Letzte Logarithmus-Aktivitätsbeispiele. Logarithmen: Beispiele und Lösungen

Der Fokus dieses Artikels - logarithmus. Hier geben wir die Definition von Logarithmus an, zeigen die angenommene Bezeichnung, wir geben Beispiele für Logarithmen an und sagen wir über natürliche und dezimale Logarithmen. Betrachten Sie danach die wichtigste logarithmische Identität.

Navigierende Seite.

Definition von Logarithmus.

Das Konzept des Logarithmus tritt bei der Lösung des Problems in einem bestimmten Sinne der Rückseite auf, wenn es erforderlich ist, einen Indikator für den Grad gemäß dem Wert des Grads und der bekannten Basis zu finden.

Aber genügend Vorrachen, es ist Zeit, die Frage zu beantworten "Was ist Logarithmus? Lassen Sie uns die entsprechende Definition geben.

Definition.

Logarithm-Nummer B-basiert, wobei A\u003e 0, ein ≠ 1 und b\u003e 0 ein Indikator für den Grad ist, in dem die Zahl A errichtet werden soll, um b aufzunehmen, um b zu erhalten.

Zu diesem Zeitpunkt beachten wir, dass das ausgeprägte Wort "Logarithmus" sofort die resultierende Frage anrufen sollte: "Was ist die Nummer" und "auf welcher Basis". Mit anderen Worten, nur ein Logarithmus wie es war, und es gibt nur einen Logarithmus von Zahlen aus irgendeinem Grund.

Sofort einführen bezeichnung des Logarithmus.: Der Logarithmus der auf A basierenden Nummer B wird als Protokoll A B aufgenommen. Der Logarithmus der Nummer B basierend auf E und dem auf der Basis 10 basierenden Logarithmus basierend auf der Basis 10 hat seine eigenen speziellen Bezeichnungen von LNB bzw. LGB, dh nicht das Protokoll E B, jedoch LNB und nicht log 10 B und LGB.

Jetzt können Sie geben :.
Und Aufzeichnungen Es macht keinen Sinn, da in der ersten von ihnen unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine negative Zahl gibt, in der zweiten - eine negative Zahl an der Basis und in der dritten - und einer negativen Zahl unter dem Zeichen des Logarithmus und einer an der Basis.

Nun sagen wir O. logarovMov-Leseregeln. Protokoll A B-Aufnahme wird als "Logarithmus B basierend auf einem" gelesen. Beispielsweise ist der Protokoll 2 3 ein Logarithmus von drei an der Basis 2 und ist der Logarithmus von zwei Ganzzungen zwei Drittel auf dem Boden quadratwurzel von fünf. Logarithmus basierend auf E angerufen natürlicher Logarithmus.Und die LNB-Aufnahme wird als "natürlicher Logarithmus B" gelesen. Beispielsweise ist LN7 ein natürlicher Logarithmus von sieben und wir werden als natürlicher Logarithmus-Pi lesen. Logarithmus basierend auf der Basis 10 hat auch einen speziellen Namen - dezimaler Logarithmus.Und der LGB-Datensatz wird als "Dezimallogarithmus B" gelesen. Beispielsweise ist LG1 eine Dezimallogarithmuseinheit, und LG2,75 ist ein Dezimalouto-Logarithmus von zwei bis fünfundsiebzig Hundertstel.

Es lohnt sich separat an den Begriffen A\u003e 0, A ≠ 1 und B\u003e 0, unter denen die Definition von Logarithmus gegeben ist. Lassen Sie uns erklären, woher diese Einschränkungen stammen. Machen Sie, es wird uns helfen, Gleichheit der aufgerufenen Art, die direkt aus der obigen Definition des Logarithmus folgt.

Beginnen wir mit einem ≠ 1. Da das Gerät in jedem Grad ist, kann die Gleichheit nur bei B \u003d 1 gültig sein, aber das Protokoll 1 1 kann eine beliebige gültige Zahl sein. Um diesen Multi-Rivalen zu vermeiden und ein ≠ 1 akzeptiert.

Lassen Sie uns die Zweckmäßigkeit der Bedingung a\u003e 0 rechtfertigen. Bei A \u003d 0, per Definition des Logarithmus, hätten wir Gleichheit, die nur bei B \u003d 0 möglich ist. Dann kann der Protokoll 0 0 jedoch eine beliebige andere Anzahl von Null sein, da Null in einem beliebigen Null-Grad Null ist. Vermeiden Sie dieses Multi-Rival Ermöglicht den Zustand einer ≠ 0. Und mit A.<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Schließlich folgt der Zustand B\u003e 0 von der Ungleichheit A\u003e 0, da und der Wert eines Grades mit einer positiven Basis A immer positiv ist.

Abschließend zu diesem Artikel können wir sagen, dass die stimmhafte Definition des Logarithmus Sie sofort den Wert des Logarithmus angeben können, wenn die Nummer unter dem Logarithmus-Zeichen ein gewisses Maß an Grundlage ist. In der Tat ermöglicht es Ihnen, dass die Definition eines Logarithmus behauptet, wenn B \u003d A p, dann der Logarithmus der Zahl B für die Basis A gleich p ist. Das heißt, das Gleichstellungsprotokoll A a a p \u003d p ist gültig. Beispielsweise wissen wir, dass 2 3 \u003d 8, dann log 2 8 \u003d 3. Wir werden im Artikel detaillierter darüber sprechen.

Heute werden wir darüber reden logarovMov-Formeln. und ein Hinweis geben beispiele für Lösungen..

Selbst implizieren die Entscheidungsmuster gemäß den wichtigsten Eigenschaften von Logarithmen. Um zuerst die Logarithmen für Lösungen anzuwenden, um Sie daran zu erinnern, zuerst alle Eigenschaften:

Nun auf der Grundlage dieser Formeln (Eigenschaften) werden wir zeigen beispiele für Logarithmus-Lösungen.

Beispiele für Logarithmen, die auf den Formeln basieren.

Logarithmus Eine positive Zahl B basiert auf einem (mit dem Protokoll A B) bezeichnet) ist ein Indikator für den Grad, in dem ein unternommen werden sollte, um B mit dem B\u003e 0, A\u003e 0 und 1 zu erhalten.

Gemäß der Definition des Protokolls A B \u003d X, das einem X \u003d B äquivalent ist, loggen Sie also einen A A X \u003d X an.

Logarithmia.Beispiele:

log 2 8 \u003d 3, weil 2 3 \u003d 8

log 7 49 \u003d 2, weil 7 2 \u003d 49

log 5 1/5 \u003d -1, weil 5 -1 \u003d 1/5

Dezimaler Logarithmus. - Dies ist ein gewöhnlicher Logarithmus, an dem 10. als LG bezeichnet wird.

log 10 100 \u003d 2, weil 10 2 \u003d 100

Natürlicher Logarithmus. - auch gewöhnlicher Logarithmus-Logarithmus, jedoch bereits mit der Basis von E (E \u003d 2.71828 ... - eine irrationale Zahl). Bezeichnet als ln.

Die Formeln oder Eigenschaften von Logarithmen sind wünschenswert, sich zu erinnern, da sie in der Zukunft in der Zukunft benötigen, wenn Sie Logarithmen, logarithmische Gleichungen und Ungleichungen lösen. Lassen Sie uns jede Formel in den Beispielen wieder arbeiten.

Grundlegende logarithmische Identität
Ein log a b \u003d b
8 2LOG 8 3 \u003d (8 2log 8 3) 2 \u003d 3 2 \u003d 9
Logarithmus funktioniert gleich der Summe der Logarithmen
Log a (bc) \u003d log a b + log a c
protokoll 3 8.1 + log 3 10 \u003d log 3 (8.1 * 10) \u003d log 3 81 \u003d 4
Logarithmus Privat gleich dem Unterschied der Logarithmen
Log a (b / c) \u003d log a b - log a c
9 log 5 50/9 log 5 2 \u003d 9 log 5 50- log 5 2 \u003d 9 log 5 25 \u003d 9 2 \u003d 81
Eigenschaften des Umfangs der logarithmatischen Zahl und der Basis des Logarithmus
Anzeige der logarithmatischen Zahl log a b m \u003d mlog a b

Der Indikator des Fundaments des Logarithmus-Protokolls a n b \u003d 1 / n * log a b

log a n b m \u003d m / n * log a b,

wenn m \u003d n, erhalten wir ein Protokoll A n b n \u003d log a b

log 4 9 \u003d log 2 2 3 2 \u003d log 2 3 3
Übergang zu einer neuen Basis
Log a b \u003d log c b / log c a,
wenn c \u003d b, erhalten wir das Protokoll B B \u003d 1

dann log ein B \u003d 1 / log B a

log 0,8 3 * log 3 1,25 \u003d log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 \u003d log 0,8 1,25 \u003d log 4/5 5/4 \u003d -1

Wie Sie sehen, sind die Logarithmen nicht so kompliziert, wie es erscheint. Überprüfen Sie nun Beispiele für die Lösung von Logarithmen, die wir in logarithmische Gleichungen bewegen können. Beispiele für das Lösen logarithmischer Gleichungen Wir werden in dem Artikel ausführlicher berücksichtigen: "". Nicht verpassen!

Wenn Sie Fragen zur Entscheidung haben, schreiben Sie sie in den Kommentaren in den Artikel.

Hinweis: Wir haben uns entschlossen, die Bildung eines anderen Klassenausbildung im Ausland als Option für die Entwicklung von Ereignissen zu erhalten.

