Uchburchaklar teng bo'lgan belgilar qanday? Uchburchaklar tengligining birinchi belgisi

Bir to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan tashkil topgan geometrik figura.

Uchburchakning tomonlari uchburchakning uchlarida uchta burchak hosil qiladi. Izoh bilan aytganda, uchburchak uch burchakka ega bo'lgan ko'pburchakdir .

Amaliy ahamiyati uchburchaklar tenglik belgilari quyidagilargacha qaynatiladi: so'z birikmasiga ko'ra uchburchaklar teng, agar ular bir-biriga mos kelishi uchun ularni bir-birining ustiga qo'yish mumkin bo'lsa; ammo, uchburchakning bir-biriga o'xshashligini amalga oshirish ba'zan qiyin va ba'zan imkonsiz bo'lishi mumkin.

Uchburchaklar tengligi bo'yicha testlar alohida fundamental komponentlarni (tomonlar va burchaklar) topish va taqqoslash orqali uchburchaklarning bir-biriga mos kelishini almashtirishga imkon beradi va shu bilan uchburchaklar tengligini asoslaydi.

3. Barcha uch tomon:

Ular, shuningdek, ta'kidlashadi to'rtinchi belgi, bu maktab matematika kursida oldingi uchtasi kabi keng yoritilgan emas. U quyidagicha tuzilgan:

Agar birinchi uchburchakning ikki tomoni mos ravishda ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga teng bo'lsa va birinchi uchburchakdagi bu tomonlardan kattasiga qarama-qarshi burchak ikkinchi uchburchakda unga teng bo'lgan mos keladigan tomonga qarama-qarshi burchakka teng bo'lsa, unda bular uchburchaklar teng.

Uchburchaklar tenglik belgilari

Tegishli tomonlari teng bo'lgan uchburchaklar konngruent deyiladi.

Teorema (uchburchaklar tengligining birinchi belgisi).
Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Teorema (uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoni).
Agar bitta uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Teorema (uchburchaklar tengligining uchinchi mezoni).
Agar bitta uchburchakning uchta tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

Burchaklari teng va o'xshash tomonlari proportsional bo'lgan uchburchaklar o'xshash deyiladi: , bu erda o'xshashlik koeffitsienti.

Men uchburchaklarning o'xshashligini belgilayman. Agar bitta uchburchakning ikkita burchagi mos ravishda boshqasining ikkita burchagiga teng bo'lsa, bu uchburchaklar o'xshashdir.

II uchburchaklar o'xshashligi belgisi. Agar bitta uchburchakning uchta tomoni boshqa uchburchakning uch tomoniga proporsional bo'lsa, u holda uchburchaklar o'xshashdir.

Uchburchaklar o'xshashligining III belgisi. Agar bir uchburchakning ikki tomoni boshqa uchburchakning ikki tomoniga proporsional bo'lsa va bu tomonlar orasidagi burchaklar teng bo'lsa, uchburchaklar o'xshash bo'ladi.

1) ikki tomonda va ular orasidagi burchakda

Isbot:

ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklar A burchak A 1 ga, AB A 1 B 1 ga, AC A 1 C 1 ga teng bo‘lsin. Keling, uchburchaklar teng ekanligini isbotlaylik.

Keling, ABC uchburchagini qo'yaylik (yoki unga simmetrik) A 1 B 1 C 1 uchburchak ustiga A burchak A 1 burchakka to'g'ri keladi. AB=A 1 B 1 va AC=A 1 C 1 ekan, u holda B B 1 bilan, C esa C 1 bilan mos keladi. Demak, A 1 B 1 C 1 uchburchak ABC uchburchak bilan mos keladi va shuning uchun ABC uchburchagiga teng.

Teorema isbotlangan.

2) yon va qo'shni burchaklar bo'ylab

Isbot:

ABC va A 1 B 1 C 1 ikkita uchburchak bo'lsin, ularda AB A 1 B 1 ga, A burchak A 1 burchakka, B burchak B 1 burchakka teng. Keling, ular teng ekanligini isbotlaylik.

Keling, ABC uchburchagini qo'yaylik (yoki unga simmetrik) A 1 B 1 C 1 uchburchak ustiga, AB A 1 B 1 bilan mos tushadi. ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 va ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1 boʻlgani uchun, AC nuri A 1 bilan mos tushadi. C 1 va BC B 1 C 1 bilan mos keladi. Bundan kelib chiqadiki, C cho'qqisi C 1 bilan to'g'ri keladi. Demak, A 1 B 1 C 1 uchburchak ABC uchburchak bilan mos keladi va shuning uchun ABC uchburchakka teng.

Teorema isbotlangan.

3) uch tomondan

Isbot:

AB = A 1 B 1, BC = B l C 1 CA = C 1 A 1 bo‘lgan ABC va A l B l C 1 uchburchaklarni ko‘rib chiqaylik. DAVS =DA 1 B 1 C 1 ekanligini isbotlaylik.

Keling, ABC uchburchagini qo'llaymiz (yoki unga simmetrik) A 1 B 1 C 1 uchburchakka A cho'qqisi A 1 cho'qqisi bilan, B cho'qqisi B 1 cho'qqisi bilan, C va C 1 cho'qqilari A 1 B 1 to'g'ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida bo'lishi uchun. Keling, 3 ta holatni ko'rib chiqaylik:

1) C 1 C nur A 1 C 1 B 1 burchak ichidan o‘tadi. Chunki teorema shartlariga ko'ra, AC va A 1 C 1, BC va B 1 C 1 tomonlari teng bo'lganligi sababli, A 1 C 1 C va B 1 C 1 C uchburchaklar teng yon tomonli bo'ladi. Teng yonli uchburchak burchaklarining xossasi haqidagi teoremaga ko‘ra, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, demak, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

2) C 1 C nuri bu burchakning bir tomoniga to'g'ri keladi. CC 1 da yotadi. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, C 1 BC - teng yon tomonli, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

3) C 1 C nur A 1 C 1 B 1 burchakdan tashqarida o'tadi. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, bu ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 degan ma’noni anglatadi.

Demak, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, ∠C=∠C 1. Demak, ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklari tengdir
uchburchaklar tengligining birinchi mezoni.

Teorema isbotlangan.

2. Segmentni n ta teng qismga bo'lish.

A orqali nur chizing, unga n ta teng segmentni yotqiz. B va A n orqali to'g'ri chiziq va unga A 1 - A n -1 nuqtalar orqali parallel chiziqlar o'tkazing. Ularning AB bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. Biz Thales teoremasiga ko'ra teng bo'lgan n ta segmentni olamiz.

Thales teoremasi. Agar ikkita chiziqdan birida bir nechta teng segmentlar ketma-ket joylashtirilsa va ikkinchi chiziqni kesib o'tadigan uchlari orqali parallel chiziqlar o'tkazilsa, ular ikkinchi chiziqdagi teng segmentlarni kesib tashlaydilar.

Isbot. AB=CD

1. A va C nuqtalar orqali burchakning boshqa tomoniga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazing. Ikkita AB 2 B 1 A 1 va CD 2 D 1 C 1 parallelogrammalarni olamiz. Paralelogramma xossasiga ko'ra: AB 2 = A 1 B 1 va CD 2 = C 1 D 1.

2. DABB 2 =DCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 va uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoniga asosan teng:
teorema bo'yicha AB = CD,
mos keladiganlar sifatida, parallel BB 1 va DD 1 BD to'g'ri chiziq kesishmasida hosil bo'ladi.

3. Xuddi shunday, burchaklarning har biri sekantlarning kesishish nuqtasida cho'qqi bilan burchakka teng bo'lib chiqadi. AB 2 = CD 2 konngruent uchburchaklardagi mos elementlar sifatida.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

Podgorniy Maksim

Tadqiqot qog‘ozi materialidan 7-sinfda geometriya to‘garaklarida foydalanish mumkin

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Rostov-Don shahridagi MBU DO "Bolalar va yoshlar ijod saroyi"

nomidagi Yosh tadqiqotchilar uchun Don Fanlar Akademiyasi. Yu. A. Jdanova

Matematika

Mavzu: “Uchburchaklar tengligi haqidagi nostandart teoremalar”

Podgorniy Maksim, 7-sinf,

MBOU 3-son umumiy o‘rta ta’lim maktabi,

Nazoratchi:

Oleynikova Lyudmila Aleksandrovna,

matematika o'qituvchisi,

MBOU 3-son umumiy o‘rta ta’lim maktabi,

Salsk, Rostov viloyati

Rostov-na-Donu

2017 yil

Kirish……………………………………………………………………………3

Asosiy qism

Uchburchaklar tenglik belgilari……………………………………… 4

Uchburchaklar tengligining nostandart belgilari………………………….7

Xulosa……………………………………………………………………………… 10

Adabiyotlar………………………………………………………… 11

Ilova

Kirish.

