Sehr leicht zu merken.

Nun, gehen wir nicht zu weit, betrachten wir gleich die Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponential- und der natürliche Logarithmus sind aus abgeleiteter Sicht einzigartig einfache Funktionen. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

1. an einem Punkt;
2. an einem Punkt;
3. an einem Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht in einfacherer Form niedergeschrieben werden kann. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Beachten Sie, dass es sich hier um den Quotienten zweier Funktionen handelt, daher wenden wir die entsprechende Differenzierungsregel an:

In diesem Beispiel das Produkt zweier Funktionen:

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für unser Beispiel .

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

1. Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine dreistufige komplexe Funktion handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren auch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (die Schokolade in eine Verpackung legen). und mit einer Schleife in der Aktentasche). Aber es besteht kein Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung.
Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir verbessern weiterhin unsere Differenzierungstechnik. In dieser Lektion festigen wir den behandelten Stoff, schauen uns komplexere Ableitungen an und lernen auch neue Techniken und Tricks zum Finden einer Ableitung kennen, insbesondere mit der logarithmischen Ableitung.

Leser mit einem geringen Vorbereitungsniveau sollten sich den Artikel ansehen Wie findet man die Ableitung? Beispiele für Lösungen, wodurch Sie Ihre Fähigkeiten fast von Grund auf verbessern können. Als nächstes müssen Sie die Seite sorgfältig studieren Ableitung einer komplexen Funktion, verstehen und lösen Alle die Beispiele, die ich gegeben habe. Diese Lektion ist logischerweise die dritte in Folge, und nachdem Sie sie gemeistert haben, werden Sie ziemlich komplexe Funktionen sicher unterscheiden können. Es ist unerwünscht, die Position „Wo sonst?“ einzunehmen. Das reicht!“, denn alle Beispiele und Lösungen stammen aus realen Tests und sind häufig in der Praxis anzutreffen.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Im Unterricht Ableitung einer komplexen Funktion Wir haben uns eine Reihe von Beispielen mit ausführlichen Kommentaren angesehen. Im Laufe des Studiums der Differentialrechnung und anderer Zweige der mathematischen Analyse müssen Sie sehr häufig differenzieren, und es ist nicht immer bequem (und nicht immer notwendig), Beispiele ausführlich zu beschreiben. Deshalb werden wir das Finden von Derivaten mündlich üben. Die am besten geeigneten „Kandidaten“ dafür sind Ableitungen einfachster komplexer Funktionen, zum Beispiel:

Nach der Differenzierungsregel komplexer Funktionen :

Beim Studium anderer Matan-Themen in der Zukunft ist eine derart detaillierte Aufzeichnung meist nicht erforderlich; es wird davon ausgegangen, dass der Student weiß, wie man solche Ableitungen auf Autopilot findet. Stellen wir uns vor, dass um 3 Uhr morgens das Telefon klingelt und eine angenehme Stimme fragt: „Was ist die Ableitung des Tangens zweier X?“ Darauf sollte eine fast augenblickliche und höfliche Antwort folgen: .

Das erste Beispiel ist sofort zur eigenständigen Lösung vorgesehen.

Beispiel 1

Finden Sie die folgenden Ableitungen mündlich, in einer Aktion, zum Beispiel: . Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie nur verwenden Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen(falls Sie sich noch nicht daran erinnert haben). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, empfehle ich Ihnen, die Lektion noch einmal zu lesen Ableitung einer komplexen Funktion.

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, ,

Antworten am Ende der Lektion

Komplexe Derivate

Nach vorläufiger Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsverschachtelungen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen für manche kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird leiden), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts VERSTEHEN Sie Ihre Investitionen. Im Zweifelsfall erinnere ich Sie an eine nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert von „x“ und versuchen (mental oder in einem Entwurf), diesen Wert durch den „schrecklichen Ausdruck“ zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, was bedeutet, dass die Summe die tiefste Einbettung ist.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Würfeln Sie dann den Kosinus:

5) Im fünften Schritt der Unterschied:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Formel zur Differenzierung einer komplexen Funktion werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Es scheint keine Fehler zu geben...

(1) Bilden Sie die Ableitung der Quadratwurzel.

(2) Wir bilden die Ableitung der Differenz nach der Regel

(3) Die Ableitung eines Tripels ist Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).

(4) Bilden Sie die Ableitung des Kosinus.

(5) Bilden Sie die Ableitung des Logarithmus.

(6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Einbettung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden die ganze Schönheit und Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie in einer Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob ein Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt, oder nicht.

Das folgende Beispiel können Sie selbst lösen.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitätsregeln und die Produktdifferenzierungsregel an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kleinerem und Schönerem überzugehen.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Beispiel nicht das Produkt von zwei, sondern von drei Funktionen zeigt. Wie finde ich die Ableitung des Produkts aus drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns zunächst an: Ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in das Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Im betrachteten Beispiel sind jedoch alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig der Reihe nach Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick besteht darin, dass wir mit „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: und mit „ve“ den Logarithmus: . Warum ist das möglich? Ist das wirklich – Das ist kein Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:

Sie können sich auch verdrehen und etwas aus Klammern setzen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort genau in dieser Form zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.

Das betrachtete Beispiel lässt sich auf die zweite Art lösen:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung; im Beispiel wird sie mit der ersten Methode gelöst.

Schauen wir uns ähnliche Beispiele mit Brüchen an.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere Möglichkeiten, hierher zu gelangen:

Oder so:

Die Lösung wird jedoch kompakter geschrieben, wenn wir zunächst die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , wobei für den gesamten Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn man es so belässt, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, anhand eines Entwurfs zu prüfen, ob die Antwort vereinfacht werden kann. Reduzieren wir den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und Lassen Sie uns den dreistöckigen Bruchteil loswerden:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht bei der Ermittlung der Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Methoden zur Ermittlung der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem der „schreckliche“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie den langen Weg gehen und die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion verwenden:

Aber der allererste Schritt stürzt einen sofort in Verzweiflung – man muss die unangenehme Ableitung von einer Bruchzahl und dann auch von einer Bruchzahl nehmen.

Deshalb Vor Wie man die Ableitung eines „ausgefeilten“ Logarithmus berechnet, wird zunächst anhand bekannter Schuleigenschaften vereinfacht:

! Wenn Sie ein Übungsheft zur Hand haben, kopieren Sie diese Formeln direkt dorthin. Wenn Sie kein Notizbuch haben, kopieren Sie sie auf ein Blatt Papier, da sich die restlichen Beispiele der Lektion um diese Formeln drehen werden.

Die Lösung selbst kann etwa so geschrieben werden:

Lassen Sie uns die Funktion transformieren:

Finden der Ableitung:

Die Vorkonvertierung der Funktion selbst hat die Lösung erheblich vereinfacht. Wenn also ein ähnlicher Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird, empfiehlt es sich immer, ihn „aufzubrechen“.

Und nun ein paar einfache Beispiele, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Alle Transformationen und Antworten finden Sie am Ende der Lektion.

Logarithmische Ableitung

Wenn die Ableitung von Logarithmen so schöne Musik ist, dann stellt sich die Frage: Ist es in manchen Fällen möglich, den Logarithmus künstlich zu organisieren? Dürfen! Und sogar notwendig.

Beispiel 11

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir haben uns kürzlich ähnliche Beispiele angesehen. Was zu tun ist? Sie können nacheinander die Differenzierungsregel des Quotienten und dann die Differenzierungsregel des Produkts anwenden. Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass am Ende ein riesiger dreistöckiger Bruchteil entsteht, mit dem man sich überhaupt nicht befassen möchte.

Aber in Theorie und Praxis gibt es so etwas Wunderbares wie die logarithmische Ableitung. Logarithmen können künstlich organisiert werden, indem man sie auf beiden Seiten „aufhängt“:

Notiz : Weil Da eine Funktion negative Werte annehmen kann, müssen Sie im Allgemeinen Module verwenden: , die durch Differenzierung verschwinden wird. Allerdings ist auch das aktuelle Design akzeptabel, sofern es standardmäßig berücksichtigt wird Komplex Bedeutungen. Aber bei aller Strenge sollte in beiden Fällen ein Vorbehalt gemacht werden.

Jetzt müssen Sie den Logarithmus der rechten Seite so weit wie möglich „zerlegen“ (Formeln vor Ihren Augen?). Ich werde diesen Prozess im Detail beschreiben:

Beginnen wir mit der Differenzierung.
Wir schließen beide Teile unter der Primzahl ab:

Die Ableitung der rechten Seite ist recht einfach; ich werde sie nicht kommentieren, denn wenn Sie diesen Text lesen, sollten Sie damit sicher umgehen können.

Was ist mit der linken Seite?

Auf der linken Seite haben wir komplexe Funktion. Ich sehe die Frage voraus: „Warum steht unter dem Logarithmus ein Buchstabe „Y“?“

Tatsache ist, dass dieses „Ein-Buchstaben-Spiel“ – IST SELBST EINE FUNKTION(Wenn es nicht ganz klar ist, lesen Sie den Artikel Ableitung einer implizit angegebenen Funktion). Daher ist der Logarithmus eine externe Funktion und das „y“ eine interne Funktion. Und wir verwenden die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion :

Auf der linken Seite haben wir wie von Zauberhand eine Ableitung. Als nächstes übertragen wir gemäß der Proportionsregel das „y“ vom Nenner der linken Seite nach oben auf der rechten Seite:

Und nun erinnern wir uns, über welche Art von „Spieler“-Funktion wir bei der Differenzierung gesprochen haben? Schauen wir uns den Zustand an:

Endgültige Antwort:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Ein Musterentwurf eines Beispiels dieser Art finden Sie am Ende der Lektion.

Mit der logarithmischen Ableitung konnte jedes der Beispiele Nr. 4-7 gelöst werden, außerdem sind die Funktionen dort einfacher und die Verwendung der logarithmischen Ableitung ist möglicherweise nicht sehr gerechtfertigt.

Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir haben diese Funktion noch nicht berücksichtigt. Eine Potenzexponentialfunktion ist eine Funktion für die Sowohl der Grad als auch die Basis hängen vom „x“ ab.. Ein klassisches Beispiel, das Ihnen in jedem Lehrbuch oder jeder Vorlesung gegeben wird:

Wie finde ich die Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion?

Es ist notwendig, die gerade besprochene Technik zu verwenden – die logarithmische Ableitung. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf:

In der Regel wird auf der rechten Seite der Grad unter dem Logarithmus abgezogen:

Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite das Produkt zweier Funktionen, die wir nach der Standardformel differenzieren .

Wir finden die Ableitung; dazu schließen wir beide Teile mit Strichen ein:

Weitere Aktionen sind einfach:

Endlich:

Sollte eine Umrechnung nicht ganz klar sein, lesen Sie bitte die Erläuterungen zu Beispiel Nr. 11 noch einmal sorgfältig durch.

Bei praktischen Aufgaben wird die Potenz-Exponentialfunktion immer komplizierter sein als das betrachtete Vorlesungsbeispiel.

Beispiel 13

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

Auf der rechten Seite haben wir eine Konstante und das Produkt zweier Faktoren – „x“ und „Logarithmus des Logarithmus x“ (unter dem Logarithmus ist ein weiterer Logarithmus verschachtelt). Wie wir uns erinnern, ist es beim Differenzieren besser, die Konstante sofort aus dem Ableitungszeichen zu verschieben, damit sie nicht im Weg steht; Und natürlich wenden wir die bekannte Regel an :

Beweis und Herleitung von Formeln für die Ableitung des natürlichen Logarithmus und des Logarithmus zur Basis a. Beispiele für die Berechnung von Ableitungen von ln 2x, ln 3x und ln nx. Beweis der Formel für die Ableitung des Logarithmus n-ter Ordnung mit der Methode der mathematischen Induktion.

Inhalt

Siehe auch: Logarithmus - Eigenschaften, Formeln, Diagramm
Natürlicher Logarithmus - Eigenschaften, Formeln, Diagramm

Herleitung von Formeln für die Ableitungen des natürlichen Logarithmus und des Logarithmus zur Basis a

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist gleich eins dividiert durch x:
(1) (ln x)′ =.

Die Ableitung des Logarithmus zur Basis a ist gleich eins dividiert durch die Variable x multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus von a:
(2) (log a x)′ =.

Nachweisen

Es gebe eine positive Zahl ungleich eins. Betrachten Sie eine Funktion, die von einer Variablen x abhängt, die ein Logarithmus zur Basis ist:
.
Diese Funktion ist unter definiert. Finden wir seine Ableitung nach der Variablen x. Per Definition ist die Ableitung der folgende Grenzwert:
(3) .

Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln, um ihn auf bekannte mathematische Eigenschaften und Regeln zu reduzieren. Dazu müssen wir folgende Fakten kennen:
A) Eigenschaften des Logarithmus. Wir benötigen folgende Formeln:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Stetigkeit des Logarithmus und Grenzwerteigenschaft für eine stetige Funktion:
(7) .
Hier ist eine Funktion, die einen Grenzwert hat und dieser Grenzwert positiv ist.
IN) Die Bedeutung der zweiten bemerkenswerten Grenze:
(8) .

Wenden wir diese Fakten auf unser Limit an. Zuerst transformieren wir den algebraischen Ausdruck
.
Dazu wenden wir die Eigenschaften (4) und (5) an.

.

Nutzen wir Eigenschaft (7) und die zweite bemerkenswerte Grenze (8):
.

Und schließlich wenden wir Eigenschaft (6) an:
.
Logarithmus zur Basis e angerufen natürlicher Logarithmus. Es wird wie folgt bezeichnet:
.
Dann ;
.

Somit haben wir die Formel (2) für die Ableitung des Logarithmus erhalten.

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Wir schreiben noch einmal die Formel für die Ableitung des Logarithmus zur Basis a auf:
.
Diese Formel hat die einfachste Form für den natürlichen Logarithmus, für den , . Dann
(1) .

Aufgrund dieser Einfachheit wird der natürliche Logarithmus in der mathematischen Analyse und in anderen Bereichen der Mathematik im Zusammenhang mit der Differentialrechnung sehr häufig verwendet. Logarithmische Funktionen mit anderen Basen können mithilfe der Eigenschaft (6) durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden:
.

Die Ableitung des Logarithmus nach der Basis ergibt sich aus Formel (1), wenn man aus dem Differenzierungszeichen die Konstante herausnimmt:
.

Andere Möglichkeiten, die Ableitung eines Logarithmus zu beweisen

Hier gehen wir davon aus, dass wir die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion kennen:
(9) .
Dann können wir die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus ableiten, vorausgesetzt, der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Beweisen wir die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus: Anwendung der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion:
.
In unserem Fall . Die Umkehrfunktion zum natürlichen Logarithmus ist die Exponentialfunktion:
.
Seine Ableitung wird durch Formel (9) bestimmt. Variablen können mit einem beliebigen Buchstaben bezeichnet werden. Ersetzen Sie in Formel (9) die Variable x durch y:
.
Seit damals
.
Dann
.
Die Formel ist bewiesen.

Jetzt beweisen wir die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus mit Regeln zur Differenzierung komplexer Funktionen. Da die Funktionen und dann zueinander invers sind
.
Differenzieren wir diese Gleichung nach der Variablen x:
(10) .
Die Ableitung von x ist gleich eins:
.
Wir bewerben uns Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion :
.
Hier . Ersetzen wir in (10):
.
Von hier
.

Beispiel

Finden Sie Ableitungen von ln 2x, ln 3x Und lnnx.

Die ursprünglichen Funktionen haben eine ähnliche Form. Daher finden wir die Ableitung der Funktion y = log nx. Dann ersetzen wir n = 2 und n = 3. Und so erhalten wir Formeln für die Ableitungen von ln 2x Und ln 3x .

Wir suchen also nach der Ableitung der Funktion
y = log nx .
Stellen wir uns diese Funktion als eine komplexe Funktion vor, die aus zwei Funktionen besteht:
1) Funktionen abhängig von einer Variablen: ;
2) Funktionen abhängig von einer Variablen: .
Dann setzt sich die ursprüngliche Funktion aus den Funktionen und zusammen:
.

Finden wir die Ableitung der Funktion nach der Variablen x:
.
Finden wir die Ableitung der Funktion nach der Variablen:
.
Wir bewerben uns Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion.
.
Hier haben wir es eingerichtet.

Also fanden wir:
(11) .
Wir sehen, dass die Ableitung nicht von n abhängt. Dieses Ergebnis ist ganz natürlich, wenn wir die ursprüngliche Funktion mit der Formel für den Logarithmus des Produkts umwandeln:
.
- das ist eine Konstante. Seine Ableitung ist Null. Dann gilt nach der Differenzierungsregel der Summe:
.

; ; .

Ableitung des Logarithmus des Moduls x

Finden wir die Ableitung einer weiteren sehr wichtigen Funktion – des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
(12) .

Betrachten wir den Fall. Dann sieht die Funktion so aus:
.
Seine Ableitung wird durch Formel (1) bestimmt:
.

Betrachten wir nun den Fall. Dann sieht die Funktion so aus:
,
Wo .
Aber auch die Ableitung dieser Funktion haben wir im obigen Beispiel gefunden. Es hängt nicht von n ab und ist gleich
.
Dann
.

Wir kombinieren diese beiden Fälle in einer Formel:
.

Dementsprechend gilt für den Logarithmus zur Basis von a:
.

Ableitungen höherer Ordnungen des natürlichen Logarithmus

Betrachten Sie die Funktion
.
Wir haben seine Ableitung erster Ordnung gefunden:
(13) .

Finden wir die Ableitung zweiter Ordnung:
.
Finden wir die Ableitung dritter Ordnung:
.
Finden wir die Ableitung vierter Ordnung:
.

Sie können feststellen, dass die Ableitung n-ter Ordnung die Form hat:
(14) .
Beweisen wir dies durch mathematische Induktion.

Nachweisen

Setzen wir den Wert n = 1 in Formel (14) ein:
.
Da, dann wenn n = 1 , Formel (14) ist gültig.

Nehmen wir an, dass Formel (14) für n = k erfüllt ist. Beweisen wir, dass dies impliziert, dass die Formel für n = k gültig ist + 1 .

Tatsächlich gilt für n = k:
.
Differenzieren Sie nach der Variablen x:

.
Also haben wir:
.
Diese Formel stimmt mit Formel (14) für n = k + überein 1 . Aus der Annahme, dass Formel (14) für n = k gültig ist, folgt also, dass Formel (14) für n = k + gültig ist 1 .

Daher gilt die Formel (14) für die Ableitung n-ter Ordnung für jedes n.

Ableitungen höherer Logarithmusordnungen zur Basis a

Um die Ableitung n-ter Ordnung eines Logarithmus zur Basis a zu finden, müssen Sie sie durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:
.
Mit Formel (14) ermitteln wir die n-te Ableitung:
.

Siehe auch: