Tangenta, kotangensa

Definice hyperbolických funkcí, jejich rozsahy definic a hodnot

sh x- hyperbolický sinus
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hyperbolický kosinus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
díky- hyperbolická tečna
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hyperbolický kotangens
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Grafy hyperbolických funkcí

Hyperbolický sinusový graf y = sh x

Hyperbolický kosinusový graf y = ch x

Hyperbolický tečný graf y = díky

Hyperbolický kotangens plot y = cth x

Vzorce s hyperbolickými funkcemi

Vztah s goniometrickými funkcemi

sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
Zde i je imaginární jednotka, i 2 = - 1 .

Aplikováním těchto vzorců na goniometrické funkce získáme vzorce spojující hyperbolické funkce.

Parita

sh (-x) = - sh x; ch (-x) = ch x.
th (-x) = - th x; cth (-x) = - cth x.

Funkce ch (x)- dokonce. Funkce sh (x), díky), cth (x)- zvláštní.

Rozdíl čtverců

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Argument součet a rozdíl vzorce

sh (x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch (x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Vzorce pro součiny hyperbolického sinusu a kosinu

,
,
,

,
,
.

Vzorce pro součet a rozdíl hyperbolických funkcí

,
,
,
,
.

Vztah hyperbolického sinu a kosinu s tečnou a kotangens

, ,
, .

Deriváty

,

Integrály sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Rozšíření řady

Inverzní funkce

Areasinus

V - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areakosin

Na 1 ≤ x< ∞ a 0 ≤ y< ∞ probíhají následující vzorce:
,
.

Druhá větev areacosinus se nachází na 1 ≤ x< ∞ a - ∞< y ≤ 0 :
.

Oblastní tangens

Na - 1 < x < 1 a - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Úvod

V matematice a jejích aplikacích v přírodních vědách a technice jsou exponenciální funkce široce používány. To se vysvětluje zejména skutečností, že mnoho jevů studovaných v přírodních vědách patří mezi takzvané procesy organického růstu, ve kterých jsou rychlosti změn funkcí, které se na nich podílejí, úměrné hodnotám funkcí. oni sami.

Označujeme-li pomocí funkce a pomocí argumentu, pak lze diferenciální zákon procesu organického růstu zapsat ve tvaru, kde je nějaký konstantní koeficient úměrnosti.

Integrace této rovnice vede k obecnému řešení ve formě exponenciální funkce

Pokud nastavíte počáteční podmínku na, můžete definovat libovolnou konstantu, a tak najít konkrétní řešení, které je integrálním zákonem uvažovaného procesu.

Podle některých zjednodušujících předpokladů mezi procesy organického růstu patří takové jevy, jako je například změna atmosférického tlaku v závislosti na výšce nad povrchem Země, radioaktivní rozpad, ochlazení nebo zahřátí tělesa v prostředí konstantní teploty, nemolekulární chemická reakce (např. například rozpouštění látky ve vodě ), ve kterém probíhá zákon hromadného působení (rychlost reakce je úměrná dostupnému množství reagující látky), množení mikroorganismů a mnoho dalších.

Nárůst množství peněz v důsledku narůstání složeného úroku z nich (úrok z úroku) je také procesem organického růstu.

V těchto příkladech by se dalo pokračovat.

Spolu s jednotlivými exponenciálními funkcemi se v matematice a jejích aplikacích používají různé kombinace exponenciálních funkcí, mezi nimiž mají zvláštní význam některé lineární a zlomkově-lineární kombinace funkcí a tzv. hyperbolické funkce. Těchto funkcí je šest; byly pro ně zavedeny následující speciální názvy a označení:

(hyperbolický sinus),

(hyperbolický kosinus),

(hyperbolická tečna),

(hyperbolický kotangens),

(hyperbolická sečna),

(hyperbolická sečna).

