So berechnen Sie Vektorkoordinaten. Vektoren für Dummies

Das Finden der Koordinaten eines Vektors ist eine ziemlich häufige Voraussetzung für viele Probleme in der Mathematik. Die Möglichkeit, Vektorkoordinaten zu finden, hilft Ihnen bei anderen, komplexeren Problemen mit ähnlichen Themen. In diesem Artikel betrachten wir die Formel zum Finden von Vektorkoordinaten und verschiedene Probleme.

Ermitteln der Koordinaten eines Vektors in einer Ebene

Was ist ein Flugzeug? Eine Ebene wird als zweidimensionaler Raum betrachtet, ein Raum mit zwei Dimensionen (der x-Dimension und der y-Dimension). Beispielsweise ist Papier flach. Die Oberfläche des Tisches ist flach. Jede nicht volumetrische Figur (Quadrat, Dreieck, Trapez) ist ebenfalls eine Ebene. Wenn Sie also in der Problemstellung die Koordinaten eines Vektors finden müssen, der auf einer Ebene liegt, erinnern wir uns sofort an x und y. Die Koordinaten eines solchen Vektors können Sie wie folgt ermitteln: Koordinaten AB des Vektors = (xB – xA; yB – xA). Die Formel zeigt, dass Sie die Koordinaten des Startpunkts von den Koordinaten des Endpunkts subtrahieren müssen.

Beispiel:

Die Vektor-CD hat Anfangskoordinaten (5; 6) und Endkoordinaten (7; 8).
Finden Sie die Koordinaten des Vektors selbst.
Mit der obigen Formel erhalten wir den folgenden Ausdruck: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
Somit sind die Koordinaten des CD-Vektors = (2; 2).
Dementsprechend ist die x-Koordinate gleich zwei, die y-Koordinate ist ebenfalls zwei.

Ermitteln der Koordinaten eines Vektors im Raum

Was ist Raum? Der Raum ist bereits eine dreidimensionale Dimension, in der 3 Koordinaten gegeben sind: x, y, z. Wenn Sie einen Vektor finden müssen, der im Raum liegt, ändert sich die Formel praktisch nicht. Es wird nur eine Koordinate hinzugefügt. Um einen Vektor zu finden, müssen Sie die Koordinaten des Anfangs von den Endkoordinaten subtrahieren. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Beispiel:

Der Vektor DF hat einen Anfangs- (2; 3; 1) und einen Endwert (1; 5; 2).
Wenn wir die obige Formel anwenden, erhalten wir: Vektorkoordinaten DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
Denken Sie daran, dass der Koordinatenwert negativ sein kann, es gibt kein Problem.

Wie finde ich Vektorkoordinaten online?

Wenn Sie die Koordinaten aus irgendeinem Grund nicht selbst ermitteln möchten, können Sie einen Online-Rechner verwenden. Wählen Sie zunächst die Vektordimension aus. Die Dimension eines Vektors ist für seine Dimensionen verantwortlich. Dimension 3 bedeutet, dass der Vektor im Raum liegt, Dimension 2 bedeutet, dass er in der Ebene liegt. Geben Sie anschließend die Koordinaten der Punkte in die entsprechenden Felder ein und das Programm ermittelt für Sie die Koordinaten des Vektors selbst. Alles ist sehr einfach.

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Es empfiehlt sich, dieses Thema gut zu studieren, da das Konzept eines Vektors nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik vorkommt. Studierende der Fakultät für Informationstechnologie beschäftigen sich ebenfalls mit dem Thema Vektoren, allerdings auf einer komplexeren Ebene.

Endlich habe ich dieses umfangreiche und lang erwartete Thema in die Hände bekommen. analytische Geometrie. Zunächst ein wenig zu diesem Abschnitt der höheren Mathematik ... Sicher erinnern Sie sich jetzt an einen Schulgeometriekurs mit zahlreichen Theoremen, deren Beweisen, Zeichnungen usw. Was zu verbergen ist, ist für einen erheblichen Teil der Studierenden ein ungeliebtes und oft unklares Thema. Seltsamerweise scheint die analytische Geometrie interessanter und zugänglicher zu sein. Was bedeutet das Adjektiv „analytisch“? Mir fallen sofort zwei klischeehafte mathematische Ausdrücke ein: „grafische Lösungsmethode“ und „analytische Lösungsmethode“. Grafische Methode, ist natürlich mit der Erstellung von Grafiken und Zeichnungen verbunden. Analytisch oder Methode beinhaltet das Lösen von Problemen hauptsächlich durch algebraische Operationen. In dieser Hinsicht ist der Algorithmus zur Lösung fast aller Probleme der analytischen Geometrie einfach und transparent; oft reicht es aus, die notwendigen Formeln sorgfältig anzuwenden – und die Antwort ist fertig! Nein, ohne Zeichnungen geht das natürlich überhaupt nicht, und außerdem werde ich zum besseren Verständnis des Materials versuchen, sie über die Notwendigkeit hinaus zu zitieren.

