Jak vypočítat vektorové souřadnice. Vektory pro figuríny

Nalezení souřadnic vektoru je poměrně běžnou podmínkou mnoha problémů v matematice. Schopnost najít vektorové souřadnice vám pomůže v jiných, složitějších problémech s podobnou tématikou. V tomto článku se podíváme na vzorec pro nalezení vektorových souřadnic a několik problémů.

Zjištění souřadnic vektoru v rovině

co je to letadlo? Rovina je považována za dvourozměrný prostor, prostor se dvěma rozměry (rozměr x a rozměr y). Například papír je plochý. Povrch stolu je rovný. Jakýkoli nevolumetrický obrazec (čtverec, trojúhelník, lichoběžník) je také rovina. Pokud tedy v zadání úlohy potřebujete najít souřadnice vektoru, který leží v rovině, okamžitě si pamatujeme na x a y. Souřadnice takového vektoru zjistíte následovně: Souřadnice AB vektoru = (xB – xA; yB – xA). Vzorec ukazuje, že je třeba odečíst souřadnice počátečního bodu od souřadnic koncového bodu.

Příklad:

• Vector CD má počáteční (5; 6) a konečnou (7; 8) souřadnice.
• Najděte souřadnice samotného vektoru.
• Pomocí výše uvedeného vzorce dostaneme následující výraz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Souřadnice CD vektoru tedy = (2; 2).
• Souřadnice x se tedy rovná dvěma, souřadnice y také dvě.

Zjištění souřadnic vektoru v prostoru

co je prostor? Prostor je již trojrozměrný rozměr, kde jsou uvedeny 3 souřadnice: x, y, z. Pokud potřebujete najít vektor, který leží v prostoru, vzorec se prakticky nezmění. Přidá se pouze jedna souřadnice. Chcete-li najít vektor, musíte odečíst souřadnice začátku od koncových souřadnic. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Příklad:

• Vektor DF má počáteční (2; 3; 1) a konečný (1; 5; 2).
• Aplikací výše uvedeného vzorce dostaneme: Souřadnice vektoru DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Pamatujte, že hodnota souřadnic může být záporná, v tom není žádný problém.

Jak najít vektorové souřadnice online?

Pokud z nějakého důvodu nechcete souřadnice zjišťovat sami, můžete použít online kalkulačku. Chcete-li začít, vyberte vektorovou dimenzi. Dimenze vektoru je zodpovědná za jeho rozměry. Dimenze 3 znamená, že vektor je v prostoru, dimenze 2 znamená, že je v rovině. Dále vložte souřadnice bodů do příslušných polí a program vám určí souřadnice vektoru sám. Vše je velmi jednoduché.

Kliknutím na tlačítko se stránka automaticky posune dolů a poskytne vám správnou odpověď spolu s kroky řešení.

Doporučuje se toto téma dobře prostudovat, protože pojem vektor se vyskytuje nejen v matematice, ale i ve fyzice. Studenti Fakulty informačních technologií také studují téma vektorů, ale na komplexnější úrovni.

Konečně se mi dostalo do rukou toto rozsáhlé a dlouho očekávané téma. analytická geometrie. Nejprve něco málo o této části vyšší matematiky... Jistě si nyní vzpomínáte na školní kurz geometrie s četnými větami, jejich důkazy, kresbami atd. Co skrývat, pro značnou část studentů nemilovaný a často obskurní předmět. Analytická geometrie se kupodivu může zdát zajímavější a přístupnější. Co znamená přídavné jméno „analytický“? Okamžitě mě napadnou dvě klišé matematické fráze: „metoda grafického řešení“ a „metoda analytického řešení“. Grafická metoda, samozřejmě souvisí s konstrukcí grafů a nákresů. Analytická stejný metoda zahrnuje řešení problémů hlavně prostřednictvím algebraických operací. V tomto ohledu je algoritmus pro řešení téměř všech problémů analytické geometrie jednoduchý a transparentní; často stačí pečlivě použít potřebné vzorce - a odpověď je připravena! Ne, samozřejmě, bez nákresů to vůbec nezvládneme a kromě toho se je pro lepší pochopení materiálu pokusím nad míru nezbytně citovat.