Muvofiqligi:

Uchburchak planimetriyaning asosiy figuralaridan biridir. Men o'rta maktab o'quvchilaridan Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rayotganda ko'pincha uchburchaklar tengligini isbotlashlari kerakligini eshitdim. Va asosiy belgilarni bilish etarli emas. Men boshqa parametrlar yordamida uchburchaklar tengligini isbotlash mumkinmi yoki yo'qligini bilmoqchi edim. Maktabimiz o‘quvchilari o‘rganadigan geometriya darsligida (mualliflar L.S.Atanasyan, V.F. Butuzov va boshqalar. Geometriya 7-9) uchburchaklar tengligining faqat 3 ta belgisi ko‘rib chiqilgan. Men boshqa mualliflarning o'quv to'plamlarini ko'rib chiqdim. Ammo ularda ham faqat uchta mashhur teorema o'rganish uchun taklif qilingan.

Gipoteza:

Uchburchaklar tengligi uchun uchta taniqli mezondan tashqari, boshqa mezonlarni shakllantirish mumkinmi?

Bu savolga javob faqat menga tegishli emasligiga ishonch hosil qilish uchun men 7-11-sinf o‘quvchilari o‘rtasida sotsiologik so‘rov o‘tkazdim (1-ilovaga qarang).

Mening taxminlarim tasdiqlandi. Ko'pgina talabalar uchburchaklar tengligini ko'rsatadigan uchta belgini bilishadi.

Shunday qilib, mening tadqiqotimning maqsadi uchburchaklar tengligining yangi belgilarini topish edi.

Vazifalar:

ΘO'rganilayotgan mavzu bo'yicha adabiyotlarni o'rganing.

ΘUchburchaklar teng boʻlgan belgilar sonini koʻrsating.

ΘSinfdoshlaringizga va maktabimiz o'quvchilariga uchburchaklar tengligining boshqa belgilari mavjudligini va ularni isbotlash imkoniyatini ko'rsating.

O'rganish ob'ekti:

Uchburchaklar tenglik belgilarini o'rganish.

O'rganish mavzusi. Uchburchak planimetriyaning asosiy figuralaridan biridir.

Tadqiqot usuli:Nazariy (o'rganish, tahlil qilish va sintez qilish), tizimli-qidiruv, amaliy (teoremalarni isbotlash).

Tarixiy ma'lumotnoma

Uchburchak barcha geometriyaning markaziy figuralaridan biridir.

Muammolarni hal qilishda uning turli xil xususiyatlaridan foydalaniladi.

Uchburchakning xossalari amaliyotda keng qo'llaniladi: arxitekturada; qurilish chizmasini ishlab chiqishda, kelajakdagi kvartiralarni rejalashtirishda; sanoatda, turli qismlarni loyihalashda, qurilish materiallari ishlab chiqarishda, kema va samolyotlarni qurishda; to'g'ri va eng aniq marshrutni chizish uchun navigatsiyada; astrologiya va astronomiyada uchburchak juda muhim raqam; Uchburchaklar yuqori kuchlanishli elektr uzatish liniyalari va temir yo'l ko'priklarining konstruktsiyalarini ishonchli qiladi.

Bundan tashqari, uchburchakning turli xossalari qo'llaniladigan boshqa ko'plab joylar mavjud: bilyard o'yinini boshlashda siz to'plarni uchburchak shaklida joylashtirishingiz kerak, buning uchun ular maxsus qurilmadan foydalanadilar; Bouling o'yinida pinlarning joylashishi ham teng qirrali uchburchak shaklida; uchburchaklar chiroyli parket taxtalarini yaratish uchun ishlatiladi; Paskal uchburchagi qurilmasi: har bir raqam uning ustida joylashgan ikkita sonning yig'indisiga teng (uchta raqamni uchburchak bilan aylantiring). Hamma narsa oddiy, lekin unda qancha mo''jizalar yashiringan! Kompyuter Paskal uchburchagini rang tiliga tarjima qildi.

Uchburchak mavzusi cheksiz davom ettirilishi mumkin.

Dunyoda juda ko'p uchburchaklar bor!

Bu raqamning majoziy ma'nolari ham mavjud: masalan, "oltin uchburchak" qoidasi xaridorning psixologiyasiga asoslanadi - o'ziga kerakli mahsulotni topib, xaridor kassaga shoshiladi. Sotuvchilarning vazifasi xaridorga kerak bo'lgan tovarlarni xayoliy uchburchak cho'qqilariga qo'yib, uni do'konda uzoqroq qoldirish, ya'ni xaridorni "langar" qilishdir. Uchburchakning maydoni qanchalik katta bo'lsa, do'kon tartibini shunchalik muvaffaqiyatli deb atash mumkin. Oziq-ovqat do'konida bu langar mahsulotlari gastronomiya, sut mahsulotlari va nondir. Savdo maydonining orqa devori ikkinchi eng muhim joy bo'lib, aynan shu erda xaridorni do'konning butun perimetri bo'ylab o'tishga majbur qilish uchun langar mahsulotlarini joylashtirish tavsiya etiladi.

