Definice přírůstku. Přednáška

1. Přírůstek argumentu a přírůstku funkce.

Nechte funkci poskytnout. Vezměte dva hodnoty argumentu: počáteční a změnil, což je obvyklé
kde - hodnota, jejíž argument mění během přechodu z první hodnoty na druhou, nazývá se přírůstek argumentu.

Hodnoty argumentu a odpovídají určitým hodnotám funkce: počáteční a změněn
, Množství Na které hodnota funkce se změní, když je argument změněn hodnotou, je volána funkce přírůstku.

2. Koncept limitu funkce v místě.

Číslo nazývá limit funkce
s hledáním Pokud pro libovolné číslo
existuje taková číslo
To vůbec
uspokojující nerovnost
bude provedena nerovnost
.

DALŠÍ DEFINICE: Číslo se nazývá limit funkce při hledání, pokud pro libovolné číslo je takový souseda bodu, který je určen pro některý z tohoto sousedství. Označuje
.

3. nekonečně velké a nekonečně malé funkce v okamžiku. Nekonečně malá funkce v bodě je funkce, jejíž limit, když usiluje o tento bod, je nula. Infonentálně velká funkce v bodě je funkce limitu, jehož když má tendenci v tomto bodě, se rovná nekonečnu.

4. Hlavní věty o limitech a vyšetřováním (bez důkazu).

důsledkem: Stálý násobitel lze dosáhnout mimo limit:

Pokud je sekvence I. konvergence a limit sekvence se liší od nuly, pak

důsledkem: Trvalý multiplikátor lze dosáhnout limitem.

11. Pokud existují limity funkcí
a
a limit funkce se liší od nuly,

pak existuje také limit jejich vztahu, rovný vztah Limity funkcí a:

12. Pokud.
T.
, Spravedlivý a obrácený.

13. Teorém na limitu mezilehlé sekvence. Pokud je sekvence
kraj, I.
a
že

5. Mezní funkce v nekonečnu.

Číslo A se nazývá limit funkce v nekonečnu, (na x hledat nekonečno), pokud pro jakýkoliv sekvence hledající nekonečno
odpovídá posloupnosti hodnot těch těch, kteří jsou oddáni k číslu ale.

6. Diatensses. číselná sekvence.

Číslo ale nazývá limit numerické sekvence, pokud pro všechny kladné číslo nalezeno přirozené číslo N, tak to vůbec n.> N. Je provedena nerovnost
.

Je symbolicky stanoveno:
veletrh.

Skutečnost, že číslo ale Jedná se o limit sekvence, je indikován následovně:

7. "e". Přírodní logaritmy.

Číslo "E" představuje limit numerické sekvence n.- člen, který
, tj.

Přírodní logaritmus - logaritmus e. jsou indikovány přírodní logaritmy
bez určení základu.

Číslo
umožňuje pohybovat se od desetinný logaritmus přirozené a zadní.

To se nazývá přechodový modul z přírodních logaritmů až desetinných míst.

8. nádherné limity
,

První úžasný limit:

Tak, as.

Terminálovou sekvencí Limit Teorem

druhý nádherný limit:

Prokázat existenci limitu
Použité Lemma: Pro všechny skutečné číslo
a
Poměrně nerovnost
(2) (kdy
nebo
nerovnosti odvolání na rovnost.)

Sekvence (1) může být napsána následovně:

Zvažte pomocnou sekvenci se společným členem.
Ujistěte se, že se snižuje a je omezena na níže:
Pokud
Sekvence se snižuje. Pokud
Sekvence je omezena na níže. Ukaž to:

na základě rovnosti (2)

tj.
nebo
. To znamená, že sekvence se snižuje a tak dále. Sekvence je omezena na níže. Pokud sekvence klesá a je omezena na níže, má limit. Pak

má limit a sekvenci (1), protože.

a
.

L. Euler tento limit nazvaný .

9. Jednosměrné limity, porušení funkce.

Číslo a levý limit, pokud je následující následující pro jakoukoliv sekvenci :.

Číslo a správný limit, pokud je následován následující postup :.

Pokud je to v místě ale Funkce určování funkce nebo jeho hranice patřící, stav kontinuity funkce je narušena, pak bod ale nazvaný bod zlomu nebo prasknutí funkce. Pokud je bod

12. Součet členů nekonečné snižování geometrický postup. Geometrický progrese je sekvence, ve které se vztah mezi následnými a předchozími poslancemi zůstává nezměněn, tento vztah se nazývá Denominator progrese. Množství první n. Členové geometrického progrese vyjádřují vzorec
tento vzorec je vhodný pro snižování geometrického progrese - progrese, z nichž je absolutní hodnota jeho jmenovatele menší než nula. - první termín; - denominátor progrese; - počet shromážděných členů sekvence. Součet nekonečného klesajícího progrese je číslo, do kterého součet prvních členů klesajícího progrese počtu klesajících progrese je zanedbána neomezeným zvýšením počtu.
t. o. Součet členů nekonečně klesající geometrické progrese je roven .

Nechť x být libovolný bod, který letí v určitém prostředí pevného bodu x 0. Rozdíl X - X 0 je považován za volání přírůstku nezávislým proměnným (nebo zvýšením argumentu) v bodě x 0 a označuje Δx. Takto,

Δx \u003d x -x 0,

odkud to následuje

Chránit funkci -rozdíl mezi oběma hodnotami funkce.

Nechte funkci určit w. = f (x)definována s hodnotou argumentu h. 0. Dejme přírůstku argumentu D h., ᴛ.ᴇ. Zvažte hodnotu argumentu x. 0 + D. h.. Předpokládejme, že tato hodnota argumentu je také zahrnuta do definiční oblasti této funkce. Pak rozdíl D. y. = f (x. 0 + D. x) – f (x 0) Je obvyklé být nazýván přírůstkem funkce. Ochrana funkce f.(x.) V místě x. - Funkce je obvykle označena Δ X f. Z nové proměnné Δ x. definováno jako

Δ X f.(Δ x.) = f.(x. + Δ x.) − f.(x.).

Najděte přírůstek argumentu a přírůstek funkce v bodě x 0, pokud

Příklad 2. Najděte přírůstek funkce f (x) \u003d x 2, pokud x \u003d 1, ΔH \u003d 0,1

Řešení: F (x) \u003d x 2, f (x + Δh) \u003d (x + Δh) 2

Najděte přírůstek funkce Δf \u003d f (x + Δx) - f (x) \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2x * Δx + Δx 2 - x 2 \u003d 2x * Δx + Δx 2 /

Nahradíme hodnoty X \u003d 1 a ΔH \u003d 0,1, získáme Δf \u003d 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 \u003d 0,2 + 0,01 \u003d 0,21

Najít přírůstek argumentu a zvýšit funkci v bodech x 0

2.f (x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. F (x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. F (x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3.8

Definice: Derivace Funkce v okamžiku, to je obvyklé volání limitu (pokud existuje a konečný) poměr přírůstku funkce do přírůstku argumentu za předpokladu, že tato latter má tendenci k nule.

Následující označení derivátu jsou nejčastější:

Takto,

Nalezení derivátu zvaného volání diferenciace . Představen definice diferencované funkce: Funkce F, která má derivaci v každém bodě určité mezery, se nazývá diferencovatelná v daném intervalu.

Předpokládejme, že v některých sousedství Dimillas se funkce výkonnosti funkce nazývá takové číslo, které funkce v okolním prostoru U.(x. 0) lze reprezentovat jako

f.(x. 0 + h.) = f.(x. 0) + Ach. + Ó.(h.)

pokud existuje.

Definice funkce derivace v místě.

Nechte funkci f (x) Definován v intervalu (a; b)a - body této mezery.

Definice. Odvozená funkce f (x) V okamžiku je obvyklé volání limitu vztahu funkce funkce pro zvýšení argumentu. Označuje.

Když poslední limit trvá konkrétní konečnou hodnotu, pak mluví o existenci konečná derivace v místě. V případě, že je limit nekonečný, říkají to derivát Infinite v tomto bodě. V případě, že pokud limit neexistuje, pak funkce derivace v tomto bodě neexistuje.

Funkce f (x) V bodě, kdy má v něm konečný derivát.

V případě funkce f (x) diferencovatelnost v každém bodě nějakého intervalu (a; b)Funkce se v tomto intervalu nazývá diferencovatelná. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, libovolný bod x. Z mezery (a; b) V tomto bodě můžete vložit v souladu s hodnotou derivátové funkce, tj. Máme schopnost určit novou funkci zvanou odvozenou funkci f (x) V intervalu (a; b).

Provozování derivátu je obvyklá být nazývána diferenciace.

lékařská a biologická fyzika

Přednáška №1

Derivace a diferenciální funkce.

Soukromé deriváty.

1. Koncept derivátu, jeho mechanického a geometrického významu.

ale ) Přírůstek argumentu a funkce.

Nechte funkci Y \u003d f (x), kde je hodnota argumentu z funkce určování funkce. Pokud zvolíte dvě hodnoty argumentu X O a X z určitého intervalu oblasti definice funkce, rozdíl mezi oběma hodnotami argumentu se nazývá přírůstek argumentu: X - X O \u003d ΔH.

Hodnota argumentu X může být stanovena pomocí X 0 a jeho přírůstkem: X \u003d X O + AH.

Rozdíl mezi oběma hodnotami funkce se nazývá přírůstek funkce: ΔY \u003d Δf \u003d f (x o + Δh) - f (x o).

Přírůstek argumentů funkce může být reprezentován graficky (obr. 1). Přírůstek argumentu a přírůstek funkce může být pozitivní i negativní. Z obr. 1 z obr. 1 je geometricky přírůstek argumentu Δх znázorněn přírůstkem abscisy a přírůstek funkce ΔU je přírůstkem ordinátu. Výpočet funkce přírůstku by měl být proveden v následujícím pořadí:

dáváme argument přírůstek Δх a získat hodnotu - X + AX;

2) Najdeme hodnotu funkce pro hodnotu argumentu (X + AH) - F (X + AH);

3) Najdeme přírůstek funkce Δf \u003d f (x + Δh) - f (x).

Příklad:Určete přírůstek funkce Y \u003d x 2, pokud se argument změnil z X O \u003d 1 až x \u003d 3. Pro bod X o hodnotě funkce F (X O) \u003d x²; Pro bod (XO + AH) hodnotu funkce F (X O + AH) \u003d (X O + AH) 2 \u003d x² asi + 2x O ΔH + ΔH2, odkud Δf \u003d f (x o + δх) -f (xo) \u003d (xo + Δh) 2-² o \u003d x² přibližně + 2x ΔH + ΔH 2-x² o \u003d 2x о Δх + δх 2; Δf \u003d 2x O ΔH + ΔH 2; Δh \u003d 3-1 \u003d 2; Δf \u003d 2 · 1 · 2 + 4 \u003d 8.

b)Úkoly vedoucí k konceptu derivátu. Stanovení derivátu, jeho fyzický význam.

Koncepce přírůstku argumentu a funkce je nezbytný pro zavedení konceptu derivátu, který historicky vznikl na potřebě určit rychlost určitých procesů.

Zvažte, jak je možné určit rychlost přímočarého pohybu. Nechte tělo pohybovat rovně podle zákona: Δѕ \u003d  · Δt. Pro hodnotu hodnotitele:  \u003d Δѕ / Δt.

Pro variabilní pohyb, hodnota Δѕ / Δtodetes hodnoty cp. , tj.  Cf. \u003d Δѕ / Δt. Průměrná rychlost není možné odrážet vlastnosti pohybu těla a dát představu o skutečné rychlosti v čase t. S poklesem v době, tj. Když Δt → 0, průměr se rychle vrátí k jeho limitu - okamžitá rychlost:

 MGN. \u003d.
 St. \u003d.
Δѕ / Δt.

Stejným způsobem se stanoví okamžitá chemická reakční rychlost:

 MGN. \u003d.
 St. \u003d.
Δх / Δt,

kde X je množství látky vytvořené během chemické reakce během T. Takové problémy při určování rychlosti různých procesů vedly k úvodu v matematice koncept derivátové funkce.

Nechte kontinuální funkci f (x), stanovenou na intervalu] A, v přírůstku Δf \u003d f (x + Δh) -f (x).
je to funkce Δх a vyjadřuje průměrnou rychlost změny funkce.

Limit vztahu když δх → 0, za předpokladu, že tento limit existuje, se nazývá odvozená funkce :

y "x \u003d

.

Derivace je uveden:
- (Sharpery čárového kódu X); F " (x) - (EF čárový kód x) ; y "- (žralokový čárový kód); dy / dx – (Decre pro de x); - (hrát s bodem).

Na základě definice derivátu lze říci, že okamžitá rychlost přímého pohybu je odvozena od doby:

 MGN. \u003d S "t \u003d f " (t).

Lze tedy dospět k závěru, že derivát argumentu X je okamžitá míra změny ve funkci f (x):

u "x \u003d f " (x) \u003d  mgn.

To je fyzický význam derivátu. Proces zjištění derivátu se nazývá diferenciace, proto výraz "indity funkce" je ekvivalentní výrazu "najít funkci derivace".

v)Geometrický význam derivace.

P.
provozní funkce Y \u003d f (x) má jednoduchý geometrický význam spojený s konceptem řádky křivky v určitém okamžiku. Zároveň tangent, tj. Přímá linie je analyticky exprimována ve formě Y \u003d KH \u003d TG · X, kde – Úhel sklonu tangenciální (rovně) do osy X představí kontinuální křivku jako funkci Y \u003d F (X), vezměte bod M 1 blízko k němu na křivce a dejte zajišťovací bod. Jeho úhlový koeficient k sec \u003d tg β \u003d . Pokud přinesete bod M 1 až M, pak přírůstek argumentu Δх bude se snažit o nulu a sekver pro β \u003d α bude trvat polohu tečny. Obrázek 2 následuje: TGa \u003d
tgp \u003d.
\u003d y "x. Ale tgαins úhlový koeficient tangent k grafu funkce:

k \u003d tgα \u003d
\u003d y "x \u003d f " (X). Úhlový koeficient tangenciální k grafu funkce v tomto bodě se rovná jeho derivátu v bodu doteku. To je geometrický význam derivátu.

d)Obecné pravidlo nalezení derivátu.

Na základě odhodlání derivátu může být proces diferenciace funkce reprezentován následovně:

f (x + Δh) \u003d f (x) + Δf;

najděte přírůstek funkce: Δf \u003d f (x + Δh) - f (x);

poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu je:

;

Příklad:f (x) \u003d x 2; F. " (x) \u003d?.

Nicméně, jak je vidět i z tohoto jednoduchého příkladu, použití specifikované sekvence při užívání derivátů je časově náročný proces a komplex. Proto jsou zadány různé funkce obecné vzorce Diferenciace, která jsou prezentována ve formě tabulky "Základní diferenciace vzorců funkcí".

Ne vždy v životě, zajímáme se o přesné hodnoty všech hodnot. Někdy je zajímavé znát změnu této hodnoty, například průměrnou rychlostí sběrnice, poměr velikosti pohybu do časového intervalu atd. Chcete-li porovnat hodnoty funkce v určitém bodě s hodnotami stejné funkce v jiných bodech, je vhodné použít takové koncepty jako "přírůstek funkce" a "přírůstek argumentu".

Pojmy "přírůstek funkce" a "přírůstek argumentu"

Předpokládejme, že X je nějaký libovolný bod, který leží v libovolném sousedství bodu X0. Přírůstek argumentu v bodě X0 je rozdíl X-X0. Přírůstek se označuje následovně: Δх.

Δх \u003d X-X0.

Někdy se tato velikost nazývá také přírůstek nezávislé proměnné v bodě X0. Z výše uvedeného vzorce: X \u003d X0 + AH. V takových případech se říká, že počáteční hodnota nezávislé proměnné X0, získané přírůstek k δх.

Pokud změníme argument, hodnota funkce se také změní.

f (x) - f (x0) \u003d f (x0 + Δh) - f (x0).

Přírůstek funkce f v bodě x0, Odpovídající přírůstek je Δh nazvaný rozdíl f (x0 + Δh) - f (x0). Přírůstek funkce je indikován následovně Δf. Získáme tedy podle definice:

Δf \u003d f (x0 + Δx) - f (x0).

Někdy se Δf také nazývá přírůstek závislé proměnné a použít ΔU pro označení, pokud je funkce, například y \u003d f (x).

Geometrický význam přírůstku

Podívejte se na další výkres.

Jak vidíte, přírůstek ukazuje změnu v ordinátu a abscisy bodu. A poměr přírůstku funkce pro zvýšení argumentu určuje úhel sklonu sekvenčního průchodu počáteční a konečné polohy bodu.

Zvažte příklady přírůstku funkce a argumentu

Příklad 1. Najít přírůstek argumentu Δh a přírůstek funkce Δf v bodě x0, pokud f (x) \u003d x 2, x0 \u003d 2 a) x \u003d 1,9 b) x \u003d 2,1

Používáme výše uvedené vzorce:

a) Δh \u003d x-x0 \u003d 1,9 - 2 \u003d -0.1;

Δf \u003d f (1,9) - f (2) \u003d 1,9 2 - 2 \u003d -0,39;

b) Δx \u003d x - x0 \u003d 2,1-2 \u003d 0,1;

Δf \u003d f (2,1) - f (2) \u003d 2,1 2 - 2 \u003d 0,41.

Příklad 2. Vypočítejte přírůstek ΔF pro funkci f (x) \u003d 1 / x v bodě x0, pokud je přírůstek argumentu Δx.

Opět používáme výše uvedené vzorce.

Δf \u003d f (x0 + Δx) - f (x0) \u003d 1 / (x0-Δx) - 1 / x0 \u003d (x0 - (x0 + Δx) / (x0 * (x0 + Δx)) \u003d - Δx / ( (x0 * (x0 + Δx)).

Definice 1.

Pokud pro každý pár $ (X, Y) $ z hodnot dvou nezávislých proměnných z určité oblasti je vloženo v souladu s určitou hodnotou $ Z $, pak se říká, že $ Z $ je funkcí Dva proměnné $ (x, y) $. Označení: $ z \u003d f (x, y) $.

S ohledem na funkci $ z \u003d f (x, y) $ považujeme za koncepci obecné (plné) a soukromých přírůstků funkce.

Nechte funkci $ z \u003d f (x, y) dvě nezávislé proměnné $ (x, y) $.

Poznámka 1.

Vzhledem k tomu, že proměnné $ (x, y) $ jsou nezávislé, pak jeden z nich může být změněn, a druhý udržet konstantní hodnotu.

Dejte nám proměnnou $ X $ přírůstek $ Delta x $, zatímco ukládáte hodnotu proměnné $ y $ nezměněna.

Pak funkce $ z \u003d f (x, y) obdrží přírůstek, který bude označen jako soukromý přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ za proměnnou $ x $. Označení:

Podobně poskytneme proměnnou $ Y $ přírůstek $ delta y, zatímco ukládáte hodnotu proměnné $ x $ se nezměněna.

Pak funkce $ z \u003d f (x, y) obdrží přírůstek, který bude nazýván soukromým přírůstkem funkce $ z \u003d f (x, y) $ podél proměnné $ y $. Označení:

Jestliže Argument $ X $ je přírůstkem $ Delta x $, a Argument $ y je přírůstkem $ delta y $, pak úplný přírůstek zadané funkce je $ z \u003d f (x, y) $ . Označení:

Takže máme:

$ Delta _ (x) z \u003d f (x + deelta x, y) -f (x, y) $ - soukromý přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ za $ x $;

$ Delta _ (y) z \u003d f (x, y + deelta y) -f (x, y) $ - soukromý přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ za $ y $ y;

$ Delta Z \u003d F (X + Deelta X, Y + Deelta y) -f (x, y) $ je kompletní přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $.

Příklad 1.

Rozhodnutí:

$ Delta _ (x) z \u003d x + deelta x + y $ - soukromý přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ za $ x $;

$ Delta _ (y) z \u003d x + y + delta y je soukromý přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ za $ y $ y.

$ Delta z \u003d x + delta x + y + delta y - kompletní přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $.

Příklad 2.

Vypočítejte soukromý a úplný přírůstek funkce $ z \u003d XY $ v bodě $ (1; 2) $ s $ Deelta X \u003d 0,1;, \\, Deelta Y \u003d 0,1 $.

Rozhodnutí:

Podle definice soukromého přírůstku nalezneme:

$ Delta _ (x) z \u003d (x + deelta x) cdot y $ - soukromý přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ za $ x $

$ Delta _ (y) z \u003d x cdot (y + deelta y) $ - soukromý přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ za $ y $ y;

Definice kompletního přírůstku nalezneme:

$ Delta z \u003d (x + delta x) cdot (y + delta y) $ - kompletní přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $.

Proto,

[Delta _ (x) z \u003d (1 + 0.1) cdot 2 \u003d 2.2] [delta _ (y) z \u003d 1 cdot (2 + 0.1) \u003d 2.1] [delta z \u003d (1 + 0,1) CDOT (2 + 0,1) \u003d 1,1 CDOT 2,1 \u003d 2,31.

Poznámka 2.

Kompletní přírůstek zadané funkce $ z \u003d f (x, y) $ není roven součtu svých soukromých přírůstků $ delta _ (x) z $ a $ delta _ (y) z $. Matematický záznam: $ delta z delta _ (x) z + deelta _ (y) z $.

Příklad 3.

Zkontrolujte komentáře schválení pro funkci

Rozhodnutí:

$ Delta _ (x) z \u003d x + deelta x + y $; $ Delta _ (y) z \u003d x + y + delta y; $ Delta z \u003d x + deelta x + y + delta y (získaný v příkladu 1)

Najdeme množství soukromých přírůstků zadané funkce $ z \u003d f (x, y) $

[Delta _ (x) Z + DEELTA _ (Y) Z \u003d X + DEELTA X + Y + (X + Y + DEELTA Y) \u003d 2 CDOT (X + Y) + DELTA X + \\ t DELTA Y. \\ T

[Delta _ (x) z + delta _ (y) z delta z. \\ T

Definice 2.

Pokud pro každé tři $ (X, Y, Z) hodnot hodnoty tří nezávislých proměnných z určité oblasti, které jsou uvedeny v souladu s určitou hodnotou $ W $, pak se říká, že $ W $ je funkcí Tři proměnné $ (x, y, z) $ v této oblasti.

Označení: $ w \u003d f (x, y, z) $.

Definice 3.

Pokud pro každou součet $ (X, Y, Z, ..., t), hodnoty nezávislých proměnných z určité oblasti jsou uvedeny v souladu s určitou hodnotou $ W $, pak to je řečeno $ W $ je funkcí proměnných $ (x, y, z, ..., t) $ v této oblasti.

Označení: $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $.

Pro funkci tří a více proměnných je podobné tomu, jak je funkce dvou proměnných určena soukromými přírůstky pro každou z proměnných:

$ Delta _ (z) w \u003d f (x, y, z + deelta z) -f (x, y, z) $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z ,. .., t) $ za $ z $;

$ Delta _ (t) w \u003d f (x, y, z, ..., t + deelta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $ za $ t $.

Příklad 4.

Napište soukromé a úplné přírůstek funkce

Rozhodnutí:

Podle definice soukromého přírůstku nalezneme:

$ Delta _ (x) w \u003d ((x + deelta x) + y) cdot Z $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $ na $ x $

$ Delta _ (Y) w \u003d (x + (y + deelta y)) cdot z $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $ za $ y $;

$ Delta _ (z) w \u003d (x + y) cdot (z + delta z) $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $ za $ z $;

Definice kompletního přírůstku nalezneme:

$ Delta w \u003d ((x + delta x) + (y + delta y)) cdot (z + delta z) $ - kompletní přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $.

Příklad 5.

Vypočítejte soukromý a úplný přírůstek funkce $ w \u003d XYZ $ v bodě $ (1; 2; 1) $ s $ deelta x \u003d 0,1;, \\,,,,,,,,,, delta z \u003d 0,1 $.

Rozhodnutí:

Podle definice soukromého přírůstku nalezneme:

$ Delta _ (x) w \u003d (x + deelta x) cdot y cdot z $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $ za $ x $

$ Deelta _ (y) w \u003d x cdot (y + deelta y) cdot z $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $ za $ y $;

$ Delta _ (z) w \u003d x cdot y cdot (z + delta z) $ - soukromý přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $ za $ z $;

Definice kompletního přírůstku nalezneme:

$ Delta w \u003d (x + delta x) cdot (y + delta y) cdot (z + delta z) $ - kompletní přírůstek funkce $ w \u003d f (x, y, z) $ .

Proto,

[Delta _ (x) w \u003d (1 + 0.1) cdot 2 cdot 1 \u003d 2.2] [delta _ (y) w \u003d 1 cdot (2 + 0,1) cdot 1 \u003d 2.1 ] \\ (Delta _ (y) w \u003d 1 cdot 2 cdot (1 + 0,1) \u003d 2.2 \\] [delta z \u003d (1 + 0,1) cdot (2 + 0,1) cdot (2 + 0.1) \\ t 1 + 0,1) \u003d 1.1 CDOT 2.1 CDOT 1.1 \u003d 2.541. \\ T

Z geometrického hlediska, kompletní přírůstek funkce $ z \u003d f (x, y) $ (podle definice $ deelta z \u003d f (x + deelta x, y + deelta y) -f (x, Y) $) se rovná přírůstku aplikace grafu Funkce $ z \u003d F (x, y) $ v přechodu z bodu $ m (x, y) $ do bodu $ m_ (1) (x) + Delta x, y + delta y) $ (obr. 1).

Obrázek 1.