Nově otevřený kurz lekcí geometrie se netváří jako teoreticky úplný, je zaměřen na řešení praktických problémů. Do svých přednášek zařadím jen to, co je z mého pohledu důležité z praktického hlediska. Pokud potřebujete podrobnější pomoc s jakoukoli podsekcí, doporučuji následující docela dostupnou literaturu:

1) Věc, kterou, bez vtipu, zná několik generací: Školní učebnice geometrie, autoři - L.S. Atanasyan a společnost. Tento školní šatní věšák prošel již 20 (!) dotisky, což samozřejmě není limit.

2) Geometrie ve 2 svazcích. Autoři L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. Toto je literatura pro střední školy, budete potřebovat první svazek. Zřídka se vyskytující úkoly mi mohou z oka vypadnout a tutoriál bude neocenitelným pomocníkem.

Obě knihy lze zdarma stáhnout online. Navíc můžete využít můj archiv s hotovými řešeními, které najdete na stránce Stáhněte si příklady z vyšší matematiky.

Mezi nástroji opět navrhuji svůj vlastní vývoj - softwarový balík v analytické geometrii, což výrazně zjednoduší život a ušetří spoustu času.

Předpokládá se, že čtenář zná základní geometrické pojmy a obrazce: bod, přímka, rovina, trojúhelník, rovnoběžník, rovnoběžnostěn, krychle atd. Je vhodné si zapamatovat některé věty, alespoň Pythagorovu větu, ahoj opakovače)

A nyní budeme uvažovat postupně: koncept vektoru, akce s vektory, vektorové souřadnice. Doporučuji číst dále nejdůležitější článek Bodový součin vektorů, a také Vektorový a smíšený součin vektorů. Místní úkol – v tomto ohledu rozdělení segmentu – také nebude zbytečný. Na základě výše uvedených informací můžete zvládnout rovnice přímky v rovině S nejjednodušší příklady řešení, což umožní naučit se řešit geometrické problémy. Užitečné jsou také následující články: Rovnice roviny v prostoru, Rovnice přímky v prostoru, Základní úlohy na přímce a rovině, další úseky analytické geometrie. Po cestě budou samozřejmě zvažovány standardní úkoly.

Vektorové koncept. Volný vektor

Nejprve si zopakujme školní definici vektoru. Vektor volal režírovaný segment, pro který je uveden jeho začátek a konec:

V tomto případě je začátek segmentu bod, konec segmentu je bod. Samotný vektor je označen . Směr je zásadní, pokud přesunete šipku na druhý konec segmentu, získáte vektor, a to už je úplně jiný vektor. Koncept vektoru je vhodné ztotožnit s pohybem fyzického těla: musíte souhlasit, vstup do dveří ústavu nebo odchod ze dveří ústavu jsou zcela odlišné věci.

Jednotlivé body roviny nebo prostoru je vhodné považovat za tzv nulový vektor. U takového vektoru se konec a začátek shodují.

!!! Poznámka: Zde a dále můžete předpokládat, že vektory leží ve stejné rovině nebo můžete předpokládat, že jsou umístěny v prostoru - podstata prezentovaného materiálu platí pro rovinu i prostor.

Označení: Mnozí si okamžitě všimli hůlky bez šipky v označení a řekli, že nahoře je také šipka! Pravda, můžete to napsat šipkou: , ale je to také možné záznam, který použiji v budoucnu. Proč? Zřejmě se tento zvyk vyvinul z praktických důvodů, moje střelky ve škole a na univerzitě se ukázaly být příliš velké a střapaté. Ve vzdělávací literatuře se někdy vůbec neobtěžují klínovým písmem, ale zvýrazní písmena tučně: , čímž naznačují, že se jedná o vektor.

To byla stylistika a nyní o způsobech psaní vektorů:

1) Vektory lze psát dvěma velkými latinskými písmeny:
a tak dále. V tomto případě první písmeno Nezbytně označuje počáteční bod vektoru a druhé písmeno označuje koncový bod vektoru.

2) Vektory jsou také psány malými latinskými písmeny:
Zejména náš vektor může být pro stručnost přeznačen malým latinským písmenem.

Délka nebo modul nenulový vektor se nazývá délka segmentu. Délka nulového vektoru je nula. Logický.

Délka vektoru je označena znaménkem modulu: ,

Jak zjistit délku vektoru (nebo si to zopakujeme, podle toho kdo) se naučíme o něco později.

To byly základní informace o vektorech, známé všem školákům. V analytické geometrii, tzv volný vektor.

Jednoduše řečeno - vektor lze vykreslit z libovolného bodu:

Takové vektory jsme zvyklí nazývat rovnými (definice rovných vektorů bude uvedena níže), ale z čistě matematického hlediska se jedná o STEJNÝ VEKTOR resp. volný vektor. Proč zdarma? Protože v průběhu řešení problémů můžete „připojit“ ten či onen „školní“ vektor k JAKÉMUKOLI bodu roviny nebo prostoru, který potřebujete. Toto je velmi skvělá funkce! Představte si směrovaný segment libovolné délky a směru – lze jej „klonovat“ nekonečně mnohokrát a v libovolném bodě prostoru, ve skutečnosti existuje VŠUDE. Jedno takové studentské rčení říká: Každý přednášející je s vektorem čert. Koneckonců, není to jen vtipný rým, vše je téměř správné - lze tam přidat i směrovaný segment. Ale nespěchejte se radovat, často trpí sami studenti =)

Tak, volný vektor- Tento hromada identické směrované segmenty. Školní definice vektoru uvedená na začátku odstavce: „Směrovaný segment se nazývá vektor...“ znamená charakteristický směrovaný segment převzatý z dané množiny, který je vázán na konkrétní bod v rovině nebo prostoru.

Je třeba poznamenat, že z hlediska fyziky je koncept volného vektoru obecně nesprávný a na místě použití záleží. Přímý úder stejné síly do nosu nebo čela, dostačující k rozvinutí mého hloupého příkladu, má skutečně různé důsledky. Nicméně, nesvobodný vektory se také nacházejí v průběhu vyshmatu (tam nechoď :)).

Akce s vektory. Kolinearita vektorů

Kurz školní geometrie pokrývá řadu akcí a pravidel s vektory: sčítání podle pravidla trojúhelníku, sčítání podle pravidla rovnoběžníku, pravidlo vektorové diference, násobení vektoru číslem, skalární součin vektorů atd. Jako výchozí bod zopakujme dvě pravidla, která jsou zvláště relevantní pro řešení úloh analytické geometrie.

Pravidlo pro sčítání vektorů pomocí pravidla trojúhelníku

Uvažujme dva libovolné nenulové vektory a :

Musíte najít součet těchto vektorů. Vzhledem k tomu, že všechny vektory považujeme za volné, vyčleníme vektor z konec vektor:

Součet vektorů je vektor. Pro lepší pochopení pravidla je vhodné vložit do něj fyzikální význam: nechejte nějaké těleso cestovat po vektoru a poté po vektoru . Pak součet vektorů je vektorem výsledné cesty se začátkem v bodě odjezdu a koncem v bodě příjezdu. Podobné pravidlo je formulováno pro součet libovolného počtu vektorů. Jak se říká, tělo může jít svou cestou velmi šikmo po cikcaku, nebo třeba na autopilota - po výsledném vektoru součtu.

Mimochodem, pokud je vektor odložen z začala vektor, pak dostaneme ekvivalent pravidlo rovnoběžníku přidání vektorů.

Nejprve o kolinearitě vektorů. Tyto dva vektory se nazývají kolineární, pokud leží na stejné přímce nebo na rovnoběžných přímkách. Zhruba řečeno, mluvíme o paralelních vektorech. Ale ve vztahu k nim se vždy používá přídavné jméno „kolineární“.

Představte si dva kolineární vektory. Pokud jsou šipky těchto vektorů nasměrovány stejným směrem, pak se takové vektory nazývají spolurežírovaný. Pokud šipky ukazují různými směry, vektory budou opačnými směry.

Označení: kolinearita vektorů se zapisuje obvyklým symbolem rovnoběžnosti: , přičemž detailování je možné: (vektory jsou směrovány společně) nebo (vektory jsou směrovány opačně).

