Což je vždy čtvercové. Řešení kvadratických rovnic, vzorec kořenů, příklady

Transformace úplné kvadratické rovnice na neúplnou vypadá takto (pro případ \(b=0\)):

Pro případy, kdy \(c=0\) nebo kdy jsou oba koeficienty rovny nule, je vše podobné.

Vezměte prosím na vědomí, že \(a\) se nerovná nule, nemůže se rovnat nule, protože v tomto případě se změní na:

Řešení neúplných kvadratických rovnic

Nejprve musíte pochopit, že neúplná kvadratická rovnice je stále, proto ji lze vyřešit stejným způsobem jako obvyklou kvadraickou (přes). K tomu jednoduše doplníme chybějící složku rovnice s nulovým koeficientem.

Příklad : Najděte kořeny rovnice \(3x^2-27=0\)
Rozhodnutí :

		Máme neúplnou kvadratickou rovnici s koeficientem \(b=0\). To znamená, že rovnici můžeme napsat v následujícím tvaru:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Ve skutečnosti je zde stejná rovnice jako na začátku, ale nyní ji lze vyřešit jako obyčejný čtverec. Nejprve si zapíšeme koeficienty.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Vypočítejte diskriminant pomocí vzorce \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Najdeme kořeny rovnice pomocí vzorců \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapište odpověď

Odpovědět : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Příklad : Najděte kořeny rovnice \(-x^2+x=0\)
Rozhodnutí :

		Opět neúplná kvadratická rovnice, ale nyní je koeficient \(c\) roven nule. Rovnici zapíšeme jako úplnou.

Kvadratická rovnice nebo rovnice druhého stupně s jednou neznámou je rovnice, kterou lze po transformacích redukovat do následujícího tvaru:

sekera 2 + bx + C = 0 - kvadratická rovnice

kde X je neznámá a A, b a C- koeficienty rovnice. V kvadratických rovnicích A se nazývá první koeficient ( A ≠ 0), b se nazývá druhý koeficient a C se nazývá známý nebo volný člen.

rovnice:

sekera 2 + bx + C = 0

volala kompletní kvadratická rovnice. Pokud jeden z koeficientů b nebo C je nula nebo jsou oba tyto koeficienty rovny nule, pak je rovnice prezentována jako neúplná kvadratická rovnice.

Redukovaná kvadratická rovnice

Úplnou kvadratickou rovnici lze redukovat do pohodlnějšího tvaru vydělením všech jejích členů číslem A, tedy pro první koeficient:

Rovnice X 2 + px + q= 0 se nazývá redukovaná kvadratická rovnice. Proto lze jakoukoli kvadratickou rovnici, ve které je první koeficient roven 1, nazvat redukovanou.

Například rovnice:

X 2 + 10X - 5 = 0

je redukován a rovnice:

3X 2 + 9X - 12 = 0

lze nahradit výše uvedenou rovnicí vydělením všech jejích členů číslem -3:

X 2 - 3X + 4 = 0

Řešení kvadratických rovnic

Chcete-li vyřešit kvadratickou rovnici, musíte ji převést do jedné z následujících forem:

sekera 2 + bx + C = 0

sekera 2 + 2kx + C = 0

X 2 + px + q = 0

Každý typ rovnice má svůj vlastní vzorec pro nalezení kořenů:

Věnujte pozornost rovnici:

sekera 2 + 2kx + C = 0

toto je převedená rovnice sekera 2 + bx + C= 0, ve kterém je koeficient b- sudý, což umožňuje jeho nahrazení typem 2 k. Proto lze vzorec pro nalezení kořenů této rovnice zjednodušit dosazením 2 k namísto b:

Příklad 1Řešte rovnici:

3X 2 + 7X + 2 = 0

Protože druhý koeficient v rovnici není sudé číslo a první koeficient není roven jedné, budeme kořeny hledat pomocí úplně prvního vzorce, který se nazývá obecný vzorec pro hledání kořenů kvadratické rovnice. Nejprve

A = 3, b = 7, C = 2

Nyní, abychom našli kořeny rovnice, jednoduše dosadíme hodnoty koeficientů do vzorce:

X 1 =	-2	= -	1	, X 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Odpovědět: -	1	, -2.
	3

Příklad 2:

X 2 - 4X - 60 = 0

Pojďme určit, čemu se rovnají koeficienty:

A = 1, b = -4, C = -60

Protože druhý koeficient v rovnici je sudé číslo, použijeme vzorec pro kvadratické rovnice se sudým druhým koeficientem:

X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6

Odpovědět: 10, -6.

Příklad 3

y 2 + 11y = y - 25

Uveďme rovnici do obecného tvaru:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Pojďme určit, čemu se rovnají koeficienty:

A = 1, p = 10, q = 25

Protože první koeficient je roven 1, budeme hledat kořeny pomocí vzorce pro výše uvedené rovnice se sudým druhým koeficientem:

Odpovědět: -5.

Příklad 4

X 2 - 7X + 6 = 0

Pojďme určit, čemu se rovnají koeficienty:

A = 1, p = -7, q = 6

Protože první koeficient je roven 1, budeme hledat kořeny podle vzorce pro dané rovnice s lichým druhým koeficientem:

X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Rovnice byly používány člověkem od pradávna a od té doby jejich používání jen narůstalo. Diskriminant umožňuje řešit libovolné kvadratické rovnice pomocí obecného vzorce, který má následující tvar:

Diskriminační vzorec závisí na stupni polynomu. Výše uvedený vzorec je vhodný pro řešení kvadratických rovnic následujícího tvaru:

Diskriminant má následující vlastnosti, které potřebujete vědět:

* "D" je 0, když má polynom více kořenů (stejné kořeny);

* "D" je symetrický polynom s ohledem na kořeny polynomu, a proto je ve svých koeficientech polynom; navíc koeficienty tohoto polynomu jsou celá čísla, bez ohledu na rozšíření, ve kterém jsou kořeny brány.

Předpokládejme, že máme kvadratickou rovnici následujícího tvaru:

1 rovnice

Podle vzorce máme:

Protože \, pak má rovnice 2 kořeny. Pojďme si je definovat:

Kde mohu vyřešit rovnici pomocí diskriminačního online řešitele?

Rovnici můžete vyřešit na našem webu https: //. Bezplatný online řešitel vám umožní vyřešit online rovnici jakékoli složitosti během několika sekund. Jediné, co musíte udělat, je zadat svá data do řešitele. Můžete se také podívat na video návod a naučit se řešit rovnici na našem webu. A pokud máte nějaké dotazy, můžete se jich zeptat v naší skupině Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.

Doufám, že po prostudování tohoto článku se naučíte, jak najít kořeny úplné kvadratické rovnice.

Pomocí diskriminantu se řeší pouze úplné kvadratické rovnice, k řešení neúplných kvadratických rovnic se používají další metody, které najdete v článku "Řešení neúplných kvadratických rovnic".

Které kvadratické rovnice se nazývají úplné? Tohle je rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c se nerovnají nule. Chcete-li vyřešit úplnou kvadratickou rovnici, musíte vypočítat diskriminant D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Podle toho, jakou hodnotu má diskriminant, zapíšeme odpověď.

Pokud je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Pokud je diskriminant nulový, pak x \u003d (-b) / 2a. Když je diskriminant kladné číslo (D > 0),

potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.

Například. řešit rovnici x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odpověď: 2.

Vyřešte rovnici 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 – 4 2 3 \u003d – 23

Odpověď: žádné kořeny.

Vyřešte rovnici 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpověď: - 3,5; jeden.

Představme si tedy řešení úplných kvadratických rovnic podle schématu na obrázku 1.

Tyto vzorce lze použít k řešení jakékoli úplné kvadratické rovnice. Jen je potřeba si dávat pozor rovnice byla zapsána jako polynom standardního tvaru

A x 2 + bx + c, jinak můžete udělat chybu. Například při psaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 se můžete mylně rozhodnout, že

a = 1, b = 3 a c = 2. Potom

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 a pak má rovnice dva kořeny. A to není pravda. (Viz řešení příkladu 2 výše).

Pokud tedy rovnice není zapsána jako polynom standardního tvaru, musí být nejprve úplná kvadratická rovnice zapsána jako polynom standardního tvaru (na prvním místě by měl být monočlen s největším exponentem, tzn. A x 2 , pak s méně – bx a poté volný termín s.

Při řešení výše uvedené kvadratické rovnice a kvadratické rovnice se sudým koeficientem pro druhý člen lze použít i jiné vzorce. Pojďme se s těmito vzorci seznámit. Pokud v úplné kvadratické rovnici s druhým členem je koeficient sudý (b = 2k), pak lze rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 2.

Úplná kvadratická rovnice se nazývá redukovaná, pokud koeficient at x 2 rovná se jednotě a rovnice má tvar x 2 + px + q = 0. Taková rovnice může být dána k řešení, nebo je získána vydělením všech koeficientů rovnice koeficientem A stojící na x 2 .

Obrázek 3 ukazuje schéma řešení zmenšeného čtverce
rovnic. Zvažte příklad použití vzorců popsaných v tomto článku.

Příklad. řešit rovnici

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Vyřešme tuto rovnici pomocí vzorců znázorněných na obrázku 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Odpověď: -1 - √3; –1 + √3

Můžete vidět, že koeficient na x v této rovnici je sudé číslo, to znamená b \u003d 6 nebo b \u003d 2k, odkud k \u003d 3. Pak zkusme rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných na obrázku D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odpověď: -1 - √3; –1 + √3. Všimněte si, že všechny koeficienty v této kvadratické rovnici jsou dělitelné 3 a dělením dostaneme redukovanou kvadratickou rovnici x 2 + 2x - 2 = 0 Tuto rovnici vyřešíme pomocí vzorců pro redukovanou kvadratickou rovnici.
rovnice obrázek 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Odpověď: -1 - √3; –1 + √3.

Jak vidíte, při řešení této rovnice pomocí různých vzorců jsme dostali stejnou odpověď. Po dobrém zvládnutí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 1 můžete vždy vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici.

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Obsah lekce

Co je to kvadratická rovnice a jak ji vyřešit?

Pamatujeme si, že rovnice je rovnost obsahující proměnnou, jejíž hodnotu je třeba najít.

Pokud je proměnná obsažená v rovnici umocněna na druhou mocninu (druhá mocnina), pak se taková rovnice nazývá rovnice druhého stupně nebo kvadratická rovnice.

Například následující rovnice jsou kvadratické:

Řešíme první z těchto rovnic, totiž X 2 − 4 = 0 .

Všechny shodné transformace, které jsme použili při řešení obyčejných lineárních rovnic, lze použít i při řešení čtvercových.

Tedy v rovnici X 2 − 4 = 0 přemístíme člen −4 z levé strany na pravou změnou znaménka:

Mám rovnici X 2 = 4. Již dříve jsme řekli, že rovnice se považuje za vyřešenou, pokud je v jedné části proměnná zapsána v prvním stupni a její koeficient je roven jedné a druhá část je rovna nějakému číslu. To znamená, že k vyřešení rovnice by měla být zmenšena do tvaru x = a, kde A- kořen rovnice.

Máme proměnnou X ještě na druhém stupni, takže v řešení je třeba pokračovat.

K vyřešení rovnice X 2 = 4 , musíte odpovědět na otázku, v jaké hodnotě X levá strana se změní na 4. Samozřejmě pro hodnoty 2 a -2. K odvození těchto hodnot použijeme definici odmocniny.

Číslo b nazývá odmocnina čísla A, pokud b 2 = a a označuje se jako

Nyní máme podobnou situaci. Koneckonců, co je X 2 = 4? Variabilní X v tomto případě je to druhá odmocnina ze 4, protože druhá mocnina X rovná se 4.

