Sin x има графика. Функции y = sin x, y = cos x, техните свойства и графики - Хипермаркет на знанието

В този урок ще разгледаме по -отблизо функцията y = sin x, нейните основни свойства и графиката. В началото на урока ще дадем определението за тригонометрична функция y = sin t на координатния кръг и ще разгледаме графиката на функцията върху окръжност и права линия. Нека покажем периодичността на тази функция на графиката и ще разгледаме основните свойства на функцията. В края на урока ще решим няколко прости задачи, използвайки графиката на функция и нейните свойства.

Тема: Тригонометрични функции

Урок: Функция y = sinx, нейните основни свойства и графика

Когато разглеждате функция, е важно да присвоите една стойност на функцията на всяка стойност на аргумента. Това закон за съответствиеи се нарича функция.

Нека определим закона за съответствието за.

Всяко реално число съответства на една точка на единичен кръгТочката има една ордината, която се нарича синус на число (фиг. 1).

Всяка стойност на аргумента е свързана с единична стойност на функцията.

Очевидните свойства следват от дефиницията на синус.

Фигурата показва това от това е ординатата на точката на единичната окръжност.

Помислете за графиката на функция. Нека си припомним геометричната интерпретация на аргумента. Аргументът е централният ъгъл, измерен в радиани. По оста ще начертаем реални числа или ъгли в радиани, по оста съответните стойности на функцията.

Например ъгълът на единичната окръжност съответства на точка на графиката (фиг. 2)

Получихме графиката на функцията на сайта. Но знаейки периода на синуса, можем да покажем графиката на функцията в цялата област на дефиниция (фиг. 3).

Основният период на функцията е Това означава, че графиката може да бъде получена на сегмент и след това да продължи до цялата област на дефиниция.

Помислете за свойствата на функцията:

1) Обхват:

2) Обхват на стойностите:

3) Функцията е нечетна:

4) Най -малкият положителен период:

5) Координати на пресечните точки на графиката с оста на абсцисата:

6) Координати на точката на пресичане на графиката с оста y:

7) Интервалите, през които функцията приема положителни стойности:

8) Интервалите, през които функцията приема отрицателни стойности:

9) Възходящи интервали:

10) Низходящи интервали:

11) Минимални точки:

12) Минимална функция:

13) Максимални точки:

14) Максимална функция:

Разгледахме свойствата на функцията и нейната графика. Свойствата ще се използват многократно при решаване на проблеми.

Библиография

1. Алгебра и началото на анализа, степен 10 (в две части). Учебник за образователни институции ( ниво на профила) изд. А. Г. Мордкович. -М.: Mnemosina, 2009.

2. Алгебра и началото на анализа, степен 10 (в две части). Проблемна книга за образователни институции (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Mnemosina, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбург С.И. Алгебра и смятане за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове с напреднало изучаване на математика).- М.: Образование, 1996.

4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено изучаване на алгебрата и математическия анализ.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави).- М .: Висше училище, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К.: A.S.K., 1997.

7. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебра и принципите на анализ (ръководство за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции).- М.: Образование, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задачи по алгебра и принципите на анализ: учебник. надбавка за 10-11 клас с задълбочаване проучване Математика.-М.: Образование, 2006.

Домашна работа

Алгебра и началото на анализа, степен 10 (в две части). Проблемна книга за образователни институции (профилно ниво), изд.

А. Г. Мордкович. -М.: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Допълнителни уеб ресурси

3. Образователен порталза подготовка за изпити ().

Назад напред

Внимание! Визуализациите на слайдове са само с информационна цел и може да не представляват всички опции за презентация. Ако се интересувате от това произведение, моля, изтеглете пълната версия.

Желязото ръждясва, не намирайки полза за себе си,
стояща вода гние или замръзва на студ,
и умът на човек, който не намира полза за себе си, изсъхва.
Леонардо да Винчи

Използвани технологии:проблемно обучение, критично мислене, комуникативна комуникация.

Цели:

Развитие на познавателен интерес към ученето.
Изучаване на свойствата на функцията y = sin x.
Формиране на практически умения за изграждане на графика на функцията y = sin x въз основа на изучения теоретичен материал.

Задачи:

1. Използвайте съществуващия потенциал на знания за свойствата на функцията y = sin x в конкретни ситуации.

