Komplexní deriváty. Logaritmický derivát.
Derivace postupné funkce

Pokračujeme ve zvýšení diferenciační techniky. Na této lekci budeme konsolidovat dokončený materiál, zvažte složitější deriváty, a také seznámit s novými technikami a triky nalezení derivátu, zejména s logaritmickým derivátem.

Že čtenáři, kteří mají nízkou úroveň přípravy, by měli kontaktovat článek Jak najít derivát? Příklady řešeníkteré zvýší vaše dovednosti téměř od nuly. Dále je třeba pečlivě naučit stránku Derivátová komplexní funkce, pochopit a rozbití všechno Příklady dané mě. Tato lekce logicky třetí na účtu a po jeho rozvoji se s jistotou rozlišovat dost komplexní funkce. Je nutné dodržovat pozici "Kde jinde? Ano, a tak dost! ", Protože všechny příklady a techniky jsou převzaty z reálného zkušební práce A často se vyskytují v praxi.

Začněme s opakováním. V lekci Derivátová komplexní funkceprověřili jsme řadu příkladů s podrobnými připomínkami. Během studia diferenciálního počtu a jiných částí matematické analýzy je nutné velmi často rozlišovat, a to není vždy vhodné (a není vždy nutné) pro malování příkladů ve velmi podrobném. Proto praktikujeme v ústním založení derivátů. Nejvhodnější "kandidáty" jsou deriváty nejjednodušších komplexních funkcí, například:

Podle pravidla diferenciace složité funkce :

Při studiu dalších témat matanu v budoucnu není takový podrobný vstup nejčastěji nutný, předpokládá se, že student může najít podobné deriváty na autopilotovém stroji. Představte si, že ve 3 hodinách večer tam byl telefonní hovor a zeptal se pěkný hlas: "Co je to tečkovaný derivát dvou x?" Měla by být dodržena téměř okamžitá a zdvořilá odpověď. .

První příklad bude okamžitě určen samohodnotný.

Příklad 1.

Najít následující deriváty ústně, v jedné akci, například:. Chcete-li provést úkol, musíte použít pouze tabulka derivátů základních funkcí (Pokud ještě nezapomeňte). Pokud je to obtížné, doporučuji přečíst lekci Derivátová komplexní funkce.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovědi na konci lekce

Komplexní deriváty

Po předběžné přípravě umění budou příklady méně hrozné, s 3-4-5 příloh funkcí. Možná, že další dva příklady se budou zdát některé komplikované, ale pokud jim rozumí (někdo a sloupek), pak se téměř všechno ostatní v diferenciálním počtu bude zdát jako dětský vtip.

Příklad 2.

Najít funkci derivace

Jak bylo uvedeno, při hledání derivátové komplexní funkce, především je to nutné že joRozumět investováním. V případech, kdy jsou pochybnosti, připomínám užitečnou recepci: například experimentální význam "X", například a zkuste (mentálně nebo na návrh), abychom tuto hodnotu nahradili v "strašném vyjádření".

1) Nejprve musíme vypočítat výraz, znamená to, že částka je nejhlubší investice.

2) Poté je nutné vypočítat logaritmus:

4) Potom Cosine vybudovat do krychle:

5) V pátém kroku je rozdíl:

6) A konečně, nejvnitřnější funkce je druhá odmocnina:

Komplexní funkce diferenciace Bude aplikována v opačném pořadí, od samotné vnější funkce, na nejvnitřnější. Rozhodneme se:

Zdá se, že žádná chyba ....

(1) Vezměte derivát z druhého kořene.

(2) Přijměte derivaci rozdílu pomocí pravidla

(3) Troika derivace je nula. Ve druhém termínu vezmeme derivaci do stupně (Kuba).

(4) Vezměte derivát kosinu.

(5) Přijměte derivaci logaritmu.

(6) A konečně přijmeme derivaci nejhlubší investice.

Může se to zdát příliš tvrdě, ale to není nejvíce brutálním příkladem. Take, například Kuznetsov kolekce a oceníte krásu a jednoduchost demontovaného derivátu. Všiml jsem si, že ráda dám podobnou věc, kterou bych měl dát zkoušku, abych zkontroloval, chápe studenta, jak najít derivaci komplexní funkce, nebo nerozumí.

Následující příklad je pro nezávislé řešení.

Příklad 3.

Najít funkci derivace

Tip: Nejprve aplikujte pravidla linearity a odvození práce

Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Je čas se přestěhovat na něco kompaktního a pěkného.
Situace není vzácná, když je příklad uveden produkt ne dva, ale tři funkce. Jak najít derivaci z práce tří multiplikátorů?

Příklad 4.

Najít funkci derivace

Za prvé, podívejte se a zda není možné otočit práci tří funkcí do práce dvou funkcí? Například, pokud jsme v práci měli dva polynomy, bylo by možné odhalit závorky. Ale v tomto příkladu jsou všechny funkce různé: stupeň, vystavovatel a logaritmus.

V takových případech je nutné sekvencepoužít výrobu diferenciace dvakrát

Zaměření je, že pro "y" označujeme produkt ze dvou funkcí:, a pro "ve" - \u200b\u200blogaritmus :. Proč to může být provedeno? A ne - To není práce dvou multiplikátorů a pravidlo nefunguje?! Není nic komplikovaného:

Nyní zůstane podruhé použít pravidlo K držáku:

Můžete si stále hrát a vzít něco za závorkami, ale v tomto případě je odpověď lepší opustit v tomto formuláři - bude snazší zkontrolovat.

Použitý příklad lze vyřešit druhým způsobem:

Obě řešení jsou naprosto stejná.

Příklad 5.

Najít funkci derivace

To je příklad pro nezávislé řešení, ve vzorku je vyřešen prvním způsobem.

Zvažte podobné příklady s frakcemi.

Příklad 6.

Najít funkci derivace

Zde můžete jít několika způsoby:

Nebo tak:

Ale řešení bude napsáno kompaktnější, pokud nejprve použije soukromé diferenciační pravidlo Přijetí pro celý numerátor:

V zásadě je vyřešen příklad, a pokud jej necháte v tomto formuláři, nebude chybou. Ale za přítomnost času je vždy vhodné zkontrolovat návrh, a je možné zjednodušit odpověď? Představujeme výraz numerátoru společným jmenovatelem a zbavte se třípodlažních frakcí:

Mínus dodatečných zjednodušení je, že existuje riziko, že by umožnilo chybu, kdy již derivát již zakládá, ale když transformace banálních škol. Na druhé straně učitelé často pamatují na úkol a požádají o "přinést na mysl" derivát.