Mashhur Bermud uchburchagi - bu Atlantika okeanidagi kemalar va samolyotlarning sirli g'oyib bo'lishlari sodir bo'lgan hudud. Hudud Floridadan Bermud orollariga, Puerto-Rikoga va Bagama orollari orqali Floridaga qaytib ketadigan chiziqlar bilan chegaralangan.

Shuning uchun uchburchak va uning barcha xususiyatlarini o'rganish juda dolzarb mavzudir.

Ushbu ishning maqsadi - ularning eng muhim xususiyatlaridan biri bo'lgan uchburchaklarning tenglik belgilari haqida gapirish.

Uchburchaklar tengligi uchun testlar teoremalar bo'lib, ular asosida ba'zilari isbotlanishi mumkinuchburchaklar teng.

Geometriyada uchburchaklar tengligining uchta belgisi qo'llaniladi.

Ushbu mavzu amaliy jihatdan o'rganildi, chunki bugungi kunda uchburchaklar tengligining uchta mezoni mavjud bo'lib, ularni tegishli teoremalar yordamida isbotlash mumkin.

Qadimda astronomiya bilan bir qatorda trigonometriya fani ham paydo bo'lgan. "Trigonometriya" so'zi yunoncha "uchburchak" va "o'lchov" so'zlaridan olingan. So'zma-so'z ma'nosi "uchburchaklarni o'lchash ilmi".

3, 4 va 5 birlik uzunlikdagi cho'zilgan arqonlardan foydalanib, Misr ruhoniylari ibodatxonalar qurishda to'g'ri burchakka ega bo'lishdi va hokazo.

Samolyotda narsalarni tasvirlash san'ati qadim zamonlardan beri odamlarning diqqatini o'ziga tortgan, odamlar toshlarga, devorlarga, idishlarga va boshqa uy-ro'zg'or buyumlariga turli xil bezaklar, o'simliklar va hayvonlarni chizganlar; Odamlar tasvir ob'ektning tabiiy shaklini to'g'ri aks ettirishini ta'minlashga harakat qilishdi.

Munosabatlar va nisbatlar nazariyasiga asoslangan figuralarning oʻxshashligi haqidagi taʼlimot Qadimgi Yunonistonda miloddan avvalgi 5-4-asrlarda yaratilgan va hozir ham mavjud va rivojlanib bormoqda. Misol uchun, kattalar dunyosidagi narsalarga o'xshash ko'plab bolalar o'yinchoqlari mavjud, bir xil uslubdagi poyabzal va kiyimlar turli o'lchamlarda mavjud. Bu misollarni yana davom ettirish mumkin. Oxir-oqibat, barcha odamlar bir-biriga o'xshash va Bibliyada aytilganidek, Xudo ularni O'zining suratida va o'xshashida yaratgan.

Uchburchaklar tengligi uchun testlar uzoq vaqtdan beri geometriyada katta ahamiyatga ega edi, chunki ko'plab teoremalarning isboti ma'lum uchburchaklarning tengligini isbotlashga qisqartirildi. Pifagorchilar allaqachon uchburchaklarning tenglik belgilarini isbotlash bilan shug'ullanishgan. Proklning fikricha, Rodoslik Evdemus Miletlik Falesga tomonlari teng va unga tutashgan ikkita burchakka ega boʻlgan ikki uchburchakning tengligini isbotlagan (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi).

Thales bu teoremadan qirg'oqdan dengiz kemalarigacha bo'lgan masofani aniqlash uchun foydalangan.Thales buni aniq qanday usulda qo'llagani ma'lum emas.

Uchburchaklar tenglik belgilari.

Keling, ta'rifdan boshlaylik. ABC va A1B1C1 uchburchaklari, agar ular bir-biriga yopishgan holda birlashtirilishi mumkin bo'lsa, teng deyiladi.

Uchburchak oltita elementdan iborat: uchta burchak va uchta tomon.

Shu o‘rinda savol tug‘iladi: “Ikki uchburchak tengligini o‘rnatish uchun eng kichik uchburchak elementlari qancha bo‘lishi kerak?”

Biz bitta elementga asoslangan ikkita uchburchakning tengligini aniqlay olmaymiz, chunki noma'lum: "Qolgan elementlar teng bo'ladimi?"

Tenglikni o'rnatish uchun ma'lumot yo'qligi sababli ikkita element yordamida ikkita uchburchakning tengligini o'rnatish ham mumkin emas.

Ikkita uchburchakning tengligini uchta element yordamida o'rnatish mumkin. Ammo bu savol tug'iladi: "Uchburchaklar tengligini o'rnatish uchun aynan qaysi uchta elementni nomlash kerak?"

Ushbu masalani o'rganayotganda men turli mualliflarning maktab geometriya darsliklarini, shuningdek, lug'atlar va ma'lumotnomalarni ko'rib chiqdim. Ettinchi sinf darsliklarida uchburchaklar tengligining faqat uchta mezoni o'rganish uchun taklif qilingan.

Θ1 belgisi : Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.. 1-rasm

Isbot. Uchburchaklarni ko'rib chiqing ABC va A 1 B 1 C 1 , (1-rasm) buning uchun AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 . Keling, DABC = DA ekanligini isbotlaylik 1 B 1 C 1.

Chunki ∠A = ∠A 1 , keyin ABC uchburchagini A uchburchak ustiga qo'yish mumkin 1 B 1 C 1 shuning uchun A cho'qqisi A cho'qqisiga to'g'ri keladi 1 , va AB va AC tomonlari mos ravishda A nurlarini qoplaydi 1 B 1 va A 1 C 1. AB = A 1 B 1 bo'lgani uchun, AC = A 1 C 1 , keyin AB tomoni A tomoni bilan tekislanadi 1da 1 va AC tomoni A tomoni bilan 1 C 1 ; xususan, B va B nuqtalari mos keladi 1, C va C 1 . Demak, BC va B tomonlari mos keladi 1 C 1 . Shunday qilib, ABC va A uchburchaklar 1 B 1 C 1 to'liq mos keladi, ya'ni ular tengdir.

Qadimgi Misrda uchburchaklar tengligining birinchi belgisi qanday ishlatilgan (ikki tomonda va ular orasidagi burchakda), Miletlik Thales ham piramidaning balandligini o'lchash uchun uning yaratuvchisi hisoblanadi: biz ulkan piramida oldida turibmiz, deb tasavvur qiling, uning balandligini qanday o'lchash mumkin? Axir, siz unga o'lchov asboblarini biriktira olmaysiz! Va bu erda uchburchaklar tengligining birinchi belgisi Miletlik Thalesga yordam beradi: u soyasi uning balandligiga to'g'ri kelguncha kutdi, teoremani qo'lladi, piramidaning balandligi uning soyasiga teng ekanligi ma'lum bo'ldi (1-rasm). 2).

Guruch. 2

D2 belgisi: Agar bitta uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Isbot: Agar △ABC va △A da bo'lsa 1 B 1 C 1 quyidagi AB=A tengliklari amalga oshadi 1 B 1, ∠BAC=∠B 1 A 1 C 1, ∠AVS= ∠A 1 B 1 C 1 . A uchburchaklarni bir-birining ustiga qo'yamiz 1 B 1 C 1 va ABC teng tomonlari AB va A mos kelsin 1da 1 va ularga qo'shni bo'lgan burchaklar. Oldingi misolda bo'lgani kabi, agar kerak bo'lsa, A uchburchagi 1 B 1 C 1 Siz uni "o'girib, boshqa tomonga qo'yishingiz" mumkin. Uchburchaklar mos keladi, shuning uchun ularni teng deb hisoblash mumkin.

D3 belgisi : Agar bir uchburchakning uchta tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi. Isbot: △ABC va △A bo'lsin 1 B 1 C 1 A tengliklari amal qiladi 1 B 1 =AB, B 1 C 1 =BC, C 1 A 1 =SA. A uchburchakni harakatlantiramiz 1 B 1 C 1 shuning uchun bu tomon A 1da 1 AB tomoni va B cho'qqisiga to'g'ri keladi 1 va B, A 1 va A mos keladi. Markazi A va radiusi AC bo'lgan aylana va markazi B va radiusi BC bo'lgan ikkinchi doira oling. Bu doiralar AB segmentiga nisbatan simmetrik ikkita nuqtada kesishadi: C nuqta va C nuqta. 2 . Bu shuni anglatadiki, C1, A1B1C1 uchburchakni harakatga keltirgandan so'ng, C yoki C2 nuqtalari bilan mos kelishi kerak. Har holda, bu △ABC=△A tengligini bildiradi 1 B 1 C 1 , chunki uchburchaklar △ABC=△ABC 2 tengdir (axir, bu uchburchaklar AB segmentiga nisbatan simmetrikdir.

Bu xususiyat - uchburchakning qattiqligi - amaliyotda keng qo'llaniladi. Shunday qilib, ustunni vertikal holatda mahkamlash uchun unga tayanch qo'yiladi; braketni o'rnatishda bir xil printsip qo'llaniladi.

Uchburchakning qattiqligi xossasi temir konstruktsiyalarni qurishda amaliyotda keng qo'llaniladi.

Uchburchaklar tengligining uchinchi mezonidan kelib chiqadiki, uchburchak qattiq figuradir. Chunki: biz ikkita lamelni tasavvur qilishimiz mumkin, ularning ikki uchi mix bilan mahkamlanadi. Ushbu dizayn qat'iy emas, ammo lamellarning erkin uchlarini siljitish yoki yoyish orqali biz ular orasidagi burchakni o'zgartirishimiz mumkin. Keling, yana bir lamel olib, uning uchlarini dastlabki ikkita lamelning bo'sh uchlari bilan mahkamlaymiz. Olingan struktura - uchburchak - allaqachon qattiq bo'ladi. Har qanday ikki tomonni siljitish yoki bir-biridan uzoqlashtirish mumkin emas, ya'ni bitta burchakni o'zgartirish mumkin emas. Haqiqatan ham, agar bu mumkin bo'lsa, biz asl uchburchakka teng bo'lmagan yangi uchburchakni olamiz. Ammo bu mumkin emas, chunki yangi uchburchak uchdan birida asl uchburchakka teng bo'lishi kerak

M. Ya Vygodskiyning elementar matematika bo'yicha ma'lumotnomasida men yana bir belgi topdim.

D4 belgisi: Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va kattasiga qarama-qarshi burchak mos ravishda ikki tomoniga va boshqa uchburchakning kattasiga qarama-qarshi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Men bu belgini isbotlayman.

Berilgan : DABC , DA1B1C1 , AB=A1B1,AC=A1C1,∠ B= ∠ B1

Isbotlang: DABC=A1B1C1.

1-rasmdagidek uchburchaklarni joylashtiramiz. Keling, B va B1 ni, keyin DAVV1 ni bog'laymiz

Isosceles degan ma'noni anglatadi∠ 1= ∠ 2. ∠ 3= ∠ 4 teng burchaklarning qoldiqlari sifatida.

Biz DVSV1 - teng yon tomonni olamiz, shuning uchun VS=V1S1. DAAVS = DA1V1S1 uch tomondan.

Shuningdek, maktab kursida to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining 4 ta belgisi muhokama qilinadi:

D1 . Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari mos ravishda boshqasining oyoqlariga teng bo'lsa, unda bunday uchburchaklar mos keladi.

D2 . Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i va qo'shni o'tkir burchagi mos ravishda boshqasining oyog'i va qo'shni o'tkir burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

D3 . Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagi mos ravishda boshqasining gipotenuzasi va o'tkir burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Ę4 . Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va oyog'i mos ravishda boshqasining gipotenuzasi va oyog'iga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Men uchburchaklar tengligi mezonlarining nazariy asoslarini hal qildim, uchburchaklar tengligi uchun klassik testlarda ishlatiladigan tomonlar va burchaklarga boshqa komponentlarni qo'shdim: bissektrisa, mediana va balandlik.

Uchburchaklar muvofiqligining nostandart mezonlari.

1) Ikki tomondan va ulardan biriga chizilgan balandlik.

Berilgan: AB=A1B1 , BC=B1C1 , AK=A1K1 ,

Isbotlang: DAABC= DA1B1C1.

Isbot: DABK=DA1B1K1 gipotenuza va oyoq bilan, keyin∠ B= ∠ B1 va birinchi belgiga ko'ra DABC= DA1B1C1 ni oling.

2) Ikki tomondan va ulardan biriga chizilgan mediana

Berilgan: AB=A1B1, BC=B1C1, AK=A1K1, AK va A1K1 medianalar.

Isbotlang: DAABC= DA1B1C1.

Isbot: uch tomondan DABK=DA1B1K1, ya’ni∠ B= ∠ Birinchi belgiga ko'ra B1 va DABC= DA1B1C1.

3) Ikki tomon bo'ylab va uchinchi burchakdan chizilgan balandlik.

Berilgan: ∠ B= ∠ B1 , ∠ C= ∠ C1 , AK=A1K1 .

Isbotlang: DAABC= DA1B1C1.

