Lobatschewskis Parallelitätsaxiom, Hauptfolgen. Nikolai Lobachevsky: Parallele Linien schneiden sich! Wie Lobatschewski bewies, dass sich parallele Linien schneiden
Eine noch tiefere Untersuchung des Problems wird uns zu einem solchen Konzept wie der Raumkrümmung führen. Ohne auf Details einzugehen, achten wir nur darauf, dass die Fläche an jedem Punkt auf zwei qualitativ unterschiedliche Arten gekrümmt sein kann. In einem Fall ähnelt die Oberfläche einem Teil eines Ellipsoids, und die Krümmung wird als positiv angenommen. In einem anderen Fall sieht die Oberfläche wie ein Sattel aus und ihre Krümmung ist negativ. Die Pseudosphäre hat, wie in ihrem Bild zu sehen ist (und daher die Lobatschewski-Ebene), eine negative Krümmung, und es stellt sich heraus, dass diese Krümmung konstant ist (nicht von einem Punkt auf der Oberfläche abhängt). Dies verdeutlicht übrigens die Herkunft des Namens „Pseudosphäre“: Eine gewöhnliche Kugel ist eine Fläche mit konstanter positiver Krümmung.
Die im 19. Jahrhundert entstandene Geometrie von Lobatschewski war der wichtigste Schritt zur Entstehung des Gebiets der Mathematik, das heute als Differentialgeometrie bezeichnet wird. Es befasst sich mit der Untersuchung willkürlich gekrümmter Räume, und sein mathematischer Apparat ist die Grundlage eines so wichtigen Bereichs der modernen Physik wie der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR). Tatsache ist, dass die Raumzeit, in der wir leben, gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Krümmung hat, und die Krümmung des Raums entspricht dem Vorhandensein eines Gravitationsfelds an diesem Punkt im Raum.
Die Allgemeine Relativitätstheorie wurde zahlreichen experimentellen Überprüfungen unterzogen (siehe: Centenary of General Relativity, or the Anniversary of the First November Revolution, "Elements", 25.11.2015), und die damit verbundenen Korrekturen müssen für genaue Satelliten berücksichtigt werden Navigation. Darüber hinaus beschreibt es die Physik von massiven Objekten wie gewöhnlichen und Neutronensternen, Supernovae und Schwarzen Löchern (die Liste geht weiter). Schließlich liegt der modernen Wissenschaft des Universums, der Kosmologie, die Allgemeine Relativitätstheorie zugrunde.
Nach gesundem Menschenverstand sowie allen verfügbaren Beobachtungsdaten ist das Universum auf großen Skalen homogen und isotrop. In jedem Fall bedeutet dies, dass es sich um einen Raum konstanter räumlicher Krümmung handelt. In dieser Hinsicht wurden seit den frühesten Jahren der Kosmologie drei Möglichkeiten in Betracht gezogen: ein flaches Universum, ein Universum mit positiver Krümmung ("sphärisches Universum") und ein Universum mit negativer Krümmung ("Lobachevskys Universum"). Derzeit wird jedoch angenommen, dass die Krümmung des Universums Null ist (innerhalb der Grenzen der modernen Messgenauigkeit). Dies findet eine Erklärung in der modernen Inflationstheorie. Nach letzterer hat das Universum in der Anfangsphase seiner Entwicklung eine sehr schnelle Expansion erfahren und sich dadurch um ein Vielfaches vergrößert (man spricht von Inflation). Es ist durchaus möglich, dass das Universum vor der Inflation kugelförmig war, das "Lobachevsky-Universum", oder eine andere komplexe Geometrie hatte. Die Expansion hat jedoch dazu geführt, dass nur noch ein sehr kleiner Teil des gesamten Universums für Beobachtungen zugänglich ist und seine Geometrie von einer flachen nicht zu unterscheiden sein sollte.
Euklids fünftes Postulat "Wenn eine Linie, die auf zwei Linien fällt, innere einseitige Winkel bildet, die in der Summe kleiner als zwei Linien sind, dann treffen sich diese beiden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit verlängert werden, auf der Seite, auf der die Winkel in der Summe kleiner als zwei Linien sind." erschien vielen Mathematikern schon in der Antike irgendwie nicht ganz klar, auch wegen der Komplexität seiner Formulierung.
Es schien, dass nur elementare Sätze einfacher Form Postulate sein sollten. In dieser Hinsicht ist das 5. Postulat zum Gegenstand besonderer Aufmerksamkeit der Mathematiker geworden, und die Forschung zu diesem Thema kann in zwei Bereiche unterteilt werden, die tatsächlich eng miteinander verbunden sind. Die ersten versuchten, dieses Postulat durch ein einfacheres und intuitiveres zu ersetzen, wie zum Beispiel die von Proclus formulierte Aussage „Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen geraden Linie liegt, kann nur eine gerade Linie gezogen werden, die dies nicht tut sich mit einem gegebenen schneiden“: In dieser Form taucht in modernen Lehrbüchern das 5. Postulat bzw. das äquivalente Parallelitätsaxiom auf.
