Komplexní deriváty. Logaritmický derivát.
Derivát exponenciální funkce

Neustále zdokonalujeme naši diferenciační techniku. V této lekci sjednotíme probraný materiál, zvážíme složitější deriváty a také se seznámíme s novými technikami a triky pro nalezení derivátu, zejména s logaritmickým derivátem.

K článku by se měli obrátit ti čtenáři s nízkou úrovní školení Jak najdu derivát? Příklady řešení, což vám umožní zvýšit své dovednosti téměř od nuly. Dále musíte stránku pečlivě prostudovat Derivace komplexní funkce, pochopit a vyřešit Všechno příklady, které jsem uvedl. Tato lekce je logicky třetí v pořadí a po jejím zvládnutí budete sebevědomě odlišovat dosti složité funkce. Je nežádoucí držet se pozice „Kde jinde? A to stačí! “, Protože všechny příklady a řešení jsou převzaty ze skutečných kontrolní práce a často se vyskytují v praxi.

Začněme opakováním. Na lekci Derivace komplexní funkce podívali jsme se na řadu příkladů s podrobnými komentáři. V průběhu studia diferenciálního počtu a dalších oborů matematické analýzy budete muset velmi často rozlišovat a není vždy vhodné (a ne vždy nutné) psát příklady velmi podrobně. Procvičíme si tedy slovní hledání derivací. Nejvhodnějšími „kandidáty“ jsou deriváty nejjednodušších složitých funkcí, například:

Podle pravidla diferenciace komplexní funkce :

Při studiu dalších témat matanu v budoucnosti není tak podrobný záznam často vyžadován, předpokládá se, že student je schopen najít podobné derivace na automatickém autopilotu. Představte si, že ve 3 hodiny ráno zazvonil telefon a příjemný hlas se zeptal: „Jaký je derivát tangenty dvou X?“ Poté by měla následovat téměř okamžitá a zdvořilá odpověď: .

První příklad se okamžitě zaměří nezávislé rozhodnutí.

Příklad 1

Najděte například následující deriváty ústně, v jednom kroku :. K dokončení úkolu musíte použít pouze tabulka derivací elementárních funkcí(pokud si to ještě nepamatuje). Pokud máte nějaké potíže, doporučuji si lekci přečíst znovu. Derivace komplexní funkce.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovědi na konci lekce

Komplexní deriváty

Po předběžné dělostřelecké přípravě budou příklady s funkčními přílohami 3-4-5 méně děsivé. Možná se někomu budou zdát následující dva příklady obtížné, ale pokud jim porozumíte (někdo bude trpět), pak téměř vše ostatní v diferenciálním počtu bude vypadat jako dětský vtip.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

Jak již bylo uvedeno, při hledání derivátu komplexní funkce je to nejprve nutné že jo POCHOPTE přílohy. V případech, kdy existují pochybnosti, připomínám užitečnou techniku: vezmeme například experimentální hodnotu „X“ a pokusíme se (mentálně nebo na konceptu) nahradit danou hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Nejprve musíme vypočítat výraz, což znamená, že částka je nejhlubší investicí.

2) Poté musíte vypočítat logaritmus:

4) Poté zvedněte kosinus na kostku:

5) V pátém kroku je rozdíl:

6) Nakonec je nejzazší funkcí druhá odmocnina:

Vzorec pro diferenciaci komplexní funkce se používají v opačném pořadí, od krajní funkce po nejvnitřnější. Rozhodujeme:

Zdá se, že bez chyb ...

(1) Vezmeme derivát odmocnina.

(2) Vezmeme derivaci rozdílu pomocí pravidla

(3) Derivace trojky je nula. Ve druhém členu vezmeme derivaci stupně (krychle).

(4) Vezměte derivát kosinu.

(5) Vezměte derivaci logaritmu.

(6) Nakonec vezmeme derivát nejhlubšího vnoření.

Může se to zdát příliš obtížné, ale toto není nejbrutálnější příklad. Vezměte si například sbírku Kuznetsova a oceníte veškeré kouzlo a jednoduchost analyzovaného derivátu. Všiml jsem si, že rádi u zkoušky dávají podobnou věc, aby zkontrolovali, zda student rozumí derivaci komplexní funkce, nebo nerozumí.

Další příklad je pro řešení „udělej si sám“.

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Tip: Nejprve použijeme pravidla linearity a pravidlo diferenciace produktu

Kompletní řešení a odpověď na konci tutoriálu.

Nyní je čas přejít na něco kompaktnějšího a roztomilějšího.
Není neobvyklé, že příklad dává součin ne dvou, ale tří funkcí. Jak najít derivát součinu tří faktorů?

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

Nejprve se podívejme, jestli je možné převést součin tří funkcí na součin dvou funkcí? Pokud bychom například měli v produktu dva polynomy, mohli bychom závorky rozšířit. Ale v tomto příkladu jsou všechny funkce různé: stupeň, exponent a logaritmus.

V takových případech je to nutné důsledně použít pravidlo diferenciace produktů dvakrát

Jde o to, že pro „y“ označujeme součin dvou funkcí :, a pro „ve“ - logaritmus :. Proč to lze udělat? Je to tak? - toto není součin dvou faktorů a pravidlo nefunguje?! Není nic složitého:

Nyní zbývá aplikovat pravidlo podruhé do závorky:

Stále můžete být zvráceni a něco vyjmout ze závorek, ale v tento případ je lepší nechat odpověď v tomto formuláři - bude snazší ji zkontrolovat.

