Zaznamenává označení "bodový součin vektorů". Tečkový součin vektorů Otestujte 6 bodových součinů vektorů

24. Pojďme si tuto funkci zjednodušit. Podle Vietovy věty najdeme kořeny čtvercového trojčlenu x 2 -x-6(x 1 = -2 , x 2 = 3 ), rozšiřujeme jmenovatele zlomku na lineární faktory (x-3) (x + 2) a zlomek zrušte do (x-3)... Najděte antiderivaci H (x) výsledná funkce 1 / (x + 2).

25. Hrát bude tedy 126 hráčů 63 hry, z nichž 63 účastníků se kvalifikuje jako vítězové ve druhém kole. Celkem bude ve druhém kole bojovat 63 + 1 = 64 účastníků. Budou hrát 32 her, tedy dalších 32 výherců, kteří budou hrát 16 hry. Hrát bude 16 výherců 8 hry, bude hrát 8 výherců 4 hry. Hrát budou čtyři vítězové 2 hry a nakonec budou muset hrát dva vítězové poslední hra... Počítáme zápasy: 63+32+16+8+4+2+1=126.

Tento test s automatizovaným ověřením odpovědi lze použít ve třídě středně pokročilých, zobecňujících nebo konečných kontrol znalostí studentů. Aby test fungoval správně, musíte nastavit nízkou úroveň zabezpečení (service-macro-security).

Stažení:

Náhled:

https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Možnost 1 Byla použita šablona pro vytváření testů v PowerPoint MCOU „Pogorelskaya Secondary School“ Koshcheev MM.

Možnost 1 b) tupý a) akutní c) rovný

Možnost 1 c) se rovná nule a) větší než nula b) menší než nula

Možnost 1 b) -½ ∙ a² c) ½ ∙ a²

Možnost 1 4. D ABC - čtyřstěn, AB = BC = AC = A D = BD = CD. Pak není pravda, že….

Možnost 1 5. Které prohlášení je správné?

Možnost 1 b) a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ c) a ₁ b ₂ b ₃ + b ₁ a ₂ b ₃ + b ₁ b ₂ a ₃ a) a ₁а₂а₃ + b ₁ b ₂ b ₃

Možnost 1 b) - a ² a) 0 c) a²

Možnost 1 a) a b) o

Možnost 1

Možnost 1 a) 7 c) -7 b) -9

Možnost 1 b) -4 a) 4 c) 2

Možnost 1 b) 120 ° a) 90 ° c) 60 °

Možnost 1 c) 0,7 a) -0,7 b) 1 13. Souřadnice bodů jsou uvedeny: A (1; -1; -4), B (-3; -1; 0), C (-1; 2 ; 5), D (2; -3; 1). Potom je kosinus úhlu mezi přímkami AB a CD roven ……

Možnost 1 c) 4

Náhled:

Chcete -li použít náhled prezentací, vytvořte si účet Google (účet) a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Varianta 2 Byla použita šablona pro vytváření testů v PowerPoint MCOU „Pogorelskaya Secondary School“ Koshcheev MM

Výsledek testu Správně: 14 Chyby: 0 Známka: 5 Čas: 1 min. 40 s ještě opravit

Možnost 2 a) akutní b) tupá c) rovná

Možnost 2 a) je větší než nula c) se rovná nule b) je menší než nula

Možnost 2 b) -½ ∙ a² a) ½ ∙ a²

Možnost 2 4. АВСА "В₁С" - hranol,

Možnost 2 5. Které prohlášení je správné?