2. Приложете съзнателно установяване на връзки между аналитични и геометрични модели на функцията y = sin x.

Развийте инициатива, определена готовност и интерес за намиране на решение; способността да вземате решения, не спирайте дотук, защитавайте своята гледна точка.

Да възпитават у учениците познавателна активност, чувство за отговорност, уважение един към друг, взаимно разбиране, взаимна подкрепа, самочувствие; култура на общуване.

По време на часовете

Етап 1. Актуализиране на основни знания, мотивация за изучаване на нов материал

„Влизане в урока“.

На дъската има написани 3 изявления:

Тригонометричното уравнение sin t = a винаги има решение.
Нечетна функция може да бъде нанесена чрез преобразуване на симетрията около оста y.
Тригонометричната функция може да бъде нанесена с помощта на една основна полувълна.

Учениците обсъждат по двойки: Правилни ли са твърденията? (1 минута). Резултатите от първоначалното обсъждане (да, не) след това се въвеждат в таблицата в колоната "Преди".

Учителят определя целите и задачите на урока.

2. Актуализиране на знанията (фронтално върху модела на тригонометричния кръг).

Вече се запознахме с функцията s = sin t.

1) Какви стойности може да приеме променливата t. Какъв е обхватът на тази функция?

2) В какъв интервал са стойностите на израза sin t. Намерете най -голямата и най -малката стойност на функцията s = sin t.

3) Решете уравнението sin t = 0.

4) Какво се случва с ординатата на точка, когато тя се движи по първата четвърт? (ордината се увеличава). Какво се случва с ординатата на точка, когато тя се движи по втората четвърт? (ординатата постепенно намалява). Как това е свързано с монотонността на функцията? (функцията s = sin t нараства на сегмента и намалява на сегмента).

5) Нека напишем функцията s = sin t в обичайната за нас форма y = sin x (ще конструираме в обичайната координатна система xOy) и ще съставим таблица със стойностите на тази функция.

NS	0
в	0			1			0

Етап 2. Възприятие, разбиране, първична консолидация, неволно запомняне

Етап 4. Първична систематизация на знания и методи на дейност, тяхното предаване и приложение в нови ситуации

6. № 10.18 (б, в)

Етап 5. Краен контрол, корекция, оценка и самооценка

7. Връщайки се към твърденията (началото на урока), обсъдете използването на свойствата на тригонометричната функция y = sin x и попълнете колоната "След" в таблицата.

8. D / z: клауза 10, № 10.7 (а), 10.8 (б), 10.11 (б), 10.16 (а)

Урок и презентация по темата: "Функция y = sin (x). Определения и свойства"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина на Integral за клас 10 от 1С
Решаваме задачи в геометрията. Интерактивни строителни задачи за 7-10 клас
Софтуерна среда "1С: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:

Свойства на функцията Y = sin (X).
Графика на функциите.
Как да изградим графика и нейния мащаб.
Примери.

Синусоидни свойства. Y = грях (X)

Момчета, вече се запознахме с тригонометрични функции на числов аргумент. Помните ли ги?

Нека разгледаме по -отблизо функцията Y = sin (X)

Нека запишем някои свойства на тази функция:
1) Област на дефиниция - набор от реални числа.
2) Функцията е нечетна. Нека си припомним определението за нечетна функция. Функция се нарича нечетна, ако важи равенството: y (-x) = - y (x). Както си спомняме от призрачните формули: sin (-x) = - sin (x). Определението е изпълнено, така че Y = sin (X) е нечетна функция.
3) Функцията Y = sin (X) нараства на сегмента и намалява на сегмента [π / 2; π]. Когато се движим по първата четвърт (обратно на часовниковата стрелка), ордината се увеличава, а когато се движим по втората четвърт, тя намалява.

4) Функцията Y = sin (X) е ограничена отгоре и отдолу. Това свойство следва от факта, че
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Най -малката стойност на функцията е -1 (при x = - π / 2 + πk). Най -голямата стойност на функцията е 1 (при x = π / 2 + πk).

Нека използваме свойства 1-5, за да начертаем функцията Y = sin (X). Ще изградим нашата графика последователно, използвайки нашите свойства. Нека започнем изграждането на графика върху сегмент.

Особено внимание трябва да се обърне на скалата. По ординатната ос е по -удобно да вземете единичен сегмент, равен на 2 клетки, а по оста на абсцисата - да вземете единичен сегмент (две клетки), равен на π / 3 (вижте фигурата).