Vertreter der zweiten Richtung versuchten, das fünfte Postulat auf der Grundlage anderer zu beweisen, dh in einen Satz umzuwandeln. Versuche dieser Art wurden von einer Reihe arabischer Mathematiker des Mittelalters initiiert: al-Abbas al-Jawhari (Anfang des 9. Jahrhunderts), Sabit ibn Korra, Ibn al-Khaytham, Omar Khayyam, Nasireddin at-Tusi. Später schlossen sich Europäer diesen Studien an: Levi Ben Gershon (XIV. Jahrhundert) und Alfonso (XV. Jahrhundert), die auf Hebräisch schrieben, und dann der deutsche Jesuit H. Clavius (1596), der Engländer J. Wallis (1663) und Das Interesse an diesem Problem entstand im 18. Jahrhundert: Von 1759 bis 1800 wurden 55 Arbeiten veröffentlicht, die dieses Problem analysierten, darunter die sehr wichtigen Werke des italienischen Jesuiten J. Saccheri und des Deutschen J. G. Lambert.
Beweise wurden meist nach der Methode des „Widerspruchs“ geführt: Aus der Annahme, dass das 5. Postulat nicht erfüllt ist, versuchte man Konsequenzen abzuleiten, die anderen Postulaten und Axiomen widersprechen würden. In Wirklichkeit endete man jedoch nicht mit einem Widerspruch zu anderen Postulaten, sondern zu einem expliziten oder impliziten "offensichtlichen" Satz, der jedoch nicht auf der Grundlage anderer Postulate und Axiome der euklidischen Geometrie festgestellt werden konnte: also der Beweise haben ihr Ziel nicht erreicht, - es stellte sich heraus, dass an die Stelle des 5. Postulats wieder eine andere Äquivalent-Aussage gestellt wurde. Beispielsweise wurden die folgenden Bestimmungen als solche Erklärung aufgefasst:
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Reis. 2. Es gibt gerade Linien mit gleichem Abstand voneinander |
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Reis. 4. Zwei konvergierende Linien schneiden sich |
Die Geometrie, in der diese Aussagen nicht gelten, ist natürlich nicht die, die wir gewohnt sind, aber daraus folgt noch nicht, dass sie unmöglich ist oder dass diese Aussagen aus anderen Postulaten und Axiomen von Euklid folgen, also gab es Lücken alle Beweise oder Dehnungen. Clavius begründete die Annahme, dass es Linien mit gleichem Abstand zueinander gibt, mit der euklidischen „Definition“ einer Linie als einer Linie, die in Bezug auf Punkte auf ihr äquidistant ist. Wallis stützte seinen Beweis des 5. Postulats als erster auf die „natürliche“ Position, wonach es für jede Figur eine ähnliche beliebig große Figur gibt, und untermauerte diese Aussage durch das 3. Postulat von Euklid, indem er von jedem aus behauptete Zentrum und jede Lösung kann einen Kreis beschreiben (tatsächlich entspricht die Aussage über die Existenz von beispielsweise ungleichen ähnlichen Dreiecken oder sogar Kreisen dem 5. Postulat). A. M. Legendre zitierte in aufeinanderfolgenden Ausgaben des Lehrbuchs "Principles of Geometry" (1794, 1800, 1823) neue Beweise für das 5. Postulat, aber eine sorgfältige Analyse zeigte Lücken in diesen Beweisen. Unser Landsmann S. E. Guryev, der Legendre einer fairen Kritik unterzog, machte in dem Buch "Ein Experiment zur Verbesserung der Elemente der Geometrie" (1798) jedoch selbst einen Fehler beim Beweis des 5. Postulats.
Der Zusammenhang zwischen der Winkelsumme eines Dreiecks und eines Vierecks und dem 5. Postulat war schnell erkannt: Das 5. Postulat folgt aus der Aussage, dass die Winkelsumme eines Dreiecks gleich zwei rechten Winkeln ist, woraus sich schließen lässt die Existenz von Rechtecken. In dieser Hinsicht hat sich ein Ansatz verbreitet (ihm folgten Khayyam, at-Tusi, Wallis, Sakkeri), bei dem ein Viereck betrachtet wird, das sich aus dem Ablegen gleicher Segmente auf zwei Senkrechten zu einer Geraden ergibt. Drei Hypothesen werden untersucht: Die beiden oberen Winkel sind spitz, stumpf oder gerade; in diesem Fall wird versucht zu zeigen, dass die Hypothesen von stumpfen und spitzen Winkeln zu einem Widerspruch führen.
Ein anderer Ansatz (verwendet von Ibn al-Haytham, Lambert) analysierte drei ähnliche Hypothesen für ein Viereck mit drei rechten Winkeln.
Saccheri und Lambert zeigten, dass die stumpfen Winkelhypothesen tatsächlich zu einem Widerspruch führen, aber sie fanden keinen Widerspruch, wenn sie die spitzen Winkelhypothesen betrachteten: Saccheri schloss einen solchen Widerspruch nur aufgrund eines Fehlers, und Lambert schloss daraus, dass das scheinbare Fehlen eines Widerspruchs in der Hypothese des spitzen Winkels ist auf einen fundamentalen Grund zurückzuführen. Lambert fand heraus, dass bei Annahme der Hypothese eines spitzen Winkels die Summe der Winkel jedes Dreiecks um einen Betrag kleiner als 180 ° ist, der proportional zu seiner Fläche ist, und verglich damit die Öffnung am Anfang. 17. Jahrhundert die Position, nach der die Fläche eines sphärischen Dreiecks dagegen um einen zu seiner Fläche proportionalen Betrag größer als 180 ° ist.
1763 veröffentlichte G. S. Klugel eine "Übersicht über die wichtigsten Versuche zum Beweis der Theorie der parallelen Linien", in der er etwa 30 Beweise des 5. Postulats überprüfte und darin Fehler identifizierte. Klugel kam zu dem Schluss, dass Euklid Recht hatte, seine Aussage unter die Postulate zu stellen.
Trotzdem spielten Versuche, das 5. Postulat zu beweisen, eine sehr wichtige Rolle: Beim Versuch, die entgegengesetzten Aussagen in einen Widerspruch zu bringen, entdeckten diese Forscher tatsächlich viele wichtige Theoreme der nichteuklidischen Geometrie - insbesondere solche Geometrie, in der das 5. Postulat steht ersetzt durch die Aussage über die Möglichkeit, durch einen gegebenen Punkt mindestens zwei Geraden zu ziehen, die den gegebenen nicht schneiden. Diese Aussage, die der Spitzwinkelhypothese entspricht, wurde von den Entdeckern der nichteuklidischen Geometrie zugrunde gelegt.
Die Idee, dass die Annahme einer Alternative zum 5. Postulat zur Konstruktion einer Geometrie führt, die sich von der euklidischen unterscheidet, aber ebenso konsistent ist, wurde von mehreren Wissenschaftlern unabhängig voneinander vertreten: KF Gauss, NI Lobachevsky und J. Boyai (as sowie F. K. Schweikart und F. A. Taurinus, deren Beitrag zur neuen Geometrie allerdings bescheidener war und ihre Forschung nicht veröffentlichte). Den in seinem Archiv aufbewahrten (und erst in den 1860er Jahren veröffentlichten) Notizen nach zu urteilen, erkannte Gauß bereits in den 1810er Jahren die Möglichkeit einer neuen Geometrie, veröffentlichte seine Entdeckungen zu diesem Thema jedoch auch nie: „Ich fürchte den Schrei der Böoten ( das heißt Narren: Die Bewohner der Region Böotien galten als die dümmsten im antiken Griechenland), wenn ich meine Ansichten vollständig ausdrücke “, schrieb er 1829 an seinen befreundeten Mathematiker FW Bessel. Das Missverständnis fiel vollständig auf Lobachevsky, der 1826 den ersten Bericht über die neue Geometrie verfasste und die Ergebnisse 1829 veröffentlichte. 1842 gelang es Gauß, Lobachevsky zum korrespondierenden Mitglied der Göttinger Wissenschaftlichen Gesellschaft zu wählen: Dies war die einzige Anerkennung von Lobachevskys Verdiensten während seine Lebenszeit. J. Boyais Vater, der Mathematiker Farkas Boyai, der ebenfalls versuchte, das 5. Postulat zu beweisen, warnte seinen Sohn vor Forschungen in dieser Richtung: „... es kann einem die Muße, die Gesundheit, den Frieden, alle Freuden des Lebens nehmen. Dieser schwarze Abgrund kann vielleicht tausend Titanen wie Newton verschlucken, auf der Erde wird sich das nie auflösen ... ". Dennoch veröffentlichte J. Boyai seine Ergebnisse 1832 in einem Anhang zu einem Geometrie-Lehrbuch seines Vaters. Boyai erlangte auch keine Anerkennung, außerdem war er verärgert darüber, dass Lobatschewski ihm voraus war: Er studierte nicht-euklidische Geometrie mehr. So forschte nur Lobachevsky für den Rest seines Lebens weiter auf dem neuen Gebiet und verbreitete zweitens seine Ideen, veröffentlichte eine Reihe von Büchern und Artikeln über neue Geometrie.
In der Lobatschewski-Ebene gibt es also durch den Punkt C außerhalb der gegebenen Linie AB mindestens zwei Linien, die AB nicht schneiden. Alle Linien, die durch C verlaufen, werden in zwei Klassen eingeteilt – diejenigen, die AB schneiden, und diejenigen, die AB nicht schneiden. Diese letzteren liegen in einem Winkel, der durch die beiden äußersten Linien gebildet wird, die AB nicht schneiden. Es sind diese Linien, die Lobatschewski als parallel zur Linie AB bezeichnet, und der Winkel zwischen ihnen und der Senkrechten ist der Winkel der Parallelität. Dieser Winkel hängt vom Abstand zwischen Punkt C und Linie AB ab: je größer dieser Abstand, desto kleiner der Parallelitätswinkel. Linien, die innerhalb des Winkels liegen, heißen divergent bezüglich AB.
Alle zwei divergierenden Linien p und q haben eine einzige gemeinsame Senkrechte t, die das kürzeste Liniensegment von einer zur anderen ist. Wenn sich der Punkt M entlang p in Richtung von t bewegt, wird der Abstand von M nach q unendlich, und die Basen der von M nach q fallenden Senkrechten füllen nur das letzte Segment.
Wenn sich die Geraden p und q schneiden, dann füllen auch die Projektionen der Punkte der einen auf die andere die begrenzte Strecke.
Wenn die Linien p und q parallel sind, dann nehmen die Abstände zwischen ihren Punkten in einer Richtung unendlich ab und in der anderen unendlich zu; eine Gerade wird auf den Strahl der anderen projiziert.
Die Figuren zeigen verschiedene gegenseitige Positionen der Linien p und q, die in der Geometrie von Lobatschewski möglich sind; r und s sind Senkrechte parallel zu q. (Wir sind gezwungen, eine gekrümmte Linie q zu zeichnen, obwohl wir von einer geraden Linie sprechen. Selbst wenn unsere Welt als Ganzes den Gesetzen der Lobatschewski-Geometrie gehorchte, könnten wir immer noch nicht im kleinen Maßstab verzerrungsfrei darstellen, wie alles sieht im großen Maßstab aus: In der Lobatschewski-Geometrie gibt es keine ähnlichen Figuren, die nicht gleich sind).
Innerhalb des Winkels befindet sich eine Linie parallel zu beiden Seiten des Winkels. Es teilt alle Punkte innerhalb des Winkels in zwei Typen: durch die Punkte des ersten Typs kann man gerade Linien ziehen, die beide Seiten des Winkels schneiden; durch Punkte des zweiten Typs kann keine solche Gerade gezogen werden. Dasselbe gilt für den Abstand zwischen parallelen Linien. Zwischen zwei divergierenden Linien gibt es zwei Linien, die zu beiden parallel sind; sie teilen den Raum zwischen den divergierenden Linien in drei Bereiche: Durch Punkte in einem Bereich können Linien gezogen werden, die beide Seiten des Winkels schneiden; keine solchen geraden Linien können durch Punkte in den anderen zwei Regionen gezogen werden.
Dem Durchmesser eines Kreises liegt immer ein spitzer, kein rechter Winkel zugrunde. Die Seite eines einem Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks ist immer größer als sein Radius. Für jedes n > 6 kann man einen Kreis so konstruieren, dass die Seite eines ihm einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks gleich seinem Radius ist.
Lobachevsky interessierte sich für die Frage der Geometrie des physikalischen Raums, insbesondere berechnete er anhand der Daten astronomischer Beobachtungen die Summe der Winkel großer, interstellarer Dreiecke: Die Differenz zwischen dieser Winkelsumme und 180 ° lag jedoch vollständig innerhalb des Beobachtungsfehlers. Das Missverständnis, das Lobatschewski widerfuhr, der seine Geometrie selbst als „imaginär“ bezeichnete, ist größtenteils darauf zurückzuführen, dass solche Ideen zu seiner Zeit reine Abstraktionen und Einbildungen zu sein schienen. Ist die neue Geometrie wirklich konsistent? (Schließlich, selbst wenn Lobatschewski nicht auf Widersprüche gestoßen ist, garantiert dies nicht, dass es später nicht entdeckt wird). Wie bezieht es sich auf die reale Welt sowie auf andere Bereiche der Mathematik? Dies wurde nicht sofort klar, und der Erfolg, der schließlich den vielen neuen Ideen zufiel, war mit der Entdeckung von Modellen neuer Geometrie verbunden.
Die Lobachevsky-Geometrie ist eine geometrische Theorie, die auf denselben Grundannahmen wie die gewöhnliche euklidische Geometrie basiert, mit Ausnahme des Parallelaxioms, das durch das Lobachevsky-Parallelaxiom ersetzt wird. Das euklidische Axiom der Parallelität besagt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht nur eine Gerade, die mit der gegebenen Geraden in derselben Ebene liegt und diese nicht schneidet. In der Lobatschewski-Geometrie wird stattdessen das folgende Axiom akzeptiert: Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, verlaufen mindestens zwei Linien, die mit der gegebenen Linie in derselben Ebene liegen und sie nicht schneiden. Es scheint, dass dieses Axiom extrem verbreiteten Vorstellungen widerspricht. Trotzdem haben sowohl dieses Axiom als auch die gesamte Lobatschewski-Geometrie eine sehr reale Bedeutung. Die Lobachevsky-Geometrie wurde von NI Lobachevsky geschaffen und entwickelt, der sie erstmals 1826 berichtete. Die Lobachevsky-Geometrie wird als nicht-euklidische Geometrie bezeichnet, obwohl dem Begriff „nicht-euklidische Geometrie“ normalerweise eine breitere Bedeutung gegeben wird, einschließlich anderer Theorien, die nach Lobachevsky entstanden sind Geometrie und auch basierend auf einer Änderung der Grundprämissen der euklidischen Geometrie. Die Lobatschewski-Geometrie wird als spezifisch hyperbolische nichteuklidische Geometrie bezeichnet (im Gegensatz zu Riemanns elliptischer Geometrie).
Die Lobatschewski-Geometrie ist eine inhaltsreiche Theorie, die sowohl in der Mathematik als auch in der Physik Anwendung findet. Seine historische Bedeutung liegt in der Tatsache, dass Lobatschewski durch seine Konstruktion die Möglichkeit einer anderen als der euklidischen Geometrie aufzeigte, was eine neue Ära in der Entwicklung der Geometrie und der Mathematik im Allgemeinen markierte (siehe Geometrie). Aus heutiger Sicht kann man beispielsweise die Geometrie von Lobatschewski auf einer Ebene wie folgt definieren: Sie ist nichts anderes als eine Geometrie innerhalb eines Kreises auf einer gewöhnlichen (euklidischen) Ebene, nur in besonderer Weise ausgedrückt. Wir betrachten nämlich einen Kreis auf einer gewöhnlichen Ebene (Abb. 1) und sein Inneres, d. h. den Kreis, mit Ausnahme des ihn begrenzenden Kreises, nennen wir die „Ebene“. Der Punkt der "Ebene" ist der Punkt innerhalb des Kreises. "Direkt" nennen wir jeden Akkord (z. B. a, b, b`, MN) (mit ausgeschlossenen Enden, da der Umfang eines Kreises von der "Ebene" ausgeschlossen ist). "Bewegung" ist jede Transformation eines Kreises in sich selbst, die Akkorde in Akkorde verwandelt.
Dementsprechend werden die Figuren innerhalb des Kreises als gleich bezeichnet, die durch solche Transformationen ineinander übersetzt werden. Dann stellt sich heraus, dass jede geometrische Tatsache, die in einer solchen Sprache beschrieben wird, ein Theorem oder Axiom der Lobatschewski-Geometrie darstellt. Mit anderen Worten, jede Aussage der Lobachevsky-Geometrie auf der Ebene ist nichts anderes als eine Aussage der euklidischen Geometrie, die sich auf Figuren innerhalb eines Kreises bezieht, nur in den angegebenen Begriffen nacherzählen. Das euklidische Parallelitätsaxiom ist hier offensichtlich nicht erfüllt, denn durch den Punkt O, der nicht auf einer gegebenen Sehne a (also „Gerade“) liegt, gehen beliebig viele Akkorde („Gerade“), die dies nicht tun schneiden (z. B. b, b`). In ähnlicher Weise kann Lobatschewskis Geometrie im Raum als die Geometrie innerhalb des Balls definiert werden, ausgedrückt in geeigneten Begriffen ("gerade Linien" - Sehnen, "Ebenen" - flache Abschnitte des Inneren des Balls, "gleiche" Figuren - diejenigen, die übersetzt werden ineinander durch Transformationen, die den Ball in sich selbst und Akkorde in Akkorde übersetzen). Somit hat die Geometrie von Lobatschewski eine völlig reale Bedeutung und ist so konsequent wie die Geometrie von Euklid. Die Beschreibung gleicher Sachverhalte mit unterschiedlichen Begriffen oder umgekehrt die Beschreibung unterschiedlicher Sachverhalte mit denselben Begriffen ist ein charakteristisches Merkmal der Mathematik. Es zeigt sich zum Beispiel deutlich, wenn dieselbe Linie in verschiedenen Koordinaten durch verschiedene Gleichungen gegeben ist oder umgekehrt dieselbe Gleichung in verschiedenen Koordinaten verschiedene Linien darstellt.
Die Entstehung der Lobatschewski-Geometrie
Die Quelle von Lobatschewskis Geometrie war die Frage nach dem Parallelenaxiom, das auch als V-Postulat von Euklid bekannt ist (unter dieser Nummer erscheint die Aussage, die dem obigen Parallelenaxiom entspricht, in der Liste der Postulate in Euklids Elementen). Dieses Postulat hat angesichts seiner Komplexität im Vergleich zu anderen zu Versuchen geführt, seinen Beweis auf der Grundlage anderer Postulate zu erbringen.
Hier ist eine unvollständige Liste von Wissenschaftlern, die sich bis ins 19. Jahrhundert mit dem Beweis des 5. Postulats beschäftigten: die altgriechischen Mathematiker Ptolemaios (2 parallele ist endlich), Ibn al-Khaytham aus dem Irak (spätes 10. - frühes 11. Jahrhundert) (Ibn al-Haytham versuchte das fünfte Postulat zu beweisen, basierend auf der Annahme, dass das Ende einer sich bewegenden Senkrechten zu einer geraden Linie eine Gerade beschreibt Linie), der tadschikische Mathematiker Omar Khayyam (2. Hälfte 11. – frühes 12. Jahrhundert), der aserbaidschanische Mathematiker Nasiraddin Tuei (13. Jahrhundert) (Khayyam und Nasiraddin gingen beim Beweis des fünften Postulats von der Annahme aus, dass zwei konvergierende Linien nicht divergieren können wie sie weitergehen), der deutsche Mathematiker C. Clavius (Schlüssel, 1574), die italienischen Mathematiker P. Cataldi (der erstmals 1603 ein Werk veröffentlichte, das ganz der Frage der Parallelen gewidmet war), J. Borelli (1658), J Vitale (1680), der englische Mathematiker J. Wallis (1663, veröffentlicht 1693) (Wallis gründete das Dock Der Beweis des V-Postulats basiert auf der Annahme, dass es zu jeder Figur eine ihr ähnliche, aber nicht gleiche Figur gibt). Die oben aufgezählten Beweise der Geometer liefen darauf hinaus, das Postulat V durch eine andere, naheliegendere Annahme zu ersetzen.
Der italienische Mathematiker J. Saccheri (1733) unternahm den Versuch, das fünfte Postulat durch Widerspruch zu beweisen. Nachdem Saccheri einen Vorschlag akzeptiert hatte, der dem Postulat von Euklid widersprach, entwickelte er ziemlich weitreichende Konsequenzen daraus. Saccheri erkannte fälschlicherweise, dass einige dieser Konsequenzen zu Widersprüchen führten, und kam zu dem Schluss, dass Euklids Postulat bewiesen worden war. Der deutsche Mathematiker I. Lambert (um 1766, veröffentlicht 1786) unternahm ähnliche Studien, wiederholte jedoch nicht Saccheris Fehler, sondern gab seine Unfähigkeit zu, einen logischen Widerspruch in dem von ihm konstruierten System zu entdecken. Versuche, das Postulat zu beweisen, wurden auch im 19. Jahrhundert unternommen. Hier sollten wir die Arbeiten des französischen Mathematikers A. Legendre erwähnen; Einer seiner Beweise (1800) basiert auf der Annahme, dass man durch jeden Punkt innerhalb eines spitzen Winkels eine Linie ziehen kann, die beide Seiten des Winkels schneidet, d.h. wie alle seine Vorgänger ersetzte er das Postulat durch eine andere Annahme. Die deutschen Mathematiker F. Schweikart (1818) und F. Taurinus (1825) kamen der Konstruktion von Lobatschewskis Geometrie ziemlich nahe, hatten aber keine klar zum Ausdruck gebrachte Vorstellung, dass die von ihnen skizzierte Theorie logisch so perfekt sein würde wie Euklids Geometrie.
Die Frage des fünften Postulats von Euklid, die Geometer für mehr als zwei Jahrtausende beschäftigte, wurde von Lobatschewski gelöst. Diese Lösung läuft darauf hinaus, dass das Postulat nicht auf der Grundlage anderer Prämissen der euklidischen Geometrie bewiesen werden kann und dass die Annahme eines Postulats, das dem Postulat von Euklid entgegengesetzt ist, es erlaubt, eine Geometrie zu konstruieren, die ebenso sinnvoll wie euklidisch und frei von ist Widersprüche. Lobatschewski hat 1826 darüber berichtet und 1829-30 das Werk Über die Prinzipien der Geometrie veröffentlicht, in dem er seine Theorie skizziert. 1832 wurde eine Arbeit gleichen Inhalts von dem ungarischen Mathematiker J. Bolyai veröffentlicht. Wie sich später herausstellte, kam auch der deutsche Mathematiker K. F. Gauß auf die Möglichkeit der Existenz einer konsistenten nichteuklidischen Geometrie, verbarg sie jedoch aus Angst, missverstanden zu werden. Obwohl sich Lobachevskys Geometrie als spekulative Theorie entwickelte und Lobachevsky selbst sie als "imaginäre Geometrie" bezeichnete, war es dennoch Lobachevsky, der sie nicht als ein Gedankenspiel, sondern als eine mögliche Theorie räumlicher Beziehungen betrachtete. Der Beweis seiner Konsistenz wurde jedoch später erbracht, als seine Interpretationen angezeigt wurden und damit die Frage nach seiner eigentlichen Bedeutung, der logischen Konsistenz, vollständig gelöst war.
Die Lobatschewski-Geometrie untersucht die Eigenschaften der "Lobatschewski-Ebene"(in Planimetrie) und "Lobachevsky-Raum" (in Stereometrie). Die Lobachevsky-Ebene ist eine Ebene (eine Reihe von Punkten), in der gerade Linien definiert sind, sowie die Bewegungen von Figuren (gleichzeitig Entfernungen, Winkel usw.), die allen Axiomen der euklidischen Geometrie gehorchen Ausnahme des parallelen Axioms, das durch das obige Axiom Lobachevsky ersetzt wird. Der Lobatschewski-Raum ist auf ähnliche Weise definiert. Die Aufgabe, die wahre Bedeutung der Lobatschewski-Geometrie zu klären, bestand darin, Modelle der Ebene und des Lobatschewski-Raums zu finden, d. h. solche Objekte zu finden, in denen die entsprechend interpretierten Positionen der Planimetrie und Stereometrie der Lobatschewski-Geometrie realisiert würden.
Hier sind einige Fakten von Lobachevskys Geometrie, die sie von Euklids Geometrie unterscheiden und von Lobatschevsky selbst aufgestellt wurden.
1) In der Lobatschewski-Geometrie gibt es keine ähnlichen, aber ungleichen Dreiecke; Dreiecke sind kongruent, wenn ihre Winkel gleich sind. Daher gibt es eine absolute Längeneinheit, d. h. eine Strecke, die sich durch ihre Eigenschaften auszeichnet, genauso wie sich ein rechter Winkel durch seine Eigenschaften auszeichnet. Ein solches Segment kann beispielsweise die Seite eines regelmäßigen Dreiecks mit einer gegebenen Winkelsumme sein.
2) Die Summe der Winkel jedes Dreiecks ist kleiner als p und kann beliebig nahe bei Null liegen. Dies ist im Poincaré-Modell direkt sichtbar. Die Differenz p - (a + b + g), wobei a, b, g die Winkel des Dreiecks sind, ist proportional zu seiner Fläche.
3) Durch einen Punkt O, der nicht auf einer gegebenen Geraden a liegt, gibt es unendlich viele Geraden, die a nicht schneiden und mit ihm in einer Ebene liegen; darunter zwei extreme b, b`, die im Sinne von Lobatschewski parallel zur Geraden a genannt werden. In den Modellen von Klein (Poincaré) werden sie durch Akkorde (Kreisbögen) dargestellt, die ein gemeinsames Ende mit dem Akkord (Bogen) haben (der per Definition des Modells ausgeschlossen ist, sodass diese Linien keine gemeinsamen Punkte haben). (Abb. 1.3). Sein Winkel zwischen der Geraden b (oder b`) und der Senkrechten von O zu a - der sogenannte. Parallelitätswinkel - Wenn sich der Punkt O von der Linie wegbewegt, nimmt er von 90 ° auf 0 ° ab (im Poincaré-Modell stimmen die Winkel im üblichen Sinne mit den Winkeln im Sinne von Lobachevsky überein, und daher kann diese Tatsache sein direkt darauf zu sehen). Die Parallele b einerseits (und b` auf der gegenüberliegenden Seite) nähert sich asymptotisch an, entfernt sich andererseits unendlich davon (Abstände sind in Modellen schwer zu bestimmen, daher ist diese Tatsache nicht direkt sichtbar).
4) Wenn die Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, dann divergieren sie unendlich auf beiden Seiten davon. Zu jeder von ihnen ist es möglich, Senkrechte wiederherzustellen, die die andere Linie nicht erreichen.
5) Eine Linie mit gleichem Abstand von einer geraden Linie ist keine gerade Linie, sondern eine spezielle Kurve, die als äquidistante Linie oder Hyperzyklus bezeichnet wird.
6) Die Grenze von Kreisen mit unendlich zunehmendem Radius ist keine gerade Linie, sondern eine spezielle Kurve, die als Grenzkreis oder Horozyklus bezeichnet wird.
7) Die Grenze der Sphären mit unendlich zunehmendem Radius ist keine Ebene, sondern eine spezielle Oberfläche - eine begrenzende Sphäre oder Horosphäre; es ist bemerkenswert, dass die euklidische Geometrie daran festhält. Dies diente Lobachevsky als Grundlage für die Ableitung von Trigonometrieformeln.
8) Der Umfang ist nicht proportional zum Radius, sondern wächst schneller.
9) Je kleiner die Region im Raum oder auf der Lobatschewski-Ebene ist, desto weniger unterscheiden sich die geometrischen Beziehungen in dieser Region von den Beziehungen der euklidischen Geometrie. Wir können sagen, dass in einem infinitesimalen Bereich die euklidische Geometrie stattfindet. Je kleiner beispielsweise das Dreieck, desto weniger weicht die Summe seiner Winkel von p ab; je kleiner der Kreis, desto weniger weicht das Verhältnis seiner Länge zum Radius von 2p ab usw. Eine Verkleinerung der Fläche ist formal gleichbedeutend mit einer Vergrößerung der Längeneinheit, also mit einer unendlichen Vergrößerung der Längeneinheit, der Die Formeln der Lobatschewski-Geometrie verwandeln sich in die Formeln der euklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie ist in diesem Sinne ein "Grenzfall" der Lobatschewski-Geometrie.
Die Lobatschewski-Geometrie wird von vielen Geometern weiter entwickelt; es untersucht: die Lösung von Konstruktionsproblemen, Polyeder, reguläre Figurensysteme, die allgemeine Theorie von Kurven und Flächen usw. Eine Reihe von Geometern entwickelte auch die Mechanik im Lobatschewski-Raum. Diese Studien fanden keine direkte Anwendung in der Mechanik, führten aber zu fruchtbaren geometrischen Ideen. Im Allgemeinen ist die Lobatschewski-Geometrie ein weites Studiengebiet, wie die Geometrie von Euklid.
Am 7. Februar 1832 präsentierte Nikolai Lobachevsky seine erste Arbeit über nichteuklidische Geometrie vor dem Urteil seiner Kollegen. Dieser Tag war der Beginn einer Revolution in der Mathematik, und Lobatschewskis Arbeit war der erste Schritt in Richtung Einsteins Relativitätstheorie. Heute hat "RG" fünf der häufigsten Missverständnisse über Lobatschewskis Theorie gesammelt, die unter Menschen weit entfernt von der mathematischen Wissenschaft existieren
Mythos eins. Die Geometrie von Lobachevsky hat nichts mit der euklidischen zu tun.
Tatsächlich unterscheidet sich Lobatschewskis Geometrie nicht allzu sehr von der euklidischen Geometrie, an die wir gewöhnt sind. Tatsache ist, dass Lobatschewski von den fünf Postulaten von Euklid die ersten vier unverändert gelassen hat. Das heißt, er stimmt mit Euklid darin überein, dass eine gerade Linie zwischen zwei beliebigen Punkten gezogen werden kann, dass sie immer bis ins Unendliche verlängert werden kann, dass ein Kreis mit jedem Radius von jedem Mittelpunkt aus gezogen werden kann und dass alle rechten Winkel gleich sind andere. Lobatschewski stimmte nicht nur dem fünften, aus seiner Sicht zweifelhaftesten Postulat von Euklid zu. Seine Formulierung klingt äußerst knifflig, aber wenn wir sie in eine für einen gewöhnlichen Menschen verständliche Sprache übersetzen, stellt sich heraus, dass sich laut Euklid zwei nicht parallele Linien definitiv schneiden werden. Lobatschewski gelang es, die Falschheit dieser Nachricht zu beweisen.
Mythos zwei. In Lobatschewskis Theorie schneiden sich parallele Linien
Das ist nicht so. Tatsächlich klingt das fünfte Postulat von Lobatschewski so: "In der Ebene verläuft durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt, mehr als eine Linie, die die gegebene nicht schneidet." Mit anderen Worten, für eine gerade Linie ist es möglich, mindestens zwei gerade Linien durch einen Punkt zu ziehen, die ihn nicht schneiden. Das heißt, in diesem Postulat von Lobatschewski ist überhaupt keine Rede von parallelen Linien! Wir sprechen nur von der Existenz mehrerer sich nicht schneidender Linien auf derselben Ebene. So entstand die Annahme über den Schnittpunkt paralleler Linien aufgrund der banalen Unkenntnis der Essenz der Theorie des großen russischen Mathematikers.
Mythos drei. Die Lobatschewski-Geometrie ist die einzige nicht-euklidische Geometrie
Nicht-euklidische Geometrien sind eine ganze Schicht von Theorien in der Mathematik, deren Grundlage das fünfte Postulat ist, das sich von der euklidischen unterscheidet. Lobatschewski beschreibt im Gegensatz zu Euklid beispielsweise einen hyperbolischen Raum. Es gibt eine andere Theorie, die den sphärischen Raum beschreibt – das ist Riemanns Geometrie. Hier schneiden sich die parallelen Linien. Ein klassisches Beispiel dafür aus dem Schullehrplan sind die Meridiane auf dem Globus. Wenn Sie sich das Muster des Globus ansehen, stellt sich heraus, dass alle Meridiane parallel verlaufen. In der Zwischenzeit lohnt es sich, ein Muster auf die Kugel zu legen, da wir sehen, dass alle zuvor parallelen Meridiane an zwei Punkten zusammenlaufen - an den Polen. Zusammen werden die Theorien von Euklid, Lobatschewski und Riemann als „drei große Geometrien“ bezeichnet.
Mythos vier. Die Lobatschewski-Geometrie ist im wirklichen Leben nicht anwendbar
Im Gegenteil, die moderne Wissenschaft versteht allmählich, dass die euklidische Geometrie nur ein Sonderfall der Geometrie von Lobatschewski ist und dass die reale Welt genauer durch die Formeln des russischen Wissenschaftlers beschrieben wird. Der stärkste Impuls für die Weiterentwicklung von Lobatschewskis Geometrie war Albert Einsteins Relativitätstheorie, die zeigte, dass der Raum unseres Universums nicht linear, sondern eine hyperbolische Kugel ist. In der Zwischenzeit nannte Lobatschewski selbst, obwohl er sein ganzes Leben an der Entwicklung seiner Theorie arbeitete, sie "imaginäre Geometrie".
Mythos fünf. Lobatschewski war der erste, der die nichteuklidische Geometrie schuf
Dies ist nicht ganz richtig. Parallel zu ihm und unabhängig von ihm kamen der ungarische Mathematiker Janos Bolyai und der berühmte deutsche Wissenschaftler Carl Friedrich Gauß zu ähnlichen Schlussfolgerungen. Die Werke von Janos wurden jedoch von der breiten Öffentlichkeit nicht wahrgenommen, und Karl Gauss zog es vor, überhaupt nicht zu veröffentlichen. Daher gilt unser Wissenschaftler als Pionier dieser Theorie. Es gibt jedoch einen etwas paradoxen Standpunkt, dass Euklid selbst der erste war, der die nichteuklidische Geometrie erfand. Tatsache ist, dass er sein fünftes Postulat selbstkritisch für nicht offensichtlich hielt, also bewies er die meisten seiner Theoreme, ohne darauf zurückzugreifen.
