Volné vibrace systémů se dvěma stupni volnosti. Malé volné kmity soustavy se dvěma stupni volnosti Kritické frekvence rušivé síly

Oscilace s několika stupni volnosti.

Stručné informace z teorie.

Soustavy s n mocninamisvoboda v dynamice je obvyklé nazývat takové systémy, aby se zcela zafixoval geometrický stav, který je třeba v každém okamžiku nastavit P parametry, například poloha (odklony) P body. Poloha ostatních bodů je určena konvenčními statickými technikami.

Příklad systému s P stupně volnosti může být nosník nebo plochý rám, pokud jsou hmoty jeho jednotlivých částí nebo prvků podmíněně (pro usnadnění dynamických výpočtů) považovány za soustředěné v P bodů, nebo pokud nese n velkých hmot (motory, motory), ve srovnání s nimiž je možné zanedbat vlastní hmotnost prvků. Pokud se jednotlivé koncentrované („bodové“) hmoty mohou při oscilaci pohybovat ve dvou směrech, pak se počet stupňů volnosti systému bude rovnat počtu spojení, která by měla být na systém uložena, aby se eliminovaly posuny. všech mas.

Pokud je systém s n stupni volnosti vyveden z rovnováhy, zaváže se volné vibrace a každý „bod“ (hmotnost) bude provádět složité polyharmonické oscilace typu:

Konstanty A i a B i závisí na počátečních podmínkách pohybu (odchylky hmot od statické úrovně a rychlostech v čase t=0). Pouze v některých speciálních případech buzení kmitů může polyharmonický pohyb pro jednotlivé hmoty přejít v harmonický, tzn. jako v systému s jedním stupněm volnosti:

Počet vlastních frekvencí systému je roven počtu jeho stupňů volnosti.

Pro výpočet vlastních frekvencí je nutné vyřešit tzv. frekvenční determinant, zapsaný v tomto tvaru:

Tato podmínka v rozšířené formě dává rovnici P stupeň určit P hodnoty ω 2, která se nazývá frekvenční rovnice.

Prostřednictvím δ 11, δ 12, δ 22 atd. jsou naznačeny možné pohyby. 5 12 je tedy posunutí v prvním směru bodu umístění první hmoty od jednotkové síly působící ve druhém směru do bodu umístění druhé hmoty atd.

Se dvěma stupni volnosti má frekvenční rovnice tvar:

Kde pro dvě frekvence máme:

V případě, kdy jednotlivé masy M i může také provádět rotační nebo pouze rotační pohyby v kombinaci s lineárními pohyby, pak i-tato souřadnice bude úhel natočení a ve frekvenčním determinantu hmotnost

M i musí být nahrazen momentem setrvačnosti hmoty J i; podle toho možné pohyby ve směru i-té souřadnice ( δ i 2 , δ i 2 atd.) budou úhlové pohyby.

Pokud nějaká hmota kmitá v několika směrech - i-mu a k-té (například vertikální a horizontální), pak se taková hmotnost účastní determinantu několikrát pod čísly M i jim k a odpovídá několika možným pohybům ( δ ii, δ kk, δ ik, atd.).

Všimněte si, že každá vlastní frekvence má svou vlastní speciální formu oscilace (povaha zakřivené osy, linie vychýlení, posunutí atd.), která se v jednotlivých, speciálních případech může ukázat jako platná forma oscilace, i když pouze volná. oscilace jsou správně vybuzeny (správný výběr impulsů, místa jejich aplikace atd.). V tomto případě bude systém kmitat podle pohybových zákonů systému s jedním stupněm volnosti.

V obecném případě, jak vyplývá z výrazu (9.1), systém provádí polyharmonické kmity, ale je zřejmé, že každou složitou elastickou linii, která odráží vliv všech vlastních frekvencí, lze rozložit na jednotlivé složky formy, každou z což odpovídá jeho vlastní frekvenci Proces takového rozkladu skutečného režimu kmitání na složky (který je nezbytný při řešení složitých problémů strukturální dynamiky) se nazývá rozklad na režimy přirozených vibrací.

Jestliže v každé hmotě, přesněji - ve směru každého stupně volnosti, působí rušivá síla, měnící se v čase podle harmonického zákona

nebo, což je pro další účely indiferentní a amplitudy sil pro každou hmotu jsou různé a frekvence a fáze jsou stejné, pak při delším působení takových rušivých sil bude systém provádět ustálené nucené oscilace s frekvencí hnací síly. Amplitudy pohybů v libovolném směru i- tento stupeň v tomto případě bude:

kde determinant D je zapsán podle (9.2) s ω nahrazeným θ a tedy D≠0; D i je určeno výrazem:

těch. i Tý sloupec determinantu D je nahrazen sloupcem složeným z členů tvaru: Pro případ dvou stupňů volnosti: (9.6)

A odpovídajícím způsobem

Při výpočtu vynucených kmitů nosníků konstantního průřezu nesoucích soustředěné hmoty (obr. 9.1).

Pro amplitudy průhybu, úhlu natočení, ohybového momentu a smykové síly v libovolné části nosníku je však jednodušší použít následující vzorce:

(9.7)

Kde y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – amplitudy průhybu, rotace, momentu a smykové síly počátečního řezu (počáteční parametry); M i A J i- hmotnost a její moment setrvačnosti (koncentrované hmoty); znak ∑ platí pro všechny síly a soustředěné hmoty umístěné od počátečního řezu k předmětu.

Uvedené vzorce (9.7) lze použít i při výpočtu vlastních frekvencí, u kterých je nutné uvažovat rušivé síly ∑ Ri a okamžiky ∑ Mi rovna nule, nahraďte frekvenci vynucených kmitů θ frekvencí vlastních kmitů ω a za předpokladu existence kmitů (volných kmitů) napište výrazy (9.7) ve vztahu k úsekům, kde se nacházejí koncentrované hmoty a amplitudy jsou již známy ( referenční řezy, osa symetrie atd.). Získáme soustavu homogenních lineárních rovnic. Přirovnáme-li determinant tohoto systému k nule, budeme schopni vypočítat vlastní frekvence.

Ukázalo se, že je vhodné použít výrazy (9.4) a (9.5) k určení amplitud ( y 0 , φ 0 , atd.) na X=0 a poté pomocí (9.7) vypočítejte všechny ostatní prvky průhybu.

Složitější je problém výpočtu pohybů soustavy s několika stupni volnosti při působení libovolného zatížení, které se v čase mění a působí na různé hmoty.

Při řešení takového problému byste měli postupovat následovně:

a) určit vlastní frekvence a režimy vlastních vibrací;

b) dané zatížení přeskupit mezi hmoty nebo, jak se říká, rozložit podle režimů přirozených vibrací. Počet skupin zatížení se rovná počtu vlastních frekvencí systému;

c) po provedení dvou výše uvedených pomocných operací proveďte výpočet pro každou skupinu zatížení pomocí známých vzorců z teorie kmitání soustavy s jedním stupněm volnosti a frekvence vlastních kmitů v těchto vzorcích se bere jako jedna. kterému tato skupina zatížení odpovídá;

d) dílčí řešení z každé kategorie zatížení se sečtou, což určí konečné řešení úlohy.

Stanovení vlastních frekvencí se provádí podle (9.2). Pokud jde o identifikaci forem přirozených vibrací, zde je třeba se řídit základní vlastností jakékoli formy přirozených vibrací, že představuje linii vlivu výchylky od sil (jejichž počet se rovná počtu stupně volnosti) úměrné součinu hmot a souřadnic výchylek bodů připevnění hmot. Pro stejné hmotnosti představuje tvar přirozených vibrací linii odchylky od sil úměrných souřadnicím odchylky; diagram zatížení je podobný diagramu průhybu.

Nejnižší frekvence odpovídá nejjednodušší formě vibrací. U nosníků nejčastěji tento tvar těsně odpovídá zakřivené ose soustavy vlivem vlastní tíhy. Pokud se tato struktura ukáže být méně tuhá v jakémkoli směru, například v horizontále, pak pro identifikaci povahy požadované zakřivené osy je třeba podmíněně aplikovat její vlastní váhu v tomto směru.

Systémy se dvěma stupni volnosti jsou speciálním případem systémů s několika stupni volnosti. Tyto systémy jsou však nejjednodušší a umožňují získat v konečné podobě výpočetní vzorce pro stanovení frekvencí vibrací, amplitud a dynamických výchylek.

yVychýlení paprsku v důsledku setrvačných sil:

P2 = 1 (1)

Znaménka (-) ve výrazech (1) jsou způsobena tím, že setrvačné síly a jednotky. pohyby jsou v opačném směru.

Věříme, že k vibracím hmoty dochází podle harmonického zákona:

(2)

Pojďme najít zrychlení pohybu hmoty:

(3)

Dosazením výrazů (2) a (3) do rovnice (1) získáme:

(5)

Amplitudy kmitů A 1 a A 2 považujeme za neznámé a rovnice transformujeme:

(6)

Řešení soustavy homogenních rovnic A 1 = A 2 =0 nám nevyhovuje, pro získání nenulového řešení srovnáme determinanty soustavy (6) s nulou:

(7)

Transformujme rovnici (8) s uvažováním kruhové frekvence vlastních kmitů  neznámá:

Rovnice (9) se nazývá biharmonická rovnice volného kmitání soustav se dvěma stupni volnosti.

Nahrazením proměnné  2 =Z dostaneme

odtud určíme Z 1 a Z 2.

V důsledku toho lze vyvodit následující závěry:

1. Volné vibrace systémů se dvěma stupni volnosti se vyskytují se dvěma frekvencemi  1 a  2. Nižší frekvence  1 se nazývá základní nebo základní tón, vyšší frekvence  2 se nazývá druhá frekvence nebo alikvot.

Volné vibrace soustav s n-stupněmi volnosti jsou n-tónové, skládají se z n-volných vibrací.

2. Pohyby hmot m 1 a m 2 vyjadřují následující vzorce:

tj. jestliže se vyskytují oscilace s frekvencí  1, pak v každém okamžiku mají pohyby hmoty stejná znaménka.

Pokud se kmitání vyskytuje pouze s frekvencí  2, pak pohyby hmoty v každém okamžiku mají opačná znaménka.

Při současném kmitání hmot s frekvencemi  1 a  2 kmitá soustava převážně na frekvenci  1 a do těchto kmitů zapadá podtext s frekvencí  2.

Pokud je systém se dvěma stupni volnosti vystaven hnací síle s frekvencí , pak je nutné, aby:

  0,7  1 .

Přednáška 9

Kmity soustav s nekonečným počtem stupňů volnosti.

Teorie mechanických vibrací má četné a velmi různorodé aplikace téměř ve všech oblastech techniky. Bez ohledu na účel a konstrukční řešení různých mechanických soustav podléhají jejich kmitání stejným fyzikálním zákonům, jejichž studium je předmětem teorie kmitání pružných systémů. Nejúplněji byla rozvinuta lineární teorie oscilací. Teorii oscilací soustav s několika stupni volnosti uvedl v 18. století Lagrange ve svém klasickém díle „Analytická mechanika“.

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - profesor matematiky v Turíně od 19 let. Od roku 1759 - člen a od roku 1766 - prezident Berlínské akademie věd; od roku 1787 žil v Paříži. V roce 1776 byl zvolen čestným zahraničním členem Petrohradské akademie věd.

Na konci 19. století položil Rayleigh základy lineární teorie kmitů soustav s nekonečným stupněm volnosti (tj. se spojitým rozložením hmoty v celém objemu deformovatelné soustavy). Ve 20. století by se dalo říci, že lineární teorie byla dokončena (Bubnova-Galerkinova metoda, která také umožňuje určit vyšší frekvence kmitů pomocí postupných aproximací).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) – anglický fyzik, autor řady prací o teorii oscilací.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - jeden ze zakladatelů lodní stavební mechaniky. Profesor na Petrohradském polytechnickém institutu, od roku 1910 - na Námořní akademii.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - profesor Leningradského polytechnického institutu.

Rayleighův vzorec je nejpopulárnější v teorii vibrací a stability elastických systémů. Myšlenka, která je základem odvození Rayleighova vzorce, sestává z následujícího. Při monoharmonických (jednotónových) volných kmitech pružného systému s frekvencí  dochází k pohybům jeho bodů v čase podle harmonického zákona:

kde  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) jsou funkce prostorových souřadnic bodu, které určují příslušný tvar kmitání (amplitudu).

Jsou-li tyto funkce známy, lze frekvenci volných vibrací zjistit z podmínky, že součet kinetické a potenciální energie tělesa je konstantní. Tato podmínka vede k rovnici obsahující pouze jednu neznámou veličinu.

Tyto funkce však nejsou předem známy. Hlavní myšlenkou Rayleighovy metody je specifikovat tyto funkce a přizpůsobit jejich výběr okrajovým podmínkám a očekávanému tvaru vibrací.