Možnost 2 a) m ₁ n ₁ + m ₂ n ₂ + m ₃ n ₃ c) m ₁ m ₂ m ₃ + n ₁ n ₂ n ₃ b) (n ₁- m ₁) ² + (n ₂- m ₂ ) ² + (n ₃- m ₃) ²

Možnost 2 c) - a ² a) 0 b) a²

Možnost 2 a) o c) a²

Možnost 2

Možnost 2 b) 3 c) -3 a) 19

Možnost 2 a) - 0,5 b) -1 c) 0,5

Možnost 2 b) 6 0 ° a) 90 ° c) 12 0 °

Možnost 2 a) 0,7 c) -0,7 b) 1 13. Souřadnice bodů jsou uvedeny: C (3; - 2; 1), D ( - 1; 2; 1), M (2; -3; 3 ), N (-1; 1; -2). Potom je kosinus úhlu mezi přímkami CD a MN roven ……

Možnost 2 c) 4

Klíče k testu: Vektorový bodový produkt. Možnost 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl. b c b c a b b a c a b b c b Reference G.I. Kovaleva, N.I. Geometrie Mazurova 10-11. Testy aktuální a generalizované kontroly. Nakladatelství "Učitel", 2009 Možnost 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl. a a b b b a c a c b a b a b

Tečkovaný produkt A  b dva nenulové vektory A a b je číslo rovnající se součinu délek těchto vektorů kosinusem úhlu mezi nimi. Pokud je alespoň jeden z těchto vektorů roven nule, skalární součin se rovná nule. Podle definice tedy máme

kde  je úhel mezi vektory A a b .

Tečkový součin vektorů A , b také označeno symboly ab .

Znak bodového součinu je určen hodnotou :

pokud 0    pak A  b  0,

-li    , pak A  b  0.

Tečkový součin je definován pouze pro dva vektory.

Operace s vektory ve formě souřadnic

Zapojte souřadnicový systém Ooh dané vektory A = (X 1 ; y 1) = X 1 já + y 1 j a b = (X 2 ; y 2) = X 2 já + y 2 j .

1. Každá souřadnice součtu dvou (nebo více) vektorů se rovná součtu odpovídajících souřadnic vektorových součtů, tj. A + b = = (X 1 + X 2 ; y 1 + y 2).

2. Každá souřadnice rozdílu dvou vektorů se rovná rozdílu odpovídajících souřadnic těchto vektorů, tj. A – b = (X 1 – X 2 ; y 1 – y 2).

3. Každá souřadnice součinu vektoru a čísla  se rovná součinu odpovídající souřadnice tohoto vektoru o , to znamená  ale = ( NS 1 ;  v 1).

4. Skalární součin dvou vektorů se rovná součtu součinů odpovídajících souřadnic těchto vektorů, tj. A  b = X 1  X 2 + + y 1  y 2 .

Následek. Délka vektoru ale = (X; y) se rovná druhé odmocnině součtu druhých mocnin jeho souřadnic, tj.

=
(5)

Příklad 4. Dané vektory
b = 3já – j .

Požadované:

1. Najděte

2. Najděte bodový součin vektorů s , d .

3. Najděte délku vektoru s .

Řešení

1. Podle vlastnosti 3 najdeme souřadnice vektorů 2 ale , –ale , 3b , 2b : 2ale = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –ale = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

Podle vlastností 2, 1 najdeme souřadnice vektorů s , d : s = 2A – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –A + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. Podle majetku 4 CD = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. Důsledkem vlastnictví 4 | s | =
=
.

Test 3 . Určete vektorové souřadnice ale + b , pokud ale = (–3; 4), b = = (5; –2):

Test 4. Určete vektorové souřadnice ale – b , pokud ale = (2; –1), b = = (3; –4):

Test 5 . Najděte souřadnice vektoru 3 ale , pokud ale = (2; –1):

Test 6 . Najděte bodový produkt A , b vektory ale = (1; –4), b = (–2; 3):

Test 7 . Najděte délku vektoru ale = (–12; 5):

3)
;

Odpovědi na testovací úkoly

1.3. Prvky analytické geometrie v prostoru

Pravoúhlý souřadnicový systém v prostoru se skládá ze tří vzájemně kolmých souřadnicových os, které se protínají ve stejném bodě (počátek 0) a mají směr, stejně jako jednotka měřítka podél každé osy (obrázek 17).

Obrázek 17

Bodová poloha M v rovině je jednoznačně určena třemi čísly - jeho souřadnicemi M(NS T ; v T ; z T), kde NS T- úsečka, v T- ordinát, z T- aplikovat.

Každý z nich udává vzdálenost od bodu M do jedné ze souřadnicových rovin se znaménkem, které bere v úvahu, na které straně této roviny se bod nachází: zda se bere ve směru kladného nebo záporného směru třetí osy.

Tři roviny souřadnic rozdělují prostor na 8 částí (oktanty).

Vzdálenost mezi dvěma body A(NS ALE ; v ALE ; z ALE) a B(NS V ; v V ; z V) se vypočítá podle vzorce

Dané body A(NS 1 ; v 1 ; z 1) a B(NS 2 ; v 2 ; z 2). Pak souřadnice bodu S(NS; v; z) rozdělení segmentu
ve vztahu k, jsou vyjádřeny následujícími vzorci:

Příklad 1 . Najděte vzdálenost AB, pokud ALE(3; 2; –10) a V(–1; 4; –5).

Řešení

Vzdálenost AB vypočteno podle vzorce

Množina všech bodů, jejichž souřadnice splňují rovnici se třemi proměnnými, tvoří určitý povrch.

Množina bodů, jejichž souřadnice splňují dvě rovnice, tvoří určitou přímku - přímku průsečíku odpovídajících dvou ploch.

Jakákoli rovnice prvního stupně představuje rovinu a naopak jakoukoli rovinu lze znázornit rovnicemi prvního stupně.

Parametry A, B, C jsou souřadnice normálového vektoru kolmého na rovinu, tj. n = (A; B; C).

Rovnice roviny v segmentech odříznutých na osách: A- podél osy VŮL, b- podél osy OY, s- podél osy ОZ:

Nechť jsou dána dvě letadla A 1 X + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 X + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.

Podmínka rovnoběžnosti rovin:
.

Podmínka kolmosti rovin:

Úhel mezi rovinami je určen následujícím vzorcem:

.

Nechte letadlo projít body M 1 (X 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; y 3 ; z 3).

Pak má jeho rovnice tvar:

Vzdálenost od bodu M 0 (X 0 ; y 0 ; z 0) do letadla Sekera + Podle + Cz + D= 0 se zjistí podle vzorce

.

Test 1. Letadlo
prochází bodem:

1) A(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Test 2 . Rovnice roviny ОXY Následující:

1) z = 0;

2) X = 0;

3) y = 0.

Příklad 2 . Napište rovnici rovnoběžnou s rovinou ОXY a procházející bodem (2; –5; 3).

Řešení

Protože rovina je rovnoběžná s rovinou ОXY, její rovnice má tvar Cz + D= 0 (vektor  = (0; 0; S)  ACHY).

Protože letadlo prochází bodem (2; –5; 3), pak C  3 + D= 0 nebo jako D = –3C.

Tím pádem, CZ – 3C= 0. Protože S≠ tedy 0 z – 3 = 0.

Odpovědět: z – 3 = 0.

Test 3 . Rovnice roviny procházející počátkem a kolmá na vektor (3; –1; –4) má tvar:

1)

2)

3)

4)

Test 4 . Hodnota čáry řezané podél osy OY letadlo
je rovný:

Příklad 3 . Napište rovnici roviny:

1. Paralelní rovina
a procházející bodem A(2; 0; –1).

2. Kolmá rovina
a procházející bodem B(0; 2; 0).

Řešení

Rovnice rovin se budou hledat ve formě A 1 X + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

1. Protože jsou roviny rovnoběžné, pak
Odtud A= 3t,B= –t,C= 2t, kde tR.... Nech být t= 1. Potom A = 3, B = –1, C= 2. Rovnice má tedy tvar
Souřadnice bodů ALE patřící do roviny, proměňte rovnici ve skutečnou rovnost. Proto 32 - 10 + 2 (–1) + D= 0. Odkud D= 4.

Odpovědět:

2. Protože jsou roviny kolmé, pak 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Protože existují tři proměnné a rovnice je jedna, tyto dvě proměnné nabývají libovolných hodnot současně, které se nerovná nule. Nech být A = 1, B= 3. Potom C= 0. Rovnice má tvar
D= –6.

Odpovědět:

Test 5 . Vyberte rovinu rovnoběžně s rovinou X – 2y + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Test 6 . Vyberte rovinu kolmou k rovině X– 2y+ + 6z– 2 = 0:

1)

4)

Test 7 . Kosinus úhlu mezi rovinami 3 X + y – z- 1 = 0 a X – 4y – – 5z+ 3 = 0 je určeno vzorcem:

1)

2)

3)

Test 8 . Vzdálenost od bodu (3; 1; –1) k rovině 3 X – y + 5z+ 1 = 0 je určeno vzorcem:

1)

2)

Tento test lze použít ve třídě středně pokročilých, zobecňujících nebo konečných kontrol znalostí studentů. Aby test fungoval správně, musíte nastavit nízkou úroveň zabezpečení (service-macro-security)

Stažení:

Náhled:

Chcete -li použít náhled prezentací, vytvořte si účet Google (účet) a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Možnost 1 Možnost 2 Použili jsme šablonu pro vytváření testů v PowerPoint MCOU „Střední škola Pogorelskaya“ MM Koscheev

Výsledek testu Správně: 14 Chyby: 0 Známka: 5 Čas: 3 min. 29 s ještě opravit

Možnost 1 b) 360 ° a) 180 ° c) 246 ° d) 274 ° e) 454 °

Možnost 1 c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 e) 1

Možnost 1 e) 5 d) 0 a) 7

Možnost 1 b) tupé e) neexistují, protože jejich původ se neshoduje c) 0 ° d) akutní a) přímý

Možnost 1 b) 10,5 e) pro ne a) -10,5

Možnost 1 a) -10,5 b) 10,5 e) za žádných okolností

Možnost 1 e) 0 b) nelze určit a) -6 d) 4 c) 6

Možnost 1 b) 28 e) nelze určit a) 70 d) -45,5 c) 91

Možnost 1 9. Dvě strany trojúhelníku jsou 16 a 5 a úhel mezi nimi je 120 °. Který ze zadaných intervalů patří délce třetí strany? d) e) (19; 31] a) (0; 7] b) (7; 11] c) a) (0; 7] b) (7; 11] d)

Možnost 1 13. Poloměr kruhu ohraničeného kolem trojúhelníku ABC je 0,5. Najděte poměr sinusu úhlu B k délce AC strany. e) 1 c) 1, 3 a) 0,5 d) 2

Možnost 1 14. V trojúhelníku ABC jsou délky stran BC a AB 5, respektive 7, a

Možnost 2 c) 360 ° a) 180 ° b) 246 ° d) 274 ° e) 454 °

Možnost 2 e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4

Možnost 2 a) 10 d) 17 e) 15

Možnost 2 c) se rovná 0 ° e) neexistují, protože jejich původ se neshoduje c) tupý d) akutní a) přímý

Možnost 2 b) 10,5 e) pro ne a) -10,5

Možnost 2 a) - 10,5 e) pro ne c) 10.5

Možnost 2 d) 0 b) nelze určit a) -6 e) 4 c) 6

Možnost 2 a) 70 e) nelze určit b) 28 d) -45,5 c) 91

Možnost 2 9. Dvě strany trojúhelníku jsou 12 a 7 a úhel mezi nimi je 60 °. Který ze zadaných intervalů patří délce třetí strany? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7] b) c) e) (19; 31] c)

Možnost 2 13. Poloměr kruhu ohraničeného kolem trojúhelníku ABC je roven 2. Najděte poměr sinusu úhlu B k délce AC strany. a) 0,25 c) 1, 3 e) 1 d) 2

Možnost 2 14. V trojúhelníku ABC jsou délky stran AC a AB 9, respektive 7, a

Klíče k testu: „Tečkový součin vektorů. Trojúhelníkové věty “. Možnost 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl. b c e b c a e b d a c c e d 2 možnost 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Otv. c d a c d b d a d d c a a d Literatura L.I. Zvavich, E, V. Potoskuev Geometry testy Grade 9 do učebnice L.S. Atanasyan a kol. M .: Nakladatelství „Zkouška“ 2013 - 128 s.