Lineární rychlost při pohybu v kruhu. Pohyb hmotného bodu po kružnici

Pohyb tělesa po kružnici konstantní absolutní rychlostí- jedná se o pohyb, při kterém těleso opisuje stejné oblouky v libovolných stejných časových intervalech.

Určuje se poloha těla na kružnici vektor poloměru\(~\vec r\) nakreslený ze středu kruhu. Modul poloměru vektoru se rovná poloměru kružnice R(Obr. 1).

Během času Δ t pohyb těla z bodu A přesně V, udělá posun \(~\Delta \vec r\) rovný tětivě AB a urazí dráhu rovnající se délce oblouku l.

Vektor poloměru se otočí o úhel Δ φ . Úhel je vyjádřen v radiánech.

Rychlost \(~\vec \upsilon\) pohybu tělesa po trajektorii (kruhu) směřuje tečně k trajektorii. To se nazývá lineární rychlost. Modul lineární rychlosti je roven poměru délky kruhového oblouku l do časového intervalu Δ t pro které je tento oblouk dokončen:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Skalární fyzikální veličina, která se číselně rovná poměru úhlu natočení vektoru poloměru k časovému úseku, během kterého k této rotaci došlo, se nazývá úhlová rychlost:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

Jednotkou SI úhlové rychlosti je radián za sekundu (rad/s).

Při rovnoměrném pohybu v kruhu jsou úhlová rychlost a modul lineární rychlosti konstantní veličiny: ω = konst; υ = konst.

Polohu tělesa lze určit, pokud modul poloměrového vektoru \(~\vec r\) a úhel φ , kterou skládá s os Vůl(úhlová souřadnice). Pokud v počátečním okamžiku t 0 = 0 úhlová souřadnice je φ 0 a v čase t je to rovné φ , pak úhel natočení Δ φ vektor poloměru pro čas \(~\Delta t = t - t_0 = t\) se rovná \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Pak z posledního vzorce, který můžeme získat kinematická rovnice pohybu hmotného bodu po kružnici:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Umožňuje kdykoli určit polohu těla t. Vzhledem k tomu, že \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), dostaneme \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Rightarrow\]

\(~\upsilon = \omega R\) - vzorec pro vztah mezi lineární a úhlovou rychlostí.

Časový interval Τ během kterého tělo provede jednu plnou otáčku se nazývá období rotace:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

Kde N- počet otáček provedených tělesem za čas Δ t.

Během času Δ t = Τ těleso urazí dráhu \(~l = 2 \pi R\). Proto,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Velikost ν , se nazývá převrácená hodnota periody, která ukazuje, kolik otáček udělá těleso za jednotku času rychlost otáčení:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Proto,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)

Literatura

Aksenovich L. A. Fyzika na střední škole: Teorie. Úkoly. Testy: Učebnice. příspěvek pro instituce poskytující všeobecné vzdělávání. prostředí, výchova / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - S. 18-19.

Vzdálenost a čas potřebný k překonání této vzdálenosti spojuje fyzikální pojem – rychlost. A člověk zpravidla nemá žádné otázky ohledně stanovení této hodnoty. Každý chápe, že řídit auto rychlostí 100 km/h znamená ujet 100 kilometrů za jednu hodinu.

Ale co když se tělo otáčí? Například běžný domácí ventilátor dělá desítky otáček za vteřinu. A zároveň je rychlost rotace lopatek taková, že je lze snadno zastavit rukou, aniž byste si ublížili. Země kolem své hvězdy – Slunce – udělá za celý rok jednu otáčku, což je více než 30 milionů sekund, ale rychlost jejího pohybu po cirkumstelární dráze je asi 30 kilometrů za sekundu!

Jak propojit obvyklou rychlost s rychlostí otáčení, jak vypadá vzorec pro úhlovou rychlost?

Pojem úhlové rychlosti

Koncept úhlové rychlosti se používá při studiu zákonů rotace. Platí pro všechna rotující tělesa. Ať je to rotace určité hmoty kolem jiné, jako je tomu v případě Země a Slunce, nebo rotace samotného tělesa kolem polární osy (denní rotace naší planety).

Rozdíl mezi úhlovou rychlostí a lineární rychlostí je v tom, že zaznamenává změnu úhlu, nikoli vzdálenost, za jednotku času. Ve fyzice se úhlová rychlost obvykle označuje písmenem řecké abecedy „omega“ - ω.