Jednoduchý příklad pro vlastní řešení:

Příklad 7.

Najít funkci derivace

Pokračujeme v naučení receptů derivátu, a nyní budeme zvažovat typický případ, kdy "děsivý" logaritmus je navržen pro diferenciaci

Příklad 8.

Najít funkci derivace

Zde můžete jít dlouho pomocí pravidla diferenciace komplexní funkce:

Ale první krok okamžitě se změní na desondency - aby se nepříjemný derivát zlomkového stupně, a pak také z frakce.

proto před Jak vzít derivaci z "složitého" logaritmu, je předběžně zjednodušen pomocí slavných vlastností školy:

! Pokud má vaše ruka notebook s praxí, přepište tyto vzorce přímo tam. Pokud není notebook, přesměrován je na leták, protože zbývající příklady lekce se otáčí kolem těchto vzorců.

Samotné rozhodnutí může být vydáno něco takového:

Funkci převedeme:

Najděte derivát:

Předběžná transformace samotné funkce významně zjednodušilo roztok. Tak, když je navržen podobný logaritmus pro diferenciaci, je vždy vhodné "zničit".

A nyní pár jednoduchých příkladů pro nezávislé řešení:

Příklad 9.

Najít funkci derivace

Příklad 10.

Najít funkci derivace

Všechny transformace a odpovědi na konci lekce.

Logaritmický derivát

Pokud je derivát logaritmů takovou sladkou hudbou, vyvstává otázka, a zda je nemožné organizovat logaritmus v některých případech? Umět! A dokonce potřebují.

Příklad 11.

Najít funkci derivace

Související příklady jsme nedávno zvažovali. Co dělat? Je možné důsledně aplikovat pravidlo diferenciace poměrů a pak pravidlo derivace produktu. Nevýhodou metody je, že obrovský třípatrový záběr, s nimiž se vůbec nechci vypořádat.

Teoreticky a praxi je však tak úžasná věc jako logaritmický derivát. Logaritmy mohou být organizovány uměle, "navigovat" na obou částech:

Nyní potřebujete "vytrhnout" logaritmus pravé strany (vzorec před očima?). Budu tento proces SIP velmi podrobně:

Skutečně přistoupit k diferenciaci.
Diskutujeme oba díly pod čárovým kódem:

Derivace pravé strany je poměrně jednoduchý, nebudu se k němu komentovat, protože pokud si přečtete tento text, musíte se s ním zvládat.

Jak být s levou stranou?

V levé části USA komplexní funkce. Předvídám otázku: "Proč, tam je jedna Bukova" Igarek "pod logaritmem?".

Skutečnost je, že tento "jeden bucch hry" - Sama o sobě je funkce (Pokud není příliš jasné, podívejte se na článek odvozený z implicitně uvedené funkce). Proto je logaritmus externí funkce a "IGREK" je interní funkce. A používáme pravidlo diferenciace komplexní funkce :

V levé straně jako manuál kouzelná hůlka Jsme "odvozeni" derivát. Dále, podle pravidla podílu, hodíme "Igarek" z jmenovatele levé strany k horní části pravé strany:

A teď si pamatuji, jaké takové "Igrek" byly rozumné diferenciaci? Podíváme se na stav:

Závěrečná odpověď:

Příklad 12.

Najít funkci derivace

To je příklad nezávislého řešení. Vzorový design příkladu tohoto typu na konci lekce.

S pomocí logaritmického derivátu můžete vyřešit některý z příkladů č. 4-7, další věc, kterou funkce jsou jednodušší, a možná použití logaritmického derivátu není příliš osvobozeno.

Derivace postupné funkce

Tato funkce jsme ještě nepovažovali. Skutečná indikativní funkce je funkce, která a stupeň a nadace závisí na "x". Klasický příkladkterý vás povede v jakékoli učebnici nebo na jakékoli přednášce:

Jak najít derivát z postupné indikativní funkce?

Je nutné používat právě zvažovat recepci - logaritmický derivát. Umístění logaritmů na obou částech:

Zpravidla se v pravé části logaritmusu provede stupeň:

Výsledkem je, že na pravé straně jsme měli produkt dvou funkcí, které budou diferencovány standardním vzorcem .

Najdeme derivát, za to jsme dospěli na obou dílů pro doteky:

Další kroky jsou snadné:

Konečně:

Pokud některá transformace není zcela jasná, pozorně přečtěte vysvětlení příkladu č. 11.

V praktických úkolech bude kroková indikativní funkce vždy obtížnější než uvažovaná přednáška.

Příklad 13.

Najít funkci derivace

Použijte logaritmický derivát.

V pravé části, máme konstantní a práci dvou faktorů - "Iksa" a "Logarithm logaritmus" (pro logaritmus ještě jeden logaritmus). Při diferenciaci konstanta, jak si pamatujeme, je lepší okamžitě vyjmout označení derivátu tak, aby nedošlo k nohám; A samozřejmě aplikujeme známé pravidlo :

Jak vidíte, algoritmus aplikace logaritmického derivátu neobsahuje některé konkrétní triky nebo triky, a nález derivace postupné indikativní funkce obvykle není spojeno s "trápení".

Výpočet derivátu - jeden z nejdůležitějších operací v diferenciálním počtu. Níže je uveden tabulka hledání derivátů jednoduchých funkcí. Komplexnější diferenciační pravidla, viz další lekce:

• Tabulka derivátů exponenciálních a logaritmických funkcí

Omezené vzorce používají jako referenční hodnoty. Pomohou při řešení diferenciálních rovnic a úkolů. Na obrázku, v tabulce derivátů jednoduchých funkcí, "podvádět" základních případů derivátu derivátu v formativním pro použití, existují vysvětlení pro každý případ vedle něj.

Deriváty jednoduchých funkcí

1. Derivace čísla je nula
c '\u003d 0.
Příklad:
5 '\u003d 0.

Vysvětlení:
Derivace zobrazuje rychlost změny hodnoty funkce, když se argument změní. Vzhledem k tomu, že počet se v žádném případě nezmění - rychlost jeho změny je vždy nulová.

2. Derivace proměnné rovna jednoty
x '\u003d 1.

Vysvětlení:
S každým přírůstkem argumentu (x) na jednotku se zvyšuje hodnota funkce (výsledek výpočtů) na stejné velikosti. Rychlost změny hodnoty funkce Y \u003d X je tedy přesně rovna rychlosti změny hodnoty argumentu.

3. Derivace proměnné a násobitele se rovná tohoto faktoru
cX '\u003d S.
Příklad:
(3x) '\u003d 3
(2x) '\u003d 2
Vysvětlení:
V tomto případě s každou změnou argumentu funkce ( h.) Jeho hodnota (y) roste z čas. Tak, míra změny hodnoty funkce s ohledem na míru změny argumentu je přesně stejná z.

Odkud to následuje
(CX + B) "\u003d C
to je diferenciální lineární funkce Y \u003d kx + b se rovná úhlovému koeficientu náklonu (k).

4. Derivát modulu rovna soukromé proměnné své modulu
| X |\u003d x / | x | za předpokladu, že x ≠ 0
Vysvětlení:
Vzhledem k tomu, že variabilní derivát (viz vzorec 2) se rovná jednotce, derivát modulu se odlišuje pouze skutečností, že hodnota funkce změn funkcí se mění na opak, když je zkřížen bod původu původu (Zkuste kreslit funkci Y \u003d | X | a ujistěte se, že si sami. hodnota a vrátí výraz x / | x |. když x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - Jednota. To znamená, že se zápornými hodnotami proměnné x Pokaždé, když se změna argumentu sníží hodnotu funkce na přesně stejnou hodnotu a s pozitivním - naopak se zvyšuje, ale přesně stejný význam.

5. Derivace stupňů rovnající se produktu počtu tohoto stupně a proměnlivé do stupně sníženého o jeden
(x c) "\u003d cx c-1, za předpokladu, že X C a CX C-1 jsou definovány a c ≠ 0
Příklad:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3x 2
Zapamatovat vzorec:
Udělejte stupeň proměnné "Down" jako multiplikátor, a pak snížit stupeň stupně na jednotku. Například pro X 2 - dva se ukázaly být před ICA a pak snížený stupeň (2-1 \u003d 1) jednoduše dal 2x. Stejná věc se stala pro X 3 - Three tři "sestup dolů", snižujeme ji na jednotku a místo krychle máme čtverec, to je 3x 2. Trochu "ne vědecky", ale velmi snadné si pamatovat.

6. Odvozený 1 / X.
(1 / x) "\u003d - 1 / x 2
Příklad:
Protože frakce může být reprezentována jako konstrukce negativního stupně
(1 / x) "\u003d (x -1)", pak můžete použít vzorec z pravidla 5 tabulky derivátu
(X -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2

7. Odvozený s variabilním stupněm v denominator
(1 / x c) "\u003d - C / X C + 1
Příklad:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. Kořenový derivát (odvozená proměnná pod odmocnina)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) nebo 1/2 x -1/2
Příklad:
(√x) "\u003d (x 1/2)" Takže můžete použít vzorec z pravidla 5
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivační proměnná v rámci náhodného stupně
(n √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)

Definice postupné funkce. Výstup vzorce pro výpočet jeho derivátu. Příklady výpočtu derivátů s indikátorovými funkcemi jsou podrobně demontovány.

Skus-orientační funkce - Jedná se o funkci, která má typ výkonu
y \u003d u v,
Ve kterém základu U a stupeň v indikátoru jsou některé funkce z proměnné x:
u \u003d U. (X); V \u003d V. (X).
Tato funkce je také volána zajistit výkon nebo.

Všimněte si, že napájení orientační funkce Lze reprezentovat v orientačním formuláři:
.
Proto se také nazývá komplexní indikativní funkce.

Výpočet pomocí logaritmického derivátu

Najděte derivát postupné funkce
(2) ,
kde a tam jsou funkce z proměnné.
Za tímto účelem je rovnice (2) logarithmehing pomocí vlastnosti Logarithm:
.
Rozlišování proměnnou X:
(3) .
Aplikovat diferenciační pravidla komplexní funkce A práce:
;
.

Nahrazujeme (3):
.
Odtud
.

Takže jsme našli derivát postupné indikativní funkce:
(1) .
Pokud je indikátor konstantní, pak. Derivát se pak rovná derivátu komplexní funkce výkonu:
.
Pokud je základem stupně konstantní. Poté se derivát rovná derivátové komplexní indikativní funkci:
.
Když a jsou funkce z x, derivace postupné indikativní funkce se rovná součtu derivátů složitých výkonových a orientačních funkcí.

Výpočet derivátu tím, že přináší komplexní indikativní funkci

Nyní najděte derivát postupné funkce
(2) ,
Představující ji jako komplexní indikativní funkce:
(4) .

Rozlišování práce:
.
Použijte pravidlo nalezení derivátové komplexní funkce:

.
A opět jsme dostali vzorec (1).

Příklad 1.

Najděte derivaci následující funkce:
.

Rozhodnutí

Vypočítejte pomocí logaritmického derivátu. Logarithming Zdrojová funkce:
(P1.1) .

Z tabulky derivátů nalezneme:
;
.
Derivačním vzorcem máme:
.
Diferiaiáza (P1.1):
.
InfoFar as.
,
že
.

Odpovědět

Příklad 2.

Najít funkci derivace
.

Rozhodnutí

Logarithming Zdrojová funkce:
(P2.1) .

Důkaz a výstup derivátu vzorce (E do stupně X) a indikativní funkce (A do stupně X). Příklady výpočtu derivátů z E ^ 2x, E ^ 3x a E ^ NX. Deriváty vzorců vyšších objednávek.

Derivace exponátu se rovná samotnému vystavovateli (derivát E do stupně X se rovná e do stupně x):
(1) (E x) '\u003d e x.

Derivace orientační funkce se základnou stupně A se rovná samotné funkci vynásobené přírodní logaritm. Z A:
(2) .

Výstup vzorce derivátu exponentu E do stupně x

Vystavovatel je indikativní funkce, ve které je stupeň základna rovna počtu E, což je následující limit:
.
Zde může být přirozené i skutečné číslo. Dále odvozujeme vzorec (1) derivátu exponátu.

Výstup vzorce derivace exponátu

Zvažte vystavovatele e do stupně x:
y \u003d e x.
Tato funkce je definována pro všechny. Najděte jeho derivaci v proměnné x. Derivát je podle definice následující limit:
(3) .

Tento výraz transformujeme, abychom ho snížili na známé matematické vlastnosti a pravidla. Za tímto účelem budeme potřebovat následující fakta:
ALE) Vystavovatelé nemovitostí:
(4) ;
B) Vlastnost Logarithm:
(5) ;
V) Kontinuita logaritmu a vlastnosti limitů pro nepřetržitou funkci:
(6) .
Zde je určitá funkce, která má limit a tento limit je pozitivní.
D) Hodnota druhého pozoruhodného limitu:
(7) .

Tyto fakta používáme k našemu limitu (3). Používáme nemovitost (4):
;
.

Substituci. Pak; .
Vzhledem k kontinuitě vystavovatelů,
.
Proto, kdy ,. V důsledku toho se dostaneme:
.

Substituci. Pak. S ,. A máme:
.

Applicate Logarithm (5):
. Pak
.

Použít vlastnost (6). Vzhledem k tomu, že je kladný limit a logaritmus nepřetržitě, pak:
.
Zde jsme také využili druhého nádherného limitu (7). Pak
.

Získali jsme tedy vzorec (1) derivátu exponátu.

Výstup vzorce derivátu indikativní funkce

Nyní budeme odvodit vzorec (2) derivátu orientační funkce na základě stupně A. Věříme tomu. Pak indikativní funkce
(8)
Definováno pro všechny.

Transformujeme vzorec (8). K tomu, používáme vlastnosti orientační funkce a logaritmus.
;
.
Takže jsme transformovali vzorec (8) do následujícího formuláře:
.

Deriváty vyšších objednávek z E do stupně x

Nyní najdeme deriváty vyšších objednávek. Nejprve zvážit vystavovatele:
(14) .
(1) .

Vidíme, že derivace funkce (14) se rovná samotné funkci (14). Rozlišování (1) získáme deriváty druhé a třetího řádu:
;
.

Je vidět, že derivace N-tého pořadí se rovná také zdrojové funkce:
.

Deriváty vyšších příkazů orientační funkce

Nyní zvažte orientační funkci se základem stupně A:
.
Našli jsme její derivaci prvního řádu:
(15) .

Rozlišení (15) získáme deriváty druhé a třetího řádu:
;
.

Vidíme, že každá diferenciace vede k násobení původní funkce. Proto derivace N-tého řádu má následující formulář:
.

Toto video začínám dlouhou řadu lekcí věnovaných derivátu. Tato lekce se skládá z několika částí.

Za prvé, řeknu vám, že obecně takové deriváty a jak je počítat, ale ne akademický jazyk moudrosti, ale jak sám chápe a jak jsem vysvětlím svým studentům. Zadruhé zvážíme nejjednodušší pravidlo k řešení problémů, ve kterých budeme hledat derivační součty, derivátové rozdíly a deriváty funkce výkonu.

Podíváme se na složitější kombinované příklady, z nichž se zjistíme, že tyto problémy obsahující kořeny a dokonce i frakce mohou být vyřešeny pomocí vzorce derivátu funkce výkonu. Kromě toho bude existovat mnoho úkolů a příkladů řešení nejrůznějších stupňů složitosti.

Obecně, zpočátku jsem mohl napsat krátký 5minutový válec, ale zjistit, co se od toho stalo. Proto texty stačí - pokračovat do podnikání.

Co je derivát?

Začněme si z dálky. Před mnoha lety, kdy byly stromy Greine, a život byl zábavnější, matematika přemýšlela o tom, co: Zvažte jednoduchou funkci specifikovanou vaším rozvrhem, nazýváme to $ y \u003d f vlevo (X vpravo) $. Samozřejmě, že plán existuje sama o sobě, takže potřebujete strávit osu $ x $, stejně jako osa $ y $. A nyní si vybereme libovolný bod na tomto grafu, absolutně jakýkoliv. Abscissa se nazývá $ (x) _ (1)) $, ordinate, protože není obtížné odhadnout, že bude $ f doleva (((x) _ (1)) vpravo) $.

Zvažte stejný plán jiný bod. Nezáleží na tom, co je nejdůležitější, liší se od počátečního. V ní, znovu, tam je abscissa, říkáme to $ ((x) _ (2)) $, stejně jako ordinate - $ f levé (((x) _ (2)) vpravo) $.

Tak jsme obdrželi dva body: mají odlišnou abscissu, a proto, různé hodnoty Funkce, i když je tato volitelná. Ale co je opravdu důležité, takže je to z kurzu Planimeria víme: můžete utratit přímo ve dvou bodech a pouze jeden. Tady strávíme a utratíme.

A teď budu strávit prvním z prvního z nich přímo, paralelní ose abscisy. Dostávat pravoúhlý trojuhelník. Dejme to $ ABC $, přímý úhel $ C $. Tento trojúhelník má jeden velmi zajímavý majetek: faktem je, že úhel $ \\ alfa $ se ve skutečnosti rovná rohu, pod kterým je přímý $ AB $ se protínají s pokračováním osy Abscissa. Soudce pro sebe:

1. direct $ AC $ paralelně s osou $ OX $ Stavebnictví,
2. direct $ ab $ kříže $ AC $ pod $ \\ alpha $
3. v důsledku toho, $ AB $ kříže $ OX $ pod stejnými $ \\ alfa $.

Co můžeme říci o $ text ()! \\! Nic betonu, s výjimkou toho, že v poměru trojúhelníku $ ABC $ BC $ rattu do $ AC $ Catelet se rovná tečnosti tohoto velmi rohu. Takže napište:

Samozřejmě, že $ AC $ v tomto případě je snadno zvažován:

Podobně, $ bc $:

Jinými slovy, můžeme zaznamenat následující:

[\\ Omístné jméno (TG) \\ T3 ()! \\! \\ Lhůtu! \\ T \\ t-! \\ T \\ t-! \\ T \\ t \\ t \\ t ()) \u003d frac (f doleva ((((((((((((()))? ((x) _ (1)) vpravo)) ((((((x) _ (2)) - ((x) _ (1)) \\ t

Teď, když jsme všichni zjistili, pojďme se vrátit do našeho rozvrhu a zvážit nový bod $ B $. Roztáhněte staré hodnoty a vezměte si a vezměte $ b $ někam blíže k $ ((x) _ (1)) $. Opětovné označení to označujeme do ABSCISSUE za $ ((x) _ (2)) $, a ordinate je $ f vlevo ((((((((x) _ (2)) vpravo) $.

Uvažujeme o našem malém trojúhelníku $ ABC $ a $ \\ T3 ()! \\! Bude zcela zřejmé, že to bude zcela jiný úhel, tečna bude také odlišná, protože délky divizí $ AC $ a $ BC $ BC se významně změnily a vzorec pro tečnou úhlu se nezměnil To je vůbec - to je stále poměr mezi změnou funkce a změnou argumentu.

Konečně, pokračujeme v pohybu $ B $ Blíž k původnímu bodu $ A $, v důsledku toho, trojúhelník bude stále snižovat a přímé obsahující segment $ AB bude stále jako funkce tečna.

V důsledku toho, pokud budete pokračovat v pořadí bodů, tj. Snižte vzdálenost k nule, pak se přímé $ AB $, skutečně se změní na tečnu do harmonogramu v tomto bodě a $ \\ t ! \\ Lhůtu!

A tady hladce jdeme na definici $ F $, a to derivátová funkce na $ (((((((((((x) _ (1)) se nazývá $-alfa $ tangent mezi tečnou k grafu na graf na $ (x x) ) _ ((x) _ (1)) $ a pozitivní směr osy $ OX $:

[(f) "vlevo ((((((((x) _ (1)) vpravo) \u003d \\ Omístné jméno (TG) \\ t \\ t

Vrátit se do našeho rozvrhu, je třeba poznamenat, že jako $ ((x) _ (1)) si můžete vybrat libovolný bod na grafu. Například se stejným úspěchem bychom mohli odstranit tyč v bodě zobrazeného na obrázku.

Úhel mezi tečnou a kladným směrem osy zavolá $ beta $. V souladu s tím, $ f $ za $ ((x) _ (2)) bude $ roven tečnosti tohoto úhlu $ beta $.

[(f) vlevo ((((x) _ (2)) vpravo) \u003d tg \\ t ()!

V každém bodě grafu bude jeho vlastní tečna, a proto jeho hodnota funkce. V každém z těchto případů, kromě bodu, ve kterém hledáme diferenciální derivaci nebo množství, nebo derivát moci funkce, musíte si vzít další bod, který je v určité vzdálenosti od ní, a pak spěchat tento bod K originálu a samozřejmě zjistit, jak v procesu tento hnutí změní tečnou úhel sklonu.

Derivace funkce výkonu

Tato definice nás bohužel nevyhovuje. Všechny tyto vzorce, obrázky, rohy nám nedávají sebemenší představu o tom, jak zvážit skutečné derivace v reálných úkolech. Proto, pojďme trvat trochu z formální definice a zvážit efektivnější vzorce a techniky, se kterým mohou být tyto úkoly již vyřešeny.

Začněme s nejjednoduššími strukturami, konkrétně funkce formuláře $ y \u003d ((x) ^ (n)) $, tj. Funkce napájení. V tomto případě můžeme napsat následující: $ (y) "\u003d n cdot ((x) ^ (n-1)) $. Jinými slovy, stupeň, který stál v indikátoru, je zobrazen v multiplikátoru vpředu a indikátor sám snižuje jednotku. Například:

[Začátek (zarovnání) & y \u003d ((x) ^ (2)) \\\\ & (y) "\u003d 2 cdot ((x) ^ (2-1)) \u003d 2x end (zarovnání) ]

Ale další možnost:

[Začínáme (zarovnání) & y \u003d ((x) ^ (1)) \\\\ & (y) "\u003d ((vlevo (vpravo (x vpravo)) ^ (prime)) \u003d 1 cdot (x ) ^ (0)) \u003d 1 cdot 1 \u003d 1 \\\\ ((vlevo (vpravo (x vpravo)) ^ (Prime)) \u003d 1 \\\\ end (align) \\ t

Použití těchto jednoduchých pravidel, zkuste odstranit čárový kód následujících příkladů:

Takže dostaneme:

[((((((((((((x) ^ (6)))) ^ (Prime)) \u003d 6 CDOT ((x) ^ (5)) \u003d 6 ((x) ^ (5)) ]

Nyní řešíme druhý výraz:

[začít (zarovnání) & f doleva (x vpravo) \u003d ((x) ^ (100)) \\\\ ((vlevo ((((((((((((())))) ^ (\\ t Prime) \u003d 100 CDOT ((x) ^ (99)) \u003d 100 ((x) ^ (99)) \\\\ end (align) \\ t

Samozřejmě to bylo velmi jednoduché úkoly. ale skutečné úkoly Složitější a nejsou omezeny na jediné stupně funkce.

Takže pravidlo č. 1 - Pokud je funkce reprezentována jako jiné dva, derivace této částky se rovná součtu derivátů:

[((((vlevo (f + g vpravo)) ^ (Prime)) \u003d (f) "+ (g)" \\ t

Stejně tak derivace rozdílu dvou funkcí se rovná rozdílu derivátů:

[(((vlevo (f-g vpravo)) ^ (Prime)) \u003d (f) "- (g)" \\ t

[((((((((((((((((x) ^ (2)) + x vpravo)) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (((vlevo ((((((((((())))) ^ (\\ t Prime) + ((vlevo (vpravo (X vpravo)) ^ (Prime) \u003d 2x + 1]

Kromě toho existuje další důležité pravidlo: pokud je $ C $ CONSTANT před několika $ F $, ke které tato funkce je vynásobena, pak $ F $ Všechny tento design je považován za:

[(vlevo)) ^ (Prime)) \u003d c cdot (f) "\\ t

[((((vlevo ((3 ((3 ((x) ^ (3))) ^ (Prime)) \u003d 3 ((vlevo (((vlevo (((((((((((((((x) ^ (3)))) ^ (\\ t Prime) \u003d 3 CDOT 3 ((((x) ^ (2)) \u003d 9 ((x) ^ (2)) \\ t

Konečně dalším velmi důležitým pravidlem: V úkolech se často nachází samostatný termín, který neobsahuje $ x $. Můžeme například pozorovat v našich současných výrazech. Derivativní konstanta, tj. Čísla, v žádném případě závislé na $ x $, je vždy rovná nule, a to je zcela bez ohledu na to, co je constant ve výši $ c rovná:

[(((vlevo (vpravo)) ^ (Prime) \u003d 0 \\ t

Příklad řešení:

[((((vlevo (1001)) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (frac (1) (1000) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d 0 \\ t

Znovu klíčové body:

1. Derivace obou funkcí je vždy roven součtu derivátů: $ (vlevo ((vlevo)) ^ (Prime)) \u003d (f) "+ (g)" $;
2. Z podobných důvodů se derivát rozdílu dvou funkcí rovná rozdílu dvou derivátů: $ ((vlevo (vlevo)) ^ (Prime)) \u003d (f) "- (g)" $;
3. Pokud má funkce konstantní multiplikátor, pak tato konstanta může být provedena pro označení derivátu: $ ((vlevo (vpravo)) ^ (Prime)) \u003d C CDOT (f) "$;
4. Pokud je celá funkce konstantní, pak je jeho derivát vždy nula: $ ((vlevo (vpravo)) ^ (Prime)) \u003d 0 $.

Podívejme se, jak to všechno funguje na skutečných příkladech. Tak:

Píšeme:

[Začátek (zarovnání) & ((vlevo ((((((((((()) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 vpravo) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo) (((x) ^ (5)) vpravo)) ^ (Prime)) - ((vlevo (3 (((3 (((x) ^ (2)))) ^ (Prime) + (7) "\u003d \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((vlevo ((((((((((((((()))) ^ (prime)) + 0 \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 6x end (align) \\ t

V tomto příkladu vidíme derivační součet a rozdílný derivát. Celkem, derivát je $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Jděte do druhé funkce:

Vypíšeme řešení:

[začít (zarovnání) & ((vlevo (3 ((3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 vpravo)) ^ (prime)) \u003d ((vlevo ((vlevo (3 ((x) ^ 2)) vpravo) ^ (Prime)) - ((vlevo (vlevo (2x)) ^ (Prime)) + (2) "\u003d \\ · 3 ((((((((((((((x)) ^ (2)) vpravo)) ^ (Prime)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 \\ CDOT 2x-2 \\ cdOt 1 \u003d 6x-2 \\ t

Tak jsme našli odpověď.

Jděte na třetí funkci - to se již snaží:

[začít (zarovnání) & ((vlevo (2 ((2 ((((x) ^ (3)) - 3 ((((((((((((((x) ^ (2)) + frac (1) (2) x-5 vpravo) ) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (vlevo (2 ((((x) ^ (3))) ^ (Prime)) - ((vlevo)) - ((vlevo (3 ((((x) ^ (2)) \\ t Vpravo)) ^ (prime)) + ((vlevo (frac (frac (1) (2) x vpravo)) ^ (Prime)) - (5) "\u003d & \u003d 2 ((vlevo (vlevo (vlevo (vlevo (vlevo) (x) ^ (3)) vpravo)) ^ (Prime)) - 3 ((vlevo ((((((((((((((((())))) ^ (prime)) + frac (1) ) (2) cdot (x) "\u003d 2 cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 cdot 2x + frac (1) (2) cdot 1 \u003d 6 ((x) ^ (2) ) -6x + Frac (1) (2) \\ t

Našli jsme odpověď.

Jděte na poslední výraz - nejsložitější a nejvíce dlouhý:

Takže věříme:

[Začátek (zarovnání) & ((vlevo (6 ((6 ((((((x) ^ (7)) - 14 ((((((((x) ^ (3)) + 4x + 5 vpravo)) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (6 (((x) ^ (7)) vpravo) ^ (Prime)) - ((vlevo (vlevo (14 ((x) ^ (3) vpravo)) ^ (Prime) ) + (((vlevo (4x vpravo)) ^ (Prime)) + (5) "\u003d \\\\ \u003d 6 CDOT 7 CDOT ((x) ^ (6)) - 14 CDOT 3 ((( x) ^ (2)) + 4 cdot 1 + 0 \u003d 42 ((((((((((((((x) ^ (6)) - 42 (((x) ^ (2)) + 4 \\ \\ end (align) \\ t

Toto rozhodnutí však nekončí, protože jsme požádáni, abychom nepožadovali, abychom odstranili dotek, ale abychom vypočítali svou hodnotu v určitém bodě, abychom nahradili ve výrazu -1 namísto $ x $:

[(y) "vlevo (-1 vpravo) \u003d 42 cdot 1-42 cdot 1 + 4 \u003d 4 \\ t

Sledujeme a jdeme do ještě složitějších a zajímavějších příkladů. Skutečnost je, že vzorec pro řešení výkonového derivátu $ (((((((((((((((((((((((()))) ^ (prime)) \u003d n cdot ((x) ^ (n-1) ) $ Má ještě širší oblast použití, než je obvykle obvyklé. S tím je možné řešit příklady s frakcemi, kořeny atd. Je to to, že nyní půjdeme.

Chcete-li začít, znovu zapište dolů, což nám pomůže najít derivaci funkce výkonu:

A teď pozornost: Zatím jsme považovali za $ n $ pouze celá číslaNicméně nenarušují s ohledem na frakce a ani záporná čísla. Můžeme například zaznamenat následující:

[začít (zarovnání) sqrt (x) \u003d ((x) ^ (frac (1) (frac (1) (2))) \\\\ & (vlevo (vpravo (sqrt (x))) ^ (Prime ))) \u003d ((((((((((((((() ^ (frac (1) (2))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d frac (1) (2) cdot (x) ^ (- frac (1) (2))) \u003d frac (1) (2) cdot frac (1) (sqrt (x)) \u003d frac (1) (2 \\ SQRT (x)) \\ t Konec (ALIGN) \\ t

Nic složitého, takže se podívejme, jak nám tento vzorec pomůže při řešení složitějších úkolů. Příklad:

Vypíšeme řešení:

[Začátek (zarovnání) vlevo (SQRT (X) + SQRT (X) + SQRT (X) vpravo) \u003d ((vlevo (sqrt (x) vpravo) ^ (Prime) ) + ((vlevo (SQRT (X))) ^ (Prime)) + ((vlevo (vlevo (SQRT (SQRT (X))) ^ (Prime)) \\\\ & (vlevo)) \\ t (SQRT (x) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d frac (1) (2 \\ SQRT (x)) \\\\ ((vlevo (vlevo (sqrt (x) vpravo) ^ (\\ t Prime) \u003d ((vlevo (((((((((((() ^ (1) (3))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d frac (1) (3) cdot (x) ^ (- frac (2) (3))) \u003d frac (1) (3) cdot frac (1) (sqrt ((((((((((((())))) \\ t & ((\\ t vlevo (SQRT (X) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (((((((((((((((((((()))) vpravo))) ^ (Prime)) \u003d Frac (1) (4) ((x) ^ (- frac (3) (4))) \u003d frac (1) (4) cdot frac (1) (sqrt ((((x)) ^ (3)))) Konec (ALIGN) \\ t

Vrátit se do našeho příkladu a psát:

[(Y) "\u003d Frac (1) (2 \\ SQRT (X)) + Frac (1) (3 \\ SQRT ((((((((((((((((((((((((())))) + frac (1) (4) \\ t SQRT (((x) ^ (3)))) \\ t

Zde je obtížné rozhodnutí.

Jděte do druhého příkladu, jsou zde jen dva termíny, ale každý z nich obsahuje jak klasický stupeň a kořeny.

Nyní se naučíme, jak najít derivaci funkcí výkonu, která navíc obsahuje také kořen:

[Začínáme (zarovnání) & ((vlevo ((((((((((((((((((((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \\ SQRT (x) ) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo ((vlevo ((((((((((((x) ^ (3)) \\ t (((x) ^ (2))) \\ t ^ (prime) ) \u003d ((((((((((((((x) ^ (3)) cdot ((x) ^ (frac (2) (3))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d \\\\ & \u003d ( (vlevo ((((((x) ^ (3+ frac (2) (3) (3))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo ((((((((((((()) 3))))) ^ (prime) \u003d frac (11) (3) cdot ((x) ^ (frac (8) (3))) \u003d frac (11) (3) CDOT ((X) ^ (2) (2) (2) (3))) \u003d frac (11) (3) cdot (x) ^ (2)) \\ cdot (((((x) ^ (2))) ((vlevo (((((((((((((((()) (7)) CDOT ((x) ^ (frac (1) (1) (3))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (((vlevo (((((((((((((((((((7))) \\ t (3))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d 7 Frac (1) (3) CDOT ((x) ^ (6 Frac (1) (1) (2) (22) (22) (22)) 3) CDOT ((x) ^ (6)) cdot sqrt (x) \\\\ end (align) \\ t

Oba obvinění se zváží, zůstane zapsat poslední odpověď:

[(Y) "\u003d frac (11) (3) cdot ((x) ^ (2)) \\ cdot (((x) ^ (2))) + frac (22) (3) \\ t CDOT ((x) ^ (6)) cdot sqrt (x) \\ t

Našli jsme odpověď.

Frakce derivace prostřednictvím funkce výkonu

Ale v této možnosti vzorce pro řešení derivátu funkce výkonu nekončí. Faktem je, že s jeho pomocí, nejen příklady s kořeny lze zvážit, ale také s frakcemi. To je jen vzácná možnost, která značně zjednodušuje řešení takových příkladů, ale zároveň je často ignorován nejen studenti, ale také učitelé.

Takže, teď se pokusíme kombinovat dva vzorce najednou. Na jedné straně klasický derivace funkce výkonu

[(((((((((((((((x) ^ (n)) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d n cdot ((x) ^ (n-1)) \\ t

Na druhou stranu víme, že výraz typu $ Frac (1) ((((((((((((x) ^ (n))) je reprezentován jako $ ((x) ^ (- n)) $. Proto,

[vlevo (frac (1) (((((x) ^ (n)) vpravo) "\u003d ((((((vlevo (((((((((((((((((((((()))?) ^ (Prime) \\ t ) \u003d - n \\ cdot ((x) ^ (- n - 1)) \u003d - frac (n) (((((((((x) ^ (n + 1))) \\ t

[(((vlevo (1) (1) (x) vpravo) ^ (Prime)) \u003d levý (((((((((((x) ^ (- 1)) vpravo) \u003d - 1 cdot (x) ) ^ (- 2)) \u003d - Frac (1) ((((x) ^ (2)) \\ t

Tak, deriváty jednoduchých frakcí, kde je konstantní v nummeneru, a v denominátoru - stupeň se také považuje za použití klasického vzorce. Podívejme se, jak to funguje v praxi.

Takže první funkce:

[(((vlevo (frac (1) (((((((x) ^ (2)) Vpravo)) ^ (Prime)) \u003d - 2 CDOT ((x) ^ (- 3)) \u003d - frac (2) (((((((x) ^ (3))) \\ t

První příklad je vyřešen, přejděte na druhou

[Začít (zarovnání) & ((vlevo (frac (7) (4 (((x) ^ (4))) - frac (2) (3 ((((((((((x) ^ (3))) + \\ t Frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 (((((((((((x) ^ (3)) - 3 (((((x) ^ (4)) vpravo))) ^ (Prime)) \u003d & \u003d ((vlevo ((frac (7) (4 ((((x) ^ (4)) vpravo)) ^ (prime)) - ((vlevo (vlevo (frac (2) (3 (3 (3 (3 (3 (3 (3) (x) ^ (3)) vpravo))) ^ (prime)) + ((vlevo (2 ((2 ((((((((((((x) ^ (3))) ^ (prime)) - ((vlevo) (3 (((x) ^ (4)) vpravo)) ^ (prime)) \\\\ ((vlevo (frac (7) (4 ((((((x) ^ (4))) \\ t ^ (Prime)) \u003d Frac (7) (4) ((vlevo (vlevo (Frac (1) ((((((((((()))))) ^ (Prime)) \u003d Frac ( 7) (4) CDOT ((vlevo ((((((((((((((x) ^)))) ^ (Prime)) \u003d frac (7) (4) \\ cdOt vlevo (-4 ) Cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d frac (-7) ((((((x) ^ (5))) & (vlevo (vlevo (frac (2) (3 ((x)) ^ (3))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d frac (2) (3) cdot ((vlevo (vlevo (frac (1) (((((((((((((((((())) ))) ^ (Prime)) \u003d Frac (2) (3) CDOT ((vlevo (((((((((((((((((())))) ^ (Prime)) \u003d Frac (2) (3) CDOT vlevo (-3 vpravo) CDOT ((x) ^ (- 4)) \u003d frac (-2) (((((x) ^ (4))) \\\\ & (vlevo) (Frac (5) (2) ((x) ^ (2)) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d frac (5) (2) cdot 2x \u003d 5x ≤ (vlevo (2) (x) ^ (3)) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d 2 CDOT 3 ((x) ^ (2)) \u003d 6 ((x) ^ (2)) \\\\ & ((\\ t Vlevo (3 ((x) ^ (4)) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d 3 CDOT 4 ((x) ^ (3)) \u003d 12 ((x) ^ (3)) Konec (ALIGN) ... \\ t

Nyní shromažďujeme všechny tyto komponenty v jediném vzorci:

[(y) "\u003d - frac (7) (((((((x) ^ (5))) + frac (2) (((((((x) ^ (4)) + 5x + 6 ((x) ^ (2) - 12 ((x) ^ (3)) \\ t

Dostali jsme odpověď.

Nicméně, před přesunem bych chtěl upozornit na formu záznamů původních výrazů: v prvním výrazu, zaznamenali jsme $ f vlevo (x vpravo) \u003d ... $, ve druhé: $ Y \u003d ... $ Mnoho studentů ztrácí, když vidí různé záznamové formuláře. Jaký je rozdíl mezi $ f doleva (X vpravo) $ a $ y $? Ve skutečnosti nic. To jsou jen různé záznamy se stejným významem. Právě když mluvíme $ F vlevo (X vpravo) $ mluvímeZa prvé, o této funkci, a pokud jde o $ y $, to je nejčastěji znamenal plán funkcí. Jinak je to stejné, to znamená, že derivace v obou případech je považován za stejný.

Obtížné úkoly s deriváty

Závěrem bych chtěl zvážit pár komplexních kombinovaných úkolů, které se používají najednou vše, co jsme považovali za dnes. Čekají na kořeny a zlomky a množství. Tyto příklady však budou složité pouze v rámci dnešního tutoriálu videa, protože skutečně složité funkce derivátů bude čekat dopředu.

Závěrečná část dnešního video tutoriálu sestávající ze dvou kombinovaných úkolů. Začněme s prvními:

[Začínáme (zarovnání) & ((vlevo (((((((((((((()) - frac (1) ((((x) ^ (3))) + sqrt (x) vpravo)) ^ (Prime) \u003d (((vlevo (((((((((x) ^) vpravo)) ^ (Prime)) - (((vlevo)) - ((vlevo (frac (1) (((((((((((((())) )))))) ^ (Prime)) + vlevo (sqrt (x) vpravo) ((vlevo ((vlevo (((((((((((((()))?)) ^ (Prime) \\ t )) \u003d 3 ((x) ^ (2)) Δ (vlevo ((((((((((((((((())))) ^ (prime)) \u003d ((vlevo) ((x) ^ (- 3)) vpravo))) ^ (prime)) \u003d - 3 cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d - frac (3) (((((x) ^ ( 4))) \\ ((vlevo (vlevo (sqrt (x) vpravo) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo ((vlevo ((((((((((((((((((frac (1) (3))) \\ t Vpravo)) ^ (Prime)) \u003d Frac (1) (3) CDOT FRAC (1) (((((((x) ^ (frac (2) (3)))) \u003d frac (1) (1) 3 \\ SQRT ((((x) ^ (2))))) \\\\ end (align) \\ t

Funkce derivace je:

[(y) "\u003d 3 ((x) ^ (2)) - frac (3) ((((((((x) ^ (4))) + frac (1) (3 \\ SQRT ((((x) ^ (2)))) \\] \\ t

První příklad je vyřešen. Zvažte druhý úkol:

Ve druhém příkladu jednejte stejným způsobem:

[((((vlevo (- frac (2) (((((x) ^ (4))) + sqrt (x) + frac (4) (x sqrt (((((((((((((x) ^ (3)) )))) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (- frac (2) ((((((((((((()))) vpravo))) ^ (Prime)) + ((vlevo) (SQRT (X) vpravo)) ^ (Prime)) + ((vlevo (vlevo (frac (4) (x cdot sqrt ((((((((((((((((((()))))) ^ (\\ Primární)) \\]

Vypočítat každý termín samostatně:

[začít (zarovnání) & ((vlevo (vlevo ((vlevo) ((((x) ^ (4)) vpravo)) ^ (prime)) \u003d - 2 cdot (vlevo (vlevo (vlevo (vlevo) (x) ^ (- 4)) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d - 2 cdot vlevo (-4 vpravo) cdot (x) ^ (- 5)) \u003d frac (8) ) (((((((x) ^ (5))) & ((vlevo (sqrt (x) vpravo) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo (((vlevo ((((((()))) \u003d ((vlevo ((((((((((((x) (frac)) 1) (4))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d frac (1) (4) cdot ((x) ^ (- frac (3) (4))) \u003d frac (1) ) (4 cdot ((x) ^ (frac (3) (4)))) \u003d frac (1) (4 \\ SQRT (((((((((((((())))) \\ t & ((\\ t Vlevo (frac (4) (x cdot sqrt (((((x) ^ (3))) vpravo))) ^ (prime)) \u003d ((vlevo (vlevo (4) (frac (4) (x cdot) (x) ^ (frac (3) (4)))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d ((vlevo ((vlevo (frac (4) (((((((x) ^ (3 frac (3) ) (4)))) vpravo)) ^ (Prime)) \u003d 4 CDOT ((vlevo (((vlevo (((((((((((()))) \u003d 4 \\ t PRIME)) \u003d & \u003d 4 CDOT LEGHT (-1 Frac (3) (4) (4) vpravo) CDOT ((x) ^ (- 2 frac (3) (4) (4)) \u003d 4 \\ t CDOT vlevo (- Frac (7) (4) vpravo) CDOT FRAC (1) ((((((((((2) (2))))))) \u003d frac (-7) ( ((x) ^ (2)) cdot ((x) ^ (frac (3) (4)))) \u003d - frac (7) (((((((((x) ^ (2)) cdot ((x) ^ (2)) \\ t ((x) ^ (3)))) \\\\ end (align) \\ t

Všechny termíny se počítají. Nyní se vrátíme na počáteční vzorec a skládáme všechny tři termíny. Dostáváme se, že poslední odpověď bude taková:

[(y) "\u003d frac (8) (((((((x) ^ (5))) + frac (1) (4 \\ SQRT ((((((((((((())))) - frac ( 7) (((((x) ^ (2)) cdot sqrt ((((((((((((((((())))) \\ t

A to je vše. Byla to naše první lekce. V následujících hodinách se podíváme na složitější návrhy, stejně jako zjistit, proč jsou deriváty obecně potřebné.