Einer der Elemente des primitiven Niveau-Algebra ist ein Logarithmus. Der Name passierte von der griechischen Sprache aus dem Wort "Nummer" oder "Grad" und bedeutet den Grad, in dem es erforderlich ist, eine Zahl in den Gründen aufzubauen, um eine endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmus.

log a b ist der Logarithmus der Zahl B für die Basis A (A\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0);
lG B ist ein dezimaler Logarithmus (Logarithmus, der auf 10, A \u003d 10) ist;
lN B ist ein natürlicher Logarithmus (Logarithmus basierend auf E, A \u003d E).

So lösen Sie Logarithmen?

Der Logarithmus der Zahl B für die Basis A ist ein Indikator für den Grad, der die Grundlage des B-Substrats a erfordert. Das Ergebnis wird also ausgesprochen: "Logarithmus B für die Basis A". Die Lösung logarithmischer Aufgaben ist, dass Sie diesen Grad in Zahlen in den angegebenen Zahlen ermitteln müssen. Es gibt einige grundlegende Regeln, um Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen sowie den Datensatz selbst zu konvertieren. Mit ihnen werden die logarithmischen Gleichungen hergestellt, es gibt Derivate, Integrale werden gelöst und viele andere Operationen werden ausgeführt. Grundsätzlich ist die Lösung des Logarithmus selbst der vereinfachte Eintrag. Nachfolgend sind die Hauptformeln und Eigenschaften:

Für jeden a; A\u003e 0; ein ≠ 1 und für jedes X; Y\u003e 0.

ein Protokoll A B \u003d B - die Haupt-logarithmische Identität
log a 1 \u003d 0
log A a \u003d 1
log A (x · y) \u003d log A x + log A y
log A x / y \u003d log A x - log A y
log A 1 / x \u003d -Log A x
log a x p \u003d p log a x
log A k x \u003d 1 / k · log A x, bei k ≠ 0
log A x \u003d log a c x c
log A x \u003d log B x / log B a - Formel des Übergangs zu einer neuen Basis
log A x \u003d 1 / log x a

So lösen Sie Logarithmen - Schritt-für-Schritt-Anweisungen

Um zu beginnen, schreiben Sie die erforderliche Gleichung auf.

Bitte beachten Sie: Wenn im Logarithmus 10 im Logarithmus vorhanden ist, wird die Aufnahme verkürzt, er stellt einen Dezimallogarithmus heraus. Wenn es wert ist natürliche Zahl e, dann aufschreiben, schneiden Sie einen natürlichen Logarithmus. Es ist zu berücksichtigen, dass das Ergebnis aller Logarithmen der Grad ist, in dem die Anzahl der Basen an den Empfang der Zahl B errichtet wird.

Sofort ist die Lösung, diesen Umfang zu berechnen. Bevor Sie den Ausdruck mit Logarithmus entscheiden, muss es gemäß der Regel vereinfacht werden, dh mit Formeln. Die wichtigsten Identitäten finden Sie, indem Sie ein wenig in den Artikel zurücksenden.

Falt- und Subtrahierende Logarithmen mit zwei verschiedenen Zahlen, jedoch mit den gleichen Basen, ersetzen Sie jedoch einen Logarithmus durch das Produkt oder die Division der Zahlen B und mit. In diesem Fall können Sie den Übergang an eine andere Basis anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke verwenden, um den Logarithmus zu vereinfachen, müssen einige Einschränkungen berücksichtigt werden. Und das heißt: Die Basis des Logarithmus A ist nur eine positive Zahl, aber nicht gleich einem. Die Zahl B sowie, muss mehr Null sein.

Bei der Vereinfachung des Ausdrucks gibt es Fälle, in denen Sie den Logarithmus in einer numerischen Form nicht berechnen können. Es passiert, dass ein solcher Ausdruck nicht sinnvoll ist, da viele Grad irrationale Zahlen sind. Lassen Sie mit diesem Zustand den Grad der Nummer als Logarithmus-Datensatz.

Logarithmus Nummer B (B\u003e 0) Basierend auf A (A\u003e 0, A ≠ 1) - ein Indikator für den Grad, in dem die Zahl A ergriffen werden soll, um b zu erhalten.

Die logarithm Nummer B basiert auf 10 kann als geschrieben werden lg (b), und Logarithmus basierend auf E (natürlichem Logarithmus) - ln (b).

Wird oft verwendet, wenn Sie Aufgaben mit Logarithmen lösen:

Eigenschaften des Logarithmus

Es gibt vier Basis eigenschaften des Logarithmus.

Lassen Sie A\u003e 0, ein ≠ 1, x\u003e 0 und y\u003e 0 ein.

Eigenschaft 1. Logarithmus funktioniert

Logarithmus funktioniert. gleich der Summe der Logarithmen:

log A (x ⋅ y) \u003d log A x + log A y

Eigenschaft 2. Privater Logarithmus

Logarithm Private. gleich dem Unterschied in den Logarithmen:

log A (x / y) \u003d log A x - log A y

Eigenschaft 3. Logarithmus.

