulyar bo'lish sharti:

Nuqtaning chiziqdan uzoqligi

P deylik, nuqta berilgan
va tekis

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridan biz nuqtani bilamiz
, chiziqqa tegishli va uning yo'nalishi vektori
. Keyin nuqta masofasi
to'g'ri chiziqdan vektorlarga qurilgan parallelogramm balandligiga teng Va
. Demak,

Chiziqlarning kesishishi sharti

Ikki parallel bo'lmagan chiziq

agar va faqat bo'lsa kesishadi

To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro o'rni.

To'g'ri chiziq berilgan bo'lsin
va samolyot. Burchak ular orasidagi formula yordamida topish mumkin

Masala 73. Chiziqning kanonik tenglamalarini yozing

(11)

Yechim. (9) chiziqning kanonik tenglamalarini yozish uchun chiziqqa tegishli har qanday nuqta va chiziqning yo'nalish vektorini bilish kerak.

Keling, vektorni topamiz , bu chiziqqa parallel. Bu tekisliklarning normal vektorlariga perpendikulyar bo'lishi kerakligi sababli, ya'ni.

,
, Bu

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan biz buni olamiz
,
. Keyin

Nuqtaidan beri
Agar chiziqning istalgan nuqtasi bo'lsa, unda uning koordinatalari chiziq tenglamalarini qondirishi kerak va ulardan birini belgilash mumkin, masalan,
, biz (11) tizimdan qolgan ikkita koordinatani topamiz:

Bu yerdan,
.

Shunday qilib, kerakli chiziqning kanonik tenglamalari quyidagi shaklga ega:

yoki
.

Muammo 74.

Va
.

Yechim. Birinchi qatorning kanonik tenglamalaridan nuqtaning koordinatalari ma'lum
chiziqqa tegishli, va yo'nalish vektorining koordinatalari
. Ikkinchi chiziqning kanonik tenglamalaridan nuqtaning koordinatalari ham ma'lum
va yo'nalish vektorining koordinatalari
.

Parallel chiziqlar orasidagi masofa nuqta masofasiga teng
ikkinchi to'g'ri chiziqdan. Bu masofa formula bo'yicha hisoblanadi

Vektorning koordinatalarini topamiz
.

Keling, vektor mahsulotini hisoblaylik
:

Masala 75. Nuqtani toping simmetrik nuqta
nisbatan tekis

Yechim. Berilgan chiziqqa perpendikulyar va nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozamiz . Oddiy vektor sifatida to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini olishingiz mumkin. Keyin
. Demak,

Keling, bir nuqtani topaylik
bu chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi P. Buning uchun (10) tenglamalar yordamida chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz, olamiz.

Demak,
.

Mayli
nuqtaga simmetrik nuqta
bu chiziqqa nisbatan. Keyin ishora qiling
o'rta nuqta
. Nuqtaning koordinatalarini topish uchun Biz segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalardan foydalanamiz:

,
,
.

Shunday qilib,
.

Masala 76. To‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing
Va

a) nuqta orqali
;

b) tekislikka perpendikulyar.

Yechim. Keling, ushbu chiziqning umumiy tenglamalarini yozamiz. Buning uchun ikkita tenglikni hisobga oling:

Bu shuni anglatadiki, kerakli tekislik generatorlari bo'lgan tekisliklar to'plamiga tegishli va uning tenglamasini (8) ko'rinishda yozish mumkin:

a) Keling, topamiz
Va tekislikning nuqtadan o'tishi shartidan
, shuning uchun uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirishi kerak. Nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz
bir qator tekisliklar tenglamasiga:

Qiymat topildi
Uni (12) tenglamaga almashtiramiz. Biz kerakli tekislikning tenglamasini olamiz:

b) Keling, topamiz
Va kerakli tekislikning tekislikka perpendikulyar bo'lishi shartidan. Berilgan tekislikning normal vektori
, kerakli tekislikning normal vektori (samolyotlar to'plamining tenglamasiga qarang (12).

Ikki vektor perpendikulyar bo'ladi, agar ularning nuqta mahsuloti nolga teng bo'lsa. Demak,

Keling, topilgan qiymatni almashtiramiz
tekisliklar to'plamining tenglamasiga (12). Biz kerakli tekislikning tenglamasini olamiz:

Mustaqil hal qilinadigan muammolar

Masala 77. Chiziqlar tenglamasini kanonik shaklga keltiring:

1)
2)

Masala 78. Chiziqning parametrik tenglamalarini yozing
, Agar:

1)
,
; 2)
,
.