Der neu eröffnete Geometrieunterricht erhebt keinen Anspruch auf theoretische Vollständigkeit, sondern ist auf die Lösung praktischer Probleme ausgerichtet. Ich werde in meine Vorlesungen nur das einbeziehen, was aus meiner Sicht praktisch wichtig ist. Wenn Sie umfassendere Hilfe zu einem Unterabschnitt benötigen, empfehle ich die folgende leicht zugängliche Literatur:

1) Eine Sache, mit der, kein Scherz, mehrere Generationen vertraut sind: Schulbuch zur Geometrie, Autoren - L.S. Atanasyan und Company. Dieser Kleiderbügel für die Schulumkleidekabine wurde bereits 20 (!) nachgedruckt, was natürlich nicht die Grenze darstellt.

2) Geometrie in 2 Bänden. Autoren L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Das ist Literatur für die Oberstufe, die Sie brauchen werden erster Band. Selten vorkommende Aufgaben fallen mir möglicherweise aus dem Blickfeld, und das Tutorial wird eine unschätzbare Hilfe sein.

Beide Bücher können kostenlos online heruntergeladen werden. Darüber hinaus können Sie mein Archiv mit vorgefertigten Lösungen nutzen, die Sie auf der Seite finden Laden Sie Beispiele in höherer Mathematik herunter.

Unter den Tools schlage ich wieder meine eigene Entwicklung vor - Softwarepaket in der analytischen Geometrie, was das Leben erheblich vereinfacht und viel Zeit spart.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser mit grundlegenden geometrischen Konzepten und Figuren vertraut ist: Punkt, Linie, Ebene, Dreieck, Parallelogramm, Parallelepiped, Würfel usw. Es ist ratsam, sich an einige Theoreme zu erinnern, zumindest an den Satz des Pythagoras, hallo an Wiederholer)

Und nun betrachten wir nacheinander: das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten. Ich empfehle weiterzulesen der wichtigste Artikel Skalarprodukt von Vektoren, und auch Vektor und gemischtes Produkt von Vektoren. Auch eine lokale Aufgabe – die Aufteilung eines Segments in diesem Sinne – wird nicht überflüssig sein. Basierend auf den oben genannten Informationen können Sie es meistern Gleichung einer Geraden in einer Ebene Mit einfachste Lösungsbeispiele, was es ermöglichen wird lernen, Geometrieprobleme zu lösen. Die folgenden Artikel sind ebenfalls nützlich: Gleichung einer Ebene im Raum, Gleichungen einer Linie im Raum, Grundprobleme einer Geraden und einer Ebene, weitere Abschnitte der analytischen Geometrie. Selbstverständlich werden dabei auch Standardaufgaben berücksichtigt.

Vektorkonzept. Kostenloser Vektor

Wiederholen wir zunächst die Schuldefinition eines Vektors. Vektor angerufen gerichtet ein Segment, dessen Anfang und Ende angegeben sind:

In diesem Fall ist der Anfang des Segments der Punkt, das Ende des Segments ist der Punkt. Der Vektor selbst wird mit bezeichnet. Richtung ist wichtig, wenn man den Pfeil an das andere Ende des Segments bewegt, erhält man einen Vektor, und dieser ist bereits vorhanden völlig anderer Vektor. Es ist praktisch, das Konzept eines Vektors mit der Bewegung eines physischen Körpers gleichzusetzen: Sie müssen zustimmen, dass das Betreten der Türen eines Instituts oder das Verlassen der Türen eines Instituts völlig verschiedene Dinge sind.

Es ist zweckmäßig, einzelne Punkte einer Ebene oder eines Raumes als sogenannte Punkte zu betrachten Nullvektor. Bei einem solchen Vektor fallen Ende und Anfang zusammen.