Logarithm-Grad. Es ist gleich einem Abschluss des Logarithmus:

Wenn die Grundlage des Logarithmus im Grad ist, wirkt die andere Formel:

Eigenschaft 4. Logarithmus-Wurzel

Diese Eigenschaft kann aus den Eigenschaften des Logarithmus des Grades erhalten werden, da die Wurzel des N-TH-Grads gleich 1 / n ist:

Die Formel für den Übergang vom Logarithmus in einer Basis zum Logarithmus mit einer anderen Basis

Diese Formel wird auch häufig verwendet, wenn verschiedene Aufgaben für Logarithmia gelöst werden:

Private Fall:

Vergleich von Logarithmen (Ungleichung)

Lassen Sie uns 2 Funktionen f (x) und g (x) unter Logarithmen mit den gleichen Basen haben, und zwischen ihnen ist das Zeichen der Ungleichheit:

Um sie zu vergleichen, müssen Sie zunächst die Basis der Logarithmen ansehen a:

Wenn ein\u003e 0, dann f (x)\u003e g (x)\u003e 0
Wenn 0.< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

So lösen Sie Probleme mit Logarithmen: Beispiele

Aufgaben mit Logarithmen In der EGE in der Mathematik für Grade 11 in Task 5 in Aufgaben 5 und Task 7 enthalten, finden Sie Aufgaben mit Lösungen auf unserer Website in den relevanten Abschnitten. Aufgaben mit Logarithmen finden sich auch im Witz der Aufgaben in der Mathematik. Alle Beispiele, die Sie über die Suchseite finden können.

Was ist Logarithmus?

Logarithmen wurden immer als komplexes Thema angesehen schulkurs Mathematik. Es gibt viele verschiedene Definitionen von Logarithmus, aber die meisten Lehrbücher verwenden aus irgendeinem Grund das komplexeste und nicht erfolgreichste von ihnen.

Wir werden den Logarithmus einfach und klar definieren. Machen Sie dazu einen Tisch:

Also, bevor wir uns abziehen.

Logarithmen - Eigenschaften, Formeln, wie löst man

Wenn Sie eine Nummer von der unteren Zeile annehmen, können Sie leicht einen Abschluss finden, in dem die Deuce genommen werden muss, um diese Nummer zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, benötigen Sie zwei, um einen vierten Grad aufzubauen. Und um 64 zu erhalten, benötigen Sie zwei, um im sechsten Grad zu bauen. Dies ist aus dem Tisch ersichtlich.

Und jetzt - eigentlich die Definition von Logarithmus:

based a auf dem X-Argument ist ein Abschluss, in dem die Zahl A genommen werden soll, um die Nummer x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x \u003d b, wo A die Basis ist, x ist ein Argument, B - eigentlich, was dem Logarithmus gleich ist.

Beispielsweise sind 2 3 \u003d 8 ⇒Log 2 8 \u003d 3 (der Logarithmus für die Basis 2 von der Zahl 8 ist drei, seit 2 3 \u003d 8). Mit demselben Erfolgsprotokoll 2 64 \u003d 6, seit 2 6 \u003d 64.

Der Betrieb des Findens des Logarithmus der Anzahl auf einer bestimmten Basis wird aufgerufen. Ergänzen Sie also unseren Tisch mit einer neuen Zeichenfolge:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Leider gelten nicht alle Logarithmen so einfach. Versuchen Sie beispielsweise, Protokoll 2 5 zu finden. Zahlen 5 Nein in der Tabelle, aber Logik legt nahe, dass Logarithmus irgendwo im Segment liegt. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen werden irrational bezeichnet: Die Zahlen, nachdem das Komma in unendlich geschrieben werden kann, und sie wiederholen sich nie. Wenn der Logarithmus irrational erhalten wird, ist es besser, es zu verlassen: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (Base und Argument) ist. Viele zuerst verwirren, wo sich die Basis befindet, und wo ist das Argument. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns ist nichts weiter als die Definition von Logarithmus. Merken: logarithmus ist ein AbschlussIn dem die Stiftung genommen werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Grundlage, die in einem Abschluss integriert ist - im Bild, das in Rot hervorgehoben wird. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer im Erdgeschoss ist! Diese wundervolle Regel sage ich meinen Schülern in der ersten Lektion - und keine Verwirrung entsteht.

Wie zählt ich Logarithmus?

Wir haben uns mit der Definition befasst - es bleibt, Logarithmen zu berücksichtigen, d. H. Befreien Sie sich das Zeichen "log". Zunächst beachten wir, dass zwei wichtige Fakten aus der Definition folgen:

Das Argument und die Basis sollten immer größer als Null sein. Dies folgt von der Bestimmung des Rational-Indikators, auf den die Definition von Logarithmus reduziert wird.
Die Basis sollte sich von der Einheit unterscheiden, da das Gerät in einem beliebigen Grad immer noch einheitlich bleibt. Aus diesem Grund sollte die Frage "wie viel das Gerät errichtet werden, um eine Deuce" von Bedeutung zu erhalten. Es gibt keinen solchen Grad!

