Теория на опашките. Сравнителен анализ на ефективността на най-простите системи за масово обслужване Конструиране на симулационни модели

Изчисляване на показателите за ефективност на отворена едноканална QS с повреди. Изчисляване на показателите за ефективност на отворена многоканална QS с повреди. Изчисляване на показателите за ефективност на многоканален QS с ограничение на дължината на опашката. Изчисляване на показателите за ефективност на многоканален QS по очакване.

1. Потоци от заявления към CMO

2. Закони на службата

3. Критерии за качество на работа на СОК

5. Параметри на модела на опашка. При анализ на масови системи

6. I. Модел A е модел на едноканална система за масово обслужване с входен поток от заявки на Поасон и експоненциално време за обслужване.

7. II. Модел B е многоканална система за обслужване.

8. III. Модел C е модел с постоянно сервизно време.

9. IV. Модел D е модел на ограничена популация.

Потоци от заявления към CMO

Има входящи и изходящи потоци на приложения.
Входящият поток от приложения е времева последователност от събития на входа на QS, за които възникването на събитие (приложение) се подчинява на вероятностни (или детерминистични) закони. Ако изискванията за обслужване са в съответствие с някакъв график (например колите пристигат на бензиностанция на всеки 3 минути), тогава такъв поток се подчинява на детерминистични (определени) закони. Но по правило получаването на заявления се подчинява на произволни закони.
За да се опишат случайните закони в теорията на опашките, се въвежда модел на потоци от събития. Потокът от събития е поредица от събития, следващи едно след друго в произволни моменти.
Събитията могат да включват пристигането на приложения на входа на QS (на входа на блока на опашката), появата на приложения на входа на обслужващото устройство (на изхода на блока на опашката) и появата на обслужвани приложения на изхода на QS.

Потоците от събития имат различни свойства, които ви позволяват да правите разлика между различните типове потоци. На първо място, потоците могат да бъдат хомогенни или нехомогенни.
Хомогенните потоци са тези потоци, при които потокът от заявки има едни и същи свойства: те имат приоритет първи дошъл - първи обслужен, обработените заявки имат еднакви физически свойства.
Хетерогенни потоци са тези потоци, при които изискванията имат различни свойства: изискванията се удовлетворяват според принципа на приоритет (например карта на прекъсване в компютър), обработените изисквания имат различни физически свойства.
Схематично един разнороден поток от събития може да бъде изобразен по следния начин

Съответно няколко QS модела могат да се използват за обслужване на разнородни потоци: едноканален QS с дисциплина на опашка, която отчита приоритетите на разнородни заявки, и многоканален QS с индивидуален канал за всеки тип заявки.
Редовен поток е поток, в който събитията следват едно след друго на равни интервали. Ако означим с – моментите на възникване на събитията, а с , и с интервалите между събитията, то за регулярен поток

Повтарящ се поток съответно се дефинира като поток, за който всички разпределителни функции на интервалите между заявките

мач, т.е

Физически, повтарящият се поток е поредица от събития, за които всички интервали между събитията изглежда се „държат“ по един и същи начин, т.е. се подчиняват на същия закон за разпределение. По този начин е възможно да се изследва само един интервал и да се получат статистически характеристики, които ще бъдат валидни за всички останали интервали.
За характеризиране на потоците много често се взема предвид вероятността за разпределение на броя на събитията в даден интервал от време, която се дефинира, както следва:

където е броят на събитията, появяващи се на интервала.
Поток без последействие се характеризира със свойството, че за два неприпокриващи се времеви интервала и , където , , вероятността за настъпване на броя на събитията във втория интервал не зависи от броя на настъпване на събитията в първия интервал.

Липсата на последействие означава липсата на вероятностна зависимост на последващия ход на процеса от предишния. Ако има едноканален QS с време на обслужване, тогава с поток от заявки без последващо действие на входа на системата, изходният поток ще има последействие, тъй като приложенията на изхода на QS не се появяват по-често от интервалът. При закономерен поток, в който събитията следват едно след друго на определени интервали, има най-тежко последействие.
Поток с ограничено последействие е поток, при който интервалите между събитията са независими.
Потокът се нарича стационарен, ако вероятността за възникване на определен брой събития в интервал от време зависи само от дължината на този интервал и не зависи от местоположението му върху времевата ос. За стационарен поток от събития средният брой събития за единица време е постоянен.
Обикновен поток е поток, за който вероятността за възникване на две или повече заявки за даден кратък период от време dt е пренебрежимо малка в сравнение с вероятността за възникване на една заявка.
Поток, който има свойствата на стационарност, липса на последействие и обикновеност, се нарича Poisson (най-простият). Този поток заема централно място сред цялото многообразие от потоци, подобно на случайни величини или процеси с нормален закон на разпределение в приложната теория на вероятностите.
Поасоновият поток се описва със следната формула:
,
където е вероятността за възникване на събития през времето и е интензитетът на потока.
Дебитът е средният брой събития, които се случват за единица време.
За поток на Поасон времевите интервали между заявките се разпределят според експоненциалния закон

Поток с ограничено последействие, при който времевите интервали между заявките се разпределят по нормален закон, се нарича нормален поток.

Закони на службата

Режимът на обслужване (времето на обслужване), както и режимът на получаване на заявки, могат да бъдат постоянни или произволни. В много случаи времето за обслужване следва експоненциално разпределение.
Вероятността услугата да приключи преди времето t е:

където е плътността на потока от приложения
Откъде идва плътността на разпределение на времето за обслужване?

Допълнително обобщение на експоненциалния закон за обслужване може да бъде законът за разпределение на Erlang, когато всеки сервизен интервал се подчинява на закона:

където е интензитетът на първоначалния поток на Поасон, k е порядъкът на потока на Ерланг.

Критерии за качество на работа на СОК

Ефективността на QS се оценява по различни показатели в зависимост от схемата и вида на QS. Най-разпространени са следните:

Абсолютната пропускателна способност на системата с повреди (производителност на системата) е средният брой заявки, които системата може да обработи.

Относителният капацитет на QS е съотношението на средния брой заявки, обработени от системата, към средния брой заявки, получени на входа на QS.

Средна продължителност на престой на системата.

За QS с опашка се добавят следните характеристики:
Дължината на опашката, която зависи от редица фактори: кога и колко заявки са влезли в системата, колко време е изразходвано за обслужване на пристигналите заявки. Дължината на опашката е случайна променлива. Ефективността на системата за масово обслужване зависи от дължината на опашката.

За QS с ограничено чакане в опашка всички изброени характеристики са важни, но за системи с неограничено чакане абсолютната и относителна пропускателна способност на QS губят смисъл.

На фиг. 1 показва сервизни системи с различни конфигурации.

Параметри на модела на опашка. При анализ на масови системиза поддръжка се използват технически и икономически характеристики.

Най-често използваните спецификации са:

1) средното време, което клиентът прекарва на опашка;

2) средна дължина на опашката;

3) средното време, което клиентът прекарва в системата за обслужване (време на изчакване плюс време за обслужване);

4) среден брой клиенти в обслужващата система;

5) вероятността сервизната система да не работи;

6) вероятността за определен брой клиенти в системата.

Сред икономическите характеристики най-голям интерес представляват следните:

1) разходи за чакане на опашка;

2) разходи за изчакване в системата;

3) разходи за обслужване.

Модели на системи за масово обслужване. В зависимост от комбинацията от горните характеристики могат да се разглеждат различни модели на системи за масово обслужване.

Тук ще разгледаме няколко от най-известните модели. Всички те имат следните общи характеристики:

А) Поасоново разпределение на вероятностите за получаване на заявления;

Б) стандартно клиентско поведение;

C) FIFO (първи влязъл, първи излязъл) правило за услуга;

D) единична фаза на поддръжка.

I. Модел А - модел на едноканална система за масово обслужване M/M/1 с входен поток от заявки на Поасон и експоненциално време за обслужване.

Най-често срещаните проблеми с опашката са тези с един канал. В този случай клиентите образуват една опашка до една сервизна точка. Да приемем, че за системи от този тип са изпълнени следните условия:

1. Заявките се обслужват на принципа „първи влязъл, първи излязъл“ (FIFO), като всеки клиент чака до края на своя ред, независимо от дължината на опашката.

2. Появата на заявления са независими събития, но средният брой получени заявления за единица време остава непроменен.

3. Процесът на получаване на заявления се описва с разпределение на Поасон, а приложенията идват от неограничен набор.

4. Времето за обслужване се описва чрез експоненциално разпределение на вероятностите.

5. Скоростта на обслужване е по-висока от скоростта на получените заявки.

Нека λ е броят на приложенията за единица време;

μ – брой обслужени клиенти за единица време;

n – брой приложения в системата.

Тогава системата за масово обслужване се описва с уравненията, дадени по-долу.

Формули за описание на системата M/M/1:

Средно време за обслужване на един клиент в системата (време на изчакване плюс време за обслужване);

Среден брой клиенти на опашка;

Средно време на чакане на клиента на опашка;

Характеристики на натоварването на системата (отношение на времето, през което системата е заета с поддръжка);

Вероятността да няма приложения в системата;

Вероятността в системата да има повече от K приложения.

II. Модел B е многоканална M/M/S сервизна система.В многоканална система два или повече канала са отворени за обслужване. Предполага се, че клиентите чакат на обща опашка и се свързват с първия наличен канал за обслужване.

Пример за такава многоканална еднофазна система може да се види в много банки: от общата опашка клиентите отиват до първия наличен прозорец за обслужване.

В многоканална система потокът от заявки се подчинява на закона на Поасон, а времето за обслужване се подчинява на експоненциалния закон. Първият дошъл първи се обслужва първи и всички канали за обслужване работят с еднаква скорост. Формулите, описващи модел B, са доста сложни за използване. За изчисляване на параметрите на многоканална система за обслужване е удобно да се използва подходящ софтуер.

Времето, прекарано на приложението в опашката;

Времето, през което приложението е било в системата.

III. Модел C е модел с постоянно сервизно време M/D/1.

Някои системи имат по-скоро постоянно, отколкото експоненциално разпределено време за обслужване. При такива системи клиентите се обслужват за определен период от време, например в автоматична автомивка. За модел C с постоянна скорост на обслужване, стойностите на Lq и Wq са два пъти по-малки от съответните стойности в модел A, който има променлива скорост на обслужване.

Формули, описващи модел C:

Средна дължина на опашката;

Средно време на чакане на опашка;

Среден брой клиенти в системата;

Средно време на изчакване в системата.

IV. Модел D е модел на ограничена популация.

Ако броят на потенциалните клиенти на дадена сервизна система е ограничен, имаме работа със специален модел. Такава задача може да възникне например, ако говорим за обслужване на оборудването на завод с пет машини.

Особеността на този модел в сравнение с трите разгледани по-рано е, че има взаимозависимост между дължината на опашката и скоростта на получаване на заявления.

V. Модел Е - модел с ограничена опашка. Моделът се различава от предишните по това, че броят на местата на опашката е ограничен. В този случай приложение, което пристига в системата, когато всички канали и места в опашката са заети, оставя системата необслужена, т.е. бива отхвърлена.

Като специален случай на модел с ограничена опашка, можем да разгледаме модел с неуспехи, ако броят на местата в опашката е намален до нула.

Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Публикувано на http://www.allbest.ru/

Курсов проект

Сравнителен анализ на ефективносттапротозоиx системи за масово обслужване

Въведение

изпълнение на опашка

В производствените дейности и ежедневието често възникват ситуации, когато става изключително важно да се обслужват изискванията или приложенията, влизащи в системата. Често има ситуации, в които е изключително важно да останете в ситуация на изчакване. Примери за това могат да бъдат опашка от клиенти пред касите на голям магазин, група пътнически самолети, чакащи разрешение за излитане на летището, редица повредени машини и механизми, чакащи за ремонт в сервиза на предприятие и т.н. Понякога системите за услуги имат ограничен капацитет да отговорят на търсенето, което води до опашки. Обикновено нито времето за нужда от услуга, нито продължителността на услугата са известни предварително. Най-често не е възможно да избегнете ситуация на изчакване, но можете да намалите времето на изчакване до някаква допустима граница.

Предмет на теорията на масовото обслужване са системите за масово обслужване (СМО). Целите на теорията на масовото обслужване са анализът и изследването на явления, които възникват в обслужващите системи. Една от основните задачи на теорията е да се определят такива характеристики на системата, които осигуряват дадено качество на работа, например минимално време на изчакване, минимална средна дължина на опашката. Целта на изследването на режима на работа на обслужващата система в условия, при които факторът на случайността е значителен, е да се контролират някои количествени показатели за функционирането на системата за масово обслужване. Такива показатели, по-специално, са средното време, което клиентът прекарва на опашка или частта от времето, през което обслужващата система е неактивна. Освен това в първия случай ние оценяваме системата от позицията на „клиента“, докато във втория случай оценяваме степента на натовареност на обслужващата система. Чрез промяна на експлоатационните характеристики на сервизната система може да се постигне разумен компромис между изискванията на "клиентите" и капацитета на сервизната система.

1. Теоретична част

1.1 Класификация на SMO

Системите за масово обслужване (QS) се класифицират според различни критерии, което е показано подробно на фигура 1.1.

Фигура 1.1. Класификация на SMO

Въз основа на броя на обслужващите канали (n), QS се разделят на едноканални (n = 1) и многоканални (n > 2). Едноканалното QS в търговията може да включва почти всяка опция за локално обслужване, например извършвана от един продавач, специалист по стоки, икономист или търговски персонал.

В зависимост от взаимното разположение на каналите системите се делят на QS с паралелни и последователни канали. В QS с паралелни канали входният поток от заявки за услуга е общ и следователно заявките в опашката могат да бъдат обслужени от всеки свободен канал. В такива QS опашката за обслужване може да се счита за обща.

В многоканален QS с последователно подреждане на канали, всеки канал може да се разглежда като отделна едноканална QS или фаза на обслужване. Очевидно изходният поток от обслужвани заявки от един QS е входният поток за последващия QS.

В зависимост от характеристиките на обслужващите канали, многоканалните QS се разделят на QS с хомогенни и разнородни канали. Разликата е, че в QS с хомогенни канали приложението може да се обслужва от всеки свободен канал, а в QS с разнородни канали индивидуалните заявки се обслужват само от канали, специално предназначени за тази цел, например касови апарати за плащане на един или два артикула в супермаркет.

В зависимост от възможността за образуване на опашка, QS се разделят на два основни вида: QS с откази на услугата и QS с изчакване (очакване) за услуга.

В QS с повреди е възможен отказ от услуга, ако всички канали вече са заети с услуга и е невъзможно да се образува опашка и да се чака услуга. Пример за такава CMO е маса за поръчки в магазин, в която поръчките се приемат по телефона.

При QS на изчакване, ако заявката установи, че всички канали на услугата са заети, тя изчаква, докато поне един от каналите е свободен.

QS с изчакване се разделят на QS с неограничено изчакване или с неограничен loch на опашка и време на изчакване To и QS с ограничено изчакване, при които се налагат ограничения или върху максималната възможна дължина на опашката (max loch = m), или върху максималното възможно време, което една заявка може да остане в опашката (max Toch = Togr), или за продължителността на работа на системата.

В зависимост от организацията на потока от заявки QS се делят на отворени и затворени.

При отворен QS изходният поток от обслужвани заявки не е свързан с входния поток от заявки за услуга. При затворена QS обслужваните заявки след известно времезакъснение Tk отново се получават на входа на QS и източникът на заявките се включва в QS. В затворен QS същият краен брой потенциални приложения циркулира, например, съдове в трапезарията - през търговския етаж, измиване и разпределение. Докато потенциална заявка циркулира и не е преобразувана в заявка за услуга на входа на QS, се счита, че е в линията на забавяне.

Типичните QS опции също се определят от установената дисциплина на опашката, която зависи от предимството в обслужването, т.е. приоритет. Приоритетът за избор на заявления за обслужване може да бъде както следва: първи дошъл, първи обслужен; последният дойде първи обслужен; случаен избор. За QS с чакащо и приоритетно обслужване са възможни следните типове: абсолютен приоритет, например за служители на контролно-одитния отдел, министър; относителен приоритет, например за търговския директор на подчинените му предприятия; специалните правила за приоритет при обслужване на приложения са посочени в съответните документи. Има и други видове QS: с получаване на групови заявления, с канали с различна производителност, със смесен поток от приложения.

Набори от QS от различни типове, комбинирани последователно и паралелно, образуват по-сложни QS структури: секции, отдели на магазин, супермаркет, търговска организация и др. Такова моделиране ни позволява да идентифицираме значими връзки в търговията, да прилагаме методи и модели на теорията на опашките, за да ги опишем, да оценим ефективността на услугата и да разработим препоръки за нейното подобряване.

1.2 Примери за QS

Примерите за ООП включват:

телефонни централи;

сервизи;

билетни каси;

информационни бюра;

магазини;

фризьорски салони.

Следните могат да се считат за уникални системи за масово обслужване:

информационни и компютърни мрежи;

Операционни системи за електронни компютри;

системи за събиране и обработка на информация;

автоматизирани производствени цехове, производствени линии;

транспортни системи;

системи за противовъздушна отбрана.

Близо до проблемите на теорията на масовото обслужване са много проблеми, които възникват при анализа на надеждността на техническите устройства.

Случайният характер както на потока от приложения, така и на продължителността на услугата води до факта, че в QS ще възникне някакъв случаен процес. За да се дадат препоръки за рационалната организация на този процес и да се направят разумни изисквания към QS, е необходимо да се изследва случайният процес, протичащ в системата, и да се опише математически. Това прави теорията на опашките.

Обърнете внимание, че обхватът на приложение на математическите методи на теорията на опашките непрекъснато се разширява и все повече надхвърля границите на проблемите, свързани с обслужващите организации в буквалния смисъл на думата.

Броят на моделите на обслужващи системи (мрежи), използвани в практиката и изучавани на теория, е много, много голям. Дори за да се опишат схематично основните им видове, са необходими повече от дузина страници. Ще разгледаме само системи с опашка. В този случай ще приемем, че тези системи са отворени за повиквания, т.е. заявките влизат в системата отвън (в някакъв входен поток), всяка от тях изисква краен брой услуги, след края на последната от които заявката напуска системата завинаги; и дисциплините на обслужване са такива, че във всеки даден момент всяко устройство може да обслужва не повече от едно повикване (с други думи, не се допуска паралелно обслужване на две или повече заявки от едно устройство).

Във всички случаи ще обсъдим условията, които гарантират стабилна работа на системата.

2 . Изчислителна част

2.1 Първи етап. Система с повреди

На този етап ще минимизираме средната цена за обслужване на една заявка за единица време за система с повреди. За да направим това, ние определяме броя на каналите за обслужване, който осигурява в система с повреди най-ниската стойност на параметъра - средната цена за обслужване на една заявка за единица време.

В съответствие с опцията за задача се дефинират следните системни параметри:

интензивност на входния поток (среден брой заявки, влизащи в системата за единица време) 1/ед. време.

средно време за обслужване на една заявка единици. време;

разходи за експлоатация на едноканални единици. цена/канал;

разходи за престой на едноканални единици. цена/канал;

разходи за работа на едно място в опашката

единици цена/заявление на опашка;

цената на загубите, свързани с напускането на приложение от системата, на което е отказано обслужване. цена.ед време

Чрез задаване на стойности (броя на обслужващите канали) от един до шест, ние изчисляваме крайните вероятности и в съответствие с тях показателите за ефективност на системата. Резултатите от изчислението са показани в таблица 2.1 и таблица 2.2, а също така са показани на графиките на функциите, показани на фигура 2.1.

Нека направим изчисления по формули 2.1.

Вероятността един (в този случай всички) канал да е зает е:

Тъй като има само един канал, тогава.

1/ед време.

Коефициентът на натоварване е:

единици време.

Тъй като анализираната система с повреди няма опашка, средният брой заявки в опашката е нула за произволен брой канали за обслужване.

Нека изчислим показателите за ефективност за система с повреди при.

Вероятността всички канали да са свободни е:

Вероятността два (в този случай всички) канала да са заети е:

Тъй като има само два канала, тогава.

Вероятността за обслужване на приложение е равна на:

Абсолютната производителност на системата (средният брой обслужени заявки за единица време) е равна на:

1/ед време.

Интензитетът на потока необслужени заявления (средният брой заявления, на които е отказано обслужване за единица време) е равен на:

1/ед време.

Средният брой заети канали е:

Средният брой безплатни канали е:

Коефициентът на натоварване е:

Времето, през което приложението остава в системата е:

единици време.

Общата цена на обслужване на всички заявки за единица време е равна на:

Средната цена за обслужване на едно приложение за единица време е:

Нека изчислим показателите за ефективност за система с повреди при.

Вероятността всички канали да са свободни е:

Вероятността един канал да е зает е:

Вероятността три (в този случай всички) канала да са заети е:

Тъй като има само три канала, тогава.

Вероятността за обслужване на приложение е равна на:

Абсолютната производителност на системата (средният брой обслужени заявки за единица време) е равна на:

1/ед време.

Средният брой заети канали е:

Средният брой безплатни канали е:

Коефициентът на натоварване е:

Времето, през което приложението остава в системата е:

единици време.

Общата цена на обслужване на всички заявки за единица време е равна на:

Средната цена за обслужване на едно приложение за единица време е:

Нека изчислим показателите за ефективност за система с повреди при.

Вероятността всички канали да са свободни е:

Вероятността един канал да е зает е:

Вероятността два канала да са заети е:

Вероятността три канала да са заети е:

Вероятността четири (в този случай всички) канала да са заети е:

Тъй като има само четири канала, тогава.

Вероятността за обслужване на приложение е равна на:

Абсолютната производителност на системата (средният брой обслужени заявки за единица време) е равна на:

1/ед време.

Средният брой заети канали е:

Средният брой безплатни канали е:

Коефициентът на натоварване е:

Времето, през което приложението остава в системата е:

единици време.

Общата цена на обслужване на всички заявки за единица време е равна на:

Средната цена за обслужване на едно приложение за единица време е:

За и изчисленията се извършват по подобен начин, така че не е необходимо да се предоставят подробности. Резултатите от изчисленията също са включени в таблица 2.1 и таблица 2.2. и са показани на фигура 2.1.

Таблица 2.1. Резултати от изчисленията за QS с повреди

Система с повреди 1/бр. време, единици време	Резултатни показатели

Таблица 2.2. Спомагателни изчисления за QS с откази


единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.

Получените изчисления ни позволяват да заключим, че най-оптималният брой канали в система с повреди ще бъде, тъй като това осигурява минималната стойност на средната цена на обслужване на една заявка за единица време, икономически показател, характеризиращ системата както от гледна точка на потребителя и от гледна точка на експлоатационните му свойства.

Фигура 2.1. Графики на получените показатели на QS с откази

Стойности на основните показатели за ефективност на оптимална QS с неуспехи:

единици време.

Стойността на времето на престой на заявката в системата, която е приемлива за смесена QS, се изчислява по формула 2.2.

единици време.

2.2 Втора фаза. Смесена система

На този етап изучаваме система за опашка, съответстваща на задачата с ограничение на времето, прекарано в опашката. Основната задача на този етап е да се реши въпросът за възможността с въвеждането на опашка да се намали стойността на икономическия показател C, който е оптимален за разглежданата система, и да се подобрят други показатели за ефективност на изследваната система.

Чрез задаване на стойностите на параметъра (средното време, през което заявката остава в системата), ние изчисляваме същите показатели за ефективност, както при система с повреди. Резултатите от изчислението са показани в таблица 2.3 и таблица 2.4, а също така са показани на графиките на функциите, показани на фигура 2.2.

За да изчислим вероятностите и ключовите показатели за ефективност, използваме следните формули:

,

, . 2.3

Нека направим изчисления по формули 2.3.

Стойността на индикатора е еднаква за всички.

.

Вероятността всички канали да са свободни се изчислява по формулите:

,

, . 2.4

Нека изчислим първите няколко членове на редицата, като използваме формули 2.3:

.

Нека извършим останалите изчисления, използвайки формули 2.2.

Нека изчислим крайните вероятности:

.

Средният брой безплатни канали е:

Средният брой заети канали е:

.

1/ед време.

.

единици време.

Общата цена на обслужване на всички заявки за единица време е равна на:

единици Изкуство.

Средната цена за обслужване на едно приложение за единица време е:

единици Изкуство.

Тъй като получената средна цена за обслужване на една заявка е по-малка от сходния параметър на оптималната QS с неуспехи

, трябва да се увеличи.

Нека изчислим показателите за ефективност на QS с ограничение на времето за престой на единиците в опашката. време.

.

Необходимата точност за изчисляване на крайните вероятности е 0,01. За да се гарантира тази точност, е достатъчно да се изчисли приблизителната сума на безкрайна серия с подобна точност.

За изчисления използваме и формули 2.2 и формули 2.3.

.

Средният брой безплатни канали е:

Средният брой заети канали е:

канал

Вероятността за обслужване е:

.

Абсолютният капацитет на системата е:

1/ед време.

Коефициентът на натоварване на системата е:

.

Средният брой заявления в опашката е:

Нека изчислим средното време на престой на приложение в системата, което трябва да отговаря на условието единица. време.

единици време.

Общата цена на обслужване на всички заявки за единица време е равна на:

единици Изкуство.

Средната цена за обслужване на едно приложение за единица време е:

единици Изкуство.

Както се вижда от изчисленията, увеличението води до намаляване на средната цена за обслужване на едно приложение. По подобен начин ще извършим изчисления с увеличаване на средното време, което приложението прекарва в опашката; ще въведем резултатите в таблица 2.3 и таблица 2.4 и също ще ги покажем на фигура 2.2.

Таблица 2.3. Резултати от изчисленията за смесена система

Система с ограничение на времето, прекарано на опашка 1/ед време, единици време	Резултатни показатели

Системни данни с повреди

Таблица 2.4. Спомагателни изчисления за смесена система

Към изчисляване на общите разходи за обслужване на приложения за единица време
	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.
Системни данни с повреди

Системни данни с ограничение на времето, прекарано в опашка

Получените изчисления ни позволяват да заключим, че трябва да се приеме най-оптималното средно време на престой на приложение в опашката за система с ограничение на времето, прекарано в опашка, тъй като в този случай най-ниската средна цена за обслужване на едно приложение, и средното време на престой на приложението в системата не надвишава допустимото, тогава условието е изпълнено.

Фигура 2.2. Графики на получените показатели на смесената система

Стойностите на основните показатели за ефективност на оптималния QS с ограничение на времето, през което приложението остава в опашката:

единици време.

Сравнявайки показателите за ефективност на оптимална система с откази и изследваната оптимална смесена система с ограничение на времето, прекарано в опашката, може да се забележи, в допълнение към намаляването на средната цена за обслужване на една заявка, увеличение на системата натоварването и вероятността за обслужване на приложение, което ни позволява да оценим изследваната система като по-ефективна. Лекото увеличение на времето, през което едно приложение остава в системата, не влияе на оценката на системата, както се очаква при въвеждане на опашка.

2.3 Трети етап. Влияние на ефективността на канала

На този етап ние изследваме въздействието на производителността на обслужващия канал върху ефективността на системата. Производителността на обслужващия канал се определя от средното време за обслужване на една заявка. Като предмет на изследване ще вземем смесена система, която беше призната за оптимална на предишния етап. Производителността на тази първоначална система е сравнима с тази на две версии на тази система.

Вариант А. Система с намалена производителност на обслужващия канал чрез удвояване на средното време за обслужване и с намалени разходи, свързани с работата и престоя на оборудването.

, .

Вариант Б. Система с повишена производителност на каналите за обслужване чрез намаляване наполовина на средното време за обслужване и с увеличени разходи, свързани с експлоатация и престой на оборудването.

, .

Резултатите от изчисленията са показани в таблица 2.5 и таблица 2.6.

Нека изчислим показателите за ефективност на QS с намалена производителност на канала за обслужване.

единици време.

.

Нека изчислим вероятността всички канали да са свободни.

Нека изчислим първите няколко члена от серията:

.

Нека изчислим оставащите крайни вероятности:

.

Средният брой безплатни канали е:

Средният брой заети канали е:

канал

Вероятността за обслужване е:

.

Абсолютният капацитет на системата е:

1/ед време.

Интензитетът на потока необслужени заявления (средният брой заявления, на които е отказано обслужване за единица време) е равен на:

1/ед време.

Коефициентът на натоварване на системата е:

.

Средният брой заявления в опашката е:

приложения.

единици време.

Общата цена на обслужване на всички заявки за единица време е равна на:

единици Изкуство.

Средната цена за обслужване на едно приложение за единица време е:

единици Изкуство.

Нека изчислим показателите за ефективност на QS с повишена производителност на каналите за обслужване.

единици време.

.

Нека изчислим вероятността всички канали да са свободни.

Нека изчислим първите няколко члена от серията:

.

Нека изчислим оставащите крайни вероятности:

.

Средният брой безплатни канали е:

Средният брой заети канали е:

канал.

Вероятността за обслужване е:

.

Абсолютният капацитет на системата е:

1/ед време.

Интензитетът на потока необслужени заявления (средният брой заявления, на които е отказано обслужване за единица време) е равен на:

1/ед време.

Коефициентът на натоварване на системата е:

.

Средният брой заявления в опашката е:

приложения.

Нека изчислим средното време, през което една заявка остава в системата.

единици време.

Общата цена на обслужване на всички заявки за единица време е равна на:

единици Изкуство.

Средната цена за обслужване на едно приложение за единица време е:

единици Изкуство.

Таблица 2.5. Резултати от изчисленията на третия етап

Посочена смесена система

1/ед време, единици време

В резултат

показатели

Оригинален опция

Вариант А

Вариант Б

Таблица 2.6. Спомагателни изчисления на третия етап

Към изчисляване на общите разходи за обслужване на приложения за единица време
	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.	единици Ние стоим.
Оригинален опция
Вариант А
Вариант Б

Получените резултати показват, че не е препоръчително да се увеличава или намалява производителността на обслужващите канали. Тъй като когато производителността на обслужващите канали намалява, средното време, през което една заявка остава в системата, се увеличава, въпреки че натоварването на системата е близо до максимума. С увеличаване на производителността повечето от каналите за обслужване са неактивни, но от гледна точка на потребителя системата е ефективна, тъй като вероятността за обслужване е близка до единица и времето, през което заявката остава в системата, е кратко. Това изчисление демонстрира две опции за системата, първата от които е ефективна от гледна точка на експлоатационните свойства и не е ефективна от гледна точка на потребителя, а втората - обратното.

Заключение

По време на курсовия проект бяха изследвани и разгледани система за масово обслужване с откази и смесена система за масово обслужване с ограничение на времето, прекарано в опашката, и беше изследвано влиянието на производителността на обслужващите канали върху ефективността на системата, избрана като оптимална.

Сравнявайки оптималната QS с отказите и смесената система по отношение на параметрите на ефективност, смесената система трябва да бъде призната за най-добра. Тъй като средната цена за обслужване на едно приложение в смесена система е по-малка от подобен параметър в QS с откази от 9%.

Анализирайки ефективността по отношение на производителността на системата, смесената система показва по-добри резултати в сравнение с QS с повреди. Факторът на натоварване и абсолютната пропускателна способност на смесената система са с 10% по-големи от аналогичните параметри на QS с повреди. От гледна точка на потребителя заключението не е толкова ясно. Вероятността за обслужване на смесена система е почти 10% по-висока, което показва по-голямата ефективност на смесената система в сравнение с QS с повреди. Но има и увеличение на времето, през което приложението остава в системата с 20%, което характеризира QS с повреди като по-ефективен по този параметър.

В резултат на изследванията оптималната смесена система беше призната за най-ефективна. Тази система има следните предимства пред QS с повреди:

по-ниски разходи за обслужване на едно приложение;

по-малко прекъсване на сервизните канали поради по-голямо натоварване;

по-голяма рентабилност, тъй като пропускателната способност на системата е по-висока;

Възможно е да издържат на неравномерна интензивност на входящите приложения (повишено натоварване), поради наличието на опашка.

Изследванията на влиянието на производителността на обслужващите канали върху ефективността на смесена система за масово обслужване с ограничение на времето, прекарано в опашката, ни позволяват да заключим, че най-добрият вариант би бил оригиналната оптимална смесена система. Тъй като когато производителността на обслужващите канали намалее, системата „провисва“ много от гледна точка на потребителя. Времето за престой на едно приложение в системата се увеличава с 3,6 пъти! И с увеличаване на производителността на обслужващите канали, системата може да се справи с натоварването толкова лесно, че 75% от времето ще бъде бездействащо, което е друга, нерентабилна крайност.

Като се има предвид горното, оптималната смесена система е най-добрият избор, тъй като демонстрира баланс на показателите за ефективност от потребителска гледна точка и експлоатационни свойства, като същевременно има най-добри икономически показатели.

Библиографияаз

1 Дворецки С.И. Системи за моделиране: учебник за студенти. по-висок учебник институции / М.: Издателски център "Академия". 2009 г.

2 Labsker L.G. Теория на масовото обслужване в икономическата сфера: Учебник. ръководство за университети / М.: UNITI. 1998 г.

3 Самусевич Г.А. Теория на опашките. Най-простите системи за масово обслужване. Указания за попълване на курсов проект. / Е.: УрТИСИ СибГУТИ. 2015 г.

Публикувано на Allbest.ru

Подобни документи

Произход и история на формирането на икономическия анализ. Икономически анализ в условията на царска Русия, в следоктомврийския период и при прехода към пазарни отношения. Теория на масовото обслужване, нейното приложение и използване при вземане на решения.

тест, добавен на 11/03/2010

Икономическа система в различните научни школи. Сравнително изследване на механизма на функциониране на различни икономически системи. Връзка между план и пазар (разпределение на ресурсите). Видове системи: модерни, традиционни, планирани и смесени (хибридни).

курсова работа, добавена на 25.12.2014 г

Изследване на характеристиките на повременното и на парче заплащане. Описание на системите за еднократни, договорни и нетарифни плащания. Бригадна форма на организация на труда. Анализ на факторите, влияещи върху работната заплата. Преглед на причините за неравенството в доходите.

курсова работа, добавена на 28.10.2013 г

Методика за сравнително изследване на икономическите системи. Развитие на възгледите за прединдустриалната икономическа система. Пазарна икономика: концептуален замисъл и реалност. Модели на смесена икономика в развиващите се страни.

книга, добавена на 27.12.2009 г

Същността на масовия тип организация на производството и обхвата на неговото приложение, основните показатели. Основните характеристики на използването на масов тип организация на производството в конкретно предприятие. Подобряване на управлението на масовото производство.

курсова работа, добавена на 04.04.2014 г

Подходи за изучаване на икономиката и икономическия процес. Икономическият механизъм като част от икономическата система. Видове икономически системи. Капитализъм, социализъм и смесена икономика в теорията и практиката. Национални модели на икономически системи.

курсова работа, добавена на 14.04.2013 г

Понятието икономически системи и подходи към тяхната класификация. Основни модели на развитите страни в икономическите системи. Основните черти и характеристики на шведския, американския, немския, японския, китайския и руския модел на икономиките в преход.

курсова работа, добавена на 03/11/2010

Същност на портфолио, бюджет, проект подходи за оценка на проекти за внедряване на информационни технологии в една компания. Описание на традиционни финансови и вероятностни методи за определяне на ефективността от използването на корпоративни информационни системи.

резюме, добавено на 12/06/2010

Понятието производствена функция и изокванта. Класификация на нискоеластични, средноеластични и високоеластични стоки. Определяне и използване на коефициенти на преки разходи. Използване на метода на теорията на игрите в търговията. Системи за масово обслужване.

практическа работа, добавена на 03/04/2010

Понятие и класификация на икономическите системи, техните разновидности и сравнително описание. Същността и основните условия за съществуването на пазара, моделите и насоките на неговото развитие. Концепцията за субект и обект на пазарната икономика, принципи на управление.

Показатели за ефективност на QS

абсолютен и относителен капацитет на системата;
скорости на натоварване и празен ход;
средно време за пълно натоварване на системата;
средно време, през което едно приложение остава в системата.

Показатели, характеризиращи системата от гледна точка на потребителите:

P obs – вероятност за обслужване на заявка,
t syst – време на престой на приложението в системата.

Показатели, характеризиращи системата по отношение на нейните експлоатационни свойства:

λ b– абсолютна пропускателна способност на системата (среден брой обслужени заявки за единица време),
P obs – относителен капацитет на системата,
k z – коефициент на натоварване на системата.

виж също Параметри на икономическа ефективност на QS

Задача . Споделен изчислителен център с три компютъра получава поръчки от предприятия за изчислителна работа. Ако и трите компютъра работят, тогава новопостъпилата поръчка не се приема и предприятието е принудено да се свърже с друг компютърен център. Средното време за работа с една поръчка е 3 ч. Интензивността на потока заявки е 0,25 (1/час). Намерете граничните вероятности на състоянията и показателите за ефективност на компютърния център.
Решение. Съгласно условието n=3, λ=0,25(1/h), t об. =3 (h). Интензитет на сервизния поток μ=1/t об. =1/3=0,33. Интензитет на натоварване на компютъра по формула (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Нека намерим граничните вероятности на състоянията:
съгласно формула (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формула (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 т.е. при стационарен режим на работа на компютърния център средно 47,6% от времето няма заявка, 35,7% - има една заявка (един компютър е зает), 13,4% - две заявки (два компютъра), 3,3% от времето - три заявки (три компютъра са заети).
Вероятността за повреда (когато и трите компютъра са заети), следователно P отворен. =p3 =0.033.
Съгласно формула (28) относителният капацитет на центъра е Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. Средно на всеки 100 заявки компютърният център обслужва 96,7 заявки.
Съгласно формула (29) абсолютният капацитет на центъра е A = 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. Средно на час се обслужват 0,242 молби.
Според формула (30) средният брой заети компютри k = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. всеки от трите компютъра ще бъде зает да обслужва заявки средно само 72,5/3 = 24,2%.
Когато се оценява ефективността на компютърен център, е необходимо да се сравнят приходите от изпълнение на заявки със загубите от престой на скъпи компютри (от една страна, имаме висока пропускателна способност на QS, а от друга страна , има значително прекъсване на каналите за обслужване) и изберете компромисно решение.

Задача . Пристанището разполага с едно кейово място за разтоварване на кораби. Дебитът на съда е 0,4 (съда на ден). Средното време за разтоварване на един кораб е 2 дни. Предполага се, че опашката може да бъде с неограничена дължина. Намерете показателите за ефективност на кейовата стоянка, както и вероятността не повече от 2 кораба да чакат да разтоварят.
Решение. Имаме ρ = λ/μ = μt об. =0,4∙2=0,8. Тъй като ρ = 0,8 < 1, тогава опашката за разтоварване не може да се увеличава безкрайно и съществуват ограничаващи вероятности. Да ги намерим.
Вероятността котвеното място да е свободно, съгласно (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, и вероятността то да е заето, P заетост. = 1-0,2 = 0,8. Съгласно формула (34), вероятностите да има 1, 2, 3 кораба на кея (т.е. 0, 1, 2 кораба чакат да се разтоварят) са равни на p 1 = 0,8(1-0,8) = 0, 16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятността не повече от 2 кораба да чакат разтоварване е равна на
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
Според формула (40) средният брой кораби, чакащи разтоварване
L jh =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
и средното време на изчакване за разтоварване по формулата (15.42)
Tp = 3,2/0,8 = 4 дни.
Съгласно формула (36) средният брой кораби, разположени на котвената стоянка, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (дни) (или по-просто съгласно (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (дни) и средното време, през което корабът престоява на кея съгласно формулата (41 ) T syst = 4/0,8 = 5 (дни).
Очевидно е, че ефективността на разтоварване на кораби е ниска. За да се увеличи, е необходимо да се намали средното време за разтоварване на кораба t около или да се увеличи броят на местата n.

Задача . В супермаркет поток от клиенти пристига в центъра за плащане с интензивност λ = 81 души. в един часа. Средната продължителност на обслужване от контрольор на касиер на един клиент t об = 2 мин. Определете:
А. Минимален брой касиери n min,в която опашката няма да расте до безкрайност, и съответните характеристики на услугата за n=n min .
b. Оптимално количество n опт. контрольори-касиери, при които относителната стойност на разходите C rel., свързани с разходите за поддържане на каналите за обслужване и с престой в клиентската опашка, дадена например като , ще бъде минимална и сравнете характеристиките на услугата с n= n min и n=n опт.
V. Вероятността да има не повече от трима клиенти на опашката.
Решение.
А. По условие l = 81 (1/h) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). Съгласно формула (24) r = l/ m = lt rev = 1,35×2 = 2,7. Опашката няма да расте безкрайно при условие r/n< 1, т.е. при n >r = 2,7. По този начин минималният брой контролери на касиера е n min = 3.
Нека намерим сервизните характеристики на QS при П= 3.
Вероятността да няма купувачи във възела за сетълмент, съгласно формула (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3 -2,7)) - 1 = 0,025, т.е. средно 2,5% контрольорите и касиерите ще бездействат известно време.
Вероятността да има опашка в изчислителния възел, съгласно (48) P много. = (2,7 4 /3! (3-2,7)) 0,025 = 0,735
Средният брой клиенти на опашката за (50) L och. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Средно време на чакане на опашка за (42) T много. = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среден брой купувачи в сетълмент възела според (51) L система. = 7,35+2,7 = 10,05.
Средно време, прекарано от купувачите във възела за сетълмент съгласно (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
маса 1

Характеристики на услугата	Брой касиери
Характеристики на услугата	3	4	5	6	7
Вероятност за престой на касиерите p 0	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Среден брой клиенти на опашката T много.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Относителна стойност на разходите C отн.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Средният брой касиери, участващи в обслужването на клиентите, съгласно (49) k = 2,7.
Коефициент (дял) на заетите в обслужването касиери
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютна производителност на изчислителния възел А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 клиенти на час.
Анализът на характеристиките на услугата показва значително претоварване на платежния център при наличието на трима касиери.
b. Относителна себестойност за n = 3
C отн. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Нека изчислим относителната стойност на разходите за други стойности П(Маса 1).
Както се вижда от табл. 2, минималните разходи се получават при n = n опт. = 5 контрольори-касиери.
Нека определим характеристиките на услугата на изчислителния възел за n = n opt. =5. Получаваме P много добро. = 0,091; Л много = 0,198; T och. = 0.146 (min); L сист. = 2,90; T snst. = 2,15 (мин); k = 2,7; k3 = 0,54.
Както можем да видим, с n = 5 в сравнение с n = 3, вероятността за поява на опашка P много намалява значително. , дължина на опашката L много и средното време, прекарано на опашка T много. и съответно средния брой купувачи L система. и средното време, прекарано в системата на платежния възел T, както и дела на контролерите, ангажирани с обслужването на k 3. Но средният брой контролери на касиерите, ангажирани с обслужването на k, и абсолютната производителност на платежния възел A естествено не се променят.
V. Вероятността да има не повече от 3 клиента на опашката се дава от
= 1- P много добър + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , където намираме всеки член с помощта на формули (45) – (48). Получаваме за n=5:

Обърнете внимание, че в случай на n=3 касиери, същата вероятност е значително по-ниска: P(r ≤ 3) =0,464.

4. ТЕОРИЯ НА ОБСЛУЖВАНЕТО НА ОПАШКАТА

4.1. Класификация на системите за масово обслужване и техните показатели за ефективност

Системи, в които заявките за услуга възникват в произволни моменти и има устройства за обслужване на тези заявки, се наричат системи за масово обслужване(SMO).

QS може да се класифицира въз основа на организацията на обслужването, както следва:

Системите за повреда нямат опашки.

Системите за чакане имат опашки.

Получено приложение при заети всички канали на услугата:

Оставя системата с повреди;

Опашки за обслужване в системи за чакане с неограничена опашка или за празно място с ограничена опашка;

Оставя системата да чака ограничена опашка, ако в тази опашка няма свободно място.

Като мярка за ефективността на икономическата QS се счита количеството загубено време:

Чакане на опашка;

Престой на обслужващи канали.

За всички видове QS се използват следните: показатели за ефективност :

- относителна производителност - това е средният дял на входящите приложения, обслужвани от системата;

- абсолютна производителност - това е средният брой заявки, обслужени от системата за единица време;

- вероятност за провал - това е вероятността дадено приложение да остави системата без обслужване;

- среден брой заети канали - за многоканален QS.

Показателите за ефективност на QS се изчисляват по формули от специални справочници (таблици). Първоначалните данни за такива изчисления са резултатите от QS моделирането.

4.2. Моделиране на система за масово обслужване:

основни параметри, графика на състоянието

С цялото разнообразие от SMO, те имат Общи черти , които дават възможност за уеднаквяване на тяхното моделиране да се намерят най-ефективните варианти за организиране на такива системи .

За да моделирате QS, трябва да имате следните първоначални данни:

Основни параметри;

Държавна графика.

Резултатите от моделирането на QS са вероятностите за нейните състояния, чрез които се изразяват всички показатели за нейната ефективност.

Основните параметри за моделиране на QS включват:

Характеристики на входящия поток заявки за услуги;

Характеристики на сервизния механизъм.

Нека помислим х характеристики на потока на приложението .

Поток от приложения - последователност от получени заявки за услуга.

Интензивност на потока от приложения - среден брой заявки, получени от QS за единица време.

Потоците на приложението могат да бъдат прости и различни от простите.

За най-простите потоци от заявки се използват QS модели.

Най-простият , или Поасон наречен поток, който е стационарен, единичени в него без последствия.

Стационарност означава, че интензивността на получените приложения остава постоянна във времето.

Неженен поток от приложения е случаят, когато за кратък период от време вероятността за получаване на повече от едно приложение е близка до нула.

Без последействие е, че броят на приложенията, получени от QS през един времеви интервал, не влияе на броя на приложенията, получени през друг времеви интервал.

За потоци на приложения, различни от най-простите, се използват симулационни модели.