Pak to můžeme napsat. Výpočet pravé strany vám umožní zjistit, co se rovná X. Druhá odmocnina má dva významy: pozitivní a negativní. Pak dostaneme X= 2 a X= −2 .

Obvykle to píšou takto: před druhou odmocninu dají znaménko plus-minus a pak najdou. V našem případě ve fázi, kdy je výraz napsán, by měl být znak ± umístěn před

Potom najděte aritmetickou hodnotu druhé odmocniny

Výraz X= ± 2 znamená, že X= 2 a X= -2. Tedy kořeny rovnice X 2 − 4 = 0 jsou čísla 2 a −2 . Napíšeme úplné řešení této rovnice:

V obou případech je levá strana nulová. Takže rovnice je správná.

Pojďme řešit další rovnici. Nechť je potřeba vyřešit kvadratickou rovnici ( X+ 2) 2 = 25

Nejprve analyzujme tuto rovnici. Levá strana je čtvercová a rovná se 25. Jaké číslo na druhou je 25? Samozřejmě čísla 5 a -5

To znamená, že naším úkolem je najít X, pod kterým výraz X+ 2 se bude rovnat číslům 5 a −5 . Napišme tyto dvě rovnice:

Pojďme vyřešit obě rovnice. Jedná se o běžné lineární rovnice, které lze snadno vyřešit:

Takže kořeny rovnice ( X+ 2) 2 = 25 jsou čísla 3 a −7 .

V tomto příkladu, stejně jako v minulosti, můžete použít definici druhé odmocniny. Takže v rovnicích ( X+ 2) 2 = 25 výraz ( X+ 2) je druhá odmocnina z 25. Proto můžeme nejprve napsat, že .

Potom se pravá strana rovná ±5 . Dostanete dvě rovnice: X+ 2 = 5 a X+ 2 = -5. Řešením každé z těchto rovnic samostatně se dostaneme ke kořenům 3 a −7.

Zapišme si úplné řešení rovnice ( X+ 2) 2 = 25

Z uvažovaných příkladů je vidět, že kvadratická rovnice má dva kořeny. Aby se nezapomnělo na nalezené kořeny, proměnná X lze podepsat pomocí indexů. Kořen 3 lze tedy označit jako X 1 a kořen −7 přes X 2

V předchozím příkladu byste to mohli udělat také. Rovnice X 2 − 4 = 0 měl kořeny 2 a −2 . Tyto kořeny lze označit jako X 1 = 2 a X 2 = −2.

Stává se také, že kvadratická rovnice má pouze jeden kořen nebo nemá žádné kořeny. Takové rovnice budeme uvažovat později.

Zkontrolujeme rovnici ( X+ 2) 2 = 25. Dosaďte do něj kořeny 3 a -7. Pokud je pro hodnoty 3 a −7 levá strana rovna 25, znamená to, že rovnice je vyřešena správně:

V obou případech je levá strana 25 . Takže rovnice je správná.

Kvadratická rovnice je uvedena v různých tvarech. Jeho nejběžnější podoba vypadá takto:

sekera 2 + bx + c= 0 ,
kde a, b, c- nějaká čísla X- neznámý.

Tato tzv obecný tvar kvadratické rovnice. V takové rovnici jsou všechny členy shromážděny na společném místě (v jedné části) a druhá část je rovna nule. Jinak se tento typ rovnice nazývá normální tvar kvadratické rovnice.

Nechť je dána rovnice 3 X 2 + 2X= 16. Má proměnnou X zvýšen na druhou mocninu, takže rovnice je kvadratická. Uveďme tuto rovnici do obecného tvaru.

Potřebujeme tedy získat rovnici, která bude rovnici podobná sekera 2 + bx+ C= 0 . K tomu v rovnici 3 X 2 + 2X= 16 posuneme 16 z pravé strany na levou změnou znaménka:

3X 2 + 2X − 16 = 0

Mám rovnici 3X 2 + 2X− 16 = 0 . V této rovnici A= 3 , b= 2 , C= −16 .

V kvadratické rovnici tvaru sekera 2 + bx+ C= 0 čísla A , b a C mají svá vlastní jména. Ano, číslo A nazývaný první nebo vyšší koeficient; číslo b nazývá se druhý koeficient; číslo C nazvaný volný člen.

V našem případě pro rovnici 3X 2 + 2X− 16 = 0 první nebo nejvyšší koeficient je 3; druhý koeficient je číslo 2 ; volným členem je číslo −16 . Existuje další běžný název pro čísla A, b a C — možnosti.

Takže v rovnici 3X 2 + 2X− 16 = 0 parametry jsou čísla 3 , 2 a −16 .

V kvadratické rovnici je žádoucí uspořádat členy tak, aby byly uspořádány ve stejném pořadí jako v normálním tvaru kvadratické rovnice.

Například vzhledem k rovnici −5 + 4X 2 + X= 0 , pak je žádoucí napsat jej v normálním tvaru, tedy ve tvaru sekera 2 + bx + c= 0.

V rovnici −5 + 4X 2 + X = 0 je vidět, že volný termín je -5, měl by být umístěn na konci levé strany. člen 4 X 2 obsahuje vodicí koeficient, musí být umístěn jako první. Člen X respektive bude umístěn na druhém místě:

Kvadratická rovnice může mít různé formy v závislosti na případu. Vše záleží na tom, jaké jsou hodnoty A , b a s .

Pokud koeficienty A , b a C nejsou rovny nule, pak se nazývá kvadratická rovnice kompletní. Například kvadratická rovnice je kompletní 2X 2 + 6X - 8 = 0 .

Pokud je některý z koeficientů roven nule (tedy chybí), pak je rovnice výrazně redukována a nabývá jednodušší podoby. Tato kvadratická rovnice se nazývá neúplný. Například kvadratická rovnice 2 je neúplná X 2 + 6X= 0, má koeficienty A a b(čísla 2 a 6 ), ale není tam žádný volný člen C.

Uvažujme každý z těchto typů rovnic a pro každý z těchto typů definujeme jeho vlastní způsob řešení.

Nechť kvadratickou rovnici 2X 2 + 6X - 8 = 0 . V této rovnici A= 2 , b= 6 , C= -8. Pokud b nastavte rovno nule, pak rovnice bude mít tvar:

Vyšla rovnice 2 X 2 − 8 = 0 . Abychom to vyřešili, přesuneme −8 na pravou stranu a změníme znaménko:

2X 2 = 8

Pro další zjednodušení rovnice použijeme dříve studované identické transformace. V tomto případě můžete obě části rozdělit na 2

Máme rovnici, kterou jsme vyřešili na začátku této lekce. K vyřešení rovnice X 2 \u003d 4, měli byste použít definici druhé odmocniny. Pokud X 2 = 4, pak . Odtud X= 2 a X= −2 .

Takže kořeny rovnice 2 X 2 − 8 = 0 jsou čísla 2 a −2 . Napíšeme úplné řešení této rovnice:

Udělejme kontrolu. Do původní rovnice dosadíme kořeny 2 a −2 a provedeme příslušné výpočty. Pokud je pro hodnoty 2 a −2 levá strana rovna nule, znamená to, že rovnice je vyřešena správně:

V obou případech je levá strana rovna nule, což znamená, že rovnice je vyřešena správně.

Rovnice, kterou jsme nyní vyřešili, je neúplná kvadratická rovnice. Název mluví sám za sebe. Pokud kompletní kvadratická rovnice vypadá takto sekera 2 + bx+ C= 0 , poté vytvořte koeficient b nula je neúplná kvadratická rovnice sekera 2 + C= 0 .

Také jsme nejprve měli úplnou kvadratickou rovnici 2X 2 + 6X− 4 = 0 . Ale udělali jsme poměr b nula, tedy místo čísla 6 dejte 0 . V důsledku toho se rovnice změnila v neúplnou kvadratickou rovnici 2 X 2 − 4 = 0 .

Na začátku této lekce jsme vyřešili kvadratickou rovnici X 2 − 4 = 0 . Je to také rovnice tvaru sekera 2 + C= 0, tedy neúplné. V něm A= 1 , b= 0 , s= −4 .

Také kvadratická rovnice bude neúplná, pokud koeficient C rovná se nule.

Uvažujme úplnou kvadratickou rovnici 2X 2 + 6X - 4 = 0 . Udělejme koeficient C nula. To znamená, že místo čísla 4 vložte 0

Mám kvadratickou rovnici 2 X 2 + 6X=0, což je neúplné. Chcete-li vyřešit takovou rovnici, proměnná X vyjmout ze závorek:

Ukázalo se rovnice X(2X+ 6) = 0, ve kterém se má najít X, při kterém se levá strana rovná nule. Všimněte si, že v této rovnici jsou výrazy X a 2 X+ 6) jsou faktory. Jedna z vlastností násobení říká, že součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule (buď první nebo druhý).

V našem případě bude dosaženo rovnosti, pokud X se bude rovnat nule nebo (2 X+ 6) se bude rovnat nule. Začněme tím, že napíšeme toto:

Existují dvě rovnice: X= 0 a 2 X+ 6 = 0. První rovnici není třeba řešit – již byla vyřešena. To znamená, že první kořen je nula.

Abychom našli druhý kořen, vyřešíme rovnici 2 X+ 6 = 0. Toto je jednoduchá lineární rovnice, kterou lze snadno vyřešit:

Vidíme, že druhý kořen je −3.

Takže kořeny rovnice 2 X 2 + 6X= 0 jsou čísla 0 a −3 . Napíšeme úplné řešení této rovnice:

Udělejme kontrolu. Do původní rovnice dosadíme kořeny 0 a −3 a provedeme příslušné výpočty. Pokud je pro hodnoty 0 a −3 levá strana rovna nule, znamená to, že rovnice je vyřešena správně:

Dalším případem je, když čísla b a s se rovnají nule. Uvažujme úplnou kvadratickou rovnici 2X 2 + 6X− 4 = 0 . Udělejme koeficienty b a C nuly. Pak rovnice ahoj je:

Mám rovnici 2 X 2 = 0. Levá strana je součin a pravá strana je nula. Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. To je zřejmé X= 0. Ve skutečnosti 2 × 0 2 = 0 . Proto 0 = 0. Pro jiné hodnoty X rovnosti nebude dosaženo.

Jednoduše řečeno, pokud v kvadratické rovnici tvaru sekera 2 + bx+ C= 0 čísla b a s jsou rovny nule, pak je kořen takové rovnice roven nule.

Všimněte si, že když fráze " b je nula"nebo" c je nula “, pak se rozumí, že parametry b nebo C vůbec není zahrnuto v rovnici.

Pokud je například uvedena rovnice 2 X 2 − 32 = 0 , pak to říkáme b= 0. Protože ve srovnání s úplnou rovnicí sekera 2 + bx+ C= 0 , je vidět, že v rovnici 2 X 2 − 32 = 0 existuje vedoucí koeficient A, rovné 2; je zde zachycení -32; ale žádný koeficient b .

Nakonec zvažte úplnou kvadratickou rovnici sekera 2 + bx+ C= 0 . Jako příklad vyřešme kvadratickou rovnici X 2 − 2X+ 1 = 0 .

Takže musíme najít X, při kterém se levá strana rovná nule. Použijme identické transformace studované dříve.

Nejprve si všimněte, že levá strana rovnice je . Pokud si pamatujeme jak , dostaneme se na levou stranu ( X− 1) 2 .

Hádáme se dál. Levá strana je čtvercová a rovná se nule. Jaké druhé číslo je nula? Pochopitelně jen 0. Naším úkolem je tedy najít X, u kterého výraz X− 1 se rovná nule. Řešením nejjednodušší rovnice X− 1 = 0 , můžete zjistit, co se rovná X

Stejného výsledku lze dosáhnout použitím druhé odmocniny. V rovnici ( X− 1) 2 = 0 výraz ( X− 1) je druhá odmocnina z nuly. Pak se to dá napsat . V tomto příkladu nemusíte psát znaménko ± před kořen, protože odmocnina nuly má pouze jednu hodnotu - nulu. Pak se to ukáže X− 1 = 0 . Odtud X= 1 .