Solche Einschränkungen werden aufgerufen der Bereich der zulässigen Werte (Otz). Es stellt sich heraus, dass ein ungerade Logarithmus so aussieht: log A x \u003d b ⇒x\u003e 0, A\u003e 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass keine Einschränkungen der Nummer B (der Wert des Logarithmus) nicht überlagert ist. Beispielsweise kann der Logarithmus negativ sein: log 2 0,5 \u003d -1, weil 0,5 \u003d 2 -1.

Jetzt berücksichtigen wir jedoch nur numerische Ausdrücke, in denen der OTZ-Logarithmus nicht erforderlich ist. Alle Einschränkungen werden bereits von den Compilern von Aufgaben berücksichtigt. Wenn jedoch logarithmische Gleichungen und Ungleichungen gehen, werden die Anforderungen von Otz obligatorisch. In der Tat können an der Basis und des Arguments sehr unvernünftige Strukturen stehen, was notwendigerweise den oben genannten Einschränkungen entspricht.

Jetzt überlegen allgemeine Schema. Berechnungen von Logarithmen. Es besteht aus drei Schritten:

Senden Sie die Basis A und das Argument X in Form eines Grads mit der minimal möglichen Basis, einer großen Einheit ein. Auf dem Weg ist es besser, Dezimalfraktionen loszuwerden;
Lösen Sie relativ zur variablen B-Gleichung: X \u003d A B;
Die resultierende Nummer B ist die Antwort.

Das ist alles! Wenn der Logarithmus irrational ist, ist es im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis mehr vereint war, ist sehr wichtig: Es reduziert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich wie S. dezimalfraktionen.: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Übertragungen übertragen, werden Fehler zeitweise weniger sein.

Mal sehen, wie dieses Schema auf bestimmten Beispielen arbeitet:

Eine Aufgabe. Logarithm berechnen: Protokoll 5 25

Präsentieren Sie die Basis und das Argument als Grad von fünf: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Lassen Sie uns und lösen Sie die Gleichung:
protokoll 5 25 \u003d B ⇒ (5 1) B \u003d 5 2 ⇒ 5 B \u003d 5 2 ⇒ B \u003d 2;

Die Antwort erhielt: 2.

Eine Aufgabe. Logarithmus berechnen:

Eine Aufgabe. Logarithm berechnen: log 4 64

Stellen Sie sich die Basis und das Argument als Grad von Twos: 4 \u003d 2 2 vor. 64 \u003d 2 6;
Lassen Sie uns und lösen Sie die Gleichung:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
Die Antwort erhielt: 3.

Eine Aufgabe. Logarithm berechnen: log 16 1

Stellen Sie sich die Basis und das Argument als ein Grad von zwei: 16 \u003d 2 4 vor. 1 \u003d 2 0;
Lassen Sie uns und lösen Sie die Gleichung:
log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ B \u003d 0;
Erhielt die Antwort: 0.

Eine Aufgabe. Logarithmus berechnen: log 7 14

Präsentieren Sie die Basis und das Argument als einen Grad von sieben: 7 \u003d 7 1; 14 In der Form des Grades von sieben scheint es nicht, seit 7 1< 14 < 7 2 ;
Aus dem vorherigen Punkt folgt, dass der Logarithmus nicht berücksichtigt wird.
Die Antwort ist keine Änderung: log 7 14.

Wenig Bemerkung zum letzten Beispiel. So stellen Sie sicher, dass die Nummer nicht das genaue Grad einer anderen Anzahl ist? Sehr einfach - genug, um es auf einfachen Faktoren zu zersetzen. Wenn bei der Zersetzung mindestens zwei unterschiedlichen Faktors vorhanden ist, ist die Zahl kein genauer Grad.

Eine Aufgabe. Finden Sie heraus, ob die genauen Grade der Anzahl: 8; 48; 81; 35; vierzehn.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - Genauer Grad, weil Der Multiplizierer ist nur eins;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - Es ist kein genauer Grad, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - Genauer Grad;
35 \u003d 7 · 5 - wieder ist kein genauer Grad;
14 \u003d 7 · 2 - wieder, nicht exakter Grad;

Wir stellen auch fest, dass die einfachen Zahlen selbst immer genaue Abschlüsse selbst sind.

Dezimaler Logarithmus.

Einige Logarithmen werden so oft angetroffen, dass sie einen speziellen Namen und Bezeichnungen haben.

aus dem X-Argument ist ein Logarithmus, der auf der Basis 10 basiert, d. H. Der Grad, in dem die Zahl 10 errichtet werden sollte, um die Nummer x zu erhalten. Bezeichnung: LG X.

Beispielsweise lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - usw.

