Tasodifiy o'zgaruvchi taqsimotning quyidagi qatori bilan berilgan. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

TARQALISH QONUNI VA XUSUSIYATLARI

Tasodifiy o'zgaruvchilar

Tasodifiy miqdorlar, ularning tasnifi va tavsiflash usullari.

Tasodifiy miqdor - tajriba natijasida u yoki bu qiymatni olishi mumkin bo'lgan, lekin qaysi biri oldindan ma'lum bo'lmagan miqdordir. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchi uchun siz faqat qiymatlarni belgilashingiz mumkin, ulardan biri eksperiment natijasida aniq olinadi. Quyida biz ushbu qiymatlarni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari deb ataymiz. Tasodifiy o'zgaruvchi tajribaning tasodifiy natijasini miqdoriy jihatdan tavsiflaganligi sababli, uni tasodifiy hodisaning miqdoriy xarakteristikasi deb hisoblash mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchilar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan, masalan, X..Y..Z va ularning mumkin bo'lgan qiymatlari mos keladigan kichik harflar bilan belgilanadi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning uchta turi mavjud:

Diskret; Davomiy; Aralashgan.

Diskret mumkin bo'lgan qiymatlar soni hisoblanuvchi to'plamni tashkil etadigan tasodifiy o'zgaruvchidir. O'z navbatida, elementlarini raqamlash mumkin bo'lgan to'plam hisoblanuvchi deyiladi. "Diskret" so'zi lotincha diskretdan kelib chiqqan bo'lib, "uzluksiz, alohida qismlardan iborat" degan ma'noni anglatadi.

Misol 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu n mahsulot partiyasidagi nuqsonli X qismlar soni. Darhaqiqat, ushbu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari 0 dan n gacha bo'lgan butun sonlar qatoridir.

2-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - nishonga birinchi zarba berishdan oldingi o'qlar soni. Bu erda, 1-misolda bo'lgani kabi, mumkin bo'lgan qiymatlarni raqamlash mumkin, garchi cheklovchi holatda mumkin bo'lgan qiymat cheksiz katta raqam bo'lsa.

Davomiy Bu tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning mumkin bo'lgan qiymatlari doimiy ravishda raqamli o'qning ma'lum bir oralig'ini to'ldiradi, ba'zan bu tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligi oralig'i deb ataladi. Shunday qilib, mavjudlikning har qanday chekli oralig'ida doimiy tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksiz katta.

Misol 3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - korxonaning oylik elektr energiyasi iste'moli.

Misol 4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - altimetr yordamida balandlikni o'lchashdagi xato. Altimetrning ishlash printsipidan ma'lum bo'lsinki, xato 0 dan 2 m gacha bo'lgan oraliqda yotadi.Shuning uchun bu tasodifiy o'zgaruvchining mavjud bo'lish oralig'i 0 dan 2 m gacha bo'lgan intervaldir.

Tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonuni.

Tasodifiy o'zgaruvchi, agar uning mumkin bo'lgan qiymatlari raqamli o'qda ko'rsatilgan va taqsimot qonuni o'rnatilgan bo'lsa, to'liq aniqlangan hisoblanadi.

Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimollar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan munosabatdir.

Tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir qonun bo'yicha taqsimlanadi yoki ma'lum bir taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Taqsimot qonunlari sifatida bir qator ehtimollar, taqsimot funksiyasi, ehtimollik zichligi va xarakteristik funksiyalardan foydalaniladi.

Taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining to'liq ehtimoliy tavsifini beradi. Tarqatish qonuniga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ko'proq va kamroq paydo bo'lishini tajribadan oldin hukm qilish mumkin.

Diskret tasodifiy miqdor uchun taqsimot qonuni jadval shaklida, analitik (formula shaklida) va grafik ko'rinishida ko'rsatilishi mumkin.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini ko'rsatishning eng oddiy shakli tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini va ularga mos keladigan ehtimolliklarni o'sish tartibida sanab o'tgan jadval (matritsa) bo'lib, ya'ni.

Bunday jadval diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori deb ataladi. 1

X 1, X 2,..., X n hodisalari, sinov natijasida X tasodifiy o'zgaruvchisi mos ravishda x 1, x 2,... x n qiymatlarini qabul qilishidan iborat. nomuvofiq va yagona mumkin bo'lganlar (chunki jadvalda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari keltirilgan), ya'ni. to'liq guruh hosil qiling. Shuning uchun ularning ehtimolliklari yig'indisi 1 ga teng. Shunday qilib, har qanday diskret tasodifiy miqdor uchun

(Ushbu birlik tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari orasida qandaydir tarzda taqsimlangan, shuning uchun "tarqatish" atamasi).

Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chizilgan bo'lsa va ularning mos keladigan ehtimoli ordinatalar o'qi bo'ylab chizilgan bo'lsa, taqsimot seriyasini grafik tarzda tasvirlash mumkin. Olingan nuqtalarning ulanishi ehtimollik taqsimotining ko'pburchak yoki ko'pburchak deb ataladigan siniq chiziqni hosil qiladi (1-rasm).

Misol Lotereya o'z ichiga oladi: 5000 den bo'lgan avtomobil. dona, narxi 250 den 4 ta televizor. dona, qiymati 200 den 5 ta videoregistrator. birliklar 7 kun davomida jami 1000 ta chipta sotiladi. birliklar Bitta chipta sotib olgan lotereya ishtirokchisi olgan sof yutuqni taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim. X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari - har bir chipta uchun sof yutuq - 0-7 = -7 pulga teng. birliklar (agar chipta yutmagan bo'lsa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birliklar (agar chiptada mos ravishda videomagnitofon, televizor yoki avtomobil yutug‘i bo‘lsa). 1000 ta chiptadan g'olib bo'lmaganlar soni 990 tani va ko'rsatilgan yutuqlar mos ravishda 5, 4 va 1 ekanligini hisobga olib, ehtimollikning klassik ta'rifidan foydalanib, olamiz.

Diskret tasodifiy O'zgaruvchilar tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lib, ular faqat bir-biridan uzoq bo'lgan va oldindan sanab o'tilishi mumkin bo'lgan qiymatlarni oladi.
Tarqatish qonuni
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni - bu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning mos keladigan ehtimolliklari o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan munosabatlar.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori uning mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklar ro'yxatidir.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi funktsiyadan iborat:
,
X argumentining har bir qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi ushbu x dan kichik qiymatni olish ehtimolini aniqlash.

Diskret tasodifiy miqdorni kutish
,
bu yerda diskret tasodifiy miqdorning qiymati; - tasodifiy o'zgaruvchining X qiymatlarini qabul qilish ehtimoli.
Agar tasodifiy o'zgaruvchi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini olsa, u holda:
.
n ta mustaqil sinovda hodisaning sodir bo'lish sonining matematik kutilishi:
,

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi va standart og'ishi
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi:
yoki .
n ta mustaqil sinovda hodisa ro'y berish sonining o'zgarishi
,
Bu erda p - hodisaning sodir bo'lish ehtimoli.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi:
.

1-misol
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi (DRV) X uchun ehtimollik taqsimoti qonunini tuzing - bir juft zarning n = 8 otishida kamida bitta "oltita" ning k marta takrorlanish soni. Tarqatish poligonini tuzing. Taqsimotning son xarakteristikalarini toping (tarqatish rejimi, matematik kutilma M(X), dispersiya D(X), standart og‘ish s(X)). Yechim: Belgini kiritamiz: A hodisasi - "bir juft zar uloqtirganda, oltita kamida bir marta paydo bo'ladi". A hodisasining P(A) = p ehtimolini topish uchun avvaliga qarama-qarshi hodisaning P(Ā) = q ehtimolini topish qulayroqdir Ā - “bir juft zar uloqtirganda oltitasi hech qachon paydo bo‘lmagan”.
Bitta o'limni tashlashda "oltilik" paydo bo'lmasligi ehtimoli 5/6 ga teng bo'lgani uchun, ehtimolliklarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra
P(Ā) = q = =.
Mos ravishda,
P(A) = p = 1 – P(Ā) =.
Muammodagi testlar Bernulli sxemasiga amal qiladi, shuning uchun d.s.v. kattalik X- raqam k Ikkita zarni uloqtirganda kamida bitta oltining paydo bo'lishi ehtimollik taqsimotining binomial qonuniga bo'ysunadi:

Bu erda = - kombinatsiyalar soni n tomonidan k.

Ushbu muammo bo'yicha amalga oshirilgan hisob-kitoblarni jadval shaklida qulay tarzda taqdim etish mumkin:
Ehtimollar taqsimoti d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotining ko'pburchak (ko'pburchak). X rasmda ko'rsatilgan:

Guruch. Ehtimollar taqsimoti poligoni d.s.v. X=k.
Vertikal chiziq taqsimotning matematik kutilishini ko'rsatadi M(X).

D.s.v ning ehtimollik taqsimotining son xarakteristikalari topilsin. X. Tarqatish rejimi 2 (bu erda P 8(2) = maksimal 0,2932). Ta'rif bo'yicha matematik kutish quyidagilarga teng:
M(X) = = 2,4444,
Qayerda xk = k– d.s.v tomonidan olingan qiymat. X. Farqlanish D(X) quyidagi formula yordamida taqsimotni topamiz:
D(X) = = 4,8097.
Standart og'ish (RMS):
s( X) = = 2,1931.

2-misol
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash qonuni bilan belgilanadi

F(x) taqsimot funksiyasini toping va grafigini chizing.

Yechim. Agar , u holda (uchinchi xususiyat).
Agar, keyin. Haqiqatan ham, X 0,3 ehtimollik bilan 1 qiymatini qabul qilishi mumkin.
Agar, keyin. Haqiqatan ham, agar u tengsizlikni qondirsa
, keyin sodir bo'lishi mumkin bo'lgan hodisa ehtimoliga teng bo'ladi X 1 qiymatini (ushbu hodisaning ehtimoli 0,3) yoki 4 qiymatini (ushbu hodisaning ehtimolligi 0,1) qabul qiladi. Bu ikki hodisa mos kelmasligi sababli, qo'shish teoremasiga ko'ra, hodisaning ehtimoli 0,3 + 0,1 = 0,4 ehtimollik yig'indisiga teng. Agar, keyin. Darhaqiqat, voqea aniq, shuning uchun uning ehtimoli birga teng. Demak, taqsimot funksiyasini analitik tarzda quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu funktsiyaning grafigi:
Keling, ushbu qiymatlarga mos keladigan ehtimollarni topaylik. Shartga ko'ra, qurilmalarning ishdan chiqish ehtimoli teng: u holda qurilmalarning kafolat muddati davomida ishlash ehtimoli teng:




Tarqatish qonuni quyidagi shaklga ega:

Ehtimollar nazariyasini qo'llashda tajribaning miqdoriy xarakteristikalari birinchi darajali ahamiyatga ega. Miqdoriy jihatdan aniqlanishi mumkin bo'lgan va tajriba natijasida vaziyatga qarab turli qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan miqdor deyiladi. tasodifiy o'zgaruvchi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar:

1. O‘n o‘yinda o‘yinda juft sonlar paydo bo‘lishi soni.

2. Ketma-ket o‘q uzgan o‘qchining nishonga tegishi soni.

3. Portlovchi qobiqning bo'laklari soni.

Berilgan misollarning har birida tasodifiy o'zgaruvchi faqat ajratilgan qiymatlarni, ya'ni tabiiy raqamlar qatoridan foydalanib raqamlanishi mumkin bo'lgan qiymatlarni olishi mumkin.

Mumkin qiymatlari alohida ajratilgan raqamlar bo'lgan, bu o'zgaruvchi ma'lum bir ehtimollik bilan qabul qiladigan bunday tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi. diskret.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) bo'lishi mumkin.

Tarqatish qonuni Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning ro'yxati. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval shaklida (ehtimollik taqsimoti qatori), analitik va grafik (ehtimollik taqsimoti ko‘pburchagi) ko‘rinishida ko‘rsatilishi mumkin.

Tajribani o'tkazishda o'rganilayotgan qiymatni "o'rtacha" baholash kerak bo'ladi. Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatining rolini deb nomlangan raqamli xarakteristikasi o'ynaydi matematik kutish, formula bilan aniqlanadi

Qayerda x 1 , x 2 ,.. , x n- tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari X, A p 1 ,p 2 , ... , p n- ushbu qiymatlarning ehtimolligi (esda tuting p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Misol. Otish nishonda amalga oshiriladi (11-rasm).

Ida zarba uch ochko, IIda ikki ochko, IIIda bitta ball beradi. Bitta otuvchi tomonidan bitta zarbada to'plangan ballar soni shaklning taqsimlanish qonuniga ega

Otishmalarning mahoratini solishtirish uchun to'plangan ballarning o'rtacha qiymatlarini solishtirish kifoya, ya'ni. matematik taxminlar M(X) Va M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Ikkinchi otuvchi o'rtacha bir oz ko'proq ball beradi, ya'ni. qayta-qayta otilganda yaxshi natijalar beradi.

Matematik kutishning xossalariga e'tibor qaratamiz:

1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng:

M(C) = C.

2. Tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. O‘zaro mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi omillarning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng.

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Binomiy taqsimotning matematik inkori sinovlar soni va bir sinovda sodir bo‘ladigan hodisa ehtimoli ko‘paytmasiga teng (4.6-topshiriq).

M(X) = pr.

Tasodifiy o'zgaruvchining "o'rtacha" matematik kutilganidan qanday og'ishini baholash uchun, ya'ni. Ehtimollar nazariyasida tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining tarqalishini tavsiflash uchun dispersiya tushunchasi qo'llaniladi.

Farqlanish tasodifiy o'zgaruvchi X kvadrat og'ishning matematik kutilishi deyiladi:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersiya - tasodifiy miqdor dispersiyasining raqamli xarakteristikasi. Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi qanchalik kichik bo'lsa, uning mumkin bo'lgan qiymatlari matematik kutish atrofida qanchalik yaqin joylashgan bo'lsa, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari uning matematik kutilishi bilan shunchalik yaxshi tavsiflanadi. .

Ta'rifdan kelib chiqadiki, dispersiyani formuladan foydalanib hisoblash mumkin

.

Dispersiyani boshqa formula yordamida hisoblash qulay:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Konstantaning dispersiyasi nolga teng:

D(C) = 0.

2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib chiqarish mumkin:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi hadlar dispersiyasi yig‘indisiga teng:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Binomiy taqsimotning dispersiyasi sinovlar soni va bir sinovda hodisaning yuzaga kelishi va bo‘lmasligi ehtimoli ko‘paytmasiga teng:

D(X) = npq.

Ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdor dispersiyasining kvadrat ildiziga teng sonli xarakteristika ko'pincha ishlatiladi. Bu raqamli xarakteristikaga o'rtacha kvadrat og'ish deyiladi va belgi bilan belgilanadi

.

U tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatidan chetlanishining taxminiy hajmini tavsiflaydi va tasodifiy miqdor bilan bir xil o'lchamga ega.

4.1. Otuvchi nishonga uchta o'q uzadi. Har bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,3 ga teng.

Xitlar soni bo'yicha tarqatish seriyasini tuzing.

Yechim. Xitlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir X. Har bir qiymat x n tasodifiy o'zgaruvchi X ma'lum bir ehtimolga mos keladi P n .

Bu holda diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni aniqlanishi mumkin yaqin tarqatish.

Bu muammoda X 0, 1, 2, 3 qiymatlarini oladi. Bernulli formulasi bo'yicha

,

Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimolini topamiz:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini tartibga solish orqali X ortib borayotgan tartibda biz tarqatish seriyasini olamiz:

X n

E'tibor bering, miqdor

tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolini bildiradi X mumkin bo'lganlar orasidan kamida bitta qiymat oladi va bu hodisa ishonchli, shuning uchun

.

4.2 .Unda 1 dan 4 gacha raqamlar yozilgan to‘rtta shar bor. Ikkita shar chiqariladi. Tasodifiy qiymat X- to'p raqamlarining yig'indisi. Tasodifiy miqdorning taqsimot qatorini tuzing X.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchan qiymatlar X 3, 4, 5, 6, 7. Tegishli ehtimollarni topamiz. Tasodifiy o'zgaruvchining qiymati 3 X Tanlangan to'plardan birida 1 raqami, ikkinchisida esa 2 bo'lgan yagona holatda qabul qilinishi mumkin. Mumkin bo'lgan test natijalari soni ikkitadan to'rtta (mumkin bo'lgan to'p juftlari soni) kombinatsiyalar soniga teng.

Klassik ehtimollik formulasidan foydalanib, biz olamiz

Xuddi shunday,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

5 yig'indisi ikki holatda paydo bo'lishi mumkin: 1 + 4 va 2 + 3, shuning uchun

.

X shaklga ega:

Tarqatish funksiyasini toping F(x) tasodifiy o'zgaruvchi X va uni tuzing. uchun hisoblang X uning matematik kutilishi va dispersiyasi.

Yechim. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni taqsimot funksiyasi orqali aniqlanishi mumkin

F(x) = P(X x).

Tarqatish funksiyasi F(x) butun son qatorida aniqlangan, kamaymaydigan, chapdan uzluksiz funktsiyadir, while

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Diskret tasodifiy miqdor uchun bu funktsiya formula bilan ifodalanadi

.

Shuning uchun bu holatda

Tarqatish funksiyasi grafigi F(x) pog'onali chiziq (12-rasm)

	F(x)

Kutilgan qiymatM(X) qiymatlarning o‘rtacha og‘irlikdagi arifmetik qiymati X 1 , X 2 ,……X n tasodifiy o'zgaruvchi X tarozilar bilan ρ 1, ρ 2, …… , ρ n va tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati deyiladi X. Formulaga ko'ra

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining o'rtacha qiymatidan tarqalish darajasini tavsiflaydi va belgilanadi D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya shaklga ega

yoki formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Muammoning raqamli ma'lumotlarini formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Ikki zar bir vaqtning o'zida ikki marta tashlanadi. Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlashning binomial qonunini yozing X- ikkita zarda umumiy juft ballar sonining takrorlanish soni.

Yechim. Keling, tasodifiy hodisani keltiramiz

A= (bir otish bilan ikkita zar jami juft ballar soniga olib keldi).

Ehtimollikning klassik ta'rifidan foydalanib, biz topamiz

R(A)= ,

Qayerda n - mumkin bo'lgan test natijalarining soni qoidaga muvofiq topiladi

ko'paytirish:

n = 6∙6 =36,

m - tadbirni qo'llab-quvvatlaganlar soni A natijalar - teng

m= 3∙6=18.

Shunday qilib, bitta sinovda muvaffaqiyatga erishish ehtimoli

ρ = P(A)= 1/2.

Muammo Bernoulli test sxemasi yordamida hal qilinadi. Bu erda bitta qiyinchilik ikkita zarni bir marta tashlashdir. Bunday testlar soni n = 2. Tasodifiy o'zgaruvchi X 0, 1, 2 qiymatlarni ehtimollar bilan qabul qiladi

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Tasodifiy miqdorning zarur binomial taqsimoti X tarqatish seriyasi sifatida ifodalanishi mumkin:

X n
ρ n

4.5 . Olti qismdan iborat to'plamda to'rtta standart mavjud. Uch qism tasodifiy tanlangan. Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotini tuzing X– tanlanganlar orasidan standart qismlar soni va uning matematik kutilmasini toping.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchan qiymatlar X 0,1,2,3 raqamlari. Bu aniq R(X=0)=0, chunki faqat ikkita nostandart qism mavjud.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni X Keling, uni tarqatish seriyasi shaklida taqdim etamiz:

X n
ρ n

Kutilgan qiymat

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ekanligini isbotlang X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A V n mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng ρ - bitta sinovda hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bo'yicha sinovlar sonining ko'paytmasiga teng, ya'ni binomial taqsimotning matematik kutilishini isbotlash.

M(X) =n . ρ ,

va dispersiya

D(X) =n.p. .

Yechim. Tasodifiy qiymat X 0, 1, 2... qiymatlarni qabul qilishi mumkin, n. Ehtimollik R(X= k) Bernulli formulasi yordamida topiladi:

R(X=k)= R n(k)= ρ Kimga (1-ρ ) n- Kimga

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori X shaklga ega:

X n
ρ n	q n	rq n- 1	rq n- 2		ρ n

Qayerda q= 1- ρ .

Matematik kutish uchun biz quyidagi ifodaga egamiz:

M(X)=rq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Bitta testda, ya'ni bilan n= Tasodifiy o'zgaruvchi uchun 1 X 1 - voqea sodir bo'lgan holatlar soni A- tarqatish seriyasi quyidagi shaklga ega:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Agar X k - hodisaning sodir bo'lish soni A qaysi testda, keyin R(X Kimga)= ρ Va

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Bu erdan olamiz

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nr,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Sifat nazorati bo'limi mahsulotlarning standartligini tekshiradi. Mahsulotning standart bo'lish ehtimoli 0,9 ga teng. Har bir partiyada 5 ta mahsulot mavjud. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X- har birida 4 ta standart mahsulot bo'lgan partiyalar soni - agar 50 ta partiya tekshirilishi kerak bo'lsa.

Yechim. Har bir tasodifiy tanlangan partiyada 4 ta standart mahsulot bo'lish ehtimoli doimiy; bilan belgilaymiz ρ .Keyin tasodifiy miqdorning matematik kutilishi X teng M(X)= 50∙ρ.

Keling, ehtimollikni topamiz ρ Bernulli formulasiga ko'ra:

r=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Uchta zar tashlanadi. Tushgan ballar yig'indisining matematik kutilmasini toping.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishini topishingiz mumkin X- tushirilgan ballar yig'indisi va keyin uning matematik kutilishi. Biroq, bu yo'l juda og'ir. Tasodifiy o'zgaruvchini ifodalovchi boshqa texnikadan foydalanish osonroq X, matematik kutishni hisoblash osonroq bo'lgan bir nechta oddiy tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi shaklida hisoblanishi kerak bo'lgan matematik kutish. Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X i- bu tushgan ochkolar soni i- suyaklar ( i= 1, 2, 3), keyin ballar yig'indisi X shaklida ifodalanadi

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Asl tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishini hisoblash uchun faqat matematik kutish xususiyatidan foydalanish qoladi.

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Bu aniq

R(X i = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X i kabi ko'rinadi

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Sinov paytida ishlamay qolgan qurilmalar sonining matematik taxminini aniqlang, agar:

a) barcha qurilmalar uchun ishdan chiqish ehtimoli bir xil R, va sinov ostidagi qurilmalar soni teng n;

b) muvaffaqiyatsizlik ehtimoli i – ga teng p i , i= 1, 2, … , n.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X u holda muvaffaqiyatsiz qurilmalar soni

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Bu aniq

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

"A" holatida qurilmaning ishdan chiqishi ehtimoli bir xil, ya'ni

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Agar biz tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini sezsak, bu javobni darhol olish mumkin X parametrlari bilan binomial taqsimotga ega ( n, p).

4.10. Ikki zar bir vaqtning o'zida ikki marta tashlanadi. Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlashning binomial qonunini yozing X - ikkita zarda juft sonli nuqtalarning rulonlari soni.

Yechim. Mayli

A=(birinchi qolipda juft sonni aylantirish),

B =(ikkinchi zarga juft sonni tashlash).

Bir otishda ikkala zarda juft sonni olish mahsulot bilan ifodalanadi AB. Keyin

R (AB) = R(A)∙R(IN) =
.

Ikki zarni ikkinchi marta tashlash natijasi birinchisiga bog'liq emas, shuning uchun Bernulli formulasi qo'llaniladi.

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Tasodifiy qiymat X 0, 1, 2 qiymatlarini qabul qilishi mumkin , ehtimolligini Bernulli formulasi yordamida topish mumkin:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori X:

4.11. Qurilma ko'p sonli mustaqil ishlaydigan elementlardan iborat bo'lib, vaqt o'tishi bilan har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli juda kichik. t. Vaqt bo'yicha rad etishlarning o'rtacha sonini toping t elementlar, agar bu vaqt ichida kamida bitta elementning ishdan chiqishi ehtimoli 0,98 bo'lsa.

Yechim. Vaqt o'tishi bilan rad etganlar soni t elementlar - tasodifiy o'zgaruvchi X, bu Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanadi, chunki elementlar soni ko'p bo'lgani uchun elementlar mustaqil ishlaydi va har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli kichik. Voqea sodir bo'lganlarning o'rtacha soni n testlar teng

M(X) = n.p..

Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli tufayli TO dan elementlar n formula bilan ifodalanadi

R n (TO)
,

qayerda  = n.p., u holda vaqt davomida biron bir elementning ishdan chiqishi ehtimoli t yetamiz K = 0:

R n (0)= e -  .

Shuning uchun, qarama-qarshi hodisaning ehtimoli o'z vaqtida t kamida bitta element muvaffaqiyatsiz tugadi - 1 ga teng - e - . Muammoning shartlariga ko'ra, bu ehtimollik 0,98 ga teng. Tenglamadan.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

bu yerdan  = -ln 0,02  4.

Shunday qilib, o'z vaqtida t qurilmaning ishlashi, o'rtacha 4 ta element muvaffaqiyatsiz bo'ladi.

4.12 . Zarlar "ikki" paydo bo'lguncha tashlanadi. O'rtacha otish sonini toping.

Yechim. Keling, tasodifiy o'zgaruvchini kiritamiz X- bizni qiziqtirgan voqea sodir bo'lgunga qadar bajarilishi kerak bo'lgan testlar soni. Buning ehtimoli X= 1 zarni bir marta tashlash paytida "ikki" paydo bo'lish ehtimoliga teng, ya'ni.

R(X= 1) = 1/6.

Tadbir X= 2 degani, birinchi testda "ikki" chiqmadi, lekin ikkinchisida chiqdi. Hodisa ehtimoli X= 2 mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi bilan topiladi:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Xuddi shunday,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

va hokazo. Biz bir qator ehtimollik taqsimotini olamiz:

					(5/6) Kimga ∙1/6

Otishlarning o'rtacha soni (sinovlar) matematik kutishdir

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

Keling, qatorlarning yig'indisini topamiz:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

Demak,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Shunday qilib, "ikki" paydo bo'lguncha zarni o'rtacha 6 marta tashlashingiz kerak.

4.13. Mustaqil testlar hodisaning bir xil yuzaga kelishi ehtimoli bilan amalga oshiriladi A har bir sinovda. Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping A, agar uchta mustaqil sinovda voqea sodir bo'lish sonining dispersiyasi 0,63 bo'lsa .

Yechim. Uchta sinovda hodisaning sodir bo'lish soni tasodifiy o'zgaruvchidir X, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi. Mustaqil sinovlarda voqea sodir bo'lish sonining farqi (har bir sinovda hodisaning bir xil yuzaga kelish ehtimoli bilan) hodisaning sodir bo'lish va sodir bo'lmaslik ehtimoli bo'yicha sinovlar sonining ko'paytmasiga teng. (muammo 4.6)

D(X) = npq.

Shart bo'yicha n = 3, D(X) = 0,63, shuning uchun mumkin R tenglamadan toping

0,63 = 3∙R(1-R),

ikkita yechimga ega R 1 = 0,7 va R 2 = 0,3.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori berilgan. Yetishmayotgan ehtimollikni toping va taqsimot funksiyasini chizing. Ushbu miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblang.

X tasodifiy o'zgaruvchisi faqat to'rtta qiymatni oladi: -4, -3, 1 va 2. Bu qiymatlarning har birini ma'lum bir ehtimollik bilan oladi. Barcha ehtimollar yig'indisi 1 ga teng bo'lishi kerakligi sababli, etishmayotgan ehtimollik quyidagilarga teng:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini tuzamiz. Ma'lumki, taqsimot funksiyasi , keyin:

Demak,

Keling, funktsiyani chizamiz F(x) .

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining qiymati va mos keladigan ehtimollik mahsulotlari yig'indisiga teng, ya'ni.

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini quyidagi formula yordamida topamiz:

ILOVA

Kombinatorikaning elementlari Bu erda: - sonning faktoriali

Voqealar bo'yicha harakatlar Hodisa - bu tajriba natijasida sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan har qanday fakt. Hodisalarni birlashtirish A Va IN- bu voqea BILAN ko'rinish yoki hodisadan iborat A, yoki voqealar IN, yoki ikkala hodisa bir vaqtning o'zida. Belgilash: ; O'tish voqealari A Va IN- bu voqea BILAN, bu ikkala hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat. Belgilash: ;

Ehtimollikning klassik ta'rifi Hodisa ehtimoli A- tajribalar sonining nisbati , voqea sodir bo'lishi uchun qulay A, tajribalarning umumiy soniga :

Ehtimollarni ko'paytirish formulasi Hodisa ehtimoli formuladan foydalanib topish mumkin: - hodisa ehtimoli A, - hodisa ehtimoli IN, - hodisa ehtimoli IN voqea bo'lishi sharti bilan A allaqachon sodir bo'lgan. Agar A va B hodisalari mustaqil bo'lsa (birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishiga ta'sir qilmasa), unda hodisaning ehtimoli teng bo'ladi:

Ehtimollarni qo'shish formulasi Voqea ehtimolini quyidagi formula yordamida topish mumkin: Hodisa ehtimoli A, Hodisa ehtimoli IN, - hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli A Va IN. Agar A va B hodisalari mos kelmasa (bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin emas), u holda hodisaning ehtimoli teng bo'ladi:

Umumiy ehtimollik formulasi Tadbirga ruxsat bering A hodisalardan biri bilan bir vaqtda sodir bo'lishi mumkin , , …, - keling, ularni gipoteza deb ataymiz. Shuningdek, ma'lum - bajarilish ehtimoli i-gipoteza va - bajarilayotganda A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli i- gipoteza. Keyin hodisaning ehtimoli A formula bilan topish mumkin:

Bernoulli sxemasi n ta mustaqil test bo'lsin. Voqea sodir bo'lish (muvaffaqiyat) ehtimoli A ularning har birida doimiy va tengdir p, muvaffaqiyatsizlik ehtimoli (ya'ni, sodir bo'lmagan voqea A) q = 1 - p. Keyin yuzaga kelish ehtimoli k muvaffaqiyat n Bernulli formulasi yordamida testlarni topish mumkin: Muvaffaqiyatlarning katta ehtimoli Bernulli sxemasida bu eng yuqori ehtimollikka ega bo'lgan ma'lum bir hodisaning sodir bo'lish soni. Formuladan foydalanib topish mumkin:

Tasodifiy o'zgaruvchilar diskret uzluksiz (masalan, 5 bolali oiladagi qizlar soni) (masalan, choynakning to'g'ri ishlash vaqti) Diskret tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari Diskret miqdor taqsimot qatori bilan berilsin: X R , , …, - tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari X; , , …, mos keladigan ehtimollik qiymatlari. Tarqatish funksiyasi Tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi X butun son chizig'ida aniqlangan va buning ehtimoliga teng funktsiyadir X kamroq bo'ladi X:

Imtihon uchun savollar

Tadbir. Tasodifiy hodisalar bo'yicha operatsiyalar.

Hodisa ehtimoli tushunchasi.

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish qoidalari. Shartli ehtimollar.

Umumiy ehtimollik formulasi. Bayes formulasi.

Bernoulli sxemasi.

Tasodifiy o'zgaruvchi, uning taqsimot funksiyasi va taqsimot qatori.

Tarqatish funksiyasining asosiy xossalari.

Kutilgan qiymat. Matematik kutishning xossalari.

Dispersiya. Dispersiya xossalari.

Bir o'lchovli tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti zichligi.

Tarqatish turlari: bir xil, eksponensial, normal, binom va Puasson taqsimoti.

Moivr-Laplasning lokal va integral teoremalari.

Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining qonuni va taqsimot funksiyasi.

Ikki tasodifiy o'zgaruvchilar sistemasining tarqalish zichligi.

Shartli taqsimot qonunlari, shartli matematik kutish.

Bog'liq va mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar. Korrelyatsiya koeffitsienti.

Namuna. Namuna ishlov berish. Poligon va chastota gistogrammasi. Empirik taqsimot funksiyasi.

Tarqatish parametrlarini baholash tushunchasi. Baholash uchun talablar. Ishonch oralig'i. Matematik kutish va standart og'ishlarni baholash uchun intervallarni qurish.

Statistik farazlar. Rozilik mezonlari.