Práce nenulový vektor na čísle je vektor, jehož délka je rovna , a vektory a jsou společně nasměrovány na a opačně nasměrovány na .

Pravidlo pro násobení vektoru číslem je snazší pochopit pomocí obrázku:

Podívejme se na to podrobněji:

1) Směr. Pokud je násobitel záporný, pak vektor mění směr k opaku.

2) Délka. Pokud je multiplikátor obsažen v nebo , pak délka vektoru klesá. Délka vektoru je tedy poloviční než délka vektoru. Pokud je modul násobiče větší než jedna, pak délka vektoru zvyšuje včas.

3) Vezměte prosím na vědomí všechny vektory jsou kolineární, zatímco jeden vektor je vyjádřen prostřednictvím jiného, ​​například . Opak je také pravdou: jestliže jeden vektor může být vyjádřen přes jiný, pak takové vektory jsou nutně kolineární. Tím pádem: vynásobíme-li vektor číslem, dostaneme kolineární(vzhledem k originálu) vektor.

4) Vektory jsou spoluřízeny. Vektory a jsou také spolurežírované. Jakýkoli vektor z první skupiny je opačně směrován vzhledem k jakémukoli vektoru z druhé skupiny.

Které vektory jsou stejné?

Dva vektory jsou stejné, pokud jsou ve stejném směru a mají stejnou délku. Všimněte si, že kodirectionalita implikuje kolinearitu vektorů. Definice by byla nepřesná (nadbytečná), kdybychom řekli: "Dva vektory jsou si rovny, pokud jsou kolineární, kosměrné a mají stejnou délku."

Z hlediska konceptu volného vektoru jsou stejné vektory stejným vektorem, jak bylo uvedeno v předchozím odstavci.

Vektorové souřadnice v letadle a ve vesmíru

Prvním bodem je uvažovat vektory v rovině. Znázorněme kartézský pravoúhlý souřadnicový systém a nakreslete jej od počátku souřadnic singl vektory a:

Vektory a ortogonální. Ortogonální = kolmý. Doporučuji si pomalu zvykat na pojmy: místo rovnoběžnosti a kolmosti používáme slova resp kolinearita A ortogonalita.

Označení: Ortogonalita vektorů se zapisuje obvyklým symbolem kolmosti, například: .

Uvažované vektory se nazývají souřadnicové vektory nebo orts. Tyto vektory se tvoří základ na povrchu. Co je základ, je myslím mnohým intuitivně jasné, podrobnější informace najdete v článku Lineární (ne)závislost vektorů. Základy vektorů Jednoduše řečeno, základ a původ souřadnic definují celý systém - to je jakýsi základ, na kterém vře plný a bohatý geometrický život.

Někdy se konstruovaný základ nazývá ortonormální základ roviny: “ortho” - protože souřadnicové vektory jsou ortogonální, přídavné jméno “normalizovaný” znamená jednotku, tzn. délky základních vektorů jsou rovny jedné.

Označení: v závorce se obvykle píše základ, uvnitř kterého v přísném pořadí základní vektory jsou uvedeny, například: . Souřadnicové vektory je to zakázáno přeskupit.

Žádný rovinný vektor jediná možnost vyjádřeno jako:
, kde - čísla které se nazývají vektorové souřadnice v tomto základu. A samotný výraz volal vektorový rozkladpodle základu .

Večeře podávaná:

Začněme prvním písmenem abecedy: . Výkres jasně ukazuje, že při rozkladu vektoru na bázi se používají právě diskutované:
1) pravidlo pro násobení vektoru číslem: a ;
2) sčítání vektorů podle pravidla trojúhelníku: .

Nyní v duchu vykreslete vektor z jakéhokoli jiného bodu v rovině. Je zcela zřejmé, že jeho rozklad ho bude „neúnavně následovat“. Tady to je, svoboda vektoru - vektor „nese všechno s sebou“. Tato vlastnost samozřejmě platí pro jakýkoli vektor. Je legrační, že samotné základní (volné) vektory se nemusí vykreslovat od počátku, jeden se dá nakreslit např. vlevo dole a druhý vpravo nahoře a nic se nezmění! Je pravda, že to nemusíte dělat, protože učitel také ukáže originalitu a na nečekaném místě vám připíše „kredit“.