Von nun an, wenn das Lehrbuch auf den Satz wie "Find LG 0,01" trifft, wissen Sie: Es ist kein Tippfehler. Dies ist ein dezimaler Logarithmus. Wenn Sie jedoch für eine solche Bezeichnung ungewöhnlich sind, kann es immer umgeschrieben werden:
Lg x \u003d log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen trifft, trifft für Dezimalzahlen zu.

Natürlicher Logarithmus.

Es gibt einen anderen Logarithmus, der seine eigene Bezeichnung hat. In gewissem Sinne ist es noch wichtiger als Dezimal. Wir reden Über natürlichem Logarithmus.

aus dem X-Argument ist ein Logarithmus basierend auf E, d. H. Der Grad, in dem die Zahl E errichtet werden sollte, um die Nummer x zu erhalten. Bezeichnung: Ln X.

Viele werden fragen: Was sonst noch in der Nummer E? Dies ist eine irrationale Zahl, der genaue Wert, um es unmöglich zu finden und zu schreiben. Ich werde nur seine ersten Zahlen geben:
e \u003d 2.718281828459 ...

Wir werden nicht vertiefen, dass dies die Nummer ist und warum Sie brauchen. Denken Sie daran, dass E die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x \u003d log e x

Somit ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; LN E 16 \u003d 16 - usw. Andererseits ist LN 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus einer rationalen Zahl irrational. Außerdem natürlich Einheiten: ln 1 \u003d 0.

Für natürliche Logarithmen sind alle Regeln, die für gewöhnliche Logarithmen trugen, gültig.

Siehe auch:

Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (Logarithm-Abschluss).

So senden Sie eine Nummer in Form eines Logarithmus?

Wir verwenden die Definition von Logarithmus.

Logarithmus ist ein Indikator für den Grad, in dem die Basis genommen werden muss, um die Nummer unter dem Zeichen des Logarithmus zu erhalten.

Um eine bestimmte Zahl C in Form eines auf A-Logarithmus basierenden Logarithmus darzustellen, ist somit erforderlich, einen Grad mit derselben Basis unter dem Logarithmus-Zeichen als Basis des Logarithmus zu setzen, und in Bezug auf den Datengrad dieser Anzahl C:

In Form von Logarithmus können Sie sich als Zahl - positiv, negativ, ganzzahlig, fraktioniert, rational, irrational vorstellen:

Das, da bei den stressigen Bedingungen der Steuerung oder Prüfung A und C nicht verwechselt, können Sie eine solche Erinnerungsregel verwenden:

was im Erdgeschoss ist, geht das hinunter, das geht an.

Beispielsweise müssen Sie eine Nummer 2 als Logarithmus basierend auf der Basis 3 einreichen.

Wir haben zwei Zahlen - 2 und 3. Diese Zahlen sind die Grundlage und der Indikator des Grads, den wir unter das Zeichen des Logarithmus schreiben. Es bleibt zu bestimmen, was aus diesen Nummern auf die Basis des Grades geschrieben werden muss, und das ist in der Anzeige.

Die Basis 3 im Logarithmus-Datensatz befindet sich unter dem Boden, es bedeutet, dass, wenn wir die beiden in Form eines Logarithmus auf der Grundlage der Basis 3, 3, auch auf die Basis aufschreiben.

2 steht über dem Triple. Und in dem Maßstab, in dem wir die ersten drei TOP aufschreiben, dh in Bezug auf den Grad:

Logarithmie. Erste Ebene.

Logarithmia.

Logarithmus Eine positive Zahl b. Beyogen auf eIN.wo a\u003e 0, a ≠ 1, ist der Indikator für den Grad, in dem die Zahl ausgestellt werden muss eIN., um zu bekommen b..

Definition von Logarithmus. Sie können sich kurz aufnehmen:

Diese Gleichheit ist fair, wenn b\u003e 0, A\u003e 0, a ≠ 1. Es wird normalerweise angerufen logarithmische Identität.
Der Ort des Logarithmus wird aufgerufen logarithming.

Logarov-Eigenschaften:

Logarithmus funktioniert:

Logarithm Privat aus der Abteilung:

Ersetzen der Basis des Logarithmus:

Logarithmus:

Logarithm-Wurzel:

Logarithmus mit einer Stromstation:

Dezimal- und natürliche Logarithmen.

Dezimaler Logarithmus. Zahlen werden als Logarithmus dieser Nummer für die Basis 10 bezeichnet und schreiben und nbsp lg b.
Natürlicher Logarithmus. Zahlen rufen den Logarithmus dieser Anzahl an e.wo e. - eine irrationale Zahl, ungefähr 2.7. Gleichzeitig schreiben sie ln b..

Andere Algebra- und Geometrienotizen

Die wichtigsten Eigenschaften von Logarithmus

Logarithmen, wie beliebige Zahlen, können gefaltet, abziehen und konvertieren. Da Logarithmen nicht ganz gewöhnliche Zahlen sind, gibt es seine eigenen Regeln, die aufgerufen werden grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen notwendigerweise wissen, dass keine ernsthafte logarithmische Aufgabe ohne sie gelöst wird. Außerdem sind sie ziemlich ein bisschen - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also fortfahren.

Zusatz und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: Melden Sie sich ein X an und loggen Sie y. Dann können sie gefaltet und abgezogen werden, und:

log A x + log a y \u003d log a (· y y);
log A x - log a y \u003d log a (x: y).

Die Menge an Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus der Arbeit, und der Unterschied ist der Logarithmus von Privat. Bitte beachten Sie: Der Schlüsselpunkt hier ist gleiche Gründe. Wenn die Fundamente unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen, den logarithmischen Ausdruck zu berechnen, selbst wenn einzelne Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an - und stellen Sie sicher:

Log 6 4 + log 6 9.

Da die Basen in Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summe der Summe:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 - log 2 3 3.

Die Fundamente sind mit der Differenzformel gleich:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 - log 3 5.

Wieder sind die Fundamente gleich, also haben wir:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Wie Sie sehen, besteht die anfänglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht separat separat betrachtet werden. Nach der Transformation werden jedoch eine ganz normale Anzahl erhalten. Viele sind auf dieser Tatsache gebaut. testpapiere. Aber was ist die Kontrolle - solche Ausdrücke sind in voller (manchmal - fast unverändert) angeboten.

Executive Grad von Logarithmus

Nun komplizieren Sie die Aufgabe. Was ist, wenn es bei der Basis oder dem Argument des Logarithmus einen Abschluss kostet? Dann kann der Indikator in diesem Umfang des Logarithm-Zeichens gemäß den folgenden Regeln genommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Es ist jedoch besser, sich daran zu erinnern, in einigen Fällen wird er die Menge an Berechnungen erheblich reduzieren.

Natürlich sind all diese Regeln sinnvoll, wenn Sie den OTZ-Logarithmus einhalten: A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0. und mehr: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern im Gegenteil, d. H. Sie können Zahlen zum Logarithmus zum Logarithmus selbst stellen.

So lösen Sie den Logarithmus

Das ist am häufigsten erforderlich.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6.

Entfernen Sie den Umfang des Arguments in der ersten Formel:
log 7 49 6 \u003d 6 · log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass im Nenner ein Logarithmus, die Basis und das Argument, dessen genaue Abschlüsse sind: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Wir haben:

Ich denke, das neueste Beispiel erfordert Erklärung. Wo sind die Logarithmen verschwunden? Vor Samo letzter Moment Wir arbeiten nur mit dem Nenner. Sie präsentierten die Basis und das Argument eines Logarithmus in Form von Grad und führten Indikatoren - erhielt einen "dreistöckigen" Fraktion.

Jetzt schauen wir uns den grundlegenden Fraktion an. Die Zahl im Zähler und der Nenner ist die gleiche Nummer: log 2 7. Da log log 2 7 ≠ 0, können wir den Fraktion reduzieren - 2/4 bleiben im Nenner. Gemäß den Regeln der Arithmetik können die vier in den von erledigten Zähler übertragen werden. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Basis

Sprechen über die Regeln für den Zusatz und die Subtraktion von Logarithmen, betonte ich ausdrücklich, dass sie nur mit denselben Basen arbeiten. Und was ist, wenn die Fundamente anders sind? Was ist, wenn sie nicht genaue Abschlüsse derselben Nummer sind?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form von Theorem:

Lassen Sie die Loga A x gegeben werden. Dann ist für jede Nummer C so, dass c\u003e 0 und c ≠ 1 die Gleichheit trifft:

Wenn Sie c \u003d x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus an Orten geändert werden können, aber gleichzeitig der Ausdruck "dreht sich", d. H. Logarithmus erweist sich als im Nenner.

Diese Formeln sind in herkömmlichen numerischen Ausdrücken selten. Beurteilung, wie praktisch sie sind, ist es nur möglich, wenn logarithmische Gleichungen und Ungleichungen löst.

Es gibt jedoch Aufgaben, die in der Regel nirgendwo als Übergang zu einer neuen Basis gelöst werden. Betrachten Sie ein paar solche:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 · log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen genaue Abschlüsse sind. Ich fasse zusammen: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

Und jetzt "invertieren" den zweiten Logarithmus:

Da sich die Arbeit nicht von der Umlagerung von Multiplikatoren ändert, änderten wir die vier und zwei Ruhig und sortiert dann mit Logarithmen.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 · lg 3.

Die Basis und das Argument des ersten Logarithmus - genaue Abschlüsse. Wir schreiben es und beseitigen die Indikatoren:

Nun loswerden Sie den Dezimallogarithmus, indem Sie sich an die neue Basis drehen:

Grundlegende logarithmische Identität

Oft ist die Lösung erforderlich, um eine Zahl als Logarithmus für eine angegebene Basis einzureichen.

In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zu einem Indikator des Umfangs im Argument. Die Nummer n kann absolut beliebig sein, da es nur ein Logarithmuswert ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine parapralisierte Definition. Es wird genannt :.

Was passiert, wenn die Zahl B in einem solchen Grad ist, dass die Zahl B in diesem Umfang der Nummer A gibt? Rechts: Es stellt sich diese dieselbe Nummer A heraus. Lesen Sie diesen Absatz sorgfältig wieder - viele "hängen" darauf.

Wie die Übergangsformeln zu einer neuen Basis ist die wichtigste logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass das Protokoll 25 64 \u003d log 5 8 - nur ein Quadrat von der Basis und dem Argument des Logarithmus hergestellt. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Grad mit derselben Basis erhalten wir:

Wenn jemand nicht weiß ist, war es eine echte Aufgabe von EGE 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend werde ich zwei Identitäten geben, dass es schwierig ist, die Eigenschaften zu nennen - vielmehr ist dies die Folge der Definition von Logarithmus. Sie werden ständig in Aufgaben gefunden und was überraschend ist, schaffen auch Probleme für "fortgeschrittene" Studenten.

log A a \u003d 1 ist. Erinnern Sie sich an Zeiten und Forever: Der Logarithmus auf einer beliebigen Basis A von der Sockel ist gleich einem.
log A 1 \u003d 0 ist. Die Basis A kann ein Sinn sein, aber wenn das Argument ein Gerät ist - Logarithmus ist Null! Weil ein 0 \u003d 1 eine direkte Folge der Definition ist.

Das ist alles Eigenschaften. Stellen Sie sicher, dass Sie sie in der Praxis anwenden können! Laden Sie die Krippe am Anfang der Lektion herunter, drucken Sie ihn an - und lösen Sie die Aufgaben.

Also, bevor wir uns abziehen. Wenn Sie eine Nummer von der unteren Zeile annehmen, können Sie leicht einen Abschluss finden, in dem die Deuce genommen werden muss, um diese Nummer zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, benötigen Sie zwei, um einen vierten Grad aufzubauen. Und um 64 zu erhalten, benötigen Sie zwei, um im sechsten Grad zu bauen. Dies ist aus dem Tisch ersichtlich.

Und jetzt - eigentlich die Definition von Logarithmus:

Der Logarithmus auf der Basis A vom X-Argument ist der Grad, in dem die Zahl A genommen werden soll, um die Nummer x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x \u003d b, wo A die Basis ist, x ist ein Argument, B - eigentlich, was dem Logarithmus gleich ist.

Beispielsweise 2 3 \u003d 8 ⇒ · · · · · · 2 8 \u003d 3 (der Logarithmus für die Basis 2 von der Zahl 8 ist drei, da 2 3 \u003d 8). Mit demselben Erfolgsprotokoll 2 64 \u003d 6, seit 2 6 \u003d 64.

Der Betrieb des Findens des Logarithmus der Zahl für eine bestimmte Basis wird als Logarithming bezeichnet. Ergänzen Sie also unseren Tisch mit einer neuen Zeichenfolge:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Leider gelten nicht alle Logarithmen so einfach. Versuchen Sie beispielsweise, Protokoll 2 5 zu finden. Zahlen 5 sind nicht in der Tabelle, aber die Logik legt nahe, dass der Logarithmus irgendwo im Segment liegt. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Das Argument und die Basis sollten immer größer als Null sein. Dies folgt von der Bestimmung des Rational-Indikators, auf den die Definition von Logarithmus reduziert wird.
Die Basis sollte sich von der Einheit unterscheiden, da das Gerät in einem beliebigen Grad immer noch einheitlich bleibt. Aus diesem Grund sollte die Frage "wie viel das Gerät errichtet werden, um eine Deuce" von Bedeutung zu erhalten. Es gibt keinen solchen Grad!

Beachten Sie, dass keine Einschränkungen der Nummer B (der Wert des Logarithmus) nicht überlagert ist. Beispielsweise kann der Logarithmus negativ sein: log 2 0,5 \u003d -1, weil 0,5 \u003d 2 -1.

Betrachten Sie nun das allgemeine Schema für die Berechnung von Logarithmen. Es besteht aus drei Schritten:

Senden Sie die Basis A und das Argument X in Form eines Grads mit der minimal möglichen Basis, einer großen Einheit ein. Auf dem Weg ist es besser, Dezimalfraktionen loszuwerden;
Lösen Sie relativ zur variablen B-Gleichung: X \u003d A B;
Die resultierende Nummer B ist die Antwort.

Das ist alles! Wenn der Logarithmus irrational ist, ist es im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis mehr vereint war, ist sehr wichtig: Es reduziert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich mit Dezimalfraktionen: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Übersetzen bringen, werden Fehler zeitweise weniger sein.