Uvažovaný příklad lze vyřešit druhým způsobem:

Obě řešení jsou naprosto ekvivalentní.

Příklad 5

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro nezávislé řešení, ve vzorku je to vyřešeno prvním způsobem.

Podívejme se na podobné příklady se zlomky.

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Zde můžete jít několika způsoby:

Nebo takto:

Řešení však bude napsáno kompaktněji, pokud nejprve použijeme pravidlo pro rozlišení kvocientu , přičemž za celý čitatel:

V zásadě je příklad vyřešen, a pokud to necháte tak, jak to bude, nebude to chyba. Ale pokud máte čas, je vždy vhodné zkontrolovat návrh, ale je možné odpověď zjednodušit? Přeneseme výraz čitatele na Společným jmenovatelem a zbavte se třípatrové frakce:

Nevýhodou dodatečných zjednodušení je, že existuje riziko, že chybu neuděláte při hledání derivátu, ale v případě banálních školních transformací. Na druhou stranu učitelé často odmítají zadání a žádají derivát „připomenout“.

Jednodušší příklad pro řešení „udělej si sám“:

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Pokračujeme v zvládání metod hledání derivátu a nyní se budeme zabývat typickým případem, kdy je pro dělení navržen „hrozný“ logaritmus

Příklad 8

Najděte derivaci funkce

Zde můžete jít dlouhou cestu pomocí pravidla rozlišování složité funkce:

Hned první krok vás ale okamžitě uvrhne do sklíčenosti - musíte vzít nepříjemný derivát od zlomkového stupně, a pak také od zlomku.

Proto před jak vzít derivát „efektního“ logaritmu, je předběžně zjednodušeno pomocí známých vlastností školy:

! Pokud máte po ruce cvičný sešit, zkopírujte si tyto vzorce přímo tam. Pokud nemáte notebook, překreslete je na kousek papíru, protože ostatní příklady lekce se budou točit kolem těchto vzorců.

Samotné řešení lze stylizovat asi takto:

Pojďme transformovat funkci:

Najděte derivát:

Předkonfigurace samotné funkce výrazně zjednodušila řešení. Když je tedy takový logaritmus navržen k diferenciaci, je vždy vhodné jej „rozbít“.

A teď pár jednoduchých příkladů pro nezávislé řešení:

Příklad 9

Najděte derivaci funkce

Příklad 10

Najděte derivaci funkce

Všechny transformace a odpovědi na konci lekce.

Logaritmický derivát

Pokud je derivací logaritmů taková sladká hudba, pak vyvstává otázka, je možné v některých případech logaritmus organizovat uměle? Umět! A dokonce nutné.

Příklad 11

Najděte derivaci funkce

Nedávno jsme se podívali na podobné příklady. Co dělat? Důsledně můžete použít pravidlo pro rozlišení kvocientu a potom pravidlo pro rozlišení díla. Nevýhodou této metody je, že získáte obrovský třípatrový zlomek, který nechcete vůbec řešit.

Ale v teorii a praxi existuje taková úžasná věc, jako je logaritmický derivát. Logaritmy mohou být organizovány uměle jejich „pověšením“ na obě strany:

Nyní musíte maximálně „zničit“ logaritmus pravé strany (vzorce před očima?). Popíšu tento proces velmi podrobně:

Ve skutečnosti přistupujeme k diferenciaci.
Obě části přikládáme pod tah:

Odvození pravé strany je celkem jednoduché, nebudu se k tomu vyjadřovat, protože pokud čtete tento text, měli byste se s ním sebevědomě vyrovnat.

A co levá strana?

Vlevo máme komplexní funkce... Předvídám otázku: „Proč je pod logaritmem také jedno písmeno„ igrek “?“

Faktem je, že toto „jedno písmeno igrek“ - SEBE JE FUNKCE(pokud to není úplně jasné, podívejte se na článek Odvozeno z implicitní funkce). Logaritmus je tedy externí funkcí a „hra“ je vnitřní funkcí. A používáme pravidlo rozlišování komplexní funkce :

Na levé straně jakoby vlnou Kouzelná hůlka máme derivát. Dále podle pravidla proporce hodíme „hru“ ze jmenovatele levé strany nahoru na pravou stranu:

A teď si vzpomeneme, o jaké funkci „hry“ jsme hovořili při diferenciaci? Podíváme se na stav:

Konečná odpověď:

Příklad 12

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad řešení pro kutily. Ukázka návrhu příkladu tohoto typu na konci hodiny.

Pomocí logaritmické derivace bylo možné vyřešit jakýkoli z příkladů č. 4-7, další věc je, že funkce jsou jednodušší a použití logaritmické derivace není příliš odůvodněné.

Derivát exponenciální funkce

O této funkci jsme zatím neuvažovali. Exponenciální funkce je funkce, ve které a stupeň a základna závisí na „x“. Klasický příklad, který vám bude předán v jakékoli učebnici nebo na jakékoli přednášce:

Jak najít derivát exponenciální funkce?

Je nutné použít právě uvažovaný trik - logaritmickou derivaci. Zavěšujeme logaritmy na obou stranách:

Stupeň je zpravidla odebrán z logaritmu na pravé straně:

V důsledku toho jsme na pravé straně dostali součin dvou funkcí, které budou rozlišeny podle standardního vzorce .

Najdeme derivaci, a proto uzavřeme obě části pod tahy:

Další akce jsou jednoduché:

Konečně:

Pokud některá transformace není zcela jasná, přečtěte si prosím pozorně vysvětlení příkladu č. 11.

V praktických úlohách bude exponenciální funkce vždy komplikovanější než uvažovaný přednáškový příklad.

Příklad 13

Najděte derivaci funkce

Používáme logaritmický derivát.

Na pravé straně máme konstantu a součin dvou faktorů - „x“ a „logaritmus logaritmu x“ (pod logaritmem je vložen jiný logaritmus). Při rozlišování konstanty, jak si pamatujeme, je lepší okamžitě odstranit znaménko derivace, aby nepřekáželo pod nohama; a samozřejmě uplatňujeme známé pravidlo :

Jak vidíte, algoritmus pro použití logaritmické derivace neobsahuje žádné speciální triky nebo triky a nalezení derivátu exponenciální funkce obvykle není spojeno s „trápením“.

Odvození derivačního vzorce výkonová funkce(x na sílu a). Uvažují se deriváty kořenů x. Vzorec pro derivaci mocenské funkce vyššího řádu. Příklady výpočtu derivátů.

Derivace x na sílu a se rovná a krát x na sílu mínus jedna:
(1) .

Derivace n -tého kořene x na m -tu mocninu je:
(2) .

Odvození vzorce pro derivaci mocenské funkce

Případ x> 0

Zvažte mocninnou funkci proměnné x s exponentem a:
(3) .
Zde a je libovolné reálné číslo. Nejprve zvažte případ.

Abychom našli derivaci funkce (3), použijeme vlastnosti mocninové funkce a transformujeme ji do následující podoby:
.

Nyní najdeme derivát pomocí:
;
.
Tady .

Formule (1) je prokázána.

Odvození vzorce pro derivaci kořene stupně n od x do stupně m

Nyní zvažte funkci, která je kořenem následující formy:
(4) .

Abychom našli derivát, transformujeme kořen na mocninu:
.
Ve srovnání se vzorcem (3) to vidíme
.
Pak
.

Pomocí vzorce (1) najdeme derivát:
(1) ;
;
(2) .

V praxi není potřeba vzorec (2) pamatovat. Mnohem pohodlnější je nejprve transformovat kořeny na mocenské funkce a poté najít jejich deriváty pomocí vzorce (1) (viz příklady na konci stránky).

Případ x = 0

Pokud, pak je pro hodnotu proměnné x = definována také výkonová funkce 0 ... Najdeme derivaci funkce (3) v x = 0 ... K tomu použijeme definici derivátu:
.

Náhradník x = 0 :
.
V tomto případě derivací rozumíme limit pro pravou ruku, pro který.

Takže jsme našli:
.
Proto je vidět, že v ,.
Na , .
Na , .
Tento výsledek se získá podle vzorce (1):
(1) .
Proto vzorec (1) platí také pro x = 0 .

Případ x< 0

Zvažte znovu funkci (3):
(3) .
U některých hodnot konstanty a je definována také pro záporné hodnoty proměnné x. Totiž, ať je racionální číslo. Pak to může být reprezentováno jako neredukovatelný zlomek:
,
kde m a n jsou celá čísla bez společného dělitele.

Pokud n je liché, pak je pro záporné hodnoty proměnné x definována také mocninová funkce. Například pro n = 3 a m = 1 máme kořen krychle x:
.
Je také definována pro záporné hodnoty proměnné x.

Najdeme derivaci mocenské funkce (3) pro a pro racionální hodnoty konstanty a, pro kterou je definována. K tomu zastupujeme x v následující podobě:
.
Pak ,
.
Derivaci najdeme tak, že konstantu přesuneme mimo znaménko derivace a použijeme pravidlo pro rozlišení komplexní funkce:

.
Tady . Ale
.
Od té doby
.
Pak
.
To znamená, že vzorec (1) platí také pro:
(1) .

Deriváty vyššího řádu

Nyní najdeme deriváty vyšších řádů mocenské funkce
(3) .
Už jsme našli derivát prvního řádu:
.

Když vezmeme konstantu a mimo znaménko derivace, najdeme derivát druhého řádu:
.
Podobně nacházíme deriváty třetího a čtvrtého řádu:
;

.

Z toho je zřejmé, že derivát libovolného n -tého řádu vypadá takto:
.

všimněte si toho pokud a je přirozené číslo,, pak n -ta derivace je konstantní:
.
Pak jsou všechny následující derivace rovny nule:
,
na .

Příklady derivátových výpočtů

Příklad

Najděte derivaci funkce:
.

Řešení

Transformujeme kořeny na síly:
;
.
Poté má původní funkce tvar:
.

Nalezneme deriváty sil:
;
.
Derivace konstanty je nulová:
.

Tímto videem začínám dlouhou sérii tutoriálů o derivátech. Tento návod je rozdělen do několika částí.

Nejprve vám řeknu, jaké deriváty obecně jsou a jak je počítat, ale ne ve složitém akademickém jazyce, ale jak tomu sám rozumím a jak to vysvětluji svým studentům. Za druhé, zvážíme nejjednodušší pravidlo pro řešení problémů, ve kterém budeme hledat derivace součtu, derivace rozdílu a derivace mocenské funkce.

Podíváme se na složitější kombinované příklady, ze kterých se zejména dozvíte, že podobné problémy obsahující kořeny a dokonce zlomky lze vyřešit pomocí vzorce pro derivaci mocenské funkce. Kromě toho samozřejmě bude mnoho úkolů a příkladů řešení velmi rozdílných úrovní složitosti.

Vlastně jsem původně chtěl natočit krátké 5minutové video, ale sami vidíte, co z toho vzniklo. Takže dost textů - jdeme na věc.