Muammo 79. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
to'g'ri chiziqqa perpendikulyar

Masala 80. Nuqtadan o`tuvchi chiziq tenglamalarini yozing
tekislikka perpendikulyar.

Masala 81. Chiziqlar orasidagi burchakni toping:

1)
Va
;

2)
Va

Masala 82. Chiziqlar parallelligini isbotlang:

Va
.

Masala 83. Chiziqlarning perpendikulyarligini isbotlang:

Masala 84. Nuqtaning masofasini hisoblang
to'g'ri chiziqdan:

1)
; 2)
.

Masala 85. Parallel chiziqlar orasidagi masofani hisoblang:

Va
.

Muammo 86. Chiziq tenglamalarida
parametrni aniqlang shunday qilib, bu chiziq chiziq bilan kesishadi va ularning kesishish nuqtasini toping.

Muammo 87. To'g'ri ekanligini ko'rsating
tekislikka parallel
, va to'g'ri chiziq
bu tekislikda yotadi.

Muammo 88. Nuqta toping simmetrik nuqta samolyotga nisbatan
, Agar:

1)
, ;

2)
, ;.

Masala 89. Nuqtadan tushirilgan perpendikulyar tenglamasini yozing
bevosita
.

Muammo 90. Nuqta toping simmetrik nuqta
nisbatan tekis
.

Oh-oh-oh-oh-oh ... yaxshi, bu qiyin, go'yo u o'ziga bir jumlani o'qiyotgandek =) Biroq, dam olish keyinchalik yordam beradi, ayniqsa bugun men tegishli aksessuarlarni sotib oldim. Shuning uchun, keling, birinchi bo'limga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirigacha men quvnoq kayfiyatni saqlab qolaman.

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro o'rni

Tomoshabinlar xorda qo'shiq kuylaganda shunday bo'ladi. Ikki to'g'ri chiziq quyidagicha bo'lishi mumkin:

1) mos kelish;

2) parallel bo'lsin: ;

3) yoki bitta nuqtada kesishadi: .

Dummies uchun yordam : Iltimos, matematik belgini eslang chorrahalar, bu juda tez-tez sodir bo'ladi. Belgilanish, chiziqning nuqtadagi chiziq bilan kesishishini bildiradi.

Ikki chiziqning nisbiy holatini qanday aniqlash mumkin?

Birinchi holatdan boshlaylik:

Ikki chiziq bir-biriga to'g'ri keladi, agar ularning tegishli koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni "lambda" soni mavjud bo'lsa, bu tengliklarni saqlab qoladi.

To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz va mos keladigan koeffitsientlardan uchta tenglama tuzamiz: . Har bir tenglamadan kelib chiqadiki, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Haqiqatan ham, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari bo'lsa -1 ga (belgilarni o'zgartirish) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini ko'paytiring 2 ga kesilganda siz bir xil tenglamani olasiz: .

Ikkinchi holat, chiziqlar parallel bo'lganda:

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lsa: , Lekin.

Misol tariqasida ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz:

Biroq, bu juda aniq.

Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:

Ikki chiziq kesishadi, agar ularning o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlari proportsional bo'lmasa, ya'ni tengliklarni ushlab turadigan "lambda" qiymati bo'lmasa.

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizim yaratamiz:

Birinchi tenglamadan , ikkinchi tenglamadan esa: , degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilarning koeffitsientlari proportsional emas.

Xulosa: chiziqlar kesishadi

Amaliy masalalarda siz hozirgina muhokama qilingan yechim sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Aytgancha, bu biz sinfda ko'rib chiqqan vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish algoritmini juda eslatadi. Vektorlarning chiziqli (in) bog'liqligi tushunchasi. Vektorlar asoslari. Ammo yanada madaniyatli qadoqlash mavjud:

1-misol

Chiziqlarning nisbiy o'rnini toping:

Yechim to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini o'rganishga asoslangan:

a) Tenglamalardan biz chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: .

, ya'ni vektorlar kollinear emas va chiziqlar kesishadi.

Har holda, chorrahada belgilar bilan tosh qo'yaman:

Qolganlari toshdan sakrab, to'g'ridan-to'g'ri O'lmas Kashcheyga ergashadilar =)

b) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega, ya'ni ular parallel yoki mos keladi. Bu erda determinantni hisoblashning hojati yo'q.

Ko'rinib turibdiki, noma'lumlarning koeffitsientlari proportsionaldir va .