Vektory přesně ilustrují pravidlo pro násobení vektoru číslem, vektor je kosměrný se základním vektorem, vektor směřuje opačně k základnímu vektoru. Pro tyto vektory je jedna ze souřadnic rovna nule; můžete ji pečlivě zapsat takto:


A základní vektory jsou mimochodem tyto: (ve skutečnosti jsou vyjádřeny skrze sebe).

A nakonec: , . Mimochodem, co je vektorové odčítání a proč jsem nemluvil o pravidle odčítání? Někde v lineární algebře, už si nepamatuji kde, jsem si všiml, že odčítání je speciální případ sčítání. Expanze vektorů „de“ a „e“ lze tedy snadno zapsat jako součet: , . Podle nákresu uvidíte, jak jasně v těchto situacích funguje staré dobré sčítání vektorů podle pravidla trojúhelníku.

Uvažovaný rozklad formy někdy nazývaný vektorový rozklad v systému ort(tedy v systému jednotkových vektorů). Ale toto není jediný způsob, jak napsat vektor; běžná je následující možnost:

Nebo se znaménkem rovná se:

Samotné základní vektory jsou zapsány následovně: a

To znamená, že souřadnice vektoru jsou uvedeny v závorkách. V praktických úlohách se používají všechny tři možnosti zápisu.

Pochyboval jsem, zda mám mluvit, ale přesto to řeknu: vektorové souřadnice nelze přeskupit. Přísně na prvním místě zapíšeme souřadnici, která odpovídá jednotkovému vektoru, přísně na druhém místě zapíšeme souřadnici, která odpovídá jednotkovému vektoru. Ve skutečnosti a jsou dva různé vektory.

Zjistili jsme souřadnice v letadle. Nyní se podíváme na vektory v trojrozměrném prostoru, zde je téměř vše stejné! Jen to přidá ještě jednu souřadnici. Je těžké dělat trojrozměrné kresby, takže se omezím na jeden vektor, který pro jednoduchost vynechám z počátku:

Žádný 3D prostor vektor jediná možnost expandovat na ortonormální bázi:
, kde jsou souřadnice vektoru (čísla) v tomto základu.

Příklad z obrázku: . Podívejme se, jak zde vektorová pravidla fungují. Nejprve vynásobte vektor číslem: (červená šipka), (zelená šipka) a (malinová šipka). Za druhé, zde je příklad přidání několika, v tomto případě tří, vektorů: . Vektor součtu začíná v počátečním bodě odletu (začátek vektoru) a končí v konečném bodě příjezdu (konec vektoru).

Všechny vektory trojrozměrného prostoru jsou přirozeně také volné; zkuste mentálně odložit vektor z jakéhokoli jiného bodu a pochopíte, že jeho rozklad „s ním zůstane“.

Podobně jako u plochého pouzdra, navíc s psaním široce používané verze se závorkami: buď .

Pokud v rozšíření chybí jeden (nebo dva) souřadnicové vektory, jsou na jejich místo vloženy nuly. Příklady:
vektor (pečlivě ) - Pojďme psát ;
vektor (pečlivě ) - Pojďme psát ;
vektor (pečlivě ) - Pojďme psát .

Základní vektory jsou zapsány takto:

To jsou možná všechny minimální teoretické znalosti nutné k řešení problémů analytické geometrie. Pojmů a definic může být mnoho, proto doporučuji, aby si konvice znovu přečetly a pochopily tyto informace. A pro každého čtenáře bude užitečné, když se čas od času odkáže na základní lekci, aby si látku lépe osvojil. Kolinearita, ortogonalita, ortonormální báze, vektorová dekompozice – tyto a další pojmy budou v budoucnu často používány. Podotýkám, že materiály na webu nestačí ke složení teoretického testu nebo kolokvia o geometrii, protože pečlivě šifruji všechny teorémy (a bez důkazů) - na úkor vědeckého stylu prezentace, ale plus pro vaše porozumění předmět. Chcete-li získat podrobné teoretické informace, pokloňte se profesoru Atanasyanovi.

A přejdeme k praktické části:

Nejjednodušší problémy analytické geometrie.
Akce s vektory v souřadnicích

Je velmi vhodné naučit se řešit úlohy, které budou zvažovány plně automaticky, a vzorce memorovat, ani si to nemusíte pamatovat schválně, oni si to zapamatují sami =) To je velmi důležité, protože ostatní problémy analytické geometrie jsou založeny na nejjednodušších elementárních příkladech a bude otravné trávit další čas pojídáním pěšců . Horní knoflíky na košili si nemusíte zapínat, spoustu věcí znáte ze školy.

Prezentace materiálu bude mít paralelní průběh - jak pro rovinu, tak pro vesmír. Z toho důvodu, že všechny vzorce... uvidíte sami.

Jak najít vektor ze dvou bodů?

Pokud jsou dány dva body roviny a, pak má vektor následující souřadnice:

Pokud jsou dány dva body v prostoru a, pak má vektor následující souřadnice:

to znamená, ze souřadnic konce vektoru musíte odečíst odpovídající souřadnice začátek vektoru.

Cvičení: U stejných bodů si zapište vzorce pro zjištění souřadnic vektoru. Vzorce na konci lekce.

Příklad 1

Jsou dány dva body roviny a . Najděte vektorové souřadnice

Řešení: podle příslušného vzorce:

Alternativně lze použít následující záznam:

Estéti o tom rozhodnou:

Osobně jsem zvyklý na první verzi nahrávky.

Odpovědět:

Podle podmínky nebylo nutné konstruovat výkres (což je typické pro úlohy analytické geometrie), ale abych objasnil některé body pro figuríny, nebudu líný:

Rozhodně musíte pochopit rozdíl mezi souřadnicemi bodu a souřadnicemi vektoru:

Souřadnice bodu– to jsou běžné souřadnice v pravoúhlém souřadnicovém systému. Myslím, že každý ví, jak vykreslovat body na souřadnicové rovině od 5.-6. Každý bod má v rovině své pevné místo a nelze je nikam posunout.

Souřadnice vektoru– jde v tomto případě o jeho rozšíření podle základu. Jakýkoli vektor je volný, takže je-li to žádoucí nebo nutné, můžeme jej snadno posunout od jiného bodu v rovině. Zajímavé je, že pro vektory vůbec nemusíte stavět osy ani pravoúhlý souřadnicový systém, stačí vám základna, v tomto případě ortonormální základna roviny.

Záznamy souřadnic bodů a souřadnic vektorů se zdají být podobné: , a význam souřadnic Absolutně odlišný a měli byste si být tohoto rozdílu dobře vědomi. Tento rozdíl se samozřejmě týká i prostoru.

Dámy a pánové, naplňte si ruce:

Příklad 2

a) Přidělují se body a. Najděte vektory a .
b) Body jsou přiděleny A . Najděte vektory a .
c) Přidělují se body a. Najděte vektory a .
d) Body jsou přiděleny. Najděte vektory .

Snad to stačí. To jsou příklady, abyste se rozhodli sami, snažte se je nezanedbávat, vyplatí se to ;-). Není třeba dělat výkresy. Řešení a odpovědi na konci lekce.

Co je důležité při řešení úloh analytické geometrie? Je důležité být EXTRÉMNĚ OPATRNÍ, abyste neudělali mistrovskou chybu „dva plus dva rovna nule“. Pokud jsem někde udělal chybu, hned se omlouvám =)

Jak zjistit délku segmentu?

Délka, jak již bylo uvedeno, je označena znaménkem modulu.

Pokud jsou zadány dva body roviny a , pak lze délku segmentu vypočítat pomocí vzorce

Jsou-li zadány dva body v prostoru a, lze délku segmentu vypočítat pomocí vzorce

Poznámka: Vzorce zůstanou správné, pokud jsou odpovídající souřadnice prohozeny: a , ale první možnost je standardnější

Příklad 3

Řešení: podle příslušného vzorce:

Odpovědět:

Pro názornost udělám nákres

Úsečka - toto není vektor a samozřejmě ho nemůžete nikam přesunout. Navíc, pokud kreslíte v měřítku: 1 jednotka. = 1 cm (dvě buňky zápisníku), pak lze výslednou odpověď zkontrolovat běžným pravítkem přímým měřením délky segmentu.

Ano, řešení je krátké, ale je v něm několik důležitých bodů, které bych rád objasnil:

Nejprve do odpovědi vložíme rozměr: „jednotky“. Podmínka neříká, CO to je, milimetry, centimetry, metry nebo kilometry. Matematicky správným řešením by tedy byla obecná formulace: „jednotky“ – zkráceně „jednotky“.

Za druhé, zopakujme si školní látku, která je užitečná nejen pro uvažovaný úkol:

Dávejte pozor na důležitá technika – odstranění násobiče zpod kořene. Výsledkem výpočtů je výsledek a dobrý matematický styl zahrnuje odstranění faktoru pod odmocninou (pokud je to možné). Podrobněji proces vypadá takto: . Ponechat odpověď tak, jak je, by samozřejmě nebylo chybou – ale byl by to jistě nedostatek a závažný argument pro dohadování ze strany učitele.

Zde jsou další běžné případy:

Často kořen produkuje poměrně velké množství, například . Co dělat v takových případech? Pomocí kalkulačky zkontrolujeme, zda je číslo dělitelné 4: . Ano, bylo to úplně rozděleno, takto: . Nebo se dá číslo opět vydělit 4? . Tím pádem: . Poslední číslice čísla je lichá, takže dělení 4 potřetí evidentně nebude fungovat. Zkusme vydělit devíti: . Jako výsledek:
Připraveno.

Závěr: pokud pod odmocninou dostaneme číslo, které nelze extrahovat jako celek, tak se pokusíme faktor z pod odmocninou odstranit - pomocí kalkulačky zkontrolujeme, zda je číslo dělitelné: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atd.

Při řešení různých problémů se často naráží na kořeny, vždy se snažte extrahovat faktory zpod kořene, abyste předešli nižší známce a zbytečným problémům s finalizací řešení na základě připomínek učitele.

Zopakujme si také odmocninu a další mocniny:

Pravidla pro práci s mocninami v obecné podobě lze najít ve školní učebnici algebry, ale myslím, že z uvedených příkladů je již vše nebo téměř vše jasné.

Úkol pro nezávislé řešení se segmentem v prostoru:

Příklad 4

Body a jsou uvedeny. Najděte délku segmentu.

Řešení a odpověď jsou na konci lekce.

Jak zjistit délku vektoru?

Je-li dán rovinný vektor, pak se jeho délka vypočítá podle vzorce.

Pokud je dán prostorový vektor, pak se jeho délka vypočítá podle vzorce .

Nazývají se úsečka a osa pořadnice souřadnice vektor. Ve formuláři jsou obvykle uvedeny vektorové souřadnice (x, y) a samotný vektor jako: =(x, y).

Vzorec pro určení vektorových souřadnic pro dvourozměrné úlohy.

V případě dvourozměrného problému vektor se známým souřadnice bodů A(x 1; y 1) A B(X 2 ; y 2 ) lze vypočítat:

= (x2 - x 1; y2 -y 1).

Vzorec pro určení vektorových souřadnic pro prostorové úlohy.

V případě prostorového problému vektor se známým souřadnice bodů A (x 1; y 1;z 1 ) a B (X 2 ; y 2 ; z 2 ) lze vypočítat pomocí vzorce:

= (X 2 - X 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Souřadnice poskytují komplexní popis vektoru, protože je možné pomocí souřadnic sestrojit samotný vektor. Díky znalosti souřadnic je snadné vypočítat a vektorová délka. (Vlastnost 3 níže).

Vlastnosti vektorových souřadnic.

1. Jakýkoli stejné vektory v jediném souřadnicovém systému mají stejné souřadnice.

2. Souřadnice kolineární vektoryúměrný. Za předpokladu, že žádný z vektorů není nulový.

3. Druhá mocnina délky libovolného vektoru se rovná součtu čtverců jeho souřadnice.

4.Při operaci vektorové násobení na reálné číslo každá jeho souřadnice je vynásobena tímto číslem.

5. Při sčítání vektorů vypočítáme součet odpovídajících vektorové souřadnice.

6. Skalární součin dva vektory se rovná součtu součinů jejich odpovídajících souřadnic.