Nabízí se otázka, proč se uvádějí tato jména a zde hyperbola a názvy funkcí známých z trigonometrie: sinus, kosinus atd.? Ukazuje se, že vztahy spojující goniometrické funkce se souřadnicemi bodů kružnice o jednotkovém poloměru jsou podobné vztahům spojujícím hyperbolické funkce se souřadnicemi bodů rovnostranné hyperboly s jednotkovou poloosou. To je přesně to, co ospravedlňuje pojmenování hyperbolických funkcí.

Hyperbolické funkce

Funkce dané vzorcem se nazývají hyperbolický kosinus a hyperbolický sinus.

Tyto funkce jsou definovány a jsou spojité a jsou sudou funkcí a lichou funkcí.

Obrázek 1.1 - Grafy funkcí

Z definice hyperbolických funkcí vyplývá, že:

Analogicky s goniometrickými funkcemi jsou hyperbolický tangens a kotangens definovány pomocí vzorců

Funkce je definována a spojitá na a funkce je definována a spojitá na množině s proraženým bodem; obě funkce jsou liché, jejich grafy jsou znázorněny na obrázcích níže.

Obrázek 1.2 - Graf funkcí

Obrázek 1.3 - Graf funkcí

Lze ukázat, že funkce a přísně rostou a funkce přísně klesají. Proto jsou tyto funkce reverzibilní. Označme funkce k nim inverzní, resp.

Uvažujme funkci inverzní k funkci, tzn. funkce. Vyjádřeme to z hlediska elementárních. Řešením rovnice vzhledem k získáme Od, tedy odkud

Nahrazením za a za najdeme vzorec pro inverzní funkci pro hyperbolický sinus.

Spolu se spojením jsme objevili v komplexní oblasti mezi goniometrickými a exponenciálními funkcemi (Eulerovy vzorce)

v komplexní doméně existuje velmi jednoduché spojení mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi.

Připomeňme, že podle definice:

Pokud v identitě (3) provedeme substituci za pak na pravé straně, dostaneme stejný výraz, který stojí na pravé straně identity, což implikuje rovnost levých stran. Totéž platí pro identity (4) a (2).

Vydělením obou částí identity (6) odpovídajícími částmi identity (5) a naopak (5) (6) získáme:

Podobná změna v identitách (1) a (2) a srovnání s identitami (3) a (4) dávají:

Nakonec z identit (9) a (10) najdeme:

Pokud do identit (5) - (12) dosadíme, kde x je reálné číslo, tj. argument považujeme za čistě imaginární, získáme dalších osm identit mezi goniometrickými funkcemi čistě imaginárního argumentu a odpovídajícími hyperbolickými funkcemi argumentu. skutečný argument, stejně jako mezi hyperbolickými funkcemi čistě imaginárního argumentu imaginární argument a odpovídající trigonometrické funkce reálného argumentu:

Získané vztahy umožňují přejít od goniometrických funkcí k hyperbolickým funkcím a od

hyperbolické funkce na goniometrické funkce s nahrazením imaginárního argumentu reálným. Mohou být formulovány jako následující pravidlo:

Abychom přešli od goniometrických funkcí imaginárního argumentu k hyperbolickým, nebo naopak od hyperbolických funkcí imaginárního argumentu k trigonometrickým, měli bychom posunout imaginární jednotku mimo znaménko funkce pro sinus a tangens a úplně ji zahodit. pro kosinus.

Zavedené spojení je pozoruhodné zejména tím, že umožňuje získat všechny vztahy mezi hyperbolickými funkcemi ze známých vztahů mezi goniometrickými funkcemi tak, že se goniometrické funkce nahradí hyperbolickými funkcemi.

Pojďme si ukázat, jak to je. Hotovo.

Vezměme si například základní trigonometrickou identitu

a vložte do něj, kde x je reálné číslo; dostaneme:

Pokud v této identitě nahradíme sinus a kosinus hyperbolickým sinem a kosinus podle vzorců, pak získáme buď a to je základní identita mezi dříve odvozeným jiným způsobem.

Podobně můžete odvodit všechny ostatní vzorce, včetně vzorců pro hyperbolické funkce součtu a rozdílu argumentů, dvojitých a polovičních argumentů atd., takže z běžné trigonometrie dostanete "hyperbolickou trigonometrii".