Isbot: oyoq va o'tkir burchak bo'ylab DABK=DA1B1K1, ya'ni BK=B1K1,

Oyoq va o'tkir burchak bo'yicha DACK=DA1C1K1, ya'ni KC=K1C1, demak, BC=B1C1, ikkinchi belgisi bo'yicha DABC= DA1B1C1.

4) Yon bo'ylab va bu tomonga ulashgan burchaklardan chizilgan ikkita balandlik.

Berilgan: AC=A1C1, SM=C1M1, AK=A1K1.

Isbotlang: DSC= DA1B1C1.

Isbot: oyoq va gipotenuza bo'ylab DAMC= DA1M1C1, ya'ni∠ A= ∠ A1, va DAAKC= DA1K1C1 oyoq va gipotenuza bo'ylab, ya'ni∠ C= ∠ C1.

Demak, ikkinchi mezon bo'yicha DABC= DA1B1C1.

5) Ikki tomondan va uchinchi tomonga chizilgan balandlik.

Berilgan: AB=A1B1,BC=B1C1,BK=B1K1.

Isbotlang: DAABC= DA1B1C1.

Isbot: Gipotenuza va oyoq ustidagi DABK=DA1B1K1, ya’ni AK=A1K1,

Oyoq va gipotenuza bo‘ylab DBKC= DB1K1C1, ya’ni KC=K1C1.

Shunday qilib, uch tomondan DABC= DA1B1C1.

6) Yon bo'ylab, bu tomonga ulashgan burchaklardan biri va bu burchakdan bissektrisa.

Berilgan: AC=A1C1, AK=A1K1,∠ A ∠ A1.

Isbotlang: DAABC= DA1B1C1.

Isbot: Birinchi belgiga ko'ra DKAS=DK1A1S1, ya'ni∠ C= ∠ C1,

Ikkinchi xarakteristikaga ko'ra DABC= DA1B1C1.

7) Ikki balandlik va balandliklardan biri chizilgan burchak bo'yicha.

Berilgan: SM=S1M1, AK=A1K1, ∠ A ∠ A1.

Isbotlang: DAABC= DA1B1C1.

Isbot: oyoq va o'tkir burchakda DAMC= DA1M1C1, oyoq va gipotenuzada DAKAS=DK1A1S1, ikkinchi belgida DABC= DA1B1C1.

Xulosa.

Tadqiqot davomida men uchburchaklar tengligining uchta asosiy belgisiga qo'shimcha ravishda boshqa ko'plab belgilarni ham ko'rsatish mumkinligini aniqladim. Men uchburchaklar tengligini uchburchakning medianasi, balandligi, bissektrisasi asosida uchburchakning tomonlari va burchaklari bilan birgalikda, uchta element mavjudligiga rioya qilgan holda tuzdim va isbotladim. Endi men maktabimiz o‘quvchilariga uchburchaklar teng bo‘lgan boshqa belgilar ham borligini aytishim mumkin. Bu maktab bitiruvchilariga mening tadqiqotim natijalarini Yagona davlat imtihoniga va yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda qo'llash va ushbu xususiyatlardan foydalangan holda geometrik masalalarni osongina echish imkonini beradi.

Mening tadqiqotim natijasi: Maktab geometriya kursida o'rganilmagan uchburchaklar tengligining bir qancha mezonlari isbotlangan.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Vygodskiy M.Ya. Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma.
2. Geometriya. 7-9-sinflar: darslik. Umumiy ta'lim uchun muassasalar/L.S.Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B. Kadomtsev va boshqalar - 19-nashr. – M.: Ta’lim, 2009 yil.
3. Pogorelov A.V. Geometriya: Darslik. 7-9 sinflar uchun. umumiy ta'lim Institutlar. - 3-nashr. – M.: Ta’lim, 2002 yil.
4. . Matematika bo'yicha "Avanta" entsiklopediyasi, Moskva, 2004 yil.
5. 2. Vikipediya — bepul ensiklopediya.
6. 3. Gleyzer G.I. "Maktabda matematika tarixi", Moskva, Prosveshchenie, 1982 yil.
7. 4. Guseva T.M. Uchburchaklarning o'xshashlik belgilari - Moskva, birinchi sentyabr, "Matematika" qo'shimchasi, 1999 yil, № 28
8. 5. Pogorelov A.V. “Geometriya 7-9 sinflar”,Moskva, Ta'lim, 2003 yil

1-ilova

1. Sizningcha, uchburchaklar nechta belgi bilan teng?

A) 3 ta B) uchdan ortiq C) uchtadan kam

2. Uchburchaklar mosligining yangi belgilarini o'rganishni xohlaysizmi?

A) ha B) yo‘q

Ikkita uchburchak, agar ularni bir-birining ustiga chiqish orqali birlashtirish mumkin bo'lsa, ular bir-biriga mos deyiladi. 1-rasmda ABC va A 1 B 1 C 1 teng uchburchaklar ko'rsatilgan. Bu uchburchaklarning har biri bir-birining ustiga to'liq mos bo'lishi uchun, ya'ni ularning uchlari va tomonlari juft bo'lib mos bo'lishi uchun ustiga qo'yilishi mumkin. Bu uchburchaklarning burchaklari ham juftlikda mos kelishi aniq.