Co je derivát?

Začněme tedy z dálky. Před mnoha lety, když byly stromy zelenější a život byl zábavnější, matematici přemýšleli o tom: zvažte jednoduchou funkci danou naším grafem, říkejme tomu $ y = f \ left (x \ right) $. Graf samozřejmě neexistuje sám o sobě, takže je třeba nakreslit osy x x $ a osu y y $. Nyní si vybereme jakýkoli bod v tomto grafu, absolutně libovolný. Na osě x se bude jmenovat $ ((x) _ (1)) $, na svislé ose, jak asi tušíte, bude $ f \ left ((((x) _ (1)) \ right) $.

Uvažujme ještě jeden bod na stejném grafu. Nezáleží na tom, který z nich, hlavní je, že se liší od původního. Má opět úsečku, říkejme tomu $ ((x) _ (2)) $, a také pořadnici - $ f \ left ((((x) _ (2)) \ right) $.

Takže máme dva body: mají různé úsečky, a proto různé významy funkce, i když to druhé je volitelné. Ale opravdu důležité je to, co známe z kurzu planimetrie: prostřednictvím dvou bodů můžete nakreslit přímku a navíc pouze jeden. Pojďme to tedy provést.

A teď nakreslíme přímku skrz úplně první z nich, rovnoběžnou s osou úsečky. Dostaneme pravoúhlý trojuhelník... Říkejme tomu $ ABC $, pravý úhel $ C $. Tento trojúhelník má jednu velmi zajímavou vlastnost: faktem je, že úhel $ \ alpha $ je ve skutečnosti roven úhlu, pod kterým se přímka $ AB $ protíná s pokračováním osy úsečky. Posuďte sami:

1. linie $ AC $ je konstrukčně rovnoběžná s osou $ Ox $,
2. řádek $ AB $ splňuje $ AC $ pod $ \ alpha $,
3. proto $ AB $ protíná $ Ox $ pod stejným $ \ alpha $.

Co můžeme říci o $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $? Nic konkrétního, kromě toho, že v trojúhelníku $ ABC $ je poměr nohy $ BC $ k noze $ AC $ roven tangens právě tohoto úhlu. Napíšeme tedy:

$ AC $ se v tomto případě samozřejmě snadno vypočítá:

Stejně tak $ BC $:

Jinými slovy můžeme napsat následující:

\ [\ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () = \ frac (f \ left (((x) _ (2)) \ right) -f \ left ( ((x) _ (1)) \ vpravo)) ((((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

Nyní, když jsme na to všechno přišli, vraťme se k našemu grafu a podívejme se na nový bod $ B $. Vymažte staré hodnoty a vezměte a vezměte $ B $ někam blíže k $ ((x) _ (1)) $. Označme znovu jeho úsečku o $ ((x) _ (2)) $ a její pořadnici o $ f \ left ((((x) _ (2)) \ right) $.

Zvažte znovu náš malý trojúhelník $ ABC $ a $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ uvnitř. Je zcela zřejmé, že to bude úplně jiný úhel, tečna se také bude lišit, protože délky segmentů $ AC $ a $ BC $ se výrazně změnily a vzorec pro tangens úhlu se vůbec nezměnil - to je stále vztah mezi změnou funkce a změnou argumentu ...

Nakonec pokračujeme v přesouvání $ B $ stále blíže k původnímu bodu $ A $, v důsledku toho se trojúhelník zmenší ještě více a čára obsahující segment $ AB $ bude stále více vypadat jako tangenta graf funkce.

Výsledkem je, že pokud se budete i nadále přibližovat k bodům, to znamená zmenšit vzdálenost na nulu, pak se přímka $ AB $ v tomto bodě skutečně změní na tečnu grafu a $ \ text () \! \ ! \ Alpha \! \! \ Text () $ se transformuje z pravidelného trojúhelníkového prvku na úhel mezi tečnou k grafu a kladným směrem osy $ Ox $.

A zde plynule přecházíme k definici $ f $, totiž derivaci funkce v bodě $ ((x) _ (1)) $ nazýváme tangens úhlu $ \ alpha $ mezi tečnou k graf v bodě $ ((x) _ (1)) $ a kladný směr osy $ Ox $:

\ [(f) "\ left (((x) _ (1)) \ right) = \ operatorname (tg) \ text () \! \! \ alpha \! \! \ text () \]

Když se vrátíme k našemu grafu, je třeba poznamenat, že jakýkoli bod v grafu můžete vybrat jako $ ((x) _ (1)) $. Například se stejným úspěchem bychom mohli odstranit tah v bodě zobrazeném na obrázku.

Úhel mezi tečnou a kladným směrem osy se nazývá $ \ beta $. V souladu s tím se $ f $ v $ ((x) _ (2)) $ bude rovnat tangens tohoto úhlu $ \ beta $.

\ [(f) "\ left (((x) _ (2)) \ right) = tg \ text () \! \! \ beta \! \! \ text () \]

Každý bod grafu bude mít svou vlastní tečnou čáru, a tedy i vlastní hodnotu funkce. V každém z těchto případů je kromě bodu, ve kterém hledáme derivaci rozdílu nebo součtu nebo derivaci mocenské funkce, nutné vzít další bod umístěný v určité vzdálenosti od něj a poté nasměrujte tento bod na počáteční a samozřejmě zjistěte, jak v průběhu tohoto pohybu tento pohyb změní tangens úhlu sklonu.

