Co je přírodní logaritmus 10. logaritmus

Takže před odečtením nás. Pokud si vezmete číslo ze spodního řádku, můžete snadno najít titul, ve kterém bude Deuce muset být přijata k získání tohoto čísla. Například, dostanete 16, potřebujete dva stavět čtvrtý stupeň. A dostat 64, potřebujete dva stavět v šestém stupni. To je vidět ze stolu.

A teď - vlastně definice logaritmu:

Logaritmus na základně A z Argumentu X je stupeň, ve kterém má být číslo A, aby bylo možné získat číslo x.

Označení: log A x \u003d b, kde je základ, X je argument, b - ve skutečnosti, to, co se rovná logaritmu.

Například, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (logaritmus pro základnu 2 z čísla 8 je tři, protože 2 3 \u003d 8). Se stejným úspěchem logem 2 64 \u003d 6, protože 2 6 \u003d 64.

Provozování hledání logaritmu čísla dané báze se nazývá Logarithing. Takže doplňte náš stůl s novým řetězcem:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Bohužel, ne všechny logaritmy jsou považovány za tak snadné. Snažte se například najít Log 2 5. Čísla 5 nejsou v tabulce, ale logika naznačuje, že logaritmus bude ležet někde na segmentu. Protože 2 2.< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla poté, co čárka mohou být zapsána do nekonečna a nikdy se neopakují. Pokud je logaritmus získán iracionální, je lepší opustit: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základem a argumentem). Mnozí na prvním zmatku, kde se základem nachází a kde je argument. Aby se zabránilo nepříjemné nedorozumění, podívejte se na obrázek:

Než nás není nic jiného než definice logaritmu. Pamatovat si: logaritmus je stupeňVe kterém musí být nadace přijata, aby se dosáhlo argumentu. Je to nadace, která je postavena do stupně - na obrázku je zvýrazněn červeně. Ukazuje se, že základna je vždy v přízemí! Toto úžasné pravidlo říkám svým studentům na první lekci - a žádný zmatek vzniká.

Zabývali jsme se definicí - zůstane naučit se zvážit logaritmy, tj. Zbavte se znaku "log". Chcete-li začít, všimneme, že dvě důležitá fakta vyplývají z definice:

1. Argument a základna by měla být vždy větší než nula. To vyplývá z určení stupně racionálního ukazatele, ke kterému se sníží definice logaritmu.
2. Základ by měla být odlišná od jednotky, protože jednotka do každé stupně stále zůstává jednotou. Díky tomu je otázka "Kolik by mělo být jednotka postavena, aby se dostal o Deuce" zbavený význam. Neexistuje žádný takový stupeň!

Taková omezení se nazývají oblasti přípustných hodnot (OTZ). Ukazuje se, že lichý logaritmus vypadá takto: log A x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Všimněte si, že žádná omezení čísla B (hodnota logaritmu) není superponována. Například logaritmus může být negativní: log 2 0,5 \u003d -1, protože 0,5 \u003d 2 -1.

Nicméně, nyní uvažujeme pouze numerické výrazy, kde poznat logaritmus OTZ není nutný. Všechna omezení jsou již zohledněny kompilátory úkolů. Ale když logaritmické rovnice a nerovnosti jdou, požadavky OTZ se stanou povinným. Na základě základny a argumentu mohou být velmi nepřiměřené struktury stát, což nutně vyhovuje výše uvedenými omezeními.

Zvažte to všeobecné schéma Výpočty logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

1. Odeslat základnu A a Argument X ve formě míry s minimální možnou základnou, velkou jednotkou. Podél cesty je lepší zbavit se desetinných frakcí;
2. Řešení vzhledem k proměnné B rovnici: X \u003d A B;
3. Výsledný počet b bude odpověď.

To je vše! Pokud je logaritmus iracionální, bude v prvním kroku viditelný. Požadavek, že základna byla více sjednocená, je velmi důležitá: snižuje pravděpodobnost chyby a výrazně zjednodušuje výpočty. Podobný S. desetinné zlomky: Pokud je okamžitě přenášíte na běžné, budou chyby občas méně.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítat logaritmus: Log 5 25

1. Předkládat základ a argument jako stupeň pěti: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Pojďme a vyřešit rovnici:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Obdržel odpověď: 2.

Úkol. Vypočítat logaritmus:

Úkol. Vypočítat logaritmus: log 4 64

1. Představte si základ a argument jako stupeň twos: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Pojďme a vyřešit rovnici:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Obdržel odpověď: 3.

Úkol. Vypočítat logaritmus: LOG 16 1

1. Představte si základ a argument jako stupeň dvou: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Pojďme a vyřešit rovnici:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Obdržel odpověď: 0.

Úkol. Vypočítat logaritmus: log 7 14

1. Předkládat základ a argument jako stupeň sedm: 7 \u003d 7 1; 14 Ve formě sedmi sedmi se nezdá, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z předchozího bodu vyplývá, že logaritmus není zvažován;
3. Odpověď není změna: Log 7 14.

Malá poznámka K. poslední příklad. Jak se ujistit, že číslo není přesný stupeň jiného čísla? Velmi jednoduchý - dost, aby ho rozložil na jednoduché faktory. Pokud existuje alespoň dva různé faktor v rozkladu, číslo není přesný stupeň.

Úkol. Zjistěte, zda přesné stupně čísla: 8; 48; 81; 35; čtrnáct.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - přesný stupeň, protože Násobitel je pouze jeden;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - Není to přesný stupeň, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - přesný stupeň;
35 \u003d 7 · 5 - opět není přesný stupeň;
14 \u003d 7 · 2 - Opět, ne přesný stupeň;

Všimli jsme si také, že jednoduchá čísla samotná jsou vždy přesná samotná.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy se vyskytují tak často, že mají zvláštní jméno a označení.

Desetinný logaritmus z argumentu X je logaritmus založený na 10, tj. Stupeň, ve které by mělo být číslo 10 postaveno, aby se číslo x. Označení: LG X.

Například, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - atd.

Od nynějška, kdy se učebnice setkává s frází jako "Najít lg 0.01", víš: Není to překlep. To je desetinný logaritmus. Pokud však máte neobvyklé pro takové označení, může být vždy přepsán:
Lg x \u003d log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí pro desetinné místo.

Přírodní logaritm.

Existuje další logaritmus, který má vlastní označení. V určitém smyslu je ještě důležitější než desetinné místo. Mluvíme O přírodním logaritmech.

Přírodní logaritmus z argumentu X je logaritmus založený na E, tj. Stupeň, ve kterém by měl být postaven číslo e, aby se číslo x. Označení: ln x.

Mnozí se zeptá: Co ještě v čísle e? To je iracionální číslo, jeho přesná hodnota najít a napsat to nemožné. Dám jen jeho první čísla:
e \u003d 2,718281828459 ...

Nebudeme prohloubit, že je to číslo a proč potřebujete. Jen si pamatujte, že e je základem přírodního logaritmu:
ln x \u003d log e x

Tedy, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - atd. Na druhé straně, Ln 2 je iracionální číslo. Obecně je přirozený logaritmus jakéhokoliv racionálního čísla iracionální. Kromě toho, samozřejmě, jednotky: ln 1 \u003d 0.

Pro přirozené logaritmy jsou platná všechna pravidla, která jsou pravdivá pro běžné logaritmy.

Přírodní logaritm.

Graf funkce přirozeného logaritmu. Funkce se pomalu přiblíží pozitivní nekonečno při zvyšování x. a rychle se blíží negativní nekonečno, když x. usiluje o 0 ("pomalý" a "rychle" ve srovnání s jakoukoliv funkcí napájení x.).

Přírodní logaritm. - Toto je logaritmus na základě kde e. - Iracionální konstanta, která se rovná přibližně 2,718281 828. Přírodní logaritmus obvykle označuje jako ln ( x.), Log. e. (x.) nebo někdy jen log ( x.) Je-li základ e. Členové.

Přírodní logaritmus číslo x. (písemně jako ln (x)) je ukazatel stupně, ve kterém je třeba vydat číslo e., Získat x.. Například, ln (7,389 ...) rovna 2, protože e. 2 =7,389... . Přírodní logaritmus samotného čísla e. (ln (e)) rovnou 1, protože e. 1 = e.a přírodní logaritmus 1 ( ln (1)) se rovná 0, od té doby e. 0 = 1.

Přirozený logaritmus může být definován pro jakékoliv pozitivní reálné číslo. a. Jako oblast pod křivkou y. = 1/x. od 1 do a.. Jednoduchost této definice, která je v souladu s mnoha jinými vzorci, ve které je aplikován přírodní logaritmus, vedl k vzhledu názvu "přirozené". Tato definice může být rozšířena o integrovaná čísla, protože bude uvedeno níže.

Pokud považujeme přirozený logaritmus jako skutečnou funkci platné proměnné, pak je to reverzní funkce exponenciální funkce, která vede k identitám:

Stejně jako všechny logaritmy, přirozený logaritmus zobrazuje násobení přidáním:

Logaritmická funkce je tedy izomorfismus skupiny pozitivních platných čísel vzhledem k násobení skupinou reálných čísel přidáním, která může být reprezentována jako funkce:

Logaritmus může být definován pro jakoukoliv pozitivní nadaci jinou než 1, a ne jen pro e.Logaritmy pro další báze se však liší od přírodního logaritmu pouze konstantním faktorem a zpravidla jsou určeny z hlediska přírodního logaritmu. Logaritmy jsou užitečné pro řešení rovnic, ve kterých jsou neznámé osoby přítomny jako ukazatel stupně. Například logaritmy se používají k nalezení neustálého rozpadu pro známé poločasu-životní období, nebo najít čas rozpadu při řešení problémů radioaktivity. Hrají důležitou roli v mnoha oblastech matematiky a aplikovaných věd, platí v oblasti financí pro řešení mnoha úkolů, včetně hledání komplexního zájmu.

Dějiny

První zmínka o přírodním logaritmech dělal Mercator Mercator Nicholas v práci Logaritmotechnio, publikoval v roce 1668, i když matematický učitel John Spindel v roce 1619 udělal stůl přírodních logaritmů. Dříve se nazývá hyperbolický logaritmus, protože odpovídá oblasti pod nadsázkou. Někdy se nazývá logaritmus víry, i když počáteční význam tohoto termínu byl poněkud odlišný.

Úmluva o označení

Přírodní logaritmus je vyroben tak, aby označoval přes "ln ( x.) ", Logaritmus pro základnu 10 - přes" LG ( x.) "A další základy jsou obvykle specifikovány explicitně s symbolem" log ".

V mnoha pracuje na diskrétní matematice, kybernetika, počítačová věda, autoři používají označení "log ( x.) "U logaritmů na základě 2, ale tato dohoda není obecně přijímána a vyžaduje vyjasnění nebo v seznamu použitých označeních, nebo (v nepřítomnosti takového seznamu) s poznámkou pod čarou nebo komentářem při prvním použití.

Konzoly kolem argumentu logaritmů (pokud nevede k chybným čtením vzorce) obvykle vynechat, a když je logaritmus postaven do stupně, indikátor je přiřazen přímo na znamení logaritmu: ln 2 ln 3 4 x. 5 = [ ln. ( 3 )] 2 .

Anglo-americký systém

Matematika, statistika a součást inženýrů se běžně používají k označení přirozeného logaritmu nebo "logu ( x.) ", Nebo" ln ( x.) "A označit logaritmus na základě základny 10 -" Log 10 ( x.)».

Někteří inženýři, biologové a další specialisté vždy psali "ln ( x.) "(Nebo příležitostně" log e ( x.) ") Když znamenají přirozený logaritmus a nahrávání" x.) "Znamená log 10 ( x.).

log. e. Je to "přirozený" logaritmus, protože to vyplývá automaticky a objeví se v matematice velmi často. Například zvažte problém derivátu logaritmická funkce:

Pokud je základna b. stejně e.Derivát je jen 1 / x., a kdy x. \u003d 1 Tento derivát je 1. další odůvodnění, pro které je základna e. Logaritmus je nejpřirozenější, je to, že může být poměrně jednoduše určeno z hlediska jednoduchého integrálu nebo série Taylor, který nelze říci o jiných logaritmech.

Další zdůvodnění přirozenosti nesouvisí s číslem. Například existuje několik jednoduchých řádků s přírodními logaritmy. Pietro Mengoli a Nikolai Mercator je nazval logaritmus naturulis. Několik desetiletí, dokud newton a lectuers vyvinuli diferenciální a integrální počet.

Definice

Formálně ln ( a.) lze definovat jako oblast pod křivkou grafiky 1 / x. od 1 do a., tj. Jako integrál:

Je to opravdu logaritmus, protože splňuje základní vlastnost logaritmu:

To lze prokázat, což umožňuje následujícím způsobem:

Číselná hodnota

Pro výpočet numerické hodnoty přirozeného logaritmu čísla je možné použít jeho rozklad v sérii Taylor ve formě:

Chcete-li získat nejlepší rychlost konvergence, můžete použít následující identitu:

pokud y. = (x.−1)/(x.+1) I. x. > 0.

Pro ln ( x.), kde. x. \u003e 1, bližší hodnota x. K 1, tím rychlejší rychlost konvergence. Identity spojené s logaritmem lze použít k dosažení cíle:

Tyto metody byly použity ještě před výpočtovými kalkulačky, pro které byly použity numerické tabulky a manipulace byly provedeny podobně jako výše popsané výše.

Vysoká přesnost

Pro výpočet přirozeného logaritmu s velkým počtem čísel přesnosti není série Taylor účinná, protože jeho konvergence je pomalá. Alternativou je použití Newtonovy metody invertovat v exponenciální funkci, jehož řada se konverguje rychleji.

Alternativou pro velmi vysokou přesnost výpočtu je vzorec:

kde M. označuje aritmetický geometrický průměr 1 a 4 / s a

m. zvolené tak p. Přesnost jsou dosaženy. (Ve většině případů je hodnota 8 pro m dost.) Ve skutečnosti, pokud je tato metoda použita, inverze přirozeného logaritmie Newton může být použita pro efektivní výpočet exponenciální funkce. (Konstanty LN 2 a PI lze předem vypočítat až do požadované přesnosti, s použitím jakékoliv z dobře známé rychlé sbíhající série.)

Výpočetní složitost

Výpočetní složitost přírodních logaritmů (za použití aritmeticko-geometrického průměru) je O ( M.(n.) ln. n.). Tady n. - počet čísel přesnosti, pro které musí být ocenil přírodní logaritmus a M.(n.) - Výpočetní složitost násobení dvou n.- Souhrnná čísla.

Nepřetržité zlomky

Ačkoli neexistují jednoduché nepřetržité frakce, které reprezentují logaritmus, ale můžete použít několik generalizovaných nepřetržité zlomky, počítaje v to:

Komplexní logaritmy

Exponenciální funkce může být rozšířena na funkci, která poskytuje komplexní počet druhů. e. x. Pro libovolné integrované číslo x.Používá nekonečnou řadu s komplexem x.. Tento exponenciální funkce Může být obrácen tvorbou integrovaného logaritmu, který bude mít většinu vlastností běžných logaritmů. Existují však dvě potíže: Ne x., pro který e. x. \u003d 0, a to se ukáže e. 2πi. = 1 = e. 0. Vzhledem k tomu, že majetek násobení platí pro komplexní exponenciální funkci, e. z. = e. z.+2nani. Pro všechny komplexy z. a celá čísla n..

Logaritmus nemůže být stanoven na celé komplexní rovině, a to ani zároveň je více oceňovaný - jakýkoli komplexní logaritmus může být nahrazen "ekvivalentním" logaritmem, přidáním libovolné celé číslo, více 2 πi.. Komplexní logaritmus může být jednoznačný pouze na plátku komplexní roviny. Například, Ln. i. I. = 1/2 πi. nebo 5/2. πi. nebo -3/2. πi.atd., Ačkoli i. I. 4 \u003d 1, 4 log i. I. lze definovat jako 2 πi.nebo 10. πi. nebo -6. πi., atd.

viz také

• John nikdy - vynálezce logaritmů

Poznámky

1. Matematika pro fyzikální chemii. - 3.. - Akademický tisk, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5 , Extrakt z Page 9
2. J J o "CONNOR A E F Robertson Číslo E. Mactutor historie matematického archivu (září 2001). Archivovaný
3. Cajori Florian. Historie matematiky, 5. ed. - AMS knihkupectví, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin. Odhadování integrálů pomocí polynomů. Archivován z primárního zdroje 12. února 2012.

Graf funkce přirozeného logaritmu. Funkce se pomalu přiblíží pozitivní nekonečno při zvyšování x. a rychle se blíží negativní nekonečno, když x. usiluje o 0 ("pomalý" a "rychle" ve srovnání s jakoukoliv funkcí napájení x.).

Přírodní logaritm. - Toto je logaritmus na základě kde E (DisplayStyle e) - Iracionální konstanta rovná přibližně 2,72. Je indikován Ln \u2061 x (DisplayStyle ln x), Přihlásit E \u2061 x (DisplayStyle \\ log _ (e) x) Nebo někdy jednoduchý Log \u2061 x (DisplayStyle log x)Je-li založení E (DisplayStyle e) Členové. Jinými slovy, přírodní logaritmus x. - Toto je indikátor, ve kterém je třeba vydat číslo e., Získat x.. Tato definice může být rozšířena o komplexní čísla.

ln \u2061 e \u003d 1 (DisplayStyle \\ ln e \u003d 1), protože E 1 \u003d E (DisplayStyle E ^ (1) \u003d e); Ln \u2061 1 \u003d 0 (DisplayStyle ln 1 \u003d 0), protože E 0 \u003d 1 (DisplayStyle E ^ (0) \u003d 1).

Přírodní logaritmus může být také definován geometricky pro jakékoli pozitivní reálné číslo. a. Jako oblast pod křivkou Y \u003d 1 x (DisplayStyle Y \u003d (Frac (1) (x))) V intervalu [ jeden ; A] (DisplayStyle). Jednoduchost této definice, která je v souladu s mnoha jinými vzorci, ve které je tento logaritmus aplikován, vysvětluje původ jména "přirozené".

Pokud považujeme přirozený logaritmus jako skutečnou funkci platné proměnné, pak je to reverzní funkce exponenciální funkce, která vede k identitám:

e ln \u2061 a \u003d a (a\u003e 0); (DisplayStyle e ^ (ln a) \u003d quad (a\u003e 0);) Ln \u2061 e a \u003d a (a\u003e 0). (DisplayStyle \\ ln e ^ (a) \u003d quad (a\u003e 0).)

Stejně jako všechny logaritmy, přirozený logaritmus zobrazuje násobení přidáním:

Ln \u2061 x y \u003d ln \u2061 x + ln \u2061 y. (DisplayStyle ln xy \u003d ln x + ln y.)

Logaritmus kladného čísla B pro základnu A (A\u003e 0, A není roven 1) volají takové číslo s tím, že AC \u003d B: log ab \u003d c ⇔ Ac \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1 , B\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Poznámka: Logaritmus z nedostatečného čísla není definován. Kromě toho, na základně logaritmu by mělo být kladné číslo, ne rovné 1. Například, pokud jsme postaveni na náměstí, získáme číslo 4, ale to neznamená, že logaritmus na základně je - 2 od 4 je 2.

Základní logaritmická identita

log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1) (2)

Je důležité, aby se oblasti určování pravé a levé části tohoto vzorce lišily. Levá část je definována pouze při b\u003e 0, a\u003e 0 a a ≠ 1. Pravá strana je definována na libovolném b, a nezávisí vůbec. Použití hlavní logaritmické "identity" při řešení rovnic a nerovností tak může vést ke změně OTZ.

Dva zřejmé důsledky definice logaritmu

Log a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1) (3)
Záznam A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1) (4)

Když je počet A postaven v prvním stupni, dostaneme stejné číslo, a když je postavena do nulového stupně.

Logaritmus a logaritmus soukromý

Log a (b c) \u003d log a b + log A c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)

Log a b c \u003d log a b - log A c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)

Chtěl bych varovat žáky od bezmyšlenkovité aplikace těchto vzorců při řešení logaritmických rovnic a nerovností. Při použití je "zleva doprava" je zúžení OTZ a v přechodu z částky nebo rozdíl logaritmů do logaritmu práce nebo soukromého - expanze OTZ.

Vskutku, expresní log A (f (x) g (x) g (x)) je definován ve dvou případech: když oba funkce jsou přísně kladné nebo když f (x) a g (x) jsou menší než nula.

Převod tohoto exprese v množství protokolu A f (x) + log a g (x), jsme nuceni omezit pouze v případě, kdy f (x)\u003e 0 a g (x)\u003e 0. K dispozici je zúžení plochy přípustných hodnot, což je kategoricky nepřijatelné, protože může vést ke ztrátě rozhodnutí. Podobný problém existuje pro vzorec (6).

Titul může být proveden pro znamení logaritmu

Log A b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

A znovu bych chtěl zavolat přesnost. Zvažte následující příklad:

Log a (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)

Levá část rovnosti je zřejmé, samozřejmě se všemi hodnotami f (x), s výjimkou nuly. Pravou část - pouze na f (x)\u003e 0! Po provedení stupně od logaritmu jsme Suvain Otz. Reverzní postup vede k rozšiřování oblasti přípustných hodnot. Všechny tyto komentáře odkazují nejen na stupeň 2, ale také k žádnému stupni.

Vzorec přechodu na novou základnu

Log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8)

Vzácný případ, kdy OTZ se nezmění při převodu. Pokud moudře vybrali základnu s (pozitivními a ne rovnými 1), přechodový vzorec k nové základně je naprosto bezpečný.

Pokud jako nová základna s výběrem čísla B získáváme důležitý zvláštní případ vzorce (8):

Log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9)

Některé jednoduché příklady s logaritmy

Příklad 1. Vypočítejte: LG2 + LG50.
Rozhodnutí. LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. Použili jsme vzorec součtu logaritmů (5) a stanovení desetinného logaritmu.

Příklad 2. Vypočítejte: LG125 / LG5.
Rozhodnutí. LG125 / LG5 \u003d Log 5 125 \u003d 3. Přechod na novou základnu (8) jsme použili.

Stolní vzorce související s logaritmy

Log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1)

Log a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1)

Log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Log A b c \u003d log a b - log A c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

Log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

Log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1)

Dodržování vašich soukromí je pro nás důležitý. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a ukládáme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a informujte nás, pokud máte nějaké dotazy.

Sběr a používání osobních údajů

Podle osobních údajů podléhá údajům, které mohou být použity k identifikaci určité osoby nebo s k němu komunikující.

Můžete být požadováni, abyste poskytli své osobní údaje kdykoliv při připojení s námi.

Níže jsou uvedeny příklady typů osobních údajů, které můžeme sbírat, a jak můžeme tyto informace používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když opustíte aplikaci na webu, můžeme sbírat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak využíváme vaše osobní údaje:

• Shromážděné námi osobní informace Umožňuje nás kontaktovat a podat zprávu o unikátních nabídkách, promo akcích a dalších akcích a nejbližších událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k odeslání důležitých oznámení a zpráv.
• Můžeme také využít personalizované informace pro interní účely, jako je audit, analýza dat a různé studie s cílem zlepšit služby našich služeb a poskytovat vám doporučení pro naše služby.
• Pokud se účastníte ceny, soutěžní nebo podobné stimulační události, můžeme použít informace, které poskytujete takové programy.

Informace Zveřejnění třetím stranám

Nevyholáme informace přijaté od vás třetím stranám.

Výjimky:

• Pokud je to nezbytné - v souladu se zákonem, soudním řízením, ve zkoušce, a / nebo na základě veřejných dotazů nebo žádostí ze státních orgánů na území Ruské federace - odhalit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud definujeme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, zachování práva a pořádku nebo jiných sociálně důležitých případů.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme sdělit osobní údaje, které shromažďujeme odpovídající třetí straně - nástupce.

Ochrana osobních údajů

Děláme bezpečnostní opatření - včetně administrativní, technické a fyzické - k ochraně vašich osobních údajů ze ztráty, krádeže a bezohledného použití, jakož i neautorizovaného přístupu, zveřejnění, změn a zničení.

Dodržování vašich soukromí na úrovni společnosti

Aby se ujistil, že vaše osobní údaje jsou bezpečné, přinášíme našim zaměstnancům normu důvěrnosti a bezpečnosti a přísně dodržujte provádění opatření v oblasti důvěrnosti.