Keling, tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik:

Shunday qilib,

c) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, shuning uchun yo'nalish vektorlari kollineardir. Chiziqlar parallel yoki mos keladi.

"Lambda" proportsionallik koeffitsientini to'g'ridan-to'g'ri kollinear yo'nalish vektorlari nisbatidan ko'rish oson. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: .

Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:

Olingan qiymat bu tenglamani qanoatlantiradi (umuman har qanday raqam uni qanoatlantiradi).

Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Javob:

Tez orada siz og'zaki muhokama qilingan muammoni bir necha soniya ichida hal qilishni o'rganasiz (yoki hatto allaqachon o'rgangansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil yechim uchun biror narsa taklif qilishning ma'nosini ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'isht qo'yish yaxshiroqdir:

Berilgan chiziqqa parallel chiziqni qanday qurish mumkin?

Bu eng oddiy vazifani bilmaslik uchun Qaroqchi Bulbul qattiq jazolaydi.

2-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziq tenglamasini yozing.

Yechish: Noma’lum qatorni harfi bilan belgilaymiz. Vaziyat u haqida nima deydi? To'g'ri chiziq nuqtadan o'tadi. Va agar chiziqlar parallel bo'lsa, "tse" to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori "de" to'g'ri chiziqni qurish uchun ham mos kelishi aniq.

Yo'nalish vektorini tenglamadan chiqaramiz:

Javob:

Misolning geometriyasi oddiy ko'rinadi:

Analitik test quyidagi bosqichlardan iborat:

1) Biz chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega ekanligini tekshiramiz (agar chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmagan bo'lsa, u holda vektorlar kollinear bo'ladi).

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.

Aksariyat hollarda analitik test og'zaki tarzda osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin. Ikki tenglamani ko'rib chiqing va ko'pchiligingiz hech qanday chizmasiz chiziqlar parallelligini tezda aniqlaydi.

Bugungi kunda mustaqil echimlar uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak bo'ladi va u, bilasizmi, har xil topishmoqlarni yaxshi ko'radi.

3-misol

Agar chiziqqa parallel nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini yozing

Uni hal qilishning oqilona va unchalik oqilona bo'lmagan usuli mavjud. Eng qisqa yo'l - dars oxirida.

Biz parallel chiziqlar bilan biroz ishladik va ularga keyinroq qaytamiz. Bir-biriga mos keladigan chiziqlar masalasi unchalik qiziq emas, shuning uchun maktab o'quv dasturidan sizga juda tanish bo'lgan muammoni ko'rib chiqaylik:

Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?

To'g'ri bo'lsa nuqtada kesishsa, u holda uning koordinatalari yechim hisoblanadi chiziqli tenglamalar tizimlari

Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.

Bu erda ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimining geometrik ma'nosi - bu tekislikdagi ikkita kesishgan (ko'pincha) chiziqlar.

4-misol

Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Yechish: Yechishning ikkita usuli bor - grafik va analitik.

Grafik usul oddiygina ushbu chiziqlarni chizish va kesishish nuqtasini to'g'ridan-to'g'ri chizmadan topishdir:

Mana bizning fikrimiz: . Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular u erda ham, u erda ham mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqtaning koordinatalari tizimning yechimidir. Asosan, biz grafik echimni ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.

Grafik usul, albatta, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo‘q, gap yettinchi sinf o‘quvchilari shunday qaror qabul qilishlarida emas, gap shundaki, to‘g‘ri va TO‘G‘ri chizma yaratish uchun vaqt kerak bo‘ladi. Bundan tashqari, ba'zi to'g'ri chiziqlarni qurish unchalik oson emas va kesishish nuqtasi o'ttizinchi shohlikning biron bir joyida daftar varag'idan tashqarida joylashgan bo'lishi mumkin.

Shuning uchun kesishish nuqtasini analitik usul yordamida izlash maqsadga muvofiqdir. Keling, tizimni hal qilaylik:

Tizimni yechish uchun tenglamalarni muddat bo'yicha qo'shish usuli qo'llanildi. Tegishli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun saboq oling Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin?

Javob:

Tekshirish ahamiyatsiz - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimning har bir tenglamasini qondirishi kerak.

5-misol

Chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Vazifani bir necha bosqichlarga bo'lish qulay. Vaziyatni tahlil qilish zarurligini ko'rsatadi:
1) To'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
2) To‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
3) Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlang.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.

Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'pgina geometrik masalalar uchun xosdir va men bunga qayta-qayta e'tibor qarataman.

To'liq yechim va dars oxirida javob:

Darsning ikkinchi qismiga borgunimizcha bir juft poyabzal ham eskirgan emas:

Perpendikulyar chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Oddiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz bunga parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq qurishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlaridagi kulba 90 gradusga aylanadi:

Berilgan chiziqqa perpendikulyar chiziqni qanday qurish mumkin?

6-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o`tuvchi chiziqqa perpendikulyar tenglama yozing.

Yechish: Shart bo'yicha ma'lum. Chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lgani uchun hiyla oddiy:

Tenglamadan biz normal vektorni "olib tashlaymiz": , bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Keling, geometrik eskizni kengaytiramiz:

Hm... To'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.

Yechimni analitik tekshirish:

1) Tenglamalardan yo'nalish vektorlarini chiqaramiz va yordami bilan vektorlarning skalyar mahsuloti chiziqlar chindan ham perpendikulyar degan xulosaga kelamiz:.

Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bu yanada osonroq.

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring .

Test, yana, og'zaki bajarish oson.

7-misol

Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping va davr.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Muammo bir nechta harakatlarga ega, shuning uchun yechimni nuqta bo'yicha shakllantirish qulay.

Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Oldimizda daryoning tekis chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan borishdir. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "rho" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa formula bilan ifodalanadi

8-misol

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping

Yechim: siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarni formulaga ehtiyotkorlik bilan almashtirish va hisob-kitoblarni bajarishdir:

Javob:

Keling, rasm chizamiz:

Nuqtadan chiziqgacha topilgan masofa aynan qizil segmentning uzunligiga teng. Agar siz katak qog'ozga 1 birlik o'lchovida chizilgan chizilgan bo'lsangiz. = 1 sm (2 hujayra), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Xuddi shu rasmga asoslangan boshqa vazifani ko'rib chiqaylik:

Vazifa to'g'ri chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir . Men qadamlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, lekin men oraliq natijalar bilan hal qilish algoritmini tasvirlab beraman:

1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.

3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar topamiz.

Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish yaxshi bo'lardi.

Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo mikrokalkulyator oddiy kasrlarni hisoblash imkonini beruvchi minorada katta yordam beradi. Men sizga ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping

Bu o'zingiz qaror qilishingiz uchun yana bir misol. Men sizga bir oz maslahat beraman: buni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishga harakat qilganingiz ma'qul, menimcha, sizning zukkoligingiz yaxshi rivojlangan.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Har bir burchak jambdir:

Geometriyada ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak KICHIK burchak sifatida qabul qilinadi, undan avtomatik ravishda u to'g'ri bo'lishi mumkin emas degan xulosaga keladi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan chiziqlar orasidagi burchak hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan"malina" burchagi.

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.

Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakning "aylanishi" yo'nalishi juda muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .

Nega buni senga aytdim? Aftidan, biz odatiy burchak tushunchasi bilan erisha olamiz. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalar osongina salbiy natijaga olib kelishi mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda aniq geometrik ma'noga ega. Chizmada salbiy burchak uchun uning yo'nalishini o'q bilan (soat yo'nalishi bo'yicha) ko'rsatishni unutmang.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Yechim va birinchi usul

Keling, umumiy shaklda tenglamalar bilan aniqlangan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik:

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lmasa, u holda yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, maxrajga e'tibor qarataylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlari:

Agar , u holda formulaning maxraji nolga aylanadi va vektorlar ortogonal, chiziqlar esa perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formulada to'g'ri chiziqlarning perpendikulyar emasligi haqida shart qo'yilgan.

Yuqoridagilarga asoslanib, yechimni ikki bosqichda rasmiylashtirish qulay:

1) Chiziqlar yo‘nalish vektorlarining skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz:
, ya'ni chiziqlar perpendikulyar emas.

2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni formuladan foydalanib toping:

Teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz arktangentning g'alatiligidan foydalanamiz (qarang. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari ):

Javob:

Sizning javobingizda biz kalkulyator yordamida hisoblangan aniq qiymatni, shuningdek, taxminiy qiymatni (har ikkala daraja va radianda afzalroq) ko'rsatamiz.

Xo'sh, minus, minus, katta narsa yo'q. Mana geometrik tasvir:

Burchakning salbiy yo'nalishga ega bo'lishi ajablanarli emas, chunki muammo bayonotida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "ochilishi" aynan shu bilan boshlangan.

Agar siz haqiqatan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, siz chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni olishingiz kerak. , va birinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. Muxtasar qilib aytganda, siz to'g'ridan-to'g'ri boshlashingiz kerak .