Начертайте функцията синус x, y = sin (x)

Нека изчислим стойностите на функцията в нашия сегмент:

Нека изградим графика въз основа на нашите точки, като вземем предвид третото свойство.

Таблица за преобразуване на призрачни формули

Нека използваме второто свойство, което казва, че функцията ни е нечетна, което означава, че може да бъде отразена симетрично за произхода:

Знаем, че sin (x + 2π) = sin (x). Това означава, че на отсечката [- π; π] графиката изглежда същата като на сегмента [π; 3π] или или [-3π; - π] и така нататък. Остава да прецизираме внимателно графиката от предишната фигура по цялата ос на абсцисата.

Графиката на функцията Y = sin (X) се нарича синусоида.

Нека напишем още няколко свойства според изградената графика:
6) Функцията Y = sin (X) се увеличава на всеки сегмент от формата: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k е цяло число и намалява на всеки интервал от формата: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k е цяло число.
7) Функция Y = sin (X) е непрекъсната функция. Нека да разгледаме графиката на функцията и да се уверим, че нашата функция няма прекъсвания, което означава приемственост.
8) Обхват на стойностите: сегмент [- 1; 1]. Това ясно се вижда и от графиката на функцията.
9) Функция Y = sin (X) е периодична функция. Нека да разгледаме отново графиката и да видим, че функцията приема същите стойности на някои интервали.

Примери за проблеми със синуса

1. Решете уравнението sin (x) = x-π

Решение: Нека изградим 2 графики на функцията: y = sin (x) и y = x-π (виж фигурата).
Нашите графики се пресичат в една точка A (π; 0), това е отговорът: x = π

2. Начертайте функцията y = sin (π / 6 + x) -1

Решение: Желаната графика се получава чрез преместване на графиката на функцията y = sin (x) с π / 6 единици наляво и 1 единица надолу.

Решение: Нека изградим графика на функцията и да разгледаме нашия сегмент [π / 2; 5π / 4].
Графиката на функцията показва, че най -голямата и най -малката стойност са достигнати в краищата на сегмента, съответно в точки π / 2 и 5π / 4.
Отговор: sin (π / 2) = 1 е най -голямата стойност, sin (5π / 4) = най -малката стойност.

Синусоидални проблеми за независимо решение

Решете уравнението: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
Графична функция y = sin (π / 3 + x) -2
Графична функция y = sin (-2π / 3 + x) +1
Намерете най -голямата и най -малката стойност на функцията y = sin (x) на интервал
Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията y = sin (x) на сегмента [- π / 3; 5π / 6]

>> Математика: Функции y = sin x, y = cos x, техните свойства и графики

Функции y = sin x, y = cos x, техните свойства и графики

В този раздел ще обсъдим някои свойства на функциите y = sin x, y= cos x и изграждане на техните графики.

1. Функция y = sin X.

По -горе, в раздел 20, ние формулирахме правило, което позволява на всяко число t да асоциира числото cos t, т.е. характеризира функцията y = sin t. Нека отбележим някои от неговите свойства.

Свойства на функцията u = sin t.

Областта на дефиниция е множеството K на реални числа.
Това следва от факта, че всяко число 2 съответства на точката M (1) на числовата окръжност, която има добре дефинирана ордината; тази ордината е cos t.

u = sin t е нечетна функция.

Това следва от факта, че както е доказано в § 19, за всяко t равенството
Следователно графиката на функцията u = sin t, подобно на графиката на всяка нечетна функция, е симетрична спрямо началото на правоъгълна системакоординира tO и.

Функцията u = sin t нараства на сегмента
Това следва от факта, че когато точката се движи по първата четвърт от числовата окръжност, ордината постепенно се увеличава (от 0 до 1 - виж фиг. 115), а когато точката се движи по втората четвърт от числовата окръжност, ординатата постепенно намалява (от 1 до 0 - виж фиг. 115). фиг. 116).

Функцията u = sin t е ограничена както отдолу, така и отгоре. Това следва от факта, че както видяхме в § 19, за всяко t неравенството

(функцията достига тази стойност във всяка точка на формуляра (функцията достига тази стойност във всяка точка на формуляра
Използвайки получените свойства, ние ще изградим графика на функцията, която ни интересува. Но (внимание!) Вместо u - sin t ще напишем y = sin x (все пак сме по -свикнали да пишем y = f (x), а не u = f (t)). Това означава, че ще изградим графиката в обичайната координатна система xOy (а не tOy).

Нека съставим таблица със стойности на функцията y - sin x:

Коментирайте.

Ето една от версиите за произхода на термина „синус“. На латински синус означава огъване (тетива).

Начертаната графика оправдава до известна степен тази терминология.

Линията, служеща като графика на функцията y = sin x, се нарича синусоида. Тази част от синусоидата, която е показана на фиг. 118 или 119, се нарича вълна на синусоида и тази част от синусоидата, която е показана на фиг. 117 се нарича полувълнова или синусоидална дъга.

2. Функция y = cos x.

Изследването на функцията y = cos x може да се извърши приблизително по същата схема, която беше използвана по -горе за функцията y = sin x. Но по -бързо ще изберем пътя, който води до целта. Първо, ще докажем две формули, които са важни сами по себе си (ще видите това в гимназията), но досега имат само спомагателно значение за нашите цели.

За всяка стойност на t равенствата

Доказателство... Нека числото t съответства на точката M на числовия n кръг, а числото * + на -точката P (фиг. 124; за по -голяма простота взехме точката M през първата четвърт). Дъгите AM и BP са равни съответно, а правоъгълните триъгълници OKM и OLP са равни. Следователно, O K = Ob, MK = Pb. От тези равенства и от местоположението на триъгълниците OKM и OLP в координатната система правим два извода:

1) ординатата на точка Р съвпада по величина и знак с абсцисата на точка М; означава, че

2) абсцисата на точка Р е равна по абсолютна стойност на ординатата на точка М, но се различава от нея по знак; означава, че

Съответните разсъждения се извършват приблизително по същия начин в случаите, когато точката М не принадлежи към първото тримесечие.
Нека използваме формулата (това е формулата, доказана по -горе, само вместо променливата t използваме променливата x). Какво ни дава тази формула? Това ни позволява да твърдим, че функциите

са идентични, което означава, че графиките им съвпадат.
Нека начертаем функцията За целта се обръщаме към спомагателна координатна система с начало в точка (пунктираната линия е нарисувана на фиг. 125). Прикрепяме функцията y = sin x към новата координатна система - това ще бъде графиката на функцията (фиг. 125), т.е. графика на функцията y - cos x. Тя, подобно на графиката на функцията y = sin x, се нарича синусоида (което е съвсем естествено).

Свойства на функцията y = cos x.

y = cos x е четна функция.

Етапите на изграждане са показани на фиг. 126:

1) изграждаме графика на функцията y = cos x (по-точно, една полувълна);
2) разтягайки начертаната графика от оста x с коефициент 0,5, получаваме една полувълна от необходимата графика;
3) използвайки получената полувълна, конструираме цялата графика на функцията y = 0.5 cos x.

Съдържание на урока конспект на урокаподкрепа рамка урок представяне ускорителни методи интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения семинари за самодиагностика, обучения, казуси, куестове домашна работа дискусионни въпроси риторични въпросиот ученици Илюстрации аудио, видеоклипове и мултимедияснимки, картинни диаграми, таблици, схеми хумор, анекдоти, забавление, комикс притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитните шпаргалки учебници основен и допълнителен речник на термините др Подобряване на учебниците и уроцитекорекции на грешки в урокаактуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновации в урока замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината насокидневен ред на дискусията Интегрирани уроци

Открихме, че поведението на тригонометрични функции и функции y = sin x в частност, върху цялата числова линия (или за всички стойности на аргумента NS) се определя изцяло от поведението му в интервала 0 < NS < π / 2 .

Следователно, първо, ние ще начертаем функцията y = sin x точно в този интервал.

Нека съставим следната таблица със стойностите на нашата функция;

Маркирайки съответните точки в координатната равнина и ги свързвайки с гладка линия, получаваме кривата, показана на фигурата

Получената крива може да бъде конструирана геометрично, без да се съставя таблица със стойности на функциите y = sin x .

1. Разделете първата четвърт от окръжност с радиус 1 на 8 равни части.Ординатите на точките на разделяне на окръжността са синусите на съответните ъгли.