Derivace mocenské funkce

Tato definice nám bohužel vůbec nevyhovuje. Všechny tyto vzorce, obrázky, úhly nám nedávají sebemenší představu o tom, jak vypočítat skutečnou derivaci v skutečné úkoly... Odbočme tedy trochu od formální definice a zvažme efektivnější vzorce a techniky, pomocí kterých již můžete řešit skutečné problémy.

Začněme nejjednoduššími konstrukcemi, jmenovitě funkcemi ve tvaru $ y = (((x) ^ (n)) $, tj. výkonové funkce. V tomto případě můžeme napsat následující: $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Jinými slovy, stupeň, který byl v exponentu, je uveden v multiplikátoru vpředu , a samotný exponent se sníží o jednotku. Například:

\ [\ begin (align) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ end (align) \]

Zde je další možnost:

\ [\ begin (align) & y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \\\ end (align) \]

Pomocí těchto jednoduchých pravidel se pokusme odstranit tah následujících příkladů:

Takže získáme:

\ [((\ left (((x) ^ (6)) \ right)) ^ (\ prime)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

Nyní vyřešíme druhý výraz:

\ [\ begin (zarovnání) & f \ left (x \ right) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ left ((((x) ^ (100)) \ right)) ^ (\ prime)) = 100 \ cdot ((x) ^ (99)) = 100 ((x) ^ (99)) \\\ end (align) \]

Samozřejmě byli velmi jednoduché úkoly... Skutečné problémy jsou však složitější a neomezují se pouze na pravomoci funkce.

Pravidlo číslo 1 - je -li funkce prezentována ve formě dalších dvou, pak je derivace tohoto součtu rovna součtu derivací:

\ [((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) " + (g)" \]

Podobně derivace rozdílu dvou funkcí se rovná rozdílu derivací:

\ [((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" \]

\ [((\ left (((x) ^ (2)) + x \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left ((((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 2x + 1 \]

Kromě toho existuje ještě jedno důležité pravidlo: pokud před některým $ f $ stojí konstanta $ c $, kterou se tato funkce znásobí, pak $ f $ celé této konstrukce je považováno za následující:

\ [((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ left (3 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((\ left ((((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

Na závěr ještě jedno velmi důležité pravidlo: problémy mají často samostatný výraz, který vůbec neobsahuje $ x $. Můžeme to například pozorovat na našich dnešních výrazech. Derivace konstanty, tj. Čísla, které nijak nezávisí na $ x $, je vždy nulová a vůbec nezáleží na tom, jaká je konstanta $ c $:

\ [((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Příklad řešení:

\ [((\ left (1001 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (1) (1000) \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Ještě jednou klíčové body:

1. Derivace součtu dvou funkcí se vždy rovná součtu derivací: $ ((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) " + (g)" $;
2. Z podobných důvodů je derivace rozdílu dvou funkcí rovna rozdílu dvou derivací: $ ((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" $;
3. Pokud má funkce konstantní faktor, lze tuto konstantu přesunout mimo odvozené znaménko: $ ((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "$;
4. Pokud je celá funkce konstantní, pak je její derivace vždy nulová: $ ((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 $.

Podívejme se, jak to všechno funguje, na příkladech z reálného světa. Tak:

Zapisujeme:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left ((((x) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + (7) "= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\ end (zarovnání) \]

V tomto příkladu vidíme jak derivaci součtu, tak derivaci rozdílu. Celkem je derivát 5 $ ((x) ^ (4)) - 6x $.

Přechod na druhou funkci:

Zapíšeme řešení:

\ [\ begin (zarovnání) & ((\ left (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (2x \ right)) ^ (\ prime)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ left (((x)) ^ (2) \ \ right)) ^ (\ prime))-2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ end (align) \]

Odpověď jsme tedy našli.

Přejděme k třetí funkci - ta je již vážnější:

\ [\ begin (align) & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \ frac (1) (2) x -5 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right )) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (1) (2) x \ right)) ^ (\ prime)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ left (( (x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2) ) -6x + \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]

Našli jsme odpověď.

Přechod na poslední výraz - nejsložitější a nejdelší:

Zvažujeme tedy:

\ [\ begin (zarovnání) & ((\ left (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ right)) ^ (\ prime)) = ( (\ left (6 ((x) ^ (7)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (14 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (4x \ right)) ^ (\ prime)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ end (align) \]

Tím ale řešení nekončí, protože jsme požádáni nejen o odstranění tahu, ale o výpočet jeho hodnoty v konkrétním bodě, proto místo výrazu $ x $ dosadíme −1:

\ [(y) "\ vlevo (-1 \ vpravo) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

Pokračujte a přejděte k ještě složitějším a zajímavějším příkladům. Faktem je, že vzorec pro řešení derivace síly $ ((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ má ještě širší škálu aplikací, než se běžně věří. S jeho pomocí můžete řešit příklady se zlomky, kořeny atd. To teď uděláme.

Na začátek si ještě jednou zapiš vzorec, který nám pomůže najít derivaci mocenské funkce:

Nyní pozor: dosud jsme uvažovali pouze o $ n $ celá čísla, nezasahujeme však do uvažování zlomků a dokonce záporných čísel. Můžeme například napsat následující:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\\ end (zarovnat) \]

Nic složitého, pojďme se tedy podívat, jak nám tento vzorec pomůže při řešení složitějších problémů. Takže příklad:

Zapíšeme řešení:

\ [\ begin (zarovnání) & \ left (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ right) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime )) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ vlevo (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ ( \ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot ((x ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ end (zarovnat) \]

Vraťte se k našemu příkladu a napište:

\ [(y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4 \ sqrt ((((x) ^ (3)))) \]

Tady je těžké rozhodnutí.

Přejdeme k druhému příkladu - existují pouze dva termíny, ale každý z nich obsahuje jak klasický stupeň, tak kořeny.

Nyní se naučíme, jak najít derivaci mocenské funkce, která navíc obsahuje kořen:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) \ sqrt ((((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = (( \ left (((x) ^ (3+ \ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (11) (3 ))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2 ))) \\ & ((\ left (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7) )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7 \ frac (1)) ))) \ right)) ^ (\ prime)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3 ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \\\ end (align) \]

Oba termíny byly vypočítány, zbývá zapsat konečnou odpověď:

\ [(y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

Našli jsme odpověď.

Derivace zlomku z hlediska mocenské funkce

Ale ani na tom možnosti vzorce pro řešení derivace mocenské funkce nekončí. Faktem je, že s jeho pomocí můžete počítat nejen příklady s kořeny, ale také se zlomky. To je právě ta vzácná příležitost, která řešení takových příkladů značně zjednodušuje, ale zároveň je často ignorována nejen studenty, ale i učiteli.

Nyní se tedy pokusíme zkombinovat dva vzorce najednou. Na jedné straně klasická derivace mocenské funkce

\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Na druhou stranu víme, že výraz ve tvaru $ \ frac (1) ((((x) ^ (n))) $ může být reprezentován jako $ ((x) ^ (- n)) $. Proto,

\ [\ left (\ frac (1) ((((x) ^ (n))) \ \ right) "= ((\ left (((x) ^ (- n)) \ right)) ^ (\ prime) ) = - n \ cdot ((x) ^ ( - n -1)) = - \ frac (n) ((((x) ^ (n + 1))))]

\ [((\ left (\ frac (1) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ left ((((x) ^ ( - 1)) \ right) = - 1 \ cdot ((x ) ^ ( - 2)) = - \ frac (1) ((((x) ^ (2))) \]

Deriváty jednoduchých zlomků, kde čitatel je konstanta a jmenovatel stupeň, se tedy počítají také pomocí klasického vzorce. Podívejme se, jak to funguje v praxi.

Takže první funkce:

\ [((\ left (\ frac (1) ((((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 2)) \ vpravo)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((x) ^ ( - 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

První příklad je vyřešen, přejdeme k druhému:

\ [\ begin (align) & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ \ & = ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (2) (3 (( x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left ( 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) ((\ left (\ frac (1) ((((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7 ) (4) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & (\ left (\ frac (2) (3 ((x) ^) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (\ frac (1) ((((x) ^ (3))) \ right) ) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot ((x) ^ (-4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ vlevo (3 ((x) ^ (4)) \ vpravo)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ konec (zarovnání) \] ...

Nyní shromažďujeme všechny tyto výrazy do jednoho vzorce:

\ [(y) "= - \ frac (7) ((((x) ^ (5))) + \ frac (2) ((((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

Dostali jsme odpověď.

Než však půjdeme dál, rád bych vás upozornil na formu psaní samotných původních výrazů: v prvním výrazu jsme napsali $ f \ left (x \ right) = ... $, ve druhém: $ y = ... $ Mnoho studentů je ztraceno, když vidí různé formy záznamu. Jaký je rozdíl mezi $ f \ left (x \ right) $ a $ y $? Vlastně nic. Jsou to jen různé položky se stejným významem. Právě když řekneme $ f \ left (x \ right) $, pak přichází to, nejprve o funkci, a pokud jde o $ y $, pak se nejčastěji myslí graf funkce. Jinak je to jedno a totéž, to znamená, že derivát je v obou případech považován za stejný.

Složité problémy s deriváty

Na závěr bych chtěl zvážit několik složitých kombinovaných úkolů, ve kterých je najednou použito vše, o čem jsme dnes uvažovali. Čekají nás v nich kořeny, zlomky a sumy. Tyto příklady však budou obtížné pouze v rámci dnešního video tutoriálu, protože na vás budou dopředu čekat skutečně složité funkce derivátů.

Takže poslední část dnešního video tutoriálu, skládající se ze dvou kombinovaných úkolů. Začněme tím prvním:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) - \ frac (1) ((((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3) )) \ right)) ^ (\ prime)) + \ left (\ sqrt (x) \ right) \\ & ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (\ frac (1) ((((x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ ( - 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 3 \ cdot ((x) ^ ( - 4)) = - \ frac (3) ((((x) ^) (4))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3)))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) ((((x) ^ (\ frac (2) (3))))) = \ frac (1) (3 \ sqrt ((((x) ^ (2)))) \\\ end (zarovnání) \]

Derivát funkce je:

\ [(y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^) (2)))) \]

První příklad je vyřešen. Uvažujme o druhém úkolu:

V druhém příkladu postupujeme stejným způsobem:

\ [((\ left (- \ frac (2) ((((x) ^ (4)))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt ((((x) ^ (3))) )) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (- \ frac (2) ((((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ primární)) \]

Počítejme každý výraz zvlášť:

\ [\ begin (align) & ((\ left ( - \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((\ left ( ((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) =- 2 \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8 ) ((((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1 ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = = frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot) ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3) ) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = 4 \ cdot ((\ left ((((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4)))) \ right)) ^ ( \ prime)) = \\ & = 4 \ cdot \ left (-1 \ frac (3) (4) \ right) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ left (- \ frac (7) (4) \ right) \ cdot \ frac (1) ((((x) ^ (2 \ frac (3) (4))))) = \ frac (-7) ((((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = = \ frac (7) ((((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt ((((x) ^ (3)))) \\\ konec (zarovnání) \]

Všechny podmínky byly vypočítány. Nyní se vrátíme k původnímu vzorci a sečteme všechny tři výrazy dohromady. Zjistili jsme, že konečná odpověď bude taková:

\ [(y) "= \ frac (8) ((((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) - \ frac (7 ) ((((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

A to je vše. Toto byla naše první lekce. V dalších lekcích se podíváme na složitější konstrukce a také zjistíme, proč jsou deriváty vůbec potřeba.