Podívejme se podrobněji na realizaci této myšlenky pro rovinné ohybové kmitání tyče, tvar kmitání je popsán funkcí =(x). Volné kmity jsou popsány závislostí

potenciální energie ohnuté tyče

(2)

Kinetická energie

(3)

Kde l- délka tyče, m=m(x) intenzita rozložené hmoty tyče;

Zakřivení zakřivené osy tyče, - rychlost příčných vibrací.

Dáno (1)

.

(4)

(5)

V průběhu času se každá z těchto veličin plynule mění, ale podle zákona zachování energie zůstává jejich součet konstantní, tzn.

nebo nahrazením výrazů (4), (5) zde

(7)

To vede k Rayleighovu vzorci:

(8)

Pokud jsou soustředěná zatížení o hmotnosti M i spojena s tyčí s rozloženou hmotností m, pak má Rayleighův vzorec tvar:

(9)

Celý průběh odvození ukazuje, že v rámci přijatých předpokladů (platnost technické teorie ohybu tyčí, absence nepružného odporu) je tento vzorec přesný, pokud (x) je skutečná forma vibrací . Funkce(x) je však předem neznámá. Praktický význam Rayleighova vzorce spočívá v tom, že jej lze použít k nalezení vlastní frekvence vzhledem k tvaru vibrací(x). Zároveň je do rozhodnutí vnášen více či méně závažný prvek blízkosti. Z tohoto důvodu se Rayleighův vzorec někdy nazývá přibližný vzorec.

m=cosnt Vezměme jako kmitání z funkce:(x)=ax 2, která splňuje kinematické okrajové podmínky úlohy.

Definujeme:

Podle vzorce (8)

Tento výsledek se výrazně liší od přesného

Přesnější je Grammelův vzorec, který se ještě nestal tak populární jako Rayleighův vzorec (možná kvůli svému relativnímu „mládí“ - byl navržen v roce 1939).

Znovu se zastavíme u stejného problému volných ohybových vibrací tyče.

Nechť (x) je zadaný tvar volných kmitů tyče. Intenzitu maximálních setrvačných sil pak určíme výrazem m 2 , kde jako dříve m=m(x) je intenzita rozložené hmoty tyče,  2 je druhá mocnina vlastní frekvence. Tyto síly dosahují zadané hodnoty v okamžiku, kdy jsou průhyby maximální, tzn. jsou určeny funkcí(x).

Zapišme výraz pro nejvyšší potenciální ohybovou energii z hlediska ohybových momentů způsobených maximálními setrvačnými silami:

. (10)

Tady - ohybové momenty způsobené zatížením m 2 . Označme ohybový moment způsobený podmíněným zatížením m, tzn.  2 krát menší než setrvačná síla.

, (11)

a výraz (10) lze zapsat jako:

. (12)

Nejvyšší kinetická energie, stejná jako výše

. (13)

Porovnáním výrazů (12) a (13) dospějeme ke Grammelově vzorci:

(14)

Pro výpočet pomocí tohoto vzorce musíte nejprve určit vhodnou funkci (x). Poté se určí podmíněné zatížení m=m(x)(x) a zapíší se výrazy pro ohyb způsobený podmíněným zatížením m. Pomocí vzorce (14) se určí vlastní frekvence kmitání soustavy.

Příklad: (vezměte v úvahu předchozí)

y

m(x)·(x)=max 2

Podle (3.7) je soustava rovnic pro II = 2 má tvar:

Protože mluvíme o volném kmitání, je pravá strana soustavy (3.7) rovna nule.

Hledáme řešení ve formuláři

Po dosazení (4.23) do (4.22) dostaneme:

Tento systém rovnic platí pro libovolný t, proto výrazy uzavřené v hranatých závorkách jsou rovny nule. Získáme tak lineární systém algebraických rovnic pro A a V.

Zjevné triviální řešení tohoto systému L= Oh, B = O podle (4.23) odpovídá nepřítomnosti kmitů. Spolu s tímto řešením však existuje také netriviální řešení L * O, VF 0 za předpokladu, že determinant systému A ( Na 2) rovná se nule:

Tento determinant se nazývá frekvence a rovnice je relativní k - frekvenční rovnice. Rozšířená funkce A(k 2) může být reprezentován jako

Rýže. 4.5

Pro YatsYad - ^2 > ® a s n ^-4>0 graf A (k 2) má tvar paraboly protínající osu úsečky (obr. 4.5).

Ukažme, že pro oscilace kolem stabilní rovnovážné polohy jsou výše uvedené nerovnosti splněny. Transformujme výraz pro kinetickou energii takto:

Na q, = 0 máme T = 0,5a.

Dále dokážeme, že kořeny frekvenční rovnice (4.25) jsou dvě kladné hodnoty Na 2 a do 2(v teorii kmitů nižší index odpovídá nižší frekvenci, tzn. k ( Za tímto účelem nejprve zavedeme pojem parciální frekvence. Tímto pojmem se rozumí vlastní frekvence systému s jedním stupněm volnosti, získaná z původního systému zafixováním všech zobecněných souřadnic kromě jedné. Takže např. pokud v první ze soustav rovnic přijímáme (4.22). q 2 = 0, pak bude dílčí frekvence p ( =yjc u /a n. Podobně stanovení p 2 ~^c n /a 21.

Aby frekvenční rovnice (4.25) měla dva reálné kořeny k x A k 2 je nutné a postačující, aby byl nejprve graf funkce A (do 2) na k = 0 by měla kladnou ordinátu a za druhé, že protíná osu x. Případ více frekvencí k (= k. ) , stejně jako otočení nejnižší frekvence na nulu, zde není uvažováno. První z těchto podmínek je splněna, protože d (0) = c„c 22 - s a> 0 Platnost druhé podmínky lze snadno ověřit dosazením (4.25) k = k = p 2; v tomto případě A(p, 2) Informace tohoto druhu v technických výpočtech usnadňují prognózy a odhady.

Výsledné dvě hodnoty frekvence Na, A do 2 odpovídají partikulárním řešením formuláře (4.23), takže obecné řešení má následující tvar:

Každá ze zobecněných souřadnic se tedy účastní složitého oscilačního procesu, což je sčítání harmonických pohybů s různými frekvencemi, amplitudami a fázemi (obr. 4.6). Frekvence k t A do 2 v obecném případě jsou tedy nesouměřitelné q v c, nejsou periodické funkce.

Rýže. 4.6

Poměr amplitud volných vibrací při pevné vlastní frekvenci se nazývá tvarový koeficient. Pro systém se dvěma stupni volnosti jsou tvarové koeficienty (3.= BJA." jsou určeny přímo z rovnic (4.24):

Tedy koeficienty tvaru p, = V 1 /A [ a r.,= V.,/A., závisí pouze na parametrech systému a nezávisí na počátečních podmínkách. Tvarové koeficienty jsou charakterizovány pro uvažovanou vlastní frekvenci Na. rozložení amplitud podél oscilačního obvodu. Kombinace těchto amplitud tvoří tzv vibrační forma.

Záporná hodnota tvarového faktoru znamená, že oscilace jsou mimo fázi.

Při použití standardních počítačových programů někdy používají normalizované tvarové koeficienty. Tento termín znamená

V koeficientu p' g index i odpovídá číslu souřadnice a indexu G-číslo frekvence. To je zřejmé nebo Je snadné si všimnout, že p*

V soustavě rovnic (4.28) zbývající čtyři neznámé A g A 2, oc, cx 2 jsou určeny pomocí počátečních podmínek:

Přítomnost lineární odporové síly, stejně jako v systému s jedním stupněm volnosti, vede k tlumení volných kmitů.

Rýže. 4.7

Příklad. Stanovme vlastní frekvence, dílčí frekvence a tvarové faktory pro oscilační systém znázorněný na Obr. 4,7, A. Vezmeme-li absolutní posuny hmoty.g jako zobecněné souřadnice, = q v x 2 = q. r Zapišme si výrazy pro kinetickou a potenciální energii:

Tím pádem,

Po dosazení do frekvenčních rovnic (4.25) dostaneme

Navíc podle (4.29)

Na Obr. 4,7, b jsou uvedeny vibrační režimy. V první formě kmitání se hmoty pohybují synchronně v jednom směru a ve druhém v opačném směru. Navíc se v druhém případě objevil průřez N, neúčastnící se oscilačního procesu s vlastní frekvencí k r Jedná se o tzv vibrační jednotka.

Jak víte, těleso, které není nijak omezeno ve svých pohybech, se nazývá volné, protože se může pohybovat jakýmkoli směrem. Každé volné tuhé těleso má tedy šest stupňů volnosti pohybu. Má schopnost produkovat následující pohyby: tři translační pohyby odpovídající třem hlavním souřadnicovým systémům a tři rotační pohyby kolem těchto tří souřadnicových os.

Vynucení spojů (fixace) snižuje počet stupňů volnosti. Pokud je tedy těleso fixováno v jednom bodě, nemůže se pohybovat po souřadnicových osách, jeho pohyby jsou omezeny pouze na rotaci kolem těchto os, tzn. tělo má tři stupně volnosti. V případě, že jsou dva body pevné, má těleso pouze jeden stupeň volnosti, může se otáčet pouze kolem přímky (osy) procházející oběma těmito body. A konečně, se třemi pevnými body, které neleží na stejné přímce, je počet stupňů volnosti nula a nemůže dojít k žádnému pohybu tělesa. U člověka se pasivní pohybový aparát skládá z částí jeho těla, které se nazývají články. Všechny jsou navzájem propojené, takže ztrácejí schopnost provádět tři druhy pohybů podél souřadnicových os. Mají pouze schopnost rotace kolem těchto os. Maximální počet stupňů volnosti, který může mít jeden článek těla ve vztahu k jinému článku, který k němu sousedí, jsou tedy tři.

To se týká nejpohyblivějších kloubů lidského těla, které mají kulovitý tvar.

Sekvenční nebo rozvětvená spojení částí těla (články) tvoří kinematické řetězce.

U lidí existují:

• - otevřené kinematické řetězce mající volný pohyblivý konec, upevněný pouze na jednom konci (například paže vzhledem k tělu);
• - uzavřené kinematické řetězce, upevněné na obou koncích (například obratel - žebro - hrudní kost - žebro - obratel).

Je třeba poznamenat, že se jedná o potenciální rozsah pohybů v kloubech. Ve skutečnosti jsou u živého člověka tyto ukazatele vždy nižší, což prokázaly četné práce domácích badatelů - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin atd. O množství pohyblivosti v kostních kloubech u živého člověka ovlivňuje řada faktorů souvisejících s věkem, pohlavím, individuálními vlastnostmi, funkčním stavem nervové soustavy, mírou natažení svalů, teplotou prostředí, denní dobou a konečně tím, co je pro sportovce důležité, stupeň vycvičenosti. Tedy ve všech kostních spojeních (nespojitých i spojitých) je stupeň pohyblivosti u mladých lidí větší než u starších lidí; Ženy mají v průměru více než muži. Míra pohyblivosti je ovlivněna mírou protažení těch svalů, které jsou na opačné straně pohybu, a také silou svalů produkujících tento pohyb. Čím pružnější je první z těchto svalů a čím silnější je druhý, tím větší je rozsah pohybů v daném spojení kostí a naopak. Je známo, že v chladné místnosti mají pohyby menší rozsah než v teplé místnosti, ráno jsou menší než večer. Použití různých cviků má různé účinky na kloubní pohyblivost. Systematický trénink s „flexibilními“ cviky tedy zvyšuje rozsah pohybu v kloubech, zatímco „silové“ cviky jej naopak snižují, což vede k „ztuhnutí“ kloubů. Snížení rozsahu pohybu v kloubech při použití silových cvičení však není absolutně nevyhnutelné. Dá se tomu předejít správnou kombinací silového tréninku a protahovacích cviků na stejné svalové skupiny.

V otevřených kinematických řetězcích lidského těla se pohyblivost počítá v desítkách stupňů volnosti. Například pohyblivost zápěstí vzhledem k lopatce a pohyblivost tarzu vzhledem k pánvi mají sedm stupňů volnosti a konečky prstů ruky vzhledem k hrudníku mají 16 stupňů volnosti. Pokud sečteme všechny stupně volnosti končetin a hlavy vzhledem k tělu, pak to bude vyjádřeno číslem 105 složeným z následujících pozic:

• - hlava - 3 stupně volnosti;
• - ramena - 14 stupňů volnosti;
• - nohy - 12 stupňů volnosti;
• - ruce a nohy - 76 stupňů volnosti.

Pro srovnání upozorňujeme, že naprostá většina strojů má pouze jeden stupeň volnosti pohybu.

U kulových kloubů jsou možné rotace kolem tří vzájemně kolmých os. Celkový počet os, kolem kterých jsou možné rotace v těchto kloubech, je nekonečně velký. Pokud jde o kulové klouby, můžeme tedy říci, že články v nich kloubové mají z možných šesti stupňů volnosti pohybu tři stupně volnosti a tři stupně vazby.

Klouby se dvěma stupni volnosti pohybu a čtyřmi stupni spojení mají menší pohyblivost. Patří sem spoje vejčitých nebo eliptických a sedlových tvarů, tzn. dvouosý. Umožňují pohyby kolem těchto dvou os.

Tělo se spojuje v těch kloubech, které mají jednu osu rotace, tj. mají jeden stupeň volnosti pohyblivosti a zároveň pět stupňů konektivity. mají dva pevné body.

Většina kloubů v lidském těle má dva nebo tři stupně volnosti. S několika stupni volnosti pohybu (dva nebo více) je možný nekonečný počet trajektorií. Spoje lebečních kostí mají šest stupňů spojení a jsou nepohyblivé. Spojení kostí pomocí chrupavek a vazů (synchondróza a syndesmóza) může mít v některých případech výraznou pohyblivost, která závisí na elasticitě a na velikosti chrupavčitých nebo pojivových útvarů umístěných mezi těmito kostmi.

Nechť je dán systém se dvěma stupni volnosti a jsou to zobecněné souřadnice. Kinetická a potenciální energie systému je dána vzorcem (10.2):

Funkce T a P jsou rozhodně kladné, a proto:

Dosazením (10.2) do (10.12) získáme diferenciální rovnice pro malá kmitání soustavy se dvěma stupni volnosti:

Soustava má nulové řešení A=B=0, odpovídající stabilní rovnovážné poloze. Pro nenulová řešení skládáme z (10.15) vztah:

Kvůli nerovnicím stability má kvadratická (vzhledem k ) rovnici (10.18) dva kladné reálné kořeny. Seřaďme je vzestupně:

Pro druhou hlavní vibraci:

(10.21)

Hlavní vibrace jsou harmonické vibrace.

Dosazením a následně v (10.16) najdeme souvislosti mezi amplitudami A a B v hlavních vibracích: . Faktory se nazývají vlastní koeficienty (koeficienty rozdělení amplitudy). Mohou být pozitivní i negativní. Když jsou obě souřadnice v hlavní oscilaci ve stejné fázi; at - v protifázi.

Výsledný pohyb podél každé souřadnice bude součtem dvou hlavních oscilací:

(10.22)

kde - závisí na počátečních podmínkách, - nezávisí na počátečních podmínkách a jsou určeny parametry samotného oscilačního systému. V obecném případě jsou frekvence a jsou nesouměřitelné, a proto výsledný pohyb nebude periodický.

1. Určete vlastní frekvence a vlastní režimy kmitání (malé) dvojitého matematického kyvadla tvořeného dvěma hmotnými body o stejné hmotnosti m a dvěma tyčemi, každá o délce.

Podobný systém v obecné podobě byl uvažován v příkladu 2 (§34). Použijme vzorce (2) a (3), které tam byly získány.

Když, dostaneme:

Vzhledem k tomu, že oscilace jsou malé, pak až po malé oscilace druhého řádu včetně:

(3)

S ohledem na (3) z (1) poznamenáváme:

(4)

Při porovnání (4) a (2) si všimneme:

Rozšířením rovnice (7.52) frekvencí získáme:

Z (9.50) zjistíme distribuční koeficienty: .

První velká oscilace:

Pohyb ve fázi - v každém okamžiku se tyče otáčejí jedním směrem.

Druhé hlavní zaváhání:

Pohyb v protifázi - v každém okamžiku se tyče otáčejí přesně opačnými směry.

Vibrační režimy jsou znázorněny na obr. 50. Ve druhé hlavní vibraci je speciální bod F, který zůstává nehybný. Takové body se nazývají uzly. Koncový bod O není uzel.

2. Dvě tuhá tělesa s hmotností a a dvě pružiny s tuhostí a jsou spojeny do systému, který je umístěn na hladké vodorovné rovině a může provádět malé lineární kmity.

První velká oscilace:

Tělesa se pohybují ve fázi, buď doprava nebo doleva. Amplituda kmitání druhého tělesa je 1,62 krát větší.

Druhé hlavní zaváhání:

Tělesa se pohybují v protifázi: buď k sobě, k uzlu, nebo se z uzlu rozcházejí. Amplituda kmitů druhého tělesa je 0,62 amplitudy prvního.