!!! Notiz: Hier und weiter können Sie davon ausgehen, dass die Vektoren in derselben Ebene liegen, oder Sie können davon ausgehen, dass sie sich im Raum befinden – die Essenz des präsentierten Materials gilt sowohl für die Ebene als auch für den Raum.

Bezeichnungen: Vielen fiel sofort der Stock ohne Pfeil in der Bezeichnung auf und meinten, oben ist ja auch ein Pfeil! Man kann es zwar mit einem Pfeil schreiben: , aber es ist auch möglich der Eintrag, den ich in Zukunft verwenden werde. Warum? Anscheinend hat sich diese Angewohnheit aus praktischen Gründen entwickelt; meine Schützen in der Schule und an der Universität erwiesen sich als zu unterschiedlich groß und zottelig. In der Bildungsliteratur gibt man sich manchmal überhaupt nicht mit der Keilschrift auseinander, sondern hebt die Buchstaben fett hervor: und deutet damit an, dass es sich um einen Vektor handelt.

Das war Stilistik, und nun geht es um die Möglichkeiten, Vektoren zu schreiben:

1) Vektoren können in zwei lateinischen Großbuchstaben geschrieben werden:
usw. In diesem Fall der erste Buchstabe Notwendig bezeichnet den Anfangspunkt des Vektors und der zweite Buchstabe bezeichnet den Endpunkt des Vektors.

2) Vektoren werden auch in kleinen lateinischen Buchstaben geschrieben:
Insbesondere kann unser Vektor der Kürze halber durch einen kleinen lateinischen Buchstaben umbenannt werden.

Länge oder Modul Ein Vektor ungleich Null wird als Länge des Segments bezeichnet. Die Länge des Nullvektors ist Null. Logisch.

Die Länge des Vektors wird durch das Modulzeichen angegeben: ,

Wir werden etwas später lernen, wie man die Länge eines Vektors ermittelt (oder wir werden es wiederholen, je nachdem, wer).

Dies waren grundlegende Informationen über Vektoren, die allen Schulkindern bekannt waren. In der analytischen Geometrie ist das sogenannte kostenloser Vektor.

Einfach gesagt - Der Vektor kann von jedem Punkt aus aufgezeichnet werden:

Wir sind es gewohnt, solche Vektoren gleich zu nennen (die Definition gleicher Vektoren wird weiter unten gegeben), aber aus rein mathematischer Sicht sind sie der GLEICHE VEKTOR oder kostenloser Vektor. Warum kostenlos? Denn im Zuge der Lösung von Problemen können Sie diesen oder jenen „Schul“-Vektor an JEDEM Punkt der Ebene oder des Raums „anbringen“, den Sie benötigen. Das ist eine sehr coole Funktion! Stellen Sie sich ein gerichtetes Segment beliebiger Länge und Richtung vor – es kann unendlich oft und an jedem Punkt im Raum „geklont“ werden, tatsächlich existiert es ÜBERALL. Es gibt so einen Studentenspruch: Der Vektor ist jedem Dozenten scheißegal. Schließlich ist es nicht nur ein witziger Reim, sondern fast alles stimmt – da kann auch ein gerichteter Abschnitt eingefügt werden. Aber beeilen Sie sich nicht, sich zu freuen, es sind oft die Schüler selbst, die darunter leiden =)

Also, kostenloser Vektor- Das ein Haufen identische gerichtete Segmente. Die am Anfang des Absatzes angegebene Schuldefinition eines Vektors: „Ein gerichtetes Segment wird als Vektor bezeichnet ...“ impliziert Spezifisch ein gerichtetes Segment aus einer gegebenen Menge, das an einen bestimmten Punkt in der Ebene oder im Raum gebunden ist.

Es ist zu beachten, dass das Konzept eines freien Vektors aus physikalischer Sicht im Allgemeinen falsch ist und der Anwendungspunkt von Bedeutung ist. Tatsächlich hat ein direkter Schlag mit der gleichen Kraft auf die Nase oder die Stirn, der ausreicht, um mein dummes Beispiel zu entwickeln, unterschiedliche Konsequenzen. Jedoch, unfrei Vektoren finden sich auch im Verlauf von Vyshmat (gehen Sie nicht dorthin :)).

Aktionen mit Vektoren. Kollinearität von Vektoren

Ein Schulgeometriekurs behandelt eine Reihe von Aktionen und Regeln mit Vektoren: Addition nach der Dreiecksregel, Addition nach der Parallelogrammregel, Vektordifferenzregel, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, Skalarprodukt von Vektoren usw. Als Ausgangspunkt wiederholen wir zwei Regeln, die für die Lösung von Problemen der analytischen Geometrie besonders relevant sind.

Die Regel zum Addieren von Vektoren mithilfe der Dreiecksregel

Betrachten Sie zwei beliebige Vektoren ungleich Null und:

Sie müssen die Summe dieser Vektoren ermitteln. Da alle Vektoren als frei gelten, lassen wir den Vektor von beiseite Ende Vektor:

Die Summe der Vektoren ist der Vektor. Für ein besseres Verständnis der Regel ist es ratsam, ihr eine physikalische Bedeutung zu geben: Lassen Sie einen Körper entlang des Vektors und dann entlang des Vektors wandern. Dann ist die Summe der Vektoren der Vektor des resultierenden Pfades mit dem Anfang am Ausgangspunkt und dem Ende am Ankunftspunkt. Eine ähnliche Regel wird für die Summe beliebig vieler Vektoren formuliert. Wie man so schön sagt, kann der Körper sehr geneigt im Zickzack oder vielleicht auf Autopilot entlang des resultierenden Vektors der Summe seinen Weg gehen.

Übrigens, wenn der Vektor verschoben wird gestartet Vektor, dann erhalten wir das Äquivalent Parallelogrammregel Addition von Vektoren.

Zunächst zur Kollinearität von Vektoren. Die beiden Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen. Grob gesagt sprechen wir von parallelen Vektoren. Aber in Bezug auf sie wird immer das Adjektiv „kollinear“ verwendet.

Stellen Sie sich zwei kollineare Vektoren vor. Wenn die Pfeile dieser Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, werden solche Vektoren aufgerufen Co-Regie. Wenn die Pfeile in unterschiedliche Richtungen zeigen, sind die Vektoren gleich entgegengesetzte Richtungen.

Bezeichnungen: Kollinearität von Vektoren wird mit dem üblichen Parallelitätssymbol geschrieben: , wobei eine Detaillierung möglich ist: (Vektoren sind gleichgerichtet) oder (Vektoren sind entgegengesetzt gerichtet).

Die Arbeit Ein Nicht-Null-Vektor auf einer Zahl ist ein Vektor, dessen Länge gleich ist, und die Vektoren und sind gemeinsam auf und entgegengesetzt gerichtet.

Die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl lässt sich anhand eines Bildes leichter verstehen:

Schauen wir es uns genauer an:

1 Richtung. Wenn der Multiplikator negativ ist, dann der Vektor ändert die Richtung zum Gegenteil.

2) Länge. Wenn der Multiplikator in oder enthalten ist, dann die Länge des Vektors nimmt ab. Die Länge des Vektors ist also halb so lang wie der Vektor. Wenn der Modul des Multiplikators größer als eins ist, dann ist die Länge des Vektors erhöht sich rechtzeitig.

3) Bitte beachten Sie das alle Vektoren sind kollinear, während ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt wird, zum Beispiel . Das Gegenteil ist auch der Fall: Wenn ein Vektor durch einen anderen ausgedrückt werden kann, dann sind solche Vektoren notwendigerweise kollinear. Auf diese Weise: Wenn wir einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren, erhalten wir eine Kollinearität(relativ zum Original) Vektor.

4) Die Vektoren sind gleichgerichtet. Vektoren und werden ebenfalls mitgesteuert. Jeder Vektor der ersten Gruppe ist in Bezug auf jeden Vektor der zweiten Gruppe entgegengesetzt gerichtet.

Welche Vektoren sind gleich?

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in die gleiche Richtung weisen und die gleiche Länge haben. Beachten Sie, dass Kodirektionalität Kollinearität von Vektoren impliziert. Die Definition wäre ungenau (redundant), wenn wir sagen würden: „Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie kollinear und gleichgerichtet sind und die gleiche Länge haben.“

Aus der Sicht des Konzepts eines freien Vektors sind gleiche Vektoren dieselben Vektoren, wie im vorherigen Absatz erläutert.

Vektorkoordinaten in der Ebene und im Raum

Der erste Punkt besteht darin, Vektoren in der Ebene zu betrachten. Lassen Sie uns ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem darstellen und es ausgehend vom Koordinatenursprung zeichnen einzel Vektoren und :

Vektoren und senkrecht. Orthogonal = Senkrecht. Ich empfehle Ihnen, sich langsam an die Begriffe zu gewöhnen: Anstelle von Parallelität und Rechtwinkligkeit verwenden wir die Wörter entsprechend Kollinearität Und Orthogonalität.

Bezeichnung: Die Orthogonalität von Vektoren wird mit dem üblichen Rechtwinkligkeitssymbol geschrieben, zum Beispiel: .

Die betrachteten Vektoren werden aufgerufen Koordinatenvektoren oder Orte. Diese Vektoren bilden sich Basis auf der Oberfläche. Was eine Basis ist, ist meiner Meinung nach für viele intuitiv klar, genauere Informationen finden sich im Artikel Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren In einfachen Worten definieren die Basis und der Ursprung der Koordinaten das gesamte System – dies ist eine Art Fundament, auf dem ein volles und reiches geometrisches Leben brodelt.

Manchmal wird die konstruierte Basis aufgerufen orthonormal Basis der Ebene: „ortho“ – da die Koordinatenvektoren orthogonal sind, bedeutet das Adjektiv „normalisiert“ Einheit, d. h. die Längen der Basisvektoren sind gleich eins.

Bezeichnung: Die Basis wird normalerweise in Klammern geschrieben, in denen in strenger Reihenfolge Basisvektoren werden aufgelistet, zum Beispiel: . Koordinatenvektoren es ist verboten neu anordnen.

Beliebig Ebenenvektor der einzige Weg ausgedrückt als:
, Wo - Zahlen die aufgerufen werden Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage. Und der Ausdruck selbst angerufen Vektorzerlegungnach Basis .

Abendessen serviert:

Beginnen wir mit dem ersten Buchstaben des Alphabets: . Die Zeichnung zeigt deutlich, dass bei der Zerlegung eines Vektors in eine Basis die gerade besprochenen verwendet werden:
1) die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl: und ;
2) Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel: .

Zeichnen Sie nun gedanklich den Vektor von jedem anderen Punkt der Ebene aus. Es sei völlig offensichtlich, dass sein Verfall ihn „unerbittlich verfolgen“ werde. Hier ist sie, die Freiheit des Vektors – der Vektor „trägt alles mit sich“. Diese Eigenschaft gilt natürlich für jeden Vektor. Es ist lustig, dass die (freien) Basisvektoren selbst nicht vom Ursprung aus gezeichnet werden müssen; einer kann beispielsweise unten links und der andere oben rechts gezeichnet werden, und es ändert sich nichts! Das müssen Sie zwar nicht tun, da der Lehrer auch Originalität zeigt und Ihnen an einer unerwarteten Stelle einen „Credit“ auszahlt.

Vektoren veranschaulichen genau die Regel für die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: Der Vektor ist gleichgerichtet mit dem Basisvektor, der Vektor ist entgegengesetzt zum Basisvektor gerichtet. Für diese Vektoren ist eine der Koordinaten gleich Null; Sie können es genau so schreiben:

Und die Basisvektoren sind übrigens so: (tatsächlich werden sie durch sich selbst ausgedrückt).

Und endlich: , . Was ist übrigens Vektorsubtraktion und warum habe ich nicht über die Subtraktionsregel gesprochen? Irgendwo in der linearen Algebra, ich weiß nicht mehr, wo, habe ich festgestellt, dass die Subtraktion ein Sonderfall der Addition ist. Somit lassen sich die Entwicklungen der Vektoren „de“ und „e“ leicht als Summe schreiben: , . Verfolgen Sie die Zeichnung, um zu sehen, wie deutlich die gute alte Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel in diesen Situationen funktioniert.

Die betrachtete Zerlegung des Formulars manchmal auch Vektorzerlegung genannt im Ortssystem(d. h. in einem System von Einheitsvektoren). Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, einen Vektor zu schreiben; die folgende Option ist üblich:

Oder mit einem Gleichheitszeichen:

Die Basisvektoren selbst werden wie folgt geschrieben: und

Das heißt, die Koordinaten des Vektors werden in Klammern angegeben. Bei praktischen Problemen werden alle drei Notationsmöglichkeiten verwendet.

Ich habe gezweifelt, ob ich etwas sagen soll, aber ich sage es trotzdem: Vektorkoordinaten können nicht neu angeordnet werden. Streng an erster Stelle wir schreiben die Koordinate auf, die dem Einheitsvektor entspricht, streng an zweiter Stelle Wir notieren die Koordinate, die dem Einheitsvektor entspricht. Tatsächlich sind und zwei verschiedene Vektoren.

Wir haben die Koordinaten im Flugzeug herausgefunden. Schauen wir uns nun Vektoren im dreidimensionalen Raum an, hier ist fast alles gleich! Es wird lediglich eine weitere Koordinate hinzugefügt. Es ist schwierig, dreidimensionale Zeichnungen zu erstellen, deshalb beschränke ich mich auf einen Vektor, den ich der Einfachheit halber vom Ursprung beiseite lege:

Beliebig 3D-Raumvektor der einzige Wegüber eine orthonormale Basis erweitern:
, wo sind die Koordinaten des Vektors (Zahl) in dieser Basis.

Beispiel aus dem Bild: . Sehen wir uns hier an, wie die Vektorregeln funktionieren. Zuerst wird der Vektor mit einer Zahl multipliziert: (roter Pfeil), (grüner Pfeil) und (himbeerfarbener Pfeil). Zweitens ist hier ein Beispiel für die Addition mehrerer, in diesem Fall drei, Vektoren: . Der Summenvektor beginnt am anfänglichen Ausgangspunkt (Anfang des Vektors) und endet am endgültigen Ankunftspunkt (Ende des Vektors).

Alle Vektoren des dreidimensionalen Raums sind natürlich auch frei; versuchen Sie, den Vektor gedanklich von einem anderen Punkt zu entfernen, und Sie werden verstehen, dass seine Zerlegung „bei ihm bleiben wird“.

Ähnlich wie bei der flachen Hülle, zusätzlich zum Schreiben Weit verbreitet sind Versionen mit Klammern: entweder .

Fehlen in der Erweiterung ein (oder zwei) Koordinatenvektoren, werden an ihrer Stelle Nullen eingefügt. Beispiele:
Vektor (akribisch ) - Lass uns schreiben ;
Vektor (akribisch ) - Lass uns schreiben ;
Vektor (akribisch ) - Lass uns schreiben .

Die Basisvektoren werden wie folgt geschrieben:

Dies ist vielleicht das gesamte theoretische Mindestwissen, das zur Lösung von Problemen der analytischen Geometrie erforderlich ist. Da es möglicherweise viele Begriffe und Definitionen gibt, empfehle ich Teekannen, diese Informationen noch einmal zu lesen und zu verstehen. Und es wird für jeden Leser nützlich sein, von Zeit zu Zeit auf die Grundlektion zurückzugreifen, um den Stoff besser zu verarbeiten. Kollinearität, Orthogonalität, Orthonormalbasis, Vektorzerlegung – diese und andere Konzepte werden in Zukunft häufig verwendet. Ich stelle fest, dass die Materialien auf der Website nicht ausreichen, um den theoretischen Test oder das Kolloquium über Geometrie zu bestehen, da ich alle Theoreme sorgfältig verschlüssele (und ohne Beweise) – zum Nachteil des wissenschaftlichen Präsentationsstils, aber von Vorteil für Ihr Verständnis das Thema. Um detaillierte theoretische Informationen zu erhalten, wenden Sie sich bitte an Professor Atanasyan.

Und wir kommen zum praktischen Teil:

Die einfachsten Probleme der analytischen Geometrie.
Aktionen mit Vektoren in Koordinaten

Es ist sehr empfehlenswert zu lernen, wie man die zu berücksichtigenden Aufgaben und Formeln vollautomatisch löst sich einprägen, Sie müssen sich nicht einmal absichtlich daran erinnern, sie werden es sich selbst merken =) Dies ist sehr wichtig, da andere Probleme der analytischen Geometrie auf den einfachsten Elementarbeispielen basieren und es nervig sein wird, zusätzliche Zeit damit zu verbringen, Bauern zu essen . Es ist nicht nötig, die oberen Knöpfe am Hemd zu schließen, viele Dinge kennt man aus der Schule.

Die Präsentation des Materials erfolgt parallel – sowohl für die Ebene als auch für den Weltraum. Aus dem Grund, dass alle Formeln... Sie werden es selbst sehen.

Wie finde ich einen Vektor aus zwei Punkten?

Sind zwei Punkte der Ebene und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Sind zwei Punkte im Raum und gegeben, so hat der Vektor folgende Koordinaten:

Also, aus den Koordinaten des Endes des Vektors Sie müssen die entsprechenden Koordinaten subtrahieren Anfang des Vektors.

Übung: Schreiben Sie für dieselben Punkte die Formeln zum Ermitteln der Koordinaten des Vektors auf. Formeln am Ende der Lektion.

Beispiel 1

Gegeben sind zwei Punkte der Ebene und . Finden Sie Vektorkoordinaten

Lösung: nach der entsprechenden Formel:

Alternativ könnte auch folgender Eintrag verwendet werden:

Ästheten werden dies entscheiden:

Persönlich bin ich an die erste Version der Aufnahme gewöhnt.

Antwort:

Gemäß der Bedingung war es nicht notwendig, eine Zeichnung zu erstellen (was typisch für Probleme der analytischen Geometrie ist), aber um einige Punkte für Dummies zu klären, werde ich nicht faul sein:

Du musst es auf jeden Fall verstehen Unterschied zwischen Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten:

Punktkoordinaten– Dies sind gewöhnliche Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Ich denke, dass jeder von der 5. bis 6. Klasse weiß, wie man Punkte auf einer Koordinatenebene darstellt. Jeder Punkt hat einen festen Platz auf der Ebene und kann nirgendwo verschoben werden.

Die Koordinaten des Vektors– das ist in diesem Fall seine Erweiterung entsprechend der Basis. Jeder Vektor ist frei, sodass wir ihn bei Bedarf oder Bedarf problemlos von einem anderen Punkt auf der Ebene weg verschieben können. Interessant ist, dass man für Vektoren überhaupt keine Achsen oder ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufbauen muss; man braucht nur eine Basis, in diesem Fall eine Orthonormalbasis der Ebene.

Die Aufzeichnungen der Koordinaten von Punkten und Koordinaten von Vektoren scheinen ähnlich zu sein: , und Bedeutung von Koordinaten absolut anders, und Sie sollten sich dieses Unterschieds bewusst sein. Dieser Unterschied gilt natürlich auch für den Raum.

Meine Damen und Herren, füllen wir unsere Hände:

Beispiel 2

a) Punkte und werden vergeben. Finden Sie Vektoren und .
b) Es werden Punkte vergeben Und . Finden Sie Vektoren und .
c) Punkte und werden vergeben. Finden Sie Vektoren und .
d) Es werden Punkte vergeben. Finden Sie Vektoren .

Vielleicht reicht das. Dies sind Beispiele, über die Sie selbst entscheiden können. Versuchen Sie, sie nicht zu vernachlässigen, es wird sich auszahlen ;-). Es ist nicht erforderlich, Zeichnungen anzufertigen. Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Was ist bei der Lösung analytischer Geometrieprobleme wichtig? Es ist wichtig, ÄUSSERST VORSICHTIG zu sein, um den meisterhaften Fehler „Zwei plus zwei ist gleich Null“ zu vermeiden. Ich entschuldige mich sofort, wenn ich irgendwo einen Fehler gemacht habe =)

Wie finde ich die Länge eines Segments?

Die Länge wird, wie bereits erwähnt, durch das Modulzeichen angegeben.

Sind zwei Punkte der Ebene gegeben und , dann kann die Länge des Segments mit der Formel berechnet werden

Sind zwei Punkte im Raum und gegeben, so kann die Länge des Segments mit der Formel berechnet werden

Notiz: Die Formeln bleiben korrekt, wenn die entsprechenden Koordinaten vertauscht werden: und , aber die erste Option ist standardmäßiger

Beispiel 3

Lösung: nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Zur Verdeutlichung werde ich eine Zeichnung anfertigen

Liniensegment - das ist kein Vektor, und natürlich können Sie es nicht irgendwohin verschieben. Zusätzlich, wenn Sie maßstabsgetreu zeichnen: 1 Einheit. = 1 cm (zwei Notizbuchzellen), dann kann die resultierende Antwort mit einem normalen Lineal überprüft werden, indem die Länge des Segments direkt gemessen wird.

Ja, die Lösung ist kurz, aber es gibt noch ein paar weitere wichtige Punkte, die ich klarstellen möchte:

Zunächst geben wir in der Antwort die Dimension „Einheiten“ ein. Der Zustand sagt nicht, WAS es ist, Millimeter, Zentimeter, Meter oder Kilometer. Daher wäre eine mathematisch korrekte Lösung die allgemeine Formulierung: „Einheiten“ – abgekürzt als „Einheiten“.

Zweitens wiederholen wir den Schulstoff, der nicht nur für die betrachtete Aufgabe nützlich ist:

beachten wichtige Technik – Entfernen des Multiplikators unter der Wurzel. Als Ergebnis der Berechnungen haben wir ein Ergebnis und ein guter mathematischer Stil besteht darin, den Faktor unter der Wurzel zu entfernen (wenn möglich). Im Detail sieht der Prozess so aus: . Natürlich wäre es kein Fehler, die Antwort so zu belassen, aber es wäre auf jeden Fall ein Manko und ein gewichtiges Argument für Streitereien seitens des Lehrers.

Hier sind weitere häufige Fälle:

Oft produziert die Wurzel eine ziemlich große Zahl, zum Beispiel . Was ist in solchen Fällen zu tun? Mit dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl durch 4 teilbar ist: . Ja, es war völlig geteilt, also: . Oder lässt sich die Zahl vielleicht noch einmal durch 4 teilen? . Auf diese Weise: . Die letzte Ziffer der Zahl ist ungerade, daher wird eine dritte Division durch 4 offensichtlich nicht funktionieren. Versuchen wir, durch neun zu dividieren: . Ergebend:
Bereit.

Abschluss: wenn wir unter der Wurzel eine Zahl bekommen, die nicht als Ganzes extrahiert werden kann, dann versuchen wir, den Faktor unter der Wurzel zu entfernen – mit einem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl teilbar ist durch: 4, 9, 16, 25, 36, 49 usw.

Bei der Lösung verschiedener Probleme stößt man oft auf Wurzeln. Versuchen Sie immer, Faktoren unter der Wurzel zu extrahieren, um eine schlechtere Note und unnötige Probleme bei der Fertigstellung Ihrer Lösungen auf der Grundlage der Kommentare des Lehrers zu vermeiden.

Wiederholen wir auch das Quadrat der Wurzeln und anderer Potenzen:

Die Regeln für den Umgang mit Potenzen in allgemeiner Form finden sich in einem Schulalgebra-Lehrbuch, aber ich denke, anhand der gegebenen Beispiele ist bereits alles oder fast alles klar.

Aufgabe zur eigenständigen Lösung mit einem Segment im Raum:

Beispiel 4

Punkte und werden vergeben. Finden Sie die Länge des Segments.

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Wie finde ich die Länge eines Vektors?

Wenn ein ebener Vektor angegeben ist, wird seine Länge nach der Formel berechnet.

Ist ein Raumvektor gegeben, so wird seine Länge nach der Formel berechnet .

Als Abszissen- und Ordinatenachse werden bezeichnet Koordinaten Vektor. Vektorkoordinaten werden normalerweise im Formular angegeben (x, y), und der Vektor selbst als: =(x, y).

Formel zur Bestimmung von Vektorkoordinaten für zweidimensionale Probleme.

Im Falle eines zweidimensionalen Problems ein Vektor mit bekanntem Koordinaten von Punkten A(x 1;y 1) Und B(X 2 ; j 2 ) lässt sich berechnen:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formel zur Bestimmung von Vektorkoordinaten für räumliche Probleme.

Im Falle eines räumlichen Problems ein Vektor mit bekanntem Koordinaten von Punkten A (x 1;y 1;z 1 ) und B (X 2 ; j 2 ; z 2 ) kann mit der Formel berechnet werden:

= (X 2 - X 1 ; j 2 - j 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinaten liefern eine umfassende Beschreibung des Vektors, da es möglich ist, den Vektor selbst anhand der Koordinaten zu konstruieren. Wenn man die Koordinaten kennt, ist es einfach zu berechnen und Vektorlänge. (Eigenschaft 3 unten).

Eigenschaften von Vektorkoordinaten.

1. Beliebig gleiche Vektoren in einem einzigen Koordinatensystem haben gleiche Koordinaten.

2. Koordinaten kollineare Vektoren proportional. Vorausgesetzt, dass keiner der Vektoren Null ist.

3. Das Quadrat der Länge eines beliebigen Vektors ist gleich der Summe seiner Quadrate Koordinaten.

4.Während der Operation Vektormultiplikation An reelle Zahl Jede seiner Koordinaten wird mit dieser Zahl multipliziert.

5. Beim Addieren von Vektoren berechnen wir die Summe der entsprechenden Vektorkoordinaten.

6. Skalarprodukt zwei Vektoren ist gleich der Summe der Produkte ihrer entsprechenden Koordinaten.