2. Първата четвърт от окръжност съответства на ъгли от 0 до π / 2 ... Следователно, по оста NSвземете сегмент и го разделете на 8 равни части.

3. Нека начертаем прави линии, успоредни на осите NS, и от точките на разделяне ще възстановим перпендикулярите до пресечната точка с хоризонталните линии.

4. Свържете пресечните точки с гладка линия.

Сега нека се обърнем към интервала π / 2 < NS < π .
Всяка стойност на аргумента NSот този интервал може да се представи като

х = π / 2 + φ

където 0 < φ < π / 2 ... Чрез формули за редукция

грех ( π / 2 + φ ) = cos φ = грях ( π / 2 - φ ).

Точки на оста NSс абсциси π / 2 + φ и π / 2 - φ симетрични помежду си спрямо точката на оста NSс абсциса π / 2 , а синусите в тези точки са еднакви. Това ви позволява да получите графика на функцията y = sin x в интервала [ π / 2 , π ] чрез просто симетрично показване на графиката на тази функция в интервала спрямо права линия NS = π / 2 .

Сега използваме имота нечетна функция y = sin x,

грях (- NS) = - грях NS,

лесно е да начертаете тази функция в интервала [- π , 0].

Функцията y = sin x е периодична с период 2π ;. Следователно, за да начертаете цялата графика на тази функция, кривата, показана на фигурата, е достатъчна, продължете наляво и надясно периодично с точка 2π .

Получената крива се нарича синусоида ... Това е графиката на функцията y = sin x.

Фигурата илюстрира добре всички тези свойства на функцията. y = sin x , които преди това бяха доказани от нас. Нека си припомним тези свойства.

1) Функция y = sin x дефинирани за всички стойности NS , така че домейнът на неговото определение е колекцията от всички реални числа.

2) Функция y = sin x ограничен. Всички стойности, които приема, са в диапазона от -1 до 1, включително тези две числа. Следователно обхватът на вариация на тази функция се определя от неравенството -1 < в < 1. Кога NS = π / 2 + 2к π функция поема най -високи стойностиравно на 1 и за x = - π / 2 + 2к π - най -малките стойности, равни на - 1.

3) Функция y = sin x е нечетен (синусоидата е симетрична по отношение на произхода).

4) Функция y = sin x периодично с период 2 π .

5) На интервали 2n π < х < π + 2n π (n е всяко цяло число) е положително и в интервалите π + 2к π < NS < 2π + 2к π (k е всяко цяло число) е отрицателно. За x = k π функцията изчезва. Следователно тези стойности на аргумента x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) се наричат нули на функцията y = sin x

6) На интервали - π / 2 + 2n π < NS < π / 2 + 2n π функция y = грях х нараства монотонно и на интервали π / 2 + 2к π < NS < 3π / 2 + 2к π намалява монотонно.

Обърнете специално внимание на поведението на функцията. y = sin x близка точка NS = 0 .

Например грех 0.012 ≈ 0,012; грех (-0,05) ≈ -0,05;

грех 2 ° = грях π 2 / 180 = грях π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

В същото време трябва да се отбележи, че за всякакви стойности на x

| грях х| < | x | . (1)

Наистина, нека радиусът на окръжността, показан на фигурата, е 1,
а / AOV = NS.

Тогава съгреши х= AC. Но AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол NS... Очевидно дължината на тази дъга е NS, тъй като радиусът на окръжността е 1. И така, при 0< NS < π / 2

sin x< х.

Следователно, поради странността на функцията y = sin x лесно е да се покаже, че за - π / 2 < NS < 0

| грях х| < | x | .

Накрая, при х = 0

| sin x | = | x |.

По този начин, за | NS | < π / 2 неравенството (1) е доказано. Всъщност това неравенство е вярно и за | х | > π / 2 поради факта, че | грях NS | < 1, а π / 2 > 1

Упражнения

1. Функция по график y = sin x определят: а) грях 2; б) грях 4; в) грях (-3).

2. Функция по график y = sin x определете кое число е от интервала
[ - π / 2 , π / 2 ] има синус, равен на: а) 0,6; б) -0,8.

3. По график на функциите y = sin x определете кои числа имат синус,
равно на 1/2.

4. Намерете приблизително (без да използвате таблици): а) sin 1 °; б) грях 0,03;
в) грях (-0,015); г) грях (-2 ° 30 ").