Shunday qilib, agar ikkita uchburchak mos bo'lsa, unda bir uchburchakning elementlari (ya'ni tomonlari va burchaklari) mos ravishda boshqa uchburchakning elementlariga teng bo'ladi. Shu esta tutilsinki Tegishli teng tomonlarga qarshi teng uchburchaklarda(ya'ni, ustiga qo'yilganda bir-birining ustiga chiqish) teng burchaklar yotadi va orqaga: Teng tomonlar mos ravishda teng burchaklarga qarama-qarshi yotadi.

Shunday qilib, masalan, 1-rasmda ko'rsatilgan teng ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklarda, mos ravishda AB va A 1 B 1 teng tomonlariga qarama-qarshi C va C 1 teng burchaklar yotadi. ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklar tengligini quyidagicha belgilaymiz: D ABC = D A 1 B 1 C 1. Ma'lum bo'lishicha, ikkita uchburchakning tengligini ularning ba'zi elementlarini solishtirish orqali aniqlash mumkin.

Teorema 1. Uchburchaklar tengligining birinchi belgisi. Agar bir uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi (2-rasm).

Isbot. ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklarini ko'rib chiqing, ularda AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (2-rasmga qarang). D ABC = D A 1 B 1 C 1 ekanligini isbotlaymiz.

∠ A = ∠ A 1 bo'lgani uchun, ABC uchburchagini A 1 B 1 C 1 uchburchak ustiga qo'yish mumkin, shunda A cho'qqisi A 1 cho'qqisiga, AB va AC tomonlari esa mos ravishda A 1 B 1 va A 1 nurlari ustiga qo'yiladi. C 1. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 bo'lgani uchun AB tomoni A 1 B 1 tomoniga, AC tomoni esa A 1 C 1 tomoniga to'g'ri keladi; xususan, B va B 1, C va C 1 nuqtalari mos keladi. Binobarin, BC va B 1 C 1 tomonlari tekislanadi. Shunday qilib, ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklari to'liq mos keladi, ya'ni ular tengdir.

2-teorema xuddi shunday tarzda superpozitsiya usuli yordamida isbotlangan.

Teorema 2. Uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi. Agar bir uchburchakning bir tomoni va ikkita qo‘shni burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning yon va ikkita qo‘shni burchagiga teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar mos keladi (34-rasm).

Izoh. 2-teorema asosida 3-teorema o'rnatiladi.

Teorema 3. Uchburchakning har qanday ikkita ichki burchagi yig'indisi 180° dan kichik.

4-teorema oxirgi teoremadan kelib chiqadi.

Teorema 4. Uchburchakning tashqi burchagi unga qo'shni bo'lmagan har qanday ichki burchakdan kattaroqdir.

Teorema 5. Uchburchaklar tengligining uchinchi belgisi. Agar bitta uchburchakning uchta tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi ().

1-misol. ABC va DEF uchburchaklarida (4-rasm)

∠ A = ∠ E, AB = 20 sm, AC = 18 sm, DE = 18 sm, EF = 20 sm ABC va DEF uchburchaklarini solishtiring. DEF uchburchakdagi qaysi burchak B burchakka teng?

Yechim. Bu uchburchaklar birinchi belgiga ko'ra tengdir. DEF uchburchakning F burchagi ABC uchburchakning B burchagiga teng, chunki bu burchaklar mos ravishda DE va ​​AC teng tomonlariga qarama-qarshi yotadi.

2-misol. AB va CD segmentlari (5-rasm) ularning har birining o'rtasi bo'lgan O nuqtada kesishadi. Agar AC segmenti 6 m bo'lsa, BD segmentining uzunligi qancha?

Yechim. AOC va BOD uchburchaklari teng (birinchi mezon bo'yicha): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikal), AO = OB, CO = OD (shart bo'yicha).
Bu uchburchaklarning tengligidan kelib chiqadiki, ularning tomonlari teng, ya'ni AC = BD. Lekin shartga ko'ra AC = 6 m bo'lgani uchun, u holda BD = 6 m.