Takže kořen rovnice X 2 − 2X+ 1 = 0 je jednotka. Tato rovnice nemá žádné další kořeny. V tomto případě jsme vyřešili kvadratickou rovnici, která má pouze jeden kořen. To se také stává.

Jednoduché rovnice nejsou vždy dány. Vezměme si například rovnici X 2 + 2X− 3 = 0 .

V tomto případě již levá strana není druhou mocninou součtu nebo rozdílu. Proto je třeba hledat jiná řešení.

Všimněte si, že levá strana rovnice je kvadratický trinom. Pak můžeme zkusit vybrat celý čtverec z této trojčlenky a uvidíme, co nám to dá.

Vybereme celý čtverec ze čtvercového trinomu umístěného na levé straně rovnice:

Ve výsledné rovnici převedeme −4 na pravou stranu změnou znaménka:

Nyní použijeme druhou odmocninu. V rovnici ( X+ 1) 2 = 4 výraz ( X+ 1) je druhá odmocnina ze 4. Pak se to dá napsat . Výpočet pravé strany dá výraz X+ 1 = ±2. Z toho dostaneme dvě rovnice: X+ 1 = 2 a X+ 1 = −2, jehož kořeny jsou čísla 1 a −3

Takže kořeny rovnice X 2 + 2X− 3 = 0 jsou čísla 1 a -3 .

Pojďme zkontrolovat:

Příklad 3. řešit rovnici X 2 − 6X+ 9 = 0 , výběrem celého čtverce.

Takže kořen rovnice X 2 − 6X+ 9 = 0 je 3. Zkontrolujeme:

Příklad 4 4X 2 + 28X− 72 = 0 , zvýraznění celého čtverce:

Vyberte celý čtverec z levé strany:

Posuňme −121 z levé strany na pravou stranu a změňme znaménko:

Použijeme odmocninu:

Máme dvě jednoduché rovnice: 2 X+ 7 = 11 a 2 X+ 7 = -11. Pojďme je vyřešit:

Příklad 5. řešit rovnici 2X 2 + 3X− 27 = 0

Tato rovnice je trochu složitější. Když vybereme celý čtverec, reprezentujeme první člen čtvercového trinomu jako čtverec nějakého výrazu.

Takže v předchozím příkladu byl první člen rovnice 4 X 2. Může být reprezentován jako čtverec výrazu 2 X, tj (2X) 2 = 2 2 X 2 = 4X 2 . Chcete-li ověřit, že je to správné, můžete vzít druhou odmocninu výrazu 4 X 2. Toto je druhá odmocnina součinu – rovná se součinu odmocnin:

V rovnici 2X 2 + 3X− 27 = 0 prvním členem je 2 X 2. Nemůže být reprezentován jako čtverec jakéhokoli výrazu. Protože neexistuje číslo, jehož druhá mocnina je 2. Pokud by takové číslo existovalo, pak by toto číslo bylo odmocninou z čísla 2. Ale odmocnina z čísla 2 je extrahována pouze přibližně. A přibližná hodnota není vhodná pro znázornění čísla 2 jako čtverce.

Pokud se obě části původní rovnice vynásobí nebo vydělí stejným číslem, získá se rovnice ekvivalentní té původní. Toto pravidlo platí i pro kvadratickou rovnici.

Pak můžeme obě strany naší rovnice vydělit 2. Tím se zbavíte dvojky předtím X 2, který nám později dá možnost vybrat celý čtverec:

Přepište levou stranu jako tři zlomky se jmenovatelem 2

První zlomek zmenšíme o 2. Zbývající členy levé strany přepíšeme beze změn. Pravá strana bude stále nulová:

Vybereme celý čtverec.

Když je člen reprezentován jako dvojitý součin, výskyt faktoru 2 by vedl k tomu, že by se tento faktor a jmenovatel zlomku snížily. Aby k tomu nedošlo, byl zdvojnásobený součin vynásoben. Při výběru celého čtverce byste se měli vždy snažit zajistit, aby se nezměnila hodnota původního výrazu.

Sbalíme výsledný plný čtverec:

Zde jsou podobní členové:

Posuňte zlomek na pravou stranu změnou znaménka:

Použijme odmocninu. Výraz je druhá odmocnina čísla

Pro výpočet pravé strany použijeme pravidlo extrakce:

Pak bude mít naše rovnice tvar:

Dostaneme dvě rovnice:

Pojďme je vyřešit:

Takže kořeny rovnice 2X 2 + 3X− 27 = 0 jsou čísla 3 a .

Vhodnější je ponechat kořen v této podobě, bez dělení čitatele jmenovatelem. To usnadní kontrolu.

Udělejme kontrolu. Nalezené kořeny dosadíme do původní rovnice:

V obou případech je levá strana rovna nule, takže rovnice 2X 2 + 3X− 27 = 0 rozhodl správně.

Řešení rovnice 2X 2 + 3X− 27 = 0 , hned na začátku jsme obě jeho části vydělili 2 . V důsledku toho byla získána kvadratická rovnice, ve které byl koeficient před X 2 se rovná jedné:

Tento druh kvadratické rovnice se nazývá redukovaná kvadratická rovnice.

Libovolná kvadratická rovnice tvaru sekera 2 + bx+ C= 0 lze snížit. K tomu je potřeba vydělit obě jeho části koeficientem, který se nachází před x². V tomto případě obě strany rovnice sekera 2 + bx+ C= 0 je třeba rozdělit na A

Příklad 6. Vyřešte kvadratickou rovnici 2X 2 + X+ 2 = 0

Pojďme tuto rovnici zredukovat:

Vyberme celý čtverec:

Mám rovnici , ve kterém je druhá mocnina výrazu rovna zápornému číslu. To nemůže být, protože druhá mocnina jakéhokoli čísla nebo výrazu je vždy kladná.

Proto žádný takový neexistuje X, u kterého by se levá strana rovnala . Takže rovnice nemá kořeny.

A od rovnice je ekvivalentní původní rovnici 2X 2 + X+ 2 = 0 , pak to (původní rovnice) nemá kořeny.

Vzorce pro kořeny kvadratické rovnice

Výběr plného čtverce pro každou řešenou kvadratickou rovnici není příliš pohodlný.

Je možné vytvořit univerzální vzorce pro řešení kvadratických rovnic? Ukazuje se, že můžete. Nyní se budeme zabývat tímto.

Na základě doslovné rovnice sekera 2 + bx+ C= 0 a po provedení některých identických transformací můžeme získat vzorce pro odvození kořenů kvadratické rovnice sekera 2 + bx+ C= 0 . Do těchto vzorců lze dosadit koeficienty A , b , s a získat řešení.

Vybereme tedy celý čtverec z levé strany rovnice sekera 2 + bx+ C= 0. Nejprve zredukujeme tuto rovnici. Rozdělme obě části na A

Nyní ve výsledné rovnici vybereme celý čtverec:

Přeneseme termíny a na pravou stranu změnou znaménka:

Přiveďme pravou stranu ke společnému jmenovateli. Zlomky složené z písmen vedou ke společnému jmenovateli. To znamená, že jmenovatel prvního zlomku se stane dodatečným faktorem druhého zlomku a jmenovatel druhého zlomku se stane dodatečným faktorem prvního zlomku:

V čitateli na pravé straně vyjmeme závorky A

Zkrátíme pravou stranu o A

Protože všechny transformace byly totožné, výsledná rovnice má stejné kořeny jako původní rovnice sekera 2 + bx+ C= 0.

Rovnice bude mít kořeny pouze v případě, že pravá strana je větší nebo rovna nule. Je to proto, že kvadratura se provádí na levé straně a druhá mocnina libovolného čísla je kladná nebo rovna nule (pokud je nula na druhou mocninu tohoto čtverce). A čemu se bude rovnat pravá strana, závisí na tom, co bude dosazeno místo proměnných A , b a C .

Protože pro jakoukoli A nerovná se nule, jmenovatel pravé strany rovnice bude vždy kladné, pak bude znaménko zlomku záviset na znaménku jeho čitatele, tedy na výrazu b 2 − 4ac .

Výraz b 2 − 4ac volala diskriminant kvadratické rovnice. Diskriminant je latinské slovo, které znamená rozlišovač . Diskriminant kvadratické rovnice se značí písmenem D

D = b 2 − 4ac

Diskriminant vám umožňuje předem vědět, zda má rovnice kořeny nebo ne. V předchozí úloze jsme tedy rovnici dlouho řešili 2X 2 + X+ 2 = 0 a ukázalo se, že nemá kořeny. Diskriminant by nám umožnil předem vědět, že neexistují žádné kořeny. V rovnici 2X 2 + X+ 2 = 0 šance a, b a C jsou 2, 1 a 2, v tomto pořadí. Dosaďte je do vzorce D = b 2 −4ac

D = b 2 − 4ac= 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

To vidíme D(to je b 2 − 4ac) je záporné číslo. Pak nemá smysl rovnici řešit 2X 2 + X+ 2 = 0, výběrem celého čtverce v něm, protože když se dostaneme k rovnici tvaru , ukazuje se, že pravá strana je menší než nula (kvůli zápornému diskriminantu). A druhá mocnina čísla nemůže být záporná. Proto tato rovnice nemá kořeny.

Je jasné, proč starověcí lidé uvažovali o tomto výrazu b 2 − 4ac rozlišovač. Tento výraz, stejně jako indikátor, umožňuje rozlišovat mezi rovnicí s kořeny a rovnicí bez kořenů.

Tak, D rovná se b 2 − 4ac. Dosaďte v rovnici místo výrazu b 2 − 4ac dopis D

Pokud je diskriminant původní rovnice menší než nula ( D< 0) , то уравнение примет вид:

V tomto případě se říká, že původní rovnice nemá žádné kořeny, protože druhá mocnina žádného čísla nesmí být záporná.

Pokud je diskriminant původní rovnice větší než nula ( D> 0), pak rovnice bude mít tvar:

V tomto případě bude mít rovnice dva kořeny. K jejich odvození použijeme druhou odmocninu:

Mám rovnici . Z toho dostaneme dvě rovnice: a . Vyjádřit X v každé z rovnic:

Výsledné dvě rovnosti jsou univerzální vzorce pro řešení kvadratické rovnice sekera 2 + bx+ C= 0. Se nazývají vzorce kořenů kvadratické rovnice.

Nejčastěji jsou tyto vzorce označovány jako X 1 a X 2. To znamená, že pro výpočet prvního kořene se použije vzorec s indexem 1; odvodit druhý kořen - vzorec s indexem 2. Označme naše vzorce stejným způsobem:

Pořadí, ve kterém jsou vzorce aplikovány, není důležité.

Řešme například kvadratickou rovnici X 2 + 2X− 8 = 0 pomocí vzorců kořenů kvadratické rovnice. Koeficienty této kvadratické rovnice jsou čísla 1, 2 a -8. Tj, A= 1 , b= 2 , C= −8 .

Než použijete vzorce pro kořeny kvadratické rovnice, musíte najít diskriminant této rovnice.

Pojďme najít diskriminant kvadratické rovnice. K tomu použijeme vzorec D = b 2 − 4 ac. Místo proměnných a, b a C budeme mít koeficienty rovnice X 2 + 2X− 8 = 0

D = b 2 − 4ac= 2 2 − 4 × 1 × (-8) = 4 + 32 = 36

Diskriminant je větší než nula. Rovnice má tedy dva kořeny. Nyní můžete použít vzorce kořenů kvadratické rovnice:

Takže kořeny rovnice X 2 + 2X− 8 = 0 jsou čísla 2 a -4 . Kontrola, zda jsou kořeny nalezeny správně:

Nakonec zvažte případ, kdy je diskriminant kvadratické rovnice roven nule. Vraťme se k rovnici. Pokud je diskriminant nulový, pak pravá strana rovnice bude mít tvar:

A v tomto případě bude mít kvadratická rovnice pouze jeden kořen. Použijeme odmocninu:

Toto je další vzorec pro odvození odmocniny. Zvažme jeho aplikaci. Dříve jsme řešili rovnici X 2 − 6X+ 9 = 0 , který má jednu odmocninu 3. Vyřešili jsme to výběrem celého čtverce. Nyní zkusme řešit pomocí vzorců.

Pojďme najít diskriminant kvadratické rovnice. V této rovnici A= 1 , b= −6 , C= 9. Pak podle diskriminačního vzorce máme:

D = b 2 − 4ac= (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Diskriminant je nula ( D= 0). To znamená, že rovnice má pouze jeden kořen a počítá se podle vzorce

Takže kořen rovnice X 2 − 6X+ 9 = 0 je číslo 3.

Pro kvadratickou rovnici, která má jeden kořen, platí také vzorce a . Ale použití každého z nich poskytne stejný výsledek.

Aplikujme tyto dva vzorce na předchozí rovnici. V obou případech dostaneme stejnou odpověď 3

Pokud má kvadratická rovnice pouze jeden kořen, pak je vhodné použít vzorec, nikoli vzorce a . To šetří čas a prostor.

Příklad 3. řešit rovnici 5X 2 − 6X+ 1 = 0

Takže kořeny rovnice 5X 2 − 6X+ 1 = 0 jsou čísla 1 a .

Odpovědět: 1; .

Příklad 4. řešit rovnici X 2 + 4X+ 4 = 0

Pojďme najít diskriminant kvadratické rovnice:

Diskriminant je nula. Rovnice má tedy pouze jeden kořen. Vypočítá se podle vzorce

Takže kořen rovnice X 2 + 4X+ 4 = 0 je číslo -2.

Odpověď: -2.

Příklad 5. řešit rovnici 3X 2 + 2X+ 4 = 0

Pojďme najít diskriminant kvadratické rovnice:

Diskriminant je menší než nula. Takže tato rovnice nemá kořeny.

Odpovědět: bez kořenů.

Příklad 6. řešit rovnici (X+ 4) 2 = 3X+ 40

Uveďme tuto rovnici do normálního tvaru. Na levé straně je druhá mocnina součtu dvou výrazů. Pojďme si to rozebrat:

Přesuňme všechny pojmy z pravé strany na levou změnou jejich znamének. Nula zůstane na pravé straně:

Diskriminant je větší než nula. Rovnice má tedy dva kořeny. Použijme vzorce kořenů kvadratické rovnice:

Takže kořeny rovnice (X+ 4) 2 = 3X+ 40 jsou čísla 3 a -8 .

Odpovědět: 3; −8.

Příklad 7. řešit rovnici

Vynásobte obě strany této rovnice 2. To nám umožní zbavit se zlomku na levé straně:

Ve výsledné rovnici převedeme změnou znaménka 22 z pravé strany na levou. 0 zůstane na pravé straně

Zde jsou podobné výrazy na levé straně:

Ve výsledné rovnici najdeme diskriminant:

Diskriminant je větší než nula. Rovnice má tedy dva kořeny. Použijme vzorce kořenů kvadratické rovnice:

Takže kořeny rovnice jsou čísla 23 a -1 .

Odpovědět: 23; −1.

Příklad 8. řešit rovnici

Vynásobte obě části nejmenším společným násobkem jmenovatelů obou zlomků. Tím se zbavíte zlomků v obou částech. Nejmenší společný násobek 2 a 3 je 6 . Pak dostaneme:

Ve výsledné rovnici otevřete závorky v obou částech:

Nyní přeneseme všechny pojmy z pravé strany na levou a změníme jejich znaménka. 0 zůstane na pravé straně

Zde jsou podobné výrazy na levé straně:

Ve výsledné rovnici najdeme diskriminant:

Diskriminant je větší než nula. Rovnice má tedy dva kořeny. Použijme vzorce kořenů kvadratické rovnice:

Takže kořeny rovnice jsou čísla a 2.

Příklady řešení kvadratických rovnic

Příklad 1. řešit rovnici X 2 = 81

Toto je nejjednodušší kvadratická rovnice, ve které musíte určit číslo, jehož druhá mocnina je 81. Jsou to čísla 3 a −3. K jejich odvození použijeme druhou odmocninu:

Odpovědět: 9, −9 .

Příklad 2. řešit rovnici X 2 − 9 = 0

Toto je neúplná kvadratická rovnice. Chcete-li to vyřešit, musíte posunout výraz −9 na pravou stranu změnou znaménka. Pak dostaneme:

Odpovědět: 3, −3.

Příklad 3. řešit rovnici X 2 − 9X= 0

Toto je neúplná kvadratická rovnice. Chcete-li to vyřešit, musíte nejprve vyjmout X pro závorky:

Levá strana rovnice je součin. Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule.

Levá strana bude rovna nule, pokud je oddělená X je nula, nebo pokud výraz X− 9 se rovná nule. Získáte dvě rovnice, z nichž jedna již byla vyřešena:

Odpovědět: 0, 9 .

Příklad 4. řešit rovnici X 2 + 4X− 5 = 0

Toto je úplná kvadratická rovnice. Lze ji řešit metodou výběru plného čtverce nebo pomocí vzorců kořenů kvadratické rovnice.

Vyřešme tuto rovnici pomocí vzorců. Nejprve najdeme diskriminant:

D= b 2 − 4ac= 4 2 − 4 × 1 × (-5) = 16 + 20 = 36

Diskriminant je větší než nula. Rovnice má tedy dva kořeny. Pojďme si je spočítat:

Odpovědět: 1, −5 .

Příklad 5. řešit rovnici

Vynásobme oba díly 5, 3 a 6. Tím se zbavíme zlomků v obou dílech:

Ve výsledné rovnici převedeme změnou znaménka všechny členy z pravé strany na levou. Nula zůstane na pravé straně:

Zde jsou podobní členové:

Odpovědět: 5 , .

Příklad 6. řešit rovnici X 2 = 6

V tomto příkladu, protože potřebujete použít druhou odmocninu:

Odmocnina ze 6 se však nebere. Extrahuje se pouze přibližně. Kořen lze extrahovat s určitou přesností. Rozeberme to na nejbližší setinu:

Ale nejčastěji je kořen ponechán jako radikál:

Odpovědět:

Příklad 7. řešit rovnici (2X+ 3) 2 + (X− 2) 2 = 13

Otevřeme závorky na levé straně rovnice:

Ve výsledné rovnici přeneseme 13 z pravé strany na levou stranu a změníme znaménko. Pak dáme podobné členy:

Dostali jsme neúplnou kvadratickou rovnici. Pojďme to vyřešit:

Odpovědět: 0 , −1,6 .

Příklad 8. řešit rovnici (5 + 7X)(4 − 3X) = 0

Tuto rovnici lze řešit dvěma způsoby. Podívejme se na každou z nich.

První způsob. Rozbalte závorky a získejte normální tvar kvadratické rovnice.

Rozbalíme závorky:

Zde jsou podobní členové:

Výslednou rovnici přepíšeme tak, že člen s nejvyšším koeficientem je na prvním místě, člen s druhým koeficientem na druhém a volný člen na třetím:

Aby byl vedoucí člen kladný, vynásobíme obě strany rovnice −1. Pak všechny členy rovnice změní svá znaménka na opak:

Výslednou rovnici řešíme pomocí vzorců kořenů kvadratické rovnice:

Druhý způsob. Najít hodnoty X, pro které jsou faktory na levé straně rovnice rovny nule. Tato metoda je pohodlnější a mnohem kratší.

Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. V tomto případě rovnost v rovnici (5 + 7X)(4 − 3X) = 0 bude dosaženo, pokud výraz (5 + 7 X) se rovná nule, neboli výraz (4 − 3 X) je nula. Naším úkolem je zjistit, pod čím X stalo se to:

Příklady řešení problémů

Představte si, že bylo nutné postavit malou místnost o ploše 8 m 2. V tomto případě by délka místnosti měla být dvojnásobkem její šířky. Jak určit délku a šířku takové místnosti?

Udělejme přibližný nákres této místnosti, který znázorňuje pohled shora:

Označte šířku místnosti skrz X. A délka místnosti po 2 X, protože podle stavu problému by délka měla být dvojnásobkem šířky. Násobitel je 2 a bude splňovat tento požadavek:

Povrch místnosti (její podlaha) je obdélník. Chcete-li vypočítat plochu obdélníku, vynásobte délku obdélníku jeho šířkou. Pojďme na to:

2X × X

Podle stavu problému by plocha měla být 8 m 2. Takže výraz 2 X× X by se mělo rovnat 8

2X × X = 8

Mám rovnici. Pokud to vyřešíte, můžete zjistit délku a šířku místnosti.

První věc, kterou můžete udělat, je provést násobení na levé straně rovnice:

2X 2 = 8

Výsledkem této transformace je proměnná X přesunuta na druhý stupeň. A řekli jsme, že pokud je proměnná obsažená v rovnici umocněna na druhou mocninu (na druhou), pak je taková rovnice rovnicí druhého stupně nebo kvadratická rovnice.

K řešení naší kvadratické rovnice používáme dříve studované identické transformace. V tomto případě můžete obě části rozdělit na 2

Nyní použijeme druhou odmocninu. Pokud X 2 = 4, pak . Odtud X= 2 a X= −2 .

Přes X byla uvedena šířka místnosti. Šířka nesmí být záporná, takže se bere v úvahu pouze hodnota 2. To se často stává při řešení úloh, ve kterých se používá kvadratická rovnice. V odpovědi jsou získány dva kořeny, ale pouze jeden z nich splňuje podmínku problému.

A délka byla označena 2 X. Význam X nyní známý, dosaďte ho do výrazu 2 X a vypočítat délku:

2X= 2 × 2 = 4

Délka je tedy 4 m a šířka 2 m. Toto řešení splňuje stav problému, protože plocha místnosti je 8 m 2

4 × 2 = 8 m2

Odpovědět: Délka místnosti je 4m a šířka je 2m.

Příklad 2. Zahradní pozemek ve tvaru obdélníku, jehož jedna strana je o 10 m delší než druhá, je potřeba ohradit plotem. Určete délku plotu, pokud je známo, že plocha pozemku je 1200 m 2

Rozhodnutí

Délka obdélníku je obvykle větší než jeho šířka. Nechte šířku pozemku X metry a délka ( X+ 10) metrů. Plocha pozemku je 1200 m 2 . Vynásobte délku úseku jeho šířkou a rovnejte se 1200, dostaneme rovnici:

X(X+ 10) = 1200

Pojďme vyřešit tuto rovnici. Nejprve otevřete závorky na levé straně:

Změnou znaménka se posuneme o 1200 z pravé strany na levou. 0 zůstane na pravé straně

Výslednou rovnici řešíme pomocí vzorců:

Navzdory skutečnosti, že kvadratická rovnice má dva kořeny, bereme v úvahu pouze hodnotu 30. Protože šířku nelze vyjádřit jako záporné číslo.

Takže skrz X byla vyznačena šířka oblasti. Je rovných třicet metrů. A délka byla označena výrazem X+ 10. Dosaďte do něj nalezenou hodnotu X a vypočítat délku:

X

Líbila se vám lekce?
Připojte se k naší nové skupině Vkontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce