Výpočet derivace je jednou z nejdůležitějších operací v diferenciálním počtu. Níže je uvedena tabulka hledání derivátů jednoduchých funkcí. Složitější pravidla diferenciace najdete v dalších lekcích:

• Derivační tabulka exponenciálních a logaritmických funkcí

Použijte tyto vzorce jako referenční hodnoty. Pomohou při řešení diferenciálních rovnic a problémů. Na obrázku je v tabulce derivátů jednoduchých funkcí uveden „cheat sheet“ hlavních případů nalezení derivace ve formě, která je srozumitelná pro použití, spolu s vysvětlením jednotlivých případů.

Deriváty jednoduchých funkcí

1. Derivace čísla se rovná nule
s´ = 0
Příklad:
5´ = 0

Vysvětlení:
Derivát ukazuje rychlost, jakou se mění hodnota funkce, když se změní argument. Vzhledem k tomu, že se číslo za žádných podmínek nijak nemění, je rychlost jeho změny vždy nulová.

2. Variabilní derivát rovna jedné
x´ = 1

Vysvětlení:
Pro každý přírůstek argumentu (x) o jednu se hodnota funkce (výsledek výpočtů) zvýší o stejnou částku. Míra změny hodnoty funkce y = x se tedy přesně rovná rychlosti změny hodnoty argumentu.

3. Derivát proměnné a faktor se rovná tomuto faktoru
sx´ = s
Příklad:
(3x) ´ = 3
(2x) ´ = 2
Vysvětlení:
V tomto případě pokaždé, když argument funkce ( X) jeho hodnota (y) se zvyšuje v zčas. Míra změny hodnoty funkce ve vztahu k rychlosti změny argumentu se tedy přesně rovná hodnotě z.

Odkud to vyplývá
(cx + b) "= c
to znamená, že rozdíl lineární funkce y = kx + b se rovná sklonu přímky (k).

4. Modulová derivace proměnné se rovná kvocientu této proměnné k jejímu modulu
| x | "= x / | x | za předpokladu, že x ≠ 0
Vysvětlení:
Vzhledem k tomu, že derivace proměnné (viz vzorec 2) se rovná jedné, derivace modulu se liší pouze v tom, že hodnota rychlosti změny funkce se při překročení počátečního bodu změní na opačnou (zkuste nakreslit graf funkce y = | x | a uvidíte sami. value a vrátí výraz x / | x |. Když x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedna. To znamená, že se zápornými hodnotami proměnné x, s každým zvýšením změny argumentu se hodnota funkce sníží přesně o stejnou hodnotu a s kladnými hodnotami se naopak zvýší, ale přesně stejnou hodnotu.

5. Derivace proměnné v moci se rovná součinu počtu tohoto stupně a proměnné stupně snížené o jednu
(x c) "= cx c-1, za předpokladu, že x c ​​a cx c-1 jsou definovány a c ≠ 0
Příklad:
(x 2) "= 2x
(x 3) "= 3x 2
Zapamatovat vzorec:
Proveďte sílu proměnné „dolů“ jako faktor a poté snižte samotnou sílu o jednu. Například pro x 2 - dva byli před x, a potom nám snížený stupeň (2-1 = 1) dal jen 2x. Totéž se stalo pro x 3 - „posuneme“ tři, zmenšíme je o jednu a místo krychle máme čtverec, tedy 3x 2. Trochu „nevědecký“, ale velmi snadno zapamatovatelný.

6.Derivace zlomku 1 / x
(1 / x) "= - 1 / x 2
Příklad:
Vzhledem k tomu, že zlomek lze považovat za vzestup k negativní síle
(1 / x) "= (x -1)", pak můžete použít vzorec z pravidla 5 tabulky derivátů
(x -1) "= -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivace zlomku s proměnnou libovolného stupně ve jmenovateli
(1 / x c) "= - c / x c + 1
Příklad:
(1 / x 2) "= - 2 / x 3

8. Derivát kořene(derivace proměnné pod druhou odmocninou)
(√x) "= 1 / (2√x) nebo 1/2 x -1/2
Příklad:
(√x) „= (x 1/2)“ znamená, že můžete použít vzorec z pravidla 5
(x 1/2) "= 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivace proměnné pod libovolným kořenem
(n √x) "= 1 / (n n √x n-1)

Hledání derivace se nazývá diferenciace.

V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a ne velmi jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limitu poměru přírůstku k přírůstku argumentu, tabulky derivací a přesně definovaných pravidel diferenciace objevil se. Prvními v oblasti hledání derivátů byli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Proto v naší době, abychom našli derivaci jakékoli funkce, není nutné počítat výše zmíněnou hranici poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulka derivátů a pravidla diferenciace. Následující algoritmus je vhodný pro nalezení derivace.

Najít derivát, potřebujete výraz pod znamením tahu rozebrat jednoduché funkce a určit, jaké akce (produkt, součet, kvocient) tyto funkce jsou propojeny. Derivace elementárních funkcí se dále nacházejí v tabulce derivací a vzorce pro deriváty produktu, součtu a kvocientu se nacházejí v pravidlech diferenciace. Tabulka derivací a pravidla diferenciace jsou uvedena po prvních dvou příkladech.

Příklad 1. Najděte derivaci funkce

Rozhodnutí. Z pravidel diferenciace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tj.

Z tabulky derivací zjistíme, že derivace „x“ se rovná jedné a derivace sinu se rovná kosinu. Dosadíme tyto hodnoty do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou úlohy:

Příklad 2. Najděte derivaci funkce

Rozhodnutí. Diferencujeme jako derivaci součtu, ve kterém lze druhý člen s konstantním faktorem vyjmout ze znaménka derivace:

Pokud stále existují otázky, odkud co pochází, zpravidla se objasní po seznámení s tabulkou derivací a nejjednoduššími pravidly diferenciace. Právě jdeme k nim.

Tabulka derivací jednoduchých funkcí

1. Derivace konstanty (čísla). Libovolné číslo (1, 2, 5, 200 ...), které je ve výrazu funkce. Vždy nula. To je velmi důležité pamatovat, protože je to velmi často vyžadováno
2. Derivace nezávislé proměnné. Nejčastěji „x“. Vždy rovno jedné. To je také důležité pamatovat na dlouhou dobu.
3. Derivační stupeň. Při řešení problémů musíte transformovat jiné mocniny než mocniny.
4. Derivace proměnné na sílu -1
5. Derivace druhé odmocniny
6. Derivace sinu
7. Derivace kosinu
8. Derivace tečny
9. Derivace kotangensu
10. Derivát arcsinu
11. Derivát arkkosinu
12. Derivace arkustangensu
13. Derivace obloukového kotangensu
14. Derivace přirozeného logaritmu
15. Derivace logaritmické funkce
16. Derivace exponentu
17. Derivace exponenciální funkce

Pravidla diferenciace

1. Derivace součtu nebo rozdílu
2. Derivát práce
2a. Derivace výrazu vynásobeného konstantním faktorem
3. Derivace kvocientu
4. Derivace komplexní funkce

Pravidlo 1.Pokud funkce

v určitém okamžiku diferencovatelné, pak ve stejném bodě funkce

navíc

ty. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.

Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší o konstantní člen, pak jsou jejich deriváty stejné, tj.

Pravidlo 2.Pokud funkce

v určitém okamžiku diferencovatelné, pak ve stejném okamžiku je jejich produkt také diferencovatelný

navíc

ty. derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé.

Dodatek 1. Konstantní faktor lze posunout mimo znaménko derivace:

Důsledek 2. Derivace součinu několika různých funkcí se rovná součtu součinů derivace každého z faktorů všemi ostatními.

Například pro tři faktory:

Pravidlo 3.Pokud funkce

v určitém okamžiku diferencovatelné a , pak v tomto bodě je to diferencovatelné a jejich podílu / v a

ty. derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatelem je rozdíl mezi součinem jmenovatele a derivací čitatele a čitatele a derivace jmenovatele a jmenovatelem je čtverec předchozí čitatel.

Kde hledat jiné stránky

Při hledání derivace produktu a kvocientu ve skutečných problémech je vždy nutné použít několik diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů těchto derivací„Derivace díla a určité funkce“.

Komentář. Nezaměňujte konstantu (tj. Číslo) jako součet a jako konstantní faktor! V případě termínu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyňata ze znaménka derivátů. Toto je typická chyba, ke které dochází v počáteční fáze studium derivátů, ale protože je řešeno několik jedno- nebo dvousložkových příkladů průměrný student už tuto chybu nedělá.

A pokud máte při rozlišování díla nebo konkrétního výrazu nějaký termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tj. konstanta, bude derivace tohoto čísla rovna nule, a proto bude celý člen roven nule (tento případ je analyzován v příkladu 10).

Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. proto derivace komplexní funkce je věnován samostatný článek. Nejprve se ale naučíme najít deriváty jednoduchých funkcí.

Po cestě se neobejdete bez transformací výrazů. Možná budete muset otevřít výukové programy v nových oknech Akce s pravomocí a kořeny a Zlomkové akce .

Pokud hledáte řešení pro derivace zlomků s mocninami a kořeny, to znamená, když funkce vypadá , pak postupujte podle lekce „Derivace součtu zlomků s mocnostmi a kořeny.“

Pokud máte úkol jako , pak vaše lekce „Deriváty jednoduchých trigonometrických funkcí“.

Krok za krokem příklady - jak najít derivát

Příklad 3. Najděte derivaci funkce

Rozhodnutí. Určujeme části výrazu funkce: celý výraz představuje produkt a jeho faktory jsou součty, přičemž v druhém z nich jeden z termínů obsahuje konstantní faktor. Aplikujeme pravidlo produktové diferenciace: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé:

Dále použijeme pravidlo pro diferenciaci součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě je v každém součtu druhý člen se znaménkem mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace se rovná jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace se rovná nule. Takže „x“ se pro nás změní na jednu a minus 5 - na nulu. Ve druhém výrazu se „x“ vynásobí 2, takže vynásobíme dvě stejnou jednotkou jako derivace „x“. Dostaneme následující hodnoty derivátů:

Nalezené deriváty dosadíme do součtu produktů a získáme derivaci celé funkce požadované podmínkou úlohy:

Příklad 4. Najděte derivaci funkce

Rozhodnutí. Jsme povinni najít derivaci kvocientu. Použijeme vzorec pro rozlišení kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatelem je rozdíl mezi součinem jmenovatele derivací čitatele a čitatelem derivací jmenovatel a jmenovatel je čtverec předchozího čitatele. Dostaneme:

Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňte, že produkt, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je vzat se znaménkem mínus:

Pokud hledáte řešení problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde existuje souvislá hromada kořenů a mocností, jako například pak vítejte ve třídě "Derivace součtu zlomků s mocnostmi a kořeny" .

Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinusů, kosinusů, tečen a dalších trigonometrických funkcí, tj. Když funkce vypadá jako , pak vaše lekce "Deriváty jednoduchých trigonometrických funkcí" .

Příklad 5. Najděte derivaci funkce

Rozhodnutí. V této funkci vidíme produkt, jehož jedním z faktorů je Odmocnina z nezávislé proměnné, jejíž derivaci jsme viděli v tabulce derivací. Podle pravidla diferenciace produktu a tabulkové hodnoty derivace druhé odmocniny získáme:

Příklad 6. Najděte derivaci funkce

Rozhodnutí. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividendou je druhá odmocnina nezávislé proměnné. Podle pravidla diferenciace kvocientu, které jsme opakovali a aplikovali v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace druhé odmocniny dostaneme:

Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatele a jmenovatele číslem.

První úroveň

Derivace funkce. Komplexní průvodce (2019)

Představte si rovnou silnici v kopcovitém terénu. To znamená, že jde nahoru a dolů, ale neotáčí se doprava ani doleva. Pokud je osa směrována podél silnice vodorovně a - svisle, pak bude silniční čára velmi podobná grafu nějaké spojité funkce:

Osa je určitá úroveň nulové výšky, v životě používáme hladinu moře.

Po cestě vpřed po takové silnici se pohybujeme také nahoru nebo dolů. Můžeme také říci: když se změní argument (pohyb po úsečce), změní se hodnota funkce (pohyb po souřadnici). Nyní se zamyslíme nad tím, jak určit „strmost“ naší silnice? Co by to mohlo být za hodnotu? Je to velmi jednoduché: jak moc se výška změní při pohybu vpřed o určitou vzdálenost. Opravdu, na různých úsecích silnice, pohybujících se dopředu (podél úsečky) o jeden kilometr, stoupáme nebo klesáme o jiný počet metrů vzhledem k hladině moře (podél souřadnice).

Určíme pohyb vpřed (zní „delta x“).

Řecké písmeno (delta) se v matematice běžně používá jako předpona, což znamená „změna“. To znamená - jde o změnu hodnoty, - změnu; Co to potom je? To je pravda, změna velikosti.

Důležité: výraz je jeden celek, jedna proměnná. Nikdy byste neměli odtrhávat „deltu“ z „x“ nebo jiného písmene! To je například.

Takže jsme se posunuli dopředu, vodorovně, dál. Pokud porovnáme silniční linii s grafem funkce, jak označíme nárůst? Tak určitě, . To znamená, že když se posuneme vpřed, povstaneme výš o.

Je snadné vypočítat hodnotu: pokud jsme na začátku byli ve výšce a po přesunu jsme byli ve výšce, pak. Pokud je koncový bod nižší než počáteční bod, bude negativní - to znamená, že nejdeme nahoru, ale dolů.

Zpět na „strmost“: jedná se o hodnotu, která udává, o kolik (strmá) se výška zvyšuje, když se pohybujete vpřed o jednu jednotku vzdálenosti:

Předpokládejme, že na určité části cesty se při pohybu po kilometrech silnice zvedne po kilometrech nahoru. Pak je strmost v tomto bodě. A kdyby silnice klesla o km při pohybu po m? Pak je sklon.

Nyní zvažte vrchol kopce. Pokud si vezmete začátek úseku půl kilometru před vrcholem a konec půl kilometru po něm, uvidíte, že výška je prakticky stejná.

To znamená, že podle naší logiky se ukazuje, že strmost je zde téměř nulová, což zjevně není pravda. Je to jen to, že se na dálku v km může hodně změnit. Pro adekvátnější a přesnější posouzení strmosti je nutné zvážit menší úseky. Například pokud změříte změnu výšky při pohybu o jeden metr, bude výsledek mnohem přesnější. Ale ani tato přesnost pro nás nemusí stačit - koneckonců, pokud je uprostřed silnice sloup, můžeme jej jednoduše proklouznout. Jakou vzdálenost potom zvolíme? Centimetr? Milimetr? Méně je lepší!

V reálný život měřit vzdálenost s milimetrovou přesností je víc než dost. Matematici však vždy usilují o dokonalost. Proto byl tento koncept vynalezen nekonečně malý, to znamená, že velikost je menší než jakékoli číslo, které můžeme pojmenovat. Například říkáte: jeden bilion! O kolik méně? A vydělíte toto číslo - a bude to ještě méně. Atd. Pokud chceme napsat, že hodnota je nekonečně malá, píšeme takto: (čteme „x má tendenci k nule“). Je velmi důležité to pochopit že toto číslo není nula! Ale velmi blízko k němu. To znamená, že podle toho můžete dělit.

Koncept opačný k nekonečně malému je nekonečně velký (). Pravděpodobně jste již narazili na to, když jste se zabývali nerovnostmi: toto číslo je modulo větší než jakékoli číslo, na které si myslíte. Pokud přijdete s největším možným číslem, vynásobte ho dvěma a získáte ještě více. A nekonečno je ještě větší než to, co dostanete. Ve skutečnosti jsou nekonečně velké a nekonečně malé vzájemně inverzní, tj. V, a naopak: v.

Nyní se vraťme na naši cestu. Ideálně vypočítaná strmost je zakřivení vypočítané pro nekonečně malý úsek cesty, to znamená:

Uvědomte si, že s nekonečně malým posunem bude změna výšky také nekonečně malá. Dovolte mi ale připomenout, že nekonečně malý neznamená rovný nule. Pokud vydělíte nekonečně malá čísla navzájem, můžete získat například zcela běžné číslo. To znamená, že jedna malá hodnota může být přesně dvakrát tak velká jako jiná.

K čemu to všechno je? Cesta, strmost ... Nejdeme na motoristickou rally, ale učíme matematiku. A v matematice je všechno úplně stejné, jen se to nazývá jinak.

Derivační koncept

Derivát funkce je poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu při nekonečně malém přírůstku argumentu.

Postupně v matematice se změna nazývá. Jak moc se argument () změnil při pohybu podél osy, volá se přírůstek argumentu a je označen Míra, do jaké se volá funkce (výška) při pohybu vpřed podél osy o vzdálenost přírůstek funkce a je označen.

Derivací funkce je tedy vztah k at. Derivát označíme stejným písmenem jako funkce, pouze s prvočíslem vpravo nahoře: nebo jednoduše. Pojďme tedy napsat derivační vzorec pomocí této notace:

Stejně jako v analogii se silnicí, i zde platí, že jak se funkce zvyšuje, je derivace kladná a jak se funkce snižuje, je záporná.

Existuje derivát rovný nule? Tak určitě. Například pokud jedeme po rovné vodorovné silnici, strmost je nulová. Výška se ve skutečnosti vůbec nemění. Tak je to s derivací: derivace konstantní funkce (konstanty) se rovná nule:

protože přírůstek takové funkce je pro libovolný nula.

Vzpomeňme si na příklad z kopce. Tam se ukázalo, že je možné uspořádat konce segmentu na opačných stranách vrcholu takovým způsobem, že výška na koncích se ukáže být stejná, to znamená, že segment je rovnoběžný s osou:

Ale velké úseky jsou známkou nepřesného měření. Zvedneme náš segment paralelně k sobě, pak se jeho délka zmenší.

Nakonec, když jsme nekonečně blízko vrcholu, bude délka segmentu nekonečně malá. Zároveň však zůstal rovnoběžný s osou, to znamená, že rozdíl ve výškách na jeho koncích je nulový (nemá tendenci, ale je stejný). Odtud tedy derivát

Můžete to pochopit takto: když stojíme na samém vrcholu, malý posun doleva nebo doprava změní naši výšku zanedbatelně málo.

Existuje také čistě algebraické vysvětlení: nalevo od vrcholu se funkce zvětšuje a napravo se zmenšuje. Jak jsme již dříve zjistili, s rostoucí funkcí je derivace kladná a s klesající funkcí je záporná. Mění se ale plynule, bez skoků (protože silnice nikde náhle nezmění svůj sklon). Proto musí nutně existovat mezi zápornými a kladnými hodnotami. Bude tam, kde se funkce ani nezvyšuje ani nesnižuje - v bodě vrcholu.

Totéž platí pro spodní část (oblast, kde se funkce zmenšuje vlevo a zvyšuje se vpravo):

Trochu více podrobností o přírůstcích.

Změníme tedy argument na hodnotu. Změnit z jaké hodnoty? Co je to (argument) teď? Můžeme si vybrat libovolný bod a nyní z něj budeme tančit.

Zvažte bod se souřadnicí. Hodnota funkce v ní se rovná. Pak uděláme stejný přírůstek: zvýšíme souřadnici o. Čemu se nyní argument rovná? Velmi snadné: . Jaká je nyní hodnota funkce? Kam jde argument, tak funguje i funkce :. A co přírůstek funkce? Nic nového: toto je stále částka, kterou funkce změnila:

Procvičování hledání přírůstků:

1. Najděte přírůstek funkce v bodě s přírůstkem argumentu rovným.
2. Totéž platí pro funkci v bodě.

Řešení:

V různých bodech se stejným přírůstkem argumentu bude přírůstek funkce odlišný. To znamená, že derivace v každém bodě je jiná (diskutovali jsme o tom na samém začátku - strmost silnice je v různých bodech odlišná). Když tedy píšeme derivaci, musíme uvést, v jakém okamžiku:

Funkce napájení.

Funkce se nazývá výkonová funkce, kde argument je do určité míry (logický, že?).

A - do jaké míry :.

Nejjednodušší případ je, když exponent:

Najdeme jeho derivaci v bodě. Pamatujme si definici derivátu:

Argument se tedy změní z na. Jaký je přírůstek funkce?

Přírůstek je tento. Ale funkce v každém bodě se rovná jejímu argumentu. Proto:

Derivát se rovná:

Derivát se rovná:

b) Nyní zvažte kvadratická funkce (): .

Nyní si to zapamatujme. To znamená, že hodnotu přírůstku lze zanedbávat, protože je nekonečně malá, a proto na pozadí jiného výrazu nevýznamná:

Máme tedy další pravidlo:

c) Pokračujeme v logické řadě :.

Tento výraz lze zjednodušit různými způsoby: otevřete první závorky pomocí vzorce pro zkrácené násobení krychle součtu nebo rozeberte celý výraz pomocí vzorce pro rozdíl mezi kostkami. Zkuste to udělat sami některým z navrhovaných způsobů.

Takže jsem skončil s následujícím:

A znovu si to pamatujte. To znamená, že můžete zanedbávat všechny výrazy obsahující:

Dostaneme:.

d) Podobná pravidla lze získat i pro vyšší stupně:

e) Ukazuje se, že toto pravidlo lze zobecnit na funkce napájení s libovolným exponentem, dokonce ani s celým číslem:

(2)

Pravidlo lze formulovat slovy: „stupeň je uveden jako koeficient a poté klesá o“.

Toto pravidlo dokážeme později (téměř na samém konci). Nyní se podívejme na několik příkladů. Najděte derivaci funkcí:

1. (dvěma způsoby: vzorcem a použitím definice derivace - výpočtem přírůstku funkce);

1. ... Věřte tomu nebo ne, jedná se o výkonovou funkci. Pokud máte nějaké dotazy typu „Jak je to? A kde je ten titul? “, Pamatujte si téma„ “!
   Ano, kořen je také titul, jen zlomkový :.
   Naše druhá odmocnina je tedy jen mocnina s exponentem:
   .
   Hledáme derivát podle nedávno naučeného vzorce:

   Pokud na tomto místě bude znovu nejasné, opakujte téma „“ !!! (asi stupeň se záporným exponentem)

2. ... Nyní exponent:

   A nyní prostřednictvím definice (už jste zapomněli?):
   ;
   .
   Nyní, jako obvykle, zanedbáváme termín obsahující:
   .

3. ... Kombinace předchozích případů :.

Trigonometrické funkce.

Zde použijeme jeden fakt z vyšší matematiky:

Když výraz.

Důkaz se naučíte v prvním ročníku ústavu (a abyste se tam dostali, musíte úspěšně absolvovat zkoušku). Teď to ukážu jen graficky:

Vidíme, že když funkce neexistuje - bod v grafu je propíchnutý. Ale čím blíže k hodnotě, tím blíže je funkce. Jedná se o velmi „aspirující“.

Toto pravidlo můžete navíc zkontrolovat pomocí kalkulačky. Ano, ano, nestyďte se, vezměte si kalkulačku, ještě nejsme na zkoušce.

Zkusme tedy :;

Nezapomeňte přepnout kalkulačku do režimu „Radians“!

atd. Vidíme, že čím menší, tím blíže je hodnota poměru k.

a) Zvažte funkci. Jako obvykle najdeme jeho přírůstek:

Pojďme převést rozdíl sinusů na produkt. K tomu použijeme vzorec (nezapomeňte na téma „“) :.

Nyní derivát:

Pojďme udělat náhradu :. Pak pro nekonečně malé je také nekonečně malé :. Výraz pro má formu:

A teď si pamatujeme, že když výraz. A také co když nekonečnou hodnotu lze v součtu zanedbávat (tj. V).

Dostaneme tedy následující pravidlo: sinusový derivát se rovná kosinu:

Jedná se o základní („tabulkové“) deriváty. Zde jsou v jednom seznamu:

Později k nim přidáme několik dalších, ale ty jsou nejdůležitější, protože se používají nejčastěji.

Praxe:

1. Najděte derivaci funkce v bodě;
2. Najděte derivaci funkce.

Řešení:

1. Nejprve najdeme derivát v obecné formě a místo toho nahradíme jeho hodnotu:
   ;
   .
2. Zde máme něco podobného výkonové funkci. Zkusme ji přivést
   normální zobrazení:
   .
   Skvělé, nyní můžete použít vzorec:
   .
   .
3. ... Eeeeee ... .. Co je to ????

Dobře, máte pravdu, zatím nevíme, jak takové deriváty najít. Zde máme kombinaci několika typů funkcí. Abyste s nimi mohli pracovat, musíte se naučit několik dalších pravidel:

Exponent a přirozený logaritmus.

V matematice existuje taková funkce, jejíž derivace se pro libovolné rovná hodnotě samotné funkce. Říká se tomu „exponenciální“ a jedná se o exponenciální funkci

Základ této funkce je konstantní - je nekonečný desetinný, tj. Iracionální číslo (například). Nazývá se „Eulerovo číslo“, a proto se označuje písmenem.

Pravidlo tedy zní:

Je velmi snadné si to zapamatovat.

Pojďme daleko, hned to zvážíme inverzní funkce... Která funkce je inverzní funkcí exponenciální? Logaritmus:

V našem případě je základem číslo:

Takový logaritmus (tj. Logaritmus se základnou) se nazývá „přirozený“ a používáme pro něj speciální notaci: místo toho napište.

Co se rovná? Samozřejmě, .

Derivace přirozeného logaritmu je také velmi jednoduchá:

Příklady:

1. Najděte derivaci funkce.
2. Jaká je derivace funkce?

Odpovědi: Vystavovatel a přirozený logaritmus- funkce jsou jednoznačně jednoduché, pokud jde o derivaci. Exponenciální a logaritmické funkce s jakoukoli jinou základnou budou mít jinou derivaci, kterou později analyzujeme, poté, co projdeme pravidly diferenciace.

Pravidla diferenciace

Pravidla čeho? Opět nový termín, znovu?! ...

Diferenciace je proces hledání derivátu.

To je vše. Jak jinak nazvat tento proces jedním slovem? Není to derivace ... Diferenciálu matematiky se říká stejný přírůstek funkce v. Tento termín pochází z latinského diferenciálu - rozdílu. Tady.

Při odvozování všech těchto pravidel použijeme například dvě funkce a. Potřebujeme také vzorce pro jejich přírůstky:

Existuje celkem 5 pravidel.

Konstanta se přesune mimo derivační znaménko.

Pokud je nějaké konstantní číslo (konstanta), pak.

Toto pravidlo samozřejmě funguje i pro tento rozdíl:

Pojďme to dokázat. Pojďme, nebo snadněji.

Příklady.

Najděte derivace funkcí:

1. na místě;
2. na místě;
3. na místě;
4. na místě.

Řešení:

1. (derivace je ve všech bodech stejná, protože toto lineární funkce, pamatovat si?);

Derivát práce

Zde je vše stejné: představíme novou funkci a zjistíme její přírůstek:

Derivát:

Příklady:

1. Najděte derivace funkcí a;
2. Najděte derivaci funkce v bodě.

Řešení:

Derivace exponenciální funkce

Nyní jsou vaše znalosti dost na to, abyste se naučili, jak najít derivaci jakékoli exponenciální funkce, nejen exponentu (zapomněli jste, co to je?).

Takže, kde je nějaké číslo.

Derivaci funkce již známe, zkusme tedy vrhnout naši funkci na nový radix:

K tomu použijeme jednoduché pravidlo :. Pak:

No, fungovalo to. Nyní zkuste najít derivaci a nezapomeňte, že tato funkce je složitá.

Stalo?

Zde se zkontrolujte:

Ukázalo se, že vzorec je velmi podobný derivaci exponenta: jak to bylo, zůstává, objevil se pouze multiplikátor, což je jen číslo, ale ne proměnná.

Příklady:
Najděte derivace funkcí:

Odpovědi:

Toto je jen číslo, které nelze vypočítat bez kalkulačky, to znamená, že ho nelze zapsat jednodušší formou. Proto v odpovědi necháme tuto formu.

Derivace logaritmické funkce

Tady je to podobné: derivaci přirozeného logaritmu už znáte:

Proto najít libovolný logaritmus s jinou základnou, například:

Musíte přinést tento logaritmus na základnu. Jak změníte základ logaritmu? Doufám, že si vzpomenete na tento vzorec:

Teď místo toho napíšeme:

Jmenovatel je pouze konstanta (konstantní číslo, žádná proměnná). Derivát je velmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálních a logaritmické funkce ke zkoušce téměř nikdy nedojde, ale nebude nadbytečné je znát.

Derivace komplexní funkce.

Co je to „komplexní funkce“? Ne, nejde o logaritmus, ani o arkustangens. Těmto funkcím může být obtížné porozumět (i když se vám logaritmus zdá obtížný, přečtěte si téma „Logaritmy“ a vše projde), ale z hlediska matematiky slovo „obtížný“ neznamená „obtížný“.

Představte si malý dopravní pás: dva lidé sedí a dělají nějakou akci s některými předměty. Například první zabalí čokoládovou tyčinku do obalu a druhá ji sváže stuhou. Ukázalo se, že takový složený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a svázaná stuhou. Chcete-li jíst čokoládovou tyčinku, musíte udělat zpětné akce v opačném pořadí.

Vytvořme podobný matematický kanál: nejprve najdeme kosinus čísla a potom výsledné číslo umocníme. Dostali jsme tedy číslo (čokoládová tyčinka), najdu jeho kosinus (obal), a pak seškrtnete to, co jsem dostal (spojíte to stuhou). Co se stalo? Funkce. Toto je příklad komplexní funkce: když k nalezení její hodnoty provedeme první akci přímo s proměnnou a pak další druhou akci s výsledkem první.

Můžeme udělat stejné akce v obráceném pořadí: nejdříve čtvercový, a pak hledám kosinus výsledného čísla :. Je snadné uhodnout, že výsledek bude téměř vždy jiný. Důležitá vlastnost komplexní funkce: když změníte pořadí akcí, funkce se změní.

Jinými slovy, komplexní funkce je funkce, jejíž argumentem je jiná funkce: .

U prvního příkladu.

Druhý příklad: (stejný). ...

Bude volána akce, kterou provedeme jako poslední "Externí" funkce a opatření přijatá jako první "Interní" funkce(jedná se o neformální jména, používám je pouze k vysvětlení materiálu v jednoduchém jazyce).

Zkuste si sami určit, která funkce je externí a která interní:

Odpovědi: Oddělení vnitřních a vnějších funkcí je velmi podobné změně proměnných: například ve funkci

1. Jaká je první akce? Nejprve vypočítáme sinus a teprve poté jej zvedneme na krychli. To znamená, že se jedná o vnitřní funkci, ale o vnější.
   A původní funkcí je jejich složení :.
2. Vnitřní:; externí:.
   Kontrola :.
3. Vnitřní:; externí:.
   Kontrola :.
4. Vnitřní:; externí:.
   Kontrola :.
5. Vnitřní:; externí:.
   Kontrola :.

měníme proměnné a dostáváme funkci.

Nyní extrahujeme naši čokoládovou tyčinku - hledejte derivát. Procedura je vždy obrácená: nejdříve hledáme derivaci vnější funkce, poté výsledek vynásobíme derivací vnitřní funkce. Ve vztahu k původnímu příkladu to vypadá takto:

Další příklad:

Pojďme tedy konečně formulovat oficiální pravidlo:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

Všechno se zdá být jednoduché, že?

Podívejme se na příklady:

Řešení:

1) Interní :;

Externí:;

2) Interní :;

(jen se to teď nepokoušejte rozřezat! Nic nelze vyjmout z kosinu, pamatujete?)

3) Interní :;

Externí:;

Okamžitě je jasné, že zde existuje tříúrovňová komplexní funkce: koneckonců, toto je již sama o sobě komplexní funkce a také z ní extrahujeme kořen, to znamená, že provedeme třetí akci (dáme čokoládovou tyčinku v zavinovačce a vložte ji do kufříku se stuhou). Ale není důvod se bát: každopádně tuto funkci „rozbalíme“ ve stejném pořadí jako obvykle: od konce.

To znamená, že nejdříve rozlišujeme kořen, potom kosinus a teprve poté výraz v závorkách. A pak to všechno znásobíme.

V takových případech je vhodné akce očíslovat. To znamená, představme si, co víme. V jakém pořadí provedeme akce k výpočtu hodnoty tohoto výrazu? Vezměme si příklad:

Čím později je akce provedena, tím více „externí“ bude příslušná funkce. Sled akcí - jako dříve:

Zde je vnoření obecně čtyřúrovňové. Pojďme definovat postup.

1. Radikální výraz. ...

2. Kořen. ...

3. Sinus. ...

4. Čtverec. ...

5. Spojení všeho dohromady:

DERIVÁT. STRUČNĚ O HLAVĚ

Derivace funkce- poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu s nekonečně malým přírůstkem argumentu:

Základní deriváty:

Pravidla diferenciace:

Konstanta se přesune mimo derivační znaménko:

Derivát částky:

Odvozená práce:

Derivace kvocientu:

Derivace komplexní funkce:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

1. Definujeme „interní“ funkci, najdeme její derivaci.
2. Definujeme „externí“ funkci, najdeme její derivaci.
3. Vynásobíme výsledky prvního a druhého bodu.

S tímto videem začínám dlouhou sérii tutoriálů o derivátech. Tento výukový program je rozdělen do několika částí.

Nejprve vám řeknu, jaké jsou deriváty obecně a jak je počítat, ale ne v záludném akademickém jazyce, ale jak tomu sám rozumím a jak to vysvětluji svým studentům. Zadruhé, vezmeme v úvahu nejjednodušší pravidlo pro řešení problémů, ve kterém budeme hledat derivace součtu, derivace rozdílu a derivace výkonové funkce.

Podíváme se na složitější kombinované příklady, ze kterých se zejména dozvíte, že podobné problémy obsahující kořeny a dokonce i zlomky lze vyřešit pomocí vzorce pro derivaci mocninné funkce. Kromě toho samozřejmě bude mnoho úkolů a příkladů řešení velmi různých úrovní složitosti.

Obecně jsem původně chtěl natočit krátké 5minutové video, ale sami vidíte, co se z toho stalo. Takže dost textů - pojďme na věc.

Co je to derivát?

Začněme tedy zdaleka. Před mnoha lety, kdy byly stromy zelenější a život byl zábavnější, matematici uvažovali o tomto: zvažte jednoduchou funkci danou naším vlastním grafem, řekněme jí $ y = f \ left (x \ right) $. Graf samozřejmě neexistuje sám o sobě, takže je třeba nakreslit osy $ x $ i osu $ y $. Nyní si vybereme jakýkoli bod v tomto grafu, naprosto jakýkoli. Úsečka se bude jmenovat $ ((x) _ (1)) $, souřadnice, jak asi uhodnete, budou $ f \ left (((x) _ (1)) \ right) $.

Zvažte ještě jeden bod na stejném grafu. Nezáleží na tom, který z nich je hlavní, hlavní je, že se liší od původního. Opět má úsečku, řekněme jí $ ((x) _ (2)) $ a také souřadnici - $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

Takže máme dva body: mají různé úsečky, a proto různé významy funkce, i když ta druhá je volitelná. Ale to, co je opravdu důležité, je to, co víme z kurzu planimetrie: přes dva body můžete nakreslit přímku a navíc pouze jednu. Pojďme to provést.

A teď nakreslíme přímku skrz úplně první z nich, rovnoběžně s osou úsečky. Dostaneme pravoúhlý trojuhelník... Řekněme tomu $ ABC $, pravý úhel $ C $. Tento trojúhelník má jednu velmi zajímavou vlastnost: faktem je, že úhel $ \ alpha $ se ve skutečnosti rovná úhlu, pod kterým se přímka $ AB $ protíná s pokračováním osy úsečky. Posuďte sami:

1. řádek $ AC $ je paralelně s osou $ Ox $ podle konstrukce,
2. řádek $ AB $ splňuje $ AC $ pod $ \ alpha $,
3. proto $ AB $ protíná $ Ox $ pod stejnými $ \ alpha $.

Co můžeme říci o $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $? Nic konkrétního, až na to, že v trojúhelníku $ ABC $ se poměr nohy $ BC $ k noze $ AC $ rovná tečně tohoto úhlu. Napíšeme tedy:

$ AC $ se v tomto případě samozřejmě snadno vypočítá:

Podobně $ BC $:

Jinými slovy, můžeme napsat následující:

\ [\ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () = \ frac (f \ left (((x) _ (2)) \ right) -f \ left ( ((x) _ (1)) \ right)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

Nyní, když jsme na to přišli, vraťme se k našemu grafu a podívejme se na nový bod $ B $. Vymažte staré hodnoty a vezměte a vezměte $ B $ někde blíže k $ ((x) _ (1)) $. Znovu označme jeho úsečku $ ((x) _ (2)) $ a její souřadnici $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

Zvažte znovu náš malý trojúhelník $ ABC $ a $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ uvnitř. Je zcela zřejmé, že to bude úplně jiný úhel, tečna bude také odlišná, protože délky segmentů $ AC $ a $ BC $ se významně změnily a vzorec pro tečnu úhlu se vůbec nezměnil - toto je stále vztah mezi změnou funkce a změnou argumentu ...

Nakonec pokračujeme v posouvání $ B $ blíže a blíže k původnímu bodu $ A $, v důsledku čehož se trojúhelník ještě zmenší a čára obsahující segment $ AB $ bude vypadat stále více jako tangenta k graf funkce.

Výsledkem je, že pokud budete pokračovat v přiblížení k bodům, tj. Zmenšíte vzdálenost na nulu, pak se přímka $ AB $ v tomto bodě skutečně změní na tečnu ke grafu a $ \ text () \! \ ! \ Alpha \! \! \ Text () $ se transformuje z běžného trojúhelníkového prvku na úhel mezi tečnou ke grafu a kladným směrem osy $ Ox $.

A tady plynule přejdeme k definici $ f $, konkrétně derivaci funkce v bodě $ ((x) _ (1)) $ nazýváme tangensem úhlu $ \ alpha $ mezi tangentou k graf v bodě $ ((x) _ (1)) $ a kladný směr osy $ Ox $:

\ [(f) "\ left (((x) _ (1)) \ right) = \ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () \)

Vrátíme-li se k našemu grafu, je třeba poznamenat, že můžete vybrat libovolný bod v grafu jako $ ((x) _ (1)) $. Například se stejným úspěchem bychom mohli odstranit tah v bodě zobrazeném na obrázku.

Úhel mezi dotyčnicí a kladným směrem osy se nazývá $ \ beta $. V souladu s tím se $ f $ v $ ((x) _ (2)) $ bude rovnat tangentě tohoto úhlu $ \ beta $.

\ [(f) "\ left (((x) _ (2)) \ right) = tg \ text () \! \! \ beta \! \! \ text () \]

Každý bod grafu bude mít svou vlastní tečnu, a tedy svou vlastní hodnotu funkce. V každém z těchto případů je kromě bodu, ve kterém hledáme derivaci rozdílu nebo součtu, nebo derivaci mocninné funkce, nutné vzít další bod umístěný v určité vzdálenosti od něj a poté nasměrovat přejděte na původní a samozřejmě zjistěte, jak v tomto procesu takový pohyb změní tečnu úhlu sklonu.

Derivace výkonové funkce

Bohužel nám tato definice vůbec nevyhovuje. Všechny tyto vzorce, obrázky, úhly nám nedávají sebemenší představu o tom, jak vypočítat skutečnou derivaci ve skutečných problémech. Pojďme tedy trochu odbočit od formální definice a zvažte efektivnější vzorce a techniky, s nimiž již můžete řešit skutečné problémy.

Začněme nejjednoduššími konstrukcemi, konkrétně funkcemi ve tvaru $ y = ((x) ^ (n)) $, tj. výkonové funkce. V tomto případě můžeme napsat následující: $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Jinými slovy, míra, která byla v exponentu, se zobrazuje v multiplikátoru vpředu a samotný exponent je zmenšen o jednotku. Například:

\ [\ begin (align) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ end (zarovnání) \]

Tady je další možnost:

\ [\ begin (align) & y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \\\ end (zarovnat) \]

Pomocí těchto jednoduchých pravidel se pokusíme odstranit tah následujících příkladů:

Takže dostaneme:

\ [((\ left (((x) ^ (6)) \ right)) ^ (\ prime)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

Pojďme vyřešit druhý výraz:

\ [\ begin (align) & f \ left (x \ right) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ left (((x) ^ (100)) \ right)) ^ (\ prime)) = 100 \ cdot ((x) ^ (99)) = 100 ((x) ^ (99)) \\\ end (zarovnat) \]

Samozřejmě, že byli velmi jednoduché úkoly... ale skutečné úkoly složitější a neomezují se pouze na pravomoci funkce.

Pravidlo číslo 1 - pokud je funkce prezentována ve formě dalších dvou, pak se derivace tohoto součtu rovná součtu derivací:

\ [((\ vlevo (f + g \ vpravo)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" \]

Podobně se derivace rozdílu dvou funkcí rovná rozdílu derivací:

\ [((\ levý (f-g \ pravý)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" \]

\ [((\ left (((x) ^ (2)) + x \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 2x + 1 \]

Kromě toho existuje ještě jedno důležité pravidlo: pokud před nějakými $ f $ existuje konstantní $ c $, kterou se tato funkce vynásobí, pak se $ f $ celé této konstrukce považuje takto:

\ [((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ vlevo (3 ((x) ^ (3)) vpravo)) ^ (\ prime)) = 3 ((\ vlevo (((x) ^ (3)) vpravo)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

Na závěr ještě jedno velmi důležité pravidlo: problémy mají často samostatný termín, který vůbec neobsahuje $ x $. Můžeme to například dnes pozorovat v našich výrazech. Derivace konstanty, tj. Číslo, které nijak nezávisí na $ x $, je vždy nula a vůbec nezáleží na tom, jaká je konstanta $ c $:

\ [((\ levý (c \ pravý)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Příklad řešení:

\ [((\ levý (1001 \ pravý)) ^ (\ prime)) = ((\ levý (\ frac (1) (1000) \ pravý)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Ještě jednou klíčové body:

1. Derivát součtu dvou funkcí se vždy rovná součtu derivací: $ ((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" $;
2. Z podobných důvodů se derivace rozdílu dvou funkcí rovná rozdílu dvou derivací: $ ((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" $;
3. Pokud má funkce konstantní faktor, lze tuto konstantu přesunout mimo derivační znaménko: $ ((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "$;
4. Pokud je celá funkce konstantní, pak je její derivace vždy nula: $ ((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 $.

Podívejme se, jak to všechno funguje, na příkladech z reálného světa. Tak:

Zapisujeme:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left ((((x) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + (7) "= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\ end (zarovnání) \]

V tomto příkladu vidíme derivaci součtu i derivaci rozdílu. Celkově je derivát 5 $ ((x) ^ (4)) - 6x $.

Přechod na druhou funkci:

Zapíšeme řešení:

\ [\ begin (align) & ((\ left (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (2x \ right)) ^ (\ prime)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ left (((x)) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) - 2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ end (zarovnat) \]

Takže jsme našli odpověď.

Pojďme k třetí funkci - ta je již vážnější:

\ [\ begin (align) & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \ frac (1) (2) x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right) )) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (1) (2) x \ right)) ^ (\ prime)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ left (( (x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) right)) ^ (\ prime)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2) ) -6x + \ frac (1) (2) \\\ end (zarovnat) \]

Našli jsme odpověď.

Přejdeme k poslednímu výrazu - nejsložitějšímu a nejdelšímu:

Zvažujeme tedy:

\ [\ begin (align) & ((\ left (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ right)) ^ (\ prime)) = ( (\ left (6 ((x) ^ (7)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (14 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (4x \ right)) ^ (\ prime)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ end (zarovnat) \]

Tím však řešení nekončí, protože se od nás žádá nejen odstranění tahu, ale také výpočet jeho hodnoty v konkrétním bodě, takže ve výrazu místo $ x $ dosadíme −1:

\ [(y) "\ left (-1 \ right) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

Pokračujte a přejděte k ještě složitějším a zajímavějším příkladům. Faktem je, že vzorec pro řešení derivace síly $ ((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ má ještě širší škálu aplikací, než se běžně věří. S jeho pomocí můžete vyřešit příklady se zlomky, kořeny atd. To je to, co teď uděláme.

Nejprve si zapíšme vzorec, který nám pomůže najít derivaci mocninné funkce:

Nyní pozor: zatím jsme uvažovali pouze o $ n $ celá čísla, ale nezasahujeme do uvažování zlomků a dokonce záporných čísel. Můžeme například napsat následující:

\ [\ begin (zarovnat) & \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\\ end (zarovnat) \]

Nic složitého, tak se podívejme, jak nám tento vzorec pomůže při řešení složitějších problémů. Příklad:

Zapíšeme řešení:

\ [\ begin (zarovnat) & \ left (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ right) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime )) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ ( \ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot ((x ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x)) ^ (3)))) \\\ end (zarovnat) \]

Vraťte se k našemu příkladu a napište:

\ [(y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4 \ sqrt ((((x) ^ (3)))) \]

Tady je těžké rozhodnutí.

Pojďme k druhému příkladu - existují pouze dva pojmy, ale každý z nich obsahuje jak klasický titul, tak kořeny.

Nyní se naučíme, jak najít derivaci mocninné funkce, která navíc obsahuje kořen:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) \ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) right)) ^ (\ prime)) = \\ & = (( \ left ((((x) ^ (3+ \ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (11) (3) ))) \ vpravo)) ^ (\ prime)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2 ))) \\ & ((\ left (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7) )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ vpravo)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7 \ frac (1) (3) ))) \ vpravo)) ^ (\ prime)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3 ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \\\ konec (zarovnat) \]

Oba pojmy byly vypočítány, zbývá napsat konečnou odpověď:

\ [(y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

Našli jsme odpověď.

Derivace zlomku z hlediska výkonové funkce

Ale ani v tom možnosti vzorce pro řešení derivace mocenské funkce tím nekončí. Faktem je, že s jeho pomocí můžete počítat nejen příklady s kořeny, ale také s zlomky. Je to jen ta vzácná příležitost, která značně zjednodušuje řešení takových příkladů, ale zároveň ji často ignorují nejen studenti, ale i učitelé.

Nyní se tedy pokusíme zkombinovat dva vzorce najednou. Na jedné straně klasický derivát mocenské funkce

\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Na druhou stranu víme, že výraz tvaru $ \ frac (1) (((x) ^ (n))) $ lze reprezentovat jako $ ((x) ^ (- n)) $. Proto,

\ [\ left (\ frac (1) (((x) ^ (n))) \ right) "= ((\ left ((((x) ^ (- n)) \ right)) ^ (\ prime) ) = - n \ cdot ((x) ^ (- n-1)) = - \ frac (n) ((((x) ^ (n + 1))) \]

\ [((\ left (\ frac (1) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ left (((x) ^ (- 1)) \ right) = - 1 \ cdot ((x ) ^ (- 2)) = - \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

Tedy deriváty jednoduchých zlomků, kde čitatelem je konstanta a jmenovatelem je stupeň, se také počítají pomocí klasického vzorce. Podívejme se, jak to funguje v praxi.

Takže první funkce:

\ [((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 2)) \) vpravo)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((x) ^ (- 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

První příklad je vyřešen, přejdeme k druhému:

\ [\ begin (align) & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ \ & = ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (2) (3 (( x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left ( 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7 ) (4) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ frac (2) (3 ((x) ^) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3)))) right) ) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) vpravo) ^ (\ prime)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ end (zarovnat) \] ...

Nyní shromažďujeme všechny tyto výrazy do jednoho vzorce:

\ [(y) "= - \ frac (7) (((x) ^ (5))) + \ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

Dostali jsme odpověď.

Než však přejdeme, rád bych vás upozornil na formu psaní samotných původních výrazů: v prvním výrazu jsme napsali $ f \ left (x \ right) = ... $, ve druhém: $ y = ... $ Mnoho studentů je ztraceno, když vidí různé formy záznamu. Jaký je rozdíl mezi $ f \ left (x \ right) $ a $ y $? Ve skutečnosti nic. Jsou to jen různé položky se stejným významem. Když řekneme $ f \ left (x \ right) $, pak přichází to, nejprve o funkci, a pokud jde o $ y $, pak je nejčastěji míněn graf funkce. Jinak je to jedno a totéž, to znamená, že derivace je v obou případech považována za stejnou.

Složité problémy s deriváty

Na závěr bych rád zvážil několik složitých kombinovaných úkolů, ve kterých je vše, o čem jsme dnes uvažovali, použito najednou. Čekají nás v nich kořeny, zlomky a částky. Tyto příklady však budou obtížné pouze v rámci dnešního video tutoriálu, protože na vás budou čekat skutečně složité funkce derivátů.

Takže poslední část dnešního video tutoriálu, skládající se ze dvou kombinovaných úkolů. Začněme první:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) - \ frac (1) (((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3)) )) \ right)) ^ (\ prime)) + \ left (\ sqrt (x) \ right) \\ & ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 3 \ cdot ((x) ^ (- 4)) = - \ frac (3) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3)))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) ((((x) ^ (\ frac (2) (3)))) = \ frac (1) (3 \ sqrt ((((x) ^ (2)))) \\\ end (zarovnat) \]

Derivát funkce je:

\ [(y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \]

První příklad je vyřešen. Uvažujme o druhém úkolu:

Ve druhém příkladu postupujeme stejným způsobem:

\ [((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt (((x) ^ (3)) )) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ primární)) \]

Počítáme každý termín zvlášť:

\ [\ begin (align) & ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((\ left ( ((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1 ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot) ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3) ) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = 4 \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4))) \ right)) ^ ( \ prime)) = \\ & = 4 \ cdot \ left (-1 \ frac (3) (4) \ right) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ left (- \ frac (7) (4) \ right) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (2 \ frac (3) (4)))) = \ frac (-7) ((((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = - \ frac (7) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt ((((x) ^ (3)))) \\\ end (zarovnat) \]

Všechny termíny byly vypočítány. Nyní se vrátíme k původnímu vzorci a sečteme všechny tři termíny dohromady. Zjistili jsme, že konečná odpověď bude taková:

\ [(y) "= \ frac (8) (((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) - \ frac (7 ) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt ((((x) ^ (3)))) \]

A to je vše. Toto byla naše první lekce. V následujících lekcích se podíváme na složitější konstrukce a také zjistíme, proč jsou deriváty vůbec potřeba.

Na kterém jsme analyzovali nejjednodušší deriváty a také jsme se seznámili s pravidly diferenciace a některými techniky hledání derivátů. Pokud tedy nejste moc dobří s derivacemi funkcí nebo pokud některé body tohoto článku nejsou zcela jasné, přečtěte si nejprve výše uvedenou lekci. Nalaďte se prosím na vážnou náladu - materiál není snadný, ale pokusím se ho předložit jednoduše a snadno.

V praxi se s derivací komplexní funkce musíte vypořádat velmi často, dokonce bych řekl, téměř vždy, když dostanete úkoly k nalezení derivací.

Podíváme se v tabulce na pravidlo (č. 5) pro rozlišení komplexní funkce:

Porozumění. Nejprve věnujme pozornost záznamu. Zde máme dvě funkce - a navíc je funkce, obrazně řečeno, vložena do funkce. Funkce tohoto druhu (když je jedna funkce vnořená do jiné) se nazývá komplexní funkce.

Zavolám funkci externí funkce a funkce - vnitřní (nebo vnořená) funkce.

! Tyto definice nejsou teoretické a neměly by se objevit v konečném návrhu úkolů. Neformální výrazy „externí funkce“, „interní“ funkce používám pouze proto, abych vám materiál lépe porozuměl.

Za účelem objasnění situace zvažte:

Příklad 1

Najděte derivaci funkce

Pod sínusem nemáme jen písmeno „X“, ale celočíselný výraz, takže derivaci nebude možné okamžitě najít z tabulky. Všimli jsme si také, že zde nelze použít první čtyři pravidla, zdá se, že existuje rozdíl, ale faktem je, že je nemožné „roztrhat“ sinus:

V tomto příkladu je již z mých vysvětlení intuitivně jasné, že funkce je komplexní funkce a polynom je vnitřní funkce (vnoření) a externí funkce.

První krok, které je třeba provést při hledání derivace komplexní funkce, je to zjistit, která funkce je interní a která externí.

V případě jednoduchých příkladů se zdá jasné, že polynom je vnořen pod sinus. Ale co když všechno není zřejmé? Jak přesně určit, která funkce je externí a která je interní? K tomu navrhuji použít následující techniku, kterou lze provést mentálně nebo jako koncept.

Představte si, že musíme vypočítat hodnotu výrazu na kalkulačce (místo jednoho může existovat libovolné číslo).

Co budeme počítat jako první? Předně budete muset provést následující akci :, takže polynom bude interní funkcí:

Sekundární bude třeba najít, takže sine bude externí funkcí:

Poté, co jsme Přišla na to s interními a externími funkcemi je čas uplatnit pravidlo diferenciace komplexní funkce .

Začneme se rozhodovat. Z lekce Jak najdu derivát? pamatujeme si, že návrh řešení jakékoli derivace vždy začíná takto - výraz uzavřeme do závorek a vpravo nahoře umístíme tah:

První najdeme derivaci vnější funkce (sinus), podíváme se na tabulku derivací elementárních funkcí a všimneme si toho. Všechny tabulkové vzorce jsou použitelné, i když je „x“ nahrazeno složitým výrazem, v tomto případě:

Všimněte si, že vnitřní funkce se nezměnilo, nedotkneme se toho.

Je to zcela zřejmé

Výsledek použití vzorce v konečném designu to vypadá takto:

Konstantní faktor je obvykle umístěn na začátku výrazu:

Pokud dojde k nejasnostem, zapište si řešení a přečtěte si vysvětlení znovu.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Jako vždy zapisujeme:

Pojďme zjistit, kde máme externí funkci a kde máme interní. Chcete-li to provést, zkuste (mentálně nebo jako koncept) vypočítat hodnotu výrazu v. Co je třeba udělat jako první? Nejprve musíte vypočítat, čemu se základna rovná: což znamená, že polynom je vnitřní funkce:

A teprve poté se provede umocňování, proto je výkonová funkce externí funkcí:

Podle vzorce Nejprve musíte najít derivaci externí funkce, v tomto případě ze stupně. Hledáme požadovaný vzorec v tabulce :. Opakujeme znovu: jakýkoli tabulkový vzorec je platný nejen pro „x“, ale také pro komplexní výraz... Výsledek aplikace pravidla diferenciace komplexní funkce Následující:

Znovu zdůrazňuji, že když vezmeme derivaci vnější funkce, vnitřní funkce se pro nás nezmění:

Nyní zbývá najít velmi jednoduchou derivaci vnitřní funkce a výsledek trochu „rozčesat“:

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí(odpověď na konci lekce).

Abych upevnil porozumění derivaci komplexní funkce, uvedu příklad bez komentářů, pokusím se na to přijít sám, spekulovat, kde je vnější a kde vnitřní funkce, proč byly úkoly vyřešeny tímto způsobem?

Příklad 5

a) Najděte derivaci funkce

b) Najděte derivaci funkce

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Zde máme kořen a abychom jej mohli odlišit, musí být reprezentován jako titul. Nejprve tedy uvedeme funkci do formy vhodné pro diferenciaci:

Při analýze funkce dospějeme k závěru, že součet tří členů je vnitřní funkcí a umocňování vnější funkcí. Aplikujeme pravidlo diferenciace komplexní funkce :

Stupeň je opět reprezentován jako radikál (kořen) a pro derivaci vnitřní funkce použijeme jednoduché pravidlo pro rozlišení součtu:

Hotovo. Můžete také přenést výraz v závorkách na Společným jmenovatelem a zapište si vše do jednoho zlomku. Pěkné, samozřejmě, ale když se získají těžkopádné dlouhé deriváty, je lepší to nedělat (je snadné se zmást, udělat zbytečnou chybu a bude to pro učitele nevýhodné kontrolovat).

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad nezávislého řešení (odpověď na konci tutoriálu).

Je zajímavé poznamenat, že někdy místo pravidla pro rozlišení komplexní funkce lze použít pravidlo pro rozlišení kvocientu , ale takové řešení bude vypadat neobvykle jako perverze. Zde je typický příklad:

Příklad 8

Najděte derivaci funkce

Zde můžete použít pravidlo diferenciace kvocientu , ale je mnohem výhodnější najít derivaci pomocí pravidla diferenciace komplexní funkce:

Připravíme funkci pro diferenciaci - posuneme minus mimo znaménko derivace a zvedneme kosinus k čitateli:

Kosinus je vnitřní funkce, umocňování je vnější funkce.
Používáme naše pravidlo :

Najděte derivaci vnitřní funkce, resetujte kosinus zpět dolů:

Hotovo. V uvažovaném příkladu je důležité nenechat se zmást znamením. Mimochodem, zkuste to vyřešit pomocí pravidla , odpovědi se musí shodovat.

Příklad 9

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad nezávislého řešení (odpověď na konci tutoriálu).

Zatím jsme zkoumali případy, kdy jsme ve složité funkci měli pouze jednu přílohu. V praktických úkolech často najdete deriváty, kde, stejně jako vnořené panenky, jsou navzájem vnořeny 3 nebo dokonce 4-5 funkcí najednou.

Příklad 10

Najděte derivaci funkce

Pojďme pochopit přílohy této funkce. Pokus o vyhodnocení výrazu pomocí testovací hodnoty. Jak bychom počítali s kalkulačkou?

Nejprve musíte najít, což znamená, že arcsine je nejhlubší vnoření:

Pak by měl být tento arcsin jednoho na druhou:

A konečně, zvedněte 7 na sílu:

To znamená, že v tomto příkladu máme tři různé funkce a dvě přílohy, zatímco nejvnitřnější funkcí je arcsine a nejvzdálenější funkcí je exponenciální funkce.

Začneme řešit

Podle pravidla nejprve musíte vzít derivaci externí funkce. Podíváme se na tabulku derivací a najdeme derivaci exponenciální funkce: Jediný rozdíl je v tom, že místo „x“ máme složitý výraz, který nevyvrací platnost tohoto vzorce. Výsledek aplikace pravidla diferenciace komplexní funkce Následující.