Důkaz a odvození vzorců pro derivaci exponentu (e na mocninu x) a exponenciální funkci (a na mocninu x). Příklady výpočtu derivací e ^ 2x, e ^ 3x a e ^ nx. Derivační vzorce vyššího řádu.

Derivace exponentu se rovná exponentu samotnému (derivace e na sílu x se rovná e na sílu x):
(1) (e x) ′ = e x.

Derivát exponenciální funkce se základnou stupně a se rovná samotné funkci, vynásobené přirozený logaritmus od:
(2) .

Odvození vzorce pro derivaci exponentu, e na mocninu x

Exponent je exponenciální funkce, ve které je základ mocniny roven číslu e, což je následující limit:
.
Zde to může být buď přirozené, nebo skutečné číslo. Dále odvodíme vzorec (1) pro derivát exponenciálu.

Odvození vzorce derivačního exponentu

Uvažujme exponent e na mocninu x:
y = e x.
Tato funkce je definována pro každého. Najdeme její derivaci vzhledem k proměnné x. Podle definice je derivátem následující limit:
(3) .

Tento výraz transformujeme, abychom jej zredukovali na známé matematické vlastnosti a pravidla. K tomu potřebujeme následující fakta:
A) Vlastnost exponentu:
(4) ;
B) Vlastnost logaritmu:
(5) ;
PROTI) Spojitost logaritmu a vlastnost limit pro spojitou funkci:
(6) .
Zde je nějaká funkce, která má limit a tento limit je kladný.
G) Význam druhého pozoruhodného limitu:
(7) .

Tyto skutečnosti aplikujeme na náš limit (3). Používáme vlastnost (4):
;
.

Udělejme náhradu. Pak ; ...
Kvůli kontinuitě exponentu
.
Proto pro ,. V důsledku toho získáme:
.

Udělejme náhradu. Pak . Na , . A máme:
.

Aplikujme vlastnost logaritmu (5):
... Pak
.

Použijme vlastnost (6). Protože existuje kladná mez a logaritmus je spojitý, pak:
.
Zde jsme také použili druhý pozoruhodný limit (7). Pak
.

Získali jsme tedy vzorec (1) pro derivát exponenciálu.

Odvození vzorce pro derivaci exponenciální funkce

Nyní odvodíme vzorec (2) pro derivaci exponenciální funkce se základnou stupně a. Věříme, že a. Pak exponenciální funkce
(8)
Určeno pro každého.

Transformujme vzorec (8). K tomu použijeme exponenciální vlastnosti a logaritmus.
;
.
Transformovali jsme tedy vzorec (8) do následující podoby:
.

Deriváty e vyššího řádu na mocninu x

Nyní najdeme deriváty vyšších řádů. Podívejme se nejprve na exponent:
(14) .
(1) .

Vidíme, že derivace funkce (14) se rovná samotné funkci (14). Rozlišením (1) získáme deriváty druhého a třetího řádu:
;
.

Je tedy vidět, že derivace n -tého řádu se také rovná původní funkci:
.

Deriváty exponenciální funkce vyšších řádů

Nyní zvažte exponenciální funkci s radixem stupně a:
.
Našli jsme jeho derivát prvního řádu:
(15) .

Rozlišením (15) získáme deriváty druhého a třetího řádu:
;
.

Vidíme, že každá diferenciace vede ke znásobení původní funkce o. Derivát n -tého řádu má tedy následující podobu:
.

Operace hledání derivátu se nazývá diferenciace.

Výsledkem řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a ne příliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limitu poměru přírůstku k přírůstku argumentu, tabulky derivací a přesně definovaných pravidel diferenciace objevil se. Prvními v oblasti hledání derivátů byli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Proto v naší době, abychom našli derivaci jakékoli funkce, není nutné vypočítat výše uvedenou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít derivační tabulka a pravidla diferenciace. K nalezení derivátu je vhodný následující algoritmus.

Najít derivát, potřebujete výraz pod znaménkem tahu rozebírat jednoduché funkce a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce jsou propojeny. Deriváty elementárních funkcí se dále nacházejí v tabulce derivátů a vzorce pro deriváty produktu, součtu a kvocientu se nacházejí v pravidlech diferenciace. Derivační tabulka a pravidla diferenciace jsou uvedeny po prvních dvou příkladech.

Příklad 1. Najděte derivaci funkce

Řešení. Z pravidel diferenciace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tj.

Z tabulky derivací zjistíme, že derivace „x“ se rovná jedné a derivace sinusu se rovná kosinu. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:

Příklad 2. Najděte derivaci funkce

Řešení. Rozlišujeme jako derivaci součtu, ve kterém druhý člen s konstantním faktorem lze vyjmout ze znaménka derivace:

Pokud stále existují otázky o tom, odkud pochází, zpravidla se vyjasní po seznámení s tabulkou derivátů a nejjednoduššími pravidly diferenciace. Právě k nim jdeme.

Derivační tabulka jednoduchých funkcí

1. Derivace konstanty (čísla). Libovolné číslo (1, 2, 5, 200 ...), které je ve výrazu funkce. Vždy nula. To je velmi důležité si pamatovat, protože je to vyžadováno velmi často.
2. Derivace nezávislé proměnné. Nejčastěji „x“. Vždy rovná jedné. To je také důležité mít na paměti po dlouhou dobu.
3. Derivační stupeň. Při řešení problémů musíte transformovat jiné odmocniny na moc.
4. Derivace proměnné na mocninu -1
5. Derivace odmocniny
6. Derivace sinu
7. Derivace kosinu
8. Derivace tangens
9. Derivace kotangensu
10. Derivace arcsinu
11. Derivace arccosinu
12. Derivace arktangensu
13. Derivace obloukového kotangensu
14. Derivace přirozeného logaritmu
15. Derivace logaritmické funkce
16. Derivace exponentu
17. Derivace exponenciální funkce

Diferenciační pravidla

1. Derivace součtu nebo rozdílu
2. Derivace práce
2a. Derivace výrazu vynásobeného konstantním faktorem
3. Derivace kvocientu
4. Derivace komplexní funkce

Pravidlo 1.Pokud funkce

v určitém bodě diferencovatelné, pak ve stejném bodě funkce

navíc

ty. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.

Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší o konstantní člen, pak jsou jejich deriváty stejné, tj.

Pravidlo 2.Pokud funkce

v určitém okamžiku diferencovatelné, pak ve stejném bodě je jejich produkt také diferencovatelný

navíc

ty. derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé.

Důsledek 1. Faktor konstanty lze přesunout mimo znaménko derivace:

Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí je rovna součtu produktů derivace každého z faktorů všemi ostatními.

Například pro tři faktory:

Pravidlo 3.Pokud funkce

v určitém okamžiku diferencovatelné a , pak je v tomto bodě diferencovatelný a jejich podílu / v a

ty. derivát kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatelem je rozdíl mezi součiny jmenovatele a derivátu čitatele a čitatele a derivátu jmenovatele a jmenovatel je druhou mocninou předchozího čitatele.

Kde hledat další stránky

Při hledání derivátu produktu a kvocientu v reálných problémech je vždy nutné použít několik pravidel diferenciace najednou, proto je v článku více příkladů těchto derivátů„Odvození díla a konkrétní funkce“.

Komentář. Nepleťte si konstantu (tj. Číslo) jako součet a jako konstantní faktor! V případě výrazu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. to typická chyba ke kterému dochází na počáteční fáze studium derivátů, ale jako několik jedno- nebo dvousložkových příkladů je vyřešeno průměrný student už tuto chybu nedělá.

A pokud při rozlišování díla nebo konkrétního máte termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tj. konstanta, pak derivace tohoto čísla bude rovna nule, a proto bude celý člen roven nule (tento případ je analyzován v příkladu 10).

Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce je věnován samostatný článek. Nejprve se ale naučíme najít deriváty jednoduchých funkcí.

Po cestě se neobejdete bez výrazových transformací. Chcete -li to provést, možná budete muset otevřít výukové programy v nových oknech Akce s mocnostmi a kořeny a Frakční akce .

Pokud hledáte řešení derivací zlomků s mocninami a kořeny, tedy když funkce vypadá , poté se řiďte lekcí „Odvození součtu zlomků s mocnostmi a kořeny“.

Pokud máte úkol jako , pak vaše lekce „Deriváty jednoduchých trigonometrických funkcí“.

Krok za krokem příklady - jak najít derivát

Příklad 3. Najděte derivaci funkce

Řešení. Určujeme části výrazu funkce: celý výraz představuje součin a jeho faktory jsou součty, v druhém z nich jeden z výrazů obsahuje konstantní faktor. Aplikujeme pravidlo produktové diferenciace: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé:

Dále použijeme pravidlo pro rozlišení součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě v každém součtu druhý člen se znaménkem minus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace se rovná jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace se rovná nule. Takže „x“ se pro nás změní na jedničku a minus 5 - na nulu. Ve druhém výrazu je „x“ vynásobeno 2, vynásobíme tedy dvě stejnou jednotkou jako derivát „x“. Získáme následující hodnoty derivátů:

Nalezené deriváty dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce požadované podmínkou problému:

Příklad 4. Najděte derivaci funkce

Řešení. Jsme povinni najít derivát kvocientu. Pro rozlišení kvocientu použijeme vzorec: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem mezi produkty jmenovatele derivací čitatele a čitatelem derivací jmenovatel a jmenovatel je čtverec předchozího čitatele. Dostaneme:

Derivaci faktorů jsme již našli v čitateli v příkladu 2. Nezapomeňte, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem minus:

Pokud hledáte řešení problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je spojitá hromada kořenů a sil, jako je např. pak vítejte ve třídě „Derivace součtu zlomků s mocninami a kořeny“ .

Pokud se potřebujete dozvědět více o derivátech sinusů, kosinusů, tangent a dalších goniometrických funkcí, tedy když funkce vypadá jako , pak vaše lekce „Deriváty jednoduchých trigonometrických funkcí“ .

Příklad 5. Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je odmocnina nezávislé proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Podle pravidla diferenciace součinu a tabulkové hodnoty derivace druhé odmocniny získáme:

Příklad 6. Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhá odmocnina nezávislé proměnné. Podle pravidla diferenciace kvocientu, které jsme zopakovali a aplikovali v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace druhé odmocniny dostaneme:

Chcete -li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatele a jmenovatele číslem.