Klasický vzorec pro úhlovou rychlost otáčení je uvažován následovně.

Představme si, že fyzické tělo rotuje kolem určitého středu A konstantní rychlostí. Jeho poloha v prostoru vzhledem ke středu je určena úhlem φ. V určitém okamžiku t1 je dotyčné těleso v bodě B. Úhel odchylky tělesa od počátečního φ1.

Poté se těleso přesune do bodu C. Je tam v čase t2. Čas potřebný pro tento pohyb:

Mění se i poloha těla v prostoru. Nyní je úhel vychýlení φ2. Změna úhlu za časové období ∆t byla:

∆φ = φ2 - φ1.

Nyní je vzorec pro úhlovou rychlost formulován následovně: úhlová rychlost je definována jako poměr změny úhlu ∆φ v čase ∆t.

Jednotky úhlové rychlosti

Lineární rychlost tělesa se měří v různých veličinách. Pohyb vozidel na silnicích se obvykle udává v kilometrech za hodinu, námořní plavidla dělají uzly - námořní míle za hodinu. Pokud uvážíme pohyb vesmírných těles, tak se zde nejčastěji objevují kilometry za vteřinu.

Úhlová rychlost, v závislosti na velikosti a objektu, který se otáčí, se také měří v různých jednotkách.

Radiány za sekundu (rad/s) jsou klasickou mírou rychlosti v mezinárodní soustavě jednotek (SI). Ukazují, kolik radiánů (při jedné plné rotaci 2 ∙ 3,14 radiánů) stihne těleso otočit za jednu sekundu.

Otáčky za minutu (rpm) jsou nejběžnější jednotkou pro indikaci rychlosti otáčení v technologii. Hřídele elektrických i automobilových motorů produkují přesně (stačí se podívat na otáčkoměr v autě) otáčky za minutu.

Otáčky za sekundu (rps) – používá se méně často, především pro vzdělávací účely.

Doba oběhu

Někdy je pro určení rychlosti otáčení výhodnější použít jiný koncept. Období otáčení se obvykle nazývá doba, během níž určité těleso otočí o 360° (plný kruh) kolem středu otáčení. Vzorec pro úhlovou rychlost, vyjádřený jako perioda otáčení, má tvar:

Vyjádření rychlosti otáčení těles rotační periodou je opodstatněné v případech, kdy se těleso otáčí relativně pomalu. Vraťme se k úvahám o pohybu naší planety kolem hvězdy.

Vzorec pro úhlovou rychlost vám umožňuje vypočítat ji se znalostí doby otáčení:

ω = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.

Při pohledu na získaný výsledek lze pochopit, proč je při zvažování rotace nebeských těles vhodnější použít období revoluce. Člověk před sebou vidí jasná čísla a jasně si představuje jejich měřítko.

Vztah mezi úhlovou a lineární rychlostí

V některých úlohách je třeba určit lineární a úhlovou rychlost. Transformační vzorec je jednoduchý: lineární rychlost tělesa je rovna součinu úhlové rychlosti a poloměru otáčení. Jak je znázorněno na obrázku.

Výraz „funguje“ i v opačném pořadí, s jeho pomocí se určuje úhlová rychlost. Vzorec pomocí lineární rychlosti se získá pomocí jednoduchých aritmetických manipulací.

Obvykle, když mluvíme o pohybu, představujeme si předmět pohybující se přímočaře. Rychlost takového pohybu se obvykle nazývá lineární a výpočet její průměrné hodnoty je jednoduchý: stačí najít poměr ujeté vzdálenosti k době, za kterou ji tělo urazilo. Pokud se objekt pohybuje po kružnici, pak v tomto případě není určen lineární, ale co je tato veličina a jak se počítá? To je přesně to, o čem bude řeč v tomto článku.

Úhlová rychlost: pojem a vzorec

Při pohybu po kružnici lze rychlost jejího pohybu charakterizovat velikostí úhlu natočení poloměru, který spojuje pohybující se objekt se středem této kružnice. Je jasné, že tato hodnota se neustále mění v závislosti na čase. Rychlost, s jakou tento proces probíhá, není nic jiného než úhlová rychlost. Jinými slovy, toto je poměr odchylky vektoru poloměru objektu k době, kterou objekt potřeboval k takovému otočení. Vzorec úhlové rychlosti (1) lze zapsat následovně:

w = φ / t, kde:

φ - úhel natočení poloměru,

t - doba rotace.

Jednotky měření

V mezinárodní soustavě společných jednotek (SI) se k charakterizaci obratů používají radiány. Proto je 1 rad/s základní jednotkou používanou při výpočtech úhlové rychlosti. Zároveň nikdo nezakazuje používat stupně (připomeňme, že jeden radián se rovná 180/pi, neboli 57˚18’). Úhlovou rychlost lze také vyjádřit počtem otáček za minutu nebo za sekundu. Pokud k pohybu po kružnici dochází rovnoměrně, lze tuto hodnotu zjistit pomocí vzorce (2):

kde n je rychlost otáčení.

Jinak se stejně jako u běžné rychlosti počítá průměrná nebo okamžitá úhlová rychlost. Je třeba poznamenat, že uvažovaná veličina je vektorová. K určení jeho směru se obvykle používá, což se často používá ve fyzice. Vektor úhlové rychlosti je směrován stejným směrem jako šroub s pravotočivým závitem. Jinými slovy, směřuje podél osy, kolem které se těleso otáčí, ve směru, ze kterého je vidět, že rotace probíhá proti směru hodinových ručiček.

Příklady výpočtů

Předpokládejme, že potřebujete určit, jaká je lineární a úhlová rychlost kola, pokud je známo, že jeho průměr je roven jednomu metru a úhel otáčení se mění v souladu se zákonem φ = 7t. Použijme náš první vzorec:

w = φ/t = 7t/t = 7 s-1.

To bude požadovaná úhlová rychlost. Nyní přejděme k hledání nám známé rychlosti pohybu. Jak je známo, v = s/t. Uvážíme-li, že s v našem případě jsou kola (l = 2π*r) a 2π je jedna celá otáčka, dostaneme následující:

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0,5 = 3,5 m/s

Zde je další hádanka na toto téma. Je známo, že na rovníku je to 6370 kilometrů. Je třeba určit lineární a úhlovou rychlost pohybu bodů umístěných na této rovnoběžce, která vzniká v důsledku rotace naší planety kolem její osy. V tomto případě potřebujeme druhý vzorec:

w = 2π*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10-5 rad/s.

Zbývá zjistit, čemu se rovná lineární rychlost: v = w*r = 7,268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s.

Rovnoměrný pohyb po kruhu- toto je nejjednodušší příklad. Například konec ručičky hodin se pohybuje v kruhu kolem číselníku. Rychlost tělesa pohybujícího se po kružnici se nazývá lineární rychlost.

Při rovnoměrném pohybu tělesa po kružnici se modul rychlosti tělesa v čase nemění, tedy v = konst, a mění se pouze směr vektoru rychlosti, v tomto případě nedochází ke změně (a r = 0) a změnu vektoru rychlosti ve směru charakterizuje veličina tzv dostředivé zrychlení() a n nebo CS. V každém bodě je vektor dostředivého zrychlení nasměrován ke středu kruhu podél poloměru.

Modul dostředivého zrychlení je roven

a CS =v2/R

Kde v je lineární rychlost, R je poloměr kružnice

Rýže. 1.22. Pohyb tělesa v kruhu.

Při popisu pohybu tělesa po kruhu používáme úhel natočení poloměru– úhel φ, o který se za čas t otočí poloměr nakreslený ze středu kružnice do bodu, ve kterém se v daném okamžiku nachází pohybující se těleso. Úhel natočení se měří v radiánech. roven úhlu mezi dvěma poloměry kružnice, přičemž délka oblouku mezi nimiž se rovná poloměru kružnice (obr. 1.23). To znamená, že pokud l = R, pak

1 radián = l / R

Protože obvod rovná

l = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π rad.

Proto

1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18'

Úhlová rychlost rovnoměrný pohyb tělesa po kružnici je hodnota ω, která se rovná poměru úhlu natočení poloměru φ k časovému úseku, během kterého k tomuto otočení dochází:

ω = φ / t

Jednotkou měření úhlové rychlosti je radián za sekundu [rad/s]. Modul lineární rychlosti je určen poměrem délky ujeté dráhy l k časovému intervalu t:

v=l/t

Lineární rychlost při rovnoměrném pohybu po kružnici směřuje podél tečny v daném bodě kružnice. Když se bod pohybuje, délka l oblouku kružnice, kterou bod přejde, souvisí s úhlem natočení φ výrazem

l = Rφ

kde R je poloměr kružnice.

Pak v případě rovnoměrného pohybu bodu jsou lineární a úhlové rychlosti ve vztahu:

v = l/t = Rφ/t = Rω nebo v = Rω

Rýže. 1.23. Radian.

Doba oběhu– to je časový úsek T, za který těleso (bod) udělá jednu otáčku po kružnici. Frekvence– to je převrácená hodnota periody otáček – počet otáček za jednotku času (za sekundu). Frekvence oběhu je označena písmenem n.

n = 1/T

Za jednu periodu je úhel natočení φ bodu roven 2π rad, tedy 2π = ωT, odkud

T = 2π/ω

To znamená, že úhlová rychlost je rovna

ω = 2π / T = 2πn

Centripetální zrychlení lze vyjádřit periodou T a cirkulační frekvencí n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

V této lekci se podíváme na křivočarý pohyb, konkrétně na rovnoměrný pohyb tělesa po kružnici. Dozvíme se, co je lineární rychlost, dostředivé zrychlení při pohybu tělesa po kružnici. Zavedeme si také veličiny, které charakterizují rotační pohyb (periodu rotace, frekvenci rotace, úhlovou rychlost), a tyto veličiny mezi sebou propojíme.

Rovnoměrným kruhovým pohybem rozumíme, že se těleso otáčí o stejný úhel po libovolně stejnou dobu (viz obr. 6).

Rýže. 6. Rovnoměrný pohyb v kruhu

To znamená, že modul okamžité rychlosti se nemění:

Tato rychlost se nazývá lineární.

Přestože se velikost rychlosti nemění, směr rychlosti se mění plynule. Uvažujme vektory rychlosti v bodech A A B(viz obr. 7). Jsou nasměrovány různými směry, takže nejsou stejné. Odečteme-li od rychlosti v bodě B rychlost v bodě A, dostaneme vektor .

Rýže. 7. Rychlostní vektory

Poměr změny rychlosti () k době, během které k této změně došlo () je zrychlení.

Proto je jakýkoli křivočarý pohyb zrychlen.

Uvažujeme-li rychlostní trojúhelník získaný na obrázku 7, pak s velmi úzkým uspořádáním bodů A A B navzájem, úhel (α) mezi vektory rychlosti bude blízký nule:

Je také známo, že tento trojúhelník je rovnoramenný, proto jsou moduly rychlosti stejné (rovnoměrný pohyb):

Proto jsou oba úhly na základně tohoto trojúhelníku neurčitě blízké:

To znamená, že zrychlení, které směřuje podél vektoru, je ve skutečnosti kolmé na tečnu. Je známo, že přímka v kruhu kolmá na tečnu je poloměr zrychlení směřuje podél poloměru ke středu kruhu. Toto zrychlení se nazývá dostředivé.

Obrázek 8 ukazuje dříve diskutovaný rychlostní trojúhelník a rovnoramenný trojúhelník (dvě strany jsou poloměry kružnice). Tyto trojúhelníky jsou podobné, protože mají stejné úhly tvořené vzájemně kolmými úsečkami (poloměr a vektor jsou kolmé na tečnu).

Rýže. 8. Ilustrace pro odvození vzorce pro dostředivé zrychlení

Úsečka AB je move(). Uvažujeme o rovnoměrném pohybu v kruhu, proto:

Dosadíme výsledný výraz za AB do vzorce podobnosti trojúhelníku:

Pojmy „lineární rychlost“, „zrychlení“, „souřadnice“ nestačí k popisu pohybu po zakřivené trajektorii. Proto je nutné zavést veličiny charakterizující rotační pohyb.

1. Doba střídání (T ) se nazývá doba jedné plné revoluce. Měřeno v jednotkách SI v sekundách.

Příklady period: Země se otočí kolem své osy za 24 hodin () a kolem Slunce za 1 rok ().

Vzorec pro výpočet období:

kde je celková doba otáčení; - počet otáček.

2. Frekvence otáčení (n ) - počet otáček, které těleso vykoná za jednotku času. Měřeno v jednotkách SI v reciprokých sekundách.

Vzorec pro zjištění frekvence:

kde je celková doba otáčení; - počet otáček

Frekvence a perioda jsou nepřímo úměrné veličiny:

3. Úhlová rychlost () nazvěme poměr změny úhlu, o který se těleso otočilo, k době, během níž k této rotaci došlo. Měřeno v jednotkách SI v radiánech děleno sekundami.

Vzorec pro zjištění úhlové rychlosti:

kde je změna úhlu; - čas, během kterého došlo k obratu o úhel.