Нека помислим характеристики на сервизния механизъм .

Механизмът на обслужване се характеризира с:

- номер обслужващи канали ;

Ефективност на канала, или интензивност на обслужването - среден брой заявки, обслужени от един канал за единица време;

Дисциплина на опашката (напр. обем на опашката , реда на избор от опашката до сервизния механизъм и др.).

Държавна графика описва функционирането на обслужващата система като преходи от едно състояние в друго под влияние на потока от заявки и тяхното обслужване.

За да изградите QS графика на състоянието, трябва да:

Направете списък на всички възможни състояния на QS;

Представете графично изброените състояния и покажете със стрелки възможните преходи между тях;

Претеглете показаните стрелки, т.е. задайте им числени стойности на интензитетите на прехода, определени от интензивността на потока от заявки и интензивността на тяхното обслужване.

4.3. Изчисляване на вероятности за състояние

системи за масово обслужване

Графика на състоянието на QS с схема на "смърт и раждане" е линейна верига, където всяко от средните състояния има пряка и обратна връзка с всяко от съседните състояния, а крайните състояния само с един съсед:

Брой държави в колоната е с едно повече от общия брой канали за обслужване и места в опашката.

QS може да бъде във всяко от възможните си състояния, следователно очакваната интензивност на излизане от всяко състояние е равна на очакваната интензивност на влизане на системата в това състояние. Следователно системата от уравнения за определяне на вероятностите на състоянията за най-простите потоци ще има формата:

къде е вероятността системата да е в състояние

- интензитет на прехода или средният брой преходи на системата за единица време от състояние в състояние.

Използвайки тази система от уравнения, както и Eq.

вероятността за всяко -то състояние може да се изчисли по следния начин общо правило :

вероятността за нулево състояние се изчислява като

и след това се взема дроб, чийто числител е произведението на всички интензитети на потоците по стрелките, водещи отляво надясно от състояние на състояние, а знаменателят е произведението на всички интензитети по стрелките, преминаващи отдясно към наляво от състояние в състояние и тази част се умножава по изчислената вероятност

Изводи по четвърти раздел

Системите за опашка имат един или повече канали за обслужване и могат да имат ограничена или неограничена опашка (системи за изчакване) от заявки за услуга или без опашка (системи с повреда). Заявките за услуги се появяват в произволни моменти. Системите за масово обслужване се характеризират със следните показатели за ефективност: относителна пропускателна способност, абсолютна пропускателна способност, вероятност за повреда, среден брой заети канали.

Моделирането на системите за масово обслужване се извършва, за да се намерят най-ефективните варианти за тяхната организация и предполага следните първоначални данни за това: основни параметри, графика на състоянието. Такива данни включват следното: интензивността на потока от заявки, броя на каналите за обслужване, интензивността на обслужването и обема на опашката. Броят на състоянията в графиката е с едно по-голям от сбора на броя на каналите за обслужване и местата в опашката.

Изчисляването на вероятностите на състоянията на система за масово обслужване със схема "смърт и раждане" се извършва съгласно общото правило.

Въпроси за самопроверка

Какви системи се наричат системи за масово обслужване?

Как се класифицират системите за масово обслужване въз основа на тяхната организация?

Кои системи за масово обслужване се наричат системи за отказ и кои се наричат системи за изчакване?

Какво се случва със заявление, получено в момент, когато всички канали за обслужване са заети?

Какво се счита за мярка за ефективността на икономическа система за опашки?

Какви показатели за ефективност се използват за системата за масово обслужване?

Какво служи като изходна информация за изчисляване на показателите за ефективност на системите за масово обслужване?

Какви първоначални данни са необходими за моделиране на системи за масово обслужване?

Какви са резултатите от моделирането на система за масово обслужване, чрез която се изразяват всички показатели за нейната ефективност?

Какви са основните параметри за моделиране на системи за масово обслужване?

Как се характеризират потоците от заявки за услуги?

Какви са характеристиките на сервизните механизми?

Какво описва графиката на състоянието на система за масово обслужване?

Какво е необходимо за изграждане на графика на състоянието на система за масово обслужване?

Каква е графиката на състоянието на система за масово обслужване с модел „смърт и раждане“?

Какъв е броят на състоянията в графиката на състоянието на системата за масово обслужване?

Каква форма има системата от уравнения за определяне на вероятностите за състояния на система за масово обслужване?

Какво общо правило се използва за изчисляване на вероятността за всяко състояние на система за масово обслужване?

Примери за решаване на проблеми

1. Изградете графика на състоянието на системата за масово обслужване и посочете основните зависимости на нейните показатели за ефективност.

а) n-канален QS с грешки (проблем Erlang)

Основни параметри:

Канали,

Интензивност на потока,

Интензивност на услугата.

Възможни състояния на системата:

Всички канали са заети (заявки в системата).

Графика на състоянието:

Относителна производителност,

Вероятност за провал,

Среден брой заети канали.

б) n-канален QS с m-ограничена опашка

Възможни състояния на системата:

Всички канали са безплатни (нула заявки в системата);

Един канал е зает, останалите са свободни (една заявка в системата);

Два канала са заети, останалите са свободни (две заявки в системата);

...................................................................................

Всички канали са заети, две заявки са на опашка;

Всички канали са заети, заявките са на опашка.

Графика на състоянието:

в) Едноканален QS с неограничена опашка

Възможни състояния на системата:

Всички канали са безплатни (нула заявки в системата);

Каналът е зает, има нула заявки в опашката;

Каналът е зает, една заявка в опашката;

...................................................................................

Каналът е зает, приложението е на опашка;

....................................................................................

Графика на състоянието:

Индикатори за ефективност на системата:

Средно време, през което едно приложение остава в системата ,

Абсолютна производителност,

Относителна производителност.

G) n-канален QS с неограничена опашка

Възможни състояния на системата:

Всички канали са безплатни (нула заявки в системата);

Един канал е зает, останалите са свободни (една заявка в системата);

Два канала са заети, останалите са свободни (две заявки в системата);

...................................................................................

Всички канали са заети (заявки в системата), нула заявки са в опашката;

Всички канали са заети, една заявка е на опашка;

....................................................................................

Всички канали са заети, приложенията са на опашка;

....................................................................................

Графика на състоянието:

Индикатори за ефективност на системата:

Среден брой заети канали,

Среден брой приложения в системата ,

Среден брой заявления в опашката ,

Средно време, което едно приложение прекарва в опашка .

2. Компютърният център разполага с три компютъра. Центърът получава средно по четири задачи на час за решаване. Средното време за решаване на един проблем е половин час. Компютърният център приема и поставя на опашка за решаване до три задачи. Необходимо е да се оцени ефективността на центъра.

РЕШЕНИЕ. От условието става ясно, че имаме многоканален QS с ограничена опашка:

Брой канали;

Интензивност на потока от приложения (задача/час);

Време за обслужване на една заявка (час/задача), интензивност на обслужване (задача/час);

Дължина на опашката.

Списък с възможни състояния:

Няма заявки, всички канали са безплатни;

Един канал е зает, два са свободни;

Два канала са заети, един е свободен;

Три канала са заети;

Три канала са заети, една заявка е на опашка;

Три канала са заети, две заявки са на опашка;

Три канала са заети, три приложения са на опашка.

Графика на състоянието:

Нека изчислим вероятността от състоянието:

Индикатори за ефективност:

Вероятност за повреда (и трите компютъра са заети и три приложения са на опашка)

Относителна честотна лента

Абсолютна производителност

Среден брой заети компютри

3. (Задача, използваща QS с повреди.) В отдела за контрол на качеството на цеха работят трима контрольори. Ако дадена част пристигне в отдела за контрол на качеството, когато всички инспектори са заети с обслужването на предварително получени части, тогава тя преминава непроверена. Средният брой части, получени от отдела за контрол на качеството на час, е 24, средното време, изразходвано от един инспектор за обслужване на една част, е 5 минути. Определете вероятността частта да премине през отдела за контрол на качеството, без да бъде обслужена, колко натоварени са инспекторите и колко от тях трябва да бъдат инсталирани, за да (* - посочена стойност).

РЕШЕНИЕ. Според условията на проблема, тогава.

1) Вероятност за прекъсване на каналите за обслужване:

3) Вероятност за обслужване:

4) Среден брой канали, заети от обслужване:

5) Дял на каналите, заети от услуга:

6) Абсолютна производителност:

В . Извършвайки подобни изчисления за , получаваме

Тъй като , След като сме направили изчисления за , получаваме

ОТГОВОР. Вероятността дадена част да премине през отдела за контрол на качеството, без да бъде обслужена, е 21%, а инспекторите ще бъдат 53% заети с поддръжка.

За да се осигури вероятност за обслужване по-голяма от 95%, са необходими поне петима супервайзори.

4. (Проблем при използване на QS с неограничено изчакване.) Спестовната банка има трима касиери (), които обслужват вложителите. Потокът от вложители влиза в спестовната банка със скорост хора на час. Средна продължителност на обслужване от касиер-контрольор на един вложител мин.

Определете характеристиките на спестовна банка като обект на ООП.

РЕШЕНИЕ. Интензивност на обслужвания поток, интензивност на натоварване.

1) Вероятност за престой на касиерите през работния ден (вижте предишната задача № 3):

2) Вероятност всички касиери да бъдат заети:

3) Вероятност за опашка:

4) Среден брой заявления в опашката:

5) Средно време за изчакване на приложение на опашката:

мин.

6) Средно време, през което едно приложение остава в CMO:

7) Среден брой безплатни канали:

8) Степен на заетост на обслужващите канали:

9) Среден брой посетители на спестовната банка:

ОТГОВОР. Вероятността касиерите да не работят е 21% от работното време, вероятността посетител да е на опашка е 11,8%, средният брой посетители на опашка е 0,236 души, средното време, през което посетителите чакат за услуга, е 0,472 минути.

5. (Проблем при използване на QS с чакане и ограничена дължина на опашката.) Магазинът получава ранни зеленчуци от крайградски оранжерии. Автомобилите с товари пристигат по различно време с интензивността на автомобилите на ден. Помощните помещения и оборудването за подготовка на зеленчуци за продажба позволяват обработката и съхраняването на стоки, докарани от две превозни средства (). В магазина работят трима опаковчици (), всеки от които средно може да обработи стоката от една машина в рамките на един час.Работният ден при работа на смени е 12 часа.

Определете какъв трябва да бъде капацитетът на помощните помещения, така че да е вероятността за пълна обработка на стоките.

РЕШЕНИЕ. Да определим интензивността на натоварване на опаковчиците:

Авто/ден

1) Нека намерим вероятността за престой на опаковчиците при липса на машини (заявки):

и 0!=1,0.

2) Вероятност за отказ на услуга:

3) Вероятност за обслужване:

защото , нека направим подобни изчисления за , получаваме), и вероятността за пълна обработка на стоките ще бъде .

Задачи за самостоятелна работа

За всяка от следните ситуации определете:

а) към кой клас принадлежи QS обектът;

б) брой канали;

в) дължина на опашката;

г) интензивност на потока от заявления;

д) интензивност на обслужване по един канал;

е) броя на всички състояния на QS обекта.

Във вашите отговори посочете значението на всеки елемент, като използвате следните съкращения и размери:

а) ОО – едноканален с повреди; MO – многоканален с повреди; ОЖО – едноканален с чакане с ограничена опашка; OZHN - едноканален с изчакване с неограничена опашка; MJO – многоканален с ограничено чакане в опашка; MZHN - многоканален с чакане с неограничена опашка;

б) =… (единици);

° С) =… (единици);

д) =xxx/xxx(единици/мин);

е) (единици).

1. Дежурният служител в градската администрация има пет телефона. Приемът на телефонни обаждания е 90 обаждания на час, средната продължителност на разговора е 2 минути.

2. На паркинга до магазина има 3 места, всяко от които е запазено за един автомобил. Автомобилите пристигат на паркинга със скорост 20 автомобила на час. Продължителността на престоя на автомобилите на паркинга е средно 15 минути. Паркирането върху пътното платно не е разрешено.

3. Телефонната централа на предприятието осигурява не повече от 5 разговора наведнъж. Средната продължителност на разговорите е 1 минута. Станцията получава средно по 10 повиквания в секунда.

4. Товарното речно пристанище приема средно по 6 сухотоварни кораба на ден. Пристанището разполага с 3 крана, всеки от които обслужва 1 сухотоварен кораб средно за 8 ч. Крановете работят денонощно. Корабите за насипни товари, които чакат обслужване, са на рейд.

5. Бърза помощ в селото има 3 дежурни диспечера 24 часа в денонощието, които обслужват 3 телефонни апарата. Ако се получи заявка за извикване на лекар на пациент, когато диспечерите са заети, абонатът се отказва. Потокът от заявки е 4 разговора в минута. Попълването на заявление отнема средно 1,5 минути.

6. Фризьорският салон разполага с 4 фризьори. Входящият посетителски поток е с интензивност 5 човека на час. Средното време за обслужване на един клиент е 40 минути. Дължината на опашката за обслужване се счита за неограничена.

7. На бензиностанцията има 2 помпи за наливане на бензин. В близост до гарата има място за 2 коли за изчакване на газ. Средно на всеки 3 минути на гарата пристига по една кола. Средното време за обслужване на една машина е 2 минути.

8. На гарата трима занаятчии работят в цеха за битови услуги. Ако клиент влезе в работилницата, когато всички майстори са заети, тогава той напуска работилницата, без да чака услугата. Средният брой клиенти, посещаващи работилницата за 1 час, е 20. Средното време, което майсторът отделя за обслужване на един клиент, е 6 минути.

9. Телефонната централа на селото осигурява не повече от 5 разговора наведнъж. Средното време за преговори е около 3 минути. Обажданията до гарата пристигат средно на всеки 2 минути.

10. На бензиностанция (бензиностанция) има 3 помпи. Зоната на гарата, където колите чакат за зареждане, може да побере не повече от една кола и ако е заета, тогава следващата кола, пристигаща на гарата, не се нарежда на опашка, а отива до следващата гара. Средно колите пристигат на гарата на всеки 2 минути. Процесът на зареждане с гориво на една кола продължава средно 2,5 минути.

11. В малък магазин клиентите се обслужват от двама продавачи. Средното време за обслужване на един клиент е 4 минути. Интензивността на клиентопотока е 3 човека в минута. Капацитетът на магазина е такъв, че не повече от 5 човека могат да се редят на опашка едновременно. Клиент, който влиза в претъпкан магазин, когато вече има 5 човека на опашка, не чака отвън и си тръгва.

12. ЖП гарата на ваканционното селище се обслужва от билетна каса с две витрини. През почивните дни, когато населението използва активно железопътния транспорт, пътникопотокът е 0,9 души/мин. Касиерът отделя средно 2 минути за обслужване на пътник.

За всяка от опциите на QS, посочени в опциите, интензивността на потока от заявки е равна на интензивността на обслужване от един канал. Задължително:

Направете списък с възможни условия;

Изградете графика на състоянието по схемата „смърт и размножаване“.

В отговора си посочете за всяка задача:

Брой състояния на системата;

Интензивността на прехода от последното състояние към предпоследното.

Опция 1

1. едноканален QS с дължина на опашката 1 заявка

2. 2-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 31-канален QS с 1 ограничена опашка

5. 31-канален QS с неограничена опашка

Вариант №2

1. едноканален QS с дължина на опашката от 2 заявки

2. 3-канален QS с повреди (Проблем с Erlang)

3. 30-